TUGAS GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK IENERGI DAN POTENSIAL LISTRIK

NAMA : WIRATAMA IMAN RAMDHANINIM : F1B011091

JURUSAN TEKNIK ELEKTROFAKULTAS TEKNIKUNIVERSITAS MATARAM

2012/2013

DAFTAR ISI

ENERGI YANG DIPERLUKAN UNTUK MENGGERAKKAN MUATAN TITIK DALAM MEDAN LISTRIK………………………………………………………………

INTEGRAL GARIS………………………………………………………………

DEFINISI BEDA POTENSIAL DAN POTENSIAL …………………………

MEDAN POTENSIAL SEBUAH MUATAN TITIK …………………..............

MEDAN POTENSIAL SYSTEM MUATAN : SIFAT KONSERFATIF ………

GRADIENT POTENSIAL…………………………………………......................

DWIKUTUB ……………………………………………………………………..

KERAPATAN ENERGY DALAM MEDAN ELEKTROSTATIK ……………

BAB 4

ENERGI DAN POTENSIAL LISTRIK

4.1 Energi Yang Diperlukan untuk Menggerakkan Muatan Titik dalam

Medan Listrik

Intensitas medan listrik didefinisikan sebagai gaya yang beumpu pada muatan uji satuan

pada titik yang ingin kita dapatkan harga medan vektornya. Misalkan ingin memindahkan

matan Q sejarak dL dalam medan listrik E. Gaya pada Q yang ditimbulkan oleh medan listrik

adalah;

FE=QE

Dengan subskribnya megingatkan bahwa gaya tersebut ditimbulkan oleh medan. Komponen

gaya ini dalam arah d yang harus diatasi adalah;

FEL=FE . aL=QE . aL

Dengan aL menyatakan vektorsatuan dalam arahdL.

Gaya yang harus diterapkan adalah sama besar dan berlawanan arah dengan gaya yang

ditimbulkan oleh medan.

F pakai=−QE. aL

Dan energi yang harusdisediakan sama dengan perkalian gaya dengan jaraknya.

Kerja diferensial oleh sumber luar untuk menggerakkan Q ialah;

−QE . aL dL

−QE . dL

Atau

dW =−QE . dL

Dimana aL dL telah diganti dengan dL yang lebih sederhana.

Kerja yang dibutuhkan untuk memindahkan muatan ketempat yang jaraknya berhingga

harus ditentukan dengan mengintegrasikan;

W =−Q ∫awal

akhir

E . dL

Dimana lintasan yang ditempuh harus ditentukan sebelum integral tersebut dapat dihitung.

Muatannya dianggp keadaan diam pada kedudukan awal dan kedudukan akhir.

4.2 Integral Garis

Rumusan integral untuk kerja yang dilakukan muatan Q dari suatu kedudukan ke

kedudukan lain. Rumusnya dapat di tulisdengan :

W =−Q ∫awal

akhir

EL .dL

Dengan EL menyatakan komponen E sepanjang dL.

.

Pada medan listrik serbasama, lintasannya dibagi menjadi 6 segmen

∆ L1 , ∆ L2 , ……… , ∆ L6 , dan komponen E sepanjang tiap-tiap segmen diberi notasi

E L1 , E L2 , ………,E L6 . Besarnya muatan kerja yang diperlukan untuk memindahkan

muatan Q dari B ke A adalah;

W =−Q(E L1 ∆ L1+E L2 ∆ L2+………+E L6 ∆ L6)

Atau dengan memakai notasi vektor;

W =−Q(E1 . ∆ L1+ E2 . ∆ L2+…… …+E6 ∆ L6)

Dan karena kita menjumlahkan terhadap medan serbasama maka,

E1=E2=…=E6

W =−QE. (∆ L1+∆ L2+………+∆ L6)

Penjumlahan vektor dilakukan dengan hukum jajaran genjang, dan hasilnya mempunyai

vektor yang mempunyai arah dri titik awal B ke titik akhir A,LBA , jadi;

W =−QE. LBA (E serbasama)

