Circuitos rlc(1)

TEMA 6

LOS CIRCUITOS RLC, LA RESONANCIA YLOS FILTROS PASIVOS

Introduccin.Al circular la corriente alterna por circuitos formados por resistencias, bobinas y condensadores, debido a efectosespeciales que tienen lugar como consecuencia de este tipo de corriente y de la frecuencia, el comportamientode estos componentes, y por tanto de estos circuitos, es diferente que cuando son recorridos por corrientecontinua. De ah que nos ocupemos en este tema del estudio de ellos.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

1 Teorema de Pitgoras.Aunque trataremos de resolver los ejercicios

de este tipo de circuitos mediante los nmeros com-plejos, debemos aclarar que cuando se trata de cir-cuitos sencillos (una resistencia, una bobina y uncondensador) stos se pueden resolver por medio delteorema de Pitgoras. Lo recordamos.El teorema de Pitgoras dice que "el cuadradoformado sobre la hipotenusa de un tringulo rectn-gulo es igual a la suma de los cuadrados formadossobre los catetos".

Su expresin matemtica es la siguiente:

h2 = c12 + c22

En la figura 6.1 se muestra la interpretacin.

2 Trigonometra. Para la resolucin de los circuitos RLC nece-

sitamos de los conocimientos de la trigonometra.Con lo que se ha visto en el tema de corriente alter-na, de momento, nos es suficiente.

3 Vectores.Como se recordar, un vector es un segmento

orientado. Es decir, un segmento con una punta deflecha en uno de sus extremos. Vase la figura 6.2.

Los vectores se nombran diciendo primero la letradel origen seguido de la del extremo; o tambindiciendo la letra minscula que lo designa. As elvector de la figura 6.2 se puede nombrar como elvector AB o simplemente vector v.

Figura 6.2

Figura 6.1

A

B

v

o x

yb

anh2

C 22

C12

2 Captulo 6. Circuitos RLC. Csar Snchez Norato

Se representa por una letra minscula con un peque-o vector encima de la letra.

Todo vector se caracteriza por los parmetros: Magnitud o Mdulo: es la longitud del vector o

segmento. (longitud A-B). Se representa as: |v|

Direccin: es la direccin de la recta sobre laque est representado el vector; la direccinpuede ser A-B o B-A.

Sentido: es el sentido del vector. El sentido deun vector viene dado por la punta de flecha. Elvector representado posee un sentido A-B.

Punto de aplicacin u origen: es el lugar dondecomienza el vector. En la figura el punto A. Eneste caso coincide con el origen de coordenadas.

Un vector se puede dar en funcin de sus coordena-das y/o descomponerse en ellas. El vector que seadjunta tiene como abscisa el segmento oa y comoordenada el segmento ob. Cada una de ellas se puedecalcular en funcin del mdulo y del ngulo .As,

la componente horizontal oa = |v| cos la componente vertical ob = |v| sen

Si de un vector nos dan sus componentes, podemoshallar el mdulo por el Teorema de Pitgoras omediante la trigonometra.Tambin haremos uso de las operaciones con vecto-res; sobre todo de la suma y resta.

4 Nmeros complejosEl campo de los nmeros complejos se cre

para dar respuesta a ciertas cuestiones matemticasque no solucionaban los nmeros reales. Algunos deestos casos son: las races cuadradas (o de ndice par)de los nmeros negativos como -9; las potencias deexponente irracional de nmeros negativos (-3)5/4; olos logaritmos de los nmeros negativos (log - 4).

Se denominan nmeros complejos al conjunto de losnmeros reales y los imaginarios.

4.1 Definicin.Un nmero complejo es un ente abstracto

representado por un par de nmeros reales cuales-quiera dados en un orden prefijado. Los nmeros

complejos se representan con el smbolo (a, b) siendoa y b nmeros reales. Al nmero a se le llama prime-ra componente o componente real y al b segundacomponente o componente imaginaria.

4.2 Consideraciones sobre los nmeroscomplejos.

1 Todo nmero complejo de la forma (a, 0)(segunda componente nula) es un nmero real.

2 Los nmeros complejos no reales se llamanimaginarios.

3 Todo nmero complejo de la forma (0, b)(primera componente nula), se llama nmeroimaginario puro.

4 Toda unidad imaginaria se representa por "i"(nosotros en electricidad y electrnica utiliza-remos la letra "j") y corresponde al nmerocomplejo imaginario puro (0, 1) sea, a -1;luego

(0, 1) = i = -1.por tanto:

i = -1 i2 = -1

4.3 Expresiones de los nmeros complejos.Todo nmero complejo se puede expresar devarias formas:

1 Forma compleja: se expresa por (a, b) cuyosignificado ya conocemos.

2 Forma binmica: se expresa por a + bi donde a representa la parte real y b las unidadesimaginarias.

3 Forma factorial o trigonomtrica: en este casose dan las componentes a y b en funcin delngulo y de sus razones trigonomtricas. Estasdos componentes son:

a = r cos b = r sen

y el mdulo z = r (cos + sen )

4 Forma mdulo-argumental o polar: todonmero complejo queda determinado si se co-nocen su mdulo y su argumento o ngulo. Enesta forma se expresa as (r ).

Captulo 6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato 3

4.4 Representacin geomtrica de un n-mero complejo.Los nmeros complejos se representan por los

puntos de un plano referidos a un sistema de coorde-nadas, bien cartesianas o bien polares.

Analicemos el caso de las coordenadas cartesianas.Sea el nmero complejo representado por un puntoP (figura 6.3).Dicho punto se proyecta sobre los ejes. La proyec-cin sobre el eje de abscisas representa la compo-nente real y la proyeccin sobre el eje de ordenadasrepresenta la componente imaginaria.El punto P se llama afijo del complejo.

Mdulo es la distancia OP de su afijo al origen decoordenadas. Su valor se calcula por Pitgoras.

Argumento es el ngulo que forma el segmento OP(mdulo) con el eje horizontal. Este ngulo vienedado por:

= arc sen b/r = arc cos a/r = arctg b/a

Vector asociado es el vector OP.Como se observar, los nmeros complejos son, enla prctica, vectores; slo que su origen siempre estsituado en el origen de coordenadas.

4.5 Igualdad y desigualdad de nmeroscomplejos.

a) Dos nmeros complejos son iguales cuandotienen el mismo afijo; es decir, cuando se repre-sentan geomtricamente en el mismo punto.

b) Dos nmeros complejos son iguales cuandotienen, respectivamente iguales, sus compo-nentes reales e imaginarias.

Ejemplo: a + bi = c + di a = c y b = d

c) Dos nmeros complejos dados en forma trigo-nomtrica son iguales cuando tienen iguales susmdulos y sus argumentos son iguales o difie-ren en k x 360 o en 2k (si el ngulo viene da-do en radianes), siendo k un nmero entero.

4.6 Nmeros complejos nulos, opuestos yconjugados.Nulos.a) en forma compleja: cuando sus dos com-

ponentes son nulas.b) en forma polar: basta con que sea nulo el

mdulo.

Opuestos.a) en forma compleja y binmica: cuando

tienen sus dos componentes opuestas (a = - a y b = - b). As, el nmero com-plejo (7, 4) es opuesto al (-7, -4). Delmismo modo lo son los complejos: 3 + 4i y el -3 - 4i.

b) en forma mdulo argumental: cuando susmdulos son iguales y sus ngulos o ar-gumentos difieren en 180 (o en ) o enun nmero impar de estos.

Conjugados.a) en forma compleja o binmica: cuando

sus componentes reales son iguales y suscomponentes imaginarias son opuestas.El complejo conjugado a (3, 4) es (3, -4).De igual forma lo son -3 + 5i y -3 -5i.

b) en forma polar: si sus mdulos son igua-les (r = r) y sus argumentos opuestos ( = - ).

4.7 Operaciones con nmeros complejos.

4.7.1 En forma compleja y/o binmica.Suma y resta.La suma o resta de dos o ms nmeros com-plejos es otro nmero complejo cuya com-ponente real es la suma o resta de las com-ponentes reales y cuya componente imagina-

P

r

o x

y

b

an

Figura 6.3


ria es la suma o resta de las componentesimaginarias de los nmeros complejos a su-mar o restar.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Ejemplos:(3, 5) - (2, -6) + (3, -1) = (4, 10)

(5 + 3i) + (-2 + 7i) - (8 - 4i) =[ (5 -2 -8) + (3 + 7 +4)i ] = - 5 + 14i

Observaciones:a) la suma de dos nmeros complejos opuestos

es igual a cero.b) la suma de dos complejos conjugados es

igual al duplo de su componente real.c) la representacin geomtrica de la suma apa-

rece en la figura 6.4.

Producto.Para multiplicar dos nmeros complejos semultiplican los binomios complejos como sifueran binomios algebraicos.

Ejemplo.(a + bi) x (c + di) = (ac + adi + cbi + bd i2) =

(ac - bd) + (cb + ad)i

Nota: ojo, no olvidemos que i2 = -1.

Cociente.El cociente de dos nmeros complejos (a +bi) y (c + di) es otro nmero complejo (m +ni) tal que multiplicado por el complejo di-visor (c + di) d como resultado el complejodividendo (a + bi).

4.7.2 En forma polar.

Producto.Para multiplicar dos o ms nmeros com-plejos se multiplican los mdulos y se su-man los argumentos.Ejemplo: 530 x 6 42 x 2 20 = 60 92

Cociente.Para dividir dos nmeros complejos se divi-den los mdulos y se restan los argumentos.Ejemplo: 28 35 /4 24 = 7 11

5 Leyes de Kirchhoff.Recordemos solamente los enunciados.

La ley de los nudos dice que "en todo nudo elctrico,la suma vectorial de las corrientes que a l se acer-can es igual a la suma vectorial de las corrientes quede l se alejan".

La ley de mallas dice que "en toda malla o circuitoelctrico cerrado, la suma vectorial de las fuerzaselectromotrices aplicadas es igual a la suma vecto-rial de las cadas de tensin que en ella se produ-cen".

6 La reactancia inductiva.Cuando una bobina es recorrida por una co-

rriente variable (corriente alterna), en su interior secrea un flujo magntico variable. Como consecuen-cia, se inducir en ella una f.e.m. inducida de sentidocontrario (segn la Ley de Lenz) a la variacin de lacorriente que la crea.

La f.e.m. inducida vale v = - L I / t

(el signo "menos" es por la Ley de Lenz)Por otro lado, en la bobina se almacena una energaen forma electromagntica que vale:

E = L I2 / 2 en Julios.

Se demuestra que el valor eficaz de le f.e.m inducidaen una bobina vale V = 2 f L IAl coeficiente 2 f L, que hace el efecto de unaresistencia, se le llama reactancia inductiva, se

a

b

c

d

m

n

oeje real

P

Figura 6.4


representa por XL y vendr dada en ohmios, cuandola frecuencia venga en Hertzios y el coeficiente deautoinduccin en Henrios.As pues, la reactancia inductiva de una bobina vale:

XL = 2 f L

En una bobina ideal (la que no tiene resistenciahmica ni capacidad, que por otra parte no existe) lacorriente sufre un retraso de 90 respecto de la ten-sin aplicada.

7 La reactancia capacitiva.Cuando un condensador se conecta a una co-

rriente alterna, el condensador se va cargando ydescargando con la misma frecuencia que la de latensin aplicada. Esto, a efectos prcticos, equivalea que por el circuito circula una corriente alternacuyo valor eficaz viene dado por la frmula:

I = 2 f C Vsiendo

V el valor eficaz de la tensin aplicada al condensa-dor, en voltios,

f la frecuencia de la tensin aplicada, en Hertzios, yC la capacidad del condensador, en Faradios.

Si despejamos la tensin, tenemos que:V = I / 2 f C

Por analoga con la Ley de Ohm (V = RI), tendre-mos que 1/2 f C tiene carcter de resistencia.

