ELEKTRONIKA DIGITAL

Hak cipta pada penulisHak penerbitan pada penerbit

Tidak boleh diproduksi sebagian atau seluruhnya dalam bentuk apapunTanpa izin tertulis dari pengarang dan/atau penerbit

Kutipan Pasal 72 :Sanksi pelanggaran Undang-undang Hak Cipta (UU No. 10 Tahun 2012)

1. Barang siapa dengan sengaja dan tanpa hak melakukan perbuatan sebagaimana dimaksud dalam Pasal 2 ayat (1) atau Pasal (49) ayat (1) dan ayat (2) dipidana dengan pidana penjara masing-masing paling singkat 1 (satu) bulan dan/atau denda paling sedikit Rp. 1. 000.000,00 (satu juta rupiah), atau pidana penjara paling lama 7 (tujuh) tahun dan atau denda paling banyak Rp. 5. 000.000.000,00 (lima miliar rupiah)

2. Barang siapa dengan sengaja menyiarkan, memamerkan, mengedarkan, atau menjual kepada umum suatu Ciptaan atau hasil barang hasil pelanggaran Hak Cipta atau Hak Terkait sebagaimana dimaksud ayat (1) dipi-dana dengan pidana penjara paling lama 5 (lima) tahun dan/atau denda paling banyak Rp. 500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah)

PUSAKA MEDIA

ELEKTRONIKA DIGITAL

UNTUK MAHASISWA DAN UMUM

Dr. JUNAIDI, S.Si., M.Sc.

Perpustakaan Nasional RI: Katalog Dalam Terbitan (KDT)

ELEKTRONIKA DIGITAL

PenulisDr. JUNAIDI, S.Si., M.Sc.

Desain Cover & LayoutPusaka Media Design

vi + 135 hal : 15,5 x 23 cmCetakan Februari 2018

ISBN: 978-602-5420-78-8

PenerbitPusaka MediaJl. Endro Suratmin, Pandawa Raya No. 100Korpri Jaya Sukarame Bandarlampung082280035489email : cspusakamedia@yahoo.comWebsite : www.pusakamedia.com

Dilarang mengutip atau memperbanyak sebagian atau seluruh isi buku ini tanpa izin tertulis dari penerbit

v

Bismillahirrohmannirrohiim

Assalamu ‘Alaikum wr.wb.

Puji syukur kehadirat Allat SWT yang telah memberikan rahmat

dan karunia-NYA, sehingga kami mampu menyelesaikan

penerbitan Buku Elektronika Digital (Teori dan Aplikasi) untuk

Mahasiswa dan Umum.

Buku ini menjelaskan tentang konsep dasar bilangan digital dan

aplikasinya dalam sistem atau elektronika digital. Elektronika

digital adalah suatu ilmu yang membahas tentang berbagai piranti

digital, seperti komputer, sistem memori, dekoder-enkoder,

multiflexer, dan lain-lain. Buku ini lebih menekankan kepada

pemahaman dasar terkait sistem digital untuk aplikasi pada bidang

fisika dan instrumentasi. Buku ini membahas tentang system

bilangan, gerbang logika, aljabar Boole, dan minimalisasi fungsi

Boole.

Akhirnya kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak

yang turut membantu dalam penulisan dan penerbitan buku ini.

Kami sadari, masih banyak kekurangan dan kelemahan dalam

penyusunan buku ini. Semoga buku ini dapat memberikan manfaat

bagi kita semua.

Bandar Lampung, 25 November 2017 Penulis, Dr. Junaidi, S.Si., M.Sc.

vi

KATA PENGANTAR ................................................................................ v

DAFTAR ISI .............................................................................................. vi

BAB 1 SISTEM BILANGAN ...................................................................... 1

1.1 Sistem Bilangan Basis-10 (Desimal) ............................................... 1

1.2 Sistem Bilangan Basis-n .................................................................. 2

1.3 Operasi Aritmatika dalam system bilangan basis-n ......................... 4

1.4 Sistem Bilangan Negatif ................................................................... 6

1.5 Bilangan Decimal Dikodekan Biner (BCD) ...................................... 7

BAB 2 GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLE........................... 11

2.1 Inverter ........................................................................................... 12

2.1 Gerbang OR (A + B) ...................................................................... 14

2.3 Gerbang AND (A ● B) .................................................................... 16

2.4 Gerbang Exclusive OR (XOR) ....................................................... 19

2.5 Gerbang Not OR (NOR) ................................................................ 21

2.6 Gerbang Not AND (NAND) ............................................................ 25

2.7 Gerbang EXCLUSIVE NOR (X-NOR) ........................................... 28

BAB 3 MINIMALISASI FUNGSI BOOLE ................................................ 47

3.1 Minimalisasi dengan Fungsi MINTERM ........................................ 47

3.2 Minimalisasi dengan Fungsi MAXTERM ....................................... 55

3.3 Penyederhanaan Aljabar Boole ..................................................... 60

DAFTAR PUSTAKA

1

Sistem bilangan atau number sistem adalah deretan angka-

angka yang digunakan untuk mewakili besaran dari suatu sistem fisik.

Sistem bilangan menggunakan suatu bilangan dasar atau basis

(base/radix) yang tertentu. Komponen atau angka-angka yang tercantum

dalam sistem bilangan umumnya diwakilkan dengan deretan angka yang

memiliki bentuk umum 0, 1, … N-1. Dimana N adalah basis bilangan

yang diinginkan. Misalkan sistem bilangan dengan basis-5, maka akan

memiliki wakilan deratan angka dari 0, 1, 2, 3, dan 4 (N-1 = 5-1 = 4).

Artinya, sistem bilangan basis-5 memiliki angka maksimum sebesar 4

dengan jumlah deret angka sebanyak 5 dan seterusnya.

1.1 Sistem Bilangan Basis-10 (Desimal) Sistem bilangan desimal (Basis-10) adalah sistem bilangan yang

paling umum digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Sistem bilangan

desimal menggunakan basis-10 dan menggunakan 10 macam simbol

bilangan yaitu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Sistem bilangan desimal

dapat berupa integer desimal (decimal integer) dan dapat juga berupa

pecahan desimal (decimal fraction). Sebagai contoh adalah deretan

angka 897342. Angka-angka tersebut apabila dijabarkan akan memiliki

bentuk: n-1 n-2 n-3 n-na×basis +b×basis +c×basis +...+z×basis (1.1)

Dari contoh di atas, deretan angka 897342 memiliki jumlah deret

angka sebanyak 6 digit (n). Sehingga pangkat pada bilangan pertamanya

adalah 5 (6-1). Sehingga deretan angka 897342 dapat dijabarkan

sebagai berikut: 5 4 3 2 1 08×10 +9×10 +7×10 +3×10 +4×10 +2×10 (1.2)

2 S I S T E M B I L A N G A N

Selain dengan cara penulisan di atas, untuk melihat nilai bilangan

desimal dapat digunakan perhitungan seperti berikut: 5

4

3

2

1

0

8×10 =8000009×10 = 900007×10 = 70003×10 = 2004×10 = 402×10 = 2

897342

1.2 Sistem Bilangan Basis-n

Sama halnya denga sistem bilangan basis-10, sistem bilangan

basis-n adalah sistem bilangan dengan basis sembarang. Dimana n

merupakan wakilan dari nilai basis (radix) nya. Dalam ilmu computer dan

teknonolgi digital, sistem bilangan yang umum digunakan selaian basis-

10 adalah basis-2 (biner), basis-8 (oktal), dan basis-16 (hexadesimal).

Sistem bilangan biner atau sistem bilangan basis-2 adalah

sebuah sistem penulisan angka dengan menggunakan dua simbol yaitu 0

dan 1. Sistem bilangan biner modern ditemukan oleh Gottfried Wilhelm

Leibniz pada abad ke-17. Sistem bilangan ini merupakan dasar dari

semua sistem bilangan berbasis digital. Dari sistem biner, kita dapat

mengkonversinya ke sistem bilangan Oktal atau Hexadesimal. Sistem ini

juga dapat kita sebut dengan istilah bit atau Binary Digit. Pengelompokan

biner dalam komputer selalu berjumlah 8, dengan istilah 1 Byte. Dalam

istilah komputer, 1 Byte serata dengan 8 bit. Kode-kode rancang bangun

komputer, seperti kode ASCII (American Standard Code for Information

Interchange) menggunakan sistem peng-kode-an 1 Byte.

Perhitungan dalam sistem bilangan biner mirip dengan

menghitung dalam sistem bilangan desimal. Dimulai dengan angka

pertama, dan angka selanjutnya. Dalam sistem bilangan desimal,

perhitungan menggunakan angka 0 sampai 9, sedangkan dalam biner

hanya menggunakan angka 0 dan 1.

3

Selain dengan cara penulisan di atas, untuk melihat nilai bilangan

desimal dapat digunakan perhitungan seperti berikut: 5

4

3

2

1

0

8×10 =8000009×10 = 900007×10 = 70003×10 = 2004×10 = 402×10 = 2

897342

1.2 Sistem Bilangan Basis-n

Sama halnya denga sistem bilangan basis-10, sistem bilangan

basis-n adalah sistem bilangan dengan basis sembarang. Dimana n

merupakan wakilan dari nilai basis (radix) nya. Dalam ilmu computer dan

teknonolgi digital, sistem bilangan yang umum digunakan selaian basis-

10 adalah basis-2 (biner), basis-8 (oktal), dan basis-16 (hexadesimal).

Sistem bilangan biner atau sistem bilangan basis-2 adalah

sebuah sistem penulisan angka dengan menggunakan dua simbol yaitu 0

dan 1. Sistem bilangan biner modern ditemukan oleh Gottfried Wilhelm

Leibniz pada abad ke-17. Sistem bilangan ini merupakan dasar dari

semua sistem bilangan berbasis digital. Dari sistem biner, kita dapat

mengkonversinya ke sistem bilangan Oktal atau Hexadesimal. Sistem ini

juga dapat kita sebut dengan istilah bit atau Binary Digit. Pengelompokan

biner dalam komputer selalu berjumlah 8, dengan istilah 1 Byte. Dalam

istilah komputer, 1 Byte serata dengan 8 bit. Kode-kode rancang bangun

komputer, seperti kode ASCII (American Standard Code for Information

Interchange) menggunakan sistem peng-kode-an 1 Byte.

Perhitungan dalam sistem bilangan biner mirip dengan

menghitung dalam sistem bilangan desimal. Dimulai dengan angka

pertama, dan angka selanjutnya. Dalam sistem bilangan desimal,

perhitungan menggunakan angka 0 sampai 9, sedangkan dalam biner

hanya menggunakan angka 0 dan 1.

Sebagai contoh adalah deratan angka 111000111001 (12 digit).

Apabila angka-angka tersebut dikonversikan menjadi sistem bilangan

decimal, maka sesuai dengan persamaan (1.1), maka dapat dapat ditulis

sebagai berikut: 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0N =1×2 +1×2 +1×2 +0×2 +0×2 +0×2 +1×2 +1×2 +1×2 +0×2 +0×2 +1×2

= 2048+1024+512+0+0+0+32+16+8+0+0+0+1=3641(desimal)

Dalam sistem komunikasi digital modern, dimana data

ditransmisikan dalam bentuk bit-bit biner, dibutuhkan sistem yang tahan

terhadap noise yang terdapat di kanal transmisi sehingga data yang

ditransmisikan tersebut dapat diterima dengan benar. Kesalahan dalam

pengiriman atau penerimaan data merupakan permasalahan yang

mendasar yang memberikan dampak yang sangat signifikan pada sistem

komunikasi. Biner yang biasa dipakai itu ada 8 digit angka dan cuma

berisikan angka 1 dan 0, tidak ada angka lainnya.

Sistem bilangan basis-8 (octal) dan sistem bilangan basis-16

(hexadecimal) merupakan sistem bilangan yang juga penting dalam

teknologi elektronika dan computer digital. Kedua sistem bilangan ini

memiliki hubungan yang saling terkait dengan sistem bilangan biner.

Bilangan 8 = 23, setiap digit bilangan octal sesuai dengan tiga digit

bilangan biner (binary digit/bit). Ketentuan atau cara konversi bilangan

biner ke bilangan octal adalah dengan pengelompokan bilangan biner

menjadi kelompok 3-bit. Sebagai contoh adalah bilangan berikut:

Contoh-1: Ubahlah bilangan basis-2 dari 111001010011,0101100112

menjadi bilangan basis-8 (octal)!

Penyelesaian:

111 001 010 011, 010 110 011 BINER 7 1 2 3, 2 6 3 OCTAL

Jadi: 111001010011,0101100112 = 7123,2638

= = =

4 S I S T E M B I L A N G A N

1.3 Operasi Aritmatika dalam system bilangan basis-n

Operasi aritmatika adalah hal yang mudah dalam bilangan basis-

10. Untuk bilangan basis-n, operasi aritmatika memiliki aturan yang tidak

jauh berbeda. Pada bilangan basis-n, hasil operasi tidak diperbolehkan

melebihi angka tertinggi dari system bilangan basis-n tersebut. Sebagai

contoh, bilangan basis-8 (octal) akan memiliki angka tertinggi n-1 = 8-1 =

7. Ketika operasi aritmatika menghasilkan angka lebih tinggi dari 7, maka

hasil tersebut dituliskan berulang ke angka nol dengan menambahkan

angka pada digit di belakang. Tabel 1 merupakan contoh operasi

aritmatika untuk system bilangan basis-2 dan basis-4.

Tabel Operasi aritmatika pada system bilangan basis-2 dan basis-4

Contoh-2:

Kerjakan operasi aritmatika berikut dalam system bilangan basis-2

(biner):

a) 24 + 10 (decimal)

b) 24 - 11 (decimal)

c) 24 x 11 (decimal)

+ 0 1 0 00 01 1 01 10

x 0 1 0 00 00 1 00 01

+ 0 1 2 3 0 00 01 02 03 1 01 10 03 10 2 02 03 10 11 3 03 10 11 12

x 0 1 2 3 0 00 00 00 00 1 00 01 02 03 2 00 02 10 12 3 00 03 12 21

5

1.3 Operasi Aritmatika dalam system bilangan basis-n

Operasi aritmatika adalah hal yang mudah dalam bilangan basis-

10. Untuk bilangan basis-n, operasi aritmatika memiliki aturan yang tidak

jauh berbeda. Pada bilangan basis-n, hasil operasi tidak diperbolehkan

melebihi angka tertinggi dari system bilangan basis-n tersebut. Sebagai

contoh, bilangan basis-8 (octal) akan memiliki angka tertinggi n-1 = 8-1 =

7. Ketika operasi aritmatika menghasilkan angka lebih tinggi dari 7, maka

hasil tersebut dituliskan berulang ke angka nol dengan menambahkan

angka pada digit di belakang. Tabel 1 merupakan contoh operasi

aritmatika untuk system bilangan basis-2 dan basis-4.

Tabel Operasi aritmatika pada system bilangan basis-2 dan basis-4

Contoh-2:

Kerjakan operasi aritmatika berikut dalam system bilangan basis-2

(biner):

a) 24 + 10 (decimal)

b) 24 - 11 (decimal)

c) 24 x 11 (decimal)

+ 0 1 0 00 01 1 01 10

x 0 1 0 00 00 1 00 01

+ 0 1 2 3 0 00 01 02 03 1 01 10 03 10 2 02 03 10 11 3 03 10 11 12

x 0 1 2 3 0 00 00 00 00 1 00 01 02 03 2 00 02 10 12 3 00 03 12 21

Penyelesaian:

(a)

(b)

(c)

2 / 24 sisa: / ---- 2 / 12 A0 = 0 / ---- 2 / 6 A1 = 0 / ---- 2 / 3 A2 = 0 / ---- 1 A3 = 1

24 (decimal) = 11000 (biner)

2 / 11 sisa: 2 / 10 sisa: / ---- / ---- 2 / 5 A0 = 1 2 / 5 A0 = 0 / ---- / ---- 2 / 2 A1 = 1 2 / 2 A1 = 1 / ---- / ---- 1 A2 = 0 1 A2 = 0

11 (decimal) = 1011 (biner) 10 (decimal) = 1010 (biner)

2 / 11 sisa: 2 / 10 sisa: / ---- / ---- 2 / 5 A0 = 1 2 / 5 A0 = 0 / ---- / ---- 2 / 2 A1 = 1 2 / 2 A1 = 1 / ---- / ---- 1 A2 = 0 1 A2 = 0

11 (decimal) = 1011 (biner) 10 (decimal) = 1010 (biner)

6 S I S T E M B I L A N G A N

1.4 Sistem Bilangan Negatif

Bilangan negatif dalam basis-2 sama pentingnya dengan

bilangan negatif decimal. Sebagai contoh, dalam penjumlahan satu

bilangan positif dan bilangan negatif, bilangan yang lebih besar dikurangi

bilanagan yang lebih kecil.

Bilangan negatif dalam sistem bilangan biner yang disebut

sebagai pemenuh-2 (2’s complement). Untuk mendapatkan pemenuh-2

dapat dilakukan dengan dua cara/metoda.

Contoh-3:

Konvensikan bilangan -2610 menjadi bilangan biner!

Cara 1:

Cara 2:

Masing-masing bit pada bilangan biner tersebut dibalik, yaitu bila

bit 0 diubah menjadi bit 1, dan untuk bit satu diubah menjadi bit

0. Setelah dikerjakan pada setiap bit kemudian bilangan yang

telah dibalik bitnya tersebut ditambah 1 (bit satu) pada LSB-nya.

Mari kita perhatikan operasi berikut:

2 / 26 sisa: / ---- 2 / 13 A0 = 0 / ---- 2 / 6 A1 = 1 / ---- 2 / 3 A2 = 0 / ---- 1 A3 = 1

7

1.4 Sistem Bilangan Negatif

Bilangan negatif dalam basis-2 sama pentingnya dengan

bilangan negatif decimal. Sebagai contoh, dalam penjumlahan satu

bilangan positif dan bilangan negatif, bilangan yang lebih besar dikurangi

bilanagan yang lebih kecil.

Bilangan negatif dalam sistem bilangan biner yang disebut

sebagai pemenuh-2 (2’s complement). Untuk mendapatkan pemenuh-2

dapat dilakukan dengan dua cara/metoda.

Contoh-3:

Konvensikan bilangan -2610 menjadi bilangan biner!

Cara 1:

Cara 2:

Masing-masing bit pada bilangan biner tersebut dibalik, yaitu bila

bit 0 diubah menjadi bit 1, dan untuk bit satu diubah menjadi bit

0. Setelah dikerjakan pada setiap bit kemudian bilangan yang

telah dibalik bitnya tersebut ditambah 1 (bit satu) pada LSB-nya.

Mari kita perhatikan operasi berikut:

2 / 26 sisa: / ---- 2 / 13 A0 = 0 / ---- 2 / 6 A1 = 1 / ---- 2 / 3 A2 = 0 / ---- 1 A3 = 1

Contoh-4:

Konversikan bilangan decimal berikut ke pemenuh-2 (komplemen-2):

a) -8 b) -25

Penyelesaian:

a) 8 (decimal) = 1000 (biner)

b) 25 (decimal) = 11001 (biner)

1.5 Bilangan Decimal Dikodekan Biner (BCD)

Bilangan decimal yang dikodekan biner (BCD: binary-coding

decimal) adalah salah suatu bentuk pengkodean suatu sistem bilangan

8 S I S T E M B I L A N G A N

yang juga berfungsi pada beberapa sistem mesin (komputer), yang biasa

juga disebut sebagai mesin decimal. Setiap digit dari sistem bilangan

decimal dikodekan menjadi 4-bit BCD. Selengkapnya dapat kita

perhatikan Tabel 2.