Dengan mengingat interfretasi penjumlahan integral garis, hasil untuk medan serbasama

dapat diperoleh rumus integral

W =−Q∫B

A

E .dL

Untuk medan serbasama

W =−QE.∫B

A

dL

Dimana hasil integral terakhir LB A adalah;

W =−QE. LBA (E serbasama)

Untuk menjelaskan cara melakukan integral garis,marilah kita ambil medan serba sama

E= yax+xa y+2 az

Dan tinjau kerja yang diperlukan untuk membawa muatan 2C dari B(1,0,1) ke A(0,8,0,6,1)

sepanjang busur lingkaran yang pendek dari lingkaran

x2+ y2=1 z=1

Dengan memakai koordinat kartesian , lintasan diferensial dL ialah dx ax+dy ay+dz az , dan

integralnya menjadi;

W =−Q∫B

A

E .dL

¿−2∫B

A

( yax+xa y+2 az ) .(dx ax+dy a y+dzaz)

¿−2∫1

0,8

y dx−2∫0

0,6

x dy−4∫1

1

dz

Dimana batas integralnya telah dipilih supaya batas peubah integral sesuai dengan titik awal

dan titik akhir.dengan memakai lintasan lingkaran diperoleh;

W =−2∫1

0,8

√1−x2 dx−2∫0

0,6

√1− y2 dy−0

¿−[ x√1−x2+sin−1 x ]−[ y √1− y2+sin−1 y ] ¿−(0,48+0,927−0−1,571 )−(0,48+0,644−0−0)

¿−0,96J

Jika kita pilih lintasan garis lurus dari B ke A, maka ditentukan dahulu persamaan garis

lurusnya. Persamaan dibawah menyatakan persamaan untuk garis tersebut;

y− yB=y A− yB

x A−xB

(x−xB)

z−zB=zA−zB

yA− y B

( y− yB)

x−xB=x A−xB

z A−zB

(z−zB)

Dari persamaan pertama didapat

y=−3(x−1)

Dari persamaan dua didapat

z=1

Bentuk dL dalam tiga sistem koordinat yang telah dibicarakan menggunakan panjang

diferensial yang telah ditunjukkan dalam bab pertama;

dL=dx ax+dy a y+dz az (cartesian)

dL=dρ aρ+ ρd∅ a∅+dz az(tabung)

dL=dr ar+rdθ aθ+r sinθ d∅ a∅ (bola)

Unsur diferensial d L dipilih dalam koordinat tabung dan lintasan lingkaran yang telah dipilih

mengharuskan dρ dan dz sama dengan nol,jadi dL=ρ1 d∅ a∅. Kerja yang diperlukan menjadi;

W =−Q ∫akhir

awal ρL

2 π ϵ 0 ρ1

aρ . ρ1 d∅ a∅

¿−Q∫0

2 π ρL

2 π ϵ 0

d∅ aρ . a∅=0

Kita bawa muatan tersebut dari ρ=ake ρ=b sepanjang lintasan radial. Dalam hal ini

dL=dρ aρ dan

W =−Q ∫akhir

awal ρL

2 π ϵ 0 ρaρ . dρ aρ=−Q∫

a

b ρL

2 π ϵ 0

dρρ

Atau

W =−Q ρL

2π ϵ 0

lnba

Kita menuliskan dL=dρ aρ dan dapat menunjukkan arah yang berlainan dengan mengingat

ρ=b sebagai titik awal dan ρ=a sebagai titik akhir,

W =−Q∫b

a ρL

2 π ϵ0

dρρ

=¿Q ρL

2 π ϵ 0

lnba¿

4.3 Definisi Beda Potensial dan Potensial

Mendefinisikan rumusan kerja yang diperlukan oleh gaya luar untuk memindahkan

muatan Q dari satu titik ke titik lain dalam medan listrik E.

