MEKANIKA 2MEKANIKA 2materi#2materi#2

DEFLEKSI PADA BALOK

DEFLEKSI BALOKDEFLEKSI BALOK

Jika suatu balok dibebani oleh beban lateral maka akan terdeformasi menjadi lengkungan

Walaupun tidak mempengaruhi kekuatan struktur, defleksi tetap diperhatikan untuk konstruksi tertentu, misalnya: gedung, pesawat terbang, kapal, dan lain-lain.

Persamaan diferensial untuk Persamaan diferensial untuk kurva defleksikurva defleksi

Ketika balok terdefleksi, sumbu longitudinal yang lurus terdeformasi menjadi lengkungan, yang disebut kurva defleksi

Kurva defleksi ini digunakan sebagai acuan untuk menghitung defleksi pada balok dan regangan yang terjadi pada seluruh penampang balok

Defleksi (v) adalah peralihan dalam arah y dari sembarang titik di sumbu balok

x

y

B

B

A

A

P

v

x

y

BA

v v+dvm1m2

x dx

d

O’

xv

v+dvm1

m2

x dx

d

ds

d

dsd

ds

d

1

+_

Tanda kelengkungan

x

y

Kemiringan kurva defleksi:

turunan pertama dari defleksi v terhadap x (dv/dx)

dx

dvdx

dv

arctan

tan

Balok dengan rotasi kecilBalok dengan rotasi kecil

Hampir semua balok mengalami defleksi dan sudut rotasi yang sangat kecil, sehingga kelengkungan yang terjadi juga sangat kecil

Apabila kecil maka cos = 1, sehingga

ds dx

dx

d

1

Apabila kecil, maka tan , sehingga

dx

dv tan

2

2

dx

vd

dx

d

2

21

dx

vd

(9-5)

Jika bahan balok bersifat elastis linier dan mengikuti hukum Hooke, maka kelengkungannya adalah sebesar (pers 5-12, bab 5)

EI

M

1

(9-6)

Dari pers (9-5) dan (9-6) didapatkan persamaaan diferensial dasar untuk kurva defleksi

Persamaan ini dapat diintegrasikan untuk mendapatkan defleksi v, asal M dan EI diketahui sebagai fungsi x

EI

M

dx

vd

2

2

Review perjanjian tandaReview perjanjian tanda

Sumbu x dan y positif ke kanan dan ke atas Defleksi v positif ke atas Kemiringan dv/dx dan sudut rotasi positif

apabila berlawanan jarum jam terhadap sumbu x positif

Kelengkungan positif jika balok melentur cekung ke atas

Momen lentur M positif jika menghasilkan tekan di bagian atas balok

Persamaan lain dapat diperoleh dengan mengganti M dengan V dan q

Untuk balok nonprismatik persamaan defleksi sebagai berikut :

Mdx

vdEI x

2

2

Vdx

dM

dx

vdEI

dx

dx

2

2

qdx

dV

dx

vdEI

dx

dx

2

2

2

2

Untuk balok prismatik (EI konstan)

Mdx

vdEI

2

2

Vdx

vdEI

3

3

qdx

vdEI

4

4

Penyelesaian persamaan Penyelesaian persamaan diferensial defleksi balokdiferensial defleksi balok

Menentukan rumus yang dipakai, tergantung persamaan yang diketahui: momen (M), gaya geser (V) atau beban (q)

Persamaan diintegrasikan sampai mendapatkan harga defleksi v

Setiap integrasi menghasilkan satu konstanta C. Harga C ditentukan dari kondisi yang diketahui

pada balok tersebut

Kondisi tersebut meliputi: – Kondisi batas– Kondisi kontinuitas– Kondisi simetri (jika ada)

Penyelesaian dengan Penyelesaian dengan persamaan momen lenturpersamaan momen lentur

Persamaan momen lentur diintegralkan sekali, menjadi persamaan sudut kemiringan (v’) dan muncul C1

Persamaan sudut kemiringan (v’) diintegralkan menjadi defleksi (v) dan muncul C2

Kondisi Batas TumpuanKondisi Batas Tumpuan

Tumpuan Engsel– Defleksi = 0– Momen lengkung = 0

Tumpuan Jepit– Defleksi = 0– Sudut defleksi = 0

Ujung bebas– Momen lengkung = 0– Gaya geser = 0

Kondisi KontinuitasKondisi Kontinuitas

x

y

B

B

A

A

P

v

C

C

Defleksi di C dihitung dari segmen AC sama dengan hasil perhitungan dari segmen CB

Kondisi simetriKondisi simetri

Untuk beban dan tumpuan yang simetris berlaku kondisi simetris

Sudut defleksi di tengah balok = 0

Harga C (C1, C2, dst) yang didapat dari kondisi-kondisi tersebut dimasukkan kembali ke persamaan.