bab-6-penerapan-integral.pdf

8/18/2019 bab-6-penerapan-integral.pdf

1/33

31

BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL

6.1. Luas Daerah Bidang Datar

Daerah di atas sumbu-x. Andaikan y = f(x) menentukan persamaan sebuah

kurva di bidang-xy dan andaikan f kontinu dan tak negatif pada selang [a, b]. Luas

daerah R yang dibatasi oleh y = f(x), x = a, x = b, dan y = 0 adalah

A(R) = ∫

b

adx x f )(

Contoh 1:

Tentukanlah luas daerah R dibawah kurva y = x4 – 2x

3 + 2 di antara x = -1 dan

x = 2.

Jawab:

A(R) = dx x x )22(

2

1

34

∫−

+− = 21

45

]225

[ −−− x x x

= 1,510

51)2

2

1

5

1()4

2

16

5

32( ==−−−−+−

y = x4- 2x

3+ 2


2/33

32

Penyelesaian dengan Derive:

AreaUnderCurve(f(x), x, a, b, y) adalah menggambar daerah R yang dibatasi

grafik fungsi y = f(x) di atas sumbu-x di antara x = a dan x = b.

1. Tulislah: AreaUnderCurve(x4 – 2x

3 + 2, x, -1, 2, y), enter, sama dengan

2. Klik icon gambar

3. Tulislah: A(R):= int(x4 – 2x

3 + 2,x,-1,2), enter

4. Klik icon sama dengan, lalu aproksimasi.

Jadi luas daerah R adalah A(R) = 5,1

Daerah di bawah sumbu-x. Andaikan y = f(x) menentukan persamaan sebuah


daerah R yang dibatasi oleh y = f(x), x = a, x = b, dan y = 0 adalah

A(R) = ∫−b

a

dx x f )(


3/33

33

Contoh 2:

Tentukanlah luas daerah R dibawah kurva 43

2

−= x y di antara x = -2 dan x = 3.

Jawab:

A(R) = dx x

)43

(

3

2

2

−− ∫−

= 3 2

3

]49

[ −+− x x

= 11,169

145)89

8()129

27( ==−−+−


AreaOverCurve(f(x), x, a, b, y) adalah menggambar daerah R yang dibatasi

grafik fungsi y = f(x) di bawah sumbu-x di antara x = a dan x = b.

1. Tulislah: AreaOverCurve( 43

2

− x

, x, -2, 3, y), enter

2.

Klik icon gambar

3. Tulislah: A(R):= int( 43

2

− x

, x, -2, 3), enter

4.

Klik icon sama dengan, lalu aproksimasi.

43

2

−= x

y


4/33

34

Jadi luas daerah R adalah A(R) = 145/9 = 16,11.

Daerah di kanan sumbu-y. Andaikan x = f(y) menentukan persamaan sebuah


daerah R yang dibatasi oleh x = f(y), y = a, y = b, dan x = 0 adalah

A(R) = ∫b

a

dy y f )(

Contoh 3:

Tentukanlah luas daerah R yang dibatasi oleh kurva x = y + cos(y) di antara y = 0

dan y = 3.


5/33

35

Jawab:

A(R) = ∫ +3

0

)cos( dy y y = 30

2

)]sin(2

[ y y

+

= )3sin(2

9+ = 4,50 + 0,1411 = 4,64


AreaUnderCurve(f(y), y, a, b, x) adalah menggambar daerah R yang dibatasi

grafik fungsi x = f(y) di kanan sumbu-y di antara y = a dan y = b.

1. Tulislah: AreaUnderCurve(y + cos(y), y, 0, 3, x), enter

2. Klik icon gambar

3. Tulislah: A(R):= int(y + cos(y), y, 0, 3), enter

4.

Klik icon sama dengan, lalu aproksimasi.

x = y + cos(y)


6/33

36

Jadi luas daerah R adalah A(R) = 4,64

Daerah di kiri sumbu-y. Andaikan x = f(y) menentukan persamaan sebuah kurva

di bidang-xy dan andaikan f kontinu dan tak negatif pada selang [a, b]. Luas

daerah R yang dibatasi oleh x = f(y), y = a, y = b, dan x = 0 adalah

A(R) = - ∫b

a

dy y f )(

AreaOverCurve(f(y), y, a, b, x) adalah menggambar daerah R yang dibatasi

grafik fungsi x = f(y) di kiri sumbu-y di antara y = a dan y = b.

