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GELE5222 Chapitre 4 :Circuits resonants
Gabriel Cormier, Ph.D., ing.
Universite de Moncton
Hiver 2012
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 1 / 48
Introduction
Contenu
Contenu :
Circuits resonants serie et parallele
Resonateurs a ligne de transmission
Resonateur en guide rectangulaire
Cavite cylindrique
Couplage des resonateurs
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 2 / 48
Introduction
Introduction
Applications :
Oscillateurs
Amplificateurs a resonance
Filtres
Frequence-metres
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Circuits resonants RLC Circuit resonant serie
Circuit resonant serie
R L
C
−
+
V I
Zin
Zin = R+ jωL− j 1
ωC
Pin =1
2VI∗ =
1
2|I|2
(R+ jωL− j 1
ωC
)
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Circuits resonants RLC Circuit resonant serie
Circuit resonant serie
Puissance dissipee par la resistance :
Ppertes =1
2R|I|2
Energie magnetique emmagasinee dans l’inductance :
Wm =1
4L|I|2
Energie electrique emmagasinee dans la capacitance :
We =1
4C|Vc|2 =
1
4
1
ω2C|I|2
ou Vc est la tension aux bornes du condensateur.
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Circuits resonants RLC Circuit resonant serie
Circuit resonant serie
L’equation de la puissance complexe peut alors etre re-ecrite :
Pin = Ppertes + 2jω(Wm −We)
et l’impedance d’entree devient :
Zin =2Pin|I|2
=Ppertes + 2jω(Wm −We)
12 |I|2
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Circuits resonants RLC Circuit resonant serie
Resonance
La resonance a lieu lorsque Wm = We, ce qui donne
Zin =Ppertes12 |I|2
= R
ce qui est purement reel. La frequence a la resonance est :
ω0 =1√LC
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Circuits resonants RLC Circuit resonant serie
Facteur de qualite
Facteur de qualite Q :
Q = ωEnergie moyenne emmagasinee
Energie perdue / seconde
= ωWm +We
Ppertes
Pour le circuit serie, le facteur de qualite donne :
Q = ω02Wm
Ppertes=ω0L
R=
1
ω0RC
→ Q augmente si R diminue.
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Circuits resonants RLC Circuit resonant serie
Perturbation
Comportement pres de la resonance : ω = ω0 + ∆ω, ou ∆ω est petit.
Zin = R+ jωL
(ω2 − ω2
0
ω2
)puisque ω2
0 = 1/LC. Alors,
ω2 − ω20 = (ω − ω0)(ω + ω0) = ∆ω(2ω −∆ω) ≈ 2ω∆ω
si ∆ω est petit. L’impedance d’entree devient :
Zin ≈ R+ j2L∆ω ≈ R+ j2RQ∆ω
ω0
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Circuits resonants RLC Circuit resonant serie
Resonateur avec pertes
Utiliser une frequence de resonance complexe :
ω0 ← ω0
(1 +
j
2Q
)Technique utile :
Pertes generalement faibles dans les resonateurs
Calculer Q par la methode de perturbations
Ajouter les pertes avec une frequence complexe
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Circuits resonants RLC Circuit resonant serie
Largeur de bande
ωω0
|Zin(ω)|
R
R
0.707
0 1
BW
1−∆ω
ω01 +
∆ω
ω0
BW =2∆ω
ω0=
1
Q
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Circuits resonants RLC Circuit resonant parallele
Circuit resonant parallele
CR L
−
+
V
I
Zin
Zin =
(1
R+
1
jωL+ jωC
)−1Puissance complexe fournie au resonateur :
Pin =1
2VI∗ =
1
2|V|2
(1
R+
j
ωL− jωC
)Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 12 / 48
Circuits resonants RLC Circuit resonant parallele
Circuit resonant parallele
La resonance a lieu lorsque Wm = We, ce qui donne : Zin = RLa frequence de resonance est la meme,
ω0 =1√LC
Le facteur de qualite, pour le cas parallele, est :
Q = ω02Wm
Ppertes=
R
ω0L= ω0RC
Dans ce cas-ci, le facteur de qualite augmente si la resistance augmente.
