GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK

PERSAMAAN MAXWELL PERSAMAAN HELMHOLTZ PEMANTULAN DAN TRANSMISI TRANSMISI MELALUI TIGA MEDIUM PENYESUAIAN IMPEDANSI

0H0HB

0E0E0D

Hjt

H

t

BE

Ejt

E

t

DH

jt

HB

ED

0B

0Dt

BE

t

DH

PERSAMAAN MAXWELL

0B

Dt

BE

t

DJH

v

0B

0D0t

BE

t

DH0EJ0

v

RUANG HAMPA

EE)j(j

)H(j

)Hj()E(

oo2

oo

o

o

0H

0E

HjE

EjH

o

o

E0

EE)E(2

2

0EE oo22

PERSAMAAN HELMHOLTZ

z

y

x

)zt(jxox eEE

)zt(jyoy eHH xxaEE

yyaHH

oooo22

)zt(jxooo

2)zt(jxo

0

0eEeE)j)(j(

vv

f

22

)zt(jxoxx eE)z,t(EE

2

2

2

2

2

22

z

A

y

A

x

AA

oo

1v

0EE xoo2

x2

0Ez

Exoo

22x

2

Bilangan gelombang

Kecepatan gelombang = 3x108 m/sm/H10x4

m/F10x854.87

o

12o

)zt(jxoo

y eEjz

H

)zt(jyoyy eH)z,t(HH

zxy

yzx

xyz a

y

A

x

Aa

x

A

z

Aa

z

A

y

AA

EjH

zxy

yzx

xyz a

y

H

x

Ha

x

H

z

Ha

z

H

y

HH

xxo aEjH

377120o

oo

)zt(jxoo

y eEjz

H

y

x

H

E

xoo

oxo

oo

oxo

oyo EEEH

yo

xo

H

EImpedansi instrinsik :

)zt(jyoy eHH

)zt(jxoo

)zt(jyo eEjeH)j(

PEMANTULAN DAN TRANSMISI

Ei , Hi

Er , Hr

Et , Ht

z = 0

1 2

)zt(j

1

1i

)zt(j1i

1

1

eA

H

eAE

)zt(j

2

2t

)zt(j2t

2

2

eA

H

eAE

)zt(j

1

1r

)zt(j1r

1

1

eB

H

eBE

Syarat-syarat batas pada z = 0 :

tri

tri

HHH

EEE

Ei , Hi

Er , Hr

Et , Ht

z = 0

1 2Syarat-syarat batas pada z = 0 :

tri

tri

HHH

EEE

2

2

1

1

1

1

211

ABA

ABA

12

12

1

1

A

B

12

2

1

2 2T

A

A

Faktor Refleksi

Faktor Transmisi

0B

0D

Hjt

BE

EjEjEt

DJH

MEDIUM DIELEKTRIK 0

EJ

0E)j(jE

E)j(jE0EE

E)j(j

)H(j

)Hj()E(

2

22

0E

HjE

EjH

)j(j

)j(j

0eE)j(jeE

0E)j(jz

E

eEE

2

zo

zo

2

2

2

zo

0E)j(jE2

Konstanta penjalaran (propagation constant)

)j(

j

)j(

)j(j

)j(H

E

eE)j(eH

eE)j(z

H

yo

xo

zxo

zyo

zxo

y

yz

yoz

o

xz

xoz

o

aeHeHH

aeEeEE

zxy

yzx

xyz a

y

H

x

Ha

x

H

z

Ha

z

H

y

HH

E)j(H

Contoh Soal 3.1Suatu gelombang elektromagnetik menjalar di dalam suatu medium. Konstanta penjalaran dan impedansi intrinsiknya masing-masing = (0,25 + j 2) m-1 dan = (600 + j 75) . Hitung R, R dan dari medium tersebut.

Jawab :

087,310x4

10x879,3m/H10x879,3

)10x50(2

75,1218

75,121875,1218j)75j600)(2j25,0(j

75j600j

j2j25,0)j(j

7

6

oR

66

162,110x854,8

10x285,1010x285,10

)10x50(2

10x231,3

10x231,3m/mS821,0

10x)231,3j821,0(75j600

2j25,0j

12

12

oR

126

3

3

3

Sebuah pesawat terbang menggunakan altimeter radar untuk menentukannya ketinggiannya yaitu dengan memancarkan gelombang elektromagnetik berfrekuensi 7 GHz ke bawah dan menerima gelombang yang dipantulkan oleh permukaan di bawahnya. Bila pesawat terbang tersebut berada di atas permukaan laut dengan permitivitas relatip R = 81, permeabilitas relatip R = 1 dan konduktivitas listrik = 4 S/m, hitung persentase berkurangnya daya akibat pemantulan permukaan laut.

