CHAPTER 5PENGGUNAAN INTEGRAL

5.1 Luas Daerah

4-Langkah Integrasi

Sketsa Iris AproksimasiJumlah & Limit

(Integrasi)

Luas Daerah di Antara 2 Fungsi

Contoh

Tentukan integral tentu untuk luas daerah yang diarsir.

Contoh Lain

Pandang kurva y =1

𝑥2untuk 1 ≤ 𝑥 ≤ 6.

a) Hitunglah luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu-𝑥.

b) Tentukan 𝑐 sehingga garis 𝑥 = 𝑐 membagi dua luas pada a) samabesar.

c) Tentukan 𝑑 sehingga garis 𝑦 = 𝑑 membagi dua luas pada a) samabesar.

5.2 Volume Benda Putar: Metoda Cakram

Volume Silinder Tegak

Suatu silinder tegak adalah benda yang dibangun denganmenggerakkan daerah pada bidang (dasar) sepanjang jarak ℎ pada arahyang tegak lurus dasar tersebut.

Volume 𝑉 dari silinder tegak didefinisikan sebagai

𝑉 = 𝐴 . ℎ, dengan 𝐴 adalah luas dari dasar

Benda dengan Penampang Tertentu

1. Misalkan dasar suatu benda adalah daerah yang terletak pada kuadranpertama dan dibatasi oleh 𝑦 = 4 − 𝑥2, sumbu-𝑥, dan sumbu-𝑦. Misalkanpenampang yang tegak lurus sumbu-𝑥 adalah persegi. Tentukan volume benda.

2. Misalkan dasar suatu benda adalah daerah yang terletak pada kuadranpertama dan dibatasi oleh 𝑦 = 4 − 𝑥2, sumbu-𝑥, dan sumbu-𝑦. Misalkanpenampang yang tegak lurus sumbu-𝒚 adalah persegi. Tentukan volume benda.

3. Misalkan dasar suatu benda adalah daerah yang terletak pada kuadranpertama dan dibatasi oleh 𝑦 = 4 − 𝑥2, sumbu-𝑥, dan sumbu-𝑦. Misalkanpenampang yang tegak lurus sumbu-𝑥 adalah segitiga sama sisi. Tentukanvolume benda.

4. Misalkan dasar suatu benda adalah daerah yang terletak pada kuadranpertama dan dibatasi oleh 𝑦 = 4 − 𝑥2, sumbu-𝑥, dan sumbu-𝑦. Misalkanpenampang yang tegak lurus sumbu-𝑦 adalah setengah lingkaran. Tentukanvolume benda.

Metoda Cakram

Volume cakram kecil adalah ∆𝑉 ≈ 𝐴(𝑥)∆𝑥

Volume benda adalah 𝑎𝑏𝐴 𝑥 𝑑𝑥

Benda Putar

Contoh

Tentukan integral tentu untuk volume benda yang dibangun denganmemutar daerah pada gambar terhadap:

a. sumbu-𝑥

b. sumbu-𝑦

c. garis 𝑦 = −1

d. garis 𝑥 = 3

5.3 Volume Benda Putar: Metoda Kulit Tabung

Metoda Kulit Tabung

Contoh

Tentukan integral tentu untuk volume dari benda yang diperolehdengan memutar daerah 𝑅 terhadap

a. sumbu-𝑥

b. sumbu-𝑦

c. garis 𝑦 = −1

d. garis 𝑥 = 4

5.5 Kerja

Kerja

Jika suatu objek dikenakan gaya konstan 𝐹 sehingga bergerak sejauh 𝑑sepanjang suatu lintasan maka kerja 𝑊 yang dilakukan oleh gayatersebut adalah

𝑊 = 𝐹 . 𝑑

Kerja untuk Gaya Tak Konstan

Jika gaya tidak konstan, maka dapat digunakan 4 langkah integrase untuk menentukan kerja.

∆𝑊 ≈ 𝐹(𝑥)∆𝑥

𝑊 = න

𝑎

𝑏

𝐹 𝑥 𝑑𝑥

PegasHukum Hooke

𝐹 𝑥 = 𝑘𝑥

dengan 𝑘 suatu bilangan bulat positif yang disebut konstanta pegas.

Contoh.

Gaya seberat 6 kg diperlukan untukmenahan suatu pegas teregang ½ meter melebihi panjang normalnya. Tentukankonstanta pegas dan kerja yang dilakukanpada saat meregangkan pegas 2 meter melebih panjang normalnya.

Pemompaan Cairan

Suatu tanki berbentuk kerucut tegak dipenuhioleh air. Jika tinggi tanki adalah 10 meter dan jari-jari bagian atasnya adalah 4 meter, tentukan kerja yang dilakukan dalam

a) memompa air ke bagian atas tanki,

b) memompa air ke ketinggian 10 meter di atas tanki.

5.6 Momen dan Pusat Massa

Momen

𝑥1𝑚1 + 𝑥2𝑚2 = 0

Titik Kesetimbangan (Pusat Massa)

Momen total 𝑀 terhadap titik asal adalah

𝑀 = 𝑥1𝑚1 + 𝑥2𝑚2 +⋯+ 𝑥𝑛𝑚𝑛 =

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖𝑚𝑖

Di manakah koordinat-𝑥 ( ҧ𝑥) dari titik di mana penyangga harus ditempatkan agar sistem setimbang?

(𝑥1− ҧ𝑥)𝑚1 + (𝑥2 − ҧ𝑥)𝑚2 +⋯+ (𝑥𝑛− ҧ𝑥)𝑚𝑛 = 0

ҧ𝑥 =𝑀

𝑚=σ𝑖=1𝑛 𝑥𝑖𝑚𝑖

σ𝑖=1𝑛 𝑚𝑖

Massa Kontinu Sepanjang Garis

Contoh.

Suatu kawat dengan panjang 7 meter memiliki kepadatan 𝛿 𝑥 = 𝑥 pada titik yang berjarak 𝑥 meter dari ujung kiri kawat. Tentukan jarak dari ujung kiri kawat ke pusat massa.

Distribusi Massa pada Bidang

Pusat Massa Lamina (Lembaran Tipis)

Contoh.

Tentukan pusat massa daridaerah yang dibatasi oleh y =𝑥3, 𝑦 = 0, 𝑥 = 1.

Teorema Pappus

Jika suatu daerah 𝑅 diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅 dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya.

Contoh.

Gunakan Teorema Pappus untuk menemukan volume benda yang terbentukpada saat daerah yang dibatasi oleh y = 𝑥3, 𝑦 = 0, 𝑥 = 1 diputar terhadapsumbu-𝑦. Gunakan metoda kulit tabung untuk memeriksa jawaban Anda.