Tabel konversi decimal dan BCD

Bilangan decimal B C D 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001

Contoh-5:

Konversikan bilangan decimal berikut ke BCD:

a) 2867 b) 3066 c) 512 d) 51087

Penyelesaian:

a) 2867 (decimal) = 0010 1000 0110 0111 (BCD) b) 3066 (decimal) = 0011 0000 0110 0110 (BCD) c) 512 (decimal) = 0101 0001 0010 (BCD) d) 51087 (decimal) = 0101 0001 0000 1000 0111 (BCD)

Contoh-6:

Kerjakanlah operasi aritmatika decimal berikut sebagai operasi BCD:

a) 614 – 387 b) 298 + 173

9

yang juga berfungsi pada beberapa sistem mesin (komputer), yang biasa

juga disebut sebagai mesin decimal. Setiap digit dari sistem bilangan

decimal dikodekan menjadi 4-bit BCD. Selengkapnya dapat kita

perhatikan Tabel 2.

Tabel konversi decimal dan BCD

Bilangan decimal B C D 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001

Contoh-5:

Konversikan bilangan decimal berikut ke BCD:

a) 2867 b) 3066 c) 512 d) 51087

Penyelesaian:

a) 2867 (decimal) = 0010 1000 0110 0111 (BCD) b) 3066 (decimal) = 0011 0000 0110 0110 (BCD) c) 512 (decimal) = 0101 0001 0010 (BCD) d) 51087 (decimal) = 0101 0001 0000 1000 0111 (BCD)

Contoh-6:

Kerjakanlah operasi aritmatika decimal berikut sebagai operasi BCD:

a) 614 – 387 b) 298 + 173

Penyelesaian:

SOAL LATIHAN: SISTEM BILANGAN 1. Konversikan bilangan berbasis 10 berikut ke basis 2.

a. 653 c. 94 e. 964

b. 13 d. 356 f. 286

2. Ulangi soal nomor 1 untuk konversi ke octal.

3. Ulangi soal nomor 1 untuk konversi ke hexadecimal

4. Ulangi soal nomor 1 untuk konversi ke BCD

5. Konversikan bilangan berbasis 10 berikut ke basis 2 sampai

minimum delapan bit di belakang koma.

a. 653,61 c. 43,32 e. 19,61

b. 0,00625 d. 0,51 f. 0,15

6. Konversikan bilangan berbasis 8 berikut ke basis 2

a. 734 c. 123 e. 27

b. 671 d. 2672 f. 36734

7. Ulangi soal nomor 6 untuk konversi ke basis 10

8. Ulangi soal nomor 6 untuk konversi ke hexadecimal

9. Ulangi soal nomor 6 untuk konversi ke BCD

10. Konversikan bilangan hexadecimal berikut ke basis 2

a. 8A71 c. 98AC e. AE3

b. A2E d. 1867F f. 71CB

11. Ulangi soal nomor 10 untuk konversi ke basis 8

10 S I S T E M B I L A N G A N

12. Bilangan hexadecimal di bawah ini konversikan ke decimal

a. A1 c. 71 e. 1CE

b. 9F d. 15 f. 2A1

13. Ulangi soal nomor 12 untuk konversi ke BCD

14. Ekspresikan bilangan berbasis 2 berikut ke decimal

a. 10101110.01101

b. 1110001.1010

c. 101011.1101

d. 111011.1011

e. 10001.0001

f. 110011.1001

11

12. Bilangan hexadecimal di bawah ini konversikan ke decimal

a. A1 c. 71 e. 1CE

b. 9F d. 15 f. 2A1

13. Ulangi soal nomor 12 untuk konversi ke BCD

14. Ekspresikan bilangan berbasis 2 berikut ke decimal

a. 10101110.01101

b. 1110001.1010

c. 101011.1101

d. 111011.1011

e. 10001.0001

f. 110011.1001

Suatu pernyataan dinyatakan benar bila sesuai dengan

kenyataan dan sebaliknya. Logika benar dan salah (dua-keadaan)

tersebut memberikan suatu pemikiran besar. Pada tahun 1854, George

Boole memberikan teori simbol logika yang sekarang kita kenal sebagai

aljabar Boole. Aljabar Boole memakai huruf dan simbol lainnya untuk

menyatakan hubungan logikanya. Hal yang sangat penting pada aljabar

Boole adalah suatu variabel mempunyai salah satu harga benar atau

salah. Berdasarkan pada teori tersebut kemudian direalisasikan gerbang-

gerbang logika yang merupakan komponen dasar dari komputer digital.

Tujuan dari penyederhanaan rangkaian logika adalah untuk

mencari suatu rangkaian logika yang lebih sederhana dan merupakan

sarana yang digunakan untuk melakukan transpormasi dari tabel

kebenaran menjadi rangkaian logika praktis dalam segi rangkaian dan

penggunaan IC-nya.Pada jaringan logika dua-keadaan tersebut

dinyatakan dengan tegangan (rendah atau tinggi / level tegangan), yang

disimbolkan dalam biner sebagai 0 (low) atau 1 (high). Gerbang logika

dasar umumnya terdiri dari: (1) inverter (gerbang NOT), (2) gerbang OR,

(3) gerbang AND, dan (4) gerbang Exclusive-OR (X-OR). Dari kombinasi

gerbang-gerbang tersebut akan dibentuk gerbang-gebang logika lainnya,

seperti gerbang NOT-OR (NOR), gerbang NOT-AND (NAND), gerbang

Exclusive-NOT-OR (X-NOR), flip-flop, berbagai rangkaian register dan

lain sebagainya yang merupakan bagian penting dari system komputer

digital.

Gerbang logika merupakan bentuk dasar sistem digital.

Tegangan yang digunakan dalam gerbang logika adalah TINGGI (HIGH)

atau RENDAH (LOW). Tegangan tinggi berarti 1, sedangkan tegangan

rendah berarti 0. Pada dasarnya rangkaian logika (digital) dibentuk dari

12 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E

berapa gabungan komponen elektronik yang terdiri dari macam-macam

gerbang (gate) dan rangkaian-rangkaian lainnya, sehingga membentuk

rangkaian elektronika yang bersifat rumit dan kompleks. Untuk mengatasi

hal tersebut dipergunakan berapa metode penyederhanaan rangkaian

logika. Dalam penyederhanaan rangkaian logika dapat menggunkan

cara, diantaranya: (a) Metode Aljabar Boole (teori de morgan), (b)

Metode Peta Karnaugh (karnaugh map), dan (c) Metode Minterm dan

Maksterm.

2.1 Inverter

Suatu gerbang tersusun atas jaringan logika dengan satu sinyal

masukan atau lebih dengan satu sinyal keluaran. Sinyal tersebut

merupakan level tegangan, yaitu: rendah atau tinggi. Inverter merupakan

gerbang logika yang mempunyai satu sinyal masukan dan satu sinyal

keluaran. Sinyal keluaran dari gerbang inverter ini selalu berlawanan

dengan sinyal masukan. Oleh sebab itu pula inverter sering disebut

sebagai gerbang NOT.

Gambar 2.1 Simbol dari Gerbang inverter (NOT)

Bila dua gerbang inverter disusun rangkap seperti pada Gambar

2.1, maka didapatkan gerbang non-inverter. Gerbang non-inverter ini

juga sering disebut rangkaian buffer atau penguat tak membalik (non-

inverting amplifier). Bufffer akan selalu memberikan sinyal keluaran yang

sama dengan sinyal masukan.

13

berapa gabungan komponen elektronik yang terdiri dari macam-macam

gerbang (gate) dan rangkaian-rangkaian lainnya, sehingga membentuk

rangkaian elektronika yang bersifat rumit dan kompleks. Untuk mengatasi

hal tersebut dipergunakan berapa metode penyederhanaan rangkaian

logika. Dalam penyederhanaan rangkaian logika dapat menggunkan

cara, diantaranya: (a) Metode Aljabar Boole (teori de morgan), (b)

Metode Peta Karnaugh (karnaugh map), dan (c) Metode Minterm dan

Maksterm.

2.1 Inverter

Suatu gerbang tersusun atas jaringan logika dengan satu sinyal

masukan atau lebih dengan satu sinyal keluaran. Sinyal tersebut

merupakan level tegangan, yaitu: rendah atau tinggi. Inverter merupakan

gerbang logika yang mempunyai satu sinyal masukan dan satu sinyal

keluaran. Sinyal keluaran dari gerbang inverter ini selalu berlawanan

dengan sinyal masukan. Oleh sebab itu pula inverter sering disebut

sebagai gerbang NOT.

Gambar 2.1 Simbol dari Gerbang inverter (NOT)

Bila dua gerbang inverter disusun rangkap seperti pada Gambar

2.1, maka didapatkan gerbang non-inverter. Gerbang non-inverter ini

juga sering disebut rangkaian buffer atau penguat tak membalik (non-

inverting amplifier). Bufffer akan selalu memberikan sinyal keluaran yang

sama dengan sinyal masukan.

Gambar 2.2 Simbol rangkaian buffer

Untuk membangun sebuah gerbang inverter, dapat dilakukan

dengan cara menyusun rangkaian dasar yang terdiri dari resistor dan

transistor seperti ditunjukkan pada Gambar 2.3(a). Kombinasi 6 buah

rangkaian dasar gerbang inverter akan membentuk suatu konfigurasi

yang dikemas dalam bentuk IC tipe 74LS04 seperti tampak pada Gambar

2.3(b).

Gambar 2.3 (a) Rangkaian dasar gerbang inverter (NOT) dan (b) IC gerbang logika inverter 74LS04

Tabel kebenaran inverter Vin Vout

0 1

1 0

Tabel kebenaran buffer Vin Vout

0 0

1 1

R110k

R24,7k

A

VCC

Q

Q12N2222

14 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E

2.1 Gerbang OR (A + B)

Gerbang OR mempunyai dua sinyal masukan atau lebih. Prinsip

dasar dari gerbang OR adalah rangkaian paralel dari dua atau lebih

pensaklaran. Apabila salah satu saklar dalam kondisi ON, maka arus

listrik akan mengalir melalui saklar yang kondisinya ON dan target

keluaran akan aktif menyala. Artinya, jika ada sinyal masukan yang tinggi

(berlogika 1) maka sinyal keluaran akan tinggi. Hal ini akan lebih jelas

lagi jika kita perhatikan gambar gerbang OR dan tabel untuk beberapa

masukan berikut:

Gambar 2.4 Rangkaian Dasar Gerbang Logika OR

Tabel kebenaran gerbang OR untuk 2 buah masukan (Y = A + B)

A B Y

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

VR1

10k

D1

1N4007

D2

1N4007

QA

B

Q1

2N2222

Q2

2N2222

R110k

R210k

R310k

Q

VCC

A

B

15

2.1 Gerbang OR (A + B)

Gerbang OR mempunyai dua sinyal masukan atau lebih. Prinsip

dasar dari gerbang OR adalah rangkaian paralel dari dua atau lebih

pensaklaran. Apabila salah satu saklar dalam kondisi ON, maka arus

listrik akan mengalir melalui saklar yang kondisinya ON dan target

keluaran akan aktif menyala. Artinya, jika ada sinyal masukan yang tinggi

(berlogika 1) maka sinyal keluaran akan tinggi. Hal ini akan lebih jelas

lagi jika kita perhatikan gambar gerbang OR dan tabel untuk beberapa

masukan berikut:

Gambar 2.4 Rangkaian Dasar Gerbang Logika OR

Tabel kebenaran gerbang OR untuk 2 buah masukan (Y = A + B)

A B Y

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

VR1

10k

D1

1N4007

D2

1N4007

QA

B

Q1

2N2222

Q2

2N2222

R110k

R210k

R310k

Q

VCC

A

B

Tabel kebenaran gerbang OR untuk 3 buah masukan (Y = A + B + C)

A B C Y

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

Tabel kebenaran gerbang OR untuk 4 buah masukan (Y = A + B + C + D)

A B C D Y

0 0 0 0 0

0 0 0 1 1

0 0 1 0 1

0 0 1 1 1

0 1 0 0 1

0 1 0 1 1

0 1 1 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 1

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1

1 0 1 1 1

1 1 0 0 1

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

16 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E

Jumlah keluaran untuk n buah masukan terdiri dari 2 pangkat n

(2n). Misalkan untuk gerbang logika dengan 2 buah masukan, maka

jumlah keluaranya akan memiliki 22 = 4 buah keluaran dan seterusnya.

Kumpulan dari 4 buah gerbang logika dasar OR dikemas dalam sebuah

IC gerbang logika tipe 74LS32 seperti ditunjukkan pada gambar di

bawah.

Gambar 2.5 Konfigurasi pin IC 74LS32

2.3 Gerbang AND (A ● B)

Sama halnya dengan gerbang OR, gerbang AND mempunyai

dua sinyal masukan atau lebih. Prinsip kerja dari rangkaian dasar

gerbang AND adalah system saklar yang dirangkai secara serial. Sinyal

keluaran untuk system saklar model seperti ini akan aktif manakala

semua saklar dalam kondisi ON. Jika semua sinyal masukan tinggi maka

sinyal keluaran akan tinggi. Untuk lebih jelas kita perhatikan gambar dan

tabel berikut :

IC 74LS32

OutputInput Y

C

BA 1

23

45

6

17

Jumlah keluaran untuk n buah masukan terdiri dari 2 pangkat n

(2n). Misalkan untuk gerbang logika dengan 2 buah masukan, maka

jumlah keluaranya akan memiliki 22 = 4 buah keluaran dan seterusnya.

Kumpulan dari 4 buah gerbang logika dasar OR dikemas dalam sebuah

IC gerbang logika tipe 74LS32 seperti ditunjukkan pada gambar di

bawah.

Gambar 2.5 Konfigurasi pin IC 74LS32

2.3 Gerbang AND (A ● B)

Sama halnya dengan gerbang OR, gerbang AND mempunyai

dua sinyal masukan atau lebih. Prinsip kerja dari rangkaian dasar

gerbang AND adalah system saklar yang dirangkai secara serial. Sinyal

keluaran untuk system saklar model seperti ini akan aktif manakala

semua saklar dalam kondisi ON. Jika semua sinyal masukan tinggi maka

sinyal keluaran akan tinggi. Untuk lebih jelas kita perhatikan gambar dan

tabel berikut :

IC 74LS32

OutputInput Y

C

BA 1

23

45

6

Gambar 2.6 Rangkaian dasar gerbang logika AND

Tabel kebenaran gerbang AND untuk 2 buah masukan (Y = A●B)

A B Y

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Tabel kebenaran gerbang AND untuk 3 buah masukan (Y = A●B●C)

A B C Y

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

VR

10k

D1

1N4007

D2

1N4007

VCC

Q

A

B

Q12N2222

Q22N2222

R110k

R210k

R310k

Q

VCC

A

B

18 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E

A

B

C

OutputInput

12 3

45

6 Y

IC 74LS08

Tabel kebenaran gerbang AND untuk 4 buah masukan (Y = A●B●C●D)

A B C D Y

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 0

0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 0

1 1 1 1 1

Kumpulan dari 4 buah gerbang logika dasar AND dikemas dalam

sebuah IC gerbang logika tipe 74LS08 seperti ditunjukkan pada gambar

di bawah.

Gambar 2.7 Konfigurasi pin IC 74LS08

19

A

B

C

OutputInput

12 3

45

6 Y

IC 74LS08

Tabel kebenaran gerbang AND untuk 4 buah masukan (Y = A●B●C●D)

A B C D Y

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 0

0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 0

1 1 1 1 1

Kumpulan dari 4 buah gerbang logika dasar AND dikemas dalam

sebuah IC gerbang logika tipe 74LS08 seperti ditunjukkan pada gambar

di bawah.

Gambar 2.7 Konfigurasi pin IC 74LS08

2.4 Gerbang Exclusive OR (XOR)

Gerbang Exclusive OR (XOR) mempunyai dua sinyal masukan.

Sinyal keluaran akan tinggi jika kedua sinyal masukan tidak sama. Mari

kita perhatikan gambar dan tabel berikut :

Gambar 2.8 Gerbang XOR

Tabel kebenaran gerbang X-OR

A B Y

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Pada gerbang XOR yang sebenarnya ada dua masukan saja,

untuk masukan yang lebih banyak maka perlu kombinasi dari gerbang

XOR tersebut. Sebagai contoh gerbang XOR dengan 3-masukan dan 4-

masukan berikut :

Gambar 2.9 Gerbang XOR 3-masukan

20 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E

Pada gerbang XOR 3-masukan dan 4-masukan ini jika

mempunyai jumlah inputan 1 ganjil maka keluaran akan 1. Hal ini dapat

kita perhatikan pada tabel berikut (kolom 1’s menyatakan banyaknya

masukan-1) :

Tabel XOR 3-masukan

1’s A B C A ⊕ B Y = (A ⨁ B) ⨁ C

0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 1

1 0 1 0 1 1

2 0 1 1 1 0

1 1 0 0 1 1

2 1 0 1 1 0

2 1 1 0 0 0

3 1 1 1 0 1

Gambar 2.10 Gerbang XOR 4-masukan

Tabel kebenaran gerbang XOR 4-masukan word masukan = 16

1’s A B C D Y

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 1

1 0 0 1 0 1

2 0 0 1 1 0

1 0 1 0 0 1

21

Pada gerbang XOR 3-masukan dan 4-masukan ini jika

mempunyai jumlah inputan 1 ganjil maka keluaran akan 1. Hal ini dapat

kita perhatikan pada tabel berikut (kolom 1’s menyatakan banyaknya

masukan-1) :

Tabel XOR 3-masukan

1’s A B C A ⊕ B Y = (A ⨁ B) ⨁ C

0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 1

1 0 1 0 1 1

2 0 1 1 1 0

1 1 0 0 1 1

2 1 0 1 1 0

2 1 1 0 0 0

3 1 1 1 0 1

Gambar 2.10 Gerbang XOR 4-masukan

Tabel kebenaran gerbang XOR 4-masukan word masukan = 16

1’s A B C D Y

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 1

1 0 0 1 0 1

2 0 0 1 1 0

1 0 1 0 0 1

2 0 1 0 1 0

2 0 1 1 0 0

3 0 1 1 1 1

1 1 0 0 0 1

2 1 0 0 1 0

2 1 0 1 0 0

3 1 0 1 1 1

2 1 1 0 0 0

3 1 1 0 1 1

3 1 1 1 0 1

4 1 1 1 1 0

2.5 Gerbang Not OR (NOR)

Gerbang NOR mempunyai dua sinyal masukan atau lebih.