Contoh Soal 3.2 :

j

j

Petunjuk : Impedansi suatu medium terhadap gelombang elektromagnetik adalah :

Vo

o

L

V

I

o

o

Lo

oo

2

VVI

2

VV

o

2o

o

oo

*

LL

*o

8

V

2

V

2

V

2

1

)IVRe(2

1)

*VVRe(

2

1)IIRe(

2

1P

oLT 1

oT P

P

Jawab : (Analogi Rangkaian Listrik)

2o

3

2

o

o

2

o

V10x156,33377

2

V

2

12

V

2

1Po

o3

ooo

V10x)7,5j4,99(V)629,2j610,41(377

)629,2j610,41(VV

o3o

o

o V10x)015,0j4,2()629,2j610,41(377

VVI

2o

3

o33

o

V10x872,11

V10x)015,0j4,2(10xV)7,5j4,99(2

1Re)'VxI

2

1Re(P

%807,35%100V10x156,33

V10x872,11

P

P

o3

o3

oT

629,2j610,41

)10x854,8)(81)(10x7)(2(j4

)10x4)(1)(10x7)(2(j129

79

Vo

o

L

V

I

Contoh Soal 3.3 :

Suatu gelombang elektromagnetik berfrekuensi 10 MHz, menjalar dalam arah az di dalam medium dengan

konduktivitas listrik = 6,8 x 10-4 mho/m, permitivitas relatip R = 7,13 dan permeabilitas relatip R = 4,55. Tentukan

besarnya medan magnetik pada z = 50 cm dan t = 5 ns bila diketahui amplituda dari medan listrik yang menjalar dalam arah ax adalah sebesar 100 V/m.

Petunjuk : Konstanta penjalaran gelombang elektromagnetik di dalam suatu medium adalah :

j)j(j

Jawab :

085,0

126

76

780,298334,257,297

)10854,8)(13,7)(1010)(2(4

)104)(55,4)(1010)(2(

jej

xxj

xxj

198,1102,0

)104)(55,4)(2()]10854,8)(13,7)(1010(2108,6[( 71264

j

xjxxjx

mA

xxe

zteEH

zxo

y

/297,0

780,298

]085,0)5,0(198,1)105)(1010(2cos[100

)cos(

96)5,0)(102,0(

Contoh Soal 3.4 :

Tunjukkan bahwa dari konstanta penjalaran :

112

2

112

2

)j(jj

konstanta atenuasi dan konstanta fasa masing-masing dapat dihitung dari persamaan-persamaan :

Jawab :

04

02

22

jj2

)j)(j(j

222224

22

2

222

2

22222422

222224222

112

2

11

2

1

12

1

2

1

112

12

2

22

22

22

22222

2

2222

Contoh Soal 3.5

Suatu gelombang elektromagnetik berfrekuensi 200 MHz dengan amplituda medan listrik sebesar Eo = 100 V/m yang sedang menjalar mengenai lapisan perak tipis (R = 1, R=1, σ = 61,7 MS/m) setebal d = 5 μm. Hitung amplituda medan listrik E3 setelah menembus lapisan tipis tersebut.

Jawab :

Eo E1 E2 E3

d

Jawab :

f112

f2

f2

211

2

110x35)10x854,8)(10x200(

10x7,61

2

2

9126

6

2

2

)j1(2

2

1)45sinj45(cosf2

45ee1

jjj

j

j

j

oo

o45j90j oo

332

o3

o6

78o

2

10x)577,3j577,3()j1)(707,0(10x059,5

4510x059,5

4510x7,61

)10x4)(10x2(245

m/V10x78,110x)577,3j577,3(377

)377(210x890,0

2EE 3

33

21

123

5

678222

10x207,2

)10x7,61)(10x4)(10x2(f

m/V10x684,2E10x)898,1j898,1(

10x)577,3j577,3(377

10x)577,3j577,3(2)100(

2EE

31

3

3

3

21

2o1

m/V10x890,0e10x684,2eEE 3)10x5)(10x207,2(3z12

652

Eo E1 E2 E3

d

Pada medium 1 :

E maksimum terjadi bila Ei dan Er sefasa :

]ee[EEEE

eeEEeEE)zt(j)zt(j

ori

j)zt(jor

)zt(joi

11

11

n2

zmaksE1

n2zz 11

)zt(jomaks

1e)1(EE

GELOMBANG BERDIRI

1

1

E

Es

min

maks

E minimum terjadi bila Ei dan Er berlawanan fasa :

n2zz 11

n22

zminE1

)zt(jomin

1e)1(EE

Standing Wave Ratio (SWR) :

Saluran Transmisi

o

L

z = -d z = 0

1

in

dtgj

dtgj

Lo

oLoin

ZLZo

v

Z1

Vo

f

d Z1

inputimpedansidz

GELOMBANG MELALUI TIGA MEDIUM

0,08 m

1 = 20 pF/m1 = 2 H/m

2 = 50 pF/m2 = 2,5 H/m

3 = 1 3 = 1

Di daerah 1 (z < 0) terdapat medium dengan 1 = 20 pF/m dan 1 = 2 H/m. Di

daerah 2 (0 < z < 8 cm) terdapat medium dengan 1 = 50 pF/m dan 1 = 2,5 H/m.

