Bab 1

LIMIT

Newton, Leibniz, dan Kalkulus

www.calculusbook.net

1.1 Pengantar Limit

Kenapa Limit Penting?

Misalkan suatu objek selalu bergerak maju, dengan 𝑠(𝑡) adalah posisi pada saat 𝑡.

Kecepatan rata-rata pada selang [1,2] adalah 𝑠 2 −𝑠(1)

2−1.

Kecepatan rata-rata pada selang [1,1.2] adalah 𝑠 1.2 −𝑠(1)

1.2−1.

Kecepatan rata-rata pada selang [1,1.02] adalah 𝑠 1.02 −𝑠(1)

1.02−1.

Seberapa cepat objek tersebut bergerak pada 𝑡 = 1?

Kita harus mempertimbangkan limit dari kecepatan pada selang yang makinlama makin kecil.

Kenapa Limit Penting? (2)

Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran?

Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luaspolygon yang terletak di dalam lingkaran pada saatbanyaknya sisi dari poligon tersebut membesartanpa batas.

Ilustrasi

Pandang 𝑓 𝑥 =𝑥3−1

𝑥−1.

Apa yang terjadi pada 𝑓 𝑥 pada saat 𝑥 mendekati 1?

lim𝑥→1

𝑥3 − 1

𝑥 − 1= 3

Pemahaman Intuitif

lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝐿

Definisi. Makna intuitif dari Limitlim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝐿 bermakna bahwa pada saat 𝑥 dekat tapi berbeda dengan 𝑐,

maka 𝑓(𝑥) juga dekat ke 𝐿.

Contoh

1. Tentukan lim𝑥→1

3𝑥 − 6.

2. Tentukan lim𝑥→−2

𝑥2−𝑥−6

𝑥+2.

3. Tentukan lim𝑥→0

sin 𝑥

𝑥.

4. Tentukan lim𝑥→2

𝑥 .

5. Tentukan lim𝑥→0

sin1

𝑥.

Limit Sepihak

Definisi. Limit Kiri dan Limit Kananlim𝑥→𝑐+

𝑓 𝑥 = 𝐿 bermakna bahwa pada saat 𝑥 dekat tapi berada di sebelah kanan 𝑐,

maka 𝑓(𝑥) dekat ke 𝐿.lim𝑥→𝑐−

𝑓 𝑥 = 𝑀 bermakna bahwa pada saat 𝑥 dekat tapi berada di sebelah kiri 𝑐, maka

𝑓(𝑥) dekat ke 𝑀.

Teorema.lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝐿 jika dan hanya jika lim𝑥→𝑐−

𝑓 𝑥 = 𝐿 dan lim𝑥→𝑐+

𝑓 𝑥 = 𝐿.

Tentukan Limit Fungsi Berikut

lim𝑥→𝑐−

𝑓(𝑥)?

lim𝑥→𝑐+

𝑓(𝑥)?

lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥)?

𝑓(𝑐)?

Contoh

1. Pandang 𝑔 𝑥 = ቊ𝑥 − 1, if 𝑥 < 2

5 − 𝑥2, if 𝑥 ≥ 2.

Tentukana. lim

𝑥→2−𝑔(𝑥).

b. lim𝑥→2+

𝑔(𝑥).

c. lim𝑥→2

𝑔(𝑥).

2. Tentukan lim𝑥→3

𝑥 + −𝑥 .

Limit dan Limit Sepihak

1.2 Limit Fungsi

Definisi Formal dari Limitlim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝐿 berarti 𝑓 𝑥 dapat kita buat sedekat mungkin ke 𝐿 diberikan bahwa 𝑥 cukup

dekat ke, namun tidak sama dengan, 𝑐.

Definisi. Limit

lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝐿 bermakna bahwa untuk setiap 휀 > 0 (betapa pun kecilnya), terdapat 𝛿 > 0

sehingga 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀.

Dua Ilustrasi

Melihat Kembali Definisi Limit

0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 → 0 < 𝑓(𝑥) − 𝐿 < 휀

Benar atau salah?

1. 0 < 𝑥 − 2 < 1 → 0 < 2𝑥 − 4 < 2.

2. 0 < 𝑥 − 2 < 1 → 0 < 2𝑥 − 4 < 5.

3. 0 < 𝑥 − 2 < 1 → 0 < 2𝑥 − 4 < 1.5.

Melihat Kembali Definisi Limit (2)

Terdapat 𝛿 > 0 sehingga0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 → 0 < 𝑓(𝑥) − 𝐿 < 휀

Carilah sehingga

1. 0 < 𝑥 − 2 < 𝛿 → 0 < 2𝑥 − 4 < 2.

