Post on 16-Oct-2021
ANALISIS BEBERAPA METODE TRANSPORTASI DALAM
OPTIMALISASI BIAYA DISTRIBUSI
SKRIPSI
SUSTRI ELIANY PURBA
140803078
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2018
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
ANALISIS BEBERAPA METODE TRANSPORTASI DALAM
OPTIMALISASI BIAYA DISTRIBUSI
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar
Sarjana Sains
SUSTRI ELIANY PURBA
140803078
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2018
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
ii
PERNYATAAN
ANALISIS BEBERAPA METODE TRANSPORTASI DALAM
OPTIMALISASI BIAYA DISTRIBUSI
SKRIPSI
Saya mengaku bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan
dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Agustus 2018
Sustri Eliany Purba
140803078
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
iii
PENGESAHAN SKRIPSI
Judul : Analisis Beberapa Metode Transportasi Dalam
Optimalisasi Biaya Distribusi
Kategori : Skripsi
Nama : Sustri Eliany Purba
Nomor Induk Mahasiswa : 140803078
Program Studi : Sarjana (S1) Matematika
Departemen : Matematika
Fakultas : MIPA-Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, Agustus 2018
Ketua Program Studi Pembimbing,
Dr. Suyanto, M.Kom Dr. Mardiningsih, M.Si
NIP. 19590813 198601 1 002 NIP. 19630405 198811 2 001
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
iv
ANALISIS BEBERAPA METODE TRANSPORTASI DALAM
OPTIMALISASI BIAYA DISTRIBUSI
ABSTRAK
Masalah transportasi sebagai bentuk khusus program linier membutuhkan metode
penyelesaian yang lebih efektiv dari metode simpleks. Sehingga diciptakan sebuah
metode khusus untuk menyelesaikan masalah transportasi dikenal dengan metode
transportasi. Metode ini bertujuan untuk mengoptimalkan biaya distribusi produk
tunggal dari beberapa sumber (source) ke beberapa tujuan (destination). Dalam
tulisan ini, penulis melakukan analisis terhadap beberapa metode transportasi yaitu,
metode penyelesaian solusi awal North west corner method (NWCM), Least cost
method (LCM), approximation method (VAM) dan metode uji optimalitas Modified
Distribution (MODI). Tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji setiap metode untuk
memperlihatkan karakteristik, kelebihan dan kelemahan yang dimiliki setiap metode.
Metodologi penelitian yang digunakan adalah studi literatur terhadap beberapa
tinjauan pustaka berupa buku, artikel dan jurnal ilmiah yang berkaitan. Hasil
penelitian menunjukkan bahwa jika dilihat dari alur kerja setiap metode maka
metode yang paling sederhana adalah NWCM, selanjutnya metode LCM dan yang
paling kompleks adalah metode VAM. Namun jika dilihat dari solusi yang diperoleh
metode VAM menghasilkan total biaya distribusi paling minimum. Uji optimalitas
dengan metode MODI juga memperlihatkan bahwa solusi awal yang paling
mendekati solusi optimal dihasilkan oleh metode VAM, dilanjutkan oleh metode
LCM dan solusi awal terbesar dihasilkan metode NWCM.
Kata kunci: LCM, masalah transportasi, metode transportasi, MODI, NWCM, solusi
awal, solusi optimal, VAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
v
Analysis of Some Transportation Methods
in The Optimization of Distribution Cost
Abstract
Transportation problem as a special form of linear program requires a more
effective method of completion of the simplex method. Hence, a special method was
created to solve the problem of transportation known as transportation method. This
method aims to optimize the cost of single product distribution from multiple sources
to multiple destinations. In this paper, the author analyzes several methods of
transportation namely, the method of solution completion of North west corner
method (NWCM), Least cost method (LCM), approximation method (VAM) and
Modified Distribution (MODI) optimality test method. The purpose of this study is to
examine each method to show the characteristics, advantages and disadvantages of
each method. The research methodology used in this paper is literature study on
several literature reviews in the form of books, articles and related scientific
journals. The results shows that when it is viewed from the workflow of each method,
the simplest method is NWCM, then the LCM method and the most complex one is
the VAM method. However, when it is viewed from the solution obtained, VAM
method produces the minimum total cost of distribution. The optimality test with the
MODI method also shows that the nearest solution closest to the optimal solution is
generated by the VAM method, followed by the LCM method and the largest initial
solution produced by the NWCM method.
Keywords: destination, demand, initial solution, LCM, MOD, NWCM, optimal
solution, supply, source, transportation problems, transportation method,
VAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
vi
PENGHARGAAN
Puji dan syukur Penulis ucapkan kepada Tuhan Yesus atas segala kebaikan dan
kemurahan-Nya yang senantiasa menyertai, menguatkan, dan memberkati kehidupan
Penulis dalam setiap proses yang Penulis lalui. Hanya oleh karena kebaikan dan
penyertaan-Nya sajalah maka Penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul,
“Analisis Beberapa Metode Transportasi Dalam Optimalisasi Biaya Distribusi”
sebagai salah satu syarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Matematika pada
Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Sumatera Utara.
Terima kasih Penulis sampaikan kepada Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku
dosen pembimbing yang senantiasa meluangkan waktunya untuk membimbing,
memberikan arahan, dukungan dalam penulisan skripsi ini dan motivasi kepada
Penulis untuk lebih baik kedepannya. Semoga Tuhan senantiasa memberkati
kehidupan beliau dalam kesehatan dan sukacita. Terima kasih kepada Bapak Drs.
Agus Salim Harahap, M.Si dan Ibu Dra. Normalina Napitupulu, M.Sc selaku Dosen
Penguji yang telah memberi saran dan kritik yang membangun dalam
penyempurnaan skripsi ini. Dan semoga Tuhan senantiasa memberkati kehidupan
Bapak dan Ibu dalam kesehatan dan sukacita.
Terima kasih kepada Bapak Dr. Suyanto, M.Kom dan Bapak Drs. Rosman
Siregar, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU,
seluruh Dosen Matematika FMIPA USU yang telah memberikan ilmu yang
bermanfaat kepada Penulis dari sejak awal perkuliahan, dan kepada para Pegawai
FMIPA USU yang senantiasa tulus melayani keperluan mahasiswa.
Selanjutnya, terima kasih Penulis ucapkan kepada Ibunda Roslina Saragih
dan Ayahanda Jolen Purba yang selalu mendoakan, mendukung, dan menasihati
sehingga Penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Biarlah kiranya berkat dan
penyertaan Tuhan Yesus yang membawa sukacita bagi kehidupan mereka.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
vii
Kemudian, terima kasih kepada kelima abang dan kakak Penulis yaitu Rosida Purba,
Jan Linson Purba, Jonswarman Purba, Janiapoh Purba, Enida Purba, dan juga kakak/
abang ipar yang selalu mendukung dan menopang kebutuhan Penulis khususnya dari
segi materi dan finansial yang Penulis butuhkan selama perkuliahan sehingga dapat
menyelesaikan skripsi ini.
Dan tak lupa Penulis sampaikan terimakasih kepada semua teman dan
sahabat yang selalu setia mendoakan, menguatkan, dan memberikan semangat dalam
masa sukar dan mudah, sedih dan senang, jatuh dan bangun yang Penulis lalui dari
awal perkuliahan sampai saat ini. Untuk beberapa orang yang Penulis sebutkan
mereka yang sungguh dekat dengan keseharian penulis selama menyelesaikan
perkuliahan yaitu, untuk keluarga baru yang Penulis miliki di Medan dari awal
memasuki perkuliahan sampai saat ini, Nanggi Grace dan Panggi Kaban, terimakasih
sudah menerima Penulis sebagai anak, semoga Tuhan Yesus senantiasa memberkati
dan menambahkan sukacita buat semua keluarga. Dan untuk Ruth Situmorang,
terimakasih telah menjadi seorang sahabat yang baik, semoga Tuhan Yesus
senantiasa menyertaimu. Dan juga terimakasih kepada teman-teman seperjuangan
angkatan 2014, seluruh adik-adik Matematika stambuk 2015, 2016 dan 2017 yang
telah menjadi keluarga baru bagi Penulis, semoga Tuhan senantiasa memberkati.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini jauh dari kesempurnaan. Untuk itu,
Penulis meminta maaf apabila ada kesalahan baik dalam penulisan dan penyajian
dalam skripsi ini. Akhir kata, Penulis berharap skripsi ini bermanfaat bagi diri
Penulis pribadi dan orang lain.
Medan, Agustus 2018
Penulis
Sustri Eliany Purba
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
viii
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN ii
PENGESAHAN SKRIPSI iii
ABSTRAK iv
ABSTRACT v
PENGHARGAAN vi
DAFTAR ISI viii
DAFTAR TABEL x
DAFTAR GAMBAR xii
DAFTAR SIMBOL xiii
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 LatarBelakang 1
1.2 RumusanMasalah 2
1.3 BatasanMasalah 3
1.4 TujuanPenelitian 3
1.5 Manfaat Penelitian 3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Riset Operasi 5
2.2 Program Linier 6
2.3 Masalah Transportasi 7
2.3.1 Sejarah Permasalahan Transportasi 7
2.3.2 Defenisi dan Tujuan Masalah Transportasi 8
2.3.3 Ciri-ciri Masalah Transportasi 8
2.3.4 Model Umum Masalah Transportasi 9
2.3.4.1 Asumsi Dasar 9
2.3.4.2 Pengertian Metode Transportasi 9
2.3.4.3 Model Masalah Transportasi 10
2.3.4.4 Keseimbangan Transportasi 14
2.3.4.5 Metode Penyelesaian 17
2.4 Sistem Distribusi 19
2.5 Degenarasi dan Redudansi 14
BAB 3 METODE PENELITIAN
3.1 KerangkaPenelitian 22
BAB 4 PEMBAHASAN
4.1 Masalah Transportasi 23
4.2 Model Matematika Masalah Transportasi 25
4.3 Penyelesaian Masalah Transportasi 29
4.3.1 Menentukan Solusi Layak Awal 29
4.3.2 Menentukan Solusi Optimum 30
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
ix
4.3.3 Ciri-ciri Solusi Layak Awal 30
4.4 Metode Transportasi 31
4.4.1 Metode Untuk Menentukan Solusi Layak Awal 31
4.4.1.1North – West corner Method (NWCM) 31
4.4.1.2 Least – Cost Method (LCM) 34
4.4.1.3 Vogel’s Approximation Method (VAM) 36
4.4.2 Metode Uji Optimalitas 39
4.4.2.1 Stepping Stone Method 39
4.4.2.2 Modified Distribution (MODI) 50
4.5 Aplikasi Metode Pada Contoh Kasus 58
4.5.1 Menentukan Solusi Layak Awal 59
4.5.1.1Solusi Layak Awal denganNWC 59
4.5.1.2Solusi Awal Dengan Metode LCM 60
4.5.1.3 Solusi Awal dengan Metode VAM 63
4.5.2 Uji optimalitas pada solusi awal 69
4.5.2.1 Uji Optimalitas dengan MODI 70
4.5.3 Penyelesaian Masalah Transportasi
dengan Software 75
4.5.3.1 Program Lindo 75
4.5.3.2 Program Lingo 81
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan 84
5.2 Saran 85
DAFTAR PUSTAKA 86
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
x
DAFTAR TABEL
Nomor Judul Halaman
2.1 Gambaran umum Masalah Transportasi 12
2.2 Tabel Persoalan Transportasi Seimbang ∑ai = ∑bj 15
2.3 Tabel Persoalan Transportasi Tidak Seimbang ∑ai> ∑bj 16
2.4 Tabel Persoalan Transportasi Tidak Seimbang ∑ai< ∑bj 16
4.1 Tabel Masalah Transportasi 25
4.2 Tabel Transportasi secara umum 26
4.3 Contoh Tabel Transportasi Gula 28
4.4 Tabel distribusi dari 3 pabrik ke 3 pasar 32
4.5 Hasilalokasibarangdengan NWCM dari 3 pabrikke 3 pasar 33
4.6 Hasil alokasi NWCM 33
4.7 Tabel Transportasi 34
4.8 Hasil menentukan solusi layak awal dengan LCM 35
4.9 Hasil Alokasi LCM 26
4.10 Tabel Transportasi contoh soal VAM 36
4.11 Hasil alokasi dengan metode VAM 37
4.12 Hasil alokasi VAM 37
4.13 Perbandingan proses alokasi menentukan solusi layak awal 38
4.14 Tes optimalitas solusi layak awal dengan metode stepping stone 41
4.15 Alokasi 1 ton ke sel 1A 42
4.16 Pegurangan satu ton dari sel 1B 43
4.17 Jalur tertutup metode stepping stone sel 2A 43
4.18 Jalur tertutup stepping stone sel 2A 44
4.19 Jalur stepping stone sel 2B 45
4.20 Jalur stepping stone pada sel 3C 45
4.21 Jalur alokasi sel 1A 46
4.22 Iterasi kedua dari metode stepping stone 47
4.23 Jalur Stepping-Stone untuk Cell 2A 47
4.24 Jalur Stepping-Stone untuk Cell 1B 48
4.25 Jalur Stepping-Stone untuk Cell 2B 48
4.26 Jalur Stepping-Stone untuk Cell 3C 49
4.27 Solusi optimal alternatif dengan metode stepping stone 49
4.28 Solusi layak awal dengan least-cost method 52
4.29 Solusi awal dengan semua nilai uidan vj 54
4.30 Iterasi kedua menentukan solusi optimal dengan MODI 55
4.31 Nilai baru ui dan vjuntuk iterasi 56
4.32 Contoh masalah transportasi 58
4.33 Matriks biaya transportasi hasil alokasi dengan metode NWC 59
4.34 Hasil alokasi dengan LCMsel biaya terendah pertama 61
4.35 Lanjutan proses alokasi LCM biaya terendah kedua 61
4.36 Lanjutan hasil alokasi dari metode LCM biaya terendah ketiga 62
4.37 Solusi awal dengan metode LCM 63
4.38 Tabel Masalah Transportasi 64
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
xi
4.39 Beda baris dan beda kolom iterasi ke-1 64
4.40 Hasil perhitungan pada kolom penalty terbesar pertama 65
4.41 Beda baris dan beda kolom iterasi ke-2 65
4.42 Hasil perhitungan pada kolom penalty terbesar kedua 66
4.43 Beda baris dan beda kolom iterasi ke-3 66
4.44 Hasil perhitungan pada kolom penalty terbesar ketiga 67
4.45 Beda baris dan beda kolom iterasi ke-4 67
4.46 Hasil perhitungan pada kolom penalty terbesar keempat 68
4.47 Beda baris dan beda kolom iterasi ke-5 68
4.48 Hasil perhitungan pada kolom penalty terbesar kelima 69
4.49 Solusi layak awal dengan Least-cost method (LCM) 70
4.50 Nilai vi danuj dalam tabel solusi awal 72
4.51 Nilai opportunity cost dari hasil evaluasi sel-sel kosong 72
4.52 Hasil realokasi solusi dengan metode MODI iterasi ke-1 73
4.53 Nilai opportunity cost sel-sel kosong metode MODI iterasi ke-2 73
4.54 Hasil Penyelesaian contoh Kasus Transportasi subbab 4.5 75
4.55 Tabel masalah Transportasi dengan Lindo 75
4.56 Tabel masalah Transportasi dengan Lingo 65
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
xii
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Halaman
2.1 Deskripsi jaringan transportasi 11
2.2 Representasi Model Persoalan Transportasi 13
4.1 Representasi Jaringan sederhana Masalah Transportasi 23
4.2 Jaringan Transportasi 24
4.3 Model Jaringan Transportasi 25
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
xiii
DAFTAR SIMBOL
Z = fungsi tujuan; total yang akan diminimumkan
𝐶ij = biaya transportasi per unit barang dari sumber i ke tujuan j
𝑋ij = jumlah barang yang didistribusikan dari sumber i ke tujuan j
𝑎i = jumlah barang yang ditawarkan atau kapasitas dari sumber i
𝑏j = jumlah barang yang diminta atau dipesan oleh tujuan j
𝑚 = banyaknya daerah penghasil/ sumber
𝑛 = banyaknya daerah tujuan
Pi = dummy untuk baris
Pj = dummy untuk kolom
cij = biaya transportasi per unit
ui = nilai variabel dual setiap baris
vj = nilai setiap sel kolom
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Salah satu permasalahan khusus dalam linear programming adalah masalah
transportasi, untuk menyelesaikan permasalahan ini digunakan metode transportasi.