Semua sinyal masukan harus rendah (0) untuk mendapatkan sinyal tinggi

(1) pada keluaran. Hal ini akan lebih jelas lagi jika kita perhatikan gambar

gerbang NOR dan tabel untuk beberapa masukan berikut :

Gambar 2.11 gerbang NOR dengan beberapa masukan

Tabel kebenaran gerbang NOR 2-masukan word masukan = 4

A B Y

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

22 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E

Tabel kebenaran gerbang NOR 3-masukan word masukan = 8

A B C Y

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 0

Tabel kebenaran gerbang NOR 4-masukan word masukan = 16

A B C D Y

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 0

0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 0

1 1 1 1 0

23

Tabel kebenaran gerbang NOR 3-masukan word masukan = 8

A B C Y

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 0

Tabel kebenaran gerbang NOR 4-masukan word masukan = 16

A B C D Y

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 0

0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 0

1 1 1 1 0

THEOREMA PERTAMA DE MORGAN

Analisa gerbang NOR 2-masukan, sebagaimana diketahui

mempunyai persamaan Boolean:

Y = A + B = A.B

Theorema ini dapat dijelaskan lebih lanjut dengan gambar gerbang dan

tabel berikut :

Gambar 2.12 Gerbang NOR dan AND-NOT

Gerbang AND-NOT dapat digambarkan lebih jelas lagi, yaitu

dengan gambar gelembung-AND sebagai berikut :

Gambar 2.13 Gerbang gelembung-AND/AND-NOT

Tabel kebenaran NOR dan AND-NOT

A B A + B A B A.B

0 0 1 1 1 1

0 1 0 1 0 0

1 0 0 0 1 0

1 1 0 0 0 0

Contoh-contoh dari gerbang NOR yang diubah ke AND-NOT adalah

sebagai berikut :

Untuk 3-masukan : Y = A + B+C = A.B.C

24 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E

Untuk 4-masukan : Y = A + B+C+ D = A.B.C.D

Contoh perubahan rangkaian 2-gerbang OR dan 1-gerbang AND menjadi

3-gerbang NOR.

25

Untuk 4-masukan : Y = A + B+C+ D = A.B.C.D

Contoh perubahan rangkaian 2-gerbang OR dan 1-gerbang AND menjadi

3-gerbang NOR.

2.6 Gerbang Not AND (NAND)

Gerbang NAND (NOT-AND) mempunyai dua masukan atau

lebih. Bila semua masukan tinggi (1) maka keluaran akan rendah (0). Hal

ini akan lebih jelas lagi jika kita perhatikan gambar gerbang NAND dan

tabel untuk beberapa masukan berikut :

Gambar 2.14 gerbang NAND (NOT-AND) dengan beberapa masukan

Tabel kebenaran gerbang NAND 2-masukan word masukan = 4

A B Y

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Tabel kebenaran gerbang NAND 3-masukan word masukan = 8

A B C Y

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

26 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E

Tabel kebenaran gerbang NAND 4-masukan word masukan = 16

A B C D Y 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0

THEOREMA KEDUA DE MORGAN

Analisa gerbang NAND 2-masukan, sebagaimana diketahui

mempunyai persamaan Boolean :

Y = A . B = A + B

Theorema ini dapat dijelaskan lebih lanjut dengan gambar gerbang dan

tabel berikut :

27

Tabel kebenaran gerbang NAND 4-masukan word masukan = 16

A B C D Y 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0

THEOREMA KEDUA DE MORGAN

Analisa gerbang NAND 2-masukan, sebagaimana diketahui

mempunyai persamaan Boolean :

Y = A . B = A + B

Theorema ini dapat dijelaskan lebih lanjut dengan gambar gerbang dan

tabel berikut :

Gerbang OR-NOT dapat digambarkan dengan lebih sederhana lagi, yaitu

dengan gambar gelembung-OR sebagai berikut :

Tabel kebenaran NAND (NOT-AND) dan OR-NOT

A B A . B A B A + B

0 0 1 1 1 1

0 1 1 1 0 1

1 0 1 0 1 1

1 1 0 0 0 0

Contoh-contoh dari gerbang NAND yang diubah ke OR-NOT adalah

sebagai berikut :

Y = A . B . C = A + B+C

Y = A . B . C . D = A + B+C+ D

Contoh perubahan rangkaian 2-gerbang NAND dan 1-gerbang OR

menjadi 3-gerbang NAND.

28 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E

2.7 Gerbang EXCLUSIVE NOR (X-NOR)

Gerbang exclusive NOR (X-NOR) mempunyai dua sinyal

masukan. Sinyal keluaran akan tinggi (1) jika kedua sinyal masukan

sama. Mari kita perhatikan gambar dan tabel berikut :

Tabel kebenaran X-NOR

A B A ⊕ B Y = A B

0 0 0 1

0 1 1 0

1 0 1 0

1 1 0 1

Pada gerbang X-NOR yang sebanarnya ada dua masukan saja,

untuk masukan yang lebih banyak maka perlu kombinasi dari gerbang X-

29

2.7 Gerbang EXCLUSIVE NOR (X-NOR)

Gerbang exclusive NOR (X-NOR) mempunyai dua sinyal

masukan. Sinyal keluaran akan tinggi (1) jika kedua sinyal masukan

sama. Mari kita perhatikan gambar dan tabel berikut :

Tabel kebenaran X-NOR

A B A ⊕ B Y = A B

0 0 0 1

0 1 1 0

1 0 1 0

1 1 0 1

Pada gerbang X-NOR yang sebanarnya ada dua masukan saja,

untuk masukan yang lebih banyak maka perlu kombinasi dari gerbang X-

NOR tersebut. Sebagai contoh gerbang X-NOR dengan 3-masukan dan

4-masukan berikut :

Pada gerbang X-NOR 3-masukan dan 4-masukan ini jika

mempunyai jumlah inputan 1 ganjil maka keluaran akan 0. Hal ini dapat

kita perhatikan pada tabel berikut (kolom 1’s menyatakan banyaknya

masukan-1) :

Tabel kebenaran gerbang X-NOR 3-masukan word masukan = 8

1’s A B C A ⊕ B Y = (A B) C

Y = (A B) C

0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 1 0 1 0

1 0 1 0 1 1 0

2 0 1 1 1 0 1

1 1 0 0 1 1 0

2 1 0 1 1 0 1

2 1 1 0 0 0 1

3 1 1 1 0 1 0

30 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E

Tabel kebenaran gerbang X-NOR 4-masukan word masukan = 16

1’s A B C D Y = (A B) (C D) Y = (A B) (C D)

0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 1 1 0

1 0 0 1 0 1 0

2 0 0 1 1 0 1

1 0 1 0 0 1 0

2 0 1 0 1 0 1

2 0 1 1 0 0 1

3 0 1 1 1 1 0

1 1 0 0 0 1 0

2 1 0 0 1 0 1

2 1 0 1 0 0 1

3 1 0 1 1 1 0

2 1 1 0 0 0 1

3 1 1 0 1 1 0

3 1 1 1 0 1 0

4 1 1 1 1 0 1

DEFINISI ALJABAR BOOLE

1. ‘=’ adalah definisi untuk relasi ekuivalen yang memenuhi

prinsip subtitusi. Contoh : a = b

2. ‘+’ adalah operator OR. Contoh : a + b

3. ‘.’ adalah operator AND. Contoh : a . b

4. ‘¯’ adalah operator NOT. Contoh : ā

AXIOMA 1. Idempoten : a . a = a

a + a = a

2. Komutativ : a . b = b . a

a + b = b + a

31

Tabel kebenaran gerbang X-NOR 4-masukan word masukan = 16

1’s A B C D Y = (A B) (C D) Y = (A B) (C D)

0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 1 1 0

1 0 0 1 0 1 0

2 0 0 1 1 0 1

1 0 1 0 0 1 0

2 0 1 0 1 0 1

2 0 1 1 0 0 1

3 0 1 1 1 1 0

1 1 0 0 0 1 0

2 1 0 0 1 0 1

2 1 0 1 0 0 1

3 1 0 1 1 1 0

2 1 1 0 0 0 1

3 1 1 0 1 1 0

3 1 1 1 0 1 0

4 1 1 1 1 0 1

DEFINISI ALJABAR BOOLE

1. ‘=’ adalah definisi untuk relasi ekuivalen yang memenuhi

prinsip subtitusi. Contoh : a = b

2. ‘+’ adalah operator OR. Contoh : a + b

3. ‘.’ adalah operator AND. Contoh : a . b

4. ‘¯’ adalah operator NOT. Contoh : ā

AXIOMA 1. Idempoten : a . a = a

a + a = a

2. Komutativ : a . b = b . a

a + b = b + a

3. Asosiativ : a . (b . c) = (a . b) . c

a + (b + c) = (a + b) + c

4. Absorptiv : a . (a + b) = a

a + (a . b) = a

5. Distributiv : a . (b + c) = (a . b) + (a . c)

a + (b . c) = (a + b) . (a + c)

6. Elemen nol dan satu : a . 1 = 1 . a = a dan a . 0 = 0 . a = 0

a + 1 = 1 dan a + 0 = a

7. Komplement : a . ā = 0 dan a + ā = 1

Sebagai catatan untuk penulisan : a.b dapat dituliskan ab, untuk :

a.b.c dapat dituliskan abc; dan untuk a.(b+c) dapat dituliskan a(b+c).

Contoh 1 :

Buktikan a + a = a

Penyelesaian : a + a = (a + a) . 1

= (a + ā)(a + ā)

= aa + aā + aa + aā

= a + aā

= a + 0 = a

Contoh 2 :

Buktikan a + 1 = 1

Penyelesaian : a + 1 = 1 . (a + 1)

= (a + ā)(a + 1)

= aa + a.1 + aā + ā.1

= a + a + 0 + ā

= a + ā

= 1

Formulasi persamaan logika : 1. a + a = a dan a . a = a

2. a + ā = 1 dan a . ā = 0

3. 1 + a = a + 1 = 1 dan 1 . a = a . 1 = a

32 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E

4. 0 + a = a + 0 = a dan 0 . a = a . 0 = 0

5. a + b = b + a dan a . b = b . a

6. a + a . b = a dan a . (a + b) = a

7. (a + b ) . b = a . b dan a . b + b = a + b

8. a + b + c = (a + b) + c dan a . b . c = (a . b) . c

= a + (b + c) = a . (b . c)

9. a . b + a . c = a . (b + c) dan (a + b) . (a + c) = a + b . c

10. (a + b)(a + c)(b + c) = (a + b)(a + c)

a . b + ā . c + bc = ab + āc

11. (a + b)(a + c) = a . c + a . b

SOAL-JAWAB

1. Buatlah tabel kebenaran 3-bit input (A, B, C) dan 1-bit output (Y) untuk rangkaian gerbang NOT dan AND berikut:

Penyelesaian:

Tabel kebenaran: Y = A.B.C

A A B C Y = A.B.C

0 1 0 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 0 1 1 0

33

4. 0 + a = a + 0 = a dan 0 . a = a . 0 = 0

5. a + b = b + a dan a . b = b . a

6. a + a . b = a dan a . (a + b) = a

7. (a + b ) . b = a . b dan a . b + b = a + b

8. a + b + c = (a + b) + c dan a . b . c = (a . b) . c

= a + (b + c) = a . (b . c)

9. a . b + a . c = a . (b + c) dan (a + b) . (a + c) = a + b . c

10. (a + b)(a + c)(b + c) = (a + b)(a + c)

a . b + ā . c + bc = ab + āc

11. (a + b)(a + c) = a . c + a . b

SOAL-JAWAB

1. Buatlah tabel kebenaran 3-bit input (A, B, C) dan 1-bit output (Y) untuk rangkaian gerbang NOT dan AND berikut:

Penyelesaian:

Tabel kebenaran: Y = A.B.C

A A B C Y = A.B.C

0 1 0 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 0 1 1 0

2. Buatlah tabel kebenaran 3-bit input (A, B, C) dan 1-bit output (Y) untuk rangkaian gerbang AND dan OR berikut:

Penyelesaian:

Tabel kebenaran: Y = AB + C

A B A.B C Y = AB + C 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1

3. Buatlah tabel kebenaran 3-bit input (A, B, C) dan 1-bit output (Y)

untuk rangkaian gerbang NOT dan OR berikut:

Penyelesaian:

Tabel kebenaran: Y = A + B +C dan Y

A A B C Y = A + B+C Y 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0

34 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E

4. Buatlah tabel kebenaran 3-bit input (A, B, C) dan 1-bit output (Y) untuk rangkaian gerbang OR dan AND berikut:

Penyelesaian: Tabel kebenaran: Y = (A + B) CD

A B C D A + B C.D Y = (A+B)CD

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 1 0 1 0

0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 1 1 0 0

0 1 1 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0

1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 0

1 0 1 1 1 1 1

1 1 0 0 1 0 0

1 1 0 1 1 0 0

1 1 1 0 1 0 0

1 1 1 1 1 1 1

35

4. Buatlah tabel kebenaran 3-bit input (A, B, C) dan 1-bit output (Y) untuk rangkaian gerbang OR dan AND berikut:

Penyelesaian: Tabel kebenaran: Y = (A + B) CD

A B C D A + B C.D Y = (A+B)CD

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 1 0 1 0

0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 1 1 0 0

0 1 1 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0

1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 0

1 0 1 1 1 1 1

1 1 0 0 1 0 0

1 1 0 1 1 0 0

1 1 1 0 1 0 0

1 1 1 1 1 1 1

5. Buatlah persamaan Boolean tabel kebenaran untuk rangkaian gerbang XOR, AND dan OR berikut:

Penyelesaian:

Tabel kebenaran: Y = (A + B) + CD

A B C D A + B C.D Y = (A+B) + CD

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 1 0 1 1

0 1 0 0 1 0 1

0 1 0 1 1 0 1

0 1 1 0 1 0 1

0 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 1

1 0 0 1 1 0 1

1 0 1 0 1 0 1

1 0 1 1 1 1 1

1 1 0 0 1 0 1

1 1 0 1 1 0 1

1 1 1 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1 1

36 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E

6. Buatlah persamaan Boolean untuk diagram berikut:

Penyelesaian :

Y = [(AB)(CD)] . (EF)

= [ABCD](EF)

= BCDEF

7. Buatlah persamaan Boolean dan tabel kebenaran untuk rangkaian gerbang AND, XOR dan NOT berikut:

Penyelesaian:

Tabel kebenaran : Y = (AB + CD) dan Y

A B C D A.B C.D Y = (A.B+CD) Y

0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 0 1

0 0 1 1 0 1 1 0

0 1 0 0 0 0 0 1

0 1 0 1 0 0 0 1

0 1 1 0 0 0 0 1

37

6. Buatlah persamaan Boolean untuk diagram berikut:

Penyelesaian :

Y = [(AB)(CD)] . (EF)

= [ABCD](EF)

= BCDEF

7. Buatlah persamaan Boolean dan tabel kebenaran untuk rangkaian gerbang AND, XOR dan NOT berikut:

Penyelesaian:

Tabel kebenaran : Y = (AB + CD) dan Y

A B C D A.B C.D Y = (A.B+CD) Y

0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 0 1

0 0 1 1 0 1 1 0

0 1 0 0 0 0 0 1

0 1 0 1 0 0 0 1

0 1 1 0 0 0 0 1

0 1 1 1 0 1 1 0

1 0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 1 0 0 0 1

1 0 1 0 0 0 0 1

1 0 1 1 0 1 1 0

1 1 0 0 1 0 1 0

1 1 0 1 1 0 1 0

1 1 1 0 1 0 1 0

1 1 1 1 1 1 1 0

8. Tuliskan persamaan Boolean tabel kebenaran untuk rangkaian berikut dan tentukanlah ekuivalennya:

Penyelesaian:

Tabel kebenaran: Y = (AB) +(AB)

A B A B A.B A.B Y = (AB) +(AB)

0 0 1 1 0 0 0

0 1 1 0 1 0 1

1 0 0 1 0 1 1

1 1 0 0 0 0 0

Gerbang ekuivalennya adalah gerbang XOR, Y = A + B

38 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E

9. Tuliskan persamaan Boolean tabel kebenaran untuk rangkaian berikut dan sederhanakanlah persamaan Boole tersebut:

Penyelesaian:

Tabel kebenaran: Y = AB +(B +C)

A B C A A.B B + C Y = AB+(B+C)

0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 1 0 1 1

0 1 0 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 1 1

1 1 0 0 0 1 1

1 1 1 0 0 1 1

Y = AB+(B+C) = AB+ B+C

= AB + B(A + A) + C = AB + AB + AB + C

= AB + AB + C = (A + A)B + C= B + C

10. Buatlah persamaan Boolean untuk diagram berikut:

39

9. Tuliskan persamaan Boolean tabel kebenaran untuk rangkaian berikut dan sederhanakanlah persamaan Boole tersebut:

Penyelesaian:

Tabel kebenaran: Y = AB +(B +C)

A B C A A.B B + C Y = AB+(B+C)

0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 1 0 1 1

0 1 0 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 1 1

1 1 0 0 0 1 1

1 1 1 0 0 1 1

Y = AB+(B+C) = AB+ B+C

= AB + B(A + A) + C = AB + AB + AB + C

= AB + AB + C = (A + A)B + C= B + C

10. Buatlah persamaan Boolean untuk diagram berikut:

Penyelesaian:

Y = (A + B)(C + D) + (EF)

11. Buktikan bahwa diagram ini mempunyai persamaan: Y = A + B dan buatlah tabel kebenarannya.

Penyelesaian:

X = A + B

Y = X + X

= X X

= X = A + B= A + B

12. Buktikan bahwa diagram ini mempunyai persamaan: Y = A . B

dan buatlah tabel kebenarannya.

Penyelesaian:

X = A B

40 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E

Y = X X

= X + X

= X = A B= A B

13. Apakah nama gerbang ekuivalennya, buatlah tabel kebenarannya.

Penyelesaian:

Y = A B = A + A = A

A Y = Ā

0 1

1 0

Gerbang ekuivalennya adalah gerbang NOT

14. Buatlah tabel kebenaran untuk diagram berikut:

41

Y = X X

= X + X

= X = A B= A B

13. Apakah nama gerbang ekuivalennya, buatlah tabel kebenarannya.

Penyelesaian:

Y = A B = A + A = A

A Y = Ā

0 1

1 0

Gerbang ekuivalennya adalah gerbang NOT

14. Buatlah tabel kebenaran untuk diagram berikut:

Penyelesaian: Tabel kebenaran soal no. 14

A B C D Y1 Y2 Y3 Y4

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1 0 1

0 0 1 0 1 0 1 0

0 0 1 1 1 1 1 1

0 1 0 0 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 1 1

0 1 1 0 1 0 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0

1 0 0 1 1 1 0 1

1 0 1 0 1 1 1 0

1 0 1 1 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1 1

1 1 1 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

15. a. Buatlah persamaan Boole untuk rangkaian di bawah.

b. Buatlah rangkaian berikut menjadi rangkaian NOR.

c. Ada berapa banyak input word untuk rangkaian tersebut ? d. Jika semua masukan = 0, maka keluarannya = ..... e. Jika semua masukan = 1, maka keluarannya = .....

42 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E

Penyelesaian :

a. Y = [(A + B)(C+ D + E)](F+G)

b.

c. Banyaknya word masukan = 128 word

d. Jika semua masukan = 0, maka keluaran = 0.

e. Jika semua masukan = 1, maka keluaran = 0.

16. a. Tuliskan persamaan Boole untuk rangkaian berikut. b. Buatlah tabel kebenarannya. c. Tentukanlah banyaknya word masukan.

43

Penyelesaian :

a. Y = [(A + B)(C+ D + E)](F+G)

b.

c. Banyaknya word masukan = 128 word

d. Jika semua masukan = 0, maka keluaran = 0.

e. Jika semua masukan = 1, maka keluaran = 0.

16. a. Tuliskan persamaan Boole untuk rangkaian berikut. b. Buatlah tabel kebenarannya. c. Tentukanlah banyaknya word masukan.

