Post on 07-Jul-2018
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
1/33
31
BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL
6.1. Luas Daerah Bidang Datar
Daerah di atas sumbu-x. Andaikan y = f(x) menentukan persamaan sebuah
kurva di bidang-xy dan andaikan f kontinu dan tak negatif pada selang [a, b]. Luas
daerah R yang dibatasi oleh y = f(x), x = a, x = b, dan y = 0 adalah
A(R) = ∫
b
adx x f )(
Contoh 1:
Tentukanlah luas daerah R dibawah kurva y = x4 – 2x
3 + 2 di antara x = -1 dan
x = 2.
Jawab:
A(R) = dx x x )22(
2
1
34
∫−
+− = 21
45
]225
[ −−− x x x
= 1,510
51)2
2
1
5
1()4
2
16
5
32( ==−−−−+−
y = x4- 2x
3+ 2
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
2/33
32
Penyelesaian dengan Derive:
AreaUnderCurve(f(x), x, a, b, y) adalah menggambar daerah R yang dibatasi
grafik fungsi y = f(x) di atas sumbu-x di antara x = a dan x = b.
1. Tulislah: AreaUnderCurve(x4 – 2x
3 + 2, x, -1, 2, y), enter, sama dengan
2. Klik icon gambar
3. Tulislah: A(R):= int(x4 – 2x
3 + 2,x,-1,2), enter
4. Klik icon sama dengan, lalu aproksimasi.
Jadi luas daerah R adalah A(R) = 5,1
Daerah di bawah sumbu-x. Andaikan y = f(x) menentukan persamaan sebuah
kurva di bidang-xy dan andaikan f kontinu dan tak negatif pada selang [a, b]. Luas
daerah R yang dibatasi oleh y = f(x), x = a, x = b, dan y = 0 adalah
A(R) = ∫−b
a
dx x f )(
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
3/33
33
Contoh 2:
Tentukanlah luas daerah R dibawah kurva 43
2
−= x y di antara x = -2 dan x = 3.
Jawab:
A(R) = dx x
)43
(
3
2
2
−− ∫−
= 3 2
3
]49
[ −+− x x
= 11,169
145)89
8()129
27( ==−−+−
Penyelesaian dengan Derive:
AreaOverCurve(f(x), x, a, b, y) adalah menggambar daerah R yang dibatasi
grafik fungsi y = f(x) di bawah sumbu-x di antara x = a dan x = b.
1. Tulislah: AreaOverCurve( 43
2
− x
, x, -2, 3, y), enter
2.
Klik icon gambar
3. Tulislah: A(R):= int( 43
2
− x
, x, -2, 3), enter
4.
Klik icon sama dengan, lalu aproksimasi.
43
2
−= x
y
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
4/33
34
Jadi luas daerah R adalah A(R) = 145/9 = 16,11.
Daerah di kanan sumbu-y. Andaikan x = f(y) menentukan persamaan sebuah
kurva di bidang-xy dan andaikan f kontinu dan tak negatif pada selang [a, b]. Luas
daerah R yang dibatasi oleh x = f(y), y = a, y = b, dan x = 0 adalah
A(R) = ∫b
a
dy y f )(
Contoh 3:
Tentukanlah luas daerah R yang dibatasi oleh kurva x = y + cos(y) di antara y = 0
dan y = 3.
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
5/33
35
Jawab:
A(R) = ∫ +3
0
)cos( dy y y = 30
2
)]sin(2
[ y y
+
= )3sin(2
9+ = 4,50 + 0,1411 = 4,64
Penyelesaian dengan Derive:
AreaUnderCurve(f(y), y, a, b, x) adalah menggambar daerah R yang dibatasi
grafik fungsi x = f(y) di kanan sumbu-y di antara y = a dan y = b.
1. Tulislah: AreaUnderCurve(y + cos(y), y, 0, 3, x), enter
2. Klik icon gambar
3. Tulislah: A(R):= int(y + cos(y), y, 0, 3), enter
4.