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Circuits resonants RLC Circuit resonant parallele
Circuit resonant parallele
Avec ω = ω0 + ∆ω,
Zin ≈R
1 + 2j∆ωRC=
R
1 + 2jQ∆ω/ω0
en utilisant le fait que ω20 = 1/LC. Lorsque R =∞, l’equation devient
Zin =1
j2C(ω − ω0)
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Circuits resonants RLC Circuit resonant parallele
Circuit resonant parallele
ωω0
|Zin(ω)|R
0.707R
0 1
BW
1−∆ω
ω01 +
∆ω
ω0
BW =2∆ω
ω0=
1
Q
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 15 / 48
Circuits resonants RLC Charge externe
Q avec charge externe
Le facteur de qualite du resonateur diminue lorsqu’on le branche a uncircuit externe :
Qe =
ω0L
RLcircuit serie
RL
ω0Lcircuit parallele
Circuitresonant
QRL
Qe
1
QL=
1
Qe+
1
Q
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 16 / 48
Resonateurs a ligne de transmission Ligne λ/2 court-circuitee
Ligne λ/2 court-circuitee
l
Z0, β, α
Zin
l = λ/2 a ω0
A une frequence ω = ω0, la longueur de la ligne est l = λ/2.L’impedance d’entree est :
Zin = Z0 tanh[(α+ jβ)l]
qu’on peut transformer, a l’aide d’identite trigonometrique, a :
Zin = Z0tanh(αl) + j tan(βl)
1 + j tan(βl) tanh(αl)
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Resonateurs a ligne de transmission Ligne λ/2 court-circuitee
Ligne λ/2 court-circuitee
Faibles pertes : αl 1 : tanh(αl) ≈ αlAussi : ω = ω0 + ∆ω
βl =ωl
vp=ω0l
vp+
∆ωl
vp= π +
∆ωπ
ω0
et donc
tan(βl) = tan
(π +
∆ωπ
ω0
)= tan
(∆ωπ
ω0
)≈ ∆ωπ
ω0
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Resonateurs a ligne de transmission Ligne λ/2 court-circuitee
Ligne λ/2 court-circuitee
On combine ces resultats pour obtenir :
Zin ≈ Z0αl + j(∆ωπ/ω0)
1 + j(∆ωπ/ω0)αl≈ Z0
(αl + j
∆ωπ
ω0
)→ se comporte comme un resonateur RLC serie :
R = Z0αl L =Z0π
2ω0C =
1
ω20L
Rappel : RLC serie
Zin ≈ R+ j2RQ∆ω
ω0
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 19 / 48
Resonateurs a ligne de transmission Ligne λ/2 court-circuitee
Resonance
A la resonance, ∆ω = 0Zin = R = Z0αl.Le facteur de qualite pour ce resonateur est :
Q =ω0L
R=
π
2αl=
β
2α
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 20 / 48
Resonateurs a ligne de transmission Ligne λ/2 ouverte
Ligne λ/2 ouverte
l
Z0, β, α
Zin
l = λ/2 a ω0
Se comporte comme un circuit RLC parallele
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 21 / 48
Resonateurs a ligne de transmission Ligne λ/2 ouverte
Impedance
L’impedance d’entree :
Zin =Z0
αl + jπ∆ω/2ω0
→ se comporte comme un resonateur RLC parallele :
R = Z0αl L =1
ω20C
C =π
2ω0Z0
Facteur de qualite :
Q = ω0RC =π
2αl=
β
2α
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 22 / 48
Resonateurs a ligne de transmission Ligne λ/4 court-circuitee
Ligne λ/4 court-circuitee
l
Z0, β, α
Zin
l = λ/4 a ω0
Se comporte comme un circuit RLC parallele
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 23 / 48
Resonateurs a ligne de transmission Ligne λ/4 court-circuitee
Impedance
L’impedance d’entree :
Zin =Z0
αl + jπ∆ω/2ω0
→ se comporte comme un resonateur RLC parallele :
R = Z0αl L =1
ω20C
C =π
4ω0Z0
Facteur de qualite :
Q = ω0RC =π
4αl=
β
2α
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 24 / 48
