Post on 19-Mar-2019
DIFERENSIAL FUNGSI
MAJEMUK
Nuryanto,ST.,MT
DIFERENSIASI PARSIAL
dzqydx
pydx
oydy
qpofy
dzzydx
xydy
zxfy
,,
,
Nuryanto,ST.,MT
Contohy = 4x2 - 6x3z + 3xz2 + 3z2 + 5Diferensial parsial
Diferensial total
zxzxzy
zzxxxy
666
3188
3
22
dzzxzxdxzzxxdy 6663188 322
Nuryanto,ST.,MT
Soal
Tentukan diferensial partial dari fungsi berikut:1. Y = -100 + 80A – 0,1A2 + 100B - 0,2B2
2. Y = 50 – 3X1 + 6X12 – 5X2 – 10 X2
2 - 3x1x2
3. Y = – 2X2Y + 4Y3X-3X2 +Y2
4. Z = exy + 3XY2 – 6Y2 + 4X3Y5. Z = 3X2Y2 + 12Y4X -6X + 8Y3
Nuryanto,ST.,MT
NILAI EKSTRIM
y = f(x,z) mencapai titik ekstrim jika
Jenis titik ekstrim:Maksimum bila
Minimum bila
0dan 0
zy
xy
0&0
0&0
2
2
2
2
2
2
2
2
zy
xy
zy
xy
Nuryanto,ST.,MT
ContohHitung nilai ekstrim y = 2x2 - 20x + z2 – 8z + 78 dan jenisnya!
Y = 12
50204
0
204
xxxy
xxy
4082
0
82
zzzy
zzy
minimum02
04
2
2
2
2
zy
xy
Nuryanto,ST.,MT
SoalTentukan nilai ekstrim dan jenisnya1. Z = 10 – 5x + 3x2 – 8y + 2y2 – xy2. Z = 50 + 50x - 5x2 + 30y - 3y2 – 5xy3. Z = -3x2 +2y2 + 1004. Z = 10 + 10x - x2 + 6y – 3/5 y2 – xy5. Z = -6x2 +4y2 + 200
Nuryanto,ST.,MT
PENGGANDA LAGRANGE
Mengoptimumkan fungsi terhadap kendalayang berbentuk persamaan. Caranya denganmembentuk fungsi baru yaitu penjumlahanfungsi asli ditambah hasil kali penggandaLagrange dengan fungsi kendala.
Nuryanto,ST.,MT
Fungsi z = f(x, y) dengan syarat u = g(x,y)maka fungsi Lagrange:
F (x, y, ) = f(x, y) + g(x, y)Nilai ekstrim :F’x (x, y, ) = fx + gx = 0F’y (x, y, ) = fy + gy = 0Jenis :Maksimum F”x < 0 dan F”y < 0Minimum F”x > 0 dan F”y > 0
Nuryanto,ST.,MT
ContohTentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan
syarat x2 + y2 = 8.F = 2x + 2y + (x2 + y2 - 8) = 2x + 2y + x2 + y2 - 8 Fx = 2 + 2 xFy = 2 + 2 y
x2 + y2 = 8. z = 2x + 2y2y2 = 8 z = 8y = 2x = 2
yxyx
y
x
11
1
1
Nuryanto,ST.,MT
Fxx = 2Fyy = 2
Untuk x = 2 dan y = 2; =-½Fxx = -1 < 0Fyy = -1 < 0
Untuk x = -2 dan y = -2; =½Fxx = 1 > 0Fyy = 1 > 0
maksimum
minimum
Nuryanto,ST.,MT
KUHN TUCKER
Mengoptimumkan fungsi terhadapkendala yang berbentukpertidaksamaan. Penyelesaianmenggunakan Lagrange yangdimodifikasi atau langsung dengan caraKuhn Tucker.
Nuryanto,ST.,MT
Modifikasi Lagrange1. Anggap kendala dalam bentuk
persamaan. Kemudian selesaikandengan Lagrange Biasa. F(x, y, ) = f(x,y) - g(x, y)
2. Lakukan uji terhadap nilai . Jika > 0berarti optimum tercapai. Jika 0berarti fungsi dengan sendirinyamemenuhi kendala.