Pues bien, este trmino es lo que se llama reactanciacapacitiva; se representa por Xc y vale:

Xc = 1 / 2 f C

La reactancia capacitiva, o capacitativa, viene dadaen ohmios si la frecuencia viene dada en Hertzios yla capacidad en Faradios.

Un condensador ideal retrasa la tensin 90 respectode la intensidad; o lo que es igual, adelanta la co-rriente 90 respecto a la tensin. Hace, pues, el efectocontrario a las bobinas.

8 Concepto de impedancia.Cuando hablamos de la reactancia inductiva

veamos cmo no exista ninguna bobina ideal,

porque todas tienen una cierta resistencia debida alhilo con que estn confeccionadas. Existen, pues, entoda bobina conectada a una corriente alterna dostipos de resistencia: una la debida al hilo conductor (RL = l /S) y otra, la reactancia inductiva,(XL = 2fL) debida a la inductancia de la propiabobina y a la frecuencia de la fuente de energa.

Debido a esto, el terico ngulo de desfase de 90entre la tensin y la corriente no es tal, sino menor.

La combinacin de estos dos tipos de resistencia dauna resistencia, llamada aparente, y que se corres-ponde, segn la Ley de Ohm, con el valor de laresistencia que presentara el circuito si no hubieraefecto de inductancia.

Esta resistencia aparente que vale Veficaz /I eficaz recibeel nombre de impedancia. Se representa por Z. Suexpresin en forma compleja o vectorial es:

Z = R + jX

donde R es la componente resistiva y X es lacomponente reactiva.

Otro tanto ocurre con los condensadores reales(aquellos que presentan algn tipo de prdidas). O enun circuito mixto (R-L-C).Lo veremos ms claro y con mayor detalle cuandoanalicemos los circuitos RLC.

9 Conceptos de Admitancia, con-ductancia y susceptancia.

Admitancia. Es la expresin inversa de la impedan-cia. Se representa por Y. Su unidad es el mho (Ohmal revs) o el Siemens.

Su expresin en forma compleja es:

Y = 1/Z = 1 / (R + jX) = G + jB

Conductancia. Se llama as a la componente G de laexpresin compleja de la admitancia. Es decir, laparte real de la admitancia.

Susceptancia. Se entiende como tal la componente Bde la expresin compleja de la admitancia. Es decir,la parte compleja o imaginaria de la admitancia.


10 Conceptos de potencia aparente,potencia activa y potencia reactiva.

Recibe el nombre de potencia aparente el pro-ducto de los valores eficaces de la tensin aplicada aun circuito por la corriente que lo recorre.

Se representa por Pap y su unidad es el vol-tiamperio o voltamperio.Se denomina potencia activa o potencia real de uncircuito al producto de la potencia aparente por elcoseno del ngulo que forman la tensin y la co-rriente. Es debida a la componente resistiva de lacarga. Se representa por Pac y su unidad es el watio.

Existe una unidad prctica de potencia que es elcaballo de vapor (HP -Horse Power- en ingls) queequivale a 736 watios).

Se entiende por potencia reactiva al productode la potencia aparente por el seno del ngulo queforman la tensin y la corriente. Es debida a lacomponente reactiva de la carga. Se representa porPreac y su unidad es el watio reactivo o voltiampe-rio reactivo.

Nota: estos tipos de potencias se dan en aquelloscircuitos donde la carga no es puramente hmica.Caso contrario, el nico tipo de potencia que existees la activa.

11 Circuito con resistencia.Supongamos una resistencia hmicamente

pura (desprovista de autoinduccin y de capacidad)a la que se aplica una tensin alterna senoidal. Estatensin originar por el circuito una corriente, tam-bin senoidal, totalmente en fase con la tensinaplicada y de su misma frecuencia.

En la figura 6.5 se ha representado el circuito elctri-co (figura a), el diagrama vectorial formado por latensin y la corriente (figura b) que se puede obser-var estn en fase y, por ltimo, las senoides de latensin aplicada (o cada de tensin en la resistencia)y la corriente que recorre el circuito (figura c).

Podemos decir, a la vista de los resultados, que alalimentar una resistencia puramente h-mica con unatensin de cc o con una tensin alterna senoidal conidntico valor eficaz que el de la cc, los efectos sonlos mismos. Precisamente de aqu se obtiene ladefinicin de valor eficaz de una corriente alterna.

12 Circuito con inductancia pura.Sea la bobina, supuestamente ideal, de la figu-

ra 6.6 a la que se aplica una tensin alterna senoidal.Ya dijimos que una bobina ideal retrasa 90 la co-rriente respecto de la tensin aplicada (figuras b y c).

G

I

v = V 0sen Tti = I

sen Tt

0

t

v/i

I V

j

circuito

senoides

diagrama vectorial

o

a) b)

c)

R

Figura 6.5

G

I

sen (Tt - 90)i = I

t

v/i

I

V

j

circuito

senoides

diagrama vectorial

o

a) b)

c)

L

-

90

90

L

0

v = V 0 sen Tt

90

Figura 6.6


En este circuito la nica "resistencia" que aparece esla reactancia inductiva, por lo que la corriente eficazque circula por el circuito ser:

I = V / XL (90 = V / j2 fL =jV / j2 2fL = -jV / 2fL = -jV / j L

La corriente instantnea que circula por el circuitoes i = Io sen (t 90)

Observaciones:La potencia (potencia activa o real) absorbida poruna bobina ideal es cero, pues no existe resistenciahmica.La tensin y la corriente estn en cuadratura; o sea,desfasadas 90, por tanto, el factor de potencia ocoseno n es nulo.

13 Circuito con condensador ideal.Al conectar un condensador ideal (recordemos

que es el que est totalmente desprovisto de resisten-cia) como el de la figura 6.7 a una fuente de tensinalterna, ocurre que a medida que la tensin va au-mentando, el condensador se va cargando, y cuandoaquella va disminuyendo, el condensador se vadescargando. Todo esto ocurre con la misma rapidezcon que cambia el sentido de la tensin aplicada.

Como consecuencia, se establece en el circuito unacorriente alterna de la misma frecuencia que la de latensin de alimentacin.

Teniendo en cuenta que el valor mximo de la ten-sin tiene lugar al cuarto de periodo (90), -ver figura

6.7,c- y que la cantidad de electricidad -en culombiossi C viene en Faradios y V en voltios- acumulada encada armadura del condensador es Q = C x V, ten-dremos que al cabo de los 90 la cantidad de electri-cidad acumulada ser:

Q0 = C x V0

Por tanto, el valor medio de la intensidad ser:

Imed = Q0 / t = C V0 / T/ 4 = 4 C V0 / T

Pero como 1/T = f, tendremos que:Imed = 4 f C V0

Pasando a valores eficaces la corriente y la tensintendremos que:

I = V / Xc (-90 = V / (-j) / C = V C / -j =j V C / -j2 = j V C = jV 2 f C

V = Xc (-90 = (-j) / C = -jI /C = -jI / 2 f C

La corriente va 90 en adelanto respecto de la ten-sin, o lo que es lo mismo, la tensin va 90 enretraso respecto de la corriente.Los condensadores hacen lo contrario que las bobi-nas.La corriente instantnea circulante en el circuito es

i = Io sen (t + 90)

Todo lo tratado se puede observar en la figura 6.7.

14 Circuito con resistencia y autoin-duccin. Circuito R-L.Sea el circuito de la figura 6.8,a constituido

por una resistencia y una bobina. Tambin se puedeconsiderar este circuito formado por una bobina real;es decir, considerando la resistencia hmica de lamisma. (Desconsideramos la capacidad de la bobinapor ser la frecuencia de la tensin aplicada pequea).

Al aplicarle una tensin alterna senoidal, el circuitoser recorrido por una corriente tambin alternasenoidal de la misma frecuencia.Esta corriente dar lugar a dos tipos de cadas detensin diferentes en el circuito: una cada de tensinhmica debida a la resistencia hmica, R, del circuitocuyo valor es RI y que estar en fase con la corrientey otra inductiva o reactiva debida a la reactancia dela bobina, XL, cuyo valor es XL I y desfasada 90 enadelanto respecto a la "cada de tensin hmica".

G

I

t

v/i

I

V

jcircuito

senoides

diagrama vectorial

o

a) b)

c)

-

90

90

Cv = V 0 sen Tt

90

C

sen (Tt + 90)i = I 0

Figura 6.7


En todo momento, la suma de ambas cadas detensin debe ser igual a la tensin aplicada, que a suvez es igual a ZI, (Ley de Kirchhoff). Pero como noestn en fase, la suma debe ser vectorial o geomtri-ca. Ver figura 6.8,b: tringulo de tensiones.

Tenemos, por tanto: cada de tensin en la resistencia:

VR = R(0 I (en fase con la corriente)

cada de tensin en la bobinaVL = XL (90 x I (90 en adelanto sobre la corriente)

tensin total V = Z(n I (en adelanto n gradosrespecto de la corriente)

De la figura 6.8,b, conocida como tringulo detensiones, se deduce (por Pitgoras) que

V2 = VR2 + VL2

Impedancia. Tringulo de resistencias.

La impedancia del circuito en forma compleja es:

Z = R + j XL

El mdulo de la impedancia es:

El argumento o ngulo de desfase es:n = arc cos R / Z = arc tg XL / R

El factor de potencia o coseno de fi es:Cos n = R / Z

La corriente que circula por el circuito vale:I = V(0 / Z (n = I ( -n

El tringulo de resistencias o impedancias es el de lafigura 6.8,b sin ms que dividir cada uno de losvectores por la intensidad. Tambin se puede obser-var en las figuras 6.9,a (tringulo OAB) y 6.9,b(tringulo ABC), que de las dos formas se suelerepresentar.

Tensiones. Tringulo de tensiones.Antes hemos visto las distintas cadas de tensin. Eltringulo de tensiones es la propia figura 6.8,b.Tambin lo es el tringulo OCD de la figura 6.9,a oel tringulo DEF de la figura 6.9,b.

Sus valores son:V = Z(n I

VR = R(0 I = V cos nVL = XL (90 I = V senn

G

I

j

circuitoa)

R L

n

X L I

sen Tt i = I

t

v/i

senoides

o

c)

n

0

v = V 0 sen (Tt + n)

RItringulo de tensionesb)

v = V 0 sen Tt R

Io

90

v = V 0 sen (Tt + 90)L

Figura 6.8

22|| LXRz +=

j

o

Z

V

Pap

LV

Preac

X L

R PacVR

A

B

C

D

E

FI

n

n

n

n

n

Z

R

X L

V

ac

A

B

CD

E

FG I

H

R

P

a)

b)

Figura 6.9


Corrientes. Tringulo de corrientes.Ya hemos visto cmo la corriente queda retrasada unngulo n con respecto de la tensin.Este valor queda descompuesto en dos componentes:una, IR, en fase con la tensin y otra, IL, retrasada 90respecto de la anterior (figura 6.10).

La IR se llama de corriente activa y su valor esIR = I cos (-n)

La IL se llama corriente magnetizante o reactiva y valeIL = I sen (-n)

La I total vale:

Potencias. Tringulo de potencias.En este circuito aparecen tres tipos de potencia:

La potencia aparente representa la potencia totalsuministrada por la fuente o la total absorbida por lacarga y vale:

Pap = Z(n I2 en voltamperios.

La potencia activa es la absorbida por la resistenciay vale:

Pac = R(0 I2 = Pap cos n en vatios.

La potencia reactiva es la absorbida por la bobina yvale:

Preac = XL(90 I2 = Pap sen nen vatios reactivos o voltamperios reactivos.

El tringulo de potencias se puede observar en lafigura 6.9,a (tringulo OEF) y en la figura 6.9,b(tringulo GHI).