2. 0 < 𝑥 − 2 < 𝛿 → 0 < 2𝑥 − 4 < 1.

3. 0 < 𝑥 − 2 < 𝛿 → 0 < 2𝑥 − 4 < 0.1.

4. 0 < 𝑥 − 2 < 𝛿 → 0 < 2𝑥 − 4 < 0.01.

Melihat Kembali Definisi Limit (3)

Untuk setiap 휀 > 0,

terdapat 𝛿 > 0 sehingga0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 → 0 < 𝑓(𝑥) − 𝐿 < 휀

Tentukan sehingga

0 < 𝑥 − 2 < 𝛿 → 0 < 2𝑥 − 4 < 휀.

Contoh

1. Tunjukkan bahwa lim𝑥→1

3𝑥 − 6 = −3.

2. Tunjukkan bahwa lim𝑥→−2

𝑥2−𝑥−6

𝑥+2= −5.

3. Tunjukkan bahwa lim𝑥→2

𝑥2 = 4.

4. Tunjukkan bahwa lim𝑥→𝑐

𝑘 = 𝑘.

5. Tunjukkan bahwa lim𝑥→𝑐

𝑥 = 𝑐.

Cauchy, Weierstrass, dan Limit

Definisi Limit Sepihak

Definisi. Limit Kananlim𝑥→𝑐+

𝑓 𝑥 = 𝐿 bermakna bahwa untuk setiap 휀 > 0, terdapat 𝛿 > 0 sehingga

0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀.

1.3 Teorema Limit

Sifat Limit

Teorema A juga berlaku untuklimit sepihak.

Contoh.

1. Tentukan lim𝑥→−1

𝑥2+4

𝑥−2.

2. Jika lim𝑥→2

𝑓 𝑥 = 4 dan lim𝑥→2

𝑔 𝑥 = 8, tentukan

lim𝑥→2

𝑓2(𝑥) ⋅3𝑔 𝑥 .

Limit Fungsi Polinom dan Rasional

Jika 𝑓 adalah fungsi polinom atau rasional, makalim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐)

jika 𝑓(𝑐) ada.

Contoh.

1. Tentukan lim𝑥→1

𝑥2+3𝑥−10

𝑥2+𝑥−6.

2. Tentukan lim𝑥→1

𝑥−1

𝑥−1.

3. Tentukan lim𝑥→1+

𝑥−1

𝑥2−1.

4. Tentukan lim𝑥→0

𝑥

𝑥.

Teorema Apit

Misalkan 𝑓, 𝑔, dan ℎ adalah fungsi yang memenuhi 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ℎ(𝑥) untuk setiap 𝑥 di sekitar 𝑐, kecuali mungkin di 𝑐.

Jika lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑐

ℎ 𝑥 =𝐿 maka lim𝑥→𝑐

𝑔 𝑥 =𝐿.

1.4 Limit yang MelibatkanFungsi Trigonometri

Limit Fungsi TrigonometriTeorema. Limit Fungsi Trigonometri

Untuk setiap bilangan real 𝑐 di domain fungsi,

Teorema. Limit Trigonometri khusus

Contoh. Tentukan limit berikut.

1. lim𝑥→0

sin 3𝑥

𝑥.

2. lim𝑡→0

1−cos 𝑡

sin 𝑡.

3. limℎ→0

sin 4ℎ

tan ℎ.

1. lim𝑡→𝑐

sin 𝑡 = sin 𝑐 2. lim𝑡→𝑐

cos 𝑡 = cos 𝑐

3. lim𝑡→𝑐

tan 𝑡 = tan 𝑐 4. lim𝑡→𝑐

cot 𝑡 = cot 𝑐

5. lim𝑡→𝑐

sec 𝑡 = sec 𝑐 6. lim𝑡→𝑐

csc 𝑡 = csc 𝑐

1. lim𝑡→0

sin 𝑡

𝑡= 1 2. lim

𝑡→0

1−cos 𝑡

𝑡= 0

1.5 Limit di Tak Hingga dan Limit Tak Hingga

Limit di Tak Hingga

Pandang 𝑔 𝑥 =𝑥

1+𝑥2.

Apa yang terjadi dengan fungsi 𝑔 pada saat 𝑥 membesar tanpa batas?

lim𝑥→∞

𝑔(𝑥)

Apa yang terjadi dengan fungsi 𝑔 jika 𝑥mengecil tanpa batas?

lim𝑥→−∞

𝑔(𝑥)

Definisi Limit di Tak HinggaContoh.