Klik icon sama dengan, lalu aproksimasi.
x = y + cos(y)
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
6/33
36
Jadi luas daerah R adalah A(R) = 4,64
Daerah di kiri sumbu-y. Andaikan x = f(y) menentukan persamaan sebuah kurva
di bidang-xy dan andaikan f kontinu dan tak negatif pada selang [a, b]. Luas
daerah R yang dibatasi oleh x = f(y), y = a, y = b, dan x = 0 adalah
A(R) = - ∫b
a
dy y f )(
AreaOverCurve(f(y), y, a, b, x) adalah menggambar daerah R yang dibatasi
grafik fungsi x = f(y) di kiri sumbu-y di antara y = a dan y = b.
Contoh 4:
Tentukan luas daerah R yang dibatasi oleh y y x −= )cos( di antara y = 1 dan
y = 3 (lihat tugas kelompok)
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
7/33
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
8/33
38
3. Klik icon gambar
4.
Tulislah: A:= int(f(x)-g(x), x, 0, 1), enter
5. Klik icon sama dengan, lalu aproksimasi.
Jadi luas daerah di antara y = 2x – x2 dan y = x
4 adalah 0,47.
AreaBetweenCurves(f(y), g(y), y, a, b, x) adalah menggambar daerah R yang
dibatasi grafik fungsi x = f(y) dan x = g(y) di antara y = a dan y = b.
Tugas Kelompok
1.
Konstruksi langkah-langkah menentukan luas daerah R yang dibatasi oleh
y y x −= )cos( di antara y = 1 dan x = 3, Jawab: 2,47.
2.
Konstruksi langkah-langkah menentukan luas daerah R yang dibatasi oleh
3323 +−−= x x x y di antara x = -1 dan x = 2, Jawab: 23/4
3. Konstruksi langkah-langkah menentukan luas daerah R yang dibatasi oleh
kurva x y 42 = dan 434 =− y x . Jawab: 125/24
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
9/33
39
Soal-Soal Latihan
Gambarlah daerah yang dibatasi grafik persamaan-persamaan yang diketahui,
kemudian tentukanlah luas daerah yang terbentuk.
1. 2
3
13 x y −= , y = 0, di antara x = 0 dan x = 3
2. )2)(4( +−= x x y , y = 0, di antara x = 0 dan x = 3
3. )7(
4
1 2 −= x y , y = 0, di antara x = 0 dan x = 2
4. 3 x y = , y = 0, di antara x = -2 dan x = 2
5. )1)(3( +−= x x y , y = x
6. 22 ,2 x y x x y −=−=
7. 0,8 2 =−= x y y x
8.
04,22 =−−−= y x y y x
9. 01244,024 22 =−+=− x y x y
10. 02,,6 3 =+=+= x ydan x y x y
11. Tinjaulah kurva y =2
1
x untuk 1 ≤ x ≤ 6
(a)
Hitunglah luas dibawah kurva ini
(b) Tentukanlah c sedemikian sehingga garis x = c membagi dua luas pada (a)
sama besar
(c) Tentukanlah d sedemikian sehingga garis y = d membagi dua luas pada (a)
sama besar
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
10/33
40
6.2.
Volume Benda Putar
Apabila sebuah daerah rata, yang terletak seluruhnya pada satu sisi dari
sebuah garis tetap dalam bidangnya, diputar mengelilingi garis tersebut, daerah itu
akan membentuk sebuah benda putar. Garis tetap disebut sumbu benda putar.
Metode Cakram
Menentukan volume benda yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi kurva
y = f(x), x = a, x = b diputar mengelilingi sumbu-x dengan metode cakram adalah
V = ∫b
a
dx x f ))((2
π
Contoh 6:
Tentukanlah volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi oleh
kurva x y = , sumbu-x, dan garis x = 4 apabila R diputar mengelilingi sumbu-x.
Jawab:
V = ∫4
0
2))( dx xπ = ∫
4
0
. dx xπ
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
11/33
41
= 13,258)2
16(]
2[
4
0
2
=== π π π x
Penyelesaian dengan Derive
Cara 1:
Menggunakan rumus V= ∫b
a
dx x f 2
))((π
1. Menggambar daerah R: AreaUnderCurve( x , x, 0, 4, y) enter
2. Klik icon gambar
3. Deklarasikan: V:= )4,0,,int(. x xπ enter
4. Klik sama dengan, lalu klik aproksimasi
Jadi volume benda putar yang dibatasi oleh kurva x y = , sumbu-x, dan garis
y = 4 apabila R diputar mengelilingi sumbu-x adalah V = π 8 = 25,13.