Nuryanto,ST.,MT
Metode Kuhn Tucker1. Rumuskan masalah2. Tetapkan kondisi Kuhn Tucker
3. Uji 2c masing-masing untuk = 0 dan g(x, y) =0 untuk menentukan mana yang memenuhipersamaan 2a dan 2b serta pertidaksamaankendala g(x,y).
0),(/0),(0),()
0),(),()
0),(),()
yxgyxgyxgcy
yxgy
yxfb
xyxg
xyxfa
Nuryanto,ST.,MT
ContohMaksimumkan fungsi f(x,y) = 10xy - 2,5x2 - y2 terhadapkendala x + y 9!LagrangeF(x,y,) = 10xy - 2,5x2 - y2 - (x + y – 9)Fx = 10y - 5x - = 10y - 5xFy = 10x -2y - = 10x - 2y
x + y = 9 F(x,y) maks = 1350,8 y + y = 9 = 30y = 5x = 4
x = 0,8 y
Nuryanto,ST.,MT
Kuhn Tucker
x + y – 9 = 0 maka x = 9 – ya) 10y – 5x - = 0 10y – 45 + 5y - = 0b) 10x – 2y - = 0 90 – 10y - 2y - = 0x = 4F(x,y) = 135
09g dimana 0)9(0)
02100)
05100)
yxyxgc
yxyg
yfb
xyxg
xfa
y = 5; = 30
Nuryanto,ST.,MT
HOMOGENITAS FUNGSI
Suatu fungsi dikatakanhomogen jika
nz = f ( x, y)
Nuryanto,ST.,MT
PERMINTAAN MARGINAL & ELASTISITAS PERMINTAAN MARGINAL
Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb)Permintaan marginal A sehubungan Pa =
Permintaan marginal A sehubungan Pb =
Permintaan marginal B sehubungan Pa =
Permintaan marginal B sehubungan Pb =b
db
a
db
b
da
a
da
PQP
QP
QP
Q
Nuryanto,ST.,MT
Elastisitas harga permintaan
Elastisitas silang permintaan
db
b
b
db
b
dbdb
da
a
a
da
a
dada
QP
PQ
PQ
QP
PQ
PQ
.%
%
.%
%
db
a
a
db
a
dbba
da
b
b
da
b
daab
QP
PQ
PQ
QP
PQ
PQ
.%
%
.%%
Nuryanto,ST.,MT
Fungsi permintaan barang A adalah Qda.Pa2.Pb3 – 1 = 0dan permintaan barang B adalah Qdb.Pa3.Pb – 1 = 0.Berapa elastisitas permintaan masing-masing barangdan hubungan antara kedua barang tersebut?
42
33
32
32
32
3.
.2
.
.1
01..
bab
da
baa
da
bada
bada
bada
PPP
Q
PPP
QPPQ
PPQ
PPQ
14
23
13
3
3
.3
.
.
.1
01..
baa
db
bab
db
badb
badb
badb
PPP
Q
PPP
QPPQ
PPQ
PPQ
Nuryanto,ST.,MT
3.
3.
1.
2.
db
a
a
dbba
da
b
b
daab
db
a
b
dbdb
da
a
a
dada
QP
PQ
QP
PQ
QP
PQ
QP
PQ
Nuryanto,ST.,MT
2 PRODUK & BIAYA PRODUKSI GABUNGAN
Permintaan barang Qa dan Qb, biayaproduksi TC = f (Qa, Qb) maka
TRa = Qa.Pa = f(Qa)TRb = Qb. Pb = f(Qb)TR = Ra + Rb = f(Qa) + f(Qb) = TR – TC = f(Qa) + f(Qb) – f(Qa, Qb)
Nuryanto,ST.,MT
SoalSuatu perusahaan meproduksi 2 macam barang yang
fungsi permintaannya adalah sbb :P1 = 100 – 2Q1 + Q2P2 = 75 + 2Q1 – Q2Sedangkan fungsi biaya mengikuti fungsi TC = 1000 + 20
Q1 + 10Q2 +2Q1Q2Perusahaan menginginkan laba maksimum tercapai.