Penyelesaian:

a. Y = (A + B) +(A + B)

A B A B A + B A + B Y = (A + B) +(A + B)

0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 0 1

1 0 0 1 0 1 1

1 1 0 0 1 1 1

b. Banyaknya word masukan = 4 word.

17. a. Buatlah persamaan Boolean dari rangkaian di bawah. b. Buatlah rangkaian berikut menjadi rangkaian NAND.

c. Ada berapa banyak input word untuk rangkaian tersebut ? d. Jika semua masukan = 0, maka keluarannya = ..... e. Jika semua masukan = 1, maka keluarannya = ..... Penyelesaian:

a. Y = (AB)(CD) +(EF)(CD)

b.

44 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E

c. Banyaknya word masukan = 64 word

d. Jika semua masukan = 0, maka keluaran = 0.

e. Jika semua masukan = 1, maka keluaran = 0.

18. buktikan dengan aljabar atau tabel bahwa rangkaian di bawah ini mempunyai persamaan Boole: Y = AB

Penyelesaian:

Y = (A + B)B = AB+ BB = AB

A B B A.B B . B Y = (AB+ BB)

0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0

1 1 0 1 0 1

45

c. Banyaknya word masukan = 64 word

d. Jika semua masukan = 0, maka keluaran = 0.

e. Jika semua masukan = 1, maka keluaran = 0.

18. buktikan dengan aljabar atau tabel bahwa rangkaian di bawah ini mempunyai persamaan Boole: Y = AB

Penyelesaian:

Y = (A + B)B = AB+ BB = AB

A B B A.B B . B Y = (AB+ BB)

0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0

1 1 0 1 0 1

19. Buktikan: a + ab = a Penyelesaian: a + ab = a . 1 + ab

= a (1 + b) → 1 + b = 1

= a . 1

= a

20. Buktikan: a(a+b) = a Penyelesaian:

a(a + b) = aa + ab

= a + ab

= a . 1 + ab

= a (1 + b) → 1 + b = 1

= a . 1

= a

21. Buktikan: a + bc = (a + b)(a + c) Penyelesaian:

a + bc = a(1 + b) + bc

= a + ab + bc

= a(1 + c) + ab + bc

= a + ac + ab + bc

= aa + ac + ab + bc

= (a + b)(a + c)

22. Buktikan: a(a + b + c) = a Penyelesaian:

a(a + b + c) = a[(a + b) + c]

= a(a + b) + ac

= a + ac → a(a + b) = a

= a . 1 + ac

= a(1 + c) → 1 + c = 1

= a . 1

= a

46 G E R B A N G L O G I K A D A N A L J A B A R B O O L E

23. Buktikan: a(ā + b) = ab Penyelesaian: a(ā + b) = aā + ab → aā = 0

= 0 + ab

= ab

24. Buktikan: ab + āc + bc = ab + āc Penyelesaian:

ab + āc + bc = ab + āc + bc(a + ā)

= ab + abc + āc + ābc

= ab (1 + c) + āc(1 + b)

= ab + āc

25. Buktikan: (a + b)( ā + c)(b + c) = (a + b)( ā + c) Penyelesaian: (a + b)( ā + c)(b + c) = (aā + ac + āb + bc)(b + c)

= (ac + āb + bc)(b + c)

= (abc + acc + ābb + ābc + bbc + bcc)

= (abc + ac + āb + ābc + bc + bc)

= (abc + ābc + ac + āb + bc)

= [(a + ā)bc + ac + āb + bc]

= (bc + ac + āb + bc)

= (ac + āb + bc)

= (a + b)( ā + c)

47

23. Buktikan: a(ā + b) = ab Penyelesaian: a(ā + b) = aā + ab → aā = 0

= 0 + ab

= ab

24. Buktikan: ab + āc + bc = ab + āc Penyelesaian:

ab + āc + bc = ab + āc + bc(a + ā)

= ab + abc + āc + ābc

= ab (1 + c) + āc(1 + b)

= ab + āc

25. Buktikan: (a + b)( ā + c)(b + c) = (a + b)( ā + c) Penyelesaian: (a + b)( ā + c)(b + c) = (aā + ac + āb + bc)(b + c)

= (ac + āb + bc)(b + c)

= (abc + acc + ābb + ābc + bbc + bcc)

= (abc + ac + āb + ābc + bc + bc)

= (abc + ābc + ac + āb + bc)

= [(a + ā)bc + ac + āb + bc]

= (bc + ac + āb + bc)

= (ac + āb + bc)

= (a + b)( ā + c)

3.1 Minimalisasi dengan Fungsi MINTERM

Pada bab sebelumnya kita telah bicarakan ketentuan-ketentuan

aljabar Boole dan metode matematika untuk mendapatkan logika yang

sederhana. Namun masih banyak metode-metode penyederhanaan

jaringan logika. Sebagai langkah awal, kita tentukan bentuk yang akan

kita sebut sebagai SOP (sum of products/jumlah hasil perkalian).

Pengertian ini lebih jelas jika kita perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 1:

Tentukan bentuk SOP dari fungsi berikut:

f (A,B,C,D) (AC B)(CD D)

Penyelesaian:

f (A,B,C,D) (AC B)(CD D)

ACCD ACD BCD BD

ACD ACD BCD BD → bentuk SOP

Contoh 2:

Tentukan bentuk SOP dari fungsi berikut:

f (A,B,C,D) (AC D)(D CE)

48 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

Penyelesaian:

f (A,B,C,D,E) (AC D)(B CE)

(A C) D (B.CE)

(A C D) B.(C E)

(A C D)(B.C B.E)

A.B.C A.B.E B.B.C B.C.E B.C.D B.D.E

A.B.C A.B.E B.C B.C.E B.C.D B.D.E

Dari contoh-contoh di atas, secara umum konversi dari fungsi

Boole ke bentuk SOP cukup jelas. Jika kita perhatikan pada contoh 1 dan

2, maka terlihat bahwa besaran-besaran yang jumlah literalnya lebih kecil

dari besaran fungsi. Dengan demikian contoh 1 dapat dilanjutkan sebagai

berikut:

f (A,B,C,D) ACD ACD BCD BD

ACD ACD BCD BD(C C) (C C) 1

ACD ACD BCD BCD BCD

(ACD ACD)(B B) (BCD BCD BCD)(A A)

ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD

ABCD ABCD ABCD

Kemudian untuk besaran yang sama dapat dipakai satu saja, dengan

demikian: A + A = A dapat kita terapkan pada masalah ini.

f (A,B,C,D) ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD

merupakan hasil lengkap dari SOP. Demikian pula untuk contoh 2

mempunyai bentuk lengkapnya:

49

Penyelesaian:

f (A,B,C,D,E) (AC D)(B CE)

(A C) D (B.CE)

(A C D) B.(C E)

(A C D)(B.C B.E)

A.B.C A.B.E B.B.C B.C.E B.C.D B.D.E

A.B.C A.B.E B.C B.C.E B.C.D B.D.E

Dari contoh-contoh di atas, secara umum konversi dari fungsi

Boole ke bentuk SOP cukup jelas. Jika kita perhatikan pada contoh 1 dan

2, maka terlihat bahwa besaran-besaran yang jumlah literalnya lebih kecil

dari besaran fungsi. Dengan demikian contoh 1 dapat dilanjutkan sebagai

berikut:

f (A,B,C,D) ACD ACD BCD BD

ACD ACD BCD BD(C C) (C C) 1

ACD ACD BCD BCD BCD

(ACD ACD)(B B) (BCD BCD BCD)(A A)

ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD

ABCD ABCD ABCD

Kemudian untuk besaran yang sama dapat dipakai satu saja, dengan

demikian: A + A = A dapat kita terapkan pada masalah ini.

f (A,B,C,D) ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD

merupakan hasil lengkap dari SOP. Demikian pula untuk contoh 2

mempunyai bentuk lengkapnya:

f (A,B,C,D,E) ABC ABE BC BCE BCD BDE

ABC ABE BC(A A) BCE BCD BDE

ABC ABE ABC ABC BCE BCD BDE

ABC ABE ABC BCE BCD BDE

(ABC ABE ABC BCE)(D D) (BCD BDE)(A A)

ABCD ABCD ABDE ABDE ABCD ABCD BCDE

BCDE ABCD ABCD ABDE ABDE

ABCD ABCD ABDE ABDE ABCD ABCD BCDE

BCDE ABDE

(ABCD ABCD ABCD ABCD)(E E) (ABDE ABDE

ABDE)(C C) (BCDE BCDE)(A A)

ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE

ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE

ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE

ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE

ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE

Fungsi yang lengkap dari contoh-contoh bentuk SOP di atas

disebut sebagai fungsi minterm. Setiap bersama miterm (ruas kanan)

mempunyai/ mengandung variabel dari fungsi (ruas kiri). Seperti pada

contoh 1, fungsi [f(A, B, C, D)] mempunyai 4 variabel, maka besaran

minterm (ruas kanan) juga mempunyai 4 variabel, misalnya:

ABCD , ABCD atau ABCD

Fungsi minterm ini mempunyai cara penulisan tersendiri, sebagai contoh

adalah penulisan fungsi minterm dari SOP contoh 1:

50 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

f (A,B,C,D) m(4,6,7,10,11,12,14,15)

Untuk menggambarkan lebih jelas tentang minterm dapat dilihat

contoh tabel minterm di bawah (kolom minterm menunjukkan cara

penulisan minterm sebagai fungsi minterm, kolom besaran minterm

menunjukkan cara penulisan minterm sebagai SOP):

Tabel minterm untuk 2-masukan/variabel

Minterm A B besaran

minterm

0 0 0 A.B 1 0 1 A.B 2 1 0 A.B 3 1 1 A.B

Tabel minterm untuk 3-masukan/variabel

Minterm A B C Besaran Minterm

0 0 0 0 A.B.C

1 0 0 1 A.B.C

2 0 1 0 A.B.C

3 0 1 1 A.B.C

4 1 0 0 A.B.C

5 1 0 1 A.B.C

6 1 1 0 A.B.C

7 1 1 1 A.B.C

51

f (A,B,C,D) m(4,6,7,10,11,12,14,15)

Untuk menggambarkan lebih jelas tentang minterm dapat dilihat

contoh tabel minterm di bawah (kolom minterm menunjukkan cara

penulisan minterm sebagai fungsi minterm, kolom besaran minterm

menunjukkan cara penulisan minterm sebagai SOP):

Tabel minterm untuk 2-masukan/variabel

Minterm A B besaran

minterm

0 0 0 A.B 1 0 1 A.B 2 1 0 A.B 3 1 1 A.B

Tabel minterm untuk 3-masukan/variabel

Minterm A B C Besaran Minterm

0 0 0 0 A.B.C

1 0 0 1 A.B.C

2 0 1 0 A.B.C

3 0 1 1 A.B.C

4 1 0 0 A.B.C

5 1 0 1 A.B.C

6 1 1 0 A.B.C

7 1 1 1 A.B.C

Tabel minterm untuk 4-masukan/variabel

Minterm A B C D besaran minterm

0 0 0 0 0 A.B.C.D

1 0 0 0 1 A.B.C.D

2 0 0 1 0 A.B.C.D

3 0 0 1 1 A.B.C.D

4 0 1 0 0 A.B.C.D

5 0 1 0 1 A.B.C.D

6 0 1 1 0 A.B.C.D

7 0 1 1 1 A.B.C.D

8 1 0 0 0 A.B.C.D

9 1 0 0 1 A.B.C.D

10 1 0 1 0 A.B.C.D

11 1 0 1 1 A.B.C.D

12 1 1 0 0 A.B.C.D

13 1 1 0 1 A.B.C.D

14 1 1 1 0 A.B.C.D

15 1 1 1 1 A.B.C.D

Untuk 5-masukan atau lebih penulisan minterm dan besaran

minterm adalah sesuai dengan jumlah masukan/variabel fungsi. Dengan

demikian kita telah mendapat runtutan metode untuk mendapatkan fungsi

minterm dari suatu fungsi Boole. Untuk lebih jelasnya dapat kita ikuti

tahapan-tahapan berikut:

52 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

1. Tentukan persamaan/fungsi Boole dari suatu jaringan (rancangan)

sistem yang dikehendaki.

2. Bualah persamaan/fungsi Boole menjadi bentuk SOP yang lengkap

diana setiap komponen product (komponen perkalian) mempunyai

julah variabel yang sesuai dengan variabel fungsi.

3. Tentukanlah komponen product dari bentuk SOP yang didapat

sebagai komponen minterm.

Pada contoh 1, bila direalisasikan dalam rangkaian logka maka

akan tersusun 8 gerbang AND dengan 4-masukan dan 1 gerbang OR

dengan 8-masukan:

dimana akan satu pada kondisi minterm yang bersangkutan (lihat tabel di

bawah):

Tabel minterm dari fungsi f(A,B,C,D)= m(4,6,7,10,11,12,14,15)

Minterm A B C D Besaran

Minterm

Keluaran

0 0 0 0 0 A.B.C.D 0

1 0 0 0 1 A.B.C.D 0

2 0 0 1 0 A.B.C.D 0

3 0 0 1 1 A.B.C.D 0

4 0 1 0 0 A.B.C.D 1

5 0 1 0 1 A.B.C.D 0

6 0 1 1 0 A.B.C.D 1

7 0 1 1 1 A.B.C.D 1

8 1 0 0 0 A.B.C.D 0

9 1 0 0 1 A.B.C.D 0

53

1. Tentukan persamaan/fungsi Boole dari suatu jaringan (rancangan)

sistem yang dikehendaki.

2. Bualah persamaan/fungsi Boole menjadi bentuk SOP yang lengkap

diana setiap komponen product (komponen perkalian) mempunyai

julah variabel yang sesuai dengan variabel fungsi.

3. Tentukanlah komponen product dari bentuk SOP yang didapat

sebagai komponen minterm.

Pada contoh 1, bila direalisasikan dalam rangkaian logka maka

akan tersusun 8 gerbang AND dengan 4-masukan dan 1 gerbang OR

dengan 8-masukan:

dimana akan satu pada kondisi minterm yang bersangkutan (lihat tabel di

bawah):

Tabel minterm dari fungsi f(A,B,C,D)= m(4,6,7,10,11,12,14,15)

Minterm A B C D Besaran

Minterm

Keluaran

0 0 0 0 0 A.B.C.D 0

1 0 0 0 1 A.B.C.D 0

2 0 0 1 0 A.B.C.D 0

3 0 0 1 1 A.B.C.D 0

4 0 1 0 0 A.B.C.D 1

5 0 1 0 1 A.B.C.D 0

6 0 1 1 0 A.B.C.D 1

7 0 1 1 1 A.B.C.D 1

8 1 0 0 0 A.B.C.D 0

9 1 0 0 1 A.B.C.D 0

10 1 0 1 0 A.B.C.D 1

11 1 0 1 1 A.B.C.D 1

12 1 1 0 0 A.B.C.D 1

13 1 1 0 1 A.B.C.D 0

14 1 1 1 0 A.B.C.D 1

15 1 1 1 1 A.B.C.D 1

Pada tabel di atas dapat kita ketahui bahwa keluaran akan satu

pada minterm 4, 6, 7, 10, 11, 12, 14, 15; dimana pada bentuk fungsi SOP

terlihat bahwa masing-masing minterm di-OR-kan satu dengan yang

lainnya. Dengan demikian jika salah satu minterm terpenuhi maka

keluaran akan 1.

Rangkaian kerja ini sangat berguna dalam banyak

aplikasi/perancangan kontrol digital/komputer. Perancangan sistem

biasanya menentukan spesifikasi yang dikeluarkan dalam bentuk fungsi

dengan tabel keluarannya. Aljabar Boole adalah suatu metode yang

sangat berguna untuk mentransformasikan dari tabel kebenaran ke

rangkaian praktis. Namun seringkali kita dalam dalam merealisasikan

suatu rancangan tidak mendapat bentuk yng sederhana. Untuk

mendapatkan bentuk yang sederhana maka kita harus melakukan

minimisasi dengan beberapa metode, antara lain dengan peta Karnaugh

dan Implikasi prima yang akan kita bahas nanti.

Contoh 3:

Konversikan fungsi berikut ke bentuk fungsi minterm:

f (A,B,C,D) ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD

ABCD ABCD

54 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

Penyelesaian:

f (A,B,C,D) ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD

0101 0110 0111 1011 1010 1111 0011

5 6 7 11 10 15 3

ABCD ABCD

0001 0100

1 4

f (A,B,C,D) m(1,3,4,5,6,7,10,11,15)

Contoh 4:

Konversikan fungsi SOP berikut ke bentuk fungsi minterm dan realisasi

rangkaiannya:

f (A,B,C) ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC

Penyelesaian:

f (A,B,C) ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC

010 011 101 110 011 100 010 101 100

2 3 5 6 3 4 2 5 4

bila ada 2 minterm (atau lebih) yang sama, maka cukup dipakai salah

satu saja. Seperti contoh di atas, ada 2 minterm -2, 2 minterm-3, 2

minterm-4, dan 2 minterm-5. Untuk masing-masing minterm cukup

dicantumkan satu saja. Dengan demikian bentuk fungsi minterm:

f (A,B,C,D) m(2,3,4,5,6)

Contoh 5:

Konversikan fungsi SOP di bawah ini ke bentuk fungsi minterm:

55

Penyelesaian:

f (A,B,C,D) ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD

0101 0110 0111 1011 1010 1111 0011

5 6 7 11 10 15 3

ABCD ABCD

0001 0100

1 4

f (A,B,C,D) m(1,3,4,5,6,7,10,11,15)

Contoh 4:

Konversikan fungsi SOP berikut ke bentuk fungsi minterm dan realisasi

rangkaiannya:

f (A,B,C) ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC

Penyelesaian:

f (A,B,C) ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC

010 011 101 110 011 100 010 101 100

2 3 5 6 3 4 2 5 4

bila ada 2 minterm (atau lebih) yang sama, maka cukup dipakai salah

satu saja. Seperti contoh di atas, ada 2 minterm -2, 2 minterm-3, 2

minterm-4, dan 2 minterm-5. Untuk masing-masing minterm cukup

dicantumkan satu saja. Dengan demikian bentuk fungsi minterm:

f (A,B,C,D) m(2,3,4,5,6)

Contoh 5:

Konversikan fungsi SOP di bawah ini ke bentuk fungsi minterm:

f (A,B,C,D,E) ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE

ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE

Penyelesaian:

f (A,B,C,D,E) ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE 01011 01010 01110 11010 10101

10111 11 10 14 26 21 23

ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE

01101 10110 10011 00111 11111

13 22 19 7 31

f (A,B,C,D,E) m(7,10,11,13,14,19,21,22,23,26,31)

3.2 Minimalisasi dengan Fungsi MAXTERM

Dalam beberapa hal ada gunanya pula bila kita tinjau suatu

bentuk fungsi lain untuk merealisasikan suatu rancangan sistem digital,

yaitu bentuk POS (product of sum/perkalian hasil penjumlahan). Sebagai

gambarn yang lebih jelas kita perhatikan contoh berikut:

Contoh 6:

Ubahlah persamaan berikut ke bentuk fungsi POS:

f (A,B,C,D) A C BD

Penyelesaian:

f (A,B,C,D) A C BD

A (C BD)

A (C B)(C D) ← kaidah distributif

(A C B)(A C D)

56 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

Ruas kanan merupakan dua komponen yang masing-masing

hanya mempunyai tiga variabel dari empat variabel fungsi yang ada.

