DISTRIBUSI PROBABILITAS DISTRIBUSI PROBABILITAS YANG UMUMYANG UMUM

Pertemuan 6 dan 7

Distribusi BinomialDistribusi Binomial(Distribusi Probabilitas Diskrit)

Percobaan Bernoulli :Percobaan Bernoulli :Sifat-sifat sebagai berikut :Percobaan itu terdiri dari n pengulanganTiap pengulangan memberikan hasil yang

dapat diidentifikasi sukses atau gagalProbabilitas sukses dinyatakan dengan p,

tetap konstan (tidak berubah) dari satu pengulangan ke pengulangan lainnya, sedangkan probabilitas gagal adalah q = 1- p

Tiap pengulangan dan pengulangan lainnya saling bebas.

Distribusi BinomialDistribusi BinomialBanyaknya X sukses dalam n

pengulangan suatu percobaan bernoulli disebut sebagai variabel random Binomial, sedangkan distribusi probabilitasnya disebut distribusi Binomial dan nilainya dinyatakan sebagai :

b(x,n,p) dimana x = 1, 2, …, nxnxqpx

n)p,n;x(b

Rata-rata dan Variansi Rata-rata dan Variansi Distribusi Binomial :Distribusi Binomial :Rata-rata =

Variansi =

np

npq2

ContohContohProbabilitas bahwa seorang

pasien sembuh dari penyakit darah yang langka adalah 0,4. Bila 15 orang diketahui telah terkena penyakit ini, berapakah probabilitas :

Paling sedikit 10 orang yang selamatDari 3 sampai 8 orang yang selamatTepat 5 orang yang selamatHitung rata-rata dan variansinya

Distribusi PoissonDistribusi Poisson(Distribusi Probabilitas Diskrit)

Percobaan Poisson :Percobaan Poisson :

Jika suatu percobaan menghasilkan variabel random X yang menyatakan banyak-nya sukses dalam daerah tertentu atau selama interval waktu tertentu, percobaan itu disebut percobaan Poisson.

Distribusi PoissonDistribusi PoissonJumlah X dari keluaran yang terjadi

selama satu percobaan Poisson disebut Variabel random Poisson, dan distribusi probabilitasnya disebut distribusi Poisson.

Bila x menyatakan banyaknya sukses yang terjadi , adalah rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam interval waktu atau daerah tertentu, dan e = 2,718 , maka rumus distribusi Poisson adalah :

,......2,1,0,!

);(

xx

exp

x

Mean (rata-rata) dan variansi dari distribusi Poisson adalah .

Catatan :Distribusi Poisson sebagai suatu bentuk

pembatasan distribusi Binomial pada saat n besar , sedangkan p mendekati 0 , dan np konstan.

Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi Poisson dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas Binomial, dengan np

Rata-rata dan Variansi Rata-rata dan Variansi Distribusi PoissonDistribusi Poisson

ContohContohDi suatu simpang jalan rata-rata

terjadi 6 kecelakaan sebulan, maka hitunglah probabilitas :◦Pada suatu bulan tertentu di simpang

jalan itu terjadi 7 kecelakaan◦Pada suatu bulan tertentu di simpang

jalan terjadi minimal 4 kecelakaan◦Pada suatu minggu tertentu di simpang

jalan itu terjadi 4 kecelakaan

Hubungan Distribusi Hubungan Distribusi Poisson dengan Distribusi Poisson dengan Distribusi BinomialBinomialDistribusi Poisson sebagai suatu

bentuk pembatasan distribusi Binomial pada saat n besar , sedangkan p mendekati 0 , dan np konstan.

Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi Poisson dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas Binomial, dengan = np

ContohContohDalam suatu proses produksi yang

menghasilkan barang dari gelas, terjadi gelembung atau cacat yang menyebabkan barang tersebut sukar dipasarkan. Rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung. Hitung probablitas dalam sampel random sebesar 8000 barang akan berisi kurang dari 7 yang bergelembung.

Distribusi HipergeometrikDistribusi Hipergeometrik(Distribusi Probabilitas Diskrit)

Perbedaan diantara distribusi Perbedaan diantara distribusi binomial dan distribusi binomial dan distribusi hipergeometrikhipergeometrikadalah terletak pada cara penarikan

sampel. Dalam distribusi binomial diperlukan sifat

pengulangan yang saling bebas, dan pengulangan tersebut harus dikerjakan dengan pengembalian (with replacement).

