BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN

7.1. Fungsi Logaritma Asli

Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut.

Dx(x3/3) = x2

Dx(x2/2) = x1

Dx(x) = 1 = x0

Dx(???) = x-1

Dx(-x-1) = x-2

Dx(-x-2/3) = x-3

Gambar 1. Jika x > 1, ln (x) = luas dari R

64

Definisi: Fungsi logaritma asli

Fungsi logaritma asli dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai

ln (x) =

Daerah asalnya adalah himpunan bilangan real positif

y =1/t

Turunan fungsi logaritma asli adalah Dx , selanjutnya

Contoh 1:

Tentukanlah Dx ln(x)

Jawab:

Misalkan u = x = x1/2

Dx ln(x) =

Dengan Derive: Dif(ln(x), x) enter, lalu lkilk tanda sama dengan

65

Contoh 2:

Carilah

Jawab:

Misalkan u = 2x + 7 maka du = 2 dx

=

=

Dengan Derive: Int( , x) enter, lalu klik tanda sama dengan.

Soal-Soal Latihan

66

Dalam soal-soal 1-4, Carilah turunan yang ditunjukkan .

1. Dx ln(x2 + 3x + )

2. Dx ln(x – 4)2

3. dy/dx jika y = 3ln(x)

4. dz/dx jika z = x2 ln(x2) + (ln (x))3

5. g’(x) jika g(x) = ln( )

Dalam soal-soal 6-10, Carilah integral yang ditunjukkan.

6.

7.

8.

9.

10.

11. Andaikan f(x) = ln(1,5 + sin(x))

a. Carilah titik ekstrim pada selang [0, 3]

b. Carilah titik balik pada selang [0, 3]

c. Hitunglah

12. Gambarlah grafik f(x) = x ln(1/x) dan g(x) = x2 ln(1/x) pada [0, 1]

a. Carilah luas daerah kurva ini pada selang (0, 1]

b. Carilah nilai maksimum pada selang (0, 1]

7.2. Fungsi Balikan dan Turunannya

67

7.2.1. Fungsi Balikan Polinom

Suatu fungsi f mengambil suatu nilai x dari daerah asalnya D dan

memadankannya dengan nilai tunggal y dari daerah hasilnya R. Jika beruntung, f

dapat dibalik, yakni untuk suatu y dalam R dapat dipadankan dengan x pada D

yang dinyatakan dengan f-1.

Misalkan y = f(x) = 2x dibalik menjadi x = f-1(x) =

Gambar 2.

Tidak semua fungsi dapat dibalik, misalkan y = f(x) = x2 untuk nilai y

tertentu terdapat dua nilai x yang berpadanan dengannya. Fungsi ini mempunyai

invers bila D dibatasi [0, ∞] atau [-∞, 0].

68

f

f-1

y = 2x

Gambar 3.

Teorema: Jika f monoton murni pada daerah asalnya maka f memiliki balikan.

Contoh 3:

Perlihatkan bahwa f(x) = x5 + 2x +1 memiliki balikan.

Jawab:

F’(x) = 5x4 + 2x > 0, untuk semua x. Jadi f naik pada seluruh garis real, sehingga f

memiliki balikan.

Jika f memiliki balikan f-1 maka f-1 memiliki balikan, yakni f. Kedua fungsi

ini merupakan pasangan fungsi-fungsi balikan dan terdapat hubungan

f-1(f(x)) = x dan f(f-1(y)) = y

Langkah-langkah mencari fungsi invers dari suatu fungsi:

1. Selesaikan persamaan y = f(x) untuk x dalam bentuk y.

2. Gunakan f-1(y) untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam y.

3. Gantilah y dengan x untuk mendapatkan rumus f-1(x)

69

y = x2

Contoh 4:

Carilah f-1(x) jika f(x) = dan tunjukkan bahwa f-1(f(x)) = x dan f(f-1(y)) = y

Jawab:

Langkah 1: y(1- x) = x y - yx = x y = x + yx

y = x(1 + y)

Langkah 2:

Langkah 3:

f-1(f(x)) = f-1( ) = = = x dan

f(f-1(y)) = f-1( ) = = = y

Dengan Derive: Inverse(x/(1-x)) enter, lalu klik tanda sama dengan

70

Tugas Kelompok:

Misalkan f(x) = x3 + 1.