Jadi, kita harus melengkapi komponen-komponen tersebut.

f (A,B,C,D) (A C B D.D)(A C D B.B) D.D 1

(A C B D)(A C B D)(A C D B)(A C D B)

(A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)

karena pada ruas kanan ada komponen ganda, maka berarti cukup tiga

komponen saja yang dituliskan:

f (A,B,C,D) (A C B D)(A C B D)(A B C D)

Bentuk di atas tidak lain adalah bentuk dari fungsi POS yang dapat kita

tuliskan ke dalam bentuk fungsi maxterm:

f (A,B,C,D) (A C B D)(A C B D)(A B C D)

(0 0 1 0) (0 0 1 1) (0 0 0 1)

4 5 1

Fungsi maxterm yang dimaksud:

f (A,B,C,D) M(1,4,5)

sedangkan bentuk realisasi dari rangkaian maxterm:

Contoh 7:

Konversikan bentuk fungsi POS berikut ke bentuk maxterm:

f (A,B,C) (A B C)(A B C)(A B C)(A B C)(A B C)

57

Ruas kanan merupakan dua komponen yang masing-masing

hanya mempunyai tiga variabel dari empat variabel fungsi yang ada.

Jadi, kita harus melengkapi komponen-komponen tersebut.

f (A,B,C,D) (A C B D.D)(A C D B.B) D.D 1

(A C B D)(A C B D)(A C D B)(A C D B)

(A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)

karena pada ruas kanan ada komponen ganda, maka berarti cukup tiga

komponen saja yang dituliskan:

f (A,B,C,D) (A C B D)(A C B D)(A B C D)

Bentuk di atas tidak lain adalah bentuk dari fungsi POS yang dapat kita

tuliskan ke dalam bentuk fungsi maxterm:

f (A,B,C,D) (A C B D)(A C B D)(A B C D)

(0 0 1 0) (0 0 1 1) (0 0 0 1)

4 5 1

Fungsi maxterm yang dimaksud:

f (A,B,C,D) M(1,4,5)

sedangkan bentuk realisasi dari rangkaian maxterm:

Contoh 7:

Konversikan bentuk fungsi POS berikut ke bentuk maxterm:

f (A,B,C) (A B C)(A B C)(A B C)(A B C)(A B C)

Penyelesaian:

f (A,B,C) (A B C)(A B C)(A B C)(A B C)(A B C) (1 1 0) (1 0 1) (0 1 1) (0 1 0) (0 0 0)

6 5 3 2 0

Fungsi maxterm yang dimaksud:

f (A,B,C,D) M(0,2,3,5,6)

Contoh 8:

Konversikan bentuk fungsi POS berikut ke bentuk maxterm:

f (A,B,C,D) (A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)

(A B C D)

Penyelesaian:

f (A,B,C,D) (A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)

(1 0 1 0)(0 1 0 1)(1 0 0 1)(0 1 1 0)(1 0 0 0)

10 5 9 6 8

Fungsi maxterm yang dimaksud:

f (A,B,C,D) M(5,6,8,9,10)

Tabel : )f(A,B,C,D)= M(5,6,8,9,10

Maxterm A B C D Besaran maxterm

Keluaran

15 0 0 0 0 A B C D 0

14 0 0 0 1 A B C D 0

13 0 0 1 0 A B C D 0

12 0 0 1 1 A B C D 0

58 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

11 0 1 0 0 A B C D 0

10 0 1 0 1 A B C D 1

9 0 1 1 0 A B C D 1

8 0 1 1 1 A B C D 1

7 1 0 0 0 A B C D 0

6 1 0 0 1 A B C D 1

5 1 0 1 0 A B C D 1

4 1 0 1 1 A B C D 0

3 1 1 0 0 A B C D 0

2 1 1 0 1 A B C D 0

1 1 1 1 0 A B C D 0

0 1 1 1 1 A B C D 0

Selanjutnya memperoleh fungsi minterm dan maxterm, langkah

selanjutnya dalam realisasi suatu rancangan logika adalah

penyederhanaan yang mungkin pada rangkaian. Penyederhanaan yang

dapat dilakukan antara lain adalah dengan aljabar Boole. Akan tetapi ada

suatu cara yang bisa dikatakan sebagai suatu cara yang sangat

mendasar untuk penyederhanaan rangkaian yang disebut sebagai peta

Karnaugh.

Sebelum kita bicarakan lebih lanjut tentang penyederhanaan

aljabar Boole dan peta Karnaugh kita uraikan terlebih dahulu tentang

hubungan antara minterm dan maxterm. Untuk lebih jelasnya kita

perhatikan tabel berikut:

59

11 0 1 0 0 A B C D 0

10 0 1 0 1 A B C D 1

9 0 1 1 0 A B C D 1

8 0 1 1 1 A B C D 1

7 1 0 0 0 A B C D 0

6 1 0 0 1 A B C D 1

5 1 0 1 0 A B C D 1

4 1 0 1 1 A B C D 0

3 1 1 0 0 A B C D 0

2 1 1 0 1 A B C D 0

1 1 1 1 0 A B C D 0

0 1 1 1 1 A B C D 0

Selanjutnya memperoleh fungsi minterm dan maxterm, langkah

selanjutnya dalam realisasi suatu rancangan logika adalah

penyederhanaan yang mungkin pada rangkaian. Penyederhanaan yang

dapat dilakukan antara lain adalah dengan aljabar Boole. Akan tetapi ada

suatu cara yang bisa dikatakan sebagai suatu cara yang sangat

mendasar untuk penyederhanaan rangkaian yang disebut sebagai peta

Karnaugh.

Sebelum kita bicarakan lebih lanjut tentang penyederhanaan

aljabar Boole dan peta Karnaugh kita uraikan terlebih dahulu tentang

hubungan antara minterm dan maxterm. Untuk lebih jelasnya kita

perhatikan tabel berikut:

Tabel minterm dan maxterm untuk 4- variabel

No. A B C D Minterm Maxterm

0 0 0 0 0 0A.B.C.D m 15A B C D M

1 0 0 0 1 1A.B.C.D m 14A B C D M

2 0 0 1 0 2A.B.C.D m 13A B C D M

3 0 0 1 1 3A.B.C.D m 12A B C D M

4 0 1 0 0 4A.B.C.D m 11A B C D M

5 0 1 0 1 5A.B.C.D m 10A B C D M

6 0 1 1 0 6A.B.C.D m 9A B C D M

7 0 1 1 1 7A.B.C.D m 8A B C D M

8 1 0 0 0 8A.B.C.D m 7A B C D M

9 1 0 0 1 9A.B.C.D m 6A B C D M

10 1 0 1 0 10A.B.C.D m 5A B C D M

11 1 0 1 1 11A.B.C.D m 4A B C D M

12 1 1 0 0 12A.B.C.D m 3A B C D M

13 1 1 0 1 13A.B.C.D m 2A B C D M

14 1 1 1 0 14A.B.C.D m 1A B C D M

15 1 1 1 1 15A.B.C.D m 0A B C D M

60 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

Pada tabel di atas terlihat masing-masing variabel minterm dan

maxterm merupakan komplemennya. Jika kombinasi masukan pada

minterm adalah 1 maka kombinasi masukan pada maxterm adalah 0, dan

bila kombinasi pada minterm adalah 0 maka pada maxterm adalah 1.

3.3 Penyederhanaan Aljabar Boole

Metoda penyederhanaan dengan memakai aljabar Boole adalah

metode atau cara yang cukup sederhana. Caranya adalah sebagai

berikut. Dari persamaan SOP dapat disusun kembali menjadi persamaan

lain yang sesuai dengan aljabar Boole. Hal ini akan lebih jelas diberikan

pada contoh berikut:

Contoh 9:

Y AB AB Penyederhanaan dengan aljabr Boole adalah:

Y AB AB

A(B B)

Persamaan di atas dapat disederhanakan lagi menjadi:

Y A(B B) B B 1

A

Contoh 10:

Y AC AD BC BD

Penyederhanaan dengan aljabr boole adalah:

Y A(C D) B(C D)

(A B)(C D)

61

Pada tabel di atas terlihat masing-masing variabel minterm dan

maxterm merupakan komplemennya. Jika kombinasi masukan pada

minterm adalah 1 maka kombinasi masukan pada maxterm adalah 0, dan

bila kombinasi pada minterm adalah 0 maka pada maxterm adalah 1.

3.3 Penyederhanaan Aljabar Boole

Metoda penyederhanaan dengan memakai aljabar Boole adalah

metode atau cara yang cukup sederhana. Caranya adalah sebagai

berikut. Dari persamaan SOP dapat disusun kembali menjadi persamaan

lain yang sesuai dengan aljabar Boole. Hal ini akan lebih jelas diberikan

pada contoh berikut:

Contoh 9:

Y AB AB Penyederhanaan dengan aljabr Boole adalah:

Y AB AB

A(B B)

Persamaan di atas dapat disederhanakan lagi menjadi:

Y A(B B) B B 1

A

Contoh 10:

Y AC AD BC BD

Penyederhanaan dengan aljabr boole adalah:

Y A(C D) B(C D)

(A B)(C D)

Contoh 11:

Y (A B)(A C)(B C)

Penyederhanaan dengan aljabr boole adalah:

Y (A B)(A C)(B C)

(AA AC AB BC)(B C) AA 0

(AC AB BC)(B C)

ABC ACC ABB ABC BBC BCC BB B

ABC AC AB ABC BC BC BC BC BC

(A A)BC AC AB BC A A 1

BC AC AB BC

AC BC AB

AA AC BC AB

(A B)(A C)

3.4 Minimasasi dengan Peta Karnaugh

Peta Karnaugh adalah merupakan suatu cara/metode yang

sangat diperlukan dalam perancangan logika. Peta Karnaugh dipakai

dalam penyederhanaan rancangan logika, bahkan lebih andal

dibandingan dengan aljabar Boole. Dalam bab ini kita akan bicarakan

penyederhanaan rancangan digital dengan peta Karnaugh mulai dari 2-

variabel sampai variabel yang lebih banyak lagi. Kita perhatikan tabel

kebenaran AND dan OR berikut:

62 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

Tabel kebenaran gerbang AND dan OR untuk 2-variabel

A B A.B

0 0 0

0 1 0

1 1 0

1 1 1

A B A+B

0 0 0

0 1 1

1 1 1

1 1 1

Peta Karnaugh 2-variabel ini mirip suatu matrik 2x2. Tetapi cara

penulisan elemen berbeda dengan matrik, yaitu kolom dituliskan lebih

dulu baru kemudian diikuti dengan baris, dimana A adalah sebagai kolom

sedangkan B adalah sebagai barisnya. Dengan demikian penulisan

elemennya adalah dengan urutan AB.A = 0 adalah sebagai kolom 0 dan

B = 1 sebagai baris 1.

Dengan demikian peta Karnaugh merupakan matrik yang

mempunyai elemen 00 (baris 0, kolom 0), 01 (baris 0, kolom 1), 10 (baris

1, kolom 0), dan 11 (baris 1, kolom 1). Elemen matrik disini mempunyai

arti elemen kolom di-AND-kan dengan elemen baris, kemudian bila hasil

operasi adalah 1, maka akan kita tuliskan 1 pada salah satu kotak peta

Karnaugh yang merupakan elemen matrik. Pada masing-masing kotak

diberikan nomor urut seperti tertera pada gambar. Pada elemen matrik

00 berarti A = 0 dan B = 0 adalah nomor 0, pada elemen matrik kita lihat

pada gambar berikut.

B\A 0 1

0 0 2

1 1 3

63

Tabel kebenaran gerbang AND dan OR untuk 2-variabel

A B A.B

0 0 0

0 1 0

1 1 0

1 1 1

A B A+B

0 0 0

0 1 1

1 1 1

1 1 1

Peta Karnaugh 2-variabel ini mirip suatu matrik 2x2. Tetapi cara

penulisan elemen berbeda dengan matrik, yaitu kolom dituliskan lebih

dulu baru kemudian diikuti dengan baris, dimana A adalah sebagai kolom

sedangkan B adalah sebagai barisnya. Dengan demikian penulisan

elemennya adalah dengan urutan AB.A = 0 adalah sebagai kolom 0 dan

B = 1 sebagai baris 1.

Dengan demikian peta Karnaugh merupakan matrik yang

mempunyai elemen 00 (baris 0, kolom 0), 01 (baris 0, kolom 1), 10 (baris

1, kolom 0), dan 11 (baris 1, kolom 1). Elemen matrik disini mempunyai

arti elemen kolom di-AND-kan dengan elemen baris, kemudian bila hasil

operasi adalah 1, maka akan kita tuliskan 1 pada salah satu kotak peta

Karnaugh yang merupakan elemen matrik. Pada masing-masing kotak

diberikan nomor urut seperti tertera pada gambar. Pada elemen matrik

00 berarti A = 0 dan B = 0 adalah nomor 0, pada elemen matrik kita lihat

pada gambar berikut.

B\A 0 1

0 0 2

1 1 3

Kemudian hasil dari tabel kebenaran AND dan OR di atas

kitamasukkan ke dalam peta Karnaugh. Untuk tabel AND hasilnya kita

masukkan pada kotak yang bersesuaian (yang kita tuliskan bila hasil

operasi adalah 1, untuk hasil operasi = 0 tidak kita tuliskan dalam peta

Karnaugh), yaitu hasil operasi AND akan 1 bila A dan B =1. Jika kita

tuliskan dalam bentuk fungsi Boole adalah: Y =AB.

Maka pada kotak yang merupakan elemen matriks 11 (yang

berarti 1.1 = 1) kita tuliskan 1. Dengan demikian hasil operasi AND dapat

kita lihat pada gambar (a) berikut.

B\A 0 1

0

1 1

B\A 0 1

0 1

1 1 1

Sedangkan untuk operasi OR hasilnya dapat kita lihat pada

gambar (b) di atas. Hasil operasi OR akan 1 bila salah satu variabel

adalah 1. Maka dituliskan 1 pada kotak-kotak peta Karnaugh yang

merupakan elemen matrik 01, 10, dan 11. Elemen matrik 01 berarti 0+1 =

1, elemen 10 berarti 1+0 = 1 dan elemen 11 berarti 1+1 = 1. Atau dapat

juga kita tuliskan dalam bentuk aljabar Boole yang bentuknya akan

seperti berikut:

Y AB AB AB

AB A(B B) B B 1

AB A

Atau

Y AB AB AB

64 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

(A A)B AB A A 1

A AB

Dari persamaan Boole di atas dapat disimpulkan menjadi:

Y (AB A) (B AB)

(AB A B AB

A(1 B) B(1 A) 1 A 1

A B

Peta Karnaugh map untuk 3-variabel dapat kita ikuti pada

bahasan berikut. Pertama kita perhatikan tabel kebenaran AND dan OR

3-variabel berikut:

Tabel kebenaran gerbang AND dan OR untuk 3-variabel

A B C A.B.C

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

65

(A A)B AB A A 1

A AB

Dari persamaan Boole di atas dapat disimpulkan menjadi:

Y (AB A) (B AB)

(AB A B AB

A(1 B) B(1 A) 1 A 1

A B

Peta Karnaugh map untuk 3-variabel dapat kita ikuti pada

bahasan berikut. Pertama kita perhatikan tabel kebenaran AND dan OR

3-variabel berikut:

Tabel kebenaran gerbang AND dan OR untuk 3-variabel

A B C A.B.C

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

A B C A+B+C 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

Dari tabel kebenaran di atas dapat kita pindahkan ke peta

Karnaugh dengan sedikit perbedaan dengan peta Karnaugh untuk 2-

variabel. Pada peta Karnaugh 3-variabel ini A dan B sebagai kolom, yang

dituliskan: AB dan C adalah sebagai baris. Untuk lebih jelasnya kita

perhatikan langkah-langkah berikut. Pertama buat peta karnaugh yang

terdiri dari delapan buah elemen yang terdiri dari dua baris dan empat

kolom. Kemudian urutan dari masing-masing elemen ini kita beri nomor

decimal sebagai berikut. (Nomor decimal tersebut sesuai dengan kode

biner untuk 3-variabel, yaitu menurut urutan variabel: ABC).

C \ AB 00 01 10 11

0 0 2 4 6

1 1 3 5 7

Pada kolom 00 berarti keadaan A = 0 dan B = 0, kolom 01 berarti

keadaan A = 0 dan B = 1, kolom 11 berarti keadaan A = 1 dan B = 1,

serta kolom 10 berarti A = 1 dan B = 0. Pada baris 0 berartikeadaan C =

0 dan pada baris 1 berarti keadaan C = 1.

Pada gambar berikut akan dijelaskan letak masing-masing

variabel untuk keadaan 0 dan 1. Pada gambar (a) berikut ditunjukkan

letak variabel A untuk keadaan 0 dan 1 (A dan A), untuk keadaan 0 (A)

tidak dituliskan dalam peta Karnaugh. Untuk gambar (b) adalah untuk

variabel B, gambar (c) untuk variabel C dan gambar (d) adalah hasil dari

operasi AND dari variabel A, B, dan C, dimana hasil AND akan 1 jika A,

66 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

B, dan C adalah 1. Dengan demikian dapat kita perhatikan pada gambar

(a), (b), dan (c) bahwa A, B, dan C adlah 1 pada kotak nomor 7. Maka

hanya pada kotak nomor 7 tersebut dapat kita tuliskan 1. Persamaan

untuk fungsi AND trsebut adalah: Y = ABC.

C \ AB 00 01 10 11

0 1 1

1 1 1

C \ AB 00 01 10 11

0 1 1

1 1 1

C \ AB 00 01 10 11

0

1 1 1 1 1

C \ AB 00 01 10 11

0

1 1

Sedangkan untuk operasi OR hasilnya dapat kita lihat pada

langkah-langkah berikut. Gambar (a) adalah untuk A = 1, gambar (b)

untuk B = 1, gambar (c) untuk C = 1, dan gambar (d) adalah untuk hasil

operasi OR. Hasil operasi OR akan 1 bila salah satu variabel atau lebih

adalah 1. Maka dituliskan 1 pada kotak-kotak peta Karnaugh yang

merupakan elemen:

001 0 0 1 1

010 0 1 0 1

011 0 1 1 1

(a)

(b)

(c)

(d)

67

B, dan C adalah 1. Dengan demikian dapat kita perhatikan pada gambar

(a), (b), dan (c) bahwa A, B, dan C adlah 1 pada kotak nomor 7. Maka

hanya pada kotak nomor 7 tersebut dapat kita tuliskan 1. Persamaan

untuk fungsi AND trsebut adalah: Y = ABC.

