Post on 03-May-2018
BAB II : LANDASAN TEORI 5
BAB II
LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa teori matematika keuangan dan statistika yang
mendukung dalam penurunan formula Lookback Options pada Bab III dan pembuatan
program pada Bab IV. Teori-teori yang akan dibahas berupa asset, dinamika harga
saham, distribusi normal dan lognormal, teorema limit pusat, random walk dan gerak
Brown, gerak Brown Geometrik, model harga saham, lemma Ito, formula Black-
Scholes, derivatives, opsi, lookback options, dan metode binomial. Teori-teori yang
telah disebutkan sebelumnya nantinya tidak akan disinggung lagi pada bab-bab
selanjutnya namun akan langsung diterapkan dalam analisis maupun komputasinya.
2.1 Asset
Asset adalah objek keuangan (finansial) yang nilainya sekarang diketahui dan
dapat berubah di masa datang, misalnya saham, komoditas, dan mata uang.
Harga dari asset-asset ini berfluktuasi dan terkadang mengalami fluktuasi yang
sangat besar. Jika seseorang dapat mengantisipasi fluktuasi harga ini maka
orang tersebut dapat menghasilkan uang dengan sangat cepat. Adapun yang
dimaksud dengan asset dalam tugas akhir ini adalah saham, khususnya saham
yang tidak memberikan dividen.
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik Yohanna (10103030)
BAB II : LANDASAN TEORI 2.2 Dinamika Harga Saham
Pergerakan harga saham dikatakan mengikuti suatu proses stokastik bila
nilainya berubah setiap saat dalam ketidakteraturan. Proses stokastik merupakan
barisan peubah acak dengan t sebagai indeks parameter atas suatu himpunan
indeks (Dalam kasus ini, parameter t merepresentasikan waktu). Untuk
kemudahan, kita akan gunakan notasi
tX
Τ
( )X t dibandingkan . Jika himpunan
indeks diskrit maka proses stokastik
tX
Τ ( ){ },X t t∈Τ disebut proses stokastik
diskrit sedangkan bila Τ kontinu maka disebut sebagai proses stokastik
kontinu. Pada kenyataannya, harga saham berubah hanya pada saat-saat tertentu
(diskrit) selama pasar saham dibuka. Untuk kemudahan, asumsikan set indeks
adalah kontinu. Τ
Proses Markov adalah suatu proses stokastik, diberikan nilai sX maka nilai dari
hanya bergantung terhadap ,tX t s> sX dan bukannya terhadap ,uX u s< .
Misalkan harga saham mengikuti Proses Markov maka hanya harga saham saat
inilah yang relevan digunakan untuk menaksir harga saham di masa datang.
Proses Markov ini sesuai dengan keadaan pasar saham yang mengasumsikan
bahwa harga saham saat ini sudah mengandung informasi-informasi dari masa
lampau dan suatu hal yang tidak relevan untuk menaksir harga saham di masa
mendatang dengan menggunakan pola lintasan harga-harga saham masa
lampau.
2.3 Distribusi Normal dan Lognormal
Fungsi padat peluang dari suatu peubah acak yang berdistribusi normal dengan
rata-rata μ dan variansi 2σ adalah
( )21 1exp
22xf x μσσ π
⎛ ⎞−⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik Yohanna (10103030)
6
BAB II : LANDASAN TEORI
Jika peubah acak normal tersebut memiliki nilai rata-ratanya adalah 0 dan
variansinya adalah 1 maka disebut sebagai peubah acak normal standar. Fungsi
padat peluang dan fungsi distribusi dari peubah acak normal standar berturut-
turut dinyatakan oleh ( )n x dan ( )N x , yakni
( )
( )
2
2
1 exp ,22
1 exp .22
x
xn x
tN x dt
π
π −∞
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
Jika x berdistribusi normal dengan rata-rata xμ dan variansi 2xσ , maka xz e=
dikatakan berdistribusi lognormal. Fungsi padat peluang lognormal adalah
( )2
1 1 lnexp22
x
xx
zg zx
μσσ π
⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
dan nilai rata-rata dan variansinya berturut dinyatakan oleh zμ dan 2xσ , yakni
( ) ( )
2
2 2
exp ,2
exp 2 exp 1 .