Resonateur en guide rectangulaire
Resonateur en guide rectangulaire
Guide rectangulaire termine par des court-circuits aux extremites
x
y
z
0a
b
d
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 25 / 48
Resonateur en guide rectangulaire
Resonateur en guide rectangulaire
On solutionne les equations des champs electriques et magnetiques
La resonance a lieu a des frequences discretes (si sans pertes)
Les frequences de coupure :
fmnl =ckmnl
2π√µrεr
=c
2π√µrεr
√(mπa
)2+(nπb
)2+
(lπ
d
)2
Mode dominant TE : TE101 (b < a < d)
Mode dominant TM : TM110 (b < a < d)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 26 / 48
Resonateur en guide rectangulaire
Modes resonants
TE :
m = 0, 1, 2, · · ·n = 0, 1, 2, · · ·l = 1, 2, 3, · · ·
Premiers modes : TE101, TE011
On ne peut pas avoir m = n = 0
TM :
m = 1, 2, 3, · · ·n = 1, 2, 3, · · ·l = 0, 1, 2, · · ·
Premiers modes : TM110, TM010
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 27 / 48
Resonateur en guide rectangulaire
Facteur de qualite du mode TE10l
Q =2ω0We
Pl
ou
We =1
4ε
∫∫∫EyE
∗ydV
etPl = Pc + Pd
les pertes dues au conducteur et au dielectrique
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 28 / 48
Resonateur en guide rectangulaire
Facteur de qualite du mode TE10l
Pertes du conducteur :
Qc =2ω0We
Pc=
(kad)3bη
2π2Rs
1
2l2a3b+ 2bd3 + l2a3d+ ad3
Pertes du dielectrique :
Qd =2ωWe
Pd=ε′
ε′′=
1
tan δ
Lorsque les deux types de pertes sont presentes, Q total est :
Q =
(1
Qc+
1
Qd
)−1
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 29 / 48
Cavite cylindrique
Cavite cylindrique
Guide circulaire terminee par 2 court-circuits :
x
z
a
dφ
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 30 / 48
Cavite cylindrique
Cavite cylindrique
La frequence de resonance du mode TEnml est
fmnl =c
2π√µrεr
√(p′nma
)2
+
(lπ
d
)2
et la frequence de resonance du mode TMnml est
fmnl =c
2π√µrεr
√(pnma
)2+
(lπ
d
)2
Mode dominant TE : TE111 ; Mode dominant TM : TM110
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 31 / 48
Cavite cylindrique
Cavite cylindrique : modes resonants
0 1 2 3 4 5 6 70
500
1,000
1,500
2,000
TE111TE211
TE 2
12
TE 1
12
TM010
TM110
TM011
TE011, TM111
TM112
TM012
(2a/d)2
(2af
)2(G
Hz-
cm)2
Pour trouver les modes qui resonent a telle frequence, pour une dimensiondonnee
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 32 / 48
Cavite cylindrique
Facteur de qualite
Le facteur de qualite du au conducteur est :
Qc =ω0W
Pc=
(ka)3ηad
4(p′nm)2Rs
1−(
np′nm
)2da2
[1 +
(βan
(p′nm)2
)2]+(βa2
p′nm
)2 (1− n2
(p′nm)2
)Facteur de qualite du dielectrique :
Qd =2ωWe
Pd=ε′
ε′′=
1
tan δ
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 33 / 48
Cavite cylindrique
Facteur de qualite
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.2
0.4
0.6
0.8
TE011
TE012
TE111
TM010
2a/d
QR
s/πη
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 34 / 48
Cavite cylindrique
Cavite cylindrique
Dans la bande 1 GHz a 20 GHz : Q du TE101 est 1000 a 5000
Avec le mode TE011, Q peut approcher 50 000
Permet des mesures tres precises de frequence : BW = 0.2 MHz
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 35 / 48
