6. DISTRIBUSI PROBABILITAS

12
Yosritzal, MT. Bayu Martanto Adji, MT. Diktat Statistik dan Probabilitas Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Andalas VI. DISTRIBUSI PROBABILITAS 6.1 TIPE DISTRIBUSI PROBABILITAS Kita mengenal dua tipe variabel yaitu variabel menerus (contonous variabels) dan variabel diskrit (descrete variabels). Variabel disebut menerus apabila secara teoritis dapat memiliki nilai diantara dua angka yang ditentukan dan bila tidak maka disebut variabel diskrit. Istilah ini selanjutnya akan kita gunakan untuk pembahasan berikut ini. A. Distribusi probabilitas diskrit Jika variabel acak x diasumsikan memiliki nilai diskrit x 0 , x 1 , x 2 , …, x k , dengan probabilitas masing-masing p 0 , p 1 , p 2 , …, p k , dimana p i 0 untuk semua i, dan Maka probabilitas (x = x 0 ) atau p(x i )=p i disebut distribusi probabilitas diskrit untuk variabel x. Distribusi Probabilitas Page 1 of 12

Transcript of 6. DISTRIBUSI PROBABILITAS

6

Yosritzal, MT.

Bayu Martanto Adji, MT.Diktat Statistik dan ProbabilitasJurusan Teknik Sipil

Fakultas Teknik

Universitas Andalas

VI. DISTRIBUSI PROBABILITAS

6.1 TIPE DISTRIBUSI PROBABILITAS

Kita mengenal dua tipe variabel yaitu variabel menerus (contonous variabels) dan variabel diskrit (descrete variabels). Variabel disebut menerus apabila secara teoritis dapat memiliki nilai diantara dua angka yang ditentukan dan bila tidak maka disebut variabel diskrit. Istilah ini selanjutnya akan kita gunakan untuk pembahasan berikut ini.

A. Distribusi probabilitas diskrit

Jika variabel acak x diasumsikan memiliki nilai diskrit x0, x1, x2, , xk, dengan probabilitas masing-masing p0, p1, p2, , pk, dimana pi(0 untuk semua i, dan

Maka probabilitas (x = x0) atau p(xi)=pi disebut distribusi probabilitas diskrit untuk variabel x.

Gambar 6.1 PMF dan PDF

B. Distribusi Probabilitas Menerus

Variabel menerus dapat diplot kedalam bentuk histogram dan kemudian dapat digambarkan polygon frekuensinya. Jika jumlah observasi tak terhingga, dan lebar kelas mendekati nol, maka histogram dan polygon frekuensi akan membentuk suatu kurva yang disebut kurva distribusi frekuensi. Jika tinggi kurva distandardkan sehingga luas area dibawah kurva adalah sama dengan 1 (satu), maka distibusi probabilitas menerus telah terbentuk.

Gambar 6.2 Probability density function

Pada gambar diatas, p(x) adalah probability density function (pdf) dimana:

Karenanya luas daerah dibawah kurva antara garis x=x1 dan x= x2 adalah probabilitas bahwa x bernilai antara x1 dan x2.

Probabilitas (x1 < x < x2) =

Gambar 6.4 Probabilitas x antara x1 dan x2

6.2 FUNGSI NORMAL

Persamaan distribusi normal dapat ditulis dalam berbagai bentuk. Jika kita membutuhkan kurva normal distribusi frekuensi, persamaan mesti memenuhi kondisi dimana luas total area dibwah kurva sama dengan jumlah data N.

Kurva tersebut dapat langsung dibandingkan dengan histogram dimana luas daerah dibawah histogram sama dengan jumlah data N.

Persamaan kurva normal untuk distribusi frekuensi adalah:

Namun akan lebih bermanfaat berbicara probabilitas daripada bicara distribusi frekuensi. Karena total probabilitas adalah satu, maka luas total daerah dibawah kurva adalah satu. Kurva demikian disebut kurva yang dinormalisasi.

Gambar 6.5 Posisi dan bentuk kurva normal berdasarkan dan

Dalam hal ini, perubahan nilai tidak akan merubah kurva, melainkan hanya menggeser kurva sepanjang sumbu x. Bentuk kurva hanya akan berubah jika nilai berubah.

Dengan demikian akan lebih baik jika ditransformasi ke bentuk = 0 dan = 1 dengan menggunakan:

Karena p(x) dx = f(z) dz, maka:

Transformasi kurva normal menjadi kurva normal standard:

Gambar 6.5 Kurva normal

Gambar 6.6 Kurva normal yang sudah di-standard-kan

Contoh soal:

Diketahui kuat tekan beton mengikuti distribusi normal. Pengujian sampel mendapatkan:

Tentukan probabilitas mendapatkan kuat tekan beton antara 200 kg/cm2 sampai 400 kg/cm2.

Jawab:

Gambar 6.7 Perobahan kurva menjadi kurva normal standard

Dengan menggunakan Tabel Distribusi Normal Standard diperoleh:

p(-2,5 < Z < 2,5) = 0,4938 + 0,4938 = 0,9876

Perlu dicatat bahwa:

1. Kurva normal memiliki ciri khas yaitu: simetris terhadap garis tegak lurus yang melewati x = .

2. Luas total daerah dibawah kurva adalah 1, luas daerah dibawah kurva antara - sampai adalah 0,5 dan luas daerah dibawah kurva antara sampai + juga 0,5.

