Post on 05-Jul-2015
GRUP SIKLIK
OLEHNurul Fajriah
Rahmawati Indah Lestari. S
Dosen Pengasuh : 1. Dr. Darmawijaya
2. Dr. Nila Kesumawati
DEFINISI
TEOREMA
1 CONTOH 1
2
3
CONTOH 2
CONTOH 3
LATIHAN
SOAL
1
2
3
4
SIKLIK
CONTOH 4
CONTOH 5
CONTOH 6
CONTOH 7
CONTOH 8
CONTOH 9
Definisi 1 : Grup Siklik (terhadap penjumlahan)
Grup G (G, +) disebut siklik, bila ada elemen sedemikian sehingga .
Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut.
(Fadli, 2010 : 55)
MAIN
MENU
CONTOH 1 :
Misalkan G = {0, 1, 2, 3} adalah suatuGrup terhadap penjumlahan (G,+).Buktikan bahwa G tersebut adalahgrup siklik.
PenyelesaianDiketahui : G = {0, 1, 2, 3}Ditanya : Tentukan grup siklik dan
subgrup siklik dari G!
MAIN
MENU
G = {0, 1, 2, 3}
= {1.0}
= {0}
= {1.1, 2.1, 3.1, 4.1, …}
= {1, 2, 3, 0}
= {1.2, 2.2, …}
= {2, 0}
= {1.3, 2.3, 3.3, 4.3,…}
= {3, 2, 1, 0}
Karena G = <1> = <3> = {0, 1, 2, 3}, dengan kata
lain 1 dan 3 adalah generator dari G,
Maka G = {0, 1, 2, 3} merupakan grup siklik.
MAIN
MENU
Definisi 2 : Grup Siklik (terhadap perkalian)
Grup G (G, .) disebut siklik, bila ada elemen sedemikian sehingga .Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut.
(Gallian, 2008 : 72)
Suatu grup G dan suatu unsur , jika grup G dapat dinyatakan sebagai , maka g dikatakan pembangun dari grup G dan grup G disebut Grup Siklik, biasanya dinotasikan G = <g>
(Muchlisah, 2005 : 58)
MAIN
MENU
CONTOH 2 :
Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu Grup
terhadap operasi perkalian (G, .).
Buktikan bahwa G adalah grup siklik.
Penyelesaian :
Diket : G = {-1, 1}
Dit : Buktikan G adalah grup siklik.
MAIN
MENU
Jawab :
G = {-1, 1}
<-1> = {(-1)1, (-1)2, …}
= {-1, 1}
<1> = {11, 12, …}
= {1}
Karena G = <-1> = {-1, 1}, dengan kata lain
-1 adalah generator dari G,
maka G = {-1, 1} merupakan grup siklik.
MAIN
MENU
Definisi 3 : Sub Grup Siklik
(G, *) adalah suatu grup dan, maka generator a yang
membangun suatu subgroup <a> dinamakan sub grup siklikdari (G, *)
(Fadli, 2010 : 55)
Jadi yang dimaksud dengan Sub Grup Siklik
yaitu suatu subgrup yang dibangkitkan oleh satu
unsur.
MAIN
MENU
CONTOH 3 :
Buktikan bahwa Z8 adalah grup
siklik. Kemudian tentukan sub grup
sikliknya!
Penyelesaian :
Diketahui :
Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Ditanya :
- apakah Z8 grup siklik?
- tentukan subgrup siklik dari Z8
Jawab :
Bukti
Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
= {1.0} = {0}
= {1.1, 2.1, 3.1, 4.1, 5.1, 6.1,
7.1, 8.1, …}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0}
= {1.2, 2.2, 3.2, 4.2, …}
= {2, 4, 6, 0}
= {1.3, 2.3, 3.3, 4.3, 5.3, 6.3, 7.3,
8.3, …}
= {3, 6, 1, 4, 7, 2, 5, 0}
MAIN
MENU
= {1.4, 2.4, …}
= {4, 0}
= {1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5,
7.5, 8.5, …}
= {5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 0}
= {1.6, 2.6, 3.6, 4.6, …}
= {6, 4, 2, 0}
= {1.7, 2.7, 3.7, 4.7, 5.7, 6.7,
7.7, 8.7, …}
= {7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0}
Karena terdapat <a> = G
yaitu 1, 3, 5 dan 7 maka Z8
adalah Grup Siklik.
Yang merupakan subgrup
sikliknya yaitu
<2> = {2, 4, 6, 0}
<4> = {4, 0}
<6> = {6, 4, 2, 0}
MAIN
MENU
CONTOH 4 :
Buktikan bahwa U(10) adalah grup siklik.
Kemudian tentukan sub grup sikliknya!
Penyelesaian :
Diketahui : U(10) = {1, 3, 7, 9}
Ditanya : - apakah U(10) grup siklik?
- tentukan subgrup siklik dari U(10)
MAIN
MENU
Jawab : Bukti
U(10) = {1, 3, 7, 9}
<1> = {11, 12, 10…}
= {1} …………………. <1> ≠ U(10)
<3> = {31, 32, 33, 30, …}
= {3, 9, 7,1} …………. <3> = U(10)
<7> = {71, 72, 73, 70,…}
= {7, 9, 3, 1} ………… <7> = U(10)
<9> = {91, 92, 93, 90,…}
= {9, 1,…} ………….. <9> ≠ U(10)
Karena terdapat <a> = G yaitu 3 dan 7 maka U(10) adalah Grup
Siklik.
Yang merupakan subgrup sikliknya yaitu <1> = {1} dan <9> = {1, 9}
MAIN
MENU
Teorema 1 : ak = agcd(n,k)
Let a be an element of order n in a group and let k be a positive integer.
Then ak = agcd(n,k) and ak = n/gcd(n,k).
