Dimensi Metrik Graf Pohon Bentuk Tertentu - digilib.its.ac.id filePendahuluanDasar Teori Metodologi...

Pendahuluan Dasar Teori Metodologi Penelitian Konstruksi Simpulan

Dimensi Metrik Graf Pohon Bentuk Tertentu

Angga Budi Permana1207100008

Dosen Pembimbing :Dr. Darmaji, S.Si, M.T.

Jurusan MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Ujian Tugas Akhir - Ruang Sidang, 18 Juli 2012

Latar Belakang

Latar Belakang1 Graf dinotasikan G(V ,E) dengan V himpunan simpul dan

E himpunan sisi yang menghubungkan tiap simpul.2 Dimensi Metrik diperkenalkan oleh Harray dan Melter

1976.3 Penelitian sebelumnya dilakukan oleh Johanes pada tahun

2009 tentang dimensi metrik dari pengembangan grafkincir dengan pola K1 + mKn.

4 Pada Tugas Akhir ini akan dilakukan analisa dimensimetrik pada subkelas pohon tertentu.

Rumusan Masalah

Rumusan

RumusanBagaimana bentuk umum dimensi metrik graf subkelas pohon.

Batasan Masalah

Batasan Masalah1 Subkelas pohon yang digunakan adalah graf ulat teratur

Cm,n dengan m ≥ 1 dan n ≥ 2.2 Subkelas pohon yang digunakan adalah graf kembang api

teratur Fm,n dengan m = 1,n ≥ 2 dan m,n ≥ 23 Subkelas pohon yang digunakan adalah graf pohon pisang

teratur Bm,n dengan m = 1,n ≥ 3 dan m ≥ 2,n ≥ 3

Tujuan dan Manfaat

Tujuan

TujuanTujuan dari penulisan Tugas Akhir ini adalah mencari dimensimetrik graf pada Subkelas pohon.

ManfaatManfaat dari penelitian ini adalah diharapkan dapatmemberikan kontribusi penelitian dalam bidang teori graf,khususnya dimensi metrik pada Subkelas pohon.

Tinjauan Pustaka

Graf BintangGraf bintang adalah graf dengan satu simpul pusat c yangterhubung dengan n simpul anting. Derajat dari simpul cadalah n, sedangkan derajat simpul anting adalah 1. Grafbintang dinotasikan dengan K1,n [9].

Graf Ulat (Caterpillar Graph)

DefinisiGraf ulat didapatkan dengan menghubungkan simpul pusat cdari graf bintang secara berurutan. Lintasan yangmenghubungkan simpul-simpul anting dari barisan graf bintangtersebut disebut simpul backbone dari graf ulat. Jika banyaknyasimpul anting sama maka graf tersebut merupakan graf ulatteratur. Dinotasikan dengan Cm,n dengan m adalah jumlahsimpul backbone dan n adalah jumlah simpul anting [9].

Graf Kembang Api (Firecracker Graph)

DefinisiGraf kembang api dapat diperoleh dengan menambahkansebuah sisi dan sebuah simpul pada setiap simpul backboneyang akan menghubungkan antara simpul backbone dengansimpul daun dari sebuah graf ulat. Dinotasikan dengan Fm,ndengan m adalah jumlah simpul backbone dan n adalah jumlahanting. [9].

Graf Pohon Pisang (Banana Tree)

DefinisiGraf pohon pisang Bm,n adalah sebuah graf yang diperolehdengan menghubungkan satu simpul daun dai setiap m buahsalinan graf bintang K1,n ke sebuah simpul baru yang disebutsimpul akar r [8].

Jarak (Distance)

DefinisiJarak (distance) antara simpul u dan v pada graf G,dinotasikan dengan d(u, v) adalah panjang lintasan terpendekantara u dan v pada graf G. Jika tidak ada lintasan antara udan v maka d(u, v) =∞ [2].