Medium pada daerah 3 (z > 8 cm) sama dengan medium pada daerah 1. Bila medan listrik yang datang dari medium 1 adalah E = 1000 cos (4x108 t - 1 z)

V/m, tentukan medan magnetik H yang diteruskan ke medium 3.

2,3161

131

6,2232

22

smxv /10894,01 8

222

smxvv /10581,1

1 8

1131

Jawab :

Contoh Soal 3.6 :

595,57j039,183)635,1(2,316j6.223

)635,1(6,223j2,3166,223in

635,1dtg022,1)08,0(10x894,0

10x22d

MHz200fdv

f2d

vd

228

8

22

22

22

22

2232

22232in dtgj

dtgj

1 in

Ei Ht

1 in

Ei Ht

58,6j

in

toto e98,3456,0j953,3

595,57j039,183

217,144j909,749EH

217,144j909,749)1000(595,57j039,1832,316

)595,57j039,183(2

E2

E ioin1

into

)z948,7t10x4cos(1000)ztcos(EE 81ioi

m/rad948,710x581,1

)10x200(2

v

8

6

131

)58,6z948,7t10x4cos(98,3)ztcos(HH o83tot

Sebuah lensa kacamata berindeks bias 1,62 dilapisi oleh lapisan anti refleksi. Lapisan penyesuai impedansi ini biasanya dirancang untuk meneruskan cahaya dengan panjang gelombang 550 nm (kuning) yang datang dari udara karena mata mempunyai sensitivitas maksimum pada warna kuning. Seperti kita ketahui cahaya tampak mempunyai daerah panjang gelombang 400 nm s/d 700 nm. Hitung persentasi berkurangnya intensitas cahaya yang diteruskan pada warna ungu (400 nm) dan merah (700 nm). Apa komentar saudara ?

n1 = 1,62 n2n3 = 1

4kuning

Contoh Soal 3.7 :

Jawab :

oo

oo

v

cn

1

1

nnnno

o

o

o

o 37712

Bahan non-magnetik o

o

n

on 2

2,2967,23262,1

377377 31213

Vo

3

in

V

I

n1 = 1,62 n2n3 = 1

4kuning

3 in

2o

32

o

3

2o

3

oo*kuning V10x663,0

)377(4

V

4

V

2

V

2

V)IVRe(P

Vo

3

in

V

I

1dtg

24

2d

nm550

t22

2

222

3

3

o

3in

oo3in 2

VVI

2

VV

Cahaya kuning :

%77,1%100xV10x074,1

V10x055,1V10x074,1P%

V10x055,1V10x)237,0j1985,0(V)055,0j538,0(IVReP

V10x)237,0j1985,0(7,2324,59j9,263

VVI

V)055,0j538,0(7,2324,59j9,263

4,59j9,263VV

4,59j9,263)497,1(377j2,296

)497,1(2,296j3772,296

dktgj

dktgj

497,1dtg)375,1(24

550

400

2dnm400

20

3

20

320

3

20

30

30

*ungu

030

1in

0

001in

in

2232

22232in

22223

Cahaya ungu :

%7,0%100x

V10x074,1

V10x067,1V10x1074,0P%

V10x067,1V10x)162,0j209,0(V)0377,0j514,0(IVReP

V10x)162,0j209,0(7,2329,36j9,242

VVI

V)0377,0j514,0(7,2329,36j9,242

9,36j9,242VV

9,36j9,242)858,2(377j2,296

)858,2(2,296j3772,296

858,2dtg)786,0(24

550

700

2dnm700

20

3

20

320

3

20

30

30

*merah

030

1in

0

001in

in

in

22223

Cahaya merah :

Sebuah sumber tegangan sebesar 80 V dengan frekuensi 400 kHz mempunyai impedansi output sebesar 10 ohm. Sumber tegangan ini akan mentransmisikan daya ke sebuah beban sebesar 60 ohm melalui saluran transmisi berupa kabel koaksial sepanjang 75 m dengan Zo = 40 ohm dan v = 2,5x108 m/s. Hitung daya yang ditransmisikan oleh sumber tegangan tersebut.

10

60

Zo= 40 v = 2,5x108 m/s

80 Vf = 400 KHz

Contoh Soal 3.8 :

W465,95)496,0j509,1)(962,4j915,64(ReP

496,0j509,1740,15j854,37

80I

962,4j915,64)80(10740,15j854,37

740,15j854,37V

740,15j854,37)938,0(60j40

)938,0(40j6040Z

938,0kdtgrad754,0)75(10x5,2

10x42d

vd

in

8

5

Jawab :