Post on 13-Apr-2015
description
1
1
Medan Elektromagnetik TF-2206BAB II Analisis Vektor
Dr. Suprijantosupri@tf.itb.ac.id
2
Review Vektor
• Besaran fisis paling sederhana dapat dengan lengkapdinyatakan oleh sebuah angka plus suatu unit(satuan) yang diketahui ukurannya
• Skalar Contoh……• Vektor Contoh…….
Representasi Vektor
Koordinat Silang (Cartesin)
2
3
Review Vektor
Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang besarnya sama dengan satu
Contoh :
tentukan :
4
Operasi Vektor
3
5
Operasi Vektor
6
Operasi Vektor
4
7
Operasi Vektor
8
Operasi Vektor
5
9
10
Operasi Vektor
6
11
Operasi Vektor
12
Operasi Vektor
Volume parallelepiped
7
13
Operasi Vektor
14
Sistem Koordinat
8
15
Operasi Vektor
16
Operasi Vektor
9
17
Operasi Vektor
18
Operasi Vektor
10
19
Operasi Vektor
ρ = radius cylinder
20
Operasi Vektor
11
21
Operasi Vektor
22
Operasi Vektor
12
23
Operasi Vektor
24
Operasi Vektor
13
25
Operasi Vektor
26
Operasi Vektor
Transform the position vector into a vector in a cylindrical system
14
27
Operasi Vektor
28
Operasi Vektor
15
29
30
16
31
32
17
33
34
18
35
36
19
37
38
20
39
40
21
41
42
22
43
44
23
45
46
Extend this definition of the line integral for a general curve c in three-dimensional space
now define a scalar line integral for a vector field F
24
47
48
25
49
50
26
51
52
27
53
54
28
55
56
29
57
Medan-medan Vektor dan Skalar
Jika sebuah partikel sedang bergerak dalam ruang maka di setiap saatkecepatannya dapat dinyatakan dengan sebuah vector kecepatanmempunyai karakteristik sebuah vektor, memiliki besar dan arah.
Tetapi jika kita mengamati keadaan suatu fluida yang bergerak dalam ruangmaka partikel-partikel yang berbeda akan mempunyai kecepatan yang tidaksama.
Dalam hal ini setiap titik mempunyai vektor kecepatan sendiri dan fluidayang bergerak dapat dinyatakan dengan apa yang disebut sebagai sebuahmedan vektor.
58
30
59
60
Medan-medan Vektor dan Skalar
31
61
62
32
63
64
33
65
66
34
67
33
3
22
2
11
1
uf
ha
uf
ha
uf
haf
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
68
35
69
70
36
71
72
37
73
+
74
38
75
76
39
77
78
40
79
80
41
81
82
42
83
84
43
85
86
44
87
88
45
89
90
46
91
92
47
93
94
Soal No. 1
Pada lintasan tertutup z = 0, ρ = 1, diketahui sebuah medan vektor :
φρ−ρ= a)(H 2
Periksa apakah teorema Stokes berlaku disini ?
Jawab :
zazadadL +φρ+ρ= φρ
( )
0)02)((
d)(ddLH
1
32
2
0
322
=−πρ−ρ=
φρ−ρ=φρρ−ρ=•
=ρ
π
=φ∫∫∫
48
95
z
zz
2
aH1)H(1
aHz
Ha
zHH1H
a)(H
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛φ∂
∂ρ
−ρ∂
ρ∂ρ
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ∂
∂−
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−φ∂
∂ρ
=×Δ
ρ−ρ=
ρφ
φρ
ρφ
φ
zz
32
a)32(a)(1H ρ−=ρ∂ρ−ρ∂
ρ=×Δ zadddS φρρ=
0)()(
dd)32(dS)H(
2
0
1
0
32
2
0
1
0
2
=φρ−ρ=
φρρ−ρ=•×Δ
π
π
=φ =ρ∫ ∫∫ Teorema
Stokes Berlaku
96
Soal No. 1
Pada lintasan tertutup z = 0, ρ = 1, diketahui sebuah medan vektor :
φρ−ρ= a)(H 2
Periksa apakah teorema Stokes berlaku disini ?
Jawab :
zazadadL +φρ+ρ= φρ
( )
0)02)((
d)(ddLH
1
32
2
0
322
=−πρ−ρ=
φρ−ρ=φρρ−ρ=•
=ρ
π
=φ∫∫∫
49
97
z
zz
2
aH1)H(1
aHz
Ha
zHH1H
a)(H
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛φ∂
∂ρ
−ρ∂
ρ∂ρ
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ∂
∂−
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−φ∂
∂ρ
=×Δ
ρ−ρ=
ρφ
φρ
ρφ
φ
zz
32
a)32(a)(1H ρ−=ρ∂ρ−ρ∂
ρ=×Δ zadddS φρρ=
0)()(
dd)32(dS)H(
2
0
1
0
32
2
0
1
0
2
=φρ−ρ=
φρρ−ρ=•×Δ
π
π
=φ =ρ∫ ∫∫ Teorema
Stokes Berlaku
98
Soal No. 2
Diketahui sebuah medan vektor :xaxD =
Pada permukaan bola r = 1, hitung : ∫ • dSD
Periksa apakah teorema divergensi berlaku disini ?
Jawab :
xrx
r2
axDasinacoscosacossina
cossinrxaddsinrdS
=φ−φθ+φθ=
φθ=φθθ=
φθ
∫∫ φθφθ=• ddcossinrdSD 233
∫ ∫∫π
=φ
π
=θ
θθθφφ=•2
0 0
22 dsinsindcosdSD
50
99
∫ ∫∫π
=φ
π
=θ
θθθφφ=•2
0 0
22 dsinsindcosdSD
π=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛φ+φ=φ+φ=φφ
πππ
=φ
π
=φ∫∫
2
0
2
0
2
0
2
0
2 2sin21
21d)12(cos
21dcos
34
322cos
31cos
)cosd)(cos1(dsinsin
1
1
3
1
1cos
2
0
2
=−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ θ−θ=
θ−θ−=θθθ
−
−
=θ
π
=θ∫∫
π=•∫ 34dSD
100
1z
Dy
Dx
DDaxD zyxx =
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=•∇→=
π=π==•∇ ∫∫ 34r
34dvdv)D( 3
( )( ) π=π⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=φθ−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
φθθ=•∇
ππ
π
=φ
π
=θ =∫ ∫ ∫∫
34)2)(2(
31cosr
31
ddrdsinrdv)D(
2
00
1
0
3
2
0 0
1
0r
2
Teorema divergensi Berlaku
51
101
Soal No. 3
Diketahui sebuah medan skalar V = 50 xyz
Hitung WE pada daerah 0 < x < 2, 0 < y < 2, 0 < z < 2, bila :
12ooE 10x854,8,ED,VE,dvED
21W −=εε=∇=•= ∫
Jawab :
zoyoxoo
zyx
zyx
axy50axz50ayz50ED
axy50axz50ayz50
azVa
yVa
xVVE
ε+ε+ε=ε=
++=
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇=
)yxzxzy(2500ED 222222o ++ε=•
102
)yxzxzy(2500ED 222222o ++ε=•
2z0,2y0,2x0dvED21WE <<<<<<•= ∫
μ=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ε=
ε=
−
= = =∫ ∫ ∫
472,038
38)2)(10x854,8(3750
z31y
31)x(3750
dxdydzzy3750W
12
2
0
32
0
32
0o
2
0z
2
0y
2
0x
22oE
52
103
104
53
105