Dikatakan khusus, karena terletak pada karakteristik utama, yaitu bahwa masalah-
masalah tersebut cenderung membutuhkan sejumlah pembatas dan variabel yang
sangat banyak sehingga dalam penggunaan komputer dalam menyelesaikan metode
simpleks akan sangat mahal dibandingkan secara manual (Zulfikarijah, 2004).
Metode transportasi adalah metode yang paling efisien dibandingkan dengan
metode simpleks. Penggunaan metode transportasi ini dipelopori oleh FL. Hitchcock
(1941), TC. Koopmas (1949) dan GB.Dantzig (1951). Beberapa permasalahan yang
dapat diselesaikan dengan metode transportasi adalah mengalokasikan barang atau
jasa dari suatu tempat (sumber/supply) ke tempat lainnya (demand/destination)
secara optimal dengan mempertimbangkan biaya minimal, pengalokasian periklanan
yang efektif, pembelanjaan modal dan alokasi dana untuk investasi, analisis
pemilihan lokasi usaha yang tepat, keseimbangan lini perakitan, dan penjadwalan
produksi (Sri Rahmawati, 2016).
Opltimalisasi dalam ilmu matematika, komputer dan ekonomi adalah suatu
proses menyelesaikan permasalahan matematis secara efektif dengan memilih solusi
terbaik dari beberapa solusi alternatif yang tersedia. Dengan kata lain optimalisasi
bertujuan untuk memaksimumkan atau meminimumkan sebuah fungsi tujuan dengan
memilih beberapa nilai integer atau variabel real dari sebuah himpunan nilai yang
ditetapkan. Demikian halnya masalah transportasi, disadari penting untuk
menemukan sebuah rencana pendistribusian yang optimal terhadap sejumlah barang
yang sejenis. Ketika penawaran barang (supply) tersedia pada sejumlah sumber yang
berbeda, jumlah permintaan barang (demand) ditentukan pada setiap tujuan, dengan
biaya transportasi dari sumber ke tujuan didefenisikan dengan jelas, masalah yang
harus diselesaikan adalah menemukan model / rencana pendistribusian yang optimal
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
2
yang dapat meminimalkan seluruh biaya transportasi pengangkutan barang dari
seluruh sumber ke seluruh tujuan (Rekha Vivek, 2013).
Beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan kasus
transportasi antara lain North west corner method (NWCM), Least cost method
(LCM), Integer programming, Dyinamic programming, Vogel approximation
method (VAM), dan algoritma simpleks. Di antara metode-metode tersebut, metode
integer programming dan dynamik programming tidak seefesien metode algoritma
simpleks karena kedua metode ini membutuhkan jumlah perhitungan yang lebih
banyak (Dwi dan Yus Endra, 2004).
Jika telah dilakukan pengalokasian dengan salah satu metode tersebut akan
diperoleh suatu nilai solusi layak awal (feasible solution). Langkah berikutnya adalah
melihat apakah alokasi tersebut sudah optimal atau belum yang dikenal dengan uji
optimalisasi. Ada dua metode uji optimalisasi yang umum digunaka, yaitu metode
Stepping-stone dan MODI (Modified Distribution). Jika hasil uji menunjukkan
bahwa solusi layak awal adalah solusi optimal maka alokasi telah optimal dan dapat
dikatakan telah mencapai nilai yang paling menguntungkan (Sri Mulyono, 2004).
Pada penelitian ini, penulis ingin menganalisis beberapa metode transportasi
yang umum digunakan oleh para peneliti sebelumnya yang berkaitan dengan masalah
transportasi yakni tiga metode untuk menentukan solusi awal yaitu North west corner
method (NWCM), Least cost method, approximation method (VAM) dan metode uji
optimalitas yaitu MODI (Modified Distribution) untuk menentukan solusi optimum.
Dan semua metode yang dianalisis tersebut akan diaplikasikan pada sebuah contoh
kasus transportasi pendistribusian barang. Sehingga penulis memberi judul penelitian
ini dengan “Analisis Beberapa Metode Transportasi Dalam Optimalisasi Biaya
Distribusi”.
1.2 Rumusan Masalah
Sesuai dengan uraian pada latar belakang penelitian ini, maka yang menjadi pokok
permasalahan pada penelitian ini adalah:
1. Mengkaji dan menganalisis karakteristik metode North west corner method
(NWCM), Least cost method, approximation method (VAM), yakni
bagaimana kelebihan dan kelemahan setiap metode sehingga suatu metode
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
3
dapat disimpulkan sebagai metode optimal untuk meyelesaikan suatu kasus
transportasi
2. Menguji keoptimalan setiap metode dengan mengaplikasikan pada contoh
kasus, dan melakukan uji optimalitas dengan metode MODI (Modified
Distribution) untuk menentukan apakah solusi awal yang diperoh sudah
merupakan solusi optimum atau tidak.
1.3 Batasan Masalah
Dalam tulisan ini penulis membatasi permasalahan pada:
1. Fokus penelitian ini adalah menganalisis bagaimana karakteristik dan alur
pengaplikasian setiap metode dapat menyelesaikan kasus transportasi
2. Ada 3 metode yang dianalisis dalam tulisan ini yaitu North west corner
method (NWCM), Least cost method, approximation method (VAM) untuk
menentukan solusi awal dan digunakan metode MODI (Modified
Distribution) untuk menguji keoptimalan solusi awal
3. Penelitian ini menggunakan contoh kasus
1.4 Tujuan Penelitian
Sesuai dengan perumusan masalah, maka tujuan dari penelitian ini adalah untuk
memperlihatkan dan menentukan metode apa yang tepat dan optimal dari ketiga
metode yang dianalisis yaitu North west corner method (NWCM), Least cost method,
approximation method (VAM) untuk menyelesaikan kasus-kasus trasportasi dalam
mengoptimalkan biaya distribusi.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah:
1. Sebagai referensi bagi mahasiswa/i agar lebih selektif dalam memilih metode
transportasi yang sesuai dengan kasus yang diteliti.
2. Memberikan informasi dan menambah pengetahuan pembaca mengenai
model transportasi yang dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari.
3. Menambah studi pustaka bagi peneliti selanjutnya yang berkaitan dengan
tulisan ini.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
4
4. Sebagai rujukan bagi perusahaan-perusahaan yang bergerak di bidang
distribusi agar dapat memilih metode yang sesuai untuk mengoptimalkan
biaya transportasi sehingga diperoleh keuntungan yang maksimum.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Riset Operasi
Masalah Riset Operasi (Operation Research) pertama kali muncul tahun 1939 di
Inggris selama Perang Dunia II. Inggris mula-mula tertarik menggunakan metode
kuantitatif dalam pemakaian radar selama perang. Mereka menamakan pendekatan
itu sebagai Operation Research karena mereka menggunakan ilmuwan (scientist)
untuk meneliti (research) masalah-masalah operasional selama perang. Ternyata
pendekatan tersebut berhasil dalam memecahkan masalah operasi konvoi, operasi
anti kapal selam, strategi pengeboman, dan operasi pertambangan (Jong Jek Siang,
2014). Setelah Perang Dunia II berakhir, Riset Operasi yang lahir di Inggris ini
kemudian berkembang pesat di Amerika karena keberhasilan tim Riset Operasi
dalam bidang militer ini telah menarik perhatian orang-orang industri. Sedemikian
pesat perkembangannya sehingga kini Riset Operasi telah digunakan dalam hampir
seluruh bidang. (Dimyati, 2004)
Secara harfiah kata operation dapat didefinisikan sebagai tindakan-tindakan
yang diterapkan pada beberapa masalah atau hipotesa. Sementara kata research
adalah suatu proses yang terorganisasi dalam mencari kebenaran akan masalah atau
hipotesa. Kenyatannya, sangat sulit mendefinisikan operation research, terutama
karena batas-batasnya tidak jelas (Mulyono, 2004). Definisi lain menurut
Operational Research Society of America (ORSA), operation research berkaitan
dengan pengambilan keputusan secara ilmiah dan bagaimana membuat suatu model
yang baik dalam merancang dan menjalankan sistem yang melalui alokasi sumber
daya yang terbatas. Dapat disimpulkan operation research adalah bagaimana proses
pengambilan keputusan yang optimal dengan menggunakan alat analisis yang ada
dan adanya keterbatasan sumber daya. (Andi Wijaya, 2013)
Dalam operation research atau Riset Operasi, masalah optimalisasi dalam
pengambilan keputusan diperoleh dengan menerapkan teknik matematika dan
statistika. Model matematika yang digunakan dalam metode riset operasi bersifat
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
6
menyederhanakan masalah dan membatasi faktor-faktor yang mungkin berpengaruh
terhadap suatu masalah. Jika riset operasi akan digunakan untuk memecahkan suatu
permasalahan, maka harus dilakukan lima langkah sebagai berikut:
1. Memformulasikan persoalan.
2. Mengobservasi sistem.
3. Memformulasikan model matematis dari persoalan yang dihadapi.
4. Mengevaluasi model dan menggunakannya untuk prediksi.
5. Mengimplementasikan hasil studi. (Putri Winda S.B., 2016)
2.2 Program Linier
Program linier (Linear Programming) yang disingkat LP merupakan salah satu
teknik Riset Operasi yang digunakan paling luas dan diketahui dengan baik. LP
merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang langka
untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau
meminimumkan biaya. LP banyak diterapkan dalam membantu menyelesaikan
masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. LP berkaitan dengan
penjelasan suatu dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri atas sebuah
fungsi tujuan linier dan sistem kendala linier. (Mulyono, 2004: 13)
Menurut Frederick S. Hiller dan Gerald J. Lieberman, linear programming
merupakan suatu model matematis untuk menggambarkan masalah yang dihadapi.
Linier berarti bahwa semua fungsi matematis dalam model ini merupakan fungsi-
fungsi linier. Pemrograman merupakan sinonim untuk kata perencanaan. Dengan
demikian membuat rencana kegiatan-kegiatan untuk memperoleh hasil yang optimal,
ialah suatu hasil untuk mencapai tujuan yang ditentukan dengan cara yang paling
baik (sesuai dengan model matematis) diantara semua alternatif yang mungkin.
Tujuan dari penyelesaian masalah program linier adalah untuk mencapai
optimasi, yaitu memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Adapun
beberapa cara atau metode pemecahan yang dapat digunakan antara lain
penyelesaian dengan metode grafik dan metode simpleks. Metode grafik dapat
digunakan pada masalah program linier yang hanya memiliki dua variabel keputusan
saja. Bila melibatkan lebih dari dua variabel maka metode grafik tidak dapat
digunakan lagi, sehingga diperlukan metode simpleks. Metode simpleks merupakan
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
7
suatu cara yang lazim digunakan untuk menentukan kombinasi optimal dari tiga
variabel atau lebih. Akan tetapi, ada sejumlah persoalan program linier yang dapat
dipecahkan dengan menggunakan prosedur perhitungan lain yang lebih efisien
daripada metode simpleks. Salah satu diantaranya adalah metode transportasi.
Metode transportasi lebih efisien dalam memecahkan persoalan transportasi dan
persoalan penugasan, yang merupakan bentuk khusus dari persoalan transportasi.
(Lolyta D., 2015)
2.3 Masalah Transportasi
Masalah Transportasi merupakan salah satu permasalahan khusus dalam linear
programming. Dikatakan khusus, karena terletak pada karakteristik utama, yaitu
bahwa masalah-masalah tersebut cenderung membutuhkan sejumlah pembatas dan
variabel yang sangat banyak sehingga dalam penggunaan komputer untuk
menyelesaikan metode simpleksnya akan sangat sulit dibanding secara manual. (Sari
Diah P, 2014)
2.3.1 Sejarah Permasalahan Transportasi
Masalah transportasi telah lama dipelajari dan dikembangkan sebelum lahir model
program linear. Pada tahun 1939, L.V Kantorovitch mempelajari beberapa
permasalahan yang berhubungan dengan model transportasi. Kemudian F.L.
Hitchcock pada tahun 1941 merumuskan model matematika dari persoalan
transportasi dan kini dianggap sebagai model matematika persoalan transportasi yang
baku, atau sering juga disebut sebagai model Hitchcock. Kemudian pada tahun 1947
T.C. Koopmans menerbitkan buku tentang sistem transportasi yang berjudul
Optimum Utilization of the Transportation System yang kemudian disusul G.B
Dantzig pada tahun 1951 tentang perumusan persoalan linear programming dan cara
pemecahan yang sistematis yang sering disebut sebagai bapak linier programming.
Prosedur pemecahan yang sistematis tersebut disebut metode simpleks.(Siti
Ramadhani, 2015)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
8
2.3.2 Definisi dan Tujuan Masalah Transportasi
Secara umum arti transportasi adalah adanya perpindahan barang dari suatu tempat
ke tempat lain dan dari beberapa tempat ke beberapa tempat lain. Tempat atau
tempat-tempat asal barang disebut juga dengan istilah sumber atau sumber-sumber
(resources). Sedangkan tempat atau tempat-tempat tujuan disebut destination. Hal ini
merupakan bagian dari kehidupan nyata manusia untuk memindahkan barang dari
satu tempat ke tempat lain sesuai dengan kebutuhannya. Misalnya, di suatu tempat
asal barang mempunyai jumlah produk yang berlebih sehingga perlu
ditransportasikan ke tempat lain yang memerlukannya (P, Suyadi, 2005).