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
12/33
42
Cara 2:
Volume_Of_Revolution(f(x), x, x1, x2) adalah menghitung volume daerah yang
dibatasi oleh y = f(x), sumbu-x, di antara x = x1 dan x = x2 di putar mengelilingi
sumbu-x.
1. Menggambar daerah R: AreaUnderCurve( x , x, 0, 4, y) enter
2. Klik icon gambar
3.
Tuliskan: VOLUME_OF_REVOLUTION( x , x, 0, 4) enter
4. Klik sama dengan, lalu aproksimasi
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
13/33
43
Menentukan volume benda yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi kurva
x = f(y), y = a, y = b diputar mengelilingi sumbu-y adalah
V = ∫b
a
dx y f ))((2
π
Contoh 6:
Tentukanlah volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi oleh
kurva 3 x y = , sumbu-y, dan garis y = 3 apabila R diputar mengelilingi sumbu-y.
Jawab:
V = ∫4
0
23 )( dx yπ = ∫4
0
3 / 2. dx yπ
= 76,115
9.9)
2
16(]
5
3[
3
303 / 5 === π π π y
Penyelesaian dengan Derive
Cara 1:
Menggunakan rumus V= ∫b
a
dx y f 2))((π
1.
Menggambar daerah R: AreaUnderCurve( 3 y , y, 0, 3, x) enter
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
14/33
44
2. Klik icon gambar
3.
Deklarasikan: V:= )3,0,,int(. 3 / 2 y yπ enter
4. Klik sama dengan, lalu klik aproksimasi
Cara 2:
Volume_Of_Revolution(f(y), y, y1, y2) adalah menghitung volume daerah yang
dibatasi oleh x = f(y), sumbu-y, di antara y = y1 dan y = y2 di putar mengelilingi
sumbu-y.
1. Menggambar daerah R: AreaUnderCurve(y1/3
, y, 0, 3, x) enter
2. Klik icon gambar
3. Tuliskan: VOLUME_OF_REVOLUTION(y1/3
, y, 0, 3) enter
4.
Klik sama dengan, lalu aproksimasi
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
15/33
45
Metode Cincin.
Menentukan volume benda yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi kurva
y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) ≥ g(x) diantara x = a, x = b diputar mengelilingi
sumbu-x dengan metode cincin adalah
V = ∫ −b
a
dx xg x f ))()(( 22π
Contoh 7:
Tentukanlah volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi oleh
kurva 2 x y = dan x y 82 = diputar mengelilingi sumbu-x.
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
16/33
46
Jawab:
V = ∫ −2
0
4 )8( dx x xπ = 16,305
48]
52
8[ 20
52
==− π
π x x
Penyelesaian dengan Derive
Menggunakan rumus V=
∫ −
b
a
dx xg x f 22 )()((π :
1. Deklarasikan f(x): x8 dan g(x): = x2
2. Tulislah: AreaBetweenCurves( x8 , x2, x, 0, 2, y)
3. Klik icon gambar
4. Deklarasikan: V:= )2,0,,)()(int(. 22 x xg x f −π enter
5.
Klik sama dengan, lalu klik aproksimasi
y = x2
y2 = 8x
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
17/33
47
Jadi volume benda putar yang dibatasi oleh kurva x y 8= dan 2 x y =
mengelilingi sumbu-x adalah V = 48 /5 = 30,16.
Tugas Kelompok:
1. Konstruksilah langkah-langkah mencari volume benda putar yang dibentuk
oleh daerah R yang dibatasi oleh kurva 2 y x = , sumbu-y, dan garis y = 2
apabila R diputar mengelilingi sumbu-y.
2. Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R
diputar mengelilingi sumbu-y (Metode Kulit Tabung).
Gunakan:
a. Rumus V = ∫ dx x f )(.2π
b.
VOLUMEY_OF_REVOLUTION (y, x, 0, 4)
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
18/33
48
3. Konstruksilah langkah-langkah mencari volume benda putar dengan metode
kulit tabung diputar mengelilingi sumbu y = c, c konstan.
(Gunakan: rumus V= ∫ −b
a
dx y xc )(2π )
4. Konstruksilah langkah-langkah mencari volume benda putar yang dibentuk
oleh daerah R yang dibatasi oleh kurva 2 x y = dan x y 82 = mengelilingi
sumbu-y.