Akibat 1 : Generator dari finite group siklik
G=<a>adalah group siklik dengan order n, maka G=<ak>jika dan hanya jika FPB (k,n) =1
Akibat 2 : Generator Zn
Dengan bilangan bulat k dalam Zn, adalah generator dari Zn jika dan hanya jika gcd (n, k) = 1
(Gallian, 2008 : 76)MAIN
MENU
CONTOH 5 :
Dari acuan teorema 1 akibat 1, tentukan semua generator
dari grup siklik U(50)!
|U(50)| = 20 dan 3 adalah salah satu dari generatornya.
Demikianlah, dalam melihat teorema 1, daftar pelengkap
dari generator-generator untuk U(50) adalah
31 mod 50 = 3 311 mod 50 = 47
33 mod 50 = 27 313 mod 50 = 23
35 mod 50 = 43 37 mod 50 = 37
317 mod 50 = 13 39 mod 50 = 33
319 mod 50 = 17 320 mod 50 = 1
MAIN
MENU
Teorema 2 : Teorema Dasar Grup Siklik
Setiap subgrup pada sebuah grup siklik adalah grup
siklik itu pula. Lebih-lebih jika |<a>|= n, lalu
order pada subgrup <a>adalah sebuah pembagi n
dan atau setiap k pembagi positif pada n, grup
memiliki tepat satu subgrup berorder k, yaitu
(Gallian, 2008 : 77)
MAIN
MENU
Contoh 6 :
Jika k adalah pembagi dari 30, subgrup order k adalah
Jadi daftar subgrup dari dan daftar subgrup dari Z30 adalah :
Daftar Subgrup <a> Order
Order 30
Order 15
Order 10
Order 6
Order 5
Order 3
Order 2
Order 1
MAIN
MENU
Akibat Teorema 2 : Subgrup Zn
Untuk setiap pembagi positif k pada n, himpunan <n/k> adalah subgrup
tunggal pada order k, lebih dari itu,
hanya ada subgrup dalam
MAIN
MENU
Contoh 7 :
Berdasarkan dari contoh 6 di atas bahwa daftar
subgrup dari Z30 adalah :
Daftar Subgrup Z30 Order
Order 30
Order 15
Order 10
Order 6
Order 5
Order 3
Order 2
Order 1MAIN
MENU
Teorema 3 : Jumlah pada Unsur Setiap Order
dalam Grup Siklik.
Jika d adalah sebuah pembagi positif pada n,
angka pada unsur dalam order d dalam sebuah
grup siklik pada order n adalah
Akibat : Jumlah unsur pada elemen order
adalah finite grup
Dalam grup finit, jumlah elemen order d
habis dibagi oleh
(Gallian, 2008 : 80)
MAIN
MENU
Contoh 8 :
Tentukan subgrup dari Z12 dan buat diagram lattice
Ambil a= 2 dimana <2> = {0,2,4,6,8,10}.
Berdasarkan teorema 4.2 maka:
21 = 2 24 = 8
22 = 4 25 = 10
23 = 6 26 = 0
Apabila 2 dipangkatkan sampai n dimana n є Z hasilnya tetap
berada pada <2> sehingga tertutup terhadap operasi pada
Z12. Akibatnya <2> merupakan subgrup dari Z12.
Dengan cara serupa ambil a=3 dimana <3> = {0,3,6,9}
sehingga diperoleh:
31 = 3 35 = 3
32 = 6 36 = 6
33 = 9 37 = 9
34 = 0 38 = 0
MAIN
MENU
Dari hasil di atas <3> merupakan subgrup dari Z12.
Selanjutnya ambil a=4 dimana <4>={0,4,8}.
Berdasarkan teorema 2 maka:
41=4 44=4
42=8 45=8
43=0 46=0
Apabila 4 dipangkatkan sampai pangkat ke-n, dimana
n є Z hasilnya akan sama dengan order dari <4>
yaitu <4> = {0, 4, 8} sehingga tertutup terhadap
operasi di Z12 akibatnya <4> merupakan subgrup
dari Z12.
MAIN
MENU
Ambil a = 6 dimana <6> = {0, 6} dengan cara yang
sama diperoleh:
61=6 63=6
62=0 64=0
Dengan memangkatkan a sampai pangkat ke-n
hasilnya akan sama dengan <6> sehingga <6>
tertutup terhadap operasi di Z12 akibatnya <6>
merupakan subgrup dari Z12.
Dari hasil diatas dapat disimpulkan <2>, <3>,
<4>, dan <6> merupakan subgrup dari Z12
<2>, <3>, <4>, dan <6> merupakan subgrup
sejati nontrivial dari Z12 dan <0> merupakan
subgrup trivial dari Z12.MAIN
MENU
Diagram lattice Z12
Z12
<2><3>
<4><6>
<0>MAIN
MENU
Teorema 4 :
Setiap Grup Siklik adalah GrupAbelian.
(Muchlisah, 2005 : 59)
Contoh 9 :
Dari Contoh 1, tunjukan bahwa Grup Siklik tersebut
merupakan Grup Komutatif.
MAIN
MENU
Penyelesaian :
Generator 1 dan 3 adalah membangun suatuGrup Siklik dari Grup
G = {0, 1, 2, 3} terhadappenjumlahan (G,+).
Misal Ambil n = 1 dan m = 2, dan generator a = 3
x + y = na + ma
= (n + m) a
= 1.3 + 2.3
= (1 + 2).3
= 3.3 = 1
y + x = ma + na
= (m + n) a
= 2.3 + 1.3
= (2 + 1).3
= 3.3 = 1
Jadi, Grup Siklik G = {0, 1, 2, 3} merupakan GrupKomutatif.MAIN
MENU
MAIN
MENU