Contoh 4:

Tentukan luas daerah R yang dibatasi oleh y y x −= )cos( di antara y = 1 dan

y = 3 (lihat tugas kelompok)


7/33


8/33

38

3. Klik icon gambar

4.

Tulislah: A:= int(f(x)-g(x), x, 0, 1), enter

5. Klik icon sama dengan, lalu aproksimasi.

Jadi luas daerah di antara y = 2x – x2 dan y = x

4 adalah 0,47.

AreaBetweenCurves(f(y), g(y), y, a, b, x) adalah menggambar daerah R yang

dibatasi grafik fungsi x = f(y) dan x = g(y) di antara y = a dan y = b.

Tugas Kelompok

1.

Konstruksi langkah-langkah menentukan luas daerah R yang dibatasi oleh

y y x −= )cos( di antara y = 1 dan x = 3, Jawab: 2,47.

2.

Konstruksi langkah-langkah menentukan luas daerah R yang dibatasi oleh

3323 +−−= x x x y di antara x = -1 dan x = 2, Jawab: 23/4

3. Konstruksi langkah-langkah menentukan luas daerah R yang dibatasi oleh

kurva x y 42 = dan 434 =− y x . Jawab: 125/24


9/33

39

Soal-Soal Latihan

Gambarlah daerah yang dibatasi grafik persamaan-persamaan yang diketahui,

kemudian tentukanlah luas daerah yang terbentuk.

1. 2

3

13 x y −= , y = 0, di antara x = 0 dan x = 3

2. )2)(4( +−= x x y , y = 0, di antara x = 0 dan x = 3

3. )7(

4

1 2 −= x y , y = 0, di antara x = 0 dan x = 2

4. 3 x y = , y = 0, di antara x = -2 dan x = 2

5. )1)(3( +−= x x y , y = x

6. 22 ,2 x y x x y −=−=

7. 0,8 2 =−= x y y x

8.

04,22 =−−−= y x y y x

9. 01244,024 22 =−+=− x y x y

10. 02,,6 3 =+=+= x ydan x y x y

11. Tinjaulah kurva y =2

1

x untuk 1 ≤ x ≤ 6

(a)

Hitunglah luas dibawah kurva ini

(b) Tentukanlah c sedemikian sehingga garis x = c membagi dua luas pada (a)

sama besar

(c) Tentukanlah d sedemikian sehingga garis y = d membagi dua luas pada (a)

sama besar


10/33

40

6.2.

Volume Benda Putar

Apabila sebuah daerah rata, yang terletak seluruhnya pada satu sisi dari

sebuah garis tetap dalam bidangnya, diputar mengelilingi garis tersebut, daerah itu

akan membentuk sebuah benda putar. Garis tetap disebut sumbu benda putar.

Metode Cakram

Menentukan volume benda yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi kurva

y = f(x), x = a, x = b diputar mengelilingi sumbu-x dengan metode cakram adalah

V = ∫b

a

dx x f ))((2

π

Contoh 6:

Tentukanlah volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi oleh

kurva x y = , sumbu-x, dan garis x = 4 apabila R diputar mengelilingi sumbu-x.

Jawab:

V = ∫4

0

2))( dx xπ = ∫

4

0

. dx xπ


11/33

41

= 13,258)2

16(]

2[

4

0

2

=== π π π x

Penyelesaian dengan Derive

Cara 1:

Menggunakan rumus V= ∫b

a

dx x f 2

))((π

1. Menggambar daerah R: AreaUnderCurve( x , x, 0, 4, y) enter

2. Klik icon gambar

3. Deklarasikan: V:= )4,0,,int(. x xπ enter

4. Klik sama dengan, lalu klik aproksimasi

Jadi volume benda putar yang dibatasi oleh kurva x y = , sumbu-x, dan garis

y = 4 apabila R diputar mengelilingi sumbu-x adalah V = π 8 = 25,13.