Dimensi Metrik

DefinisiDimensi Metrik adalah kardinalitas minimum himpunanpembeda (resolving set) pada G. Untuk simpul u dan v dalamgraf terhubung G, jarak d(u, v) adalah panjang dari lintasanterpendek antara u dan v pada G. Untuk himpunan terurutW = (w1,w2, ...,wk ) dari simpul-simpul dalam graf terhubung Gdan simpul r pada G, adalah vektor-k (pasangan k-tuple),r(v |W ) = (d(v ,w1),d(v ,w2), .....,d(v ,wk )) menunjukkanrepresentasi dari v pada W . Himpunan W dinamakanhimpunan pembeda (resolving set) G jika simpul-simpul Gmempunyai representasi berbeda.

Dimensi Metrik(Cont.)

DefinisiHimpunan pembeda dengan kardinalitas minimum disebuthimpunan pembeda minimum, dan kardinalitas tersebutmenyatakan dimensi metrik dari G dan dinotasikan dengandim(G). Himpunan pembeda pada suatu graf tidaklah tunggal.Suatu graf dapat memiliki beberapa himpunan pembeda yangukuran dan anggota himpunannya berbeda. Setiap grafterhubung sederhana pasti memiliki suatu himpunan pembeda.

Dimensi Metrik

Metrik

Dimensi Metrik

Observasi

Dimensi Metrik

Observasi Dugaan Awal

Dimensi Metrik

Observasi Dugaan Awal Konstruksi

Dimensi Metrik

Observasi Dugaan Awal Konstruksi Batas Bawah

Dimensi Metrik

Observasi Dugaan Awal Konstruksi Batas BawahEvaluasi

Konstruksi

Dimensi Metrik Graf Ulat Teratur Cm,n dengan m ≥ 1 dann ≥ 2Akan dilakukan konstruksi graf ulat teratur Cm,n denganmenggunakan Lemma 4.2, untuk lebih jelasnya dapat dilihatpada gambar berikut:

Lemma 4.2Untuk setiap graf ulat teratur Cm,n dengan m ≥ 1 dan n ≥ 2,sedikitnya (n − 1) simpul anting pada setiap simpul backboneke-m pasti merupakan himpunan pembeda W.

Graf Ulat Teratur Cm,n

Simpul anggota himpunan pembeda Cm,n

Representasi terhadap W

r(a1n|W ) = (2,2,2, ...,3,3,3, ...,4,4,4, ..., ..., ..., ...),r(a2n|W ) = (3,3,3, ...,2,2,2, ...,3,3,3, ..., ..., ..., ...),r(a3n|W ) = (4,4,4, ...,3,3,3, ...,2,2,2, ..., ..., ..., ...),

...r(amn|W ) = (..., ..., ..., ...., ..., ..., ..., 3,3,3, ...,2,2,2),r(c1|W ) = (1, 1,1, ...,2,2,2, ...,3,3,3, ..., ..., ..., ...),r(c2|W ) = (2, 2,2, ...,1,1,1, ...,2,2,2, ..., ..., ..., ...),r(c3|W ) = (3, 3,3, ...,2,2,2, ...,1,1,1, ..., ..., ..., ...),

...r(cm|W ) = (...., ...., ..., ..., ..., ..., ..., ..., ..., ...,1,1,1).

Bentuk Umum Dimensi Metrik Graf Ulat Teratur Cm,n

Teorema 4.1Jika Cm,n graf ulat teratur dengan m ≥ 1 dan n ≥ 2 makadim(Cm,n) = m(n − 1).

BuktiMisalkan graf ulat teratur Cm,n dengan simpul backbonesebanyak m dengan anggota himpunan c1, c2, c3, ..., cm dansimpul anting sebanyak n dengan anggota himpunana11,a12, ...,a1n,a21,a22, ...,a2n, ...,amn, dengan menggunakanLemma 4.2 diperoleh anggota himpunan pembedaW = {a11,a12, ...,a1n−1,a21,a22, ...,a2n−1, ...,amn−1} yang pastimemiliki representasi terhadap W berbeda, pada Lemma 4.2dijelaskan bahwa sedikitnya (n − 1) simpul anting pada setiapsimpul backbone ke-m merupakan anggota himpunanpembeda artinya jelas bahwa jika setiap simpul antingsebanyak (n − 1) untuk setiap simpul backbone ke-m diambilsebagai anggota himpunan pembeda W maka banyaknyaanggota himpunan pembeda adalah sebanyak m(n − 1),dengan demikian batas bawah adalah m(n − 1), selanjunya