xz x
z x x x
σμ μ
σ μ σ σ
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠2⎡ ⎤= + −⎣ ⎦
2.4 Teorema Limit Pusat
Teorema Limit Pusat menyatakan bahwa sejumlah besar dari peubah acak yang
saling bebas dan memiliki distribusi peluang yang sama akan mendekati peubah
acak normal.
Untuk lebih jelasnya, misalkan adalah barisan dari peubah acak yang
identik dan saling bebas dengan rata-rata dan variansinya masing-masing adalah
1 2, ,...X X
μ dan 2σ dan misalkan
1
n
n ii
S X=
= ∑ .
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik Yohanna (10103030)
7
BAB II : LANDASAN TEORI
Teorema. “ Untuk nilai n yang sangat besar, Sn akan menghampiri peubah
acak normal dengan rata-rata nμ dan variansi 2nσ . Hasilnya, untuk setiap x
sembarang diperoleh
( )xxnnSP n Φ≈
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤
−σ
μ
dan hampiran yang diperoleh menjadi lebih akurat seiring dengan bertambah
besarnya nilai n. “
2.5 Random Walk dan Gerak Brown
Sesuai dengan namanya, random walk berarti gerak yang random (acak) dan
biasanya di dalam keuangan digunakan untuk mendeskripsikan pergerakan dari
harga saham. Harga saham dikatakan mengikuti random walk yang dikatakan
sebagai gerak Brown karena keacakannya. Berikut akan diterangkan mengenai
random walk satu dimensi.
Misalkan terdapat partikel pada titik pusat sumbu-x. Si partikel hanya dapat
melompat ke kiri atau ke kanan sejauh jarak yang sama, yakni δ . Definisikan
ix adalah peubah acak posisi partikel yang bernilai δ atau δ− ketika partikel
bergerak ke kanan atau ke kiri pada saat ke-i. Asumsikan bahwa peluang dari
lompatan ke kanan dan ke kiri tidak pernah berubah atau dengan kata lain,
selalu sama untuk setiap saat. Tuliskan peluangnya sebagai
( ) ( )Pr , Pr ,i ix p xδ δ q= = = − =
dengan , p dan q saling bebas terhadap i. Tiap lompatan saling bebas
sehingga peubah acak
1p q+ =
ix saling bebas juga. Definisikan peubah acak
1 2 ... ,n nX x x x= + + +
yang menyatakan posisi si partikel pada saat langkah ke–n. Nilai ekspektasi dari
ix adalah
( ) ( ) , 1,2,..., ,iE x p q p q iδ δ δ= − = − = n
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik Yohanna (10103030)
8
BAB II : LANDASAN TEORI
dan karena ix saling bebas maka kita peroleh
( ) ( ) ( )1 1
n n
n i ii i
E X E x E x n p q δ= =
⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∑ .
Variansi dari ix adalah
( ) ( ) ( ) ( )22 22 2var 4 ,i i2 2x p q E x p q pqδ δ δ δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − − = − − =⎣ ⎦⎣ ⎦ δ
sehingga
( ) 2var 4nX pq nδ= .
Dengan mengambil jarak pindah sekecil mungkin dari random walk di atas
maka dapat dihasilkan gerak Brown satu dimensi. Gerak Brown pertama kali
diamati oleh seorang ahli botani, Robert Brown, pada tahun 1827. Beliau
mendeskripsikan adanya gerak tak sewajarnya oleh suatu partikel yang
terdispersi di dalam zat cair atau gas. Penjelasan mengenai gerak ini pertama
kali dikemukakan oleh Albert Einstein pada tahun 1905. Gerak Brown pertama
kali dikenalkan oleh matematikawan Perancis, Bachelier, pada tahun 1900 yang
menggunakannya dalam disertasi doktornya untuk memodelkan pergerakan
harga saham dan komoditas.