Soal-Soal Latihan
Dalam soal-soal (1-5) gambarlah daerah R yang dibatasi oleh grafik persamaan,
kemudian tentukan volume benda putar yang terbentuk apabila R diputar
mengelilingi sumbu-x.
1. 0,4,2
=== y x x
yπ
2. 0,4,2,1
==== y x x x
y
3. 0,4,2,9 2 ==−=−= y x x x y
4. 1,0,2 === y x y x
5. 0,4,0,1 ===+= y y x y x
Dalam soal-soal (4-6) gambarlah daerah R yang dibatasi oleh grafik persamaan,
kemudian tentukan volume benda putar yang terbentuk apabila R diputar
mengelilingi sumbu-y.
6. 3,0,2 === y x y x
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
19/33
49
7. 4,0,2 === y x y x
8.
9,0,2 / 3 === y x y x
9. 0,4,1,1
==== y x x x
y
10. 0,3, === y x x y
Dalam soal-soal (11-14) gambarlah daerah R yang dibatasi oleh grafik persamaan,
kemudian tentukan volume benda putar yang terbentuk apabila R diputar
mengelilingi garis yang diberikan.
11. 0,5, === y x x y mengelilingi garis x = 5
12. 0,0),0(9 2 ==≥−= y x x x y mengelilingi garis x = 3
13. 2,0,2 === y x y x mengelilingi garis y = 2
14.
2,0,0,12 ===+= y y x y x mengelilingi garis y = 3
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
20/33
50
6.3. Panjang Kurva Bidang dan Luas Permukaan Benda Putar
Panjang Kurva
Kurva bidang ditentukan sepasang persamaan parametrik x = f(t), y = g(t),
a ≤ t ≤ b, dengan fungsi f dan g kontinu pada selang tersebut. Anggp t
menyatakan waktu, apabila t bertambah dari a ke b maka (x, y) menyelusuri suatu
kurva di bidang.
Rumus panjang kurva:
∫ +=b
a
dt t gt f L22 )(')(' ; bentuk parametrik x = f(t), y = g(t), dan a ≤ t ≤ b.
Contoh 8:
Carilah panjang kurva x = 3 t2 +2, y = 2 t
3-
2
1 dengan 1 ≤ t ≤ 4
Jawab:
dx/dt = 6t, dy/dt = 6t2
∫ +=b
a
dt t gt f L22 )(')(' = ∫ +
4
1
222 )6()6( dt t t
= 6 ∫ +4
1
42dt t t = 6 ∫ +
4
1
21 dt t t
Misalkan u = 1 + t2 maka du = 2t dt
Untuk t = 1 diperoleh u = 2 dan t = 4 diperoleh u =17
Sehingga:
6 ∫ +4
1
21 dt t t = 3 ∫17
2
duu = 1722 / 3 ][2 u = 2(17
3/2-2
3/2) = 134,53
Jadi panjang kuva adalah 134,54 satuan panjang
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
21/33
51
PARA_ARC_LENGTH(v, t, a, b) adalah menghitung panjang kurva bentuk
parametrik bentuk vektor v = [x(t), y(t)] dengan a ≤ t ≤ b.
Cara 1 (menggunakan PARA_ARC_LENGTH(v, t, a, b):
1. Tulislah: PARA_ARC_LENGTH([3t2 + 2 , 2 t
3-1/2], t, 1, 4) enter.
2. Klik sama dengan, lalu aproksimasi
Cara 2 (menggunakan rumus):
1.
Deklarasikan: f(t):= dif(3t2 + 2, t) dan g(t):= dif(2 t3 – 1/2, t)
2. Deklarasikan: L:=int(√(f(t)2 + g(t)2), t, 1, 4). Klik sama dengan, lalu
aproksimasi
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
22/33
52
Rumus panjang kurva:
∫ +=b
a
dx x f L2)('1 ; bentuk y = f(x), dan a ≤ x ≤ b.
Contoh 9:
Carilah panjang kurva 2 / 3 x y = dari titik (1,1) ke titik (4,8).
Jawab:
dy/dx = 2 / 1
2
3 x
∫ +=b
a
dx x f L2)('1 = ∫ +
4
1
22 / 1 )2
3(1 dx x = ∫ +
4
14
91 dx x
Misal u = 1 + 9/4 x maka du = 9/4 dx
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
23/33
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
24/33
54
2. Deklarasikan: L:=int(√(1 + (f(x))2), x, 1, 4)
3.
