Bab 1-matriks

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@ittelkom.ac.id

Matriks

Berdasarkan buku Aljabar Linear Dasar

Pengertian

Definisi: Matrik adalah susunan bilangan atau fungsi yang diletakkan atas baris dan kolom serta diapit oleh dua kurung siku.

Bilangan atau fungsi tersebut disebut entri atau elemen matrik.

Lambang matrik dilambangkan dengan huruf besar, sedangkan entri (elemen) dilambangkan dengan huruf kecil.

Matrik mempunyai ukuran yang disebut Ordo yang menyatakan banyak baris x banyak kolom

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - mhd@ittelkom.ac.id

Lambang Matrik

Secara umum sebuah matrik dapat ditulis:

atau penulisan yang lebih singkat :

dengan i=1, 2, ..., m dan j=1, 2, ..., n.Indek pertama (i) menyatakan baris ke-i dan indeks kedua (j) menyatakan kolom ke-j.

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom.ac.id

Contoh Matriks

Dalam contoh di atas ordo(A)= 2x5 dan ordo(B)=2x2a23= 1032b23= tidak adab21= sin x

13801032

0423451,022

ln21xex

Persamaan Matrik

jika ordonya sama dan entri yang seletak bernilai sama, matrik A dan B adalah sama ditulis A=B

Contoh:Jika A= dan B=

dan A=B, maka a = -1, b = 1, dan c = 1.

Jenis Matriks (1/7)

Matrik Bujursangkar banyak baris = banyak kolom

Matrik Segitiga Atas,

matrik bujursangkar yang semua entri di bawah diagonal utama bernilai nol

333231

232221

131211

Diagonal Utama

Jenis Matriks (2/7)

Matrik Segitiga Bawah,

matrik bujursangkar yang semua entri di atas diagonal utama bernilai nol

Matrik Diagonal,

matrik bujursangkar yang semua entri di luar diagonal utama bernilai nol

nnnn aaa

Jenis Matriks (3/7)

Matrik Satuan,

matrik diagonal yang entri pada diagonal utama bernilai satu, lambang: In, n menyatakan ordo matrik satuan

Matrik skalar,

matrik diagonal yang semua entri pada diagonal utama bernilai sama, asalkan tidak nol. atau c0. Efek dari perkalian sebarang matrik dengan matrik skalar adalah seperti mengalikan matrik sebarang tersebut dengan skalar c.

Jenis Matriks (4/7)

Matrik Nol,

matrik yang semua entrinya nol. Dengan lambang: O jika ordo dipentingkan ditulis O35 untuk menyatakan matrik nol dengan ordo 3x5

=c = cIn

O23= O53=

Jenis Matriks (5/7)

Matrik Invers,

matrik bujursangkar A disebut mempunyai invers, jika terdapat matrik B, sehingga memenuhi BA=AB=I, lambang: invers matrik B biasanya dinyatakan oleh A-1

Untuk matrik berordo 2x2, telah diberikan rumus pencariannya, yaitu:

, maka A-1 = A=

3.34.2

34A= , maka A-1 = =

Jenis Matrik (6/7)

Untuk mencari invers matrik bujursangkar dengan ordo lebih dari 2, akan dibicarakan pada bagian berikutnya. Metode yang digunakan ada dua, yaitu: menggunakan matrik elementer (eliminasi Gauss-Jordan) dan menggunakan determinan bersama dengan matrik adjoin.

Namun dasar untuk menghitungnya tetap harus memperhatikan eliminasi Gauss dan definisi determinan.

Contoh

Apakah matrik di bawah ini termasuk: matriks segitiga atas, segitiga bawah, diagonal, ataukah skalar?

Termasuk matrik segitiga atas

Termasuk matrik segitiga bawah

Termasuk matrik diagonal

Bukan matrik skalar, karena entry pada diagonal utama nol semua, walaupun sama semua

Jenis Matriks (7/7)

Matrik Simetri, yaitu

matriks bujursangkar yang memenuhi sifat A = AT

Matrik Skew-Simetri,

matrik bujur sangkar yang memenuhi syarat AT = -A.

Contoh

Jika matrik A di bawah ini termasuk matrik skew-simetri, tentukan a, b, dan c

Jawab:

AT= = = -A

Sehingga didapat persamaan-persamaan: a = -1, b = 0, c = -2, 1= -a, 0 = -b, 2 = -c, berarti: a = -1, b = 0, dan c = -2

Operasi Matriks

Penjumlahan Matrik Perkalian Matrik dengan Skalar Transpos Matrik Perkalian Dua Matrik Trase Matrik

Penjumlahan matrik

Jika A=[aij], dan B=[bij]

Jumlah matrik A dan B ditulis:

C = A + B

Syarat: ordo A = ordo B

Aturan:

cij=aij+bij {entri yang seletak dijumlahkan}

Contoh

A= , B= , C=

Hitung: A+B, B+CJawab:

A+B= + =

B+C=tidak terdefinisi, karena ordo C ≠ ordo B

423 21

)7(101437

45)2(23

Perkalian dengan Skalar

A=[aij] dan k skalar, maka:

kA=[kaij] {semua entri dikalikan dengan k}

(-4) = =

Akibat:

-A = (-1)A, sehingga A – B = A + (-B)

423 21

)7).(4(1).4(3).4(

4).4()2).(4().4( 27

Transpos matrik

A=[aij], i=1, 2, ..., n ; j=1, 2, ..., m

Jika B=AT , dan B=[bji], maka

bji = aji {kolom matrik A menjadi baris matrik AT}

backAljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –

mhd@ittelkom.ac.id

Perkalian dua MatrikA =[aij], i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., m

B=[bjk], k=1, 2, ..., p {banyak kolom A=banyak baris B}

cik=ai1b1k + ai2b2k + …+aimbmk=

vektor baris ke-i dari matrik A

vektor kolom ke-k dari matrik B

entri matrik C adalah: cik =

jjkijba

Contoh Perkalian Matrik (1/ 2)

A= , B= , dan C=AB

= 4 – 1 – 35 = -32

= 0 – 1 + 10 = 9

= -6 + 1 + 28 = 23

Contoh Perkalian Matrik (2/2)

c21= = -9 + 4 – 24 = -29

C=AB = =

Trase matrik

A=[aij], i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., n

{harus matrik bujur sangkar}

Trase(A)=a11 + a22 + …+ ann

{penjumlahan dari seluruh entri pada diagonal utama}

trase(A)= 2 – 2 + 1 = 1

Sifat-sifat Operasi Matrik (1/4)

Terhadap operasi penjumlahan dan perkalian denganskalar

1. A+B=B+A {sifat komutatif}2. (A+B)+C=A+(B+C) {sifat asosiatif}3. A+O=O+A=A {sifat matrik nol, identitas penjumlahan}4. A+(-A)= -A+A=O {sifat negatif matrik}5. k(A+B)=kA+kB {sifat distributif terhadap skalar k}6. (k+l)A=kA+lA {sifat distributif terhadap skalar k dan l}7. (kl)A=k(lA) {sifat asosiatif terhadap perkalian skalar}8. 1A=A {sifat perkalian dengan skalar 1 (satu)}

Kedelapan sifat ini, nantinya akan dinyatakan sebagai aksioma (kebenaran tanpa perlu dibuktikan) sebagai syarat berlakunya Ruang Vektor

9. ABBA {tidak berlaku komutatif perkalian}

10. (AB)C=A(BC) {sifat asosiatif}

11. AI=IA=A {sifat matrik satuan, identitas perkalian}

12. AO=OA=O {sifat matrik nol}

13. (A+B)T = AT + BT {sifat transpos matrik terhadap penjumlahan}

14. Jika AB=O, tidak dijamin berlaku: A=O atau B=O atau BA=O

15. (kA)B=k(AB)=A(kB)

Contoh ABBA

Sehingga: ABBA

Contoh AB=0

00= , berarti AB=O

Tetapi

= , berarti BAO

16. trase(A+B) = trase(A) + trase(B)

17. trase(AT) = trase(A)

18. trase(kA) = k trase(A)

19. trase(Inxn) = n

20. (A+B)C=AC+BC

21. C(A+B)=CA+CB

22. (AB)T = BTAT {urutan operasi dibalik}

23. (kA)T=kAT

24. An = AA … A, jika n 0, dan I, jika n=0

25. ArAs=Ar+s, jika r dan s bilangan asli

Sebanyak n

Contoh Tambahan (1/3)

Jika A = , dan B =

(A + B)T = =

AT + BT = + =

(AB)T = =

ATBT = =

251BTAT = =

(½B)T = =

½ BT = ½ =

–2 A =

–2IA = =

14A = , dan B =

trase(A) = 2 + 3 = 5trase(B) = 4 + (-2) = 2

trase(A+B) = trase( ) = 6 + 1 = 7

A2 = AA= =

A3 = A2A = =

14A = , dan B =

Tantangan 1

A. Jika

Hitunglah: 1. BA, AB2. E2, E3, E100, 3. A2 + 2A + I,(A+I)2, 4. (BC - D)T, CTBT– DT, 5. 3C(BA), C(3B)A, (CB)(3A), 6. trase(A + E)

Tantangan 2

B. Tentukan persamaan-persamaan dalam variabel-variabel x, y, z, dan w, yang terbentuk, sehingga berlaku persamaan matrik di bawah ini:

Tantangan 3

C. Tentukan syarat agar berlaku: (A + B)2=A2 + 2AB + B2, jika A dan B berordo 2x2

D. Tentukan syarat agar berlaku: A2 – B2 = (A - B)(A + B), jika A dan B berordo 2x2

E. Tentukan persamaan-persamaan dalam variabel-variabel x, y, dan z, sehingga persamaan memenuhi persamaan matrik berikut:

Tantangan 4

F. Tunjukkan bahwa Sistem Persamaan Linier :

dapat dinyatakan sebagai persamaan AX=B [petunjuk: tentukan matrik A, X dan B]

G. Jika matrik A, X, dan B hasil dari soal di atas tentukan invers A atau A-1 dan tentukan solusi persamaan AX=B, dengan mengingat sifat I = AA-1 .