Definisi. Proses Stokastik ( ){ }, 0X t t ≥ disebut Gerak Brown dengan
koefisien drift μ dan parameter variansi 2σ apabila:
1. Setiap inkremen ( ) ( )X t s X s+ − berdistribusi normal dengan rataan tμ
dan variansi 2tσ ; μ dan σ bernilai konstan.
2. Untuk setiap , inkremen 1 2 ... nt t t< < < ( ) ( ) ( ) ( )2 1 ,..., n n 1X t X t X t X t −− −
adalah peubah acak yang saling bebas dan berdistribusi seperti yang tertera
pada poin (a). ( ){ }, 0X t t ≥ memiliki inkremen stasioner dan saling bebas.
3. ( )0X = 0 dan lintasan dari ( )X t adalah kontinu.
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik Yohanna (10103030)
9
BAB II : LANDASAN TEORI 2.6 Gerak Brown Geometrik
Gerak Brown dan gerak Brown Geometrik sama-sama memegang prinsip
bahwa harga saham masa mendatang hanya bergantung pada harga saham saat
ini. Pada gerak Brown, selisih harga sahamlah yang berdistribusi normal
sedangkan pada gerak Brown Geometrik logaritma dari rasio harga sahamlah
yang berdistribusi normal. (Ross, 1997)
Misalkan ( )X t adalah gerak Brown dengan parameter drift 0μ ≥ dan
parameter variansi 2σ . Proses stokastik
( ) ( ) , 0X tY t e t= ≥
disebut gerak Brown Geometrik dengan rata-rata dan variansi untuk ( )Y t
berturut-turut dinyatakan oleh
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
2
0 0
2 2 20 0
| 0 exp2
var | 0 exp 2 exp 1
tE Y t Y y y t
Y t Y y y t t t
σμ
μ σ σ
⎛ ⎞= = +⎜ ⎟
⎝ ⎠⎡ ⎤= = + −⎣ ⎦
Kita katakan bahwa ( )Y t berdistribusi lognormal dengan rata-rata dan variansi
seperti di atas. Fungsi padat peluang dari ( )Y t adalah
( ) ( )2
2
ln1 exp , 022y t
g y yty tμ
σσ π
⎛ ⎞−⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎝ ⎠
>
2.7 Model Harga Asset
Model diskrit merupakan model harga saham yang sederhana namun
mempunyai tingkat kepercayaan yang cukup tinggi. Pada model diskrit, selang
waktu [ ]0,t dibagi dalam n subselang seragam dengan lebar nt
t =δ . Misal
adalah harga asset pada saat )( itS ti it δ= .
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik Yohanna (10103030)
10
BAB II : LANDASAN TEORI
Model
( ) ( ) ( ) ( )1i i t i t iS t S t S t Y S tμδ σ δ+ = + + i
dengan ,0,0 ≥> σμ dan ( )1,0~,...,, 210 NiidYYY .
Dengan rekursif diperoleh
( ) ( )1
00
1n
t ti
S t S Yμδ σ δ−
=
= + +∏ i ,
( ) ( )1
00
ln ln 1n
t ti
S tY
Sμδ σ δ
−
=
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ i
.
Untuk 0→tδ dan ( )2
1ln2xxx −≈+ kita peroleh
( ) 12 2
00
1ln2
n
t t i ti
S tY Y
Sμδ σ δ σ δ
−
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∑ i.
Selanjutnya,
2 2 21 12 2t t i t i t tE Y Yμδ σ δ σ δ μδ σ δ⎡ ⎤⎛ ⎞+ − = −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
2iY ,
( )2 2 212t t i t i tVar Y Y tμδ σ δ σ δ σ δ ο δ⎡ ⎤⎛ ⎞+ − = +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
,
dan Teorema Limit Pusat membawa kita kepada perolehan
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ttN
StS 22
0
,21~ln σσμ .
