1

28/10/2013

Matematika Teknik Kimia II

Program Studi Teknik Kimia

UNLAM

2

Program Studi Teknik Kimia

UNLAM

Matematika Teknik Kimia II

Dalam prakteknya, metode numerik sering digunakan untuk

menentukan akar-akar persamaan aljabar yang bentuknya

cukup kompleks.

Metode pendekatan:

• Penentuan akar pendekatan

• Perulangan perhitungan pendekatan hingga mencapai

ketepatan yang diinginkan

3

Program Studi Teknik Kimia

UNLAM

Matematika Teknik Kimia II

4

Program Studi Teknik Kimia

UNLAM

Matematika Teknik Kimia II

5

Program Studi Teknik Kimia

UNLAM

Matematika Teknik Kimia II

6

Program Studi Teknik Kimia

UNLAM

Matematika Teknik Kimia II

7

Program Studi Teknik Kimia

UNLAM

Matematika Teknik Kimia II

Contoh 3.1:

Dua kurva yang masing-masing dinyatakan dengan persamaan y1 = ex

dan y2 = 3x saling berpotongan di dua titik. Tentukan koordinat

kedua titik potong tersebut.

Penyelesaian:

y1=ex

y2=3x

Titik potongnya adalah ex=3x atau f(x)= ex-3x=0

Dengan cara iterative, perlu dibuat persamaan x=y(x), sehingga:

3

ex

x

3

ex

xi

1i

perlu dibuat persamaan x=y(x), sehingga:

ex=3x →

Jadi, persamaan iterasinya adalah

8

Program Studi Teknik Kimia

UNLAM

Matematika Teknik Kimia II

333.03

ex

0

1 465.03

ex

0.333

2 53.03

ex

0.465

3

Dengan memisalkan titik awal, x0=0, maka hasil iterasi:

46.23

ex

2

1 91.33

ex

2.46

2 7.163

ex

3.91

3

Bila titik awal diambil x0 = 2, maka:

Untuk mengetahui, mana nilai titik awal, x0 yang memberikan hasil

yang konvergen, maka digunakan syarat untuk konvergen : │g’(x)│< 1

sehingga

3

e x< 1 → x < 1.1

Berdasarkan syarat di atas, maka diambil titik awal x0 = 0.

9

Program Studi Teknik Kimia

UNLAM

Matematika Teknik Kimia II

Penjelasan metode ini dijabarkan dalam gambar berikut:

y=f(x)

X y=f(x) x0

f(x0)

Koef

arah

f’(x0)

x1

X

y

Dari gambar di atas terlihat bahwa untuk mendapatkan harga x ditarik

garis singgung kurva pada titik x = x0, y = f(x0) sehingga memotong

sumbu x. Selanjutnya untuk memperoleh perhitungan diulangi dengan

titik awal x = x1, y = f(x1) dan ditarik pula garis singgung pada titik ke-2

tersebut dengan koefisien f’(x1) hingga memotong sumbu x pada x2.

Perhitungan iterative dilanjutkan sehingga mencapai x

.

10

Program Studi Teknik Kimia

UNLAM

Matematika Teknik Kimia II

Δx

)f(x)(xf' 0

0 )(xf'

)f(xx

0

0

)(xf'

)f(xxx

0

0

01

Dari gambar 3.2 terlihat bahwa:

x1 = x0 - ∆x

koefisien awal garis singgung kurva pada titik (x0, f(x0)) adalah:

Sehingga :

Jika persamaan disubstitusikan ke dalam persamaan

Jadi persamaan iterative Newton-Raphson adalah:

)(xf'

)f(xxx

i

ii1i

Cara Newton-Raphson memberikan hasil dengan langkah iterasi yang

lebih singkat daripada metode iterative sebelumnya. (Buktikan

sendiri!)

11

Program Studi Teknik Kimia

UNLAM

Matematika Teknik Kimia II

Contoh:

Gunakan metode Newton-Rapshon untuk menaksir akar-akar dari e-x – x

menggunakan sebuah tebakan awal x0 = 0.

Penyelesaian:

Turunan pertama dari fungsi dapat dievaluasi sebagai:

f’(x) = -e-x – 1

disubstitusikan ke persamaan Newton-Rapshon adalah

1e-

exx

i

i

x-

-x

i1i

ix

Dengan tebakan awal x0 = 0, persamaan iterative ini dapat digunakan

untuk menghitung: Iterasi, i xi Error, %

0 0 100

1 0,500000000 11,8

2 0,566311003 0,147

3 0,567143165 0,0000220

4 0,567143290 < 10-8

12

Program Studi Teknik Kimia

UNLAM

Matematika Teknik Kimia II

Pendekatan di atas konvergen secara tepat pada akar

sebenarnya

Tentukan akar real dengan cara metode Newton Raphson pada

persamaan 4 + 5x2 – x3 = 0 sampai 3 desimal, dengan tebakan awal

x=5