12/33

42

Cara 2:

Volume_Of_Revolution(f(x), x, x1, x2) adalah menghitung volume daerah yang

dibatasi oleh y = f(x), sumbu-x, di antara x = x1 dan x = x2 di putar mengelilingi

sumbu-x.

1. Menggambar daerah R: AreaUnderCurve( x , x, 0, 4, y) enter

2. Klik icon gambar

3.

Tuliskan: VOLUME_OF_REVOLUTION( x , x, 0, 4) enter

4. Klik sama dengan, lalu aproksimasi


13/33

43


x = f(y), y = a, y = b diputar mengelilingi sumbu-y adalah

V = ∫b

a

dx y f ))((2

π

Contoh 6:


kurva 3 x y = , sumbu-y, dan garis y = 3 apabila R diputar mengelilingi sumbu-y.

Jawab:

V = ∫4

0

23 )( dx yπ = ∫4

0

3 / 2. dx yπ

= 76,115

9.9)

2

16(]

5

3[

3

303 / 5 === π π π y


Cara 1:

Menggunakan rumus V= ∫b

a

dx y f 2))((π

1.

Menggambar daerah R: AreaUnderCurve( 3 y , y, 0, 3, x) enter


14/33

44

2. Klik icon gambar

3.

Deklarasikan: V:= )3,0,,int(. 3 / 2 y yπ enter

4. Klik sama dengan, lalu klik aproksimasi

Cara 2:

Volume_Of_Revolution(f(y), y, y1, y2) adalah menghitung volume daerah yang

dibatasi oleh x = f(y), sumbu-y, di antara y = y1 dan y = y2 di putar mengelilingi

sumbu-y.

1. Menggambar daerah R: AreaUnderCurve(y1/3

, y, 0, 3, x) enter

2. Klik icon gambar

3. Tuliskan: VOLUME_OF_REVOLUTION(y1/3

, y, 0, 3) enter

4.

Klik sama dengan, lalu aproksimasi


15/33

45

Metode Cincin.


y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) ≥ g(x) diantara x = a, x = b diputar mengelilingi

sumbu-x dengan metode cincin adalah

V = ∫ −b

a

dx xg x f ))()(( 22π

Contoh 7:


kurva 2 x y = dan x y 82 = diputar mengelilingi sumbu-x.


16/33

46

Jawab:

V = ∫ −2

0

4 )8( dx x xπ = 16,305

48]

52

8[ 20

52

==− π

π x x


Menggunakan rumus V=

∫ −

b

a

dx xg x f 22 )()((π :

1. Deklarasikan f(x): x8 dan g(x): = x2

2. Tulislah: AreaBetweenCurves( x8 , x2, x, 0, 2, y)

3. Klik icon gambar

4. Deklarasikan: V:= )2,0,,)()(int(. 22 x xg x f −π enter

5.

Klik sama dengan, lalu klik aproksimasi

y = x2

y2 = 8x


17/33

47

Jadi volume benda putar yang dibatasi oleh kurva x y 8= dan 2 x y =

mengelilingi sumbu-x adalah V = 48 /5 = 30,16.

Tugas Kelompok:

1. Konstruksilah langkah-langkah mencari volume benda putar yang dibentuk

oleh daerah R yang dibatasi oleh kurva 2 y x = , sumbu-y, dan garis y = 2

apabila R diputar mengelilingi sumbu-y.

2. Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R

diputar mengelilingi sumbu-y (Metode Kulit Tabung).

Gunakan:

a. Rumus V = ∫ dx x f )(.2π

b.

VOLUMEY_OF_REVOLUTION (y, x, 0, 4)


18/33

48

3. Konstruksilah langkah-langkah mencari volume benda putar dengan metode

kulit tabung diputar mengelilingi sumbu y = c, c konstan.

(Gunakan: rumus V= ∫ −b

a

dx y xc )(2π )

4. Konstruksilah langkah-langkah mencari volume benda putar yang dibentuk

oleh daerah R yang dibatasi oleh kurva 2 x y = dan x y 82 = mengelilingi

sumbu-y.