Nota final:Si se tratara de varias resistencias y autoinducciones,los tringulos de resistencias, tensiones y corrientesse constituiran por la composicin de cada uno delos correspondientes a cada clula R-L. Se comenza-ra por el primero de ellos y a continuacin se lleva-ra el correspondiente a la segunda clula; luego sellevara el correspondiente a la tercera y as sucesi-vamente.

Como ejemplo se propone la resolucin del siguienteejercicio, cuyas soluciones se facilitan:

Tenemos una resistencia de 0,628 ohmios y unabobina de 2 mH. Le aplicamos una f.e.m. alternasenoidal de 6,28v a una frecuencia de 50Hz. Hallar:

a) la reactancia de la bobina,b) la impedancia total del circuito,c) el ngulo de desfase,d) coseno de n,e) la intensidad de corriente por el circuito, yf) las tensiones del circuito,g) potencias del circuito.

Soluciones:a) XL = 0,628 (90Ab) Zt = 0,885 (45c) n = 45d) Cos n = 0,707e) I = 7,1(- 45 A; IR = 5(0 A; IL = 5(-90Af) V = 6,28V (45 ; VR = 4,45V(0 ; VL = 4,45(90Vg) Pap = 44,58 (45VA ; Pac = 31,65(0W ;

Preac = 31,65(90Wr

15 Circuito con resistencia y conden-sador. Circuito R-C.

Sea el circuito de la figura 6.11 formado por laresistencia pura R y el condensador C.Al aplicar al circuito una tensin alterna senoidal deV voltios de valor eficaz y de frecuencia f en Hert-zios, ser recorrido por una corriente alterna senoidalde la misma frecuencia que la de la tensin de ali-mentacin.

Esta corriente dar lugar a dos tipos de cadas detensin diferentes: una, VR, debida a la resistencia R,en fase con la corriente, cuyo valor es RI, y otra, Vc,de valor XC I retrasada 90 respecto de la corriente.En todo momento, la suma vectorial o geomtrica deambas cadas de tensin debe ser igual a la tensinaplicada.

I

jtringulo de corrientes

n

I

o -

-

R

L

v

Figura 6.10

22|| LR III +=


Tenemos, por tanto:

cada de tensin en la resistenciaVR = R(0 I (en fase con la corriente)

cada de tensin en el condensadorVc = Xc(-90 I (90 en retraso respecto de la corriente) tensin totalV = Z(-n I en retraso n grados sobre la corriente)

De la figura 6.11,b, conocida como tringulo detensiones, se deduce (por Pitgoras) que:

V2 = VR2 + VC2

Impedancia. Tringulo de resistencias.La impedancia del circuito en forma compleja es:

Z = R - j XC


El argumento o ngulo de desfase es:n = - arc cos R / Z = - arc tg XC / R

El factor de potencia o coseno de n es:cos n = R / Z

La corriente por el circuito vale:I = V(0 / Z(-n = I (n

El tringulo de resistencias o impedancias es lapropia figura 6.11,b sin ms que dividir cada uno delos vectores por la intensidad.Tambin se puede observar en la figura 6.12,a (tringulo OAB) y en la figura 6.11,b (tringuloABC), que de las dos formas se suele representar.

Tensiones. Tringulo de tensiones.Ya hemos visto antes las distintas cadas de tensin.El tringulo de tensiones es la propia figura 6.11,b.Tambin lo es el tringulo OCD de la figura 6.12,a oel tringulo DEF de la figura 6.12,b. La tensin en elcondensador va retrasada 90 respecto de la intensi-dad.

Sus valores son:

V = Z(-n I; VR = R( 0 I = V cos (-n);VC = XC (-90 I = V sen (-n)

Corrientes. Tringulo de corrientes.Ya hemos visto como la corriente queda adelantadaun ngulo n con respecto de la tensin.Este valor queda descompuesto en dos componentes:una, IR, en fase con la tensin y otra, IC, adelantada90 respecto de la anterior.

22|| CXRZ +=

G

I

I

j

circuito tringulo dea) b)

R nRI

X Io

tensiones

c

C -

-

sen Tt i = I

t

v/i

senoides

o

c)

n

0

v = V 0 sen (Tt - n)

v = V 0 sen Tt R90

v = V 0 sen (Tt - 90)c

Figura 6.11

j

o

Z

V

Pap

V

Preac

X

R PacVRA

B

C

D

E

F

I

n-

-

c

c

n

n

n

Z

R

X

Vac

A

B

CD

E

FG I

H

R

P-

--

c

a)

b)

Figura 6.12


La IR se denomina corriente activa y su valor es:

IR = I cos n

La IC se denomina corriente reactiva y vale

IC = I sen n

La I total vale:

Potencias. Tringulo de potencias.En este circuito aparecen tres tipos de potencia:La potencia aparente representa la potencia totalsuministrada por la fuente o la total absorbida por lacarga y vale:

Pap = Z(-n I2 en voltamperios.


Pac = R(0 I2 = Pap cos (-n) en vatios.

La potencia reactiva es la absorbida por el condensa-dor y vale:

Preac = XC(-90 I2 = Pap sen (-n)

en vatios reactivos o voltamperios reactivos.

El tringulo de potencias se puede observar en lafigura 6.12,a (tringulo OEF) y en la figura 6.12,b(tringulo GHI).

Nota final:Si se tratara de varias resistencias y capacidades, lostringulos de resistencias, tensiones y corrientes seconstituiran por la composicin de cada uno de loscorrespondientes a cada clula R-C. Se comenzarapor el primero de ellos y a continuacin se llevara elcorrespondiente a la segunda clula; luego se llevarael correspondiente a la tercera y as sucesivamente.

Como ejemplo se propone la resolucin del siguienteejercicio, cuyas soluciones se facilitan:

Una resistencia de 500 ohmios y un condensador de16 F en serie se alimentan con 220v/50Hz. Hallar:

a) la reactancia del condensador,b) la impedancia total del circuito,c) el ngulo de desfase,d) coseno de n,e) la intensidad de corriente por el circuito, f) las tensiones del circuito, yg) potencias del circuito.

Soluciones: a) XC = 199(-90

b) Zt = 538 (-21,70

c) n = -21,70 = -21 42

d) Cos n = 0,9291

e) I = 0,4(21 42 A;IR = 0,379(0 A;IC = 0,150(90A

f) V = 220 (- 21 42V ;VR = 200(0 V;VC = 81,2(- 90 V

g) Pap = 88(- 21 42VA ;Pac = 81,75 (0W ; Preac = 32,53(- 90Wr

16 Circuito con resistencia, induc-tancia y capacidad.Circuito R-L-C.Sea el circuito de la figura 6.14,a formado

por una resistencia R, una bobina o autoinduccin Ly un condensador de capacidad C.Como es fcil de intuir, este circuito es una sntesisde los dos anteriores; por tanto, en l ocurrirn losfenmenos conjuntos de ambos.

As, el tringulo de tensiones ser el de la figura6.14,b. En l se puede observar la cada de tensin enla resistencia en fase con la corriente; la cada detensin en la bobina en adelanto 90 respecto de lacorriente; y, por ltimo, la cada de tensin en el

I

j

tringulo de corrientes

nI

oR V

c

Figura 6.13

22|| CR III +=


condensador otros 90 en retraso sobre la corriente.Como las cadas de tensin en la bobina y en elcondensador se encuentran desfasadas entre s 180 (suponemos que es mayor la de la bobina), lo quehacemos es restarlas, con lo que queda como vectorresultante de tensiones reactivas el vector XLI - XCI.

Impedancia. Tringulo de resistencias.Si en la figura 6.14 dividimos cada uno de los vecto-res por la intensidad, tenemos las resistencias y eseser el tringulo de resistencias o impedancias.

La impedancia total en forma compleja vale:

Z = R + j(XL - XC)


El argumento o ngulo de desfase vale:n = arc tangte de (XL - XC)/R

El factor de potencia o cos n es cos n = R / Z

La corriente eficaz por el circuito vale:I = V(0 /Z(n = I(-n

Tensiones. Tringulo de tensionesDe la figura 6.14,b se desprende que las cadas detensin son: cada de tensin en la resistencia

VR = R(0 I (en fase con la corriente)

cada de tensin en la bobina VL = XL(90 I = j L I (en adelanto 90 respecto a I)

cada de tensin en el condensadorVC = XC(-90 I (90 en retraso sobre la corriente)

tensin total V = Z(n I (en adelanto n si XL es mayor que XC

-en retraso en caso contrario- sobre la corriente).

En la figura 6.14 se muestran las distintas tensionesas como la corriente, tomando como referencia lacorriente (figura 6.14,b) ya que sta es comn portratarse de un circuito serie.

Corrientes. Tringulo de corrientes.

Antes vimos como la corriente queda retrasada unngulo n con respecto de la tensin.Este valor queda descompuesto en dos componentes:una, IR, en fase con la tensin, otra, IC, adelantada90 respecto de IR, una tercera, IL, retrasada 90respecto de la de la resistencia; y, finalmente, IL -IC.Ver figura 6.15.

La IR se llama corriente activa y su valor es IR = I cos (-n)

La (IL - IC ) se denomina corriente reactiva total yvale

(IL - IC ) = I sen (-n)

La I total vale:

G

I

j

circuitoa)

R L

n

X L I

R

tringulo deb) tensiones

I Io

c

IXc

XLI- IXc

IXc

sen Tt i = I

t

v/i

on

0

v = V 0 sen (Tt + n)v = V 0 sen Tt R

90

v = V0 sen (Tt + 90)L

90

v = V0 sen (Tt - 90)c

Figura 6.14

22 )(|| CL XXRZ +=

I

j

tringulo de corrientes

no -

-

R

I

I L

c

I c

I cI L-

Figura 6.15

22 )(|| CLR IIII +=


Potencias. Tringulo de potencias.En este circuito aparecen tres tipos de potencia:

La potencia aparente representa la potencia totalsuministrada por la fuente o la total absorbida por lacarga y vale:

Pap = Z(n I2 en voltamperios.


Pac = R(0 I2 = Pap cos (n) en vatios

La potencia reactiva capacitiva es la absorbida por elcondensador y vale:

Preac cap = XC(-90 I2 = en vatios reactivos o voltam-perios reactivos.

La potencia reactiva inductiva es la absorbida por labobina y vale:

Preac ind = XL(90 I2 = en vatios reactivos o voltampe-rios reactivos.

La potencia reactiva total es la absorbida por elcondensador y la bobina juntas y vale:

Preac total = (XL - Xc )(90 I2 = en vatios reactivos ovoltamperios reactivos.

Como ejemplo se propone el siguiente ejercicio cuyaresolucin se facilita:

Una R = 10 ohmios, una L = 38,2mH y un conden-sador de 637 F se conectan en serie a una red de244v/50Hz. Hallar: Zt , It , VR , VL , VC , Cos n, ascomo las distintas potencias.Soluciones:

ngulo de desfasen = arc tang (XL - XC)/ R = 34,95 35Factor de potencia: Cos n = (XL - XC)/ Z = 0,8196

* It = 244(0 V / 2,2(35 = 20(-35 A* IR = 20A (0* IL = 20A(-90* IC = 20A(90* VR = R (0 It = 200 V* VL = XL (90 I = 240(90V

* VC = XC (-90 I = 100(-90V* V = Zt (n It (-n = 12,2(35 20 = 244(35 V* Pact = R I2 = 4.000(0W* Preac capacitiva = XC I2 = 2.000(-90VAR* Preac inductiva = XL I2 = 4.800(90VAR* Preac total = (XL - XC) I2 = 4.800 - 2.000 =

2800(90VAR* Pap = Z I2 = 4.880(35 VA

Si se trata de un circuito ms complejo, su resolucinmediante los nmeros complejos facilita enorme-mente la labor. Veamos el siguiente circuito, cuyassoluciones se aportan.

