Post on 11-Nov-2020
APLIKASI
INTEGRAL
)(0,|),( xfybxayxD =
7.1 Menghitung Luas Daeraha. Misalkan daerah
a b
f(x)
D
Luas D = ?
x
Langkah :1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah
irisan dihampiri oleh luas persegi panjangdengan tinggi f(x) dan alas (lebar) ∆𝑥
xxfA )(
2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh:
b
a
dxxf )(Luas D = A =
3
8
3
12
0
3
2
0
2 =
== xdxxA
2xy =
Contoh 1 : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥2 sumbu x, dan x = 2.
2
Luas irisan
x
2x
xxA 2
Luas daerah
3
8
3
12
0
3
2
0
2 =
== xdxxA
)()(,|),( xhyxgbxayxD =
x
xxgxhA − ))()((
b) Misalkan daerahh(x)
g(x)
a b
Luas D = ?
Langkah :
1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buahirisan dihampiri oleh luas persegi panjangdengan tinggi h(x)-g(x) dan alas(lebar) ∆𝑥.
2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh:
Luas D = A = −
b
a
dxxgxh ))()((
D h(x)-g(x)
22 −= xy
24 2 −=+ xx
22 −= xy
xxxA −−+ ))2()4(( 2
Contoh 2: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x + 4 dan parabola
062 =−− xx
0)2)(3( =+− xx
Titik potong antaragaris dan parabola
y=x+4
-2 3 x = -2, x = 3x
)2()4( 2 −−+ xx
Luas irisan
− −
++−=−−+=
3
2
3
2
22 )6())2()4(( dxxxdxxxA
6
1256
2
1
3
13
2
23 =
++−=
−
xxx
Sehingga luas daerah :
Catatan :
• Jika irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu x, maka tinggi irisanadalah kurva yang terletak disebelah atas dikurangi kurva yang berada disebelah bawah.
• Jika batas atas dan bawah irisan berubah untuk sembarang irisan di D, maka daerah D harus dibagi dua atau lebih.
2xy =
022 =−+ xx
xxA 2
1
xxA +− )2(2
Contoh 3: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x,2xy = dan y = -x + 2
Jawab :
Titik potong
22 +−= xx
2
0)1)(2( =−+ xx
x = -2, x = 1
y=-x+2
1
Jika dibuat irisan tegak, maka daerah harusdibagi menjadi dua bagian
xx
Luas irisan I
Luas irisan II
xxA 2
1
===
1
0
1
0
3
312
13
1|xdxxA
Luas daerah I
Luas daerah II2
1
2
21
2
1
2 |22 xxdxxA +−=+−=
2
1)2()42(
21 =+−−+−=
Sehingga luas daerah
6
5
2
1
3
121 =+=+= AAA
)()(,|),( yhxygdycyxD =
y
−
d
c
dyygyh ))()((
yygyhA − ))()((
c). Misalkan daerah
h(y)
g(y)
c
dD
Luas D = ?
Langkah :
1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buahirisan dihampiri oleh luas persegi panjangdengan tinggi h(y)-g(y) dan alas (lebar)
y
2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnyadiperoleh:
y
Luas D = A =
h(y)-g(y)
23 yx −=
231 yy −=+
022 =−+ yy
1−= xy
23 yx −=
Contoh 4: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh
dan 1−= xy
Jawab :
Titik potong antara garis danparabola
0)1)(2( =−+ yy
y = -2 dan y = 1
-2
1
y
)1()3( 2 +−− yy
Luas irisan
2((3 ) ( 1))A y y y − − +
−
+−−=
1
2
2 ))1()3(( dyyyL −
+−−=
1
2
2 )2( dyyy
.2
92
2
1
3
11
2
23 =
+−−=
−
yyy
Sehingga luas daerah :
Catatan :
• Jika irisan sejajar dengan sumbu x, maka tinggi irisan adalah kurva yang terletak disebelah kanan dikurangi kurva yang berada disebelah kiri.