1. Tunjukkan bahwa jika 𝑘bilangan bulat positif, maka

lim𝑥→∞

1

𝑥𝑘= 0 dan

lim𝑥→−∞

1

𝑥𝑘= 0.

2. Tentukan lim𝑥→∞

𝑥

1+𝑥2.

3. Tentukan lim𝑥→−∞

𝑥

1−𝑥2.

4. Tentukan lim𝑥→∞

sin 𝑥

𝑥.

Definisi. Limit pada saat 𝑥 → ∞Misalkan fungsi 𝑓 terdefinisi di [𝑐, ∞) untuk suatu 𝑐.lim𝑥→∞

𝑓 𝑥 = 𝐿 bermakna untuk setiap 휀 > 0 terdapat bilangan 𝑀

sehingga𝑥 > 𝑀 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀

Definisi. Limit pada saat 𝑥 → −∞Misalkan fungsi 𝑓 terdefinisi di (−∞, 𝑐] untuk suatu 𝑐.lim𝑥→∞

𝑓 𝑥 = 𝐿 bermakna untuk setiap 휀 > 0 terdapat bilangan 𝑀

sehingga𝑥 < 𝑀 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀

Limit Barisan

Jika domain dari fungsi adalah himpunan bilangan asli, maka kita biasanya menulis 𝑎𝑛, bukan 𝑎(𝑛) dan fungsitersebut disebut barisan, yang dinotasikan sebagai 𝑎𝑛 .

Contoh.

Definisikan suatu barisan dengan 𝑎𝑛 =𝑛

𝑛+1.

Apa yang terjadi jika 𝑛 membesar?

Pandang 𝑎1 =1

2, 𝑎2 =

2

3, 𝑎3 =

3

4, ⋯ , 𝑎100 =

100

101, ⋯

Definisi. Limit Barisan

Misalkan 𝑎𝑛 terdefinisi untuk semua bilangan asli yang lebih besar atau sama dengan 𝑐.

lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 𝐿 bermakna untuk setiap 휀 > 0 terdapat bilangan 𝑀 sehingga

𝑛 > 𝑀 ⇒ 𝑎𝑛 − 𝐿 < 휀

Contoh.

Tentukan lim𝑛→∞

𝑛+1

𝑛+2.

Limit Tak Hingga

Pandang 𝑔 𝑥 =1

𝑥−2.

Apa yang terjadi pada fungsi 𝑔 pada saat𝑥 semakin dekat ke 2?

lim𝑥→2

𝑔(𝑥)

Definisi. Limit tak hingga

lim𝑥→𝑐+

𝑔(𝑥) = ∞ jika untuk setiap bilangan

positif 𝑀, terdapat 𝛿 > 0 sehingga0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥 > 𝑀

Limit Tak Hingga Lainnyalim𝑥→𝑐+

𝑓(𝑥) = −∞ lim𝑥→𝑐−

𝑓(𝑥) = ∞ lim𝑥→𝑐−

𝑓(𝑥) = ∞

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = ∞ lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = −∞ lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = ∞ lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = −∞

Contoh.

1. Tentukan lim𝑥→2+

𝑥+1

𝑥2−5𝑥+6.

2. Tentukan lim𝑥→0−

𝑥

𝑥.

Asimtot

Garis 𝑥 = 𝑐 merupakan asimtot vertikal dari grafik fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) jika salah satu dari empat pernyataan berikut benar:

lim𝑥→𝑐+

𝑓(𝑥) = −∞ , lim𝑥→𝑐+

𝑓(𝑥) = −∞, lim𝑥→𝑐−

𝑓(𝑥) = ∞, atau lim𝑥→𝑐−

𝑓(𝑥) = ∞.

Garis 𝑦 = 𝑏 merupakan asimtot horisontal dari grafik fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) jika

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 𝑏 atau lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = 𝑏.

Contoh.

Tentukan semua simtot dari grafik fungsi 𝑦 = 𝑓 𝑥 =2𝑥

𝑥−1.

1.6 Kekontinuan Fungsi

Kontinu

Istilah kontinu digunakan untuk mendeskripsikan proses yang berlangsung tanpaperubahan yang mendadak.

Definisi. Kekontinuan pada suatu titik

Misalkan 𝑓 adalah fungsi yang terdefinisi pada selang buka yang memuat 𝑐. Fungsi 𝑓dikatakan kontinu di 𝑐 jika

lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐)

Titik Kediskontinuan yang Dapat Dihilangkan

Contoh.