Dalam arti sederhana, masalah transportasi berusaha menentukan sebuah
rencana transportasi sebuah barang dari sejumlah sumber ke sejumlah tujuan.
Masalah transportasi berkaitan dengan penentuan rencana berbiaya rendah untuk
mengirimkan suatu barang dari sejumlah sumber (misalnya, pabrik) ke sejumlah
tujuan (misalnya, gudang). Dalam arti lain, transportasi adalah aplikasi yang
digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk
yang sama, ke tempat-tempat yang membutuhkan produk tersebut secara optimal.
Masalah transportasi pada dasarnya merupakan sebuah program linier yang
dipecahkan oleh metode simpleks biasa. Tetapi, strukturnya yang khusus
memungkinkan pengembangan sebuah prosedur pemecahan, yang disebut teknik
transportasi, yang lebih efisien dalam hal perhitungan. (Siti Ramadhani, 2016)
2.3.3 Ciri-ciri Masalah Transportasi
Ciri-ciri khusus masalah transportasi adalah:
1. Terdapat sejumlah sumber dan sejumlah tujuan tertentu.
2. Kuantitas komoditas atau barang yang didistribusikan dari setiap sumber dan
yang diminta oleh setiap tujuan, besarnya tertentu.
3. Komoditas yang dikirim atau diangkut dari suatu sumber ke suatu tujuan,
besarnya sesuai dengan permintaan dan atau kapasitas sumber.
4. Ongkos pengangkutan komoditas dari suatu sunber ke suatu tujuan, besarnya
tertentu. (Bu’ulolo ̈, F. 2016)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
9
2.3.4 Model Umum Masalah Transportasi
2.3.4.1 Asumsi Dasar
Model transportasi merupakan salah satu bentuk khusus atau variasi dari program
linier yang di kembangkan khusus untuk memecahkan masalah-masalah yang
berhubungan dengan transportasi (pengangkutan) dan disribusi produk atau sumber
daya dari berbagai sumber (pusat pengadaan, atau titik supply) ke berbagai tujuan
(titik permintaan atau pusat pemakaian) yang lebih efisien dalam hal perhitungan.
Asumsi dasar dari model ini adalah bahwa biaya transportasi di sebuah rute
tertentu adalah proposional secara langsung dengan jumlah unit yang dikirimkan.
Defenisi unit transportasi akan bervariasi bergantung pada jenis barang yang di
kirimkan.
Model umum suatu persoalan transportasi dilandasi pada asumsi-asumsi
berikut:
1. Bahwa suatu produk yang ingin diangkut tersedia dalam jumlah yang tetap
dan diketahui.
2. Bahwa produk tersebut akan dikirim melalui jaringan transpotasi yang ada
dengan memakai cara pengakutan tertentu dari pusat-pusat permintaan.
3. Bahwa jumlah permintaan di pusat permintaan pun diketahui dalam jumlah
tertentu dan tetap.
4. Bahwa ongkos angkutan per-unit produk yang diangkut pun diketahui,
sehingga tujuan kita untuk meminimumkan biaya total angkutan dapat
tercapai.
5. Bahwa sumber tidak mungkin mengirim komoditas lebih besar dari
kapasitasnya.
Karena hanya ada satu jenis komoditas, pada dasarnya setiap daerah tujuan
dapat menerima komoditas dari sembarang daerah sumber. (Siti Ramadhani, 2016)
2.3.4.2 Pengertian Metode Transportasi
Pengertian Metode Transportasi menurut Hamdi A. Taha (2003) adalah The
transportation method is a special class of linear programming that deals with
shipping a commodity from sources (e.g. factories) to destinations (e.g.warehouses)
the objective is to determine the total shipping cost while satisfying supply and
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
10
demand limits.” Maksudnya Metode transportasi adalah bagian khusus dari linear
programming yang membahas pengangkutan komoditi dari sumber ke tempat tujuan
dengan tujuan untuk menemukan pola pengangkutan yang dapat meminimumkan
biaya pengangkutan total da lam pemenuhan batas penawaran dan permintaan.
Sedangkan, Richard B. Chase dkk (2004) menyatakan bahwa “The
transportation method is a simplified special case of simplex method, it gets its name
from its application to problem involving transporting product from several sources
to several destinations, two common objectives of such problem are either: 1.
Minimize the cost of shipping, n units to m destinations 2. Maximize the profit of
shipping, n units to m destinations.” Yang dimaksud dengan Metode Transportasi
menurut defenisi ini adalah suatu bentuk khusus untuk mempermudah metode
simpleks. Nama tersebut diambil dari kegunaan metode tersebut yang meliputi
masalah-masalah angkutan dari beberapa sumber ke beberapa tujuan, dua hal dasar
objek mendasar masalah ini yaitu: 1. Minimisasi ongokos angkut, n unit ke m tujuan
2. Maksimisasi laba angkut, n unit ke m tujuan.
Dan menurut Pangestu Subagyo dkk (2008) mengatakan bahwa Metode
Transportasi merupakan sebuah metode yang digunakan untuk mengatur distribusi
dari sumber-sumber yang menghasilkan produk yang sama ke tempat-tempat yang
membutuhkan secara optimal. (Dika Herli, 2014)
Dari pendapat-pendapat di atas penulis menyimpulkan, bahwa pada dasarnya
Metode Transportasi merupakan metode yang dipakai untuk merencanakan dan
mengendalikan pengalokasian barang dari beberapa sumber ke berbagai tujuan agar
pendistribusian dapat terlaksana sesuai rencana, seoptimal mungkin dan dengan
biaya yang minimum.
2.3.4.3 Model Masalah Transportasi
Model permasalahan transportasi yang paling sederhana diperkenalkan tahun 1941
dan terus dikembangkan pada tahun 1949 dan 1951. Kemudian, beberapa perluasan
dari model dan metode transportasi telah dikembangkan oleh peneliti berikutnya.
Secara umum masalah transportasi diperlihatkan melalui jaringan berikut ini.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
11
Gambar 2.1 Jaringan transportasi
Asumsi dasar dari model transportasi adalah besarnya ongkos transportasi pada
rute adalah proposional dengan jumlah barang yang di distribusikan. Deskripsi model
transportasi dalam bentuk jaringan dari m sumber ke n tujuan digambarkan dengan
titik dan busur seperti pada Gambar 2.1. Ada m sumber dan n tujuan masing-
masing digambarkan melalui sebuah titik, dan sebuah busur menghubungkan sumber
dengan tujuan menggambarkan jalur-jalur antara sumber dan tujuan. Busur-busur (i,
j) menghubungkan sumber i menuju tujuan j membawa dua informasi : (1) biaya
transportasi per unit- cij, dan (2) jumlah barang yang dikirim- xij . Jumlah supply
(penawaran) pada sumber i adalah ai dan jumlah demand (permintaan) pada tujuan j
adalah bj . Tujuan dari model tersebut adalah untuk menentukan besar nilai xij yang
meminimalkan total biaya transportasi saat memenuhi semua batasan supply dan
demand.
Suatu masalah transportasi dapat dimodelkan secara matematis, yaitu dengan
membentuk fungsi tujuan. Fungsi tujuan tersebut menunjukkan biaya transportasi
dari sumber i ke tujuan j, maka model program linier untuk permasalahan
transportasi dapat diformulasikan sebagai berikut.
Fungsi tujuan:
Meminimalkan
(2.1)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
12
Dengan kendala:
(2.2)
(2.3)
(2.4)
Keterangan:
Z = fungsi tujuan; total yang akan diminimumkan
𝐶ij = biaya transportasi per unit barang dari sumber i ke tujuan j
𝑋ij = jumlah barang yang didistribusikan dari sumber i ke tujuan j
𝑎i = jumlah barang yang ditawarkan atau kapasitas dari sumber i
𝑏j = jumlah barang yang diminta atau dipesan oleh tujuan j
𝑚 = banyaknya daerah penghasil/ sumber
𝑛 = banyaknya daerah tujuan
Bentuk umum dari tabel transportasi dapat dilihat pada tabel berikut.
Tabel 2.1 Gambaran Umum Masalah Transportasi
Sebagai ilustrasi, Gambar 2.2 akan memodelkan persoalan transportasi
dengan 3 sumber dan 4 tujuan (m= 3, n= 4).
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
13
Gambar 2.2 Representasi Model Persoalan Transportasi
Fungsi Tujuan:
Meminimumkan
Z = C11X11 + C12X12 + C13X13 + C14X14 + C21X21 + C22X22 + C23X23 +
C24X24 + C31X31 + C32X32 + C33X33 + C34X34
Dengan kendala:
X11 + X12 + X13 + X14 ≤ a1
X21 + X22 + X23 + X24 ≤ a1
X31 + X32 + X33 + X34 ≤ a1
X11 + X21+ X31 ≥ b1
X12 + X22 + X32 ≥ b2
(Ariz Kurnia, 2017)
2.3.4.4 Keseimbangan Transportasi
Permasalahan transportasi seimbang adalah permasalahan biaya angkutan barang di
mana jumlah barang yang dipasok dari tempat asal sama dengan jumlah barang yang
diminta di tempat tujuan. (Sitorus, 1997)
Dalam kehidupan nyata, tidak selalu dapat dipastikan bahwa penawaran sama
dengan permintaan atau melebihinya. Tetapi, sebuah model transportasi dapat selalu
berimbang. Pengimbangan ini, di samping kegunaannya dalam pemodelan situasi
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
14
praktis tertentu, adalah penting untuk pengembangan sebuah metode pemecahan
yang sepenuhnya memanfaatkan struktur khusus dari model transportasi ini (Taha,
1996).
Model Gambar 2.3 pada subbab 2.3.4.3 menyiratkan bahwa penawaran total
harus setidaknya sama dengan permintaan total. Ketika penawaran total sama dengan
permintaan total formulasi yang dihasilkan disebut model transportasi
berimbang (balanced transportation model). Formulasi ini berbeda dengan formulasi
sebelumnya hanya terletak pada batasannya yaitu bahwa semua batasan adalah
persamaan, dituliskan sebagai berikut:
(2.5)
(2.6)
Dalam persoalan transportasi yang sebenarnya, jumlah supply yang tersedia
tidak selalu sama dengan jumlah demand atau dengan kata lain jumlah supply yang
tersedia mungkin lebih besar atau lebih kecil daripada jumlah demand. Jika hal ini
terjadi, maka model persoalan disebut sebagai model transportasi tidak seimbang
(unbalanced transportation model). Setiap persoalan transportasi dapat dibuat
seimbang dengan memasukkan kolom dummy atau baris dummy. Ada 2
kemungkinan yang terjadi pada persoalan transportasi tidak seimbang yaitu:
1. Bila supply lebih besar daripada demand ai > bj, persoalan ini diselesaikan
dengan cara menetapkan dummy pada tujuan (kolom) untuk menyerap
kelebihan demand sebesar:
(2.7)
2. Bila supply lebih kecil daripada demand ai < bj , persoalan ini diselesaikan
dengan cara menetapkan dummy pada sumber (baris) untuk men-supply
kekurangan demand sebesar:
(2.8)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
15
Dummy tujuan pada kolom maupun dummy sumber pada baris tabel
transportasi pada dasarnya adalah buatan (tidak riil). Dengan demikian, biaya
distribusi pada kolom dummy dan baris dummy adalah nol. Hal ini dapat dipahami
karena pada kenyataan tidak terjadi pengiriman dari sumber dummy dan tidak terjadi
pengiriman ke tujuan dummy.
Tabel 2.1 Tabel Persoalan Transportasi Seimbang ∑ai = ∑bj
Tabel 2.1 Tabel Persoalan Transportasi Tidak Seimbang ∑ai > ∑bj
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
16
Tabel 2.1 Tabel Persoalan Transportasi Tidak Seimbang ∑ai < ∑bj
(Jelly Luis, 2014)
2.3.4.5 Metode Penyelesaian Masalah Transportasi
Untuk menyelesaikan persoalan transportasi, harus dilakukan dengan langkah-
langkah sebagai berikut:
1. Menentukan Solusi Fisibel Basis Awal.
2. Manentukan entering variabel dari variabel-variabel nonbasis. Bila semua
variabel sudah memenuhi kondisi optimal, STOP. Bila belum lanjutkan ke
langkah 3.
3. Tentukan leaving variabel diantara variabel-variabel basis yang ada,
kemudian hitung solusi yang ada. Kembali ke langkah 2.
Ada beberapa metode untuk menentukan solusi awal. Tiga dari metode yang
dikenal adalah North West Corner, Least Cost, dan Aproksimasi Vogel.
Metode Northwest Corner
Alur kerja metode Northwest Corner
a. Pendistribusian dimulai dari pojok kiri atas dan diakhiri pada pojok kanan
bawah.
b. Setiap pendistribusian dipilih nilai sebanyak mungkin tanpa menyimpang dari
sumber atau tujuan
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
17
c. Apabila variabel dasar sudah terisi semua, maka dihitung jumlah biaya yang
akan dikeluarkan oleh perusahaan.
Metode Least Cost
Alur kerja metode Least Cost
a. Pendistribusian dimulai dari biaya terkecil dan apabila terdapat biaya terkecil
lebih dari satu, maka dipilih salah satu.
b. Setiap pendistribusian dipilih nilai sebanyak mungkin tanpa mengabaikan
jumlah sumber atau tujuan
c. Lanjutkan dengan cara yang sama sampai semua penawaran telah dihabiskan
dan keperluan permintaan telah dipenuhi.
Vogel.’s Approximation
Alur kerja Vogel’s Approximation
a. Menghitung oppurtunity cost yang didasarkan pada dua biaya terkecil pada
setiap baris dan kolom dan mengurangkan kedunya, hasil perhitungannya
disebut dengan penalty cost.
b. Memilih nilai penalty cost terbesar di antara baris dan kolom.
c. Memilih biaya terkecil dari nilai penalty cost terbesar dan mendistribusikan
sejumlah nilai. Baris atau kolom penalty yang sudah terpilih diabaikan untuk
langkah selanjutnya.
d. Menyesuaikan jumlah permintaan dan penawaran untuk menunjukkan alokasi
yang sudah dilakukan. Menghilangkan semua baris dan kolom di mana
penawaran dan permintaan telah dihabiskan.
e. Apabila jumlah penawaran dan permintaan belum sesuai, maka ulangi
langkah pertama sampai terisi semua.