1. Bagaimanakah domain f(x) agar mempunyai invers?

2. Carilah invers dari f(x), apa domainnya?.

3. Gambarlah hasil 1 dan 2 dalam satu layar, apa yang anda simpulkan?

4. Carilah turunan f(x) dan inversnya.

5. Gambarlah fungsi turunan f(x) dan inversnya dalam satu layar, apa yang anda

simpulkan?

6. Isilah tabel berikut

71

Fungsi x y (f-1)’(y) f’(x)

f(x) = x^3 + 1

1/2

1

2

apa yang anda simpulkan terhadap hubungan (f-1)’(y) dan f’(x)?

7. Terapkanlah hasil pada 6, untuk contoh 1, carilah (f-1)(4).

Soal-Soal Latihan

Dalam soal-soal 1-3, diperlihatkan grafik y = f(x), dalam setiap kasus apakah f

mempunyai balikan? Dan bila mempunyai balikan taksirlah f-1(2).

72

1.

2.

Dalan soal-soal 4-6, perlihatkan bahwa f memiliki balikan dengan menunjukkan

bahwa f monoton murni.

4. f(x) = -x5 – 3x3

5.

6.

Dalam soal-soal 7-10, Carilah rumus untuk f-1(x), kemudian periksalah

kebenarannya bahwa f-1(f(x)) = x dan f(f-1(x)) = x.

7. f(x) = x + 1

8.

9. f(x) = (x – 1)3

10.

73

3.

7.2.2. Fungsi Eksponen Asli dan balikannya

Turunan dari ex adalah Dx ex = ex

Contoh 5:

Tentukanlah Dx ex

Jawab:

Misalkan u = x = x1/2

Dx ex = ex.

Dengan Derive: Dif(ex), x) enter, lalu klik tanda sama dengan.

74

Definisi:

Balikan ln disebut fungsi eksponen asli dan dinyatakan oleh exp.

Jadi x = exp y y = ln x

Selanjutnya

Contoh 6:

Tentukanlah

Jawab:

Misalkan u = -4x maka du = -4 dx atau -1/4 du = dx

Sehingga,

=

Dengan Derive: Int(e-4x, x) enter, lalu klik tanda sama dengan.

75

Tugas Kelompok:

Gambarlah f(x) = x ex/2 dan turunannya menggunakan derive

Jelaskanlah berdasarkan gambar dimana fungsi naik, turun, cekung ke atas dan

cekung ke bawah.

76

Soal-Soal Latihan

Dalan soal-soal 1-5, carilah Dx

1.

2.

3.

4.

5.

Dalam soal-soal 6-7, Gambarlah f , f’, dan f” dalam satu jendela, berdasarkan

gambar dimana fungsi naik, turun, cekung ke atas dan cekung ke bawah?

6. f(x) = xex

7.

Dalam soal-soal 8-10, Carilah integral-integral berikut.

8.

9.

10.

11. Carilah volume benda putar yang terjadi apabila daerah yang dibatasi oleh

y = ex, y = 0, x = 0, dan x = ln(3) diputar mengelilingi sumbu-x.

12. Carilah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = e-x dan garis yang melalui

titik-titik (0, 1) dan (1, 1/e).

7.2.3. Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum

77

Dx ax = ax ln a, dan

Contoh 7:

Carilah Dx (3x)

Jawab:

Misalkan u = x

Dx (3x) = 3x ln 3.

Dengan Derive: Dif(3x, x) enter, lalu klik tanda sama dengan.

78

Definisi:

Untuk a > 0 dan sebarang bilangan real x.

ax = ex ln a

Contoh 8:

Carilah

Jawab:

Misalkan u = x3 maka du = 3x2 dx atau 1/3 du = x2 dx

Sehingga,

= 1/3 =

Dengan Derive: Int( ) enter, lalu klik tanda sama dengan.

Soal-Soal Latihan

79

Dalam soal-soal 1-5, Carilah turunan yang dibeikan

1. Dx(62x)

2.

3.

4.