• Jika batas kanan dan kiri irisan berubah untuk sembarang irisan di D, maka daerah D harus dibagi dua atau lebih
Carilah luas daerah yang dibatasi oleh :
a. Kurva y = x3 + x +15, garis x = -2, x = 1, dan sumbu x
b. Kurva y2 = x – 1, garis y = -4, y = 2, dan sumbu y
c. Kurva x2 = 2 – y dan garis y = x
d. Kurva y2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x
e. Kurva x = 4 - y2 , garis x + y – 2 = 0
f. Kurva y = x2 + 3, kurva y = -x2 + 1, garis x = -3, dangaris 7x + y = 11
)(0,|),( xfybxayxD =
7.2 Menghitung volume benda putar
7.2.1 Metoda Cakram
a. Daerah diputar terhadap sumbu x
a b
f(x)
D
Benda putarDaerah D
? Volume benda putar
x
a b
f(x)
D
x
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris, hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.
Jika irisan berbentuk persegi panjang dengantinggi f(x) dan alas ∆𝑥 diputar terhadapsumbu x akan diperoleh suatu cakramlingkaran dengan tebal ∆𝑥 danjari-jari f(x),
xxfV )(2
=
b
a
dxxfV )(2
sehingga
f(x)
Catatan: jari-jari = jarak dari sumbu putar ke batas daerah
2x x
x
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jikadaerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dangaris x = 2 diputar terhadap sumbu x
2xy =
2xy =
2x
2x
Jika irisan diputar terhadap sumbu x
akan diperoleh cakram dengan jari-jari
dan tebal
Sehingga
xxxxV = 422 )(
Volume benda putar
===
2
0
2
0
54
5
32|
5
xdxxV
2x
)(0,|),( ygxdycyxD =b. Daerah
diputar terhadap sumbu y
c
d
x=g(y)
D
Daerah D Benda putar? Volume benda putar
c
d
y
y
y
yygV )(2
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris, hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.
c
d
x=g(y)
D
y
Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi g(y) dan alas diputarterhadap sumbu y akan diperoleh suatucakram lingkaran dengan tebal danjari-jari g(y).
)(yg
sehingga
=
d
c
dyygV )(2
2xy =
2xy =
Contoh : Tentukan volume benda putar yang terjadi jikadaerah yang dibatasi oleh , garis y = 4, dansumbu y jika diputar terhadap sumbu y
4
y
Jika irisan dengan tinggi dan tebaldiputar terhadap sumbu y akan diperolehcakram dengan jari-jari dan tebal
y
y y
y y
y
y
Sehingga
yyyyV == 2)(
Volume benda putar
===
4
0
4
0
2 8|2
yydyV
yx =
)()(,|),( xhyxgbxayxD =
7.2.2 Metoda Cincin
a. Daerah diputar terhadap sumbu x
h(x)
g(x)
a b
D
Daerah D Benda putar
? Volume benda putar
x
x
x
h(x)
g(x)
a b
x
D
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekataniris, hampiri, jumlahkan, dan ambil limitnya.
Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi h(x) - g(x) dan alas diputarterhadap sumbu x akan diperoleh suatucincin dengan tebal dan jari –jari luar h(x)dan jari-jari dalam g(x).
sehingga xxgxhV − ))()(( 22
−=
b
a
dxxgxhV ))()(( 22
h(x)
g(x)
Catatan penting !Jari-jari luar = jarak dari sb putar ke batas daerah paling luarJari-jari dalam = jarak dari sb putar ke batas daerah paling dalam
2xy =
x
2 1x +
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasioleh 𝑦 = 𝑥2, sumbu x, dan garis x = 2 diputar terhadap garis y = -1
2
y=-1
1
21 x+D
Jika irisan diputar terhadap garis y = 1akan diperoleh suatu cincin dengan
jari-jari dalam 1 dan jari-jari luar
Sehingga
xxV −+= )1)1(( 222
xxx −++= )112( 24
xxx += )2( 24
2
4 2 5 3 2 32 16 1761 205 3 5 3 15
0
2 ( | ) ( )V x x dx x x = + = + = + =Volume bendaputar :
)(0,|),( xfybxayxD =
7.2.3 Metoda Kulit Tabung
Diketahui
f(x)
a b
D
Jika D diputar terhadap sumbu y diperoleh benda putar
Daerah D Benda putar
Volume benda putar ?