Bukti(Cont..)pada konstruksi Subbab 4.1 dengan m(n − 1) sebagai aggotahimpunan pembeda W diperoleh jarak setiap simpul terhadaphimpunan pembeda W memiliki represntasi yang berbedasehingga batas atas adalah m(n − 1), oleh karena batas atassama dengan batas bawah maka dimensi metrik graf ulatteratur adalah dim(Cm,n) = m(n − 1). �

Konstruksi

Dimensi Metrik Graf Kembang Api Teratur Fm,n denganm = 1 dan n ≥ 2Akan dilakukan konstruksi graf ulat teratur F1,n denganmenggunakan Lemma 4.3.

Lemma 4.3Untuk setiap graf kembang api teratur Fm,n dengan m = 1 dann ≥ 2 sedikitnya terdapat simpul anting n simpul merupakanhimpunan pembeda.

Graf Kembang Api Teratur Fm,n

Simpul anggota himpunan pembeda Fm,n

r(c1|W ) = (1, 1,1, ...),r(x1|W ) = (2, 2,2, ...),

Bentuk Umum Dimensi Metrik Graf Kembang Api Teratur Fm,ndengan m = 1 dan n ≥ 2

Teorema 4.2Jika Fm,n graf kembang api teratur dengan m = 1 dan n ≥ 2maka dim(Fm,n) = n.

BuktiMisalkan graf kembang api teratur Fm,n dengan simpulbackbone sebanyak 1 dengan anggota himpunan x1 dansimpul anting sebanyak n dengan anggota himpunana11,a12, ...,a1n dengan menggunakan Lemma 4.3 diperolehanggota himpunan pembeda W = {a11,a12, ...,a1n} yang pastimemiliki representasi berbeda terhadap W , pada Lemma 4.3dijelaskan bahwa sedikitnya n simpul anting merupakananggota himpunan pembeda, dengan demikian batas bawahadalah n, selanjunya pada konstruksi Subbab 4.2 dengan nsebagai aggota himpunan pembeda W diperoleh jarak setiapsimpul terhadap himpunan pembeda W memiliki represntasiyang berbeda sehingga diperoleh batas atas adalah n, olehkarena batas atas sama dengan batas bawah maka dimensimetrik graf ulat teratur adalah dim(F1,n) = n dengan m = 1 dann ≥ 2. �

Konstruksi

Dimensi Metrik Graf Kembang Api Teratur Fm,n

Akan dilakukan konstruksi graf ulat teratur Fm,n denganmenggunakan Lemma 4.4.

Lemma 4.4Untuk setiap graf kembang api teratur Fm,n untuk m ≥ 2 dann ≥ 2 sedikitnya terdapat simpul anting (n − 1) simpulbackbone ke-m merupakan himpunan pembeda.

Graf Kembang Api Teratur Fm,n

Simpul anggota himpunan pembeda Fm,n

r(a1n|W ) = (2,2,2,2, ...,5,5,5,5, ...,6,6,6,6, ...),r(a2n|W ) = (5,5,5,5, ...,2,2,2,2, ...,5,5,5,5, ...),

...r(amn|W ) = (..., ...,6,6,6,6,5,5,5,5,2,2,2,2, ...),r(c1|W ) = (1,1,1,1, ...,4,4,4,4, ...,5,5,5,5, ...),r(c2|W ) = (4,4,4,4, ...,1,1,1,1, ...,4,4,4,4, ...),

...r(cm|W ) = (....,5,5,5,5, ...,4,4,4,4, ....,1,1,1,1),r(x1|W ) = (2, 2,2,2, ....,3,3,3,3, ...,4,4,4,4, ....),r(x2|W ) = (3, 3,3,3, ....,2,2,2,2, ...,3,3,3,3, ....),

...r(xm|W ) = (....,4,4,4,4, ....,3,3,3,3, ...,2,2,2,2).