Metode MODI (Modified Distribution)
Metode MODI merupakan variasi dari metode stepping stone yang didasarkan
pada rumusan dual. Perbedaannya dengan metode stepping stone adalah metode ini
tidak harus menentukan semua jalur tertutup variabel nonbasis, kecuali pada saat
akan melakukan perpindahan pengisian tabel. Dengan demikian metode MODI
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
18
merupakan cara yang efisien untuk menghitung variabel non basis. Dalam metode
MODI terdapat persamaan sebagai berikut.
cij = ui + vj (2.9)
Dengan,
cij = biaya transportasi per unit
ui = nilai variabel dual setiap baris
vj = nilai setiap sel kolom
Adapun langkah-langkah dalam metode MODI adalah :
a. Menentukan nilai uiuntuk setiap baris dan nilai-nilai vi untuk setiap kolom
dengan menggunakan hubungan cij = ui + vi untuk semua variabel basis
dan menentukan nilai u1= 0
b. Menghitung perubahan biaya dij untuk setiap variabel non basis dengan
menggunakan rumus dij = cij - mi + ni
c. Apabila hasil perhitungan terdapat nilai dij negatif, maka solusi belum
optimal. Oleh karena itu dipilih Xij dengan nilai dij negatif terbesar sebagai
entering variabel.
d. Mengalokasikan sejumlah nilai ke entering variabel Xij sesuai dengan
proses stepping stone dan mengulangi langkah pertama.
(Sri Rahmawati, 2016)
2.4 Sistem Distribusi
Distribusi merupakan proses pemindahan barang-barang dari tempat produksi ke
berbagai tempat atau daerah yang membutuhkan. Kotler (2005) mendefinisikan
bahwa distribusi akan mencakup perencanaan, pelaksanaan dan pengawasan arus
bahan dengan memperoleh produk akhir dari tempat produksi dengan memperoleh
keuntungan. Sebagian besar perusahaan menyatakan bahwa tujuan distribusi adalah
membawa barang dalam jumlah tepat, pada waktu yang tepat, dan dengan biaya
serendah mungkin.
Aspek terpenting dari distribusi suatu produk adalah biaya pengangkutan
sedangkan biaya pengangkutan sangat dipengaruhi oleh tarif angkut. Dengan
demikian, tingginya biaya pengangkutan akan mempersempit wilayah pemasaran
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
19
suatu produk. Panjang pendeknya distribusi pemasaran tergantung beberapa faktor
antara lain :
1. Jarak antara produsen dan konsumen, artinya semakin jauh jarak antara
produsen dan konsumen maka biasanya semakin panjang saluran yang akan
ditempuh oleh produk.
2. Cepat tidaknya produk rusak, artinya produk yang cepat atau mudah rusak
harus segera diterima konsumen, dengan demikian menghendaki saluran yang
pendek dan cepat.
3. Skala produksi, artinya bila produksi berlangsung dalam ukuran kecil maka
jumlah produk yang dihasilkan dalam ukuran kecil pula, sehingga tidak akan
menguntungkan jika produsen menjualnya langsung ke pasar. Dalam kondisi
demikian kehadiran pedagang perantara diharapkan, agar saluran yang dilalui
produk cenderung panjang.
4. Posisi keuangan perusahaan. Produsen yang kondisi keuangannya kuat
cenderung untuk memperpendek saluran tataniaga. Agar efektif,
pengoperasian aset sehari-hari harus mengimplementasikan strategi-strategi
yang telah dikembangkan berdasarkan struktur dan otomatisasi rantai
pasokan. Proses yang dijalankan adalah bagaimana membawa produk yang
benar ke outlet yang benar dan pelanggan yang tepat pada waktu yang tepat
pula.
Ada kemungkinan kesalahan apabila sasarannya tidak memenuhi tuntutan
pelanggan 100 persen. Persediaan harus tersedia di tempat yang tepat pada waktu
yang tepat setiap hari tanpa ada yang gagal. Tanpa adanya persediaan yang tepat,
proses distribusi lainnya tidak akan dapat beroperasi. Pengiriman kilat merupakan
pengecualian yang jarang dilakukan. Pada prinsipnya, agar dapat beroperasi setiap
hari, persediaan harus ada di tempat yang benar pada waktu yang tepat. (Diah
Purnama Sari, 2014)
2.5 Degenerasi dan Redundansi
Sebelum menguji optimalitas tabel, terlebih dahulu menghitung jumlah variabel basis
yang ada pada tabel penyelesaian awal yakni harus memenuhi 𝑚+𝑛−1 (𝑚 = jumlah
baris dan 𝑛 = jumlah kolom buah variabel basis (sel yang terisi)) agar proses
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
20
pengujian keoptimalan dan iterasi capat dilakukan. Akan tetapi dalam menghitung
variabel basis ada kondisi dimana variabel basis yang ada tidak dapat memenuhi
𝑚+𝑛−1 buah variabel basis. Hal ini terjadi karena adanya degenerasi dan redundansi.
Pada degenarasi sel yang terisi kurang dari 𝑚+𝑛−1 buah variabel basis, sedangkan
pada redundansi sel yang terisi melebihi dari 𝑚+𝑛−1 buah variabel basis. Untuk
mengatasi degenerasi, dapat dilakukan penambahan sel terisi dengan cara
memasukkan nilai 0 (sebanyak yang dibutuhkan) ke dalam sel sehingga jumlah sel
terisi sama dengan 𝑚+𝑛−1, sementara kasus redundasi dapat diatasi dengan
megurangi sel alokasi yaitu menggabungkan dua sel ke dalam satu sel degan
memperhatikan harga sel. (Putri Winda Sari, 2016)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
BAB 3
METODOLOGI PENELITIAN
Pada bab ini disampaikan metodologi yang digunakan penulis dalam
melakukan penelitian ini. Selain itu, diberikan langkah-langkah sistematis dan
diagram alur sebagai penjelasan tentang proses yang akan dilakukan penulis
dalam melakukan penelitian.
Metodologi yang digunakan dalam penelitian ini adalah menggunakan
metode kepustakaan, yaitu dengan mengumpulkan, membaca, dan mempelajari
referensi-referensi, jurnal, buku-buku yang berkaitan, maupun informasi-
informasi yang didapat dari internet. Berikut ini langkah-langkah yang dilakukan
penulis dalam melakukan penelitian, yaitu:
1. Studi pustaka
Tahap ini dimulai dengan studi kepustakaan yaitu mengumpulkan bahan
referensi, mempelajari serta menggali informasi baik dari buku, artikel,
paper, jurnal, makalah, maupun situs internet mengenai metode North west
corner method (NWCM), Least cost method, approximation method (VAM)
dan MODI (Modified Distribution)
2. Menjelaskan secara rinci setiap metode transportasi North west corner
method (NWCM), Least cost method, approximation method (VAM)
sebagai metode penentuan feasible solution dan Modified Distribution
(MODI) sebagai metode uji optimalitas
3. Menganalisis karakteristik tiap metode dan penggunaan masing-masing
metode
4. Penerapan dalam penyelesaikan contoh kasus dengan metode yang sudah
dianalisis
5. Membuat kesimpulan dan saran.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
22
3.1 Kerangka Penelitian
Berikut ini adalah susunan kerangka teoritis yang disajikan dalam bentuk
diagram alur.
LATAR BELAKANG
Menentukan metode optimal untuk
menyelesaikan kasus transportasi
dalam pendistribusian barang
STUDI LITERATUR
Mempelajari teori yang berkaitan dengan masalah
penelitian yakni : program linear, metode transportasi,
jurnal-jurnal terkait masalah optimalisasi biaya distribusi
MENENTUKAN FOKUS PENELITIAN
Menentukan judul dan batasan masalah yang akan dianalisis,
yakni metode transportasi menentukan solusi awal NWCM,
LCM, VAM, dan metode uji optimalitas MODI
PEMBAHASAN
Mengkaji dan menganalisis secara rinci karakteristik dan
alur kerja setiap metode dalam menyelesaikan kasus
transportasi untuk menentukan solusi awal
NWCM LCM VAM
UJI OPTIMALITAS
Solusi awal dari setiap metode
dengan MODI
PENERAPAN
SEMUA METODE
PADA CONTOH
SOAL METODE OPTIMAL
KESIMPULAN DAN
SARAN
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
BAB 4
PEMBAHASAN
4.1 Masalah Transportasi
Pada umumnya, masalah transportasi berhubungan dengan distribusi suatu produk
tunggal dari beberapa sumber, dengan penawaran terbatas, menuju beberapa tujuan,
dengan permintaan tertentu, pada biaya transport minimum. Secara khusus masalah
transportasi merupakan hal yang berkaitan dengan persediaan (supply), permintaan
(demand), dan biaya pengiriman (shipping cost) barang atau produk tunggal tertentu
yang bertujuan untuk megoptimalkan biaya pendistribusian.
Dalam hal ini produk yang didistribusikan adalah produk tunggal, maka suatu
tujuan (destination) dapat memenuhi jumlah permintaan yang dibutuhkan dari
beberapa sumber (source) yang berbeda, demikian halnya satu sumber dapat
mengirimkan sejumlah barang ke beberapa tujuan sesuai dengan jumlah barang yang
tersedia. Untuk lebih memahami pernyataan tersebut, penulis memperlihatkan
dengan gambar jaringan transportasi berikut ini.
Gambar 4.1 Representasi Jaringan Sederhana Masalah Transportasi
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
24
Gambaran umum dari sebuah masalah transportasi berdasarkan representasi
jaringan Gambar 4.1 dapat di uraikan dalam 3 hal berikut.
1. Sejumlah m titik sumber dapat mengirimkan sejumlah produk tunggal. Titik
sumber i dapat menyediakan maksimal si unit produk.
2. Sejumlah n titik tujuan tempat produk dikirimkan, dengan setiap titik j harus
menerima minimal dj unit produk.
3. Setiap unit produk yang dihasilkan pada sumber i dan dikirimkan ke tujuan j
dihubungkan sebuah variabel biaya cij, dan variabel jumlah barang yang
dikirimkan dari titik sumber i ke titik tujuan j adalah xij
Masalah transportasi ini dapat diperlihatkan dalam contoh sebuah perusahaan
pembuatan barang atau pabrik yang mendistribusikan hasil produksi ke beberapa
gudang. Sebuah perusahaan memiliki tiga buah pabrik yakni P1, P2, P3 yang
memproduksi produk yang sama. Dari ketiga pabrik, produk tersebut di angkut ke
tiga buah gudang yakni W1 , W2 , W3. Setiap pabrik memiliki kapasitas produksi
barang yang terbatas, dan masing-masing gudang memiliki kapasitas permintaan
tertentu. Setiap pabrik mendistribusikan hasil produksi ke setiap gudang, dengan
biaya transportasi berbeda-beda untuk setiap rute pengiriman. Permasalahan yang
perlu diselesaikan dalam hal ini adalah menentukan banyaknya jumlah barang yang
dikirimkan ke setiap gudang dengan tujuan meminimalkan total biaya transportasi.
Uraian ini dapat diperlihatkan dalam Gambar 4.2 jaringan transportasi
berikut.
Gambar 4.2 Jaringan transportasi
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
25
Data dari suatu masalah transportasi yang bersangkutan dapat dapat diringkas
dalam sebuah tabel transportasi. Tabel transportasi secara implisit memperlihatkan
batasan jumlah persediaan dan permintaan serta biaya pengiriman antara setiap
sumber dan tujuan seperti yang diperlihatkan pada Tabel 4.1 berikut.
Tabel 4.1 Tabel Masalah Transportasi
4.2 Model Matematika Masalah Transportasi
Sebelum dilanjutkan menentukan solusi masalah transportasi menggunakan metode
yang sudah dikembangkan khusus untuk masalah tersebut, maka terlebih dahulu
diformulasikan dalam sebuah model matematika seperti masalah program linier
umumnya. Model program linier dari masalah transportasi yang dibentuk dikenal
dengan istilah model transportasi.
Data yang dimuat dalam sebuah model transportasi meliputi
1. Level supply dari setiap sumber dan jumlah demand dari setiap tujuan
2. Biaya transportasi setiap unit produk dari setiap sumber ke setiap tujuan
Gambar 4.3 Model jaringan transportasi
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
26
Gambar 4.3 mempresentasikan sebuah model transportasi dengan m sumber
(sources) S1, S2, ….Sm yang memiliki ai (i = 1,2,3,...m) unit supply secara berurutan
dan n tujuan (destination) D1, D2, …, Dn dengan bj (j = 1,2,3,..., n) unit permintaan
secara berurutan. Setiap sumber atau tujuan digambarkan melalui sebuah titik. Rute
atau alur pendistribusian antara sumber dan tujuan direpresentasikan dengan sebuah
busur yang menghubungkan dua titik. Biaya transportasi setiap unit antara sumber i
dan tujuan j adalah cij dan jumlah unit yang dikirim setiap rute dari sumber i ke
tujuan j disimbolkan xij.
Tabel 4.2 Tabel Transportasi secara umum
Misalkan xij merupakan banyaknya jumlah produk yang diangkut dari sumber
i ke tujuan j. Biaya yang diasosiasikan dengan perpindahan ini adalah hasil kali biaya
perunit dengan banyak unit.
Biaya alokasi = cost x quantity = cij xij
Biaya transportasi sejumlah barang dari sejumlah sumber i menuju seluruh
tujuan j dinyatakan dalam persamaan berikut.
(4.1)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
27
Maka, total biaya transportasi produk dari seluruh sumber ke seluruh tujuan
adalah:
Total biaya:
(4.2)
Karena tujuan dari masalah transportasi adalah meminimumkan total biaya
maka model transportasi nya adalah sebagai berikut:
Meminimalkan:
(4.3)
Dengan kendala:
(4.5)
(4.5)
(4.6)
Keterangan:
Z = fungsi tujuan; total biaya transportasi
cij = biaya transportasi per unit barang dari sumber i ke tujuan j
xij = jumlah barang yang didistribusikan dari sumber i ke tujuan j
𝑎i = jumlah barang yang ditawarkan atau kapasitas dari sumber i
𝑏j = jumlah barang yang diminta atau dipesan oleh tujuan j
𝑚 = banyaknya sumber
𝑛 = banyaknya tujuan
(Akpan, Stephen dkk. 2015)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
28
Untuk lebih memahami dalam memodelkan sebuah masalah transportasi,
penulis mengambil sebuah contoh sederhana kasus transportasi berikut ini. Tiga buah
pabrik A, B dan C memproduksi gula yang berlokasi di wilayah yang berbeda-beda.
Pabrik A memproduksi b1 ton gula pertahun dan pabrik B memproduksi b2 ton
pertahun dan pabrik C memproduksi c3 ton gula pertahun. Gula tersebut di butuhkan
oleh 4 pasar W, X, Y dan Z dengan masing-masing kebutuhan berturut-turut adalah
d1, d2, d3 dan d4 ton. Biaya transportasi setiap ton gula dari setiap pabrik ke setiap
pasar diberikan pada matriks transportasi Tabel 4.3 berikut. Tujuan dari masalah ini
adalah untuk mengangkut gula dari pabrik menuju pasar dengan total biaya
transportasi minimum.