Soal-Soal Latihan

Dalam soal-soal (1-5) gambarlah daerah R yang dibatasi oleh grafik persamaan,

kemudian tentukan volume benda putar yang terbentuk apabila R diputar

mengelilingi sumbu-x.

1. 0,4,2

=== y x x

yπ

2. 0,4,2,1

==== y x x x

y

3. 0,4,2,9 2 ==−=−= y x x x y

4. 1,0,2 === y x y x

5. 0,4,0,1 ===+= y y x y x



mengelilingi sumbu-y.

6. 3,0,2 === y x y x


19/33

49

7. 4,0,2 === y x y x

8.

9,0,2 / 3 === y x y x

9. 0,4,1,1

==== y x x x

y

10. 0,3, === y x x y



mengelilingi garis yang diberikan.

11. 0,5, === y x x y mengelilingi garis x = 5

12. 0,0),0(9 2 ==≥−= y x x x y mengelilingi garis x = 3

13. 2,0,2 === y x y x mengelilingi garis y = 2

14.

2,0,0,12 ===+= y y x y x mengelilingi garis y = 3


20/33

50

6.3. Panjang Kurva Bidang dan Luas Permukaan Benda Putar

Panjang Kurva

Kurva bidang ditentukan sepasang persamaan parametrik x = f(t), y = g(t),

a ≤ t ≤ b, dengan fungsi f dan g kontinu pada selang tersebut. Anggp t

menyatakan waktu, apabila t bertambah dari a ke b maka (x, y) menyelusuri suatu

kurva di bidang.

Rumus panjang kurva:

∫ +=b

a

dt t gt f L22 )(')(' ; bentuk parametrik x = f(t), y = g(t), dan a ≤ t ≤ b.

Contoh 8:

Carilah panjang kurva x = 3 t2 +2, y = 2 t

3-

2

1 dengan 1 ≤ t ≤ 4

Jawab:

dx/dt = 6t, dy/dt = 6t2

∫ +=b

a

dt t gt f L22 )(')(' = ∫ +

4

1

222 )6()6( dt t t

= 6 ∫ +4

1

42dt t t = 6 ∫ +

4

1

21 dt t t

Misalkan u = 1 + t2 maka du = 2t dt

Untuk t = 1 diperoleh u = 2 dan t = 4 diperoleh u =17

Sehingga:

6 ∫ +4

1

21 dt t t = 3 ∫17

2

duu = 1722 / 3 ][2 u = 2(17

3/2-2

3/2) = 134,53

Jadi panjang kuva adalah 134,54 satuan panjang


21/33

51

PARA_ARC_LENGTH(v, t, a, b) adalah menghitung panjang kurva bentuk

parametrik bentuk vektor v = [x(t), y(t)] dengan a ≤ t ≤ b.

Cara 1 (menggunakan PARA_ARC_LENGTH(v, t, a, b):

1. Tulislah: PARA_ARC_LENGTH([3t2 + 2 , 2 t

3-1/2], t, 1, 4) enter.


Cara 2 (menggunakan rumus):

1.

Deklarasikan: f(t):= dif(3t2 + 2, t) dan g(t):= dif(2 t3 – 1/2, t)

2. Deklarasikan: L:=int(√(f(t)2 + g(t)2), t, 1, 4). Klik sama dengan, lalu

aproksimasi


22/33

52

Rumus panjang kurva:

∫ +=b

a

dx x f L2)('1 ; bentuk y = f(x), dan a ≤ x ≤ b.

Contoh 9:

Carilah panjang kurva 2 / 3 x y = dari titik (1,1) ke titik (4,8).

Jawab:

dy/dx = 2 / 1

2

3 x

∫ +=b

a

dx x f L2)('1 = ∫ +

4

1

22 / 1 )2

3(1 dx x = ∫ +

4

14

91 dx x

Misal u = 1 + 9/4 x maka du = 9/4 dx


23/33


24/33

54

2. Deklarasikan: L:=int(√(1 + (f(x))2), x, 1, 4)

3.