3. Pada kurva normal standard, dimana =0 dan =1, juga berlaku hal yang sama.

4. Ciri seperti ini akan memudahkan dalam pembuatan dan pembacaan tabel distribusi normal standard.

5. Tabel distribusi normal standard biasanya dibuat untuk kurva dari 0 - +.

6.3 LEVEL OF SIGNIFICANCE

Pada kurva normal anggaplah F(z) adalah luas daerah dibawah kurva f(z) antara 0 sampai z. Maka [1-2F(z)] adalah luas daerah diluar . Probabilitas tersebut disebut juga dengan Level of Significance (Tingkat Keberartian) dari uji statistic dan disimbolkan dengan .

Gambar 6.7 Uji dua pihak

Gambar 6.8 Uji dua pihak

Jika z = 1,96, maka [1-2F(z)] = 0,05 dan dikatakan tingkat keberartiannya (level of significance) adalah 5 persent. Artinya jika kita mendapatkan data hasil pengamatan menyimpang dari rata-rata sedikitnya 1,96 kita dapat mengatakan bahwa pengamatan kita berbeda secara berarti terhadap tubuh data dan probabilitas kesalahan adalah 5%. Atau dengan kata lain, jika kita mengambil keputusan yang sama berkali-kali, kemungkinan kita salah menyimpulkan 5% dari semua kasus.

Jika terdapat probabilitas 5% data yang diperoleh lebih besar dari 1,96, berarti 95% data berada dalam interval 1,96, dan angka 95% disebut sebagai tingkat kepercayaan (level of confidence).

Nilai z yang sering digunakan pada tingkat signifikansi tertentu diberikan pada Tabel 6.1

Tabel 6.1 Nilai z untuk beberapa tingkat signifikansi

Tingkat Signifikansi

(persentase data diluar range),

persent

z

Tingkat Kepercayaan

(persentase data dalam range),

persent

10

1,645

90

5

1,960

95

2

2,326

98

1

2,576

99

0.1

3,291

99,9

0.01

3,891

99,99

6.4 DISTRIBUSI BERNOULLI

Menyatakan suatu eksperimen acak dengan dua keluaran yang mungkin

Sukses (1)

Gagal (0)

Nilai 1 berpeluang p (nilai 0 berpeluang (1-p))

6.5 DISTRIBUSI BINOMIAL

Probabilitas 1 sukses dalam 1 percobaan adalah p

Probabilitas 2 sukses dalam 2 percobaan adalah p x p = p2

Probabilitas 3 sukses dalam 3 percobaan adalah p x p x p = p3

.

.

.

Probabilitas r sukses dalam r percobaan adalah pr

6.6 DISTRIBUSI POISSON

Distribusi Poisson tersusun dari deret berikut:

, , , , ,

Dimana e = bilangan natural dan adalah frekuensi rata-rata terjadinya peristiwa. Urutan tersebut merepresentasikan probabilitas terjadinya peristiwa sebanyak 0, 1, 2, 3, 4,

Jika r adalah jumlah terjadinya peristiwa yang probabilitasnya ingin diketahui, maka kita dapat menulis susunan deret tadi sebagai:

Contoh:

Jumlah kendaraan yang melewati Tol selama interval waktu pukul 10 11 adalah 1200. kendaraan tersebut melewati tol sendirian atau bersamaan secara acak. Tulislah persamaan probabilitas bahwa tidak lebih dari 4 kendaraan yang melewati tol selama interval 1 menit dari 10:45 10:46. Turunkan persamaan untuk probabilitas 5 kendaraan yang melewati tol pada interval yang sama.

Jawab:

Jumlah kendaraan dalam 60 menit: 1200

Rata-rata jumlah kendaraan dalam 1 menit = 1200/60 = 20 = np =

Probabilitas tidak lebih dari 4 kendaraan yang lewat pada interval yang diberikan adalah:

= jumlah probabilitas mulai dari 0 kendaraan sampai 4 kendaraan

=

Dengan demikian, probabilitas mendapatkan 5 kendaraan atau lebih adalah:

= 1-

Catatan pada Distribusi Poisson:

Dimana:

n = jumlah percobaan

p = probabilitas terjadinya peristiwa tertentu

Distribusi ProbabilitasPage 9 of 11

_1148559041.unknown

_1152298837.vsdx1

x2

p(x)

x

_1155416661.unknown

_1155418003.unknown

_1155419263.unknown

_1155419418.unknown

_1155418540.unknown

_1155419185.unknown

_1155418568.unknown

_1155418505.unknown

_1155417182.unknown

_1155417751.unknown

_1155416750.unknown

_1155416478.unknown

_1155416504.unknown

_1155416446.unknown

_1152298024.vsdVariabel acak x

Frekuensi

Frekuensi relatif

_1152298438.unknown

_1152298578.unknown

_1152298310.vsdp(x)

dx

x

_1148560368.vsd

0

z

Kurva Normal Standard

_1148564414.vsd

m

m-zs

m+zs

x

F(z)

Daerah Penolakan, Luas = 2(a/2)a = level of significance

F(z)

Daerah PenerimaanLuas = 2 F(z)=Tingkat kepercayaan (confidence level)

_1152296616.unknown

_1148564665.vsd

m

m+zs

x

F(z)

0,5

Daerah PenerimaanLuas = 0,5 + F(z)

Daerah Penolakan, Luas = aa = 0,5 - F(z)

_1148562657.unknown

_1148560331.vsd

300

200

400

x

Kurva Normal

_1148557952.unknown

_1148558826.vsd

0

z

Kurva Normal Standard

_1148558989.unknown

_1148558778.vsd

m

a

b

x

Kurva Normal

_1148556639.unknown

_1148557398.unknown

_1148557631.unknown

_1148555472.vsd

m

x

Y = f(x)

s

s

_1148556416.unknown

_1148554457.unknown