Berdasarkan perolehan di atas, formulasi harga asset pada saat t
( )21
20
t t ZS t S e
μ σ σ⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠=
dengan ( )0,1N ~ Z .
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik Yohanna (10103030)
11
BAB II : LANDASAN TEORI
Perhatikan bahwa dapat dituliskan dalam bentuk eksponensial dengan ( )S t
212
t tμ σ σ⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠
Z adalah peubah acak normal, sehingga berdistribusi
lognormal dengan
( )tS
( ) 0tE S t S eμ⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ,
( ) ( )22 20 1t tVar S t S e eμ σ⎡ ⎤ = −⎣ ⎦ .
2.8 Derivatives
Derivatives adalah suatu asset yang harganya bergantung pada harga suatu asset
lainnya (biasa disebut underlying asset). Dengan derivatives, para investor
dapat memilih cara mereka dalam menjajaki pasar asset dengan cara
berspekulasi, berharap mendapatkan keuntungan besar dengan hanya
menanamkan investasi kecil ataupun melakukan hedging dengan harapan
mengurangi risiko yang sebelumnya telah mereka miliki.
2.9 Opsi
Opsi adalah salah satu derivatives yang banyak diperdagangkan dan menjadi
favorit para investor. Dua jenis opsi yang paling sering dijumpai adalah call dan
put. Call adalah opsi untuk membeli sedangkan put adalah opsi untuk menjual.
Sebuah call option memberikan hak, bukan kewajiban, kepada pemiliknya
untuk membeli sebuah saham dari writer dengan harga yang telah disepakati
(disebut strike price atau exercise price), dan hak tersebut berakhir pada waktu
yang telah ditentukan (disebut maturity atau expiration date). Sebuah put option
memberikan hak, bukan kewajiban, kepada pemiliknya untuk menjual sebuah
saham kepada writer dengan harga yang telah ditentukan (disebut strike price
atau exercise price), dan hak tersebut berakhir pada waktu yang telah ditentukan
(disebut maturity atau expiration date).
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik Yohanna (10103030)
12
BAB II : LANDASAN TEORI
Opsi yang dapat di-exercise pada setiap saat sebelum ataupun pada saat
expiration date dikenal sebagai American options sedangkan opsi yang hanya
dapat di-exercise pada saat expiration date-nya dikenal sebagai European
options. Masing-masing European dan American option memiliki dua tipe
yakni call dan put.
Pada saat maturity time T, setiap opsi baik European maupun American akan
memberikan suatu nilai ekstrinsik, yakni payoff. Payoff dapat diartikan sebagai
keuntungan yang diperoleh oleh si pemilik opsi tersebut. Berikut ini adalah
contoh payoff untuk European call option dan European put option.
1. Pada saat T, sebuah European call option dengan strike price K dan
maturity time T mempunyai payoff sebesar
( )( )0,KTSmakspayoff −=
2. Pada saat T, sebuah European put option dengan strike price K dan maturity
time T mempunyai payoff sebesar
( )( )0,TSKmakspayoff −=
2.10 Lemma Itô
Misalkan ( )X t adalah proses stokastik yang didefinisikan oleh
( ) ( ) ( ) ( ), ,dX t a X t dt b X t dZ t= +
dengan adalah proses Wiener. Jika u adalah fungsi dari dZ ( )X t dan t maka
berlaku
( ) ( ) ( ) ( )2
22
1, , ,2
u u u udu a X t b X t dt b X t dZ tt X X X
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
.
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik Yohanna (10103030)
13
BAB II : LANDASAN TEORI 2.11 Formula Black-Scholes
Untuk dapat menurunkan formula Black-Scholes maka terdapat beberapa
asumsi yang harus dipatuhi, yakni:
1. Transaksi dapat terjadi setiap saat dan tidak dikenai biaya tambahan;
2. Suku bunga diketahui dan nilainya konstan;
3. Asset tidak memberikan dividen;
4. Harga saham berdistribusi lognormal dengan rata-rata dan variansi yang
konstan;
5. Jumlah asset yang dibeli bisa dalam bentuk pecahan;
6. Short selling diijinkan;
7. Tidak ada peluang terjadinya arbitrage.
Misalkan kita ingin menurunkan bentuk PDP Black-Scholes untuk call Eropa
dengan C adalah harga European call option dan perubahan harga saham
diberikan oleh persamaan
dS S dt S dZμ σ= + .