En el circuito de la figura 6.16, hallar:a) Zt (mdulo y argumento);b) cos n total;c) I total;d) Potencia activa total;e) Potencia reactiva total;f) Potencia aparente total;

Solucin:

a) Zt = R + j (XL - Xc)

R = 35(0 XL = 2 50 0,2 = 62,8(90 Xc = 7,65(-90 (ojo que todos los conden-

sadores estn en serie)n = 57,6 = 57 36Zt = 65,31(57 36

b) Cos n = 0,5358c) It =100(0 / 65,3(57,6 = 1,53(-57,6 Amperiosd) Potencia activa total:

Pac = R(0 I2 = 35 1,532 = 81,93(0watiose) Potencia reactiva total:Preac = 55,15(90 1,53 2 = 129,1(90 Wr (watiosreactivos)f) Potencia aparente:

Zt(57 36 I2 = 65,3(57 36 1,532 = 152,86(57 36 VA

=+=+= 35(2222 2,12)1012(10)(|| CL XXRZ

2S

2 mH

2 mF

4 mH

60 mH

0,1H

30 mH

4 mH

7 mF 4 mF

5 mF

1 mF3 mF

10S 12S

8S

3S

100v/50Hz

Figura 6.16


RESONANCIA

17 ResonanciaSe dice que un circuito est, o entra en reso-

nancia cuando la tensin aplicada a l y la corrienteque lo recorre estn en fase. De aqu se deduce que,en resonancia, la impedancia del circuito es igual asu resistencia hmica; o lo que es igual: la reactanciadel circuito es nula, por lo que la reactancia inducti-va debe ser igual a la reactancia capacitiva,. Comoconsecuencia, el cos = 1. Vista la impedancia enforma compleja, en resonancia la parte compleja dela impedancia debe ser nula. Esto ocurre para undeterminado valor de la frecuencia -llamada frecuen-cia de resonanciade la tensin alterna aplicada.

17.1 Resonancia serie o resonancia detensin

17.1.1 Frecuencia de resonanciaSea el circuito de la figura 6.17.En l tene-

mos que la impedancia total es:

Z = R + j L - (j/ C) = R + j (L - 1/ C)

Si denominamos L - (1/ C) = X tenemos que: Z = R + j X

Para que exista resonancia, pues, debe ser nula lacomponente compleja; por tanto: X = 0; esto implicaque: L - (1/ C) = 0. O sea que L = 1/ C; o lo que es lo mismo:

2 f L = 1/2 f C

Despejando f, tenemos:

Siendo f0 la frecuencia de resonancia (en Hertzios siL est dada en Henrios y C en Faradios). Se suele

representar por f0. Como 2f = tenemos que 0 esla pulsacin de resonancia en radianes/segundo.

De esta expresin se puede observar que para dis-tintos valores de f las reactancias inductiva y capa-citiva toman diferentes valores: la XL aumentar conla frecuencia, y la XC disminuir a medida que lafrecuencia aumenta. Ver figura 6.18.

Al existir dos variables independientes, L y C, sonmltiples las combinaciones para conseguir unafrecuencia de resonancia determinada (basta jugarcon los valores de L y C).

17.1.2 Tensiones parciales en resonancia

Si un circuito serie RLC como el de la fi-gura 6.17 se alimenta con una tensin alterna conuna frecuencia de resonancia, f0, por l circular unacorriente I0 = V/R que dar lugar a las cadas detensin parciales siguientes:

La VR = R(0 I0 es igual a la tensin aplicada yest en fase con ella.

La VL = XL0 (90 I0 es Q0 veces la tensin aplicaday est 90 en adelanto respecto a ella.

La VC = XC0 (-900 I0 es Q0 veces la aplicada y est,respecto a ella, 90 retrasada.

LCf

21

0 =

Figura 6.18

Rf

z

01 2f f f

Xc

0

Impedancia en un circuitoRLC serie en funcin de lafrecuencia.

Z

Figura 6.17

G

I

circuito R - L - C

R L C

V/f


17.1.3 Distribucin de la energa almacenadaen un circuito resonante serie

Si cada una de las tensiones calculadas an-teriormente la multiplicamos por la intensidad, y porel tiempo, tendremos las energas absorbidas porcada elemento. Dichas energas son:

La R = R(0 I2 tLa L = XL0 (90 I2 t = L I2La C = XC0 (-90 I2 t = CV2

"La energa que pierde la bobina es, en todo instante,igual a la que gana el condensador; y viceversa"

17.1.4 Curva de respuesta en frecuencia En la figura 6.18 hemos representado las

curvas de las distintas resistencias (resistencia,reactancias e impedancia -en sta su mdulo) enfuncin de la frecuencia. En ella vemos que la R essiempre la misma; ya que su valor es independientede la frecuencia.La XL crece linealmente con la frecuencia y endefinitiva con la pulsacin.La XC tambin crece -exponencialmente- con lafrecuencia desde "menos infinito" (para cero hert-zios) hasta llegar a valor cero para una frecuenciainfinita. Asimismo se puede observar cmo el m-dulo de la impedancia total va decreciendo hasta elvalor propio de la resistencia (cosa que sucede parala frecuencia de resonancia) para volver luego acrecer rpidamente.En dicha figura se ve, pues, el comportamiento de la"resistencia" de los tres componentes en funcin dela frecuencia, as como del mdulo de la impedanciatotal.

La fig. 6.19 muestra la curva de la admitancia (inver-sa de la impedancia) en funcin de la frecuencia.

Observemos que es mxima a la frecuencia de reso-nancia. En efecto, si la impedancia es mnima enresonancia, la admitancia, como es inversa a laimpedancia (Y = 1/Z), ser mxima.Como, por otra parte, la corriente es proporcional ala admitancia, se puede representar en la mismafigura, cosa que as puede observarse.

17.1.5 Coeficiente o factor de calidadSe denomina coeficiente o factor de cali-

dad o de sobretensin a la frecuencia de resonanciade un circuito (o de una bobina), al producto de lapulsacin por el cociente entre la mxima energaalmacenada y la potencia media disipada.Se designa por Q y vale:

Siendo f el ancho de banda, que veremos seguida-mente.Asimismo se define Q como la relacin entre la cadade tensin en la bobina (o en el condensador) y la dela resistencia. Se suele tomar un valor mayor que 10.

Vemos, pues, que la calidad de un circuito es tantomayor cuanto menor es la resistencia a la frecuenciade resonancia, y como quiera que la resistencia es lade la bobina, el circuito tendr ms calidad cuantoms pura sea la bobina.

17.1.6 Frecuencias de corte y ancho de bandaLas frecuencias de corte tambin se conocen

como frecuencias lmite. Son aquellas para las cualesla intensidad de corriente es 0,707 veces (70,7%) elvalor de la corriente a la frecuencia de resonancia; obien aquellas para las cuales la potencia se reduce ala mitad de la de resonancia (puntos de media poten-cia).En efecto: si la potencia en resonancia es W0 = R I02y la corriente cae a 0,707 veces la de resonancia,tenemos que Wf 2 = Wf1 = R (0,707 I0)2 = 0,5 RI02

que, es la mitad de la potencia que en resonancia.O de otra forma: aquellas que cumplen la condicin:

If2 / Ifo = If1 / Ifo = 0,707.

As pues, la frecuencia de corte o lmite superior f2es la frecuencia mayor que la de resonancia, para lacual se obtiene una potencia mitad que la que sumi-nistra al circuito a la frecuencia de resonancia.

CL

Rff

RLQ 100 =

==

Figura 6.19

baja R

alta R

f

f 0frecuencia

Y

0

Curva de la admitancia o corriente segn la frecuencia

oI


A su vez la frecuencia de corte o lmite inferior f1es la frecuencia menor que la de resonancia, para lacual se obtiene una potencia mitad que la que sumi-nistra al circuito a la frecuencia de resonancia.

Conociendo la frecuencia de resonancia, el ancho debanda y el factor de calidad se tiene:

f2 = f0 + (f /2) = Q f + (f / 2) = f0 + (f0 /2Q)

f1 = f0 - (f /2) = Q f - (f / 2) = f0 + (f0 /2Q)

Tambin podemos decir que las frecuencias decorte son aquellas para las cuales se produce undesfase entre la corriente y la tensin comprendi-do entre 45 (intensidad en adelanto para la f1) y+45 (intensidad en retraso para la f2).

Se llama ancho de banda, anchura de banda, bandade paso, o banda pasante, al nmero de ciclos a unoy otro lado de la frecuencia de resonancia compren-didos entre las frecuencias de corte superior e infe-rior.

Tambin se denomina as a la diferencia de frecuen-cias, en las cuales la potencia disipada por el circuitoes la mitad de la disipada a la frecuencia de resonan-cia por dicho circuito.Se suele representar por f2 - f1, o bien por f siendof2 la frecuencia de corte superior, y f1 la frecuenciade corte inferior, por lo que cabe una nueva defini-cin de banda de paso, diciendo que es el nmerode frecuencias comprendido entre ambas frecuen-cias de corte.

El ancho de banda valef = f0/Q = R /2 L (para frecuencias) = 0/Q = R / L (para pulsaciones)

Para hallar el ancho de banda grficamente, una vezdibujada la curva de respuesta-frecuencia, se toma elvalor 0,707 Imax (figura 6.20) y se traza una lneaparalela al eje de abscisas o de frecuencias hasta quecorte a la curva en los puntos A y B. Las perpendi-culares trazadas desde ellos determinan las frecuen-cias de corte f2 y f1.

El ancho de banda (zona sombreada); es f2 - f1

17.1.7 Curva universal de resonancia La curva universal de resonancia para el

circuito serie es la representada en la figura 6.21.

Tiene por ecuacin matemtica

donde la ordenada es el mdulo de Y/Y0 (admitan-cias), o I/I0 (corrientes) o Z0/Z (impedancias) ydonde la Abscisa x = Q0 (factor de calidad por ladesintona relativa) = Q0 ( - 0)/0 o tambin aL/R.

La curva es simtrica respecto del eje y que pasa porx = 0; esto es: en resonancia. El origen de coordena-das, punto 0, corresponde a un valor de

x = Q0 = Q0 ( - 0)/0

pero para la resonancia - 0 = 0; por tanto, x = 0.

La curva universal se suele representar en un entornode x entre + 2 y - 2.

Consecuencia de la observacin de la figura es quepara un determinado valor de x = Q0 cuanto mayorsea el coeficiente (o factor) de calidad, menor es ladesintona relativa, , y menor es el ancho de banda.Del mismo modo, para un determinado valor de ,cuanto mayor sea el Q0 mayor ser x, por lo que"pasan" peor las frecuencias que correspondan a .

2411

xy

+=

Figura 6.21

+2-2 +0,5-0,5 0

0,10,20,30,4

0,50,6

0,70,8

0,9

1

A B

x = Q O

yOI

= IYOY

Z= =ZO

Curva universa l de resonancia

Figura 6.20

ff 00 f 2f1

f

A B0,707 Imx

YI mx

I


Por ltimo, cuanto mayor sea el valor del Q0, msselectivo es el circuito

El ancho de banda corresponde al entorno x = 0,5(puntos A y B, llamados puntos de media potencia).

En electrnica se considera que la banda de paso estdefinida a uno u otro lado de la frecuencia de reso-nancia por la prdida de 3dB en el valor de la inten-sidad respecto de la de resonancia; en tal caso:

-3 dB = 20 log (I / I0) => -3 / 20 = log (I / I0) =>anti log (-3 / 20) = I / I0 = 0,707

LLevando este valor de la ordenada a la ecuacin dela curva universal de resonancia, tenemos que:

Para analizar todo lo tratado, veamos el siguienteejemplo.Sea el circuito de la figura 6.17 en que R = 100,L = 2 mH y C = 80 pF. Apliqumosle una tensin

alterna de 300 voltios y veamos qu ocurre.