Tugas Kelompok::

Selesaikan contoh 9 dengan menggunakan:

a. Rumus: ∫ +=b

a

dy y f L2

)('1 ; bentuk x = f(y), dan a ≤ y ≤ b.

b. Konstruksi dengan Derive


25/33

55

Luas Permukaan Benda Putar

Rumus luas permukaan benda putar:

∫ +=b

a

dt t gt f t g A22 )(')(')(2π ; bentuk parametrik x = f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b

diputar mengelilingi sumbu-x.

∫ +=b

a

dx x f x f A2

)('1)(2π ; bentuk y = f(x), dan a ≤ x ≤ b diputar mengelilingi

sumbu-x.

Area_Of_Revolution(f(x), x, a, b) adalah menghitung luas permukaan bila

y = f(x) antara x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu-x.

Areay_Of_Revolution(f(x), x, a, b) adalah menghitung luas permukaan bila

y = f(x) antara x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu-y.

Contoh 10:

Carilah luas permukaan benda putar bila kurva x y = , 0 ≤ x ≤ 4 diputar

mengelilingi sumbu-x.

Jawab:

dy/dx = 1/2√x

∫ +=b

a

dx x f x f A2

)('1)(2π = ∫ +4

0

2)2

1(12 dx

x xπ = ∫ +

4

0

14 dx xπ

= 18,36])14(3

2.

4

1.[ 40

2 / 3 =+ xπ


Cara 1 (menggunakan Area_Of_Revolution(f(x), x, a, b) ):

1.

Tulislah: Area_Of_Revolution(√, x, 0, 4) enter.


26/33

56


Jadi luas permukaan benda putar adalah 36,18

Cara 2 (menggunakan rumus):

1. Deklarasikan: f(x):=√x enter

2. Deklarasikan: g(x):=dif(f(x), x) enter

3. Deklarasikan: A(R):= 2π.int(√(1 + (g(x))2), x, 0, 4)

4.



27/33

57

Tugas Kelompok:

1. Konstruksilah langkah-langkah mencari panjang kurva x = y2; 0 ≤ y ≤ 2 dalam

dua cara.

2. Konstruksilah langkah-langkah mencari luas permukaan benda putar bila

kurva 2 / 3 x y = , 1 ≤ x ≤ 4 diputar mengelilingi sumbu-y dalam dua cara.

3. Konstruksilah langkah-langkah mencari luas permukaan benda putar bila

kurva )cos(2 t x = )sin(4 t y = , -2 ≤ t ≤ 2 diputar mengelilingi sumbu-x.


28/33

58

Soal-soal Latihan

Carilah panjang kurva-kuva yang diberikan

1. 31,2 =−== xdan xdiantara x y

2. π 20),sin( === xdan xdiantara x y

3. 31,32 ==+= xdan xdiantara x y

4. 53 / 1,4 2 / 3 === xdan xdiantara x y

5.

81,)4( 2 / 33 / 2 ==−= xdan xdiantara x y

6. 32,2

1

16 2

4

−=−=+= ydan ydiantara y

y x

7. π 20),sin( === ydan ydiantara y x

8. 10;2

,2

3 ≤≤== t t

yt x

9. π ≤≤−== t t yt x 0;5)cos(4),sin(4

10. π 20);(cos),(sin 33 ≤≤== t t a yt a x

Carilah luas permukaan benda putar yang terbentuk bila kurva-kurva:

11. xsumbugimengelilin x x y −≤≤= 10,6

12.

ysumbugimengelilin x x y −≤≤=10,6

13. xsumbugimengelilin x x y −≤≤= 71,3 / 3

14. ysumbugimengelilin x x y −≤≤= 71,3 / 3

15. xsumbugimengelilin xt yt x −≤≤== 10,, 3


29/33

59

6.4. Momen dan Pusat Massa

Momen

Hasil kali massa m suatu partikel dengan jarak berarahnya dari suatu titik

(lengan tuas) dinamakan momen partikel terhadap titik tersebut. Dengan kata lain

Momen = panjang lengan tuas kali massa atau ∑= m x M

m

∆ x

Gambar 1.