Bentuk Umum Dimensi Metrik Graf Kembang Api Teratur Fm,n

Teorema 4.3Jika Fm,n graf kembang api teratur dengan m,n ≥ 2 makadim(Fm,n) = m(n − 1).

BuktiMisalkan graf ulat teratur Fm,n dengan simpul backbonesebanyak m dengan anggota himpunan x1, x2, x3, ..., xm dansimpul anting sebanyak n dengan anggota himpunana11,a12, ...,a1n,a21,a22, ...,a2n, ...,amn, dengan menggunakanLemma 4.4 diperoleh anggota himpunan pembedaW = {a11,a12, ...,a1n−1,a21,a22, ...,a2n−1, ...,amn−1} yang pastimemiliki representasi terhadap W berbeda, pada Lemma 4.4dijelaskan bahwa sedikitnya (n − 1) simpul anting pada setiapsimpul backbone ke-m merupakan anggota himpunanpembeda artinya jelas bahwa jika setiap simpul antingsebanyak (n − 1) untuk setiap simpul backbone ke-m diambilsebagai anggota himpunan pembeda W maka banyaknyaanggota himpunan pembeda adalah sebanyak m(n − 1),

Bukti (Cont..)dengan demikian batas bawah adalah m(n − 1), selanjunyapada konstruksi Subbab 4.3 dengan m(n − 1) sebagai aggotahimpunan pembeda W diperoleh jarak setiap simpul terhadaphimpunan pembeda W memiliki represntasi yang berbedasehingga batas atas adalah m(n − 1), oleh karena batas atassama dengan batas bawah maka dimensi metrik graf kembangapi teratur adalah dim(Fm,n) = m(n − 1). �

Konstruksi

Dimensi Metrik Graf Kembang Api Teratur Bm,n denganm = 1 dan n ≥ 3Akan dilakukan konstruksi graf pohon pisang teratur Bm,nm = 1 dan n ≥ 3 dengan menggunakan Lemma 4.5.

Lemma 4.5Untuk setiap graf pohon pisang teratur Bm,n dengan m = 1 dann ≥ 3 sedikitnya terdapat (n − 1) simpul anting merupakanhimpunan pembeda.

Graf Pohon Pisang Teratur Bm,n

Simpul anggota himpunan pembeda Bm,n

r(c1|W ) = (1, 1,1,1, ...,1),r(x1|W ) = (2, 2,2,2, ...,2),r(r |W ) = (3,3,3,3, ...,3),

Bentuk Umum Dimensi Metrik Graf Pohon Pisang Teratur Bm,nm = 1 dan n ≥ 3

Teorema 4.4Jika B1,n graf pohon pisang teratur dengan m = 1 dan n ≥ 3maka dim(Bm,n) = (n − 1)

BuktiMisalkan graf pohon pisang teratur teratur B1,n dengan simpulbackbone sebanyak 1 dengan anggota himpunan simpulbackbone x1 dan simpul anting sebanyak n dengan anggotahimpunan {a11,a12, ...,a1n−1, x1} dengan menggunakanLemma 4.4 diperoleh anggota himpunan pembedaW = {a11,a12, ...,a1n−1} yang pasti memiliki representasiberbeda terhadap W , pada Lemma 4.5 dijelaskan bahwasedikitnya (n − 1) simpul anting merupakan anggota himpunanpembeda, dengan demikian batas bawah adalah (n − 1),selanjunya pada konstruksi Subbab 4.4 dengan (n− 1) sebagaiaggota himpunan pembeda W diperoleh jarak setiap simpulterhadap himpunan pembeda W memiliki representasi yangberbeda sehingga diperoleh batas atas adalah (n − 1), olehkarena batas atas sama dengan batas bawah maka dimensimetrik graf pohon pisang teratur adalah dim(B1,n) = (n − 1)dengan m = 1 dan n ≥ 3 �.