Dengan Lemma Itô, kita peroleh bentuk PDP Black-Scholes untuk European
call option adalah 2
2 22
12
C C C CdC S S dt S dZt S S S
μ σ σ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂
= + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠.
2.12 Lookback Options
Lookback options adalah salah satu jenis opsi yang nilai payoff-nya bergantung
pada perjalanan harga saham pada suatu periode dan bukan hanya bergantung
pada harga saham akhir periode saja. Opsi dengan sifat seperti ini sering disebut
sebagai path dependent options. Beberapa contoh lain dari path dependent
options adalah Asian options dan Barrier options. Salah satu hal yang
membedakan ketiga jenis opsi ini adalah pada saat penentuan nilai payoff-nya.
Sebagai contoh, Asian options bergantung pada nilai rata-rata harga saham,
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik Yohanna (10103030)
14
BAB II : LANDASAN TEORI
Barrier options bergantung pada nilai batas (barrier), dan Lookback options
bergantung pada nilai maksimum atau minimum harga saham.
2.13 Metode Binomial
Metode Binomial berangkat dari suatu model diskrit pergerakan harga saham
yang sederhana. Selang waktu [ ]0,T yakni maturity time dibagi menjadi sub
selang yang sama panjang dengan titik-titik bagi
N
0 10 ... Nt t t T= < < < = dengan
( )0,1,..., ,iTt i t i N tN
= Δ = Δ = dan ( )iS S t= i adalah harga saham pada saat . it
Asumsi :
1. Dalam selang waktu tΔ , harga saham dapat naik atau turun menjadi
atau dengan S S→ u S S d→ 0 1d u< < <
2. Peluang harga saham naik ( )P naik p=
Gambar 1 Skema pergerakan harga saham pada metode binomial
Harga saham turun dengan faktor penurunan d dengan peluang (1-p)
Harga saham naik dengan faktor kenaikan u dengan peluang p
tΔ
(1-p)
p
S d
S u
S
3. Ekspektasi return harga saham besarnya sama dengan risk-free rate r
sehingga untuk harga saham yang bergerak secara acak dari S pada saat
menjadi pada saat
S i
it 1iS + 1it + . Ini berarti ( )1r t
i iE S S e Δ+ =
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik Yohanna (10103030)
15
BAB II : LANDASAN TEORI
Dari asumsi (3) kita peroleh
( )
1
,
.i i
i
E return r t
S SE rS
+ t
= Δ
⎛ ⎞−= Δ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Dari asumsi (1) dan (2) diperoleh
( ) ( )1 1i iE S p S u p S d+ = + − i
sehingga
( )1r te p u pΔ = + − d ,
r tepu d
Δ d−=
−. (2.1)
Perhatikan persamaan (2.1), karena 0 p 1≤ ≤ maka r td e uΔ≤ ≤ .
Dari model kontinu kita miliki
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2
22 21
22 2 21 1 1
,
1 ,
r ti i
r t ti i i i
E S S e
Var S E S E S S e e
σ
σ
+ Δ
+
Δ Δ+ + +
=
= − = −
dan dari model diskrit kita punyai
( ) ( ) ( )( ) ( )( )22 2 21 1 1i i i iVar S p S u p S d S pu p d+ = + − − + − .
2d
Dengan menyamakan kedua variansi (diskrit dan kontinu) maka kita dapatkan
( )22 2 1r t te pu pσΔ + Δ = + − (2.2)
Persamaan (2.1) dan (2.2) memberikan 2 hubungan untuk u, d, dan p.