Tabel 4.3 Contoh Tabel Transportasi Gula
Model transportasi:
Minimumkan total biaya:
Z = c11 x11 + c12 x12 + c13 x13 + c14 x14 + c21 x21 + c22 x22 + c23 x23 + c24x24+
c3x31 + c32 x32 + c33 x33 + c34 x34
Dengan kendala:
a11 x11 +a12 x12 + a13 x13 + a14 x14 ≤ b1
a21 x21 + a22 x22 + a23 x23 + a24 x24 ≤ b2
a31 x31 + a32 x32 + a33 x33 + a34 x34 ≤ b3
a11 x11 + a21 x21 + a31 x31 ≥ d1
a12 x12 + a22 x22 + a32 x32 ≥ d2
a13 x13 + a23 x23 + a33 x33 ≥ d3
a14 x14 + a24 x24+ a34 x34 ≥ d4
dan semua xij and xji lebih dari 0 untuk i = 1,2,3 and j = 1,2,3,4. (supply ≥ 0)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
29
Contoh soal tersebut memiliki ciri-ciri
1. Memiliki fungsi tujuan
2. Memiliki persamaan kendala yang saling berkaitan
3. Persamaan kendala bernilai tidak negatif
4. Hubungan atara variabel dan kendala linier
Ciri-ciri ini juga adalah ciri-ciri dari persoalan program linier sehingga benar bahwa
masalah transportasi adalah bentuk khusus masalah program linier.
4.3 Penyelesaian Masalah Transportasi
Masalah transportasi sebagai bentuk khusus dari masalah program linier dapat
diselesaikan dengan metode simpleks. Tetapi karena struktur persamaan kendala
yang lebih kompleks yakni adanya kombinasi tanda ≤ dan ≥ pada kendala, ketika
diselesaikan dengan metode simpleks, diperlukan waktu yang lebih banyak atau lama
dan mengalami kesulitan menentukan solusi akhir. Karena itu digunakan sebuah
metode khusus yang disebut dengan algoritma transportasi atau metode transportasi.
Sebuah pendekatan untuk menentukan solusi dari sebuah persoalan
transportasi dengan algoritma transportasi adalah sebagai berikut.
4.3.1 Menentukan Solusi Layak Awal (initial basic feasible solution )
Solusi layak awal merupakan solusi yang diperoleh dengan mengalokasikan seluruh
produk ke tujuan dengan memenuhi seluruh ketentuan kendala dan fungsi tujuan
yang mana nilai solusi yang diperoleh belum tentu optimal.
Langkah-langkah menentukan solusi layak awal:
1. Membuat model transportasi.
Menyajikan seluruh informasi dari suatu masalah transportasi yaitu supply
dari seluruh sumber dan permitaan dari seluruh tujuan serta biaya pengiriman
kedalam tabel berbentuk matriks yang terdiri dari sel-sel tempat alokasi yang
terbentuk dari baris dan kolom.
2. Menyeimbangkan masalah transportasi yang akan diselesaikan.
Artinya melihat apakah jumlah supply (Σai) sama dengan jumlah demand
(Σbj) (Σai = Σbj). Jika sama dapat dilanjutkan ke langkah kedua. Jika tidak
maka harus diseimbangkan terlebih dahulu dengan menambahkan sebuah
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
30
kolom dummy atau baris dummy. Biaya dari sel dummy adalah nol. Jika Σai
lebih besar dari Σbj maka yang ditambah adalah sebuah kolom dummy,
dengan maksimal unit yang ditampung adalah sebanyak Σai - Σbj dan nilai
biaya dari sel-sel tersebut adalah nol. Demikian juga jika Σbj lebih besar dari
Σai maka ditambahkan sebuah baris dummy, dengan maksimal unit yang
ditampung adalah sebayak Σbi - Σaj dan nilai biaya dari sel-sel tersebut adalah
nol. Ketika proses penyeimbangkan sudah selesai maka dilanjutkan ke
langkah kedua. Dan sama hal nya dengan masalah program linier, maka
pertidaksamaan harus diubah ke bentuk persamaan dengan menambahkan
slack variable yaitu variabel dummy.
3. Sebuah solusi layak awal dapat ditentukan menggunakan 3 metode, yaitu
a) North-west corner method (NWCM)
b) Leas-cost cell method
c) Vogel’s Approximation method (VAM)
(Gupta, PK dan Hira, DS. 2007)
4.3.2 Menetukan Solusi Optimum (optimum solution)
Setelah solusi layak awal diperoleh, selanjutnya dilakukan evaluasi terhadap hasil
alokasi solusi tersebut untuk mecapai solusi optimum. Ada dua metode yang dapat
digunakan untuk menguji keoptimalan solusi layak awal yaitu:
a) Stepping Stone Method
b) Modified Distribution Method (MODI)
4.3.3 Ciri-ciri Solusi Layak Awal
Solusi layak awal yang diperoleh dinyatakan layak apabila memenuhi beberapa ciri
berikut.
1. Alokasi yang dibuat harus memenuhi keseluruhan syarat, yakni
menghabiskan seluruh ketersediaan supply dan memenuhi kapasitas demand
2. Memenuhi ketidaknegatifan persamaan kendala
3. Total jumlah sel alokasi atau variabel basis harus sama dengan m+n-1,
dengan m adalah banyak baris dan n banyak kolom. Dalam suatu masalah LP
banyaknya variabel basis dalam tabel simpleks sama dengan banyaknya
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
31
kendala. Namun, pada masalah transportasi, terdapat sebuah kendala yang
berlebihan (redundant). Kondisi keseimbangan Σai = Σbj, memberikan
kenyataan bahwa jika m+n-1 kendala terpenuhi kemudian m+n persamaan
juga akan terpenuhi. Hanya terdapat m+n-1 persamaan independent.
Sehingga, solusi awal hanya memiliki m+n-1 variabel basis. (Murthy, P R.
2007)
4.4 Metode Transportasi
Setelah menjelaskan alur penyelesaian sebuah masalah transportasi berdasarkan
algoritma transportasi yang ada, maka penulis melanjutkan dengan mengkaji lebih
spesifik bagaimana alur kerja dan karakteristik setiap metode dalam menentukan
solusi awal maupun solusi optimal. Tujuannya adalah untuk memperlihatkan
perbedaan setiap metode dan melihat keoptimalan masing-masing metode dalam
menyelesaikan masalah transportasi. Dalam hal ini dianggap masalah transportasi
yang akan diselesaikan seimbang atau sudah diseimbangkan dengan variabel dummy.
4.4.1 Metode Untuk Menentukan Solusi Layak Awal
4.4.1.1 North-West Corner Method (NWCM)
Sesuai dengan nama metode ini, maka alokasi pertama dilakukan di sel paling kiri
atas (northwest) matriks transportasi kemudian bergerak ke kanan atau ke bawah
sesuai permintaan dan kapasitas produksi yang sesuai.
Langkah-langkahnya dapat diringkas seperti berikut ini.
1. Mulai pada pojok barat laut, sel paling kiri atas tabel matriks transportasi.
Bandingkan jumlah supply pada sumber 1 (S1) dengan jumlah demand pada
tujuan 1 (D1).
a) Jika D1 < S1, jika banyak jumlah permintaan yang dibutuhkan pada D1
kurang dari banyaknya unit yang tersedia pada S1, maka alokasikan pada
sel x11 sama dengan jumlah permintaan pada D1, sehingga jumlah supply
seimbang dengan jumlah demand, dan sisa supply yang masih tersedia di
S1 adalah S1 - D1 akan dialokasikan ke sel selanjutnya dilanjutkan secara
horizontal (x12) memenuhi permintaan tujuan kedua D2.
b) Jika D1 = S1, alokasikan ke dalam sel x11 sabanyak demand pada D1,
hitung keseimbangan antara supply dan demand, tidak ada sisa pada S1
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
32
dan alokasi dilanjutkan ke sel selanjutnya secara diagonal dari sumber S2
ke tujuan D2 (x22) karena semua supply sumber 1 sudah habis
dialokasikan.
c) Jika D1 > S1, alokasikan ke dalam sel x11 sebanyak jumlah supply dari S1,
hitung keseimbangan supply dan demand dan lanjutkan alokasi secara
vertikal ke sel x21 dari sumber S2 untuk memenuhi sisa permintaan dari
tujuan D1 karena jumlah supply dari S1 masih kurang. Jika sudah selesai
memenuhi seluruh permintaan D1 dilanjutkan alokasi ke tujuan D2 dengan
supply yang masih tersedia di S2.
2. Lanjutkan dengan cara yang sama sampai semua penawaran telah dihabiskan
dan keperluan permintaan telah dipenuhi.
(Gupta, PK dan Hira, DS. 2007)
Contoh berikut ini memperlihatkan proses metode NWCM menentukan
solusi layak awal dari suatu masalah transportasi. Contoh ini menggambarkan tiga
buah pabrik yang memproduksi barang dan tiga pasar sebagai tujuan distribusi. Tabel
4.4 memperlihatkan kapasitas supply setiap pabrik, dan demand setiap pasar dan juga
biaya pengiriman tiap unit dari pabrik ketiap pasar.
Tabel 4.4 Tabel distribusi dari 3 pabrik ke 3 pasar
Maka penentuan solusi awal dengan metode NWCM ada sebagai berikut.
1. Sesuai dengan aturan ini, alokasi pertama dimulai pada sel kolom dan baris
pertama misalkan xP1W1, yaitu irisan dari P1 dan W1 dengan biaya 3. Total
demand yang dibutuhkan W1 adalah 20 dan supply P1 sebanyak 30. Maka
dialokasikan sebanyak 20 (min 20 ; 30) ke sel x11, semua demand W1 sudah
terpenuhi dan sisa pada sumber P1 sebanyak 10 unit (30-20) akan
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
33
dialokasikan pada sel xP1W2 selanjutnya secara horizontal utuk memenuhi
demand W2.
2. Total demand pasar pada kolom W2 sebanyak 20 dan total supply pada P2
adalah 10 unit, maka 10 unit tersebut dialokasikan ke sel xP1W2 dan supply
pada baris pertama sudah habis.
3. Sekarang, berpindah secara vertikal ke sel xP2W2. Pada sel ini, demand pasar
yang masih tersisa adalah 10 unit dan kapasitas supply sebannyak 25,
alokasikan 10 unit ke sel ini dan habiskan semua demand pasar W2.
Kemudian, pindah ke sel xP2W3 dan alokasikan 15 unit supply yang masih
tersedia dari pabrik P2 ke sel ini, menghabiskan kapasitas supply pabrik P2
menyisakan 20 unit kebutuhan pasar W3.
4. Sekarang kapasitas pabrik P3 adalah 20 unit yang akan memenuhi kebutuhan
pasar W3 jadi dialokasikan 20 unit ke sel xP3W3 habiskan seluruh kapasitas
pabrik dan kebutuhan pasar.
Pegalokasian ini diperlihatkan pada tabel 4.5 di bawah ini:
Tabel 4.5 Hasil alokasi barang dengan NWCM dari 3 pabrik ke 3 pasar
Tabel 4.6 Hasil alokasi NWCM
Sumber /Pabrik Tujuan / Pasar Unit barang Harga (satuan)
P1 W1 20 20 x 3 = 60
P1 W2 10 10 x 4 = 40
P2 W2 10 10 x 1 = 10
P2 W3 15 15 x 5 = 75
P3 W3 20 20 x 3 = 60
Total 75 245 satuan harga
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
34
4.4.1.2 Least-Cost Method (LCM)
Metode ini berusaha mencapai tujuan minimisasi biaya dengan mengalokasikan
sebanyak mungkin pada sel dengan biaya terendah dan proses alokasi akan berlanjut
pada sel biaya terendah kedua demikian seterusnya sampai seluruh kendala
terpenuhi.
Berikut ini akan diuraikan prosedur metode Least-Cost Method dalam
menentuka solusi layak awal.
1. Identifikasi sel dengan biaya cij terendah pada tabel matriks transportasi yang
diberikan. Sebagai contoh khusus adalah 0 untuk masalah yang memuat
variabel dummy. Jika ada lebih dari satu sel yang memiliki jumlah biaya yang
sama, pilih secara sembarang untuk memenuhi syarat kendala dan
mengalokasikan sebanyak untuk memperoleh biaya lebih murah.
2. Alokasikan xij pada sel yang telah dipilih sebanyak mungkin (min si, dj)
sesuai dengan ketersediaan supply dan keperluan demand.
3. Coret atau silang kolom atau baris yang telah memenuhi kendala supply atau
demand. Jika sebuah baris dan kolom keduaya sudah terpenuhi maka coret
hanya satu saja.
4. Sesuaikan supply dan demand untuk baris dan kolom yang tidak dicoret, dan
lakukan proses yang sama untuk memenuhi kendala.
5. Ketika tepat satu baris atau kolom yang tersisa, semua variabel sisa
merupakan basic dan ditetapkan sebagai alokasi layak.
(Mulyono, Sri. 2004)
Untuk memberi ilustrasi dari metode Least-Cost Method, penulis
memperlihatkan contoh masalah yang sama pada NWCM sebelumnya menentukan
solusi layak awal dengan metode LCM sebagai berikut.
Tabel 4.7 Tabel transportasi
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
35
Proses menentukan solusi layak awalnya adalah sebagai berikut.
1. Mulai dengan membuat alokasi pertama pada sel dengan biaya perunit
terendah. Pada contoh ini adalah sel xP2W2 dan dialokasikan sebanyak 20 unit
menghabiskan semua syarat dar pasar W2.
2. Selanjutnya pindah ke sel dengan biaya terendah kedua dan membuat alokasi
untuk kapasitas yang tersisa dan ketentuan dari baris dan kolomnya. Pada
contoh ini, terdapat sel dengan harga yang sama antara sel xP1W3 dansel
xP2W1, maka dipilih sel xP1W3 karena akan menghabiskan kapasitas maksimum
yaitu 30
3. Proses yang sama diulang sampai seluruh ketentuan kendala terpenuhi.
Solusi awal yang diperoleh diperlihatkan pada Tabel 4.8 berikut ini.
Tabel 4.8 Hasil menentukan solusi layak awal dengan LCM
Tabel 4.9 Hasil alokasi LCM
Sumber /Pabrik Tujuan / Pasar Unit barang Harga (satuan)
P1 W3 30 30 x 2 = 60
P2 W1 5 5 x 2 = 10
P2 W2 20 20 x 1 = 20
P3 W1 15 15 x 4 = 60
P3 W3 5 5 x 3 = 15
Total 75 165 satuan harga
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
36
4.4.1.3 Vogel’s Approximation Method (VAM)
VAM adalah sebuah metode perbaikan dari metode Least-cost yang secara umum
menentuka solusi awal yang lebih baik. VAM melakukan alokasi dalam suatu cara
yang akan meminimumkan penalty (opportunity cost) dalam memilih kotak yang
salah untuk suatu alokasi.
Langkah-langkah dari metode VAM dalam menentukan solusi layak awal
adalah sebagai berikut.
1. Hitung opportunity cost untuk setiap baris dan kolom. Opportunity cost
untuk setiap baris i dihitung dengan mengurangkan nilai cij terkecil pada baris
tersebut dari nilai cij satu tingkat lebih besar pada baris yang sama.
Opportunity cost kolom diperoleh dengan cara yang serupa. Biaya-biaya ini
adalah penalty karena tidak memilih kotak dengan biaya minimun.