W =−Q ∫awal

akhir

E . dL

Devinisi beda potensial V untuk memindahkan satu satuan positif dari suatu titik ke titik lain

dalam medan listrik

Beda potensial=V=− ∫awal

akhir

E . dL

Beda potensial diukur dalam joule per coulomb, yang didefinisikan juga sebagai volt

yang lebih biasa dipakai yang disingkat sebagai V.jadi beda potensial antara titik A dan B

adalah

V AB=−∫B

A

E .dL V

Dan V AB positif jika kerja diperlukan untuk membawa muatan positif dari B ke A.

Beda potensial antara titik pada ρ=adan ρ=b adalah

V ab=WQ

=ρL

2π ϵ 0

lnba

Kita dapat mencoba memakai definisi ini dengan mencari beda potensial antara titik A dan B

pada jarak radial r A danr B dari muatan titik Q. Dengan memilih titik asal pada kedudukan

muatan Q;

E=Er ar=Q

4 π ϵ 0 r2ar dan dL=dr ar

Di peroleh

V AB=−∫B

A

E .dL=−∫r B

r A

Q

4 π ϵ 0r 2dr=

Q4 π ϵ0

( 1r A

− 1r B

)Jika r B>r A , beda potensial V AB menjadi positif yang menunjukkan bahwa diperlukan energi

oleh sumber luar untuk membawa muatan positif dari r B ker A .

Jika potensial dititik A adalah V A dan di B adalah V B maka;

V AB=V A−V B

Dimana V A dan V B mempunyai titik acuan yang sama.

4.4 Medan Potensial Sebuah Muatan Titik

Beda potensial antara dua titik pada r=r A dan r=rB dalam medan sebuah muatan titik Q

yang diletakkan pada titik asal

V AB=Q

4π ϵ0( 1r A

−1r B

)=V A−V B

Lintasan diferensial yang panjangnya dL mempunyai komponen r , θ , dan∅ ; dan medan

listriknya hanya mempunyai komponen radial. Dengan mengambil perkaliantitik, yang

tertinggal hanyalah;

V AB=−∫rB

rA

E r dr=−∫rB

r A

Q

4π ϵ 0r2dr=

Q4 π ϵ 0

( 1r A

− 1rB

)Jika kita buat titik r=rB menjauh ke takberhingga , maka potensial di r A menjadi

V A=Q

4 π ϵ 0 r A

Atau

V= Q4π ϵ0 r

Rumusan ini mendefinisikan potensial pada setiap titik yang berjarak r dari muatan titik

Q dititik asal dengan potensial pada jejari tak berhingga diambil sebagai acuan.

Suatu cara untuk menyatakan potensial tanpa memilih acuan nol diperoleh dengan

mengidentifikasi r A sebagai r dan mengambil Q

4 π ϵ 0 rB sebagai tetapan. Maka

V= Q4π ϵ0 r

+C1

4.5 Medan Potensial Sistem Muatan : Sifat Konservatif

Medan potensial sebuah muatan titik bermuatan Q1pada titik r1 hanya berhubungan

dengan jarak |r−r1| dari Q1 ke titik di r tempat potensial tersebut dicari. Untuk acuan nol di

tak berhingga, didapat

V (r )=Q1

4 π ε0|r−r1|Potensial yang ditimbulkan oleh dua muatan ,Q1 dir1 dan Q2 dir 2, merupakan fungsi

dari |r−r1| dan |r−r2| yang masing-masing merupakan jarak dari Q1 dan Q2 ke titik medan,

V (r )=Q1

4 π ε0|r−r1|+

Q2

4 π ε0|r−r2|Jika kita terus menambahkan muatan , maka potensial yang ditimbulkan oleh n muatan;

V (r )=Q1

4 π ε0|r−r1|+

Q2

4 π ε0|r−r2|+………+

Qn

4 π ε 0|r−rn|Atau

V (r )=∑m=1

n Qm

4 π ε0|r−r m|Jika kita ambil banyaknya unsur menjadi tak berhingga , maka didapat rumus integral;

V (r )=∫vol

❑ ρv (r')d v '

4 π ε0|r−r '|

Jika distribusi muatannya berbentuk muatan garis atau muatan permukaan , maka

integrasinya adalah sepanjang garis tersebut atau pada permukaan;

V (r )=∫ρL(r ')d L'