Klik sama dengan, lalu aproksimasi
Tugas Kelompok::
Selesaikan contoh 9 dengan menggunakan:
a. Rumus: ∫ +=b
a
dy y f L2
)('1 ; bentuk x = f(y), dan a ≤ y ≤ b.
b. Konstruksi dengan Derive
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
25/33
55
Luas Permukaan Benda Putar
Rumus luas permukaan benda putar:
∫ +=b
a
dt t gt f t g A22 )(')(')(2π ; bentuk parametrik x = f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b
diputar mengelilingi sumbu-x.
∫ +=b
a
dx x f x f A2
)('1)(2π ; bentuk y = f(x), dan a ≤ x ≤ b diputar mengelilingi
sumbu-x.
Area_Of_Revolution(f(x), x, a, b) adalah menghitung luas permukaan bila
y = f(x) antara x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu-x.
Areay_Of_Revolution(f(x), x, a, b) adalah menghitung luas permukaan bila
y = f(x) antara x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu-y.
Contoh 10:
Carilah luas permukaan benda putar bila kurva x y = , 0 ≤ x ≤ 4 diputar
mengelilingi sumbu-x.
Jawab:
dy/dx = 1/2√x
∫ +=b
a
dx x f x f A2
)('1)(2π = ∫ +4
0
2)2
1(12 dx
x xπ = ∫ +
4
0
14 dx xπ
= 18,36])14(3
2.
4
1.[ 40
2 / 3 =+ xπ
Penyelesaian dengan Derive:
Cara 1 (menggunakan Area_Of_Revolution(f(x), x, a, b) ):
1.
Tulislah: Area_Of_Revolution(√, x, 0, 4) enter.
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
26/33
56
2. Klik sama dengan, lalu aproksimasi
Jadi luas permukaan benda putar adalah 36,18
Cara 2 (menggunakan rumus):
1. Deklarasikan: f(x):=√x enter
2. Deklarasikan: g(x):=dif(f(x), x) enter
3. Deklarasikan: A(R):= 2π.int(√(1 + (g(x))2), x, 0, 4)
4.
Klik sama dengan, lalu aproksimasi
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
27/33
57
Tugas Kelompok:
1. Konstruksilah langkah-langkah mencari panjang kurva x = y2; 0 ≤ y ≤ 2 dalam
dua cara.
2. Konstruksilah langkah-langkah mencari luas permukaan benda putar bila
kurva 2 / 3 x y = , 1 ≤ x ≤ 4 diputar mengelilingi sumbu-y dalam dua cara.
3. Konstruksilah langkah-langkah mencari luas permukaan benda putar bila
kurva )cos(2 t x = )sin(4 t y = , -2 ≤ t ≤ 2 diputar mengelilingi sumbu-x.
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
28/33
58
Soal-soal Latihan
Carilah panjang kurva-kuva yang diberikan
1. 31,2 =−== xdan xdiantara x y
2. π 20),sin( === xdan xdiantara x y
3. 31,32 ==+= xdan xdiantara x y
4. 53 / 1,4 2 / 3 === xdan xdiantara x y
5.
81,)4( 2 / 33 / 2 ==−= xdan xdiantara x y
6. 32,2
1
16 2
4
−=−=+= ydan ydiantara y
y x
7. π 20),sin( === ydan ydiantara y x
8. 10;2
,2
3 ≤≤== t t
yt x
9. π ≤≤−== t t yt x 0;5)cos(4),sin(4
10. π 20);(cos),(sin 33 ≤≤== t t a yt a x
Carilah luas permukaan benda putar yang terbentuk bila kurva-kurva:
11. xsumbugimengelilin x x y −≤≤= 10,6
12.
ysumbugimengelilin x x y −≤≤=10,6
13. xsumbugimengelilin x x y −≤≤= 71,3 / 3
14. ysumbugimengelilin x x y −≤≤= 71,3 / 3
15. xsumbugimengelilin xt yt x −≤≤== 10,, 3
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
29/33
59
6.4. Momen dan Pusat Massa
Momen
Hasil kali massa m suatu partikel dengan jarak berarahnya dari suatu titik
(lengan tuas) dinamakan momen partikel terhadap titik tersebut. Dengan kata lain
Momen = panjang lengan tuas kali massa atau ∑= m x M
m
∆ x
Gambar 1.