La frecuencia de resonancia f0 vale:

La corriente que circula por el circuito, I0 = V/R = 300/100 = 3 Amperios

Las reactancias inductiva y capacitiva son

XL = XC = 2 f L = 1/2 f C = 5.000

Las cadas de tensin que origina la corriente tantoen la bobina como en el condensador son:

VL = VC = 5.000 x 3 = 15.000 voltios.

La ganancia en tensin esAv = 15.000/300 = 50

El factor de calidad esQ = XL / R = 5.000 / 100 = 50

El ancho de banda valef = f2 - f1 = f0 / Q = 398.089 / 50 = 7.960 Hertzios,

correspondiendo 7960/2 = 3.980 Hertzios a cada ladode la frecuencia de resonancia.

Las frecuencias de corte son:f2 = 398.089 + 3.980 = 402.069 Hertziosf1 = 398.089 - 3.980 = 394.069 Hertzios

17.1.8 Consecuencias del circuito a la fre-cuencia de resonancia.

a) Al tratarse de un circuito serie, y anularse lasreactancias inductiva y capacitiva, el circuito pre-senta una impedancia resistiva pura, y sta ser la dela resistencia hmica del circuito, que a su vez sermnima. O sea: Z0 = R.

b) Como la impedancia es mnima, la intensidad de lacorriente, que segn la ley de Ohm generalizada valeI = V/Z, ser mxima; es decir I0 = V/Z0 = V/R.

c) Para frecuencias superiores a la de resonancia, elcircuito se comporta inductivamente, pues XL=2 fL,y para frecuencias inferiores a la de resonancia, elcircuito se comporta capacitivamente; puesXC = /2 f C.

d) Ya hemos visto cmo la reactancia, a la frecuenciade resonancia, es nula y la impedancia total es sola-mente la de la resistencia hmica, la cual puede ser,a su vez, la resistencia hmica de la bobina, -circuitoL-C con bobina real- por lo que si la bobina fueraideal (resistencia nula) tendramos en el circuito unacorriente infinita.En la practica esto es imposible, ya que es imposibleanular la resistencia hmica de la bobina; esta impo-sibilidad da lugar al concepto de factor de calidad yselectividad del circuito.

e) A pesar de que el circuito sea alimentado con unatensin pequea, en los extremos de la bobina y delcondensador podemos tener tensiones elevadas omuy elevadas, (ste es el fenmeno de la resonancia)o sea, mucha ganancia de tensin; sin embargo, afrecuencias distintas a la de resonancia las tensionesen la bobina y el condensador son despreciables.

Hzf 089.39810801022

11230

=

=

5,041

1707,02

=+

= xdondedex


El anlisis de los circuitos paralelo o derivados es ms complicado que el de los circuitos serie. No obstante, al igualque los circuitos serie se resuelven por medio de las impedancias, los circuitos derivados se resuelven, generalmente,mediante las admitancias.

18 Circuito con resistencia y induc-tancia. Circuito R-LSea el circuito de la figura 6.22,a constituido

por una resistencia y una bobina.

Al aplicarle una tensin alterna senoidal, los doscomponentes, resistencia y bobina, estarn sometidosa la misma tensin, por lo que cada uno de ellos serrecorrido por una corriente senoidal diferente: por laresistencia circular una corriente IR que estar enfase con la tensin aplicada, y por la bobina circularuna corriente IL que estar retrasada 90 respecto dela tensin. Ver figura 6.22,b).La suma vectorial o geomtrica de ambas corrientes (Ley de Kirchhoff) dar lugar a la corriente total Itque recorre el circuito y que estar retrasada unngulo .

AdmitanciaYa sabemos que la admitancia es la inversa de laimpedancia. Por tanto (en forma compleja):

Y = YR + YL = 1 - j 1 = G - jB

R XL

El mdulo de la admitancia es:

El argumento o ngulo = arc tg - B/ G

Corrientes. Tringulo de corrientesAntes qued expuesto que la corriente total quedaretrasada un ngulo con respecto de la tensin.Este valor queda descompuesto en dos componentes:una, IR, en fase con la tensin y otra, IL, retrasada 90respecto de la anterior. (Ver figura 6.22,b).

La IR o corriente activa vale:IR = It cos (-) = V(0 / R(0 = V (0 /YR (0

La IL o corriente reactiva vale:IL = It sen (- ) = V(0 / XL(90 = V (0 /YL ( -90

La corriente total It, en forma compleja, vale: It = IR - jIL

El mdulo de la It es:

El argumento o ngulo de desfase es: = arc tg - (IL / IR) = arc tg - (B/G) = -

El factor de potencia o coseno de fi es:Cos = IR / It

Como ejemplo se propone resolver un circuito R-Lparalelo donde R = 1000 y L es tal que su reactan-cia inductiva XL = 1.884. El circuito se alimentacon una tensin de 110 voltios de c. a. senoidal.

Solucin:Yt = YR + YL = 1 / 1.000 + (1 / 1.884j) =1 / 1.000(0 + (1 / 1.884(90) = 0,001 - 0,00053j

= arc tg - (0,00053/0,001) = -27,92 = -27 5555''

Z = 1 / Yt = 1 / 0,00113(-27,92 = 884(27,92 IR = V YR = 110(0 0,001(0 = 0,11(0 AIL = V YL = 110(0 0,00053(-90 = 0,0583(-90 AIt = V Yt = 110(0 0,00113(-27,92 = 0,124(-27,92A

R L

I t

G-

IIR Lo

vn

I R

I L

a) circuito b) tringulo de intensidades

-

Figura 6.22

22|| BGY +=

22|| LR IIIt +=

mhosY 00113,000053,0001,0|| 22 =+=


18 Circuito con resistencia y con-densador. Circuito R-CSea el circuito de la figura 6.23,a formado

por la resistencia pura R y el condensador C.

Al aplicar al circuito una tensin alterna senoidal deV voltios de valor eficaz y de frecuencia f en Hert-zios, cada componente ser recorrido por una co-rriente alterna senoidal de la misma frecuencia que lade la tensin de alimentacin: por la resistenciacircular una corriente IR que estar en fase con latensin aplicada, y por el condensador circular unacorriente IC 90 en adelanto respecto de la tensin.Figura 6.23,b).

La suma vectorial o geomtrica de ambas corrientes(Ley de Kirchhoff) dar lugar a la corriente total Itque recorre el circuito y que estar adelantada unngulo .

AdmitanciaLa admitancia es la inversa de la impedancia. Portanto (en forma compleja):

Y = YR + YC = 1 + j 1 = G + jB

R XC


El argumento o ngulo = arc tg B/ G

Corrientes. Tringulo de corrientesLa corriente total queda adelantada un ngulo conrespecto de la tensin. Este valor queda descom-puesto en dos componentes: una, IR, en fase con latensin y otra, IC, adelantada 90 respecto de laanterior. (Ver figura 6.23,b).

La IR o corriente activa vale: IR = It cos () = V(0 / R(0 = V(0 YR (0

La IC o corriente reactiva vale: IC = It sen () = V(0 /XC(-90 = V(0 YC (90

La corriente total It vale:

El argumento o ngulo de desfase es: = rc tg (IC / IR) = arc tg (B/G)

El factor de potencia o Cos = IR / It

Como ejemplo se propone la resolucin del siguienteejercicio.

Sea una resistencia de 100 ohmios y un condensadorde 16 microfaradios en paralelo. Se alimentan conuna tensin de 200v/50Hz. Hallar:

a) la reactancia del condensadorb) la admitancia e impedancia total del circuito;c) el ngulo de desfase;d) coseno de ;e) las intensidades de corriente por el circuito.

Resolucin:a) Xc = 1/ 2 f C = 199(-90 b) Yt=YR+YC =1/100(0 +1/199(-90 =0,01+0,005j

Z = 1/Yt = 1/0,011(26,56 = 90,9(-26,56c) = arc tg (0,005/0,01)=26,56 = 26,33,54d) Cos = 0,8944e) IR = V YR = 200(0 0,01(0 = 2(0 A

IL = V YC = 200(0 0,005(90 = 1(90 AIt = V Yt = 200(0 0,011(26,56 =2,23(26,56 A

19 Circuito L-C. El circuito osci-lante o circuito tanqueEn general toda combinacin L-C recibe el

nombre de circuito tanque por su facultad de alma-cenar energa, especialmente cuando ambas reactan-cias aparecen concentradas solas, sin resistencia nifuente de alimentacin. Tambin se conoce comocircuito oscilante.

R

I t

G-

II R

ovn

I R

I C

a) circuito

b) tringulo de intensidades

j

C

C

Figura 6.23

22|| BGY +=

22|| CR IIIt +=

mhosY 56,2622 (0011,0005,001,0|| =+=


Sea el circuito de la figura 6.24. Si se coloca elconmutador en la posicin 1, el condensador secargar a la tensin de la fuente. Una vez cargado, alpasarlo a la posicin 2, el condensador se descargasobre la bobina, la cual es recorrida por una corrienteque crea alrededor de ella un campo magnticodonde almacena la energa entregada por el conden-sador.

Una vez descargado el condensador (y almacenadatoda su energa en la bobina), ste comienza denuevo a cargarse a expensas de la bobina, originn-dose por el circuito una corriente en sentido contrarioal de la descarga. Una vez cedida toda la energa dela bobina al condensador, ste vuelve nuevamente adescargarse sobre la bobina y as sucesivamente.

El resultado es la circulacin, por el circuito, de unacorriente oscilante o alterna. Si no hubiera prdidas,sobre todo en la resistencia asociada de la bobina, enel circuito, las oscilaciones mantendran su amplitudindefinidamente. Pero debido a las prdidas, dichacorriente se va amortiguando poco a poco hastadesaparecer totalmente.Ver oscilograma.

La frecuencia de oscilacin responde a la frmula:

Se trata de una frecuencia propia, llamada frecuenciade oscilacin.

Observaciones.a) Si se desea disminuir el factor de calidad Q del

circuito para ensanchar el ancho de banda, essuficiente con colocar una resistencia en seriecon la bobina. (Se puede poner variable para va-riar o controlar el ancho de banda a voluntad).

b) Tambin se puede modificar el el factor decalidad Q colocando una resistencia en para-lelo con el circuito tanque.

20 Circuito con resistencia bobina ycondensador. Circuito R-L-C.Sea el circuito de la figura 6.25,a constituido

por una resistencia, una bobina y un condensador.

Al aplicarle una tensin alterna senoidal, los trescomponentes estarn sometidos a la misma tensin,por lo que cada uno de ellos ser recorrido por unacorriente senoidal diferente: por la resistencia circu-lar una corriente IR que estar en fase con la tensinaplicada, por la bobina circular una corriente IL queestar retrasada 90 respecto de la tensin y por elcondensador circular una corriente IC 90 en ade-lanto respecto de la tensin. Ver figura 6.25,b).

La suma vectorial o geomtrica de ambas corrientes (Ley de Kirchhoff) dar lugar a la corriente total Itque recorre el circuito y que estar retrasada unngulo si la IL es mayor que la IC como hemossupuesto en este caso; (al revs en caso contrario).

G

circuito tanque

L c= V+

-

+-

12

t

v

o

oscilaciones amortigadas

Figura 6.24

LCfo

21

=

ov

n

IR

I

b) tringulo de intensidades

-

R

It

G-

IIR

a) circuito

C

CL

LI

IL

I C

- IC

j

j

-

n

n1

2

-

I C

L

Figura 6.25


AdmitanciaLa admitancia total, en forma compleja, es:

Yt = YR + YL + YC


Corrientes. Tringulo de corrientesEn la figura 6.25b se puede ver como la corrientetotal queda retrasada un ngulo con respecto de latensin. Este valor queda descompuesto en doscomponentes: una, IR, en fase con la tensin, y otra,IL - IC, retrasada 90, en este caso, respecto de laanterior.