4 π ε0|r−r '|

V (r )=∫ρS (r

')d S '

4 π ε0|r−r '|Rumusan integral potensial yang dinyatakan dalam distribusi muatan sebaiknya

dibandingkan dengan rumusan yangserupa itu untuk intensitas medan listrik,seperti

persamaan dibawah

E(r)=∫vol

❑ ρv (r' )d v '

4 π ε 0|r −¿¿¿¿

Untuk acuan nol di tak berhingga ,maka;

1. Potensial yang ditimbulkan oleh sebuah muatan titik adalah kerja yang diperlukan

untuk membawa satu satuan muatan positif dari tak berhingga ke titik yang dicari

potensialnya.

2. Medan potensial yang ditimbulkan oleh sejumlah muatan titik merupakan jumlah dari

medan potensial masing-masing muatan tersebut.

3. Potensial yang ditimbulkan sejumlah muatan titik atau distribusi muatan malar dapat

diperoleh dengan membawa satu satuan muatan dari tak berhingga ke titik yang dicari

potensialnya sepanjang lintasan sembarang yang kita pilih.

Rumus potensial (dengan acuan nol di tak berhingga),

V A=−∫∞

A

E . dL

Atau beda potensial

V AB=V A−V B=−∫B

A

E . dL

Lintasan tertutup

∮E . dL=0

4.6 Gradien Potensial

Ada dua metode untuk menentukan potensial,yaitu yang pertama langsung dari

intensitas medan listrik melalui integral garis, dan yang kedua dari distribusi muatan dasar

dengan pertolongan integral volume.

Hubungan integral garis yang umum antara dua kuantisasi;

V=−∫E .dL

Persamaan diatas dapat dipakai pada unsur panjang yang sangat kecil ∆ L ;sepanjang

unsur tersebut E dapat dianggap tetap,hingga menghasilkan pertambahan beda potensial ∆ V ,

∆ V =−E . ∆ L

Sudut antara ∆ L dan E dengan θ , maka

∆ V =−E ∆ L cosθ

E merupakan medan yang konsevatif. Jadi V merupakan fungsi berharga tunggal V(x,y,z),

maka didapatkan limit

dVdL

=−E cosθ

aN diambil sebagai vektor satuan yang normal terhadap permukaan sepotensial dan

mempunyai arah ke potensial yang lebih besar. Intensitas medan listrik dinyatakan dalam

potensial sebagai berikut;

E=−dVdL

|maks aN

Operasi pada V untuk mendapatkan –E dikenal sebagai gradien,dan gradien suatu

medan skalar didefinisikan sebagai berikut;

GradienT=grad T=dTdN

aN

Hubungan antara V dan E;

E=−gradV

Karena V merupakan fungsi dari x,y,z,kita dapat mengambil diferensial totalnya;

dV =∂V∂ x

dx+∂ V∂ y

d y+∂ V∂ z

d z

Dan juga

dV =−E . dL=−Ex dx−E y dy−E z dz

Karena kedua rumus tersebut berlaku untuk setiap dx, dy, dz maka;

E x=−∂ V

∂ x E y=

−∂V∂ y

E z=−∂ V

∂ z

Hasil diatas dikombinasikan secara vektor sehingga didapatkan persamaan ;

E=−( ∂ V∂ x

ax+∂ V∂ y

a y+∂ V∂ z

az)Dari beberapa persamaan didapat rumus gradien dalam koordinat cartesian;

gradV =∂V∂ x

ax+∂ V∂ y

ay+∂ V∂ z

az

Hubungan E dan V dalam bentuk yang tertal (kompak)

E=−∆ V

Gradien dapat dinyatakan dalam bentuk turunan parsial dalam sistem koordinat lainnya

dengan mmelalui pemakaian definisi persamaan (26)

∆ V =∂V∂ x

ax+∂ V∂ y

ay+∂V∂ z

az(cartesian)

∆ V =∂V∂ ρ

aρ+1ρ

∂V∂∅

a∅+∂ V∂ z

az(tabung )

∆ V =∂V∂ r

ar+1r

∂ V∂ θ

aθ+1

r sin θ∂ V∂∅

a∅ (bola )

4.7 Dwikutub

Dwikutub listrik adalah nama yang di berikan pada muatan titik yang besarnya sama

tetapi tandanya berlawanan, yang terpisah oleh jarak yang kecil jika dibadingkan dengan

jarak ke titik P tempat medan listrik dan potensialnya di tinjau.