Jadi,
∑
∑
=
===n
i
i
n
i
ii
m
m x
m
M x
1
1
Titik x dinamakan pusat massa (titik kesetimbangan)
Contoh 11:
Massa sebesar 4, 2, 6, dan 7 kilogram masing-masing diletakkan pada titik-titik
0, 1, 2, dan 4 sepanjang sumbu-x. Carilah pusat massanya.
Jawab:
21,219
42
7624
)7)(4()6)(2()2)(1()4)(0(==
++++++= x
Distribusi massa yang kontinu sepanjang kawat dengan kepadatan di x adalah δ(x)
adalah
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
30/33
60
∫
∫== b
a
b
a
dx x
dx x x
m
M x
)(
)(
δ
δ
Contoh 12:
Kepadatan δ(x) sepotong kawat di titik yang terletak x sentimeter dari salah satu
ujungnya adalah δ(x) = 3x2 gram/sentimeter. Tentukan pusat massa kawat antara
x = 0 dan x = 10.
Jawab:
cm
dx x
dx x x
xb
a
b
a 5,71000
7500
3
3.
2
2
===
∫
∫
Tugas: Hitung contoh 12 di atas menggunakan derive
Pusat Massa (centroid)
Area_Centroid(x, a, b, y, f(x), g(x)) adalah untuk menghitung pusat massa
daerah R yang dibatasi oleh a ≤ x ≤ b dengan y = f(x) dan y = g(x).
Contoh 13: Tentukanlah pusat massa daerah R yang dibatasi oleh 0 ≤ x ≤ 1,
y = √x, dan y = x3.
Penyelesaian dengan Derive:
1. Gambar daerah R: AreaBetweenCurves(√x, x3, x, 0, 1, y)
2. Gambar pusat massa: Area_Centroid(x, 0, 1, y, (√x, x3)
3. Klik sama dengan, lalu aproksimasi
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
31/33
61
Jadi pusat massa daerah R adalah (0,48; 0,43)
Tugas:
Hitunglah contoh 13 di atas dengan menggunakan rumus:
∫
∫
−
−
=b
a
b
a
dx xg x f
dx xg x f x
x
)()([
)]()([
∫
∫
−
−
=b
a
b
a
dx xg x f
dx xg x f x
y
)()([
])()([ 22
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
32/33
62
Soal-Saol Latihan
1. Partikel-partikel bermassa m1 = 5, m2 = 7, dan m3 = 9 terletak di x1 = 2,
x2 = -2, dan m3 = 1 sepanjang suatu garis. Carilah pusat massanya.
2. Feni dan Wati beratnya masing-masing 25 dan 15 kilogram duduk pada ujung-
ujung papan yang panjangnya 3 meter dengan titik tumpu di tengah-tengah
papan. Dimanakah Ari dengan berat 10 kilogram harus duduk agar papan
tersebut dalam keadaan setimbang?
3. Sepotong kawat lurus panjangnya 7 satuan mempunyai kepadatan δ(x) = √x
pada sebuah titik yang jauhnya x-satuan dari salah satu ujungnya. Tentukan
jarak dari ujung ini ke pusat massa kawat.
Dalam soal-soal 4-5, Massa-massa dan koordinat-koordinat suatu sistem partikel
dalam bidang koordinat diberikan. Tentukanlah momen dan pusat massanya.
4. 2, (1,1); 3, (7,1); 4, (-2,-5); 6, (-1,0); 2, (4,6)
5. 5, (-3,2); 6, (-2,-2); 2, (3,5); 7, (4,3); 1, (7,-1)
Dalam soal-soal 6-8, Carilah centroid daerah yang dilingkupi oleh kurva yang
diberikan dan buatlah grafiknya.
6.
0,22
=−= y x y
7. 1,0,3 === x y x y
8. 1,2,42 ==−= x x y x y
9. Untuk setiap lamina homogen R1 dan R2 yang ditunjukkan dalam gambar,
carilah m, Mx, My, ydan x, .
8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf
33/33
63
10.
Untuk lamina homogen R yang ditunjukkan dalam gambar, carilah m, Mx, My,
ydan x, .