Sedangkan untuk distribusi hipergeometrik tidak diperlukan sifat pengulangan yang saling bebas dan dikerjakan tanpa pengembalian (without replacement).

Penerapan untuk distribusi Penerapan untuk distribusi hipergeometrikhipergeometrik

Ditemukan dalam berbagai bidang, dan paling sering digunakan dalam penarikan sampel penerimaan barang, pengujian elektronik, jaminan mutu, dsb.

Dalam banyak bidang ini, pengujian dilakukan terhadap barang yang diuji yang pada akhirnya barang uji tersebut menjadi rusak, sehingga tidak dapat dikembalikan. Jadi, pengambilan sampel harus dikerjakan tanpa pengembalian

ContohContohSuatu pabrik ban melaporkan

bahwa dari 5 ban yang dikirimkan ke suatu toko ter-dapat 2 ban yang cacat. Bila seseorang membeli 3 ban, maka hitung:◦Probabilitas terdapat 1 ban cacat

yang dibeli◦Probabilitas tidak ada ban cacat

yang dibeli

Distribusi NormalDistribusi Normal(Distribusi Probabilitas Kontinu)

Kurva Normal dan Variabel Kurva Normal dan Variabel Random NormalRandom NormalDistribusi probabilitas kontinu yang

terpenting adalah distribusi normal dan grafiknya disebut kurva normal.

Variabel random X yang distribusinya berbentuk seperti lonceng disebut variabel random normal.

x

Sifat kurva normal, yaitu :Sifat kurva normal, yaitu :

Kurva mencapai maksimum pada Kurva setangkup terhadap garis

tegak yang melalui Kurva mempunyai titik belok pada Sumbu x merupakan asimtot dari

kurva normal Seluruh luas di bawah kurva, di atas

sumbu x adalah 1

x

x

x

Distribusi NormalDistribusi NormalVariabel random X berdistribusi normal, dengan mean dan variansi mempunyai fungsi densitas

)2()x( 22e

2

1),;x(n

x

luas daerah di bawah kurva dinyatakan dengan :

)xXx(P 21

X1x

2

1

222

1

x

x

)2()x(x

x21 dxe

2

1dx),;x(n)xXx(P

1dxe2

1)X(P )2()x( 22

X2

Distribusi Normal Standar Distribusi Normal Standar (1) (1) apabila variabel X

ditransformasikan dengan substitusi

maka :

x

Z

2

1

2

1

22

1

2 z

z

z

z

z2

1z

z

z2

1

21 dz)1,0;z(ndze2

1dze

2

1)zZz(P

ternyata substitusi

x

Z

menyebabkan distribusi normal ),;z(n menjadi

)1,0;z(n , yang disebut distribusi normal standar.

Karena transformasi ini, maka selanjutnya nilai

ini dapat dihitung dengan menggunakan tabel distribusi normal standar.

)xXx(P 21

Distribusi Normal Standar Distribusi Normal Standar (2): (2):

ContohContohRata-rata berat 500 mahasiswa STIKOM

adalah 55 kg dan deviasi standarnya 3.4 kg. Berapakah banyaknya mahasiswa yang mempunyai berat ◦kurang dari 53 kg◦di antara 53 kg dan 57 kg

Bila nilai ujian statistika mempunyai mean 74 dan deviasi standar 7.9, hitunglah◦Nilai lulus terendah, bila mahasiswa dengan

nilai 10% terendah mendapat E. ◦Nilai B tertinggi, bila probabilitas mahasiswa

dengan nilai 5% tertinggi men-dapat A .

Hubungan Distribusi Normal dan Hubungan Distribusi Normal dan Distribusi Binomial:Distribusi Binomial:

Jika n besar dan p atau q menuju 0, maka distribusi binomial dapat didekati oleh distribusi normal, sehingga bila X adalah variabel random yang berdistribusi Binomial dengan mean dan variansi

maka berdistribusi normal

standar

npnpq2

npq

npXZ

ContohContohSuatu proses produksi

menghasilkan sejumlah barang yang cacat sebanyak 10%. Bila 100 barang diambil secara random, maka hitung probabilitas :◦Banyaknya cacat melebihi 13◦Antara 5 s/d 10 yang cacat◦Tepat 10 yang cacat