Jarak dari Q dan −Q ke titik P masingmasing sama dengan R1 dan R2 , kita dapat

tuliskan potensialnya sebagai berikut:

V = Q

4 π ε0 ( 1R1

− 1R2 )= Q

4 π ε0

R1−R2

R1 R2

Untuk titik yang jauh , R1 = R2 , dan perkalian R1R2 dalam penyebut dapat diganti

dengan r2 .jika kita tinjau titik yang agak dekat dengan dwikutub tersebut, kita lihat bahwa R2

– R1 dapat diaproksimasi dengan mudah jika R1 dan R2 dianggap sejajar.

R2 – R1 = d cos θ

Hasil akhinya menjadi

V=Qd cosθ

4 π ε 0r2

4.8 Kerapatan Energi dalam Medan Elektrostatik

Untuk mencari energy potensial sebuah system muatan , kita harus mencari kerja yang dilakukan oleh sumber luar untuk menempatkan muatan dalam system tersebut. Kita nyatakan V2,1 dengan subkrib pertama menyatakan tempat dan keduanya menyatakan sumbernya.ini berarti potensial pada tempat Q2 yang di timbulkan oleh Q1.maka

Kerja ke tempat Q2 = Q2 V2,1

Untuk memperoleh rumusan untuk energy yang tersimpan di dalam daerah sebuah distribusi muatan malar , masing-masing muatan diganti dengan ρu dv dan penjumlahannya menjadi suatu integral

WE=¿ 1

2∭ ρv V dv¿

dengan memakai persamaan pertama Maxwell , kita ganti ρdengan ∇ ∙ D dan dengan memakai identitas vektor yang berlaku untuk setiap fungsi scalar V dan fungsi D.

∇ ∙ (V D ) ≡V (∇ ∙ D )+D∙ (∇V )

Yang dengan mudah dibuktikan dengan menguraikannya dalam koordinat kartesian ,kita dapatkan,

W E=12∭ ρ v V dv=

12∭ (∇ ∙ D ) V dv=

12∭ [∇ ∙ (V D )−D ∙ (∇V ) ] dv

W E=12∮

s

❑

(V D ) ∙dS−12∫vol

❑

D∙ (∇V ) dv

Dengan mensubstitusikan E = − ∇V ke dalam integral yang lainnya, di dapat rumus:

W E=12∭D ∙ E dv=¿∫

vol

❑

ε0 E2 dv¿

Muatan total muatan dalam ialah Q = 2πaL ρ s. Dengan mengkombinasikannya dengan dengan beda potensial antara kedua tabung, V a kita dapatkan bahwa:

W E=12

Q V a

yang dikenal sebagai energy yang tersimpan dalam kapasitor.

Teori medan elektromagnetik meudahkan kita untuk percaya bahwa energy medan listrik atau distribusi muatan tersimpan dalam medan itu sendiri.

W E=12∭D ∙ E dv

dan bentuk diferensialnya

d W E=12

D ∙ E dv

Atau

d W E

dv=1

2D ∙ E

KESIMPULAN

Dari pembahasan tentang materi Energi dan Potensial Listrik diatas, maka

diperoleh beberapa kesimpulan yaitu energi dan potensial listrik terdiri atas Energi Yang

Diperlukan Untuk Menggerakkan Muatan Titik Dalam Medan

Listrik, Integral Garis, Devinisi Potensial Dan Beda Potensial,

Medan Potensial Sebuah Muatan Titik, Medan Potensial Sistem Muatan :

Sifat Konservatif, Gradien Potensial, Dwikutub (Dipole), dan

Kerapatan Energi Dalam Medan Elektrostatik.