Couplage des resonateurs
Couplage des resonateurs
Coupler l’energie d’une source au resonateur
Circuit externe necessaire
Depend du type de resonateur
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 36 / 48
Couplage des resonateurs
Ligne resonante
Couplagecapacitif
Lignemicroruban
a) Ligne microruban
Caviteresonante
Guide d’ondeouverture
b) Ouverture dans un guide
Caviteresonante
c) Cable coaxial
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 37 / 48
Couplage des resonateurs
Couplage direct
Ligne de transmission couplee directement :
Vg
Rg
Generateur
RG
Ligne de sortie
Z0
Resonateur
l
faibles pertes α
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 38 / 48
Couplage des resonateurs
Modelisation
Modelise comme un circuit RLC serie, ou
R1 = αlZ0 =2n− 1
4αλgZ0
L1 =QrR1
ωr=
2n− 1
4
π
ωrZ0
C1 =1
ω2rL1
=4
(2n− 1)πωrZ0
R1 represente les pertes (faibles) du resonateur
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 39 / 48
Couplage des resonateurs
Circuit equivalent
+
RG R1 L1
C1
−
Vg
Generateur
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 40 / 48
Couplage des resonateurs
Facteur de qualite
Le facteur de qualite du circuit avec charge est :
QL =ωrL
R=
ωrL1
R1 +RG
Typiquement, RG = 50 Ω, et R1 < 1 Ω (faibles pertes), donc :
QL ≈ωrL1
RG=
(2n− 1)π
4
Z0
RG
Pour avoir un resonateur le plus court possible, n = 1, et puisqueZ0/RG ≈ 1,
QL ≈π
4< 1
→ peu utile en pratique !
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 41 / 48
Couplage des resonateurs
Facteur de qualite
Pour ameliorer Q :
Reduire Rg
Augmenter Z0
Augmenter n
Trois options peu pratiques
On utilise une capacitance entre le generateur et la source
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 42 / 48
Couplage des resonateurs
Couplage avec condensateur
Vg
RgCg
Generateur
RG
Ligne de sortie
Z0
Resonateur
l
Zin = jX
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 43 / 48
Couplage des resonateurs
Facteur de qualite
Si R1 est faible, Qr du resonateur sera eleveCg va modifier le facteur de qualite externe Qe de la combinaisoncondensateur-resonateur.
1
QL=
1
Qr+
1
Qe
Si Qr est eleve, QL ≈ Qe : resonateur sans pertes.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 44 / 48
Couplage des resonateurs
Resonance
L’impedance Zin appliquee au generateur est purement reactive :
Zin = jX = j
(− 1
ωCg− Z0 cot(βl)
)La resonance a lieu lorsque X = 0 :
− 1
ωCg= Z0 cot(βl)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 45 / 48
Couplage des resonateurs
Facteur de qualite
On doit recalculer le facteur de qualite avec Cg :
Qe =Z0
2Rg
[1
ωrCgZ0+ βrl
(1 +
(1
ωrCgZ0
)2)]
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 46 / 48
Conclusion
Conclusion
Les points cles de ce chapitre sont :
Utilisation de lignes de transmission comme resonateurs
Cavites resonantes
Couplage de resonateurs a l’aide de condensateurs
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 47 / 48
Problemes suggeres
Problemes suggeres
Dans le manuel de Pozar :
6.1, 6.5, 6.6, 6.9, 6.14, 6.15
Et aussi les exemples en classe.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 4 Hiver 2012 48 / 48