C \ AB 00 01 10 11

0 1 1

1 1 1

C \ AB 00 01 10 11

0 1 1

1 1 1

C \ AB 00 01 10 11

0

1 1 1 1 1

C \ AB 00 01 10 11

0

1 1

Sedangkan untuk operasi OR hasilnya dapat kita lihat pada

langkah-langkah berikut. Gambar (a) adalah untuk A = 1, gambar (b)

untuk B = 1, gambar (c) untuk C = 1, dan gambar (d) adalah untuk hasil

operasi OR. Hasil operasi OR akan 1 bila salah satu variabel atau lebih

adalah 1. Maka dituliskan 1 pada kotak-kotak peta Karnaugh yang

merupakan elemen:

001 0 0 1 1

010 0 1 0 1

011 0 1 1 1

(a)

(b)

(c)

(d)

100 1 0 0 1

101 1 0 1 1

110 1 1 0 1

110 1 1 0 1

C \ AB 00 01 10 11

0 1 1

1 1 1

C \ AB 00 01 10 11

0 1 1

1 1 1

C \ AB 00 01 10 11

0

1 1 1 1 1

C \ AB 00 01 10 11

0 1 1 1

1 1 1 1 1

Bentuk persamaan OR adalah : Y A B C D

Atau dapat kita tuliskan dalam bentuk aljabar Boole, yang bentuknya

akan seperti berikut:

Y ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC A 1(4,5,6,7) B 1(2,3,6,7) C 1(1,3,5,7)

Y ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC

1 2 3 4 5 6 7

(b)

(c)

(d)

(a)

68 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

Bentuk persmaan diatas tidak lain adalah bentuk fungsi SOP, yang mana

sangat mudah dikonversikan kebentuk fungsi minterm:

f A,B,C m 1,2,3,4,5,6,7

Contoh 12: Tuliskan persamaaan Boole dan fungsi mintermnya untuk peta karnaugh

berikut:

C \ AB 00 01 10 11

0 1 1

1 1 1

Penyelesaian:

AB

C

00

01

10

11

0 1 1

1

Y1 AC

AB

C

00

01

10

11

0

1 1 1

Y2 AC

Dari kedua persamaan itu kita bisa satukan dengan memakai opersi OR,

dengan demikian persamaan akan menjadi:

69

Bentuk persmaan diatas tidak lain adalah bentuk fungsi SOP, yang mana

sangat mudah dikonversikan kebentuk fungsi minterm:

f A,B,C m 1,2,3,4,5,6,7

Contoh 12: Tuliskan persamaaan Boole dan fungsi mintermnya untuk peta karnaugh

berikut:

C \ AB 00 01 10 11

0 1 1

1 1 1

Penyelesaian:

AB

C

00

01

10

11

0 1 1

1

Y1 AC

AB

C

00

01

10

11

0

1 1 1

Y2 AC

Dari kedua persamaan itu kita bisa satukan dengan memakai opersi OR,

dengan demikian persamaan akan menjadi:

AB

C

00

01

10

11

0 1 1

1 1 1

Y AC AC

Untuk mencari fungsi mintermnya dari persamaan Boole kita ubah

kebentuk fungsi SOP.

Y(A,B,C) AC AC

AC(B B) AC(B B)

ABC ABC ABC ABC

4 6 1 3

Kemudian dari bentuk fungsi SOP ini kita dapat dengan mudah

mengkonversiakn kebentuk fungsi minterm. Bentuk fungsi minterm yang

dimaksud:

f A,B,C m 1,3,4,6

Peta Karnaugh map untuk 4-variabel dapat kita ikuti pada

bahasan berikut. Pada peta Karnaugh 4-variabel ini A dan B sebagai

kolom, yang dituliskan berurutan: AB, C dan D adalah sebagai baris yang

dituliskan berurutan: CD.

Untuk lebih jelasnya kita perhatikan langkah-langkah berikut.

Pertama kita buat peta Karnaugh yang terdiri dari enam belas buah

elemen yang terdiri dari empat baris dan empat kolom.Kemudian urutan

dari masing-masing elemen kita beri nomor decimal sebagai berikut.

(Nomor desimal tersebut sesuai dengan kode biner untuk 4-varibel, yaitu

menurut urutan variabel ABCD).

70 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

AB

CD

00

01

10

11

00 0 4 8 12

01 1 5 9 13

10 2 6 10 14

11 3 7 11 15

Peta Karnaugh 4-variabel

Pada kolom:

00 → A = 0 dan B = 0

01 → A = 0 dan B = 1

10 → A = 1 dan B = 0

11 → A = 1 dan B = 1

Pada baris:

00 → C = 0 dan D = 0

01 → C = 0 dan D = 1

10 → C = 1 dan D = 0

11 → C = 1 dan D = 1

Contoh 13:

Dari fungsi-fungsi minterm berikut buatlah peta Karnaugh dan tuliskanlah

persamaan Boolenya

f A,B,C,D m 0,1,4,5,8,9,10,11,12,13,14,15

Penyelesaian:

a. f A,B,C,D m 0,1,4,5,8,9,10,11,12,13,14,15

Peta Karnaughnya adalah:

71

AB

CD

00

01

10

11

00 0 4 8 12

01 1 5 9 13

10 2 6 10 14

11 3 7 11 15

Peta Karnaugh 4-variabel

Pada kolom:

00 → A = 0 dan B = 0

01 → A = 0 dan B = 1

10 → A = 1 dan B = 0

11 → A = 1 dan B = 1

Pada baris:

00 → C = 0 dan D = 0

01 → C = 0 dan D = 1

10 → C = 1 dan D = 0

11 → C = 1 dan D = 1

Contoh 13:

Dari fungsi-fungsi minterm berikut buatlah peta Karnaugh dan tuliskanlah

persamaan Boolenya

f A,B,C,D m 0,1,4,5,8,9,10,11,12,13,14,15

Penyelesaian:

a. f A,B,C,D m 0,1,4,5,8,9,10,11,12,13,14,15

Peta Karnaughnya adalah:

AB

CD

00

01

10

11

00 1 1 1 1

01 1 1 1 1

10 1 1

11 1 1

Persamaan Boolenya: Y A C

AB

CD

00

01

10

11

00 1 1

01 1 1

10 1 1

11 1 1

Y A

AB

CD

00

01

10

11

00 1 1 1 1

01 1 1 1 1

10

11

Y C

72 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

Peta Karnaugh map untuk 5-variabel dapat kita ikuti pada

bahasan berikut. Peta Karnagh untuk 5-variabel terdiri dari 32 elemen

yang terbagi menjadi dua bagian, masing-masing bagian terdiri dari

enambelas elemen. Enambelas pertam untuk A = 0 dan enambelas

berikutnya untuk A = 1. Pata peta Karnaugh 5-variabel ini B dan C

sebagai kolom, yang dituliskan berurutan: BC, D dan E adalah sebagai

baris yang dituliskan berurutan: DE. Untuk lebih jelasnya kita perhatikan

langkah-langkah berikut. Pertama kali kita buat peta Karnaugh yang

terdiri dari enambelas buah elemen dua kali berdampingan, yang

masing-masing terdiri dari empat baris dan empat kolom. Kemudian

urutan dari msaing-maing elemen kita beri nomor decimal sebagai

berikut. (Nomor decimal tersebut sesuai dengan kode biner untuk 5-

variabel, yaitu menurut ururatan variabel: ABCDE).

Untuk A = 0

CD \ AB 00 01 10 11

00 0 4 8 12

01 1 5 9 13

10 2 6 10 14

11 3 7 11 15

Untuk A = 1

CD \ AB 00 01 10 11

00 16 20 24 28

01 17 21 25 29

10 18 22 26 30

11 19 23 27 31

Y A B C D E

Dengan cara yang sama dengan 4-variabel, persamaan Boole untuk

operasi AND:

Y A.B.C.D.E

73

Peta Karnaugh map untuk 5-variabel dapat kita ikuti pada

bahasan berikut. Peta Karnagh untuk 5-variabel terdiri dari 32 elemen

yang terbagi menjadi dua bagian, masing-masing bagian terdiri dari

enambelas elemen. Enambelas pertam untuk A = 0 dan enambelas

berikutnya untuk A = 1. Pata peta Karnaugh 5-variabel ini B dan C

sebagai kolom, yang dituliskan berurutan: BC, D dan E adalah sebagai

baris yang dituliskan berurutan: DE. Untuk lebih jelasnya kita perhatikan

langkah-langkah berikut. Pertama kali kita buat peta Karnaugh yang

terdiri dari enambelas buah elemen dua kali berdampingan, yang

masing-masing terdiri dari empat baris dan empat kolom. Kemudian

urutan dari msaing-maing elemen kita beri nomor decimal sebagai

berikut. (Nomor decimal tersebut sesuai dengan kode biner untuk 5-

variabel, yaitu menurut ururatan variabel: ABCDE).

Untuk A = 0

CD \ AB 00 01 10 11

00 0 4 8 12

01 1 5 9 13

10 2 6 10 14

11 3 7 11 15

Untuk A = 1

CD \ AB 00 01 10 11

00 16 20 24 28

01 17 21 25 29

10 18 22 26 30

11 19 23 27 31

Y A B C D E

Dengan cara yang sama dengan 4-variabel, persamaan Boole untuk

operasi AND:

Y A.B.C.D.E

DE \ABC 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10

11

Dapat diterapkan pada peta Karnaugh 5-variabel sebagai berikut:

Y A.B.C.D.E . Demikian juga persamaan Boole untuk operasi OR:

Y A B C D E . Dapat diterapkan pada peta Karnaugh 5-

variabel. Diamana kotak yang tidak terisi sama dengan variabel-variabel

yang lain, yaitu pada elemen kotak nomor 0.

Contoh 14:

Dari fungsi-fungsi minterm berikut buatlah peta Karnaugh dan tuliskanlah

persamaan Boolenya:

a. f A,B,C,D m 0,1,4,5,8,9,10,11,12,13,14,15

b. f A,B,C,D m 0,1,2,3,4,5,6,7,12,13,1( 4,15)

c. f A,B,C,D m 2,3,4,5,6,7,9,11,13,15

d. f A,B,C,D m 4,5,6,7,9,10

e. f A,B,C,D m 7,8,9,10,13,14,15

Penyelesaian:

a. f A,B,C,D m 0,1,4,5,8,9,10,11,12,13,14,15

74 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

Y C

Peta Karnaughnya adalah:

AB

CD

00

01

10

11

00 1 1 1 1

01 1 1 1 1

10 1 1

11 1 1

Persamaan Boolenya: Y A C

AB

CD

00

01

10

11

00 1 1

01 1 1

10 1 1

11 1 1

Y A

AB

CD

00

01

10

11

00 1 1 1 1

01 1 1 1 1

10

11

75

Y C

Peta Karnaughnya adalah:

AB

CD

00

01

10

11

00 1 1 1 1

01 1 1 1 1

10 1 1

11 1 1

Persamaan Boolenya: Y A C

AB

CD

00

01

10

11

00 1 1

01 1 1

10 1 1

11 1 1

Y A

AB

CD

00

01

10

11

00 1 1 1 1

01 1 1 1 1

10

11

b. f A,B,C,D m 0,1,2,3,4,5,6,7,12,13,1( 4,15)

Peta Karnaughnya adalah:

AB

CD

00

01

10

11

00 1 1 1

01 1 1 1

10 1 1 1

11 1 1 1

Persamaan Boolenya: Y A B

AB

CD

00

01

10

11

00 1 1

01 1 1

10 1 1

11 1 1

Y A

AB

CD

00

01

10

11

00 1 1

01 1 1

10 1 1

11 1 1

Y B

76 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

c. f A,B,C,D m 2,3,4,5,6,7,9,11,13,15

Peta Karnaughnya adalah:

AB

CD

00

01

10

11

00 1

01 1 1

10 1 1

11 1 1 1 1

Y AB CD AC BD

AB

CD

00

01

10

11

00 1

01 1

10 1

11 1

Y AB

AB

CD

00

01

10

11

00

01

10

11 1 1 1 1

Y CD

77

c. f A,B,C,D m 2,3,4,5,6,7,9,11,13,15

Peta Karnaughnya adalah:

AB

CD

00

01

10

11

00 1

01 1 1

10 1 1

11 1 1 1 1

Y AB CD AC BD

AB

CD

00

01

10

11

00 1

01 1

10 1

11 1

Y AB

AB

CD

00

01

10

11

00

01

10

11 1 1 1 1

Y CD

AB

CD

00

01

10

11

00

01

10 1 1

11 1 1

Y AC

AB

CD

00

01

10

11

00

01 1 1

10

11 1 1

Y BD

d. f A,B,C,D m 4,5,6,7,9,10

Peta Karnaughnya adalah:

AB

CD

00

01

10

11

00 1

01 1 1

10 1 1

11 1

78 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

AB

CD

00

01

10

11

00 1

01 1

10 1

11 1

Y AB

AB

CD

00

01

10

11

00

01 1

10

11

Y A.B.C.D

AB

CD

00

01

10

11

00

01

10 1

11

Y ABCD

Pesamaan Boolenya: Y AB ABCD ABCD

79

AB

CD

00

01

10

11

00 1

01 1

10 1

11 1

Y AB

AB

CD

00

01

10

11

00

01 1

10

11

Y A.B.C.D

AB

CD

00

01

10

11

00

01

10 1

11

Y ABCD

Pesamaan Boolenya: Y AB ABCD ABCD

e. f A,B,C,D m 7,8,9,10,13,14,15

Peta Karnaughnya adalah:

AB CD

00

01

10

11

00 1

01 1 1

10 1 1 1

11 1

Y ABC ABD BCD ACD

AB CD

00

01

10

11

00 1 01 1 10 11

Y ABC

AB CD

00

01

10

11

00 01 1 10 1 11

Y ABD

AB CD

00

01

10

11

00 01 10 11 1 1

Y BCD

80 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

AB

CD

00

01

10

11

00

01

10 1 1

11

Y ACD

Peta Karnaugh map untuk 5-variabel dapat kita ikuti pada

bahasan berikut. Peta Karnagh untuk 5-variabel terdiri dari 32 elemen

yang terbagi menjadi dua bagian, masing-masing bagian terdiri dari

enambelas elemen. Enambelas pertam untuk A = 0 dan enambelas

berikutnya untuk A = 1. Pata peta Karnaugh 5-variabel ini B dan C

sebagai kolom, yang dituliskan berurutan: BC, D dan E adalah sebagai

baris yang dituliskan berurutan: DE. Untuk lebih jelasnya kita perhatikan

langkah-langkah berikut. Pertama kali kita buat peta Karnaugh yang

terdiri dari enambelas buah elemen dua kali berdampingan, yang

masing-masing terdiri dari empat baris dan empat kolom. Kemudian

urutan dari msaing-maing elemen kita beri nomor decimal sebagai

berikut. (Nomor decimal tersebut sesuai dengan kode biner untuk 5-

variabel, yaitu menurut ururatan variabel: ABCDE).

BC

DE

00

A = 0

01

10

11

00 0 4 8 11

01 1 5 9 12

10 2 6 10 13

11 3 7 11 14

81

AB

CD

00

01

10

11

00

01

10 1 1

11

Y ACD

Peta Karnaugh map untuk 5-variabel dapat kita ikuti pada

bahasan berikut. Peta Karnagh untuk 5-variabel terdiri dari 32 elemen

yang terbagi menjadi dua bagian, masing-masing bagian terdiri dari

enambelas elemen. Enambelas pertam untuk A = 0 dan enambelas

berikutnya untuk A = 1. Pata peta Karnaugh 5-variabel ini B dan C

sebagai kolom, yang dituliskan berurutan: BC, D dan E adalah sebagai

baris yang dituliskan berurutan: DE. Untuk lebih jelasnya kita perhatikan

langkah-langkah berikut. Pertama kali kita buat peta Karnaugh yang

terdiri dari enambelas buah elemen dua kali berdampingan, yang

masing-masing terdiri dari empat baris dan empat kolom. Kemudian

urutan dari msaing-maing elemen kita beri nomor decimal sebagai

berikut. (Nomor decimal tersebut sesuai dengan kode biner untuk 5-

variabel, yaitu menurut ururatan variabel: ABCDE).

BC

DE

00

A = 0

01

10

11

00 0 4 8 11

01 1 5 9 12

10 2 6 10 13

11 3 7 11 14

00

A = 1

01

10

11

BC

DE

16 20 24 28 00

17 21 25 29 01

18 22 26 30 10

19 23 27 31 11

BC

DE

00

A = 0

01

10

11

00

01

10

11

BC

DE

00

A = 1

01

10

11

00 1 1 1 1

01 1 1 1 1

10 1 1 1 1

11 1 1 1 1

BC DE

00

A =0 01

10

11

00 1 1 01 1 1 10 1 1 11 1 1

82 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

00

A =1 01

10

11

BC

DE

1 1 00 1 1 01 1 1 10 1 1 11

B = 1

BC DE

00

A = 0 01

10

11

00 1 1 01 1 1 10 1 1 11 1 1

00

A = 1 01

10

11

BC DE

1 1 00 1 1 01 1 1 10 1 1 11

C 1

BC DE

00

A = 0 01

10

11

00

01

10 1 1 1 1

11 1 1 1 1

83

00

A =1 01

10

11

BC

DE

1 1 00 1 1 01 1 1 10 1 1 11

B = 1

BC DE

00

A = 0 01

10

11

00 1 1 01 1 1 10 1 1 11 1 1

00

A = 1 01

10

11

BC DE

1 1 00 1 1 01 1 1 10 1 1 11

C 1

BC DE

00

A = 0 01

10

11

00

01

10 1 1 1 1

11 1 1 1 1

00

A = 1 01

10

11

BC DE

00

01

1 1 1 1 10

1 1 1 1 11

D = 1

BC

DE

00

A = 0

01

10

11

00

01 1 1 1 1

10

11 1 1 1 1

00

A = 1

01

10

11

BC

DE

00

1 1 1 1 01

10

1 1 1 1 11

84 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

Dengan cara yang sama dengan 4-variabel, persamaan Boole

untuk operasi AND:

Y A.B.C.D.E

Dapat diterapkan pada peta Karnaugh 5-variabel sebagai berikut:

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10

11 1

Y A.B.C.D.E

Demikian juga persamaan Boole untuk operasi OR:

Y A B C D E

Dapat diterapkan pada peta Karnaugh 5-variabel. Diamana kotak

yang tidak terisi sama dengan variabel-variabel yang lain, yaitu pada

elemen kotak nomor 0.

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1

01

10

11

Y A B C D E

85

Dengan cara yang sama dengan 4-variabel, persamaan Boole

untuk operasi AND:

Y A.B.C.D.E

Dapat diterapkan pada peta Karnaugh 5-variabel sebagai berikut:

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10

11 1

Y A.B.C.D.E

Demikian juga persamaan Boole untuk operasi OR:

Y A B C D E

Dapat diterapkan pada peta Karnaugh 5-variabel. Diamana kotak

yang tidak terisi sama dengan variabel-variabel yang lain, yaitu pada

elemen kotak nomor 0.