Jadi,

∑

∑

=

===n

i

i

n

i

ii

m

m x

m

M x

1

1

Titik x dinamakan pusat massa (titik kesetimbangan)

Contoh 11:

Massa sebesar 4, 2, 6, dan 7 kilogram masing-masing diletakkan pada titik-titik

0, 1, 2, dan 4 sepanjang sumbu-x. Carilah pusat massanya.

Jawab:

21,219

42

7624

)7)(4()6)(2()2)(1()4)(0(==

++++++= x

Distribusi massa yang kontinu sepanjang kawat dengan kepadatan di x adalah δ(x)

adalah


30/33

60

∫

∫== b

a

b

a

dx x

dx x x

m

M x

)(

)(

δ

δ

Contoh 12:

Kepadatan δ(x) sepotong kawat di titik yang terletak x sentimeter dari salah satu

ujungnya adalah δ(x) = 3x2 gram/sentimeter. Tentukan pusat massa kawat antara

x = 0 dan x = 10.

Jawab:

cm

dx x

dx x x

xb

a

b

a 5,71000

7500

3

3.

2

2

===

∫

∫

Tugas: Hitung contoh 12 di atas menggunakan derive

Pusat Massa (centroid)

Area_Centroid(x, a, b, y, f(x), g(x)) adalah untuk menghitung pusat massa

daerah R yang dibatasi oleh a ≤ x ≤ b dengan y = f(x) dan y = g(x).

Contoh 13: Tentukanlah pusat massa daerah R yang dibatasi oleh 0 ≤ x ≤ 1,

y = √x, dan y = x3.


1. Gambar daerah R: AreaBetweenCurves(√x, x3, x, 0, 1, y)

2. Gambar pusat massa: Area_Centroid(x, 0, 1, y, (√x, x3)



31/33

61

Jadi pusat massa daerah R adalah (0,48; 0,43)

Tugas:

Hitunglah contoh 13 di atas dengan menggunakan rumus:

∫

∫

−

−

=b

a

b

a

dx xg x f

dx xg x f x

x

)()([

)]()([

∫

∫

−

−

=b

a

b

a

dx xg x f

dx xg x f x

y

)()([

])()([ 22


32/33

62

Soal-Saol Latihan

1. Partikel-partikel bermassa m1 = 5, m2 = 7, dan m3 = 9 terletak di x1 = 2,

x2 = -2, dan m3 = 1 sepanjang suatu garis. Carilah pusat massanya.

2. Feni dan Wati beratnya masing-masing 25 dan 15 kilogram duduk pada ujung-

ujung papan yang panjangnya 3 meter dengan titik tumpu di tengah-tengah

papan. Dimanakah Ari dengan berat 10 kilogram harus duduk agar papan

tersebut dalam keadaan setimbang?

3. Sepotong kawat lurus panjangnya 7 satuan mempunyai kepadatan δ(x) = √x

pada sebuah titik yang jauhnya x-satuan dari salah satu ujungnya. Tentukan

jarak dari ujung ini ke pusat massa kawat.

Dalam soal-soal 4-5, Massa-massa dan koordinat-koordinat suatu sistem partikel

dalam bidang koordinat diberikan. Tentukanlah momen dan pusat massanya.

4. 2, (1,1); 3, (7,1); 4, (-2,-5); 6, (-1,0); 2, (4,6)

5. 5, (-3,2); 6, (-2,-2); 2, (3,5); 7, (4,3); 1, (7,-1)

Dalam soal-soal 6-8, Carilah centroid daerah yang dilingkupi oleh kurva yang

diberikan dan buatlah grafiknya.

6.

0,22

=−= y x y

7. 1,0,3 === x y x y

8. 1,2,42 ==−= x x y x y

9. Untuk setiap lamina homogen R1 dan R2 yang ditunjukkan dalam gambar,

carilah m, Mx, My, ydan x, .


33/33

63

10.

Untuk lamina homogen R yang ditunjukkan dalam gambar, carilah m, Mx, My,

ydan x, .

bab-6-penerapan-integral.pdf

Documents

Transcript of bab-6-penerapan-integral.pdf