La IR o corriente activa vale:IR = It cos (-) = V(0 / R(0 = V (0 YR (0

La IL o corriente reactiva inductivaIL = V(0 / XL(90 = V (0 YL ( -90

La IC o corriente reactiva capacitiva es:IC = V(0 / XC(-90 = V(0 YC ( 90

La IL - IC o corriente reactiva total es:IL - IC = It sen (-)

La It o corriente total vale:It = IR / cos (-) = V(0 Yt (-

El mdulo de la It es:

El argumento o ngulo de desfase es: = arc tg - (IL- IC)/IREl factor de potencia o coseno de fi es:Cos = IR / It

Como ejemplo se propone la resolucin del siguienteejercicio.Sea una resistencia de 100 ohmios, un condensadorde 16 F y una bobina de 0,1 H conectados en para-lelo (figura 6.25). Se alimentan con una tensin de200v/50Hz. Hallar:

a) la admitancia e impedancia total del circuito;b) el coseno de ;c) las intensidades de corriente por el circuito.

Solucin:a) Yt=YR+YC-YL=1/100(0 +1/199(-90 -1/31,4(90

= 0,01 +0,005 j - 0,0318j mhos Yt = 0,01 - 0,0268j

Mdulo:

Argumento: = arc tg -(0,0268/0,01)= -69,53

Impedancia Z = 1/Y = 34,96 (69,53b) Cos = Cos 69 32 16 = 0,3497

c) It = V(0 Yt (- =200(0 0,0286 (-69,53 = 5,72(- 69,53AIR = V (0 YR (0 = 200 0,01 = 2 (0 AmperiosIL = V (0 YL(-90 = 200 0,0318 = 6,36(-90 AmperiosIC = V(0 YC (90 = 200 0,005 = 1( 90 AmperioIL - IC = 6,36 - 1 = 5,36(-90 Amperios

21 Circuitos mixtos R-L-CSi bien cada circuito R-L-C mixto presenta

ciertas peculiaridades y caractersticas propias y, portanto, su resolucin se puede acometer de una u otraforma. Podemos decir, como norma general, que suresolucin se facilita resolviendo primero los "para-lelos" por admitancias y a continuacin las "series"por impedancias.Una vez resueltos los paralelos por admitancias, sebuscan las impedancias (inversas de las admitancias)de cada paralelo que resultarn en serie con las"series". Despus de esto ya resulta un circuitoequivalente en serie que se resuelve cmodamentepor impedancias.

Esta "norma" o "consejo" no es la nica forma deresolverlos; pues existen circuitos en los que suresolucin resulta ms "fcil" por admitancias. Cadacual lo puede resolver como mejor lo comprenda yms sencillo le resulte.

A modo de ejemplo, ofrecemos el circuito de lafigura 6.26, donde aportamos las soluciones.

22 111||

+

=

XcXRY

L

22 )(|| CLR IIBIIt +=

mhosYt 286,00268,001,0|| 22 =+=

G

A B C

I

1

2

3

4

5

I

I

I

I

I

3 2

8-

S

3S

S

2 S-

1S

1S

4S 4S

5 SS

220V/50Hz

Figura 6.26


Solucin:

Y1 = 0,230 - 0,154jY2 = 0,125 - 0,125jY3 = 0,056 + 0,09 j

YAB = Y1 + Y2 + Y3 = 0,411 - 0,189j|YAB|= 0,453(-24,69 mhos

ZAB = 1/YAB = 1/ 0,453(-24,69 = 2,20(24,69

Y4 = 0,2 + 0,4j ;Y5 = 0,3 - 0,1j ;YBC = Y4+ Y5 = 0,5+0,3j =>|YBC|= 0,583(30,96 mhos

ZBC=1/YBC=1,47-0,882j=1/ 0,583(30,96 =1,715(-30,96Zt = ZAC = ZAB + ZBC = 2+ 0,923j +1,47 - 0,882j= 3,47 + 0,041j => Zt = 3,47(0,67

It = 220(0 /3,47(0,67 = 63,4(-0,67 ACos = 0,9999

VAB =ZAB It = 2,20(24,69 63,4(-0,67A = 139(24,02VVBC = ZBC It = 1,715(-30,96 63,4(-0,67A= 08,7(-31,63V

I1 = VAB Y1= 139(24,02V 0,253(-33,8 = 35,16(- 9,78VI2 = VAB Y2 = 139(24,02V 0,14(-45 = 19,46(- 20,98VI3 = VAB Y3 = 139(24,02V 0,064(58,11 = 8,9(82,12VI4 = VBC Y4 = 108,7(-31,63V 0,36(63,43 = 39,13(31,8VI5 = VBC Y5 = 108,7(-31,63V 0,19(-18,43 = 20,6(50V

22 Resonancia paralelo o resonanciade corrienteSe producir en un circuito paralelo formado

por RLC. Tambin se llama resonancia de intensidado resonancia de corriente.Aunque la condicin de resonancia es la misma quepara el circuito serie, ya que la definicin de reso-nancia es nica (ocurre la resonancia cuando latensin y la corriente estn en fase), el funciona-miento de este circuito es diferente al serie.

Si en el circuito serie se cumpla que, a la frecuenciade resonancia, la parte compleja de la impedanciadeba ser nula, en el paralelo, se cumple que la partecompleja o susceptancia de la admitancia debe sernula;

As como en resonancia serie se producen elevadastensiones en los extremos de la bobina y el conden-sador, dependiendo del factor de calidad Q analimentando el circuito con una tensin pequea, enresonancia paralelo se pueden originar valores eleva-dos de la intensidad que circula por la bobina y porel condensador an cuando la intensidad que recorrael circuito tenga un valor reducido.

Sea el circuito de la figura 6.27 constituido por unaresistencia, una bobina y un condensador en paralelo.En l tenemos que la admitancia total es:

Yt = YR + YL + YC

Para que exista resonancia, pues, debe ser nula lacomponente compleja o susceptancia; por tanto:

2 f C = 1/2 f L

22.1 Frecuencia de resonanciaDespejando, tenemos:

22.2 Corrientes parciales y corrientetotal del circuito en resonancia.

Veamos las corrientes parciales y la total que circu-lan por el circuito.Corriente por la resistencia: IR = V/ RCorriente por la bobina: IL = -jV/XL=-jV /L0Corriente por el condensador: IC= +jV/XC = +jVC0

La intensidad que circula por la resistencia est enfase con la total; la que circula por la bobina est 90en retardo con la intensidad total, y la que circula porel condensador va 90 en adelanto sobre la corrientetotal.

La intensidad total que circula por el circuito a lafrecuencia de resonancia es, aplicando al circuito laLey de Kirchhoff:

It = IR + IL + IC = VY0 = V/R

lo que nos pone de manifiesto que la intensidad dealimentacin de un circuito resonante paralelo ideales igual a la corriente que circula por la resistencia.

G

I

circuito R - L - C

RL CV/f

t

R

L CI I

I

Figura 6. 27

LCfo

21

=


22.3 Distribucin de energas y poten-cias en el circuitoLa energa almacenada por la bobina es:

L = L I2La energa almacenada por el condensador es

C = CV2

El comportamiento del circuito de cara a las ener-gas, ocurre lo que en el circuito serie: "la energaque pierde el condensador es, en todo instante, iguala la que gana la bobina y recprocamente".

Dichas potencias son: La WR = R(0 I2La WL = XL0 (90 I2La WC = XC0 (-90 I2

De aqu se desprende que "en cualquier instante, lasuma de las potencias absorbidas por la bobina y elcondensador de un circuito resonante paralelo escero". O lo que es lo mismo "la potencia absorbidapor la bobina es igual, en cualquier instante, a lacedida por el condensador y recprocamente".

22.4 Curva de respuesta en frecuenciaEn la figura 6.28 hemos representado las

curvas de las distintas admitancias as como el m-dulo de la admitancia total en funcin de la frecuen-cia. En ella vemos que la G o 1/R es siempre lamisma; ya que su valor es independiente de la fre-cuencia.La YC crece linealmente con la frecuencia y endefinitiva con la pulsacin.La YL tambin crece exponencialmente con la fre-cuencia desde "menos infinito" (para cero hertzios)hasta llegar a valor cero para una frecuencia infinita.

Asimismo se puede observar cmo el mdulo de laadmitancia total va decreciendo hasta el valorpropio de la conductancia (cosa que sucede para lafrecuencia de resonancia) para volver luego acrecer rpidamente.

En la figura 6.29 tenemos la curva de la impedanciaen funcin de la frecuencia.Observemos que es mxima a la frecuencia de reso-nancia. Como la inversa de la impedancia es laadmitancia, sta (Y = 1/Z) ser mnima a la frecuen-cia o pulsacin de resonancia.

22.5 Coeficiente o factor de calidadSe denomina coeficiente o factor de calidad

o de sobreintensidad a la frecuencia de resonancia deun circuito (o de una bobina), al producto de lapulsacin por el cociente entre la mxima energaalmacenada y la potencia media disipada.

Se designa por Q y vale: Q = R/LPara la frecuencia de resonancia ser, siendo 0 lapulsacin de resonancia:

Q0 = R/L0 = 0CRSe suele tomar un valor mayor que 10.Tambin es igual a IC/ = IL/I

22.6 Frecuencias de corte y ancho debandaLas frecuencias de corte tambin se conocen

como frecuencias lmite. Son aquellas para lascuales la intensidad de corriente es 0,707 -1/ 2-veces (70,7%) la corriente a la frecuencia deresonancia; o bien aquellas para las cuales lapotencia se reduce a la mitad de la de resonancia(puntos de media potencia).

1/Rf

y

01 2f f f

Yc

0

Admitancia en un circuitoRLC paralelo en funcinde la frecuencia.

Y

Figura 6.28

Figura 6.29

baja R

alta R

f

f 0frecuencia

Z

0

Curva de la impedancia segn la frecuencia


En efecto: si la potencia en resonancia es W0 = R I02y la corriente cae a 0,707 I0, tenemos que

Wf2 = Wf1= R(0,707 I0)2 = 0,5 RI02

que, es la mitad de la potencia que en resonancia.

O de otra forma: aquellas que cumplen la condicinIfo / If2 = If0 / If1 = 0,707

As, pues, la definicin de las frecuencias de corte ofrecuencias lmite es la misma que para el caso de laresonancia serie.

Conociendo la frecuencia de resonancia y el anchode banda se tiene:

f2 = f0 + ( f / 2)f1 = f0 - ( f / 2)

Se llama ancho de banda, anchura de banda,banda de paso, o banda pasante, al nmero deciclos a uno y otro lado de la frecuencia de reso-nancia comprendidos entre las frecuencias decorte superior e inferior.

Tambin se denomina as a la diferencia de fre-cuencias, en las cuales la potencia disipada por elcircuito es la mitad de la disipada a la frecuenciade resonancia por dicho circuito.Se suele representar por f2 - f1 , o bien por f siendof2 la frecuencia de corte superior, y f1 la frecuenciade corte inferior, por lo que cabe una nueva defini-cin de banda de paso, diciendo que es el nmero defrecuencias comprendido entre ambas frecuenciasde corte.

El ancho de banda vale: f = f0 /Q

Para hallar el ancho de banda grficamente, se dibujala curva de respuesta-frecuencia (figura 3.9), se tomael valor 0,707 Zmax y se traza una lnea paralela aleje de frecuencias hasta que corte a la curva en lospuntos A y B. Las perpendiculares trazadas desdeellos determinan las frecuencias de corte f2 y f1 y elancho de banda (zona sombreada).

22.7 Curva universal de resonanciaLa curva universal de resonancia es la misma quepara la resonancia serie, la cual se represent ante-riormente.