Persamaan ketiga dapat kita pilih. Persamaan ketiga yang sering digunakan
adalah
1ud = atau 1/ 2p = .
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik Yohanna (10103030)
16
BAB II : LANDASAN TEORI
Untuk solusinya adalah 1/ 2p =
( ) ( )2 2 2 2
1 1 , 1t t t tu e e d e eσ σ σ σΔ Δ Δ Δ= + − = − −1 ,
dan untuk solusinya adalah 1ud =
( )( )2
2
2
1 ,2
1,
1,
.
r tr t
r t
e e
u
d
e dpu d
σβ
β β
β β
+ Δ− Δ
Δ
= +
= + −
= − −
−=
−
Pada solusi , nilai u dan d tersebut dapat dihampiri dengan nilai u dan d
pada metode Cox, Ross, dan Rubenstein yakni
1ud =
(expu tσ= )Δ dan
(expd σ= − Δ )t . Hampiran ini dapat ditunjukkan dengan mudah.
Pertama-tama, kita hampiri nilai ( )exp x dengan ( )exp 1x x≈ + , sehingga
( )( )2 2
exp 1 ,
exp 1 .
r t r t
r t r tσ σ
− Δ ≈ − Δ
t+ Δ ≈ + Δ + Δ
Selanjutnya dapat pula kita hampiri,
( )
( )
2 2
2
2
1 12 12 2
11
t t
tt
β σ σ
β σ
β σ
≈ + Δ = + Δ
≈ + Δ
− ≈ Δ
yang membawa kita kepada perolehan
( )2 211 1 1 exp2
u t t tβ β σ σ σ σ= + − ≈ + Δ + Δ = + Δ = Δt .
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik Yohanna (10103030)
17
BAB II : LANDASAN TEORI
Setelah itu, harga saham dihitung untuk setiap titik bagi ( ) yakni it
jijji duSS −= 0
dengan jiS menyatakan harga saham pada saat dengan telah terjadi kenaikan
harga saham sebesar j kali serta penurunan harga saham sebesar (i-j) kali (untuk
it
0,1,...,i N= dan ).
0,1,...,j i=
Gambar 2 Skema perjalanan harga saham untuk setiap titik bagi t i=
Proses dilanjutkan dengan mencari nilai payoff untuk semua nilai j yang
mungkin pada saat expiration date (t = N). Adapun pada saat ti selalu terdapat
i+1 kemungkinan sehingga pada saat expiration date terdapat (N+1)
Proses mundur
S0d
0,1S
0,3S
S0d3
1,3S
2,3S
0,2S
3,3S
1,2S
2,2S
1,1S (N+1) titik
S0d
S0u
S0u3
S0u2
S0
t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = N
S0d2
S0u
S0
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik Yohanna (10103030)
18
BAB II : LANDASAN TEORI
kemungkinan. Sehingga { },0jM jMV maks S K= − untuk opsi call dan
{ },0jM jMV maks K S= − untuk opsi put (untuk 0,1,...,j N= ).
Metode Binomial selanjutnya bekerja secara mundur (dalam waktu) untuk
memperoleh nilai opsi pada saat t = 0. Untuk tiap titik ti berlaku
( )111Ät )1( +++
− −+= ijijr
ji VppVeV
Perhatikan bahwa persamaan tersebut hanya berlaku untuk European call
ataupun put. Untuk American options, masih perlu adanya pengujian
dikarenakan American options mengijinkan terjadinya early exercise. Sehingga
untuk American options berlaku
( ){ }Ät1 1 1*, (1 )r
ji j i j iV maks payoff e pV p V−+ + += + −
{ }{ }
* ,0 untuk call
* ,0 untuk put
ji
ji
payoff maks S K
payoff maks K S
= −
= −
Perlu diingat pula bahwa kita akan menghitung jiV secara mundur sehingga nilai
i dan j yang digunakan adalah 1, 2,...,0 dan 0,1,...,i N N j i= − − =
Penentuan Harga Lookback Options secara Analitik dan Numerik Yohanna (10103030)
19