H. Tunjukkan bahwa, jika A matrik skew-simetri, maka trace(A)=0

Tantangan 5

I. Buktikan jika D matrik diagonal, maka Dk adalah matrik diagonal yang entri-entrinya adalah entri pada diagonal utama D dipangkatkan k.

J. Tunjukkan bahwa jika A matrik bujursangkar, maka matrik S = ½ (A + AT) adalah matrik simetri.

K. Tunjukkan bahwa jika A matrik bujursangkar, maka matrik R = ½ (A - AT) adalah matrik skew-simetri.

L. Dari kedua matrik pada dua soal di atas, tunjukkan berlaku hubungan A = S + R.

M. Jika A matrik bujursangkar 2x2, tunjukkan bahwa AAT berbentuk matrik simetri.

Bab 1-matriks

Documents

Transcript of Bab 1-matriks

MATRIKS PERBANDINGAN PERUBAHAN PERATURAN …jayapura.bpk.go.id/.../2018/04/1-MATRIKS-PERBANDINGAN-PERUBAHAN-PP... · subbagian hukum – bpk perwakilan provinsi papua 1 matriks perbandingan

BAB II TINJAUAN PUSTAKA - core.ac.uk · 2.5 Determinan Matriks a) Determinan Matriks 2x2 Jika matriks 21 22 1 2 a a a a A maka det(A)=A =a11a22-a12a21 b) Determinan Matriks 3x3

Modul 1 Pendahuluanshare.its.ac.id/.../content/1/Modul1_Dasar_Dasar_Matriks.pdf · Modul 1 Pendahuluan 1.1. Pengertian Matriks Definisi 1.1 (Pengertian Matriks) Matriks didefinisikan

BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks dan Operasi Matriks · a) Matriks kuadrat . Matriks kuadrat adalah matriks dengan n 3baris dan n kolom . b) Matriks simetrik . Matriks kuadrat disebut

MATRIKS DAN OPERASINYA - Nurdinintya's Blognurdinintya.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/10/1.-Matriks... · Berikut ini adalah sifat-sifat matriks invers : i. (A-1) = A ii.

APLIKASI TEOREMA MATRIKS-POHON UNTUK …etheses.uin-malang.ac.id/6780/1/06510039.pdf · Kata kunci : graf bipartisi komplit, matriks derajat, matriks adjacency, matriks laplacian,

Matriks Bab 3

Matriks - dosen.itats.ac.iddosen.itats.ac.id/.../sites/17/2015/11/K4_Relasi-dan-Fungsi-1.pdf · 07/11/2015 1 Matriks, Relasi, dan Fungsi Anita T. Kurniawati 1 2 Matriks x Matriks

M A T R I K S - yudarwibkl.files.wordpress.com fileMacam-macam Matriks (1) Matriks baris, yaitu matriks yang terdiri dari satu baris saja (2) Matriks kolom yaitu matriks yang terdiri

Matriks - asthirenaddieni.files.wordpress.com · Melalui pembelajaran matriks, siswa memperoleh pengalaman belajar: 1. Mengamati dan menemukan konsep determinan matriks beserta sifat

BAB II KAJIAN TEORI A. Matriks 1. Definisi Matrikseprints.uny.ac.id/35053/2/Bab II.pdf11 c. Perkalian Matriks Ada dua jenis perkalian pada matriks yaitu : 1) Perkalian Matriks dengan

Bab 3(1) matriks

Bab 1 Matriks & Determinan

Bab Matriks

LKPD 1 Kesamaan Matriks · Kelas/Semester : XI/I Materi : matriks Sub Materi Pokok : Perkalian matriks Tujuan : Menentukan hasil operasi perkalian skalar dengan matriks Menentukan

Bab 3(1) Matriks - hanungnindito.files.wordpress.com · •Matriks adalahsusunansegiempatsiku-siku dari bilangan yang diatur berdasarkan baris (row)dankolom(column). •Bilangan -bilangan

LKPD 1 Kesamaan Matriks · 1. Menentukan kesamaan matriks 2. Menentukan nilai variabel dari elemen suatu matriks menggunakan syarat kesamaan dua matriks LKPD 1 Kesamaan Matriks KD

Bab Matriks (SMA)

BAB 2. DETERMINAN MATRIKS - … · DETERMINAN MATRIKS Orde 3x3 1. Metode Sarrus 2. Row Reduction Method 3. Metode Ekspansi Kofaktor DETERMINAN MATRIKS Orde >3x3 …

RPP Matriks pertemuan 1