Ilustrasi metode kulit tabung
Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi f(x) dan alas ∆𝑥 serta berjarakx dari sumbu y diputar terhadap sumbu y
akan diperoleh suatu kulit tabung dengantinggi f(x), jari-jari x, dan tebal ∆𝑥
x
x
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekataniris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.
f(x)
a b
D
x
f(x)
x
sehingga xxfxV )(2
=
b
a
dxxxfV )(2
Catatan penting!Jari-jari = jarak dari partisi ke sumbu putar.
Jika irisan dengan tinggi 𝑥2 ,tebal ∆𝑥dan berjarak x dari sumbu y diputar terhadapsumbu y akan diperoleh kulit tabungdengan tinggi 𝑥2 , tebal ∆𝑥 dan jari jari x
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jikadaerah D yang dibatasi oleh 𝑦 = 𝑥2 , sumbu x, dangaris x = 2 diputar terhadap sumbu y
2xy =
x 2
2xD
x
Sehingga
xxxxxV == 32 22
Volume benda putar
===
2
0
2
0
43 8|2
2
xdxxV
Catatan :
-Metoda cakram/cincin
Irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar
- Metoda kulit tabung
Irisan dibuat sejajar dengan sumbu putar
Jika daerah dan sumbu putarnya sama maka perhitungan dengan menggunakan metoda cakram/cincin dan metoda kulit tabung akan menghasilkan hasil yang sama
Contoh: Tentukan benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasiOleh parabola 𝑦 = 𝑥2, garis x = 2, dan sumbu x diputar terhadap
a. Garis y = 4b. Garis x = 3
=−=−=−=
2
0
15224
532
3642
0
5
513
3842 )(|)()8( xxdxxxV
a. Sumbu putar y = 4
(i) Metoda cincin
2xy =
2
D
y=4
x
Jika irisan diputar terhadap garis y=4akan diperoleh cincin dengan
Jari-jari dalam = )4( 2xrd −=)4( 2x−
Jari-jari luar =4 4=lr
Sehingga
xxV −− ))4()4(( 222
xxx −= )8( 42
Volume benda putar
(ii) Metoda kulit tabung
2xy =
2
D
y=4
y
y
Jika irisan diputar terhadap garis y=4akan diperoleh kulit tabung dengan
Jari-jari = r =y−4
y−4
y−2
Tinggi = h = y−2
Tebal = y
Sehingga
yyyV −− )2)(4(2
yyyyy +−−= )248(2Volume benda putar
+−−=
4
0
)248(2 dyyyyyV 4
0
2/5
5222/3
38 |)8(2 yyyy +−−=
15224=
b. Sumbu putar x=3
(i) Metoda cincin
2xy =
2
D
y
x = 3 Jika irisan diputar terhadap garis x=3 diperoleh cincin dengan
Jari-jari dalam =
1
1=dr
Jari-jari luar =
3
y y−3
yrl −= 3
Sehingga
yyV −− ))1()3(( 22
yyy +−= )68(
Volume benda putar
dyyyV +−=
4
0
)68( 8)|848( 4
0
2/3 =+−= yy
(ii) Metoda kulit tabung
2xy =
2
D
x
x=3
x
Jika irisan diputar terhadap garis x=3diperoleh kulit tabung dengan
Tinggi = h =
2x
2x
Jari-jari = r =
3
3-x
3-x
Tebal = x
Sehingga
xxxV − 2)3(2
xxx −= )3(2 32Volume benda putar
−=
2
0
32 )3(2 dxxxV 8)48(2|)(2 2
0
4
413 =−=−= xx
A. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadapsumbu x
1. 2dan,0,3 === xyxy
2. 0dan9 2 =−= yxy
3. xyxy 4dan2 ==
4.
2 2dany x x y= =5.
2 , ,dan 4y x sb y y= =
Latihan Soal
B. Daerah D dibatasi oleh kurva 𝒚 = 𝒙 dan garis x = 2y. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :
(1) sumbu x (4) sumbu y(2) garis x = -1 (5) garis y = -2 (3) garis y = 4 (6) garis x = 4
C. Daerah D dibatasi oleh parabol 𝒚 = 𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 dan garis x + y = 4. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :
(1) sumbu x (3) sumbu y(2) garis x = 6 (4) garis y = -1