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1

01

10

11

Y A B C D E

Contoh 15:

Dari fungsi-fungsi minterm berikut tentukanlah persamaan Boole

yang paling sederhana dengan memakai peta Karnaugh.

a. f A,B,C,D,E m 2,3,7,10,11,15,18,19,23,24,25,26,27,28,29

b. f A,B,C,D,E m 0,1,2,3,8,9,10,11,18,19,20,21,26,27,28,29

c. f A,B,C,D,E m 8,9,10,11,12,13,14,15,22,23,24,25

d. f A,B,C,D,E m 11,12,13,14,15,16,17,18,19

e. f A,B,C,D,E m 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,21,22,23,24,25,26,27

Penyelesaian:

a. f A,B,C,D,E m 2,3,7,10,11,15,18,19,23,24,25,26,27,28,29

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1

01 1 1

10 1 1 1 1

11 1 1 1 1 1 1 1

Peta Karnaugh untuk fungsi minterm tersebut

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10

11 1 1 1 1

Y ADE

86 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1

01 1 1

10

11

Y ABD

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1

01 1

10 1

11 1

Y ABC

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10 1 1 1 1

11 1 1 1 1

Y CD

87

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1

01 1 1

10

11

Y ABD

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1

01 1

10 1

11 1

Y ABC

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10 1 1 1 1

11 1 1 1 1

Y CD

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10

11 1 1 1 1

Y BDE

Persamaan Boole: Y ADE ABD ABC CD BDE

b. f A,B,C,D,E m 0,1,2,3,8,9,10,11,18,19,20,21,26,27,28,29

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1 1 1

01 1 1 1 1

10 1 1 1 1

11 1 1 1 1

Peta Karnaugh yang dimaksud

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1

01 1 1

10 1 1

11 1 1

Y AC

88 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10 1 1 1 1

11 1 1 1 1

Y CD

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110

111

00 1 1

01 1 1

10

11

Y ACD

Persamaan Boole: Y AC CD ACD

c. f A,B,C,D,E m 8,9,10,11,12,13,14,15,22,23,24,25

ABC DE

000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1 1

01 1 1 1

10 1 1 1

11 1 1 1

Peta karnaugh yang dimaksud

89

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10 1 1 1 1

11 1 1 1 1

Y CD

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110

111

00 1 1

01 1 1

10

11

Y ACD

Persamaan Boole: Y AC CD ACD

c. f A,B,C,D,E m 8,9,10,11,12,13,14,15,22,23,24,25

ABC DE

000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1 1

01 1 1 1

10 1 1 1

11 1 1 1

Peta karnaugh yang dimaksud

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1 1 1

01 1 1 1 1

10 1 1

11 1 1

Y AB

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1

01 1 1

10

11

Y BCD

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10 1

11 1

Y ABCD

90 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

Persamaan Boole: Y AB BCD ABCD

d. f A,B,C,D,E m 11,12,13,14,15,16,17,18,19

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1

01 1 1

10 1 1

11 1 1 1

Peta Karnaugh yang dimaksud

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1

01 1

10 1

11 1

Y ABC

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1

01 1

10 1

11 1

Y ABC

91

Persamaan Boole: Y AB BCD ABCD

d. f A,B,C,D,E m 11,12,13,14,15,16,17,18,19

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1

01 1 1

10 1 1

11 1 1 1

Peta Karnaugh yang dimaksud

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1

01 1

10 1

11 1

Y ABC

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1

01 1

10 1

11 1

Y ABC

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10

11 1 1

Y ABDE

Persamaan Boole: Y ABC ABC ABC ABDE

e. f A,B,C,D,E m 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,21,22,23,24,25,26,27

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1 1 1

01 1 1 1 1 1

10 1 1 1 1

11 1 1 1 1

Peta Karnaugh yang dimaksud

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1

01 1 1

10 1 1

11 1 1

Y AB

92 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1

01 1

10 1

11 1

Y ABC

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1

01 1 1

10

11

Y ACD

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01 1 1

10

11 1 1

Y BCE

93

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1

01 1

10 1

11 1

Y ABC

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1

01 1 1

10

11

Y ACD

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01 1 1

10

11 1 1

Y BCE

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10 1 1

11 1 1

Y BCD

Persamaan Boole: Y AB ABC ACD BCE BCD

SOAL-JAWAB

1. Konversikan persamaan Boole berikut ke bentuk fungsi minterm.

a. f (A,B,C,D) AC B(A CD)

b. f (A,B,C,D,E) B(C A)(D E) ACE

c. f (A,B,C,D,E) (C E)(E BD) (AE BC)(D E)

Penyelesaian:

a. f (A,B,C,D) AC AB ABC ACD BCD

AC(B B) AB BCD

ABC ABC AB(C C) BCD(A A)

ABC(D D) ABC(D D) ABC ABC ABCD ABCD

ABCD ABCD ABCD ABCD ABC(D D) ABC(D D)

ABCD ABCD

ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD

10 11 14 15 12 13 14 15

94 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

ABCD ABCD

6 14

f (A,B,C,D) m(6,10,11,12,13,14,15)

b. f (A,B,C,D,E) B(C A)(D E) ACE

(BC AB)(D E) ACE

BCD BCE ABD ABE ACE

BCD(A A) BCE(A A) ABD(C C) ABE(C C) ACE(B B)

ABCD ABCD ABCE ABCE ABCD ABCD ABCE

ABCE ABCE ABCE

ABCD(E E) ABCD(E E) ABCE(D D) ABCE(D D)

ABCD(E E) ABCE(D D) ABCE(D D)

ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE

2 3 18 19 0 2

ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE 16 18 6 7 4 6

ABCDE ABCDE

8 10

f (A,B,C,D,E) m(0,2,3,4,6,7,10,16,18,19)

c. f (A,B,C,D,E) (C E)(E BD) (AE BC)(D E)

(C E)EBD (AE BC)DE

(C E)E(B D) ADEE BCDE

(CE EE)(B D) BCDE

(BCE CDE BE DE BCDE)(A A)

ABCE ABCE ACDE ACDE ABE ABE ADE ADE ABCDE ABCDE

95

ABCD ABCD

6 14

f (A,B,C,D) m(6,10,11,12,13,14,15)

b. f (A,B,C,D,E) B(C A)(D E) ACE

(BC AB)(D E) ACE

BCD BCE ABD ABE ACE

BCD(A A) BCE(A A) ABD(C C) ABE(C C) ACE(B B)

ABCD ABCD ABCE ABCE ABCD ABCD ABCE

ABCE ABCE ABCE

ABCD(E E) ABCD(E E) ABCE(D D) ABCE(D D)

ABCD(E E) ABCE(D D) ABCE(D D)

ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE

2 3 18 19 0 2

ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE 16 18 6 7 4 6

ABCDE ABCDE

8 10

f (A,B,C,D,E) m(0,2,3,4,6,7,10,16,18,19)

c. f (A,B,C,D,E) (C E)(E BD) (AE BC)(D E)

(C E)EBD (AE BC)DE

(C E)E(B D) ADEE BCDE

(CE EE)(B D) BCDE

(BCE CDE BE DE BCDE)(A A)

ABCE ABCE ACDE ACDE ABE ABE ADE ADE ABCDE ABCDE

(ABCE ABCE ABE ABE)(D D) (ACDE ACDE ADE

ADE)(B B) ABCDE ABCDE

ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABDE ABDE ABDE

+ABDE + ABCDE + ABCDE + ABCDE + ABCDE + ABDE + ABDE ABDE ABDE ABCDE ABCDE

ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE + ABCDE

+ABCDE ABCDE ABCDE +(ABDE ABDE ABDE + ABDE

+ABDE ABDE)(C C)

ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE + ABCDE + ABCDE 4 6 20 22 4 12

+ABCDE ABCDE ABCDE + ABCDE ABCDE ABCDE

28 8 24 0 4 2

ABCDE ABCDE + ABCDE + ABCDE ABCDE + ABCDE 6 16 20 18 22 8

ABCDE ABCDE ABCDE

12 24 28

f (A,B,C,D,E) m(0,2,4,6,8,12,16,18,20,22,24,28)

2. Konversikan persamaan Boole berikut ke bentuk fungsi maxterm.

a. f (A,B,C,D) AC A(B CD)

b. f (A,B,C) B(A C)(B C) AB

c. f (A,B,C) (C B)(A B) (A BC)

Penyelesaian:

a. f (A,B,C,D) AC A(B CD)

AC AB ACD

A(C B CD)

96 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

A[C (B CD)]

A[(C (B C)(B D)] → sifat distributif

A(C B C)(C B D) → sifat distributif

A(B C)(B C D)

(A BB)(B C AA)(B C D AA) AA 0

(A B)(A B)(A B C)(A B C)(A B C D)(A B C D)

(A B CC)(A B CC)(A B C DD)(A B C DD) (A B C D)(A B C D)

(A B C)(A B C)(A B C)(A B C)(A B C D) (A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)

(A B C DD)(A B C DD)(A B C DD)(A B C DD)

(A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D) (A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)

0 1 2 3

(A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D) 4 5 6 7

(A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)

0 1 8 9

f (A,B,C,D,E) M(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

b. f (A,B,C) B(A C)(B C) AB → distributif

(B AB)(A C AB)(B C AB)

(B A)(B B)(A (C A)(C B))(B (C A)(C B))

(B A)B(A (C A)(A C B)(B C A)(B C B)

B(A B)(A C)(A B C)(A B C)(1 C) → B B 1

dan1 C 1

(AA B)(A B CC)(A C BB)(A B C)(A B C)

97

A[C (B CD)]

A[(C (B C)(B D)] → sifat distributif

A(C B C)(C B D) → sifat distributif

A(B C)(B C D)

(A BB)(B C AA)(B C D AA) AA 0

(A B)(A B)(A B C)(A B C)(A B C D)(A B C D)

(A B CC)(A B CC)(A B C DD)(A B C DD) (A B C D)(A B C D)

(A B C)(A B C)(A B C)(A B C)(A B C D) (A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)

(A B C DD)(A B C DD)(A B C DD)(A B C DD)

(A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D) (A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)

0 1 2 3

(A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D) 4 5 6 7

(A B C D)(A B C D)(A B C D)(A B C D)

0 1 8 9

f (A,B,C,D,E) M(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

b. f (A,B,C) B(A C)(B C) AB → distributif

(B AB)(A C AB)(B C AB)

(B A)(B B)(A (C A)(C B))(B (C A)(C B))

(B A)B(A (C A)(A C B)(B C A)(B C B)

B(A B)(A C)(A B C)(A B C)(1 C) → B B 1

dan1 C 1

(AA B)(A B CC)(A C BB)(A B C)(A B C)

(A B)(A B)(A B C)(A B C)(A B C)(A B C)

(A B C)(A B C)

(A B CC)(A B CC)(A B C)(A B C)(A B C)(A B C)

(A B C)(A B C)

(A B C)(A B C)(A B C)(A B C)(A B C)(A B C)

2 3 6 7 6 7

(A B C)(A B C)(A B C)(A B C)

5 7 7 5

f (A,B,C,D,E) M(2,3,4,5,6,7)

c. f (A,B,C) (C B)(A B) (A BC)

(C B)(AB) (A B)(A C)

(ABC ABB) (A B)(A C)

ABC (A B)(A C)

(A A B)(A A C)(B A B)(B A C)(C A B)(C A C)

→ A A A

(A B)(A C)(A 1)(A B C)(A B C)(A C)

(A B CC)(A C BB)(A B C)(A B C)(A C BB)

(A B C)(A B C)(A B C)(A B C)

4 5 5 7

(A B C)(A B C)(A B C)(A B C)

7 5 5 7

f (A,B,C,D,E) M(4,5,7)

3. Dengan memakai peta Karnaugh, tentukan realisasi minimal fungsi

SOP dari fungsi minterm 3-variabel berikut.

a) f (A,B,C) m(0,1,4,6)

98 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

b) f (A,B,C) m(0,5,6,7)

c) f (A,B,C) m(0,1,4,5)

Penyelesaian:

a) f (A,B,C) m(0,1,4,6)

AB

C 00 01 10 11

0 1 1 1

1 1

fungai SOP: f (A,B,C) AB AC

(minimalisasi lihat gambar berikut)

AB

C 00 01 10 11

0 1 1 1

1 1

f (A,B,C) AB

AB

C 00 01 10 11

0 1 1 1

1 1

f (A,B,C) AC

99

b) f (A,B,C) m(0,5,6,7)

c) f (A,B,C) m(0,1,4,5)

Penyelesaian:

a) f (A,B,C) m(0,1,4,6)

AB

C 00 01 10 11

0 1 1 1

1 1

fungai SOP: f (A,B,C) AB AC

(minimalisasi lihat gambar berikut)

AB

C 00 01 10 11

0 1 1 1

1 1

f (A,B,C) AB

AB

C 00 01 10 11

0 1 1 1

1 1

f (A,B,C) AC

Realisasi rangkaian:

b) f (A,B,C) m(0,5,6,7)

AB

C

00

01

10

11

0 1 1

1 1 1

fungai SOP: f (A,B,C) ABC AB AC

(minimalisasi lihat gambar berikut)

AB

C

00

01

10

11

0 1

1

f (A,B,C) ABC

AB

C

00

01

10

11

0 1

1 1

f (A,B,C) AB

100 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

AB

C

00

01

10

11

0

1 1 1

f (A,B,C) AC

realisasi rangkaian:

c) f (A,B,C) m(0,1,4,5)

AB

C

00

01

10

11

0 1 1

1 1 1

fungai SOP: f (A,B,C) B

(minimalisasi lihat gambar berikut)

AB

C

00

01

10

11

0 1

1 1

f (A,B,C) AB

101

AB

C

00

01

10

11

0

1 1 1

f (A,B,C) AC

realisasi rangkaian:

c) f (A,B,C) m(0,1,4,5)

AB

C

00

01

10

11

0 1 1

1 1 1

fungai SOP: f (A,B,C) B

(minimalisasi lihat gambar berikut)

AB

C

00

01

10

11

0 1

1 1

f (A,B,C) AB

AB

C

00

01

10

11

0 1

1 1

f (A,B,C) AB

f (A,B,C) AB AB B(A A) B

4. Dengan memakai peta Karnaugh, tentukan realisasi minimal fungsi

SOP dari fungsi minterm 4-variabel berikut.

a) f (A,B,C,D) m(5,7,10,11,13,15)

b) f (A,B,C,D) m(0,4,6,10,11,14,15)

c) f (A,B,C,D) m(3,4,5,7,11,12,14,15)

d) f (A,B,C,D) m(5,6,9,10,13,14)

Penyelesaian:

a) f (A,B,C,D) m(5,7,10,11,13,15)

AB

CD

00

01

10

11

00

01 1 1

10 1

11 1 1

fungai SOP: f (A,B,C,D) BD ABCD

102 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

(minimalisasi lihat gambar berikut)

AB

CD

00

01

10

11

00

01 1 1

10

11 1 1

f (A,B,C,D) BD

AB

CD

00

01

10

11

00

01

10 1

11

f (A,B,C,D) ABCD

Realisasi rangkaian:

103

(minimalisasi lihat gambar berikut)

AB

CD

00

01

10

11

00

01 1 1

10

11 1 1

f (A,B,C,D) BD

AB

CD

00

01

10

11

00

01

10 1

11

f (A,B,C,D) ABCD

Realisasi rangkaian:

b) f (A,B,C,D) m(0,4,6,10,11,14,15)

AB

CD

00

01

10

11

00 1 1

01

10 1 1 1

11 1 1

fungai SOP: f (A,B,C,D) AC ACD BCD

(minimalisasi lihat gambar berikut)

AB

CD

00

01

10

11

00

01

10 1 1

11 1 1

f (A,B,C,D) AC

AB

CD

00

01

10

11

00 1 1

01

10

11

f (A,B,C,D) ACD

104 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

AB

CD

00

01

10

11

00

01

10 1 1

11

f (A,B,C,D) BCD

Realisasi rangkaian:

c) f (A,B,C,D) m(3,4,5,7,11,12,14,15)

AB

CD

00

01

10

11

00 1 1

01 1

10 1

11 1 1 1 1

fungai SOP: f (A,B,C,D) CD BCD ABC ABC

(minimalisasi lihat gambar berikut)

105

AB

CD

00

01

10

11

00

01

10 1 1

11

f (A,B,C,D) BCD

Realisasi rangkaian:

c) f (A,B,C,D) m(3,4,5,7,11,12,14,15)

AB

CD

00

01

10

11

00 1 1

01 1

10 1

11 1 1 1 1

fungai SOP: f (A,B,C,D) CD BCD ABC ABC

(minimalisasi lihat gambar berikut)

AB

CD

00

01

10

11

00

01

10

11 1 1 1 1

f (A,B,C,D) CD

AB

CD

00

01

10

11

00 1 1

01

10

11

f (A,B,C,D) BCD

AB

CD

00

01

10

11

00

01

10 1

11 1

f (A,B,C,D) ABC

AB CD

00

01

10

11

00 1 01 1 10 11

f (A,B,C,D) ABC

106 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

Realisasi rangkaian:

d) f (A,B,C,D) m(5,6,9,10,13,14)

AB

CD

00

01

10

11

00

01 1 1 1

10 1 1 1

11

fungai SOP: f (A,B,C,D) CD BCD ABC ABC

(minimalisasi lihat gambar berikut)

AB

CD

00

01

10

11

00

01 1 1

10

11

f (A,B,C,D) BCD

107

Realisasi rangkaian:

d) f (A,B,C,D) m(5,6,9,10,13,14)

AB

CD

00

01

10

11

00

01 1 1 1

10 1 1 1

11

fungai SOP: f (A,B,C,D) CD BCD ABC ABC

(minimalisasi lihat gambar berikut)

AB

CD

00

01

10

11

00

01 1 1

10

11

f (A,B,C,D) BCD

AB CD

00

01

10

11

00 01 10 1 1 11

f (A,B,C,D) BCD

AB CD

00

01

10

11

00 01 1 1 10 11

f (A,B,C,D) ACD

AB CD

00

01

10

11

00 01 10 1 1 11

f (A,B,C,D) ACD

Realisasi rangkaian:

108 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

5. Dengan memakai peta Karnaugh, tentukan realisasi minimal fungsi

SOP dari fungsi minterm 5-variabel berikut.

a) f (A,B,C,D,E) m(0,2,3,4,7,10,11,16,18,19,20,23,26,27)

b) f (A,B,C,D,E) m(13,20,21,29,30,31)

c) f (A,B,C,D,E) m(2,3,10,11,18,19,23,24,25,26,27,28,29,30,31)

d) f (A,B,C,D,E) m(0,1,2,3,12,13,14,15,16,17,18,19,28,29,30,31)

Penyelesaian:

a) f (A,B,C,D,E) m(0,2,3,4,7,10,11,16,18,19,20,23,26,27)

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1 1 1

01

10 1 1 1 1

11 1 1 1 1 1 1

f (A,B,C,D,E) CD BDE BDE

(minimisasi lihat gambar berikut)

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10 1 1 1 1

11 1 1 1 1

f (A,B,C,D,E) CD

109

5. Dengan memakai peta Karnaugh, tentukan realisasi minimal fungsi

SOP dari fungsi minterm 5-variabel berikut.

a) f (A,B,C,D,E) m(0,2,3,4,7,10,11,16,18,19,20,23,26,27)

b) f (A,B,C,D,E) m(13,20,21,29,30,31)

c) f (A,B,C,D,E) m(2,3,10,11,18,19,23,24,25,26,27,28,29,30,31)

d) f (A,B,C,D,E) m(0,1,2,3,12,13,14,15,16,17,18,19,28,29,30,31)

Penyelesaian:

a) f (A,B,C,D,E) m(0,2,3,4,7,10,11,16,18,19,20,23,26,27)

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1 1 1

01

10 1 1 1 1

11 1 1 1 1 1 1

f (A,B,C,D,E) CD BDE BDE

(minimisasi lihat gambar berikut)

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10 1 1 1 1

11 1 1 1 1

f (A,B,C,D,E) CD

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10

11 1 1 1 1

f (A,B,C,D,E) BDE

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1 1 1

01

10

11

f (A,B,C,D,E) BDE

Realisasi rangkaian:

110 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

b) f (A,B,C,D,E) m(13,20,21,29,30,31)

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1

01 1 1 1

10 1

11 1

f (A,B,C,D,E) ABC ACDE BCDE

(minimisasi lihat gambar berikut)

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1

01 1

10 1

11 1

f (A,B,C,D,E) ABC

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1

01

10

11

f (A,B,C,D,E) ACDE

111

b) f (A,B,C,D,E) m(13,20,21,29,30,31)

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1

01 1 1 1

10 1

11 1

f (A,B,C,D,E) ABC ACDE BCDE

(minimisasi lihat gambar berikut)

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1

01 1

10 1

11 1

f (A,B,C,D,E) ABC

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1

01

10

11

f (A,B,C,D,E) ACDE

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01 1 1

10

11

f (A,B,C,D,E) BCDE

Realisasi rangkaian:

c) f (A,B,C,D,E) m(2,3,10,11,18,19,23,24,25,26,27,28,29,30,31)

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1

01 1 1

10 1 1 1 1 1

11 1 1 1 1 1 1

f (A,B,C,D,E) AB CD ADE

112 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

(minimisasi lihat gambar berikut)

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1

01 1 1

10 1 1

11 1 1

f (A,B,C,D,E) AB

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10 1 1 1 1

11 1 1 1 1

f (A,B,C,D,E) CD

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10

11 1 1 1 1

f (A,B,C,D,E) ADE

113

(minimisasi lihat gambar berikut)

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1

01 1 1

10 1 1

11 1 1

f (A,B,C,D,E) AB

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10 1 1 1 1

11 1 1 1 1

f (A,B,C,D,E) CD

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10

11 1 1 1 1

f (A,B,C,D,E) ADE

Realisasi rangkaian:

d) f (A,B,C,D,E) m(0,1,2,3,12,13,14,15,16,17,18,19,28,29,30,31)

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1 1 1

01 1 1 1 1

10 1 1 1 1

11 1 1 1 1

f (A,B,C,D,E) BC BC

(minimisasi lihat gambar berikut)

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1

01 1 1

10 1 1

11 1 1

f (A,B,C,D,E) BC

114 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1

01 1 1

10 1 1

11 1 1

f (A,B,C,D,E) BC BC

Realisasi rangkaian:

6. Suatu rangkaian logika direncanakan mempunyai 4-masukan y1, y0

dan x1, x0. Pasangan bit y1, y0, dan x1, x0 menampilkan bilangan biner

2-bit, dengan y1 dan x1 merupakan MSB. Keluaran z akan 1 jika

bilangan biner x1, x0 lebih besar atau sama dengan bilangan biner y1,

y0. Tentukan fungsi SOP dan realisasi rangkaian dengan memakai

tabel kebenaran dan minimalisasi peta Karnaugh.