5. f(x) = xsin(x)

Dalam soal-soal 6-10, Carilah integral yang diberikan.

6.

7.

8.

9.

10.

7.2.4. Fungsi Balikan Trigonometri

80

Dengan memperhatikan bahwa grafik fungsi balikan f-1 diperoleh dengan

mencerminkan f terhadap garis y = x maka pada fungsi trigonometri diperoleh

balikan sin(x), cos(x), tan(x), dan sec(x) adalah sebagai berikut.

Gambar 4. Sin(x) dan Inversnya

Gambar 5. Cos(x) dan Inversnya

81

y = sin(x); [ ]

y = cos(x); [ ]

y = sin-1(x); [-1, 1]

y = cos-1(x); [-1, 1]

Gambar. 6. Tan(x) dan Inversnya

Gambar 7. Sec(x) dan Inversnya

Tugas Kelompok:

82

y = tan(x); [ ]y = tan-1(x); [R]

y = sec-1(x); [R]

1. Buatlah definisi balikan dari sin(x), cos(x), tan(x), dan sekan(x).

2. Bagaimanakah hubungan grafik fungsi tersebut dengan fungsi inversnya?

3. Bagaimanakah hubungan grafik turunan fungsi tersebut dengan turunan fungsi

inversnya?

Turunan dari fungsi balikan trigonometri:

1. Dx sin-1(x) =

2. Dx cos-1(x) =

3. Dx tan-1(x) =

4. Dx sec-1(x) =

Selanjutnya,

1.

2.

3.

4.

Contoh 9:

Carilah Dx sin-1(3x-1)

83

Jawab:

Dx sin-1(3x-1) =

=

Dengan Derive: dif(Asin(3x-1),x) enter, lalu klik tanda sama dengan, hasilnya

adalah sebagai berikut.

Contoh 10:

Hitunglah

84

Jawab:

Dengan Derive: Int(1/(1-x2), x , 0, 1/2 ) enter, lalu klik tanda sama dengan.

Soal-Soal latihan

Dalam soal-soal 1-5, Carilah dy/dx

1. y = ln(sec(x) + tan(x))

85

2. y = sin-1(2x2)

3. y = x3tan-1(ex)

4. y = (tan-1(x))3

5. f(x) = (1+ sin-1(x))3

Dalam soal-soal 6-10, Carilah integral yang diberikan.

6.

7.

8.

9.

10.

7.2.5. Fungsi Hiperbola dan Balikan

86

Definisi:

Fungsi sinus hiperbolik, cosinus hiperbolik, dan empat fungsi terkait lainnya

didefinisikan oleh:

Turunan fungsi-fungsi hiperbolik:

Contoh 11:

Tentukanlah Dx tanh(sin(x))

Jawab:

Dx tanh(sin(x)) =

Atau

Misal u = sin(x) maka Dxsin(x) = cos(x)

Dx tanh(u) =

=

87

= , (dikalikan e2u)

=

Dengan Derive: Dif(tanh(sinx), x) enter, lalu klik tanda sama dengan.

Contoh 12:

Tentukanlah

Jawab:

Misalkan u = cosh(x) maka du = sinh dx

88

=

Cara mencari fungsi balikan y = cosh(x), untuk x 0 adalah:

, (dikalikan dengan ex)

,

Jadi penyelesaian persamaan kuadrat dalam ex yang memenuhi untuk x 0

adalah:

, (kedua ruas ditarik ln-nya)

Dengan Derive: Inverse(cosh(x)) enter, lalu klik tanda sama dengan.

89

Definisi:

Fungsi balikan fungsi hiperbolik didefinisikan oleh:

Tugas Kelompok:

Tunjukkan bahwa:

1.

2.

3.

4.

5. Carilah Dx dari masing-masing balikan fungsi hiperbolik tersebut

Soal-Soal Latihan:

90

Dalam soal-soal 1-5, Carilah dy/dx

1. y = sinh2(x)

2. y = cosh(3x +1)

3. y = ln(sinh(x))

4. y = tanh(x)sinh(2x)

5. y = tanh(cot(x))

Dalam soal-soal 6-10, Carilah integral yang diberikan.

6.

7.

8.

9.

10.

91