Konstruksi

Dimensi Metrik Graf Kembang Api Teratur Bm,n

Akan dilakukan konstruksi graf pohon pisang teratur Bm,ndengan menggunakan Lemma 4.6.

Lemma 4.6Untuk setiap graf pohon pisang teratur Bm,n dengan m ≥ 2 dann ≥ 3 sedikitnya terdapat (n − 2) simpul anting merupakanhimpunan pembeda.

Graf Pohon Pisang Teratur Bm,n

Simpul anggota himpunan pembeda Bm,n

r(a1n−1|W ) = (2, 2,2, ...,6,6,6, ...,6,6,6, ...,6,6,6),r(a2n−1|W ) = (6, 6,6, ...,2,2,2, ...,6,6,6, ...,6,6,6),

...r(amn−1|W ) = (6,6,6, ...,6,6,6, ...,6,6,6, ...,2,2,2),

r(c1|W ) = (1, 1,1, ...,5,5,5, ...,5,5,5, ...,5,5,5),r(c2|W ) = (5, 5,5, ...,2,2,2, ...,5,5,5, ...,5,5,5),

...r(cm|W ) = (5,5,5, ...,5,5,5, ...,5,5,5, ...,2,2,2),r(x1|W ) = (2, 2,2, ...,4,4,4, ...,4,4,4, ...,4,4,4),r(x2|W ) = (4, 4,4, ...,2,2,2, ...,4,4,4, ...,4,4,4),

...r(xm|W ) = (4,4,4, ...,4,4,4, ...,4,4,4, ...,2,2,2).

Bentuk Umum Dimensi Metrik Graf Pohon Pisang Teratur Bm,n

Teorema 4.5Jika Bm,n graf pohon pisang teratur dengan m ≥ 2 dan n ≥ 3maka dim(Bm,n) = m(n − 2)

BuktiMisalkan graf pohon pisang teratur Bm,n dengan simpulbackbone sebanyak m dengan anggota himpunanx1, x2, x3, ..., xm, dan simpul anting sebanyak n dengan anggotahimpunana11,a12, ...,a1n−1, x1,a21,a22, ...,a2n−1, x2, ...,amn−1, xm. PadaLemma 4.6 dijelaskan bahwa sedikitnya sebnayak (n− 2) untuksetiap simpul backbone ke-m merupakan anggota himpunanpembeda artinya banyak anggota himpunan pembeda adalahm(n− 2), dengan demikian batas bawah dari graf pohos pisangteratur Bmn adalah m(n − 2). Pada Subbab 4.5 telah dilakukankontruksi untuk mencari batas atas dengan menggunakanLemma 4.6 diperoleh anggota himpunan pembedaW = {a11,a12, ...,a1n−2,a21,a22, ...,a2n−2, ...,amn−2} �.

BuktiMisalkan graf pohon pisang teratur Bm,n dengan simpulbackbone sebanyak m dengan anggota himpunanx1, x2, x3, ..., xm, dan simpul anting sebanyak n dengan anggotahimpunana11,a12, ...,a1n−1, x1,a21,a22, ...,a2n−1, x2, ...,amn−1, xm. PadaLemma 4.6 dijelaskan bahwa sedikitnya sebnayak (n − 2)untuk setiap simpul backbone ke-m merupakan anggotahimpunan pembeda artinya banyak anggota himpunanpembeda adalah m(n − 2), dengan demikian batas bawah darigraf pohon pisang teratur Bm,n adalah m(n − 2).

Bukti (Cont..)