Penyelesaian: Tabel kebenaran dengan peta Karnaugh

y1 y0 x1 x0 Z

0 0 0 0 1

0 0 0 1 1

0 0 1 0 1

0 0 1 1 1

115

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1

01 1 1

10 1 1

11 1 1

f (A,B,C,D,E) BC BC

Realisasi rangkaian:

6. Suatu rangkaian logika direncanakan mempunyai 4-masukan y1, y0

dan x1, x0. Pasangan bit y1, y0, dan x1, x0 menampilkan bilangan biner

2-bit, dengan y1 dan x1 merupakan MSB. Keluaran z akan 1 jika

bilangan biner x1, x0 lebih besar atau sama dengan bilangan biner y1,

y0. Tentukan fungsi SOP dan realisasi rangkaian dengan memakai

tabel kebenaran dan minimalisasi peta Karnaugh.

Penyelesaian: Tabel kebenaran dengan peta Karnaugh

y1 y0 x1 x0 Z

0 0 0 0 1

0 0 0 1 1

0 0 1 0 1

0 0 1 1 1

0 1 0 0 0

0 1 0 1 1

0 1 1 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 0 1 1 1

1 1 0 0 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 0

1 1 1 1 1

minimisasi dengan peta Karnaugh:

y1y0

x1x0

00

01

10

11

00 1

01 1 1

10 1 1 1 1

11 1 1 1

fungai SOP: 1 0 1 0 1 0 0 11 0 1 0f ( ) y y x x y xy , y , yx ,x x

(minimisasi lihat gambar berikut) y1y0

x1x0

00

01

10

11

00 1

01 1

10 1

11 1

1 0 1 10 0y , y ,x ,xf ( ) y y

116 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

y1y0

x1x0

00

01

10

11

00

01

10 1 1 1 1

11

1 0 1 10 0y , y ,x ,xf ( ) x x

y1y0

x1x0

00

01

10

11

00

01 1 1

10

11 1 1

1 0 1 10 0y , y ,x ,xf ( ) y x y1y0

x1x0

00

01

10

11

00

01 1 1

10

11 1 1

1 0 1 00 1y , y ,x ,xf ( ) y x

Realisasi rangkaian:

117

y1y0

x1x0

00

01

10

11

00

01

10 1 1 1 1

11

1 0 1 10 0y , y ,x ,xf ( ) x x

y1y0

x1x0

00

01

10

11

00

01 1 1

10

11 1 1

1 0 1 10 0y , y ,x ,xf ( ) y x y1y0

x1x0

00

01

10

11

00

01 1 1

10

11 1 1

1 0 1 00 1y , y ,x ,xf ( ) y x

Realisasi rangkaian:

7. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya bisa dibagi oleh bilangan

itu sendiri atau 1. Tentukan bilangan prima antara 0 dan 31 yang

disajikan dalam bentuk bilangan biner dalam bentuk lima bit:

A B C D E

dimana A merupakan MSB.

Rencanakan rangkaian logika detektor bilangan prima tersebut dalam

bentuk fungsi SOP, dimana keluaran Y akan 1 jika dan hanya jika

input ABCDE merupakan bilangan prima.

Penyelesaian: Tabel kebenaran dengan peta Karnaugh

Bil desimal

A B C D E Out Y

0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 1 1

2 0 0 0 1 0 1

3 0 0 0 1 1 1

4 0 0 1 0 0 0

5 0 0 1 0 1 1

6 0 0 1 1 0 0

7 0 0 1 1 1 1

8 0 1 0 0 0 0

9 0 1 0 0 1 0

10 0 1 0 1 0 0

11 0 1 0 1 1 1

12 0 1 1 0 0 0

13 0 1 1 0 1 1

14 0 1 1 1 0 0

15 0 1 1 1 1 0

16 1 0 0 0 0 0

17 1 0 0 0 1 1

118 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

18 1 0 0 1 0 0

19 1 0 0 1 1 1

20 1 0 1 0 0 0

21 1 0 1 0 1 0

22 1 0 1 1 0 0

23 1 0 1 1 1 1

24 1 1 0 0 0 0

25 1 1 0 0 1 0

26 1 1 0 1 0 0

27 1 1 0 1 1 0

28 1 1 1 0 0 0

29 1 1 1 0 1 1

30 1 1 1 1 0 0

31 1 1 1 1 1 1

Minimisasi dengan peta Karnaugh adalah sebagai berikut:

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01 1 1 1 1 1

10 1

11 1 1 1 1 1 1

f (A,B,C,D,E) ABE BCE ACDE ABCD ACDE ABCE ABCDE

119

18 1 0 0 1 0 0

19 1 0 0 1 1 1

20 1 0 1 0 0 0

21 1 0 1 0 1 0

22 1 0 1 1 0 0

23 1 0 1 1 1 1

24 1 1 0 0 0 0

25 1 1 0 0 1 0

26 1 1 0 1 0 0

27 1 1 0 1 1 0

28 1 1 1 0 0 0

29 1 1 1 0 1 1

30 1 1 1 1 0 0

31 1 1 1 1 1 1

Minimisasi dengan peta Karnaugh adalah sebagai berikut:

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01 1 1 1 1 1

10 1

11 1 1 1 1 1 1

f (A,B,C,D,E) ABE BCE ACDE ABCD ACDE ABCE ABCDE

(minimisasi lihat gambar berikut)

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01 1 1

10

11 1 1

f (A,B,C,D,E) ABE

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01 1 1

10

11 1 1

f (A,B,C,D,E) BCE

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01 1 1

10

11

f (A,B,C,D,E) ACDE

120 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10 1

11 1

f (A,B,C,D,E) ABCD

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10

11 1 1

f (A,B,C,D,E) ACDE

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01 1

10

11 1

f (A,B,C,D,E) ABCE

121

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10 1

11 1

f (A,B,C,D,E) ABCD

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10

11 1 1

f (A,B,C,D,E) ACDE

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01 1

10

11 1

f (A,B,C,D,E) ABCE

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10

11 1

f (A,B,C,D,E) ABCDE

8. Suatu pencacah modulo-4 direncanakan untuk 4-masukan dan 2-

keluaran. Tabel penjumlahan untuk modulo-4 tersebut diberikan pada

tabel berikut:

X

Y

0

1

2

3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 1 1

3 3 0 0 2

Z = (X + Y) Mod-4

Masukan dikodekan dalam bilangan biner x2 x1 dan yang lainnya

adalah y2 y1. Keluaran juga dikodekan dalam bentuk biner z2 z1. Hasil

keluaran adalah sebagai berikut:

z2 z1 = 00 jika jumlah dari modulo-4 adalah 0

z2 z1 = 01 jika jumlah dari modulo-4 adalah 1

z2 z1 = 10 jika jumlah dari modulo-4 adalah 2

z2 z1 = 11 jika jumlah dari modulo-4 adalah 3

Tentukan keluaran z2 dan z1 dalam bentuk persamaan Boole.

122 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

Penyelesaian:

Untuk menyederhanakan fungsi kita lakukan konversi ke bentuk peta

Karnaugh, yang bentuknya adalah sebagai berikut:

x2x1

y2y1

00

01

10

11

00 0 1 2 3

01 1 2 3 0

10 2 3 0 1

11 3 0 1 2

2 1 2 1z x x y y x2x1

y2y1

00

01

10

11

00 00 01 10 11

01 01 10 11 00

10 10 11 00 01

11 11 00 01 10

Keluaran: z2z1

Peta keluaran z2z1 dipisahkan menjadi dua peta Karnaugh, yaitu masing-masing untuk z2 dan z1.

x2x1

y2y1

00

01

10

11

00 0 0 1 1

01 0 1 1 0

10 1 1 0 0

11 1 0 0 1

Keluaran: z2

123

Penyelesaian:

Untuk menyederhanakan fungsi kita lakukan konversi ke bentuk peta

Karnaugh, yang bentuknya adalah sebagai berikut:

x2x1

y2y1

00

01

10

11

00 0 1 2 3

01 1 2 3 0

10 2 3 0 1

11 3 0 1 2

2 1 2 1z x x y y x2x1

y2y1

00

01

10

11

00 00 01 10 11

01 01 10 11 00

10 10 11 00 01

11 11 00 01 10

Keluaran: z2z1

Peta keluaran z2z1 dipisahkan menjadi dua peta Karnaugh, yaitu masing-masing untuk z2 dan z1.

x2x1

y2y1

00

01

10

11

00 0 0 1 1

01 0 1 1 0

10 1 1 0 0

11 1 0 0 1

Keluaran: z2

x2x1

y2y1

00

01

10

11

00 0 1 0 1

01 1 0 1 0

10 0 1 0 1

11 1 0 1 0

Keluaran: z1

Untuk penyederhanaan dengan peta Karnaugh maka yang diperlukan

hanya jika hasil keluaran adalah 1, maka bentuknya menjadi:

x2x1

y2y1

00

01

10

11

00 1 1

01 1 1

10 1 1

11 1 1

Keluaran: z2 x2x1

y2y1

00

01

10

11

00 1 1

01 1 1

10 1 1

11 1 1

Keluaran: z1

Bentuk persamaan Boole untuk keluaran z2 dan z1 adalah sebagai

berikut:

2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1z = x y y + x x y + x y y + x x y + x x y y + x x y y

1 1 1 1 1z x y x y

124 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

Penyederhanaan dengan peta Karnaugh dapat diikuti pada tahapan

berikut:

x2x1

y2y1

00

01

10

11

00

01

10 1 1

11

2 2 2 1z x y y

x2x1

y2y1

00

01

10

11

00

01 1 1

10

11 1 1

1 1 1z x y

x2x1

y2y1

00

01

10

11

00

01

10 1

11 1

2 2 1 2z x x y

125

Penyederhanaan dengan peta Karnaugh dapat diikuti pada tahapan

berikut:

x2x1

y2y1

00

01

10

11

00

01

10 1 1

11

2 2 2 1z x y y

x2x1

y2y1

00

01

10

11

00

01 1 1

10

11 1 1

1 1 1z x y

x2x1

y2y1

00

01

10

11

00

01

10 1

11 1

2 2 1 2z x x y

2 2 2 1z x y y

x2x1

y2y1

00

01

10

11

00 1 1 01 10 1 1 11

1 1 1z x y

x2x1

y2y1

00

01

10

11

00 1 1 01 10 11

x2x1

y2y1

00

01

10

11

0 1

01 1

10

11

1 2 1 2z x x y

x2x1

y2y1

00

01

10

11

00 01 1 10 11

2 2 1 2 1z x x y y

126 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

x2x1

y2y1

00

01

10

11

00

01

10

11 1

1 2 1 2 1z x x y y

9. Tentukan realisasi minimum SOP untuk fungsi-fungsi berikut:

a) f (A,B,C,D) m(1,3,5,8,9,11,15) d(2,13)

b) f (A,B,C,D) m(4,5,7,12,14,15) d(3,8,10)

c) f (A,B,C,D,E) m(1,2,3,4,5,11,18,19,20,21,23,28,31) d(0,7,12,14,15,27,30)

d) f (A,B,C,D,E) m(7,8,9,12,13,14,19,23,24,27,29,30) d(1,10,17,26,28,31)

Penyelesaian:

a) f (A,B,C,D) m(1,3,5,8,9,11,15) d(2,13)

AB

CD

00

01

10

11

00 1

01 1 1 1 x

10 x

11 1 1 1

fungai SOP: f (A,B,C,D) CD AD ABC ABC

(minimalisasi lihat gambar berikut)

127

x2x1

y2y1

00

01

10

11

00

01

10

11 1

1 2 1 2 1z x x y y

9. Tentukan realisasi minimum SOP untuk fungsi-fungsi berikut:

a) f (A,B,C,D) m(1,3,5,8,9,11,15) d(2,13)

b) f (A,B,C,D) m(4,5,7,12,14,15) d(3,8,10)

c) f (A,B,C,D,E) m(1,2,3,4,5,11,18,19,20,21,23,28,31) d(0,7,12,14,15,27,30)

d) f (A,B,C,D,E) m(7,8,9,12,13,14,19,23,24,27,29,30) d(1,10,17,26,28,31)

Penyelesaian:

a) f (A,B,C,D) m(1,3,5,8,9,11,15) d(2,13)

AB

CD

00

01

10

11

00 1

01 1 1 1 x

10 x

11 1 1 1

fungai SOP: f (A,B,C,D) CD AD ABC ABC

(minimalisasi lihat gambar berikut)

AB

CD

00

01

10

11

00

01 1 1 1 x

10

11

f (A,B,C,D) CD

AB

CD

00

01

10

11

00

01 1 x

10

11 1 1

f (A,B,C,D) AD

AB CD

00

01

10

11

00 01 10 x 11 1

f (A,B,C,D) ABC

AB

CD

00

01

10

11

00 1

01 1

10

11

f (A,B,C,D) ABC

128 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

Realisasi rangkaian:

b) f (A,B,C,D) m(4,5,7,12,14,15) d(3,8,10)

AB

CD

00

01

10

11

00 1 x 1

01 1 1

10

11 x 1 x 1

fungai SOP: f (A,B,C,D) CD ABC BCD ABC

(minimalisasi lihat gambar berikut)

AB

CD

00

01

10

11

00

01

10

11 x 1 x 1

f (A,B,C,D) CD

129

Realisasi rangkaian:

b) f (A,B,C,D) m(4,5,7,12,14,15) d(3,8,10)

AB

CD

00

01

10

11

00 1 x 1

01 1 1

10

11 x 1 x 1

fungai SOP: f (A,B,C,D) CD ABC BCD ABC

(minimalisasi lihat gambar berikut)

AB

CD

00

01

10

11

00

01

10

11 x 1 x 1

f (A,B,C,D) CD

AB

CD

00

01

10

11

00 1

01 1

10

11

f (A,B,C,D) ABC

AB CD

00

01

10

11

00 1 1 01 10 11

f (A,B,C,D) BCD

AB CD

00

01

10

11

00 01 10 1 11 1

f (A,B,C,D) ABC

Realisasi rangkaian:

130 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

c) f (A,B,C,D,E) m(1,2,3,4,5,11,18,19,20,21,23,28,31) d(0,7,12,14,15,27,30)

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 x 1 x 1 1

01 1 1 1

10 1 x 1 x

11 1 x 1 x 1 1 x 1

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10

11 1 x 1 x 1 x 1 X

f (A,B,C,D,E) DE

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 x

01 1

10 1

11 1

f (A,B,C,D,E) ABC

131

c) f (A,B,C,D,E) m(1,2,3,4,5,11,18,19,20,21,23,28,31) d(0,7,12,14,15,27,30)

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 x 1 x 1 1

01 1 1 1

10 1 x 1 x

11 1 x 1 x 1 1 x 1

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10

11 1 x 1 x 1 x 1 X

f (A,B,C,D,E) DE

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 x

01 1

10 1

11 1

f (A,B,C,D,E) ABC

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1

01 1 1

10

11

f (A,B,C,D,E) BCD

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 x 1 x

01

10

11

f (A,B,C,D,E) CDE

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10 1 1

11 1 1

f (A,B,C,D,E) BCD

132 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

d) f (A,B,C,D,E) m(7,8,9,12,13,14,19,23,24,27,29,30) d(1,10,17,26,28,31)

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1 1

01 x x 1 1 x x x 1

10 x x 1 1

11 1 1 1 x x

f (A,B,C,D,E) CE DE ABE AE ABC ABD

(minimisasi lihat gambar berikut)

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01 x 1 x 1

10

11 1 x 1 x

f (A,B,C,D,E) CE

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01 x x 1 1 x x x 1

10

11

f (A,B,C,D,E) DE

133

d) f (A,B,C,D,E) m(7,8,9,12,13,14,19,23,24,27,29,30) d(1,10,17,26,28,31)

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1 1

01 x x 1 1 x x x 1

10 x x 1 1

11 1 1 1 x x

f (A,B,C,D,E) CE DE ABE AE ABC ABD

(minimisasi lihat gambar berikut)

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01 x 1 x 1

10

11 1 x 1 x

f (A,B,C,D,E) CE

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01 x x 1 1 x x x 1

10

11

f (A,B,C,D,E) DE

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1 1

01

10 x 1

11

f (A,B,C,D,E) ABE

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01 x x x 1

10

11 1 x 1

f (A,B,C,D,E) AE

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00 1

01 x

10 x

11 1

f (A,B,C,D,E) ABC

134 M I N I M A L I S A S I F U N G S I B O O L E

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10 x 1

11 1 x

f (A,B,C,D,E) ABD

135

ABC

DE 000 001 010 011 100 101 110 111

00

01

10 x 1

11 1 x

f (A,B,C,D,E) ABD

Malvino, A. and Leach D.P. (2008). Digital Principles and Applications. Tata Mgraw Hill.

Givone D.D. (2005). Digital Principles and Design. Tata Mgraw Hill.

Moris, M.M. and Michael, D.C. (2008). Digital Design. Prentice-hall of India Pvt.Ltd.

Normal, B. and Bradley, C. (2006). Digital Logic Design Principles. John Wiley & Sons.

Polosoro, E. (2009) Sistem Digital. Yogyakarya: Graha Ilmu.

Tocci, R.J. (2006). Digital System: Principles and Application. Prentice-hall of India Pvt.Ltd.

William, J.D. and Joh, W.P. (1998). Digital Systems Engineering. Cambridge University Press.