Tentukan tingkat produksi yang memaksimalkan labadari 2 barang yang diproduksi jika kombinasimaksimum faktor produksi adalah 50.
Nuryanto,ST.,MT
maksimum jika ` = 0
0)2
0)1
Qb
Qa
Qb
Qa
Nuryanto,ST.,MT
UTILITAS MARGINAL PARSIAL & KESEIMBANGAN
KONSUMSI
U = f(x,y)Utilitas marginal =
U = f(x,y) dimaksimumkan dengan fungsianggaran M = x.Px + y.Py
F(x,y) = f(x,y) + (x.Px + y.Py - M)Fx (x,y) = 0 fx(x,y) + Px = 0Fy (x,y) = 0 fy(x,y) + Py = 0
yyU
xxU
Nuryanto,ST.,MT
Kepuasan maksimum dari konsumsi terjadi bila:
yx
y
y
x
x
PMUy
PMUx
Pyxf
Pyxf
),(),(
Nuryanto,ST.,MT
Contoh
Kepuasan konsumen menkonsumsi X dan Yadalah U = x2y3. Jumlah pendapatankonsumen 1000 dan harga x 25 harga y 50.tentukan utilitas saat 14 x dan 13 y!
MUx = 2xy3
MUy=3x2y2
x = 14; y = 13 MUx = 61.516MUy = 99.372
MUx/Px = 2460,64MUy/Py = 1987,44
Nuryanto,ST.,MT
Tentukan kombinasi maksimum x dan y!U = x2y3 25x + 50y – 1000 = 0F(x,y)= x2y3 + (25x + 50y – 1000)
= x2y3 + 25 x + 50 y – 1000 Fx = 2xy3 + 25 = 0 - = 2xy3/25Fy = 3x2y2 + 50 = 0 - = 3x2y2/50
x = 16 , y = 12U = 442.368
xy
yxxy
yxxy
43
3450
325
2
223
223
Nuryanto,ST.,MT
PRODUK MARGINAL PARSIAL & KESEIMBANGAN PRODUKSI
P = f(k,l)Produk marginal =
P = f(k,l) dimaksimumkan dengan fungsianggaran M = K.Pk + L.Pl
F(k,l) = f(k,l) + (k.Pk + l.Pl - M)Fk (k,l) = 0 fk(k,l) + Pk = 0Fl (k,l) = 0 fl(k,l) + Pl = 0
LlP
KkP
Nuryanto,ST.,MT
Keseimbangan produksi terjadi bila:
l
l
k
k
l
l
k
k
PMP
PMP
Plkf
Plkf
),(),(
Nuryanto,ST.,MT
LATIHAN DIFERENSIAL PARSIAL
1. Tentukan diferensial parsial dan diferensialtotalnya untuk fungsi
a. y = 4x2-6x2z+3xz2+3z2+5b. y = 3x2 – 5z2 + 2x2z – 4xz2 – 9zc. y = 6x2 + 4 x2/z – 3z + 25
2. Hitunglah y ekstrim dari fungsi y = 2x2 – 20x +z2 – 8z + 78 dan selidiki apakah nilai y ekstrimtersebut merupakan nilai maksimum atauminimum
Nuryanto,ST.,MT
3. Hitunglah p ekstrim dari fungsi p = -q2 – 3r2 + 6q + 24r - 56 dan selidiki apakah nilai p ekstrim tersebut merupakan nilai maksimum ataukah nilai minimum4. Optimimkan z = 4x – 2y dengan syarat/kendala x2
– y2 = 20. Jelaskan apakah z optimumnya merupakan z maksimum ataukah minimum5. Fungsi permintaan dua macam barang yang berkaitan masing – masing di tunjukkan dengan persamaan x = aeq-p dan y = bep-q . Berapa elatisitas permintaan masing – masing barang dan bagaimana hubungan antara kedua barang tersebut
Nuryanto,ST.,MT