2. Pilih baris atau kolom dengan opportunity cost terbesar (jika terdapat nilai
kembar, pilih secara sembarang). Alokasikan sebanyak mungkin ke kotak
dengan nilai cij minimum pada baris atau kolom yang dipilih. Untuk cij
terkecil, xij = minimum ( si, dj ). Artinya penalty terbesar dihindari.
3. Sesuaikan penawaran dan permintaan untuk menunjukkan alokasi yang sudah
dilakukan. Hilangkan semua baris dan kolom di mana penawaran dan
permintaan sudah dihabiskan.
4. Jika semua penawaran dan permintaan belum dipenuhi, kembali ke langkah 1
dan hitung lagi opportunity cost yang baru. Jika semua kendala penawaran
dan permintaan telah habis terpenuhi, solusi awal telah dipenuhi.
(Agustini, Dwi Hayu dan Rahmadi, Endra. 2004)
Dengan contoh soal masalah yang sama diperlihatkan bagaimana menentukan
solusi layak awal dengan metode VAM sebagai berikut
Tabel 4.10 Tabel Transportasi contoh soal VAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
37
Langkah-langkah untuk menentukan sebuah solusi layak awal dari tabel di
atas adalah sebagai berikut.
1. Identifikasi baris dan kolom yang memiliki biaya terendah untuk dicari
opportunity cost terbesar. Pada contoh ini, opportunity cost terbesar adalah 2
pada kolom W2, maka kolom yang dipilih untuk alokasi adalah kolom W2.
2. Alokasikan jumlah maksimum yang mungkin pada sel yang bersangkutan
dengan biaya terendah, pada kolom W2 adalah 1, karena itu sel xP2W2 dipilih
untuk alokasi, 20 unit dialokasikan ke dalam sel tersebut dan colom W2
dihapus karena syarat kebutuhan pasar W2 sudah dipenuhi.
3. Hitung ulang nilai opportunity cost baris dan kolom untuk tabel transportasi
yang sudah dikurangi. Cara yang sama diulangi sampai semua keseluruhan
persyaratan dipenuhi.
Hasil alokasi dari contoh soal dengan metode VAM diperlihatkan pada
Tabel 4.11 berikut.
Tabel 4.11 Hasil alokasi dengan metode VAM
Tabel 4.12 Hasil alokasi
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
38
Sekarang akan diperlihatkan perbandingan dari ketiga metode yang sudah
diuraikan sebelumnya yaitu NWCM, LCM dan VAM dalam menentukan solusi
layak awal (basic feasible solution) suatu masalah transportasi pada Tabel 4.13 di
berikut.
Tabel 4.13 Perbandingan proses alokasi menentukan solusi layak awal
dari 3 metode transportasi
No North-West Corner
(NWCM)
Least-Cost Method
(LCM)
Vogel’s Approximation
Method (VAM)
1. Alokasi yang dilakukan
dimulai dari sel sudut
atas sisi kiri tanpa
mempertimbangkan
biaya sel tersebut.
Alokasi dilakukan
bergantung pada biaya
sel. Biaya terendah dipilih
pertama kali sampai
akhirnya biaya tertinggi.
Alokasi bergantung
pada nilai opportunity
cost dari sel yaitu selisih
dua biaya sel terendah.
2. Karena tidak adanya
pertimbangan pada nilai
biaya sel, secara
langsung total biaya
transportasi akan lebih
tinggi dari pada metode
yang lain.
Karena sel yang dipilih
dipertimbangkan ketika
melakukan alokasi, maka
total biaya transportasi
akan secara komparatif
berkurang dari metode
NWCM.
Karena alokasi yang
dibuat bergatung pada
nilai opportunity cost
sel, maka solusi layak
awal yang diperoleh
akan menjadi sangat
lebih mendekati solusi
optimal.
3. Memerlukan waktu
yang relatif singkat
karena proses alokasi
tanpa ada iterasi.
Metode ini cocok untuk
memperoleh solusi
layak awal dengan
cepat.
Metode ini memerlukan
waktu yang lebih lama
dari NWCM karena
penentuan solusi
diurutkan dari biaya
terendah sehingga iterasi
sebanyak urutan biaya
terendah. Solusi layak
awal yang diperoleh akan
sangat lebih mendekati
solusi optimal.
Metode ini memerlukan
waktu yang lebih lama
untuk memperoleh
solusi layak awal karena
proses menyeleksi sel
alokasi lebih kompleks
jumlah iterasi yang lebih
banyak dari metode
NWCM dan LCM. Tapi
solusi yang diperoleh
akan sangat lebih
mendekati solusi
optimal.
4. Ketika yang dibutuhkan
hanya solusi layak awal
tanpa melihat besar total
biaya, lebih baik untuk
menggunakan NWCM.
Ketika yang dibutuhkan
adalah solusi optimal,
maka lebih baik
menggunakan metode
least-cost untuk
menentukan solusi layak
awal dan MODI untuk
solusi optimal.
VAM dan MODI adalah
pilihan terbaik untuk
memperoleh solusi
optimal.
(Murthy, P R. 2007)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
39
Pada contoh soal yang penulis berikan pada uraian sebelumnya, total biaya
transportasi yang diperoleh dari alokasi menggunakan metode NWCM adalah 245
satuan harga, dengan LCM 165 satuan harga, dan dengan VAM 165 satuan harga.
Total biaya tertinggi diperoleh dari metode NWCM, sedangkan metode NWCM dan
LCM menghasilkan total biaya yang sama yaitu 165 satuan harga. Perbedaan harga
yang cukup besar dari hasil alokasi menggunakan tiga metode tersebut yaitu 80
(selisih 245 dan 165) satuan harga menunjukkan bahwa NWCM dapat dikategorikan
metode yang paling tidak efesien, dapat dilihat dari solusi layak awal yang diperoleh
cukup tinggi. Hal ini diakibatkan karena tidak mempertimbangkan biaya transportasi
per unit dalam membuat alokasi sehingga.
Sekarang penulis akan melanjutkan mengkaji metode yang digunakan untuk
menguji solusi layak awal yang sudah diperoleh untuk melihat apakah solusi tersebut
merupakan solusi optimal atau tidak.
4.4.2 Metode Uji Optimalitas
Ketika solusi layak awal untuk sebuah masalah transportasi sudah ditemukan,
langkah selanjutnya yang harus dilakukan adalah menguji apakah solusi yang
diperoleh optimal atau tidak. Masalah ini dapat diselesaikan dengan dua metode,
yaitu:
a) Stepping Stone Method
b) Modified Distribution Method
4.4.2.1 Stepping Stone Method
Setelah solusi layak awal diperoleh dari sebuah masalah transportasi dengan metode
yang tersedia, langkah berikutnya adalah mengevaluasi sel kosong lain untuk
meminimalkan biaya transport dengan memasukkan variabel nonbasis (yaitu alokasi
barang ke kotak kosong) ke dalam solusi. Proses evaluasi variabel nonbasis yang
memungkinkan terjadinya perbaikan solusi dan kemudian mengalokasikan kembali
dinamakan metode stepping stone.
Untuk memberi sebuah tes optimalitas pada solusi layak awal, harus
ditentukan opportunity cost dari sel-sel kosong (variabel nobasis) dalam tabel
transportasi yang tersedia. Sebuah masalah transportasi memiliki ketentuan dalam
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
40
mengambil keputusan suatu solusi dikatakan optimal jika dan hanya jika semua
opportunity cost bernilai positif (tidak ada satupun opportunity cost dari sel kosong
yang bernilai negatif) yang artinya tidak perlu dilakukan evaluasi iterasi selanjutnya
dan proses tes optimalitas berhenti. Jika ada satu saja opportunity cost yang bernilai
negatif maka masih ada kemungkinan terjadi penurunan biaya jika diadakan
realokasi. Karena itulah dilakukan proses evaluasi untuk seluruh sel-sel kosong.
Metode stepping stone digunakan untuk menentukan opportunity cost dari
sel-sel kosong dan akan dievaluasi dengan metodologi sebagai berikut.
1. Berikan tanda ‘+’ pada sel kosong yang akan dievaluasi
2. Mulai dari sel tersebut gambar sebuah loop (jalur tertutup) yang berpindah
secara horizontal atau vertikal dari sel variabel basis ke sel variabel basis
yang lain. Harus diperhatikan bahwa, tidak boleh ada perpindahan yang
diagonal/ menyilang. Ketika sampai pada sel variabel basis/ alokasi, terjadi
perubahan arah dan berpindah secara vertikal ke bawah atau ke atas ataupun
secara horizontal untuk mencapai sel variabel basis yang lain. Jika ditemukan
sel alokasi yang tidak memungkinkan berubah arah, abaikan dan lanjutkan
proses pada sel alokasi selanjutnya pada baris atau colom tersebut.
3. Setelah melengkapi loop tersebut, berikan tanda negativ ‘-’ dan positiv ‘+’
secara alternatif (bergantian).
4. Identifikasi jumlah unit terendah pada sel-sel yang diberi tanda negatif.
5. Jumlah muatan tersebut akan ditambahkan pada sel yang bertanda positif dan
mengurangi muatan dari sel yang diberi tanda negatif (proses realokasi).
6. Tidak diijinkan merubah sel alokasi yang tidak berada di dalam loop.
7. Proses penambahan dan pengurangan pada setiap perubahan arah loop harus
memperhatikan keseimbangan persyaratan kendala (jumlah permintaan dan
penawaran).
8. Bentuk sebuah tabel dari sel-sel kosong dan daftarkan perubahan biaya utuk
setiap perubahan muatan dari sel alokasi ke sel alokasi.
9. Jika perubahan biaya positif, artinya jika diterapkan hasil evaluasi tersebut
pada solusi yang dipilih maka biaya total akan meningkat demikan sebalikya
perubahan biaya negatif, total biaya akan berkurang jika hasil evaluasi
tersebutkan diterapkan pada solusi. Perubahan biaya disebut juga dengan
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
41
opportunity cost (biaya untung) namun tandanya berkebalikan dengan nilai
perubahan biaya, karena jika biaya naik keuntungan berkurang (opportunity
cost negatif) dan bila biaya menurun keuntungan meningkat (opportunity cost
positif). Maka, dalam solusi optimal dari sebuah masalah transportasi, sel-sel
kosong seharusnya tidak memiliki opportunity cost positif.
10. Ketika semua sel kosong memiliki opportunity cost negatif, solusi tersebut
dikatakan optimal. Dan sebaliknya jika masih ada opportunity cost positf
masih perlu evaluasi iterasi berikutnya dan berhenti jika semua opportunity
cost bernilai negatif atau 0 (sama artinya dengan perubahan biaya pada setiap
sel kosong positif atau 0).
(Murthy, P R. 2007)
Berikut ini diperlihatkan sebuah tabel masalah transportasi yang sudah
ditentukan solusi layak awalnya dengan metode least-cost dan akan diberikan tes
optimalitas dengan metode stepping stone.
Tabel 4.14 Tes optimalitas solusi layak awal dengan metode stepping stone
Prinsip dasar dari sebuah masalah transportasi adalah menentukan apakah
sebuah rute transportasi yang tidak digunakan dalam hal ini sel-sel kosong
memberikan total biaya yang lebih rendah jika rute tersebut digunakan. Tabel 4.14 di
atas memperlihatkan 4 sel kosong (1A, 2A, 2B, 3C) merepresentasikan rute yang
tidak digunakan. Sel 1A artinya sel yang menunjukkan tempat alokasi dari baris 1
kolom A pada tabel transportasi, demikian berlaku untuk semua sel pada tabel
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
42
transportasi dalam tulisan ini. Langkah pertama dalam metode stepping stone adalah
untuk mengevaluai sel-sel kosong ini untuk melihat apakah dengan meggunakan sel-
sel tersebut akan mengurangi total biaya. Jika diperoleh sebuah rute baru yang
mungkin untuk menurunkkan total biaya maka akan dialokasikan sebanyak mungkin
ke dalam sel tersebut.
Dari tabel 4.14 di atas, pertama sel kosong yang akan diberi tanda positi (+)
adalah 1A. Jika satu ton dialokasikan ke sel 1A, biaya akan bertambah $1 yakni
biaya transportasi dari sel 1A. Dengan menambah alokasi satu ton ke sel 1A, terjadi
peningkatan supply pada baris 1 menjadi 151 ton seperti diperlihatkan pada Tabel
4.15 berikut.
Tabel 4.15 Alokasi 1 ton ke sel 1A
Persyaratan kendala dari permasalahan transportasi tidak dapat diubah harus
tetap diperhatikan keseimbangan antara jumlah penawaran dan permintaan. Jika
dengan menambahkan satu ton ke dalam sel 1A, maka harus dikurangi satu ton dari
sel alokasi yang lain pada baris yang sama dengan sel 1A. Maka sel 1B adalah calon
yang logis karena memiliki 25 ton yang tersimpan pada sel tersebut. Dengan
mengurangi satu ton dari sel 1B, akibatnya total supply pada baris 1 adalah 150 ton,
yang artinya sudah memenuhi kembali batasan supply awal. Pada saat yang sama
pengurangan satu ton dari sel 1B telah mengurangi total biaya sebesar $8. Dan juga
pengurangan satu ton dari 1B mengakibatkan hanya 99 tob alokasi yang dipenuhi
pada kolom 2 sementara yang dibutuhkan adalah 100 ton, hal ini mengharuskan
penambahan 1 ton yag diperoleh dari sel alokasi yang lain. Dan yang diplih adalah
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
43
sel 3B yang memiliki alokasi 75 ton, sehingga kendala permintaan awal 100 ton
terpenuhi.
Tabel 4.16 Pegurangan satu ton dari sel 1B
Persyaratan dari metode stepping stone ini adalah bahwa unit dapat ditambah
dan dikurangi hanya dari sel-sel yag telah memiliki alokasi. Itulah sebabnya satu ton
ditambahkan ke sel 3B dan bukan sel 2B. Hal ini berdasarkan ketentuan dari metode
ini, sesuai dengan namanya, proses penambahan dan pengurangan unit dari sel-sel
alokasi adalah analogi menyebrangi sebuah kolam dengan melangkah pada batu-
batu. Pengalokasian satu ton tambahan pada sel 3B telah meningkatkan biaya sebesar
$5 dan juga menambahan supply pada baris ke 3 menjadi 276 ton, yang telah
melanggar batas kendala pada sumber ini. Hal ini dapat diperbaiki kembali dengan
mengurangi satu ton dari sel 3A yang memiliki 200 ton unit alokasi, dan memenuhi
batasan kendala awal pada baris 3 yang mengakibatkan pengurangan total biaya $4
biaya transportasi sel 3A. Alokasi ini diperlihatkan pada Tabel 4.16 berikut.
Tabel 4.17 Jalur tertutup metode stepping stone sel 2A
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
44
Dari Tabel 4.16 memperlihatkan bahwa penambahan satu ton dari sel 3A,
tidak mengganggu kendala permitaan pada kolom A, karena sebelumnya telah
ditambah satu to ke sel 1A yaitu saat pertama evaluasi alokasi sel kosong.