23 Consecuencias del circuito a lafrecuencia de resonancia.

a) Al tratarse de un circuito paralelo, y anularsela parte compleja de la admitancia, el circuitopresenta una conductancia pura, y la nica re-sistencia que presenta es la inversa de la resis-tencia R. Por contra, la impedancia es mxima.

b) Como la admitancia es mnima a la frecuenciade resonancia, la corriente (I0 = VY0) tambinser mnima.

c) Para frecuencias superiores a la de resonancia,el circuito se comporta capacitivamente; locontrario ocurre para frecuencias inferiores a lafrecuencia de resonancia: el circuito se com-porta inductivamente.

d) Para la frecuencia de resonancia las intensidadesque circulan por la bobina y por el condensadorson Q0 veces la intensidad de alimentacin delcircuito.

OBSERVACIN IMPORTANTE.

EL CIRCUITO ANALIZADO ES SLO TERICO, PUESEN LA PRCTICA LA RAMA DE LA BOBINA SIEMPRETIENE UNA RESISTENCIA (LA HMICA PROPIA DELA BOBINA). POR ELLO, EL CIRCUITO MS SIMPLEQUE REALMENTE SE PRESENTA PARA ANALIZARCONSTA DE DOS RAMAS PARALELAS: UNAFORMADA POR LA BOBINA Y SU RESISTENCIAASOCIADA (CIRCUITO R-L) Y LA OTRA COMPUESTAPOR UN CONDENSADOR (como el de la figura 6.31).

Sea el circuito de la figura 631. Vamos a analizarlo.Datos: R = 5 ; L = 100mH; C = 160F; V = 5V

Resolucin:Las admitancias son: YRL = 1/(R + jL )

YC = j C Sumando las admitancias y operando, tenemos que,aproximadamente:

Yt = C/L [R + j (L - (1/C )]

ff 00 f 2f1

f

A B0,707Zmx

ZZmx

Figura 6.30


La pulsacin de resonancia vale: 0 = 1/ LC = 250 rad/sg

Frecuencia de resonancia:f0 = 0 /2 = 250/ 6,28 = 39,8 40 Hertzios

Factor de calidad Q0 = L /R = 0,1 250/ 5 = 5

Admitancia total en resonancia Yt = CR/L = 160 10-6 5/ 0,1 = 0,008 siemens

Corriente por ambas ramas: IRL = V YRL

Ancho de banda, f = f0/Q = 39,8/ 5 = 8Hz

Frecuencia de corte inferior,f1 = f0 - (f/ 2) = 40 - 4 = 36 Hz

Frecuencia de corte superior,f2 = f0 + (f /2) = 40 + 4 = 44 Hz.

24 Aplicaciones de los circuitosresonantesAlgunas de las principales aplicaciones de

los circuitos resonantes son:

a) Sintonizadores de antena para receptores yemisores.

b) Para acoplo de interetapas de amplificadores.c) Para seleccionar frecuencias.d) En demoduladores o detectores.e) En los circuitos osciladores.f) En generadores de audio y radiofrecuencias.g) En selectores de canales (de frecuencias) en

radio, TV, etc.h) Como adaptadores de impedancias.i) En transmisores, ya que transmiten libremente

algunas frecuencias e impiden, en alto grado,el paso de otras.

j) En general, en cualquier tipo de circuitoselectivo como los filtros.

Figura 6.31

G

I

circuito R - L - C

R

Lc

V/f

t

R L

CII

HzII CR 401,05

522

+==


EJERCICIOS DE APLICACIN. (Circuitos R-L-C)1.- Hallar la energa almacenada en una bobina de

20 mH cuando es recorrida por una corriente de2 amperios.

Solucin: W = LI2 / 2 = 0,04 Julios.

2.- Un condensador se carga a 60 voltios, desarro-llando una energa de 4.000 julios. Hallar lacarga adquirida.

Solucin: Q = 2 W/V = 133,33 Culombios.

3.- Una bobina de 50mH y una resistencia de 200 en serie se conectan a una red de c a de125v/50Hz. Hallar la Z total, la I total, el cos y la cada de tensin en cada uno de los ele-mentos.

Solucin: Zt = 200,6 ; I = 0,623A ; Cos = 0,9970VR = 124,6v ; VL = 9,78V

4.- Un generador de c a de 100v alimenta unaresistencia de 30 ohmios y una bobina cuya XL= 40 ohmios conectadas en serie. Calcular laimpedancia total, la intensidad del circuito, y elngulo .

Solucin: Z = 50 ; I = 2A; = 53 8

5.- Que resistencia ha de conectarse en serie conuna bobina de 0,5 Henrios, si con una tensinalterna senoidal de 1 Khz aplicada debe produ-cir la misma cada de tensin en la bobina queen la resistencia?

Solucin: R = 3.140 ohmios

6.- Una resistencia de 5 y una bobina de 43 mHen serie se alimentan con una c a cuya frecuen-cia es de 60 Hz, produciendo una corriente efi-caz en el circuito de 8 mA. Cul es el valor dela tensin aplicada?

Solucin: V = 136 mV

7.- Una resistencia de 8 ohmios, una L = 40mH yuna C = 485,5 F en serie, se alimentan a220v/50Hz. Hallar el valor de la corriente querecorre el circuito.

Solucin: I = 22A;8.- Un circuito serie formado por una resistencia de

10 y un condensador de 480 F se alimentacon una tensin alterna senoidal de 220V/50Hz.Hallar la impedancia del circuito, en mdulo yargumento; la corriente eficaz por el circuito ysu desfase respecto de la tensin; la cada detensin en la resistencia y el condensador; elfactor de potencia y las potencias del circuito.

Solucin: Z = 12( -33, 33, 48 = 12 (-0,585 radianes ;Ief = 18,33A( 33,33,48 ;

VC =Ief XC =18,33A(33,33,48 x6,63(-90 =121,5V(-56,26,12 VR = 183,3 V(33 ,33,48 ; Cos = - 0,83 ;

Pap = 4.032,6 VA; Pac = 3.347 W;

Preac = -2.218VAR

9.- Una bobina tiene una resistencia hmica de 10. Su reactancia inductiva es de 8 . Si la co-nectamos a una red de 60 voltios, hallar la in-tensidad del circuito y el ngulo de desfase en-tre la tensin aplicada y la corriente.

Solucin: I = 4,68 A; = 38,44

10.- Un circuito serie est formado por 4 resistenciasde 4, 2, 1 y 1 ohmio respectivamente; por tresbobinas cuyas reactancias son 3, 5 y 2 ohmiosrespectivamente; y por dos condensadores de 2ohmios de reactancia capacitiva cada uno. Si seconecta a 220v/50Hz, qu corriente circula porel circuito?.

Solucin: I = 22 (365211Amperios

11.- Una R = 10 ohmios y una bombilla cuya XL = 8ohmios se conectan en paralelo a 125voltios dec a. Hallar la impedancia total del circuito, ascomo la intensidad que circula por cada rama.

Solucin: Z = 6,25 ohmios; I = 20A.

12. Una bobina de 1H y una R = 400 en paralelo,se alimentan a 220V/50Hz. Hallar las admitan-cias y las corrientes.

Solucin: YR = 0,0025(0 ; YL = 0,0031(-90 ; Yt = 0,004(-51 656

IR = 0,55(0 A; IL = 0,682(-90 A; It = 0,88A(-51 656


Problemas propuestos (Recopilacin)

13.- Qu corriente atraviesa un condensador de 16F que est sometido a una tensin de200V/100Hz?.

14.- En un ciruito hay conectadas en serie una resis-tencia de 20 y una autoinduccin alimentadascon una tensin alterna senoidal de 120V/50Hz.Hallar el coeficiente de autoinduccin L y el co-seno de si la corriente que circula por el cir-cuito es de 2A.

15.- Qu capacidad ha de conectarse en serie con unaR = 4K si la cada de tensin en la resistenciadebe ser 10 veces la cada de tensin en el con-densador. La frecuencia de la tensin aplicadaes de 100 Hz.

16.- Una lmpara de incandescencia consume 70mA. Se conecta, en serie, con un condensadorde 0,5 F a una red de corriente alterna de50V/50Hz. Hallar la impedancia total del cir-cuito, as como la corriente que lo recorre.

17.- Una R =30 y una L = 160 mH en serie seconectan a 200v/40 Hz. Hallar: la reactancia in-ductiva, XL; la impedancia total, Z; I; VR y VL.

18.- Una R = 10 , una L = 0,5 H y un condensadorde 20 F en serie, qu impedancia presentan?.

19.- Hallar las potencias activa, reactiva y aparentede un circuito formado por una bobina de 0,5Henrios y una resistencia de 1.000 conecta-das en serie y alimentadas a 100v/200Hz.

20.- Una R = 10 , una L = 160 mH y un condensa-dor de 50 F en serie se alimentan a 206v/40Hz.Hallar: Zt e It.

21.- Una R = 14, una L = 10H y un C = 0,25 Fen serie se alimentan a 182v/100Hz. Hallar Z, I,VR, VL, Vc, Pac, Preac y Pap.

22.- Una R = 14 , una L = 10 mH y un condensa-dor de 0,25 F en serie se alimentan con unatensin alterna senoidal de 182v/100Hz.Hallar: Zt, It, VL , Vc, VR , Pac, Preac y Pap.

23.- Una R = 4 , una L cuya XL= 20 y un con-densador cuya Xc = 15 se conectan en seriea una tensin de 128v. Hallar: Zt, It, VL , Vc,Vr, Pac, Preac y Pap. Tambin el cos y el n-gulo .

24.- Un circuito R-L-C serie est formado por una Rde 4,9 , una bobina cuya XL = 5,66 y uncondensador cuya Xc = 4,66 . Se alimenta conuna tensin alterna senoidal de 200v/50Hz. Ha-llar Zt; It; VR; VL; Vc; Pac; Preac; Pap y cos .

25.- Una R = 50 , una L = 12 mH y un condensa-dor de 500 F en serie se conectan a 220v/50Hz. Hallar Zt, cos , el ngulo , VR, VL, Vc,Pac, Preac, y Pap .

26.- Una R = 4 , una bobina cuya XL = 20 , y uncondensador cuya XC = 15 en serie se conec-tan a 128v. Hallar Zt, cos , el ngulo , VR,VL, Vc, Pac, Preac, y Pap .

27.- Se conectan una resistencia de 80 K y unabobina de 5H en paralelo. Hallar la tensin (yla frecuencia) que hay que aplicarle para que lacorriente que circule por la bobina sea igual a laque circule por la bobina sea igual a la que cir-cule por la resistencia

28 Cul es la autoinduccin de una bobina cuya Res de 4 si para una frecuencia de 6.369,4 Hztiene un factor de calidad Q = 20?

Solucin L = 2 mH


EJERCICIOS DE APLICACIN. Resonancia1.- Una R de 8 , una L = 40 mH y un C = 485,5 F en

serie, a qu frecuencia resuenan?.Solucin: fo = 36Hz

2.- Una L = 20 mH(RL = 1 ) y un condensador de 25F en serie, a qu frecuencia resuenan?. Cul es suancho de banda?. Y sus frecuencias de corte?.

Solucin: Q =XLo/RL=28,26; f = foQ=225/28,26=8Hzfo =225Hz; f1 =fo -f/2 =221Hz; f2 =fo + f/2 =229Hz

3.- Hallar la fo de una bobina de 10 mH y un condensa-dor de 25F. Solucin: fo = 318,47 Hz

4.- Idem para una L = 10 mH y un C = 100F.Solucin: fo = 159,2 Hz

5.- Idem para una L = 0,5 mH y un C = 47KpF.Solucin: fo = 32.851,5 Hz

6.- Mediante un circuito (circuito L-C) queremos sinto-nizar una emisora que transmite a 2.000 KHz. La ca-pacidad de que disponemos es de 35 pF. Cul debeser el valor de la bobina? Solucin: L = 180 H

7.- Un condensador de 400F y una bobina de 50 mH(RL = 2 ), a qu frecuencia resuenan?. Determinarel Q de la bobina, as como el ancho de banda y lasfrecuencias de corte.