Misalkan 𝑓 𝑥 =𝑥2−4

𝑥−2, 𝑥 ≠ 2. Bagaimana 𝑓 harus didefinisikan pada

𝑥 = 2 agar 𝑓 kontinu di sana?

Titik kediskontinuan 𝑐 disebut dapat dihilangkan jika fungsi dapatdidefinisikan ulang pada 𝑐 sehingga fungsi tersebut menjadi kontinu. Jika tidak, titik kediskontinuan disebut tidak dapat dihilangkan.

Kekontinuan Beberapa Fungsi

• Fungsi polinom kontinu di setiap bilangan real.

• Fungsi rasional kontinu di setiap bilangan real yang ada di domainnya.

• Fungsi harga mutlak kontinu di setiap bilangan real.

• Jika n ganjil, fungsi akar ke-n kontinu di setiap bilangan real, jika n genap, fungsi tersebut kontinu di setiap bilangan real positif.

• Fungsi sinus dan cosinus kontinu di setiap bilangan real.

• Fungsi tangen, cotangen, secan, dan cosecan kontinu di setiapbilangan real yang ada di domainnya.

Kekontinuan terhadap Operasi pada Fungsi

Jika 𝑓 dan 𝑔 kontinu di 𝑐, demikian juga dengan 𝑘𝑓, 𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑓 ∙ 𝑔,

𝑓/𝑔 (dengan syarat 𝑔(𝑐) ≠ 0), 𝑓𝑛, 𝑛 𝑓 (dengan syarat 𝑓(𝑐) > 0 jika 𝑛genap).

Contoh.

1. Di manakah fungsi 𝐹 𝑥 =3 𝑥 −𝑥2

𝑥+3 𝑥kontinu?

2. Tentukan semua titik ketidakkontinuan dari 𝑓 𝑥 =sin 𝑥

𝑥 1−𝑥. Apakah

titik-titik tersebut dapat dihilangkan?

Kekontinuan Fungsi Komposisi

Teorema.

Jika lim𝑥→𝑐

𝑔 𝑥 = 𝐿 dan jika 𝑓 kontinu di 𝐿, maka

lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑔 𝑥) = 𝑓(lim𝑥→𝑐

𝑔 𝑥 ) = 𝑓(𝐿) .

Jika 𝑔 kontinu di 𝑐 dan 𝑓 kontinu di 𝑔(𝑐), maka fungsi komposisi 𝑓°𝑔kontinu di 𝑐.

Contoh.

Tunjukkan bahwa ℎ 𝑥 = sin𝑥4−3𝑥+1

𝑥2−𝑥−6kontinu di semua titik kecuali 3

dan −2.

Kekontinuan pada SelangDefinisi. Kekontinuan pada selang

Fungsi 𝑓 dikatakan kontinu kanan di 𝑎 jika lim𝑥→𝑎+

𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎)dan kontinu kiri di 𝑏 jika lim

𝑥→𝑏−𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑏).

Fungsi 𝑓 dikatakan kontinu pada selang buka jika 𝑓 kontinu di semua titik dalam selang tersebut.

Fungsi 𝑓 dikatakan kontinu pada selang tutup di [𝑎, 𝑏] jika 𝑓kontinu pada (𝑎, 𝑏), kontinu kanan di 𝑎, dan kontinu kiri di 𝑏.

Example.

1. Tentukan kekontinuan fungsi yang grafiknya digambarkan di samping.

2. Apakah selang terbesar sehingga 𝑔 𝑥 = 4 − 𝑥2 kontinu?

Teorema Nilai Antara

Misalkan 𝑓 adalah fungsi yang terdefinisi pada selang tutup [𝑎, 𝑏] dan 𝑊 adalahsuatu bilangan di antara 𝑓(𝑎) dan 𝑓(𝑏). Jika 𝑓 kontinu pada [𝑎, 𝑏] maka terdapatpaling tidak satu bilangan 𝑐 di antara 𝑎 dan 𝑏 sehingga 𝑓(𝑐) = 𝑊.

Contoh

1. Gunakan Teorema Nilai Antara untuk menunjukkan bahwa 𝑥 −cos 𝑥 = 0 memiliki solusi di antara 𝑥 = 0 dan 𝑥 =

𝜋

2.

2. Gunakan Teorema Nilai Antara untuk menunjukkan bahwa pada suatu cincin kawat berbentuk lingkaran selalu terdapat dua titikberseberangan dengan suhu yang sama.