Sekarang, ditinjau kembali pertambahan dan pengurangan dalam biaya
sebagai hasil dari proses evaluasi metode ini. Diawali dengan penambahan biaya $6
pada sel 1A, dan pengurangan biaya $8 pada sel 1B, dan penambahan biaya $5 pada
sel 3B, dan terakhir pengurangan biaya $4 pada sel 3A, dapat dituliskan alur panah
berikut:
1A →1B → 3B→ 3A
+ $6 - $8 + $5 - $4 = -$1
Dengan kata lain, utuk setiap ton unit alokasi ke sel 1A (rute yang tidak
digunakan pada solusi layak awal), akan megurangi total biaya sebesar $1. Hal ini
menunjukkan bahwa solusi layak awal tidak optimal karena sebuah biaya yang lebih
rendah dapat dicapai dengan mengalokasikan beberapa ton unit ke sel 1A. Tujuan
dari evaluasi sel ini adalah untuk menentukan entering variable yang akan
mengurangi biaya paling besar. Variabel lain (sel kosong) yang lain bahkan mungkin
menghasilkan pengurangan biaya yang lebih besar dari sel 1A. Jika ada sel lain yang
mennyebabkan penurunan biaya lebih besar maka akan dipilih, dan jika tidak yang
dipilih sebagai entering variable adalah sel 1A. Untuk mengindentifikasi entering
variable yang tepat, sel kosng yang tersisa harus dievaluasi dengan cara yang sama
seperti sel 1A.
Evaluasi untuk sel kosong yang lain dilakukan dengan cara yang sama. Jalur
tertutup metode stepping stone untuk sel 2A diperlihatkan pada Tabel 4.17 berikut.
Tabel 4.18 Jalur tertutup stepping stone sel 2A
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
45
2A→ 2C →1C → 1B→ 3B → 3A
+ $7- $11 + $10 - $8 + $5 - $4 = -$1
Perlu diperhatikan bahwa jalur cel 2A lebih kompleks dari jalur sel 1A.
Alokasi pada sel 2A akan mengurangi $1, seperti yang diperlihatkan pada tabel 4.17,
yang artinya diperoleh entering variabel lain walaupun tidak lebih baik dari sel 1A.
Jalur stepping stone dan hasil komputasi dari sel kosong sisa yaitu sel 2B dan
3C diperlihatkan pada Tabel 4.18 dan Tabel 4.19 secara berurutan.
Tabel 4.19 Jalur stepping stone sel 2B
2B→ 2C →1C→1B
+ $11 - $11 + $10 -$8 = +$2
Tabel 4.20 Jalur stepping stone pada sel 3C
3C →1C → 1B→3B
+ $12 - $10 + $8 - $5 = +$5
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
46
Setelah keempat rute yang tidak digunakan dalam solusi layak awal
dievaluasi, terdapat dua sel yang memiliki perubahan biaya sama yaitu sel 1A dan
2A sebesar -$1 yang artinya ada dua sel yang memiliki opportunity cost bernilai
positif dan solusi awal tidak optimal. Maka dapat dipilih sembarang sel untuk
dijadikan entering variable realokasi unit, dan yang dipilih adalah sel 1A. Karena
total biaya dari model transportasi akan berkurang $1 untuk setiap ton alokasi, maka
diusahakan mengalokasikan sebanyak mungkin. Untuk menentukan jumlah berapa
alokasi, perlu untuk melihat kembali jalur sel 1A pada Tabel 4.21 berikut.
Tabel 4.21 Jalur alokasi sel 1A
Jalur stepping stone pada Tabel 4.20 di atas memperlihatkan bahwa sejumlah
ton supply harus dikurangi dari sel 1B dan 3A untuk memenuhi keseluruhan
persyaratan dan memenuhi model kendala. Karena tidak dapat mengurangi lebih dari
yang tersedia dalam sel alokasi, hanya 25 ton di sel 1B. Dengan kata lain jika
dialokasikan 25 ton ke sel 1A, maka harus dikurangi lebih dari 25 ton dari sel 1B,
dan hal itu tidak mu ngkin terjadi karena yang tersedia hanya 25 ton. Oleh karena itu
jumlah supply yang dapat dialokasikan ke sel 1A adalah 25 ton. Sehingga proses
alokasi ulang nya adalah 25 ton ditambah ke sel 1A, dikurangi dari sel 1B, ditambah
ke sel 3B, dan dikurangi dari sel 3A. Alokasi ulang ini diperlihatkan pada tabel 4.22
berikut.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
47
Tabel 4.22 Iterasi kedua dari metode stepping stone
Tabel 4.22 memperlihatkan hasil satu iterasi dari metode stepping stone.
Selanjutnya dipilih x1A sebagai entering variable dan diakhiri x1B sebagai leaving
variable karena nilai alokasinya menjadi 0. Selanjutnya dilakukan evaluasi apakah
solusi yang diperlihatkan pada tabel 4.21 sudah optimal atau belum. Caranya dengan
membuat jalur dari rute yang tidak digunakan yang dimulai dari sel kosong 2A, 1B,
2B, dan 3C. Jalur-jalur tersebut diperlihatkan pada tabel 4.23 sampai Tabel 4.26
berikut.
Tabel 4.23 Jalur Stepping-Stone untuk Cell 2A
2A→ 2C→1C → 1A
+ $7 - $11 + $10 - $6 = $0
Besar perubahan biaya dari evaluasi sel 2A dengan jalur stepping stone
adalah 0, yang artinya nilai opportuity cost sel tersebut adalah nol. Tidak ada
pengaruh jika dilakukan realokasi pada sel tersebut.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
48
Tabel 4.24 Jalur Stepping-Stone untuk Cell 1B
1B→ 3B → 3A→ 1A
+ $8 - $5 + $4 - $6 = +$1
Besar perubahan biaya dari evaluasi sel 1B dengan jalur stepping stone
adalah +$1, yang artinya nilai opportuity cost sel tersebut adalah -1. Akan terjadi
penambahan +$1 biaya tiap unit jika dilakukan realokasi pada sel tersebut.
Tabel 4.25 Jalur Stepping-Stone untuk Cell 2B
2B →3B → 3A→ 1A→1C→2C
+ $11 - $5 + $4 - $6 + $10 - $11 = +$3
Besar perubahan biaya dari evaluasi sel 2B dengan jalur stepping stone
adalah +$3, yang artinya nilai opportuity cost sel tersebut adalah -3. Akan terjadi
penambahan biaya alokasi +$3 setiap unit jika dilakukan realokasi pada sel tersebut.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
49
Tabel 4.26 Jalur Stepping-Stone untuk Cell 3C
3C →3A→ 1A→1C
+ $12 - $4 + $6 - $10 = +$4
Besar perubahan biaya dari evaluasi sel 2B dengan jalur stepping stone
adalah +$4, yang artinya nilai opportuity cost sel tersebut adalah -4. Akan terjadi
penambahan biaya alokasi +$4 setiap unit jika dilakukan realokasi pada sel tersebut.
Proses evaluasi yang telah dilakukan pada empat rute dalam iterasi kedua
metode stepping stone menunjukkan tidak adanya pengurangan biaya maka
opportunity cost dari keempat sel kosong adalah negatif, sehingga solusi yang
diperoleh pada Tabel 4.21 sebelumnya adalah solusi optimal. Dapat disimpulkan
solusi layak awal dengan yang diperoleh menggunakan metode least-cost
memerlukan dua iterasi sampai ditetapkan solusi optimal.
Tabel 4.27 Solusi optimal alternatif dengan metode stepping stone
Total biaya= 25($7) + 150($10) +150($11) + 175($4) +100($5) = $4525
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
50
Satu kekurangan dari metode stepping stone adalah harus membuat loop
untuk setiap sel kosong. Jika sebuah masalah transportasi yang terdiri dari m baris
dan n kolom, maka total jumlah sel kosong yang harus dievaluasi adalah sebanyak
(m x n) – (m+n-1) = (m-1)(n-1). Jumlah sel tersebut harus dikalkulasi dan jika untuk
masalah yang besar (variabel banyak), metode ini menjadi tidaka efesien dan
menghabiskan banyak waktu. Jadi, utuk tes optimalitas penulis memilih metode
MODI. Metode ini berbeda dari stepping stone karena metode MODI tidak perlu
menentukan semua jalur tertutup dari sel-sel kosong (variabel nonbasis). Sebagai
gantinya, nilai-nilai opportunity cost ditentukan secara serentak dan hanya jalur
tertutup untuk entering variabel yang diidentifikasi. Hal ini menghilangkan tugas
yang melelahkan dari identifikasi semua jalur stepping stone. Untuk lebih jelas
bagaimana cara kerja metode MODI akan penulis uraikan pada subbab berikut.
4.4.2.2 Modified Distribution Method (MODI)
Pada dasarnya metode modified distribution (MODI) adalah sebuah modifikasi dari
metode stepping stone. Dalam metode MODI, perubahan biaya sel ditentukan secara
matematis, tanpa mengidentifikasi semua sel kosong dengan jalur stepping stone.
Jika dengan metode stepping stone, untuk memperoleh opportunity cost dari
setiap sel kosong harus menulis sebuah loop dan mengevaluasi jalur tersebut
sehingga prosesnya lama dan kurang efektif. Dalam MODI, opportunity cost dari
semua sel kosong dihitung secara simultan dengan variabel dual dan hanya satu jalur
tertutup yang benilai positif terbesar (yang memungkinkan terjadinya penurunan
biaya terbesar) yang akan dieveluasi lebih lanjut. Sehingga menguragi penggunaan
waktu operasi daripada metode stepping stone.
Langkah-langkah dalam metode MODI (modified distribution) sebagai
berikut:
1. Tentukan variabel dual yang bersesuaian dengan kendala supply dan demand.
Jika ada m sumber dan n tujuan, maka akan ada m+n variabel dual. Andaikan
ui (i= 1, 2,..., m) dan vj (j= 1, 2,..., n) adalah variabel dual yang bersesuaian
dengan kendala supply dan demand dan cij adalah biaya sel alokasi, untuk
menentukan nilai variabel dual dapat dihitung dengan persamaan ui + vj = cij
; xij > 0 untuk semua sel alokasi (variabel basis).
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
51
2. Setiap solusi layak awal memiliki m+n-1 variabel basis untuk xij > 0.
Sehingga akan ada m+n-1 persamaan untuk menentukan m+n variabel dual.
Satu dari variabel dual tersebut dapat dipilih secara sembarang biasanya u1=0.
3. Jika xij = 0 (bayak unit pada sel kosong), nilai variabel dual yang dihitung
akan dibandingkan dengan nilai cij pada sel tesebut sebagai cij - ui - vj, hasil
kalkulasi nya disimpan dalam variabel dij merupakan besar perubahan biaya
yang terjadi dari evaluasi sel-sel kosong. Jika cij - ui - vj ≥ 0 artinya perubahan
biaya positif (opportunity cost negatif), melalui theorem of complementary
slackness dapat diperlihatkan bahwa solusi tersebut optimal, sama halnya
dengan stepping stone.
4. Nilai opportunity cost memiliki beberapa arti sebagai berikut:
a) Jika semua dij > 0 opportunity cost negatif maka solusi layak awal
optimal dan tunggal
b) Jika semua dij ≥ 0; minimal satu dij = 0, opportunity cost negatif
solusi optimal dan terdapat solusi (rute) alternatif lain yang optimal
c) Jika minimal ada satu dij < 0 oportunity cost positif maka solusi tidak
optimal
d) Jika satu atau lebih cij - ui - vj < 0 oportunity cost positif, artinya solusi
layak awal tidak optimal dan masih harus dilakukan realokasi. Sel
dengan nilai cij - ui - vj terkecil akan dipilih sebagai entering variabel
dan dialokasikan sebanyak mungkin sesuai dengan kendala supply
dan demand. Realokasi meyebabkan perubahan sel basis menjadi sel
nonbasis demikian sebaliknya. Ketika solusi masih tidak optimal
maka proses yang sama dilakukan pada iterasi berikutnya untuk
menentukan nilai variabel dual dan opportunity cost sel-sel kosong
dan komputasi berhenti jika semua nilai cij - ui - vj ≥ 0.
(Murthy, P R. 2007)
Untuk memperlihatkan bagaimana proses metode MODI mengevaluasi solusi
layak awal, penulis akan menggunakan kembali solusi layak awal yang ditentukan
dengan metode least-cost. Tabel berikut ini memperlihatkan solusi layak awal yang
akan dievaluasi dengan metode MODI.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
52
Tabel 4.28 Solusi layak awal dengan least-cost method
Kolom tambahan pada sisi kiri tabel dengan variabel ui dan baris tambahan
pada bagian atas dengan variabel vj melambangkan nilai baris dan kolomyang harus
dihitung dalam metode MODI. Nilai tersebut dihitung untuk semua sel alokasi
dengan rumus:
ui + vj = cij.
Nilai cij adalah biaya transportasi untuk setiap sel ij. Sebagai contoh rumus
untuk sel 1B adalah:
u1 + vB = c1B,
dengan besar biaya transportasi c1B = 8, maka
u1 + vB = 8.
Dan rumus untuk sel-sel sisanya yang akan dievaluasi adalah:
x1C : u1 + vC = 10
x2C : u2 + vC = 11
x3A : u3 + vA = 4
x3B : u3+ vB = 5
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
53
Sekarang terdapat lima persamaan dengan 6 variabel yang nilainya tidak
diketahui. Untuk menyelesaikan persamaan ini perlu menetapkan satu dari semua
variabel persamaan berilai nol. Jika dimisalkan u1 = 0, maka semua nilai variabel ui
dan vj yang lain akan dapat diselesaikan.
x1B : u1 + vB = 8
0 + vB = 8
vB = 8
x1C : u1 + vC = 10
0 + vC = 10
vC = 10
x2C : u2 + vC = 11
u2 + 10 = 11
u2 = 1
x3B : u3 + vB = 5
u3 + 8 = 5
u3 = -3
x3A : u3+ vA = 4
-3 + vA = 4
vA = 7
Perhatikan bahwa persamaan untuk sel 3B harus diselesaikan lebih dahulu
sebelum sel 3A dapat diselesaikan. Dan semua nilai dari ui dan vj dapat
disubstitusikan ke dalam tabel seperti diperlihatkan pada tabel 4.29 berikut.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
54
Tabel 4.29 Solusi awal dengan semua nilai ui dan vj
Selanjutnya, digunakan rumus berikut ini untuk mengevaluasi sel-sel kosong
yakni menentukan opportunity cost dari variabel nonbasis.
cij – ui – vj = dij
di mana dij sama dengan peningkatan biaya atau penurunan biaya yang mungkin
terjadi dengan mengalokasikan ke sebuah sel. Untuk semua sel-sel kosong dalam
Tabel 4.29, rumus tersebut menghasilkan nilai-nilai berikut.
x1A : d1A = c1A – u1 - vA = 6 - 0 - 7 = -1
x2A : d2A = c2A – u2 - vA = 7 - 1 - 7 = -1
x2B : d2B = c2B – u2 – vB = 11 - 1 - 8 = +2
x3C : d3C = c3C – u3 – vC = 12 - (-3) - 10 = +5
Dari perhitungan ini menunjukkan bahwa baik sel 1A dan sel 2A akan
menurunkan biaya $1 per alokasi unit. Perhatikan bahwa perubahan biaya dari empat
sel kosong diatas sama dengan perubahan biaya untuk empat sel kosong yang
dihitung dengan metode stepping stone iterasi pertama pada subbab sebelumnya.
Informasi yang sama yaitu nilai opportuity cost ditentukan dengan dua metode
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
55
yangberbeda yakni evaluasi jalur dalam metode stepping stone dan menggunakan
rumus matematika dari metode MODI.
Karena nilai opportunity cost dari sel 1A dan 2A sama maka dapat dipilih
sembarang sebagai entering nonbasic variabel untuk evaluasi iterasi selanjutnya
sampai ditemukan semua opportunity cost dari sel-sel kosong berilai negatif (dij ≥ 0).
Jika yang dipilih adalah sel 1A sebagai entering nonbasic variabel, maka harus
ditentukan kembali jalur stepping stone dari sel tersebut untuk menentukan berapa
banyak unit yang akan di realokasi. Hasil realokasi dari jalur sel 1A diperlihatkan
pada Tabel 4.30 berikut.
Tabel 4.30 Iterasi kedua menentukan solusi optimal dengan MODI
Nilai dari variabel ui dan vj pada Tabel 4.30 harus dihitung kembali
menggunakan rumus ui + vj = cij untuk sel-sel yang sudah dialokasikan.
x1A : u1 + vA = 6
0 + vA = 6
vA = 6
x1C : u1 + vC = 10
0 + v4 = 10
vC = 10
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
56
x2C : u2 + vC = 11
u2 + 10 = 11
u2 = 1
x3A : u3 + vA = 4
u3 + 6 = 4
u3= -2
x3B : u3 + vB = 5
-2 + vB = 5
vB = 7
Nilai baru dari ui dan vj diperlihatkan pada Tabel 4.31 berikut.
Tabel 4.31 Nilai baru ui dan vj untuk iterasi
Perubahan biaya dari sel-sel kosong pada di atas dapat dihitung dengan rumus
opportunity cost :
cij – ui – vj = dij
x1B : d1B = c1B – u1 – vB = 8 - 0 - 7 = +1
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
57
x2A : d2A = c2A – u2 - vA = 7 - 1 - 0 = 0
x2B : d2B = c2B – u2 – vB = 11 - 1 - 7 = +2
x3C : d3C = c3C – u3 – vC = 12 - (-2) - 10 = +4
Karena tidak ada opportunity cost yang bernilai positif, maka solusi yang
diperlihatkan pada Tabel 4.30 optimal.
Total biaya = 25(6) + 125(10) + (175(11) + 175(4) + 100(5) = 4525 (sama
dengan hasil optimal metode stepping stone).
Demikian halnya seperti dalam penyelesaian metode stepping stone, sel 2A memiliki
perubahan biaya 0 (opportunity cost 0) menunjukkan adanya solusi optimal ganda
(ada jalur alokasi optimal lain dengan total biaya yang sama).
Dari kajian yang telah dilakukan untuk dua metode uji optimalitas yaitu
stepping stone method dan modified distribution method (MODI), penulis memilih
MODI sebagai metode optimalitas yang akan diaplikasikan pada penyelesaian contoh
masalah transportasi. Hal ini karena, pada intinya MODI adalah sebuah metode
modifikasi dari stepping stone dengan proses yang lebih efesien. Solusi layak awal
dari masalah transportasi yang akan diselesaikan ditentukan dengan ketiga metode
yang telah dikaji pada subbab sebelumnya yaitu north-west corner method, least-cost
method dan vogel’s approximation method. Tujuan dari penyelesaian contoh masalah
ini adalah untuk memperlihatkan keoptimalan masing-masing metode sehingga pada
akhir tulisan ini dapat disimpulkan metode apa yang tepat dipilih menyelesaikan
persoalan transportasi serupa dalam kehidupan nyata, sesuai dengan tujuan dari
tulisan ini.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
58
4.5 Aplikasi Metode Pada Contoh Kasus
Berikut ini penulis menyajikan sebuah tabel transportasi yang memuat seluruh
informasi dari sebuah contoh masalah transportasi.
Tabel 4.32 Contoh Masalah Transportasi
Tabel 4.32 di atas menggambarkan bahwa jumlah kapasitas pabrik pabrik O1,
O2, O3, dan O4 berturut-turut: 100, 90, 70, dan 90, sedangkan permintaan pasar di
lapangan D1, D2, D3, D4, dan D5 berturut-turut 80, 50, 100, 60, dan 70. Biaya satuan
dari pabrik O1 ke permintaan D1 adalah 12, biaya satuan dari pabrik O1 ke permintaan
D2 adalah 4, dan seterusnya, sampai biaya satuan dari pabrik O3 ke permintaan D5
adalah 1. Untuk menyelesaikan permasalahan transportasi ini ada beberapa metode
yang akan digunakan seperti yang sudah dikaji pada subbab sebelumnya antara lain:
Metode North-West Corner (NWC), metode Least-cost (LCM), dan metode
pendekatan Vogel (Vogel Approximation Methods) atau disingkat VAM.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
59
4.5.1 Menentukan Solusi Layak Awal (Basic Feasible Solution)
5.5.1.1 Solusi Layak Awal dengan Metode North West Corner (NWC)
Untuk masalah pada Tabel 4.31 di atas, maka apabila diselesaikan dengan metode
NWC akan melakukan langkah-langkah sebagai berikut:
Penggunaan metode NWC mengharuskan sel O1D1, terletak di sudut kiri atas
tabel yang pertama sekali diisi. Alokasi diterapkan X11 = 80 unit untuk memenuhi
permintaan yang ternyata lebih kecil dari kapasitas O1. Ini berarti permintaan tujuan
D1= 80 dapat dipenuhi dari O1. Ternyata produksi O1 masih mempunyai (100 - 80) =
20 unit kapasitas yang belum disalurkan. Sisa yang 20 unit ini di alokasikan kepada
permintaan D2 yang permintaannya 50 unit. Untuk memenuhi kekurangan kebutuhan
D2, yaitu kurang 30 unit maka diambil dari D2 dengan demikian maka sel O1D2 atau
X12 = 20 dan sel O2D2 atau X22 = 30. Sisa produksi D2 setelah dikurangi 30 unit
adalah 60 unit, sisa ini dialokasikan ke sel O2D3 atau X23 secara keseluruhan.
Permintaan D3 adalah 90 unit dan telah tersedia 60 unit dari O2. Kekurangan 30 unit
permintaan diambil dari produksi O3 sehingga X23 = 70 dan X33 = 30. Sisa produksi
O3 sebanyak 40 unit yaitu (70-30) dialokasikan ke permintaan D4. Jumlah permintaan
D4 sebanyak 60 unit dilengkapi dengan mengambil 20 unit dari produksi O4. Dengan
demikian produksi O4 tersisa 70 unit dialokasikan ke permintaan D5.
Hasil alokasi dari metode north-west corner ini diperlihatkan pada Tabel 4.33
berikut.
Tabel 4.33 Matriks biaya transportasi hasil alokasi dengan metode NWC
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
60
Berdasarkan Tabel 4.32 di atas diperoleh hasil alokasi sebagai berikut: Sel
O1D1 atau X11 = 80, sel O1D2 atau X12 = 20, sel O2D2 atau X22 = 30, sel O2D3 atau X23
= 60, sel O3D3 atau X33 = 30, sel O3D4 atau X34 = 40, sel O4D4 atau X44 = 20, dan sel
O4D5 atau X45 = 70.
Besarnya biaya transportasi dengan metode NWC adalah:
Total biaya = 80 (12) + 20 (4) + 30 (1) + 60 (6) + 30 (4) + 40 (7) + 20 (9) +
70 (1) = 2.080
4.5.1.2 Solusi Awal dengan Metode Least-cost (LCM)
Sesuai dengan yang telah dikaji pada bagian metode LCM sebelumya, alokasi
menggunakan metode ini didasarkan pada pemilihan sel dengan biaya terendah.
Untuk persoalan transportasi berdimensi kecil, hal ini akan memberikan pengurangan
waktu. Alokasi pertama dibuat terhadap sel yang berkaitan dengan biaya
pengangkutan terendah. Sel dengan ongkos terendah ini diisi sebanyak mungkin
dengan mengingat persyaratan kapasitas produksi (origin) maupun permintaan
tempat tujuan. Kemudian beralih ke sel termurah berikutnya dan mengadakan alokasi
dengan memperhatikan kapasitas yang tersisa dari permintaan baris dan kolom.
Untuk permasalahan transportasi di atas langkah-langkah penyelesaian dengan
metode Least-cost adalah sebagai berikut.
Biaya sel terkecil adalah 1 yaitu pada sel O2D2, O3D1, dan O4D5. Sel-sel ini
diisi dengan memperhatikan kapasitas dan permintaan, yaitu dengan mencari nilai
minimum dari keduanya. Sel O2D2 diisi 50 unit, sehingga kapasitas O2 menjadi 40
dan permintaan D2 menjadi 0, kemudian kolom D2 diberi tanda bahwa alokasi pada
kolom tersebut telah selesai. Kemudian sel O3D1 diisi 70 unit, sehingga kapasitas O3
menjadi 0 dan permintaan D2 menjadi 10 unit, kemudian baris O3 diberi tanda juga.
Sel O4D5 diisi 70 unit, sehingga kapasitas O4 menjadi 20 dan permintaan D5 menjadi
0, kemudian kolom D5 juga diberi tanda bahwa alokasi pada kolom tersebut telah
lengkap. Hasil perhitungan di atas ini dapat dilihat pada Tabel 4.34 berikut.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
61
Tabel 4.34 Hasil alokasi dengan LCM sel biaya terendah pertama
Biaya terkecil selanjutnya adalah 5 yang terletak pada sel O1D4. Sel O1D4
diisi sebesar minimum dari kapasitas O1dan permintaan D4, sehingga diisi dengan 60
unit. Dengan pengisian 60 unit pada sel O1D4 maka kapasitas O1 menjadi 40 dan
permintaan D4 menjadi 0, kemudian kolom D4 diberi tanda dan tidak diolah pada
program selanjutnya. Hasil perhitungan ini dapat dilihat pada Tabel 4.35 berikut.
Tabel 4.35 Lanjutan proses alokasi LCM biaya terendah kedua
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
62
Biaya terkecil selanjutnya adalah 6 yang terletak pada sel O2D3 dan sel O4D3.
Sel O2D3 diisi minimum dari sisa kapasitas O2 dan permintaan D3, sehingga diisi
dengan 40 unit. Dengan pengisian 40 unit pada sel O2D3 maka kapasitas O2 menjadi 0
dan permintaan D3 menjadi 50 unit, kemudian baris O2 diberi tanda dan tidak diolah
pada program\ selanjutnya. Sel O4D3 diisi minimum dari sisa kapasitas O4 dan sisa
permintaan D3, sehingga diisi dengan 20 unit. Dengan pengisian 20 unit pada sel
O4D3 maka kapasitas O4 menjadi 0 dan permintaan D3 menjadi 30, kemudian baris 42
ditandai dan tidak diolah pada program selanjutnya. Hasil perhitungan ini dapat kita
hihat pada Tabel 4.36 berikut.
Tabel 4.36 Lanjutan hasil alokasi dari metode LCM biaya terendah ketiga
Selanjutnya kekurangan dari permintaan D1 sebanyak 10 unit, dan
kekurangan permintaan D2 sebanyak 30 unit di alokasikan dari sisa produksi D1 yang
besarnya 40 unit. Dengan demikian maka semua permintaan maupun pemawaran
telah selesai dan diperoleh Tabel 4.37 berikut.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
63
Tabel 4.37 Solusi awal dengan metode LCM
Berdasarkan Tabel 4.37 di atas diperoleh sistem hasil alokasi dari masalah
transportasi sebagai berikut:
X11 = 10, X13 = 30, X14 = 60, X22 = 50, X23 = 40, X31 = 70, X43 = 20, dan X45 = 70.
Besarnya biaya transportasi dengan metode Least-cost adalah:
Total biaya = 10 (12) + 30 (9) + 60 (5) + 50 (1) + 40 (6) + 70 (1) + 20 (6) +
70 (1) = 1240.
4.5.1.3 Solusi Awal dengan Metode VAM ( Vogel Approximation Method)
Sesuai dengan pembahasan pada subbab sebelumya bahwa metode VAM didasarkan
atas ‘beda kolom’ dan ‘beda baris’ yang menentukan perbedaan antara dua biaya
alokasi terendah dalam satu kolom atau satu baris.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
64
Tabel 4.38 Tabel Masalah transportasi
Besarnya beda baris dan beda kolom adalah sebagai berikut.
Tabel 4.39 Beda baris dan beda kolom iterasi ke-1
Beda baris atau beda kolom terbesar pertama adalah 7 yaitu pada kolom D1,
biaya termurah kolom D1 adalah 1 yaitu pada sel O3D1. Oleh karena itu sel O3D1 ini
diisi terlebih dahulu, yang besarnya adalam minimum kapasitas O3 dan permintaan
D1 yaitu 70. Dengan mengisi sel O3D1 sebesar 70, maka kapasitas O3 menjadi 0 dan
permintaan D1 menjadi 10. Dengan demikian baris O3 ditandai dan tidak dimasukkan
dalam program selanjutnya.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
65
Tabel 4.40 Hasil perhitungan pada kolom penalty terbesar pertama
Besarnya beda baris dan beda kolom berikutnya adalah sebagai berikut.
Tabel 4.41 Beda baris dan beda kolom iterasi ke-2
Beda baris atau beda kolom terbesar kedua adalah 6 yaitu pada kolom D5,
biaya terendah kolom D5 adalah 1 yaitu pada sel O4D5. Oleh karena itu sel O4D5 ini
diisi terlebih dahulu, yang besarnya adalam minimum kapasitas O4 dan permintaan
D5 yaitu 70. Dengan mengisi sel O4D5 sebesar 70, maka kapasitas O4 menjadi 20 dan
permintaan D5 menjadi 0. Dengan demikian kolom D5 ditandai dan tidak dimasukkan
dalam program selanjutnya.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
66
Tabel 4.42 Hasil perhitungan pada kolom penalty terbesar kedua
Besarnya beda baris dan beda kolom berikutnya adalah sebagai berikut.
Tabel 4.43 Beda baris dan beda kolom iterasi ke-3
Beda baris atau beda kolom terbesar ketiga adalah 5 yaitu pada baris O2,
biaya termurah kolom O2 adalah 1 yaitu pada sel O2D2. Oleh karena itu sel O2D