Bukti (Cont..)Pada Subbab 4.3.11 telah dilakukan kontruksi untuk mencaribatas atas dengan menggunakan Lemma 4.6 diperolehanggota himpunan pembedaW = {a11,a12, ...,a1n−2,a21,a22, ...,a2n−2, ...,amn−2} dimanasetiap simpul yang bukan anggota himpunan pembeda memilikirepresentasi yang berbeda terhadap himpunan pembeda W .Dengan demikian batas atas yang diperoleh untuk graf pohonpisang Bm,n adalah m(n − 2), Oleh karena batas atas danbatas bawah pada graf pohon pisang Bm,n adalah m(n − 2)maka dimensi metrik dari graf pohon pisang teraturdim(Bm,n) = m(n − 2). �

Simpulan

Simpulan1 Dimensi metrik graf ulat teratur Cm,n adalah m(n − 1)

dengan m ≥ 1 dan n ≥ 22 Dimensi metrik graf kembang api teratur Fm,n adalah n

dengan m = 1 dan n ≥ 23 Dimensi metrik graf kembang api teratur Fm,n adalah

m(n − 1) dengan m ≥ 2 dan n ≥ 24 Dimensi metrik graf pohon pisang teratur Bm,n adalah

(n − 1) dengan m ≥ 1 dan n ≥ 35 Dimensi metrik graf pohon pisang teratur Bm,n adalah

m(n − 2) dengan m ≥ 2 dan n ≥ 3

Dimensi Metrik Graf Pohon Bentuk Tertentu - digilib.its.ac.id filePendahuluanDasar Teori Metodologi...

Documents

Transcript of Dimensi Metrik Graf Pohon Bentuk Tertentu - digilib.its.ac.id filePendahuluanDasar Teori Metodologi...

4-Metrik Proses dan Proyek Perangkat Lunakkarmila.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/50447/4-Metrik+P... · Penggunaan Pengukuran Dapat diterapkan pada proses perangkat lunak dengan

PERAN PANTI ASUHAN YATIM PUTRI AISYIYAH SURAKARTA …dalam upaya pembinaan akhlak anak asuh tahun 2013. Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah apa bentuk-bentuk pembinaan akhlak

Bisnis Metrik Penulisan

Lampiran 5 - Spesifikasi Ukuran Pipa komersial Satuan Metrik

DAN METRIK INGATAN BERBANTU MEDIA CERITA RECIPROCAL ... KETRAMPILAN.p… · dan metrik ingatan pada pembelajaran IPS berbasis keunggulan lokal dapat diterapkan dalam menggembangkan

BAB 4 ANALISIS DAN PEMBAHASAN 4.1 Data 25760-Evaluasi... · mengukur metrik-metrik pada SCOR yang bersesuaian dengn tujuan bisnis tersebut. Metrik-metrik yang diberikan oleh SCOR

Expertenfindung in komplexen Informationssystemen - Ein Metrik-basierter Ansatz

EVALUASI PENGGUNAAN KAMERA NON METRIK PADA FOTOGRAMETRI ...

PENGUKURAN KUALITAS APLIKASI EARLY WARNING ...repository.its.ac.id/75827/1/5212100122-Undergraduate...kualitas dan metrik yang diukur berdasarkan metrik ISO / IEC 9126 Part 2: External

Proses Perangkat Lunak Dan Metrik Proyek

Metrik Proyek Sistem Informasi

Desain Metrik Pengukuran Kinerja Rantai Pasok Sayuran ...

SIFAT TITIK TETAP PADA RUANG METRIK SKRIPSIdigilib.uin-suka.ac.id/16922/1/BAB I, IV, DAFTAR PUSTAKA.pdf · 2015-08-14 · SIFAT TITIK TETAP PADA RUANG METRIK ... bidang teori titik

SKRIPSI Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu ... · dan Gregori (2009) yang mempelajari sifat -sifat ruang metrik fuzzy sesuai dengan definisi ruang metrik fuzzy yang digunakan

repository.its.ac.idrepository.its.ac.id/3273/1/Tesis 1315201708.pdf · MODEL GSTAR DENGAN V ARIABEL EKSOGEN METRIK DAN NON METRIK UNTUK PERAMALAN INFLASI DI KALIMANTAN Tesis disusun

Sifat Barisan Subhimpunan Tutup di Ruang Metrik yang ...

Metrik Proses Dan Metrik Proyek

Kata kunci--- Fotogrametri, Non-Metrik, IOP

Pertemuan Ke-3 Metrik Proyek

KETUNGGALAN TITIK TETAP DI RUANG METRIK LENGKAP …