Solucin: f0 = 35,6 Hz; Q = 5,58; f = 6,38 Hz;f1 = 32,4 Hz ; f2 = 38,8 Hz.

8.- Un circuito formado por una L = 20 mH (RL = 50 )y un condensador de capacidad desconocida en serie,deben resonar a 11.260 Hz. Hallar el valor del con-densador, el ancho de banda y sus frecuencias decorte f1 y f2.

Solucin: C = 10 KpF; f = 400Hz;f1 = 11.060Hz; f2 = 11.460Hz

9.- Una L = 4 mH (RL =14,5 ) y una C=36 nF en seriese alimentan a 200v/50Hz. Hallar f0; Q; f ; f1 y f2.

Solucin: f0 = 13.270Hz; Q = 23; f = 577Hz; f1 = 12.981,5Hz; f2 = 13.558,5Hz

10.- Una L = 10 mH cuya RL = 20 y un C= 10KpF enserie, a qu frecuencia resuenan?. Cul es su anchode banda; y sus frecuencias de corte?.

Solucin: f0 = 15.923,5Hz; f = 318Hz;f1 = 15.764Hz; f2 = 16.082Hz

11.- El factor de calidad, Q, de una bobina es 15 y resue-na a 9.000Hz. Hallar el ancho de banda y las fre-cuencias de corte f1 y f2.

Solucin: f = 600Hz; f1 = 8.700Hz; f2 = 9.300Hz

12.- Un circuito consta de dos ramas paralelas. La impe-dancia de una es 8 + 6j, y la de la otra 8,34-j/C.Calcular el valor de C para que resuene a 5 K Hz

Solucin: C = 3,8 F.

EJERCICIOS PROPUESTOS (Recopilacin)

13.- Una R = 10 , una L = 0,5 H y un condensador de20 F en serie, qu f0 tienen?

14.- Se tiene una R = 10 , una L = 160 mH y un C de50 F en serie. Hallar fo.

15.- Una R = 14 , una L = 10 mH y un condensador de0,25 F en serie se alimentan con una tensin alternasenoidal de 182v/ 100Hz. A qu frecuencia resue-nan?

16.- Una R = 4 , una bobina cuya XL = 20 , y uncondensador cuya XC = 15 en serie se conectan a120v/50Hz. Hallar fo. (ojo, hay que calcular L y C)

17.- Una bobina de 10H, cuya R = 20 , y un condensa-dor de 1 KpF, a qu frecuencia resuenan?. Hallar elancho de banda y las frecuencias de corte f1 y f2.

18.- Un condensador de 10 KpF y una bobina de 20 mH(R =50 ) se conectan a 100v/50Hz. Hallar la fre-cuencia de resonancia, fo; su ancho de banda, y lasfrecuencias de corte f2 y f1.

19.- Un circuito serie formado por una R = 20 , una L=10 mH y un condensador, oscilan a 3.000 Hz. Ha-llar la capacidad del condensador as como las fre-cuencias de corte y el ancho de banda.

20.- Una L = 40mH (RL = 5,02 ) y un C = 16 F enserie, a qu frecuencia resuenan?. Hallar el anchode banda y las frecuencias de corte superior e infe-rior.

21.- Una L = 200mH (RL = 10 ) y un C = 25F enserie, a qu frecuencia resuenan?. Cul es su anchode banda? y sus frecuencias de corte f1 y f2? Hallarel Q y la pulsacin de resonancia.

22.- Una L = 10H (RL = 20 ) y un C = 1 KpF en serie,a qu frecuencia resuenan?. Cul es su ancho debanda? y sus frecuencias de corte f1 y f2? Hallar el Qy la pulsacin de resonancia.

Captulo 6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato. 29

LOS FILTROS PASIVOSIntroduccin.

Se conocen por el nombre genrico de filtros a aquellos circuitos electrnicos que dejan pasar a su tra-vs una cierta gama de frecuencias de una corriente alterna multifrecuencia, rechazando las dems.

Los filtros pueden clasificarse:a) segn los componentes que lo configuran, en filtros pasivos y filtros activos.

Los filtros pasivos estn constituidos solamente a base de resistencias, bobinas y condensadores. Por el contrario los filtrosactivos lo estn con resistencias, condensadores y, adems, elementos activos como transistores, C.I., etc.

b) segn las frecuencias que dejan pasar: filtros pasa-bajo, filtros pasa-alto, filtros pasa-banda y filtros elimina-banda.

los filtros pasa-bajo solo dejan pasar las frecuencias inferiores a una determinada, llamada de corte.los filtros pasa-alto slo dejan pasar las frecuencias superiores a una determinada, llamada de corte.los filtros pasa-banda solo dejan pasar una banda de frecuencias determinada.los filtros elimina-banda dejan pasar cualquier nmero de frecuencias excepto una banda determinada.

CCOONNCCEEPPTTOOSS PPRREEVVIIOOSS

25 Frecuencia de resonancia o fre-cuencia centralEs la frecuencia para la cual las reactancias

inductiva y capacitiva son iguales.

26 Frecuencias de corte (fC)Son las frecuencias para las cuales se pro-

duce una atenuacin de 3 dB en tensin, corrienteo potencia; o sea: la tensin o la corriente descien-den hasta el 70,7% (1/2) de las correspondientes ala frecuencia de resonancia; la potencia se reduce ala mitad. Como consecuencia las ganancias en ten-sin y en corriente caen al 70,7% de las ganancias entensin o en corriente a la frecuencia de resonancia ofrecuencia central. As mismo la ganancia en poten-cia se reduce a la mitad. Existen dos frecuencias decorte: la inferior y la superior.

La ganancia a las frecuencias de corte son las si-guientes:

AVfC = 0,707 AVf0 ;20 log (AVfC / AVf0) = - 3 dB

AIfC = 0,707 AIf0 ;20 log (AIfC / AIf0) = - 3 dB

AWfC = 0,50 AWf0 ;10 log (AWfC / AWf0) = - 3 dB

27 Ancho de banda o banda pasanteSe define como la diferencia entre las fre-

cuencias de corte superior e inferior.

28 Selectividad o calidadPara una misma frecuencia de resonancia o

central, varios circuitos o filtros pueden comportarsede manera diferente segn su ancho de banda. Aquelcuyo ancho de banda sea inferior se dice que es ms

[ ]12

10 LC

f

=

Captulo 6. Circuitos RLC. Csar Snchez Norato 30

selectivo, que es de "mejor calidad", y dejar pasarmenos frecuencias que aquel o aquellos que poseanun menor factor de calidad.

El factor de calidad se representa por Q y vale:

29 Octava.Es el intervalo entre dos frecuencias, siendo

una del doble valor que la otra.As, se dice que dos frecuencias estn sepa-

radas una octava si f2 / f1 = 2.

30 Orden de un filtroEl orden de un filtro viene determinado por

el nmero de clulas R-C existentes en el mismo.Para un filtro de orden 2 hace falta una clula, parauno de orden 4 hacen falta 2 clulas, etc.

31 PendienteEs la pendiente de bajada o subida de la cur-

va del filtro. Depende del orden del mismo. Si supo-nemos un filtro de orden N, la pendiente es aproxi-madamente de 6 . N dB/octava; esto es: su curva caeen 6 . N dB cada vez que la frecuencia se duplica.

FFIILLTTRROOSS PPAASSIIVVOOSS32 Filtros pasa-bajo

Ya sabemos que los filtros pasa-bajo son losque solo dejan pasar las corrientes cuyas frecuenciasson inferiores a una frecuencia determinada denomi-nada frecuencia de corte.

El circuito o montaje ms sencillo est for-mado por una resistencia en serie con un condensa-dor como se indica en la figura 6.32.

Las frecuencias altas se derivan por el con-densador, ya que su impedancia (reactancia capaciti-va) es muy pequea (XC = 1 / 2 fC), mientras quelas bajas, se quedan en l.

La impedancia total que ofrece el circuito es:

Supongamos que Vg sea la seal senoidal de fre-cuencia f que se aplica al circuito y Vc la tensin dela seal obtenida a la salida (en el condensador).

Tendremos que: Vc = I XcVg = I Z

Dividiendo ambas expresiones, se tiene:

siendo f la frecuencia de corte del filtro; en este casofs. O sea, que para unos valores fijos de R, C y Vg,variando la frecuencia de Vg, iremos obteniendo losdistintos valores de la tensin de salida Vc. Dichatensin vara en la forma de la figura 6.33.

FRECUENCIA DE CORTE:La frecuencia de corte es aquella para la cual lareactancia capacitiva es igual a la resistencia. Sedefine como frecuencia de corte (superior en estecaso) fS como aquella frecuencia para la cual latensin de salida Vc es 0,707 (70,7%) de la tensin

[ ]20f

fbandadeanchoresonanciadefrecuenciaQ

==

( )[ ]4

21

1222 RCfXR

XcVgVc

s+=

+=

( )[ ]3

2/11

2222

fCRXcRZ

+=+=

Figura 6.32. Filtro pasa-bajo R-C

Vc

R

CZ

I

Vg- -f S 12 RC=

Figura 6.33. Respuesta en frecuencia

f

Vc

1

0,707

0 f s

Vg

Captulo 6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato. 31

de entrada Vg; o sea: Vc/ Vg = 1/2 = 0,707.De esta frmula y de la [4], se deduce que 2fsRC =1, por lo que:

Expresin que nos da la frecuencia de corte del filtroen funcin de los valores de R y de C..

De la frmula [5] tenemos que: 2RC = 1/fS y que(2RC)2 = 1/ fS2

Si sustituimos (2 RC)2 = 1/ fS2 en la expresin [4],tenemos que:

que es la expresin matemtica de la respuesta enfrecuencia del filtro pasa-bajo.

Para la frecuencia de corte, f = fS y a medida que faumenta, la salida Vc se ve ms atenuada. Al contra-rio, a medida que f va disminuyendo, la salida Vc vaaumentando, teniendo el mximo para f = 0 Hz.

En consecuencia, este circuito atena las sealescuyas frecuencias sean superiores a la de corte, entanto que las frecuencias inferiores a aquella sufrenuna atenuacin inferior a los 3 dB, o lo que es lomismo, inferior al 70,7%.

Es por lo que se le conoce como filtro pasa-bajo.

Como ejercicio de aplicacin, hallar la frecuencia decorte para un filtro de este tipo cuando R = 10K y C = 0,1 F.

La solucin debe ser de 159,15 Hz.

Otro filtro pasa-bajo elemental, es el constituido poruna bobina y un condensador (se ha sustituido laresistencia por una bobina L). Figura 6.34.

En l existir una frecuencia f0 tal que la reactanciade la bobina (reactancia inductiva) sea igual que la

reactancia del condensador (reactancia capacitiva).Es la frecuencia de resonancia o frecuencia de corte.Su valor viene dado por la formula:

Otro tipo de filtro pasa-bajo es el L-R representadoen la figura 6.35. En l aparece escrita la frmula dela frecuencia de corte.

33 Filtros pasa-alto.Recuerda que un filtro pasa-alto es aquel

que slo deja pasar las corrientes cuyas frecuenciassean superiores a una frecuencia determinada llama-da frecuencia de corte.El circuito ms sencillo es el de la figura 6.36.

Observa el circuito: es el mismo que el R-C dondese han permutado la resistencia y el condensador.La impedancia total, Z, que ofrece el circuito es:

Supongamos que Vg sea la seal senoidal de fre-cuencia f que se aplica al circuito y VR la tensin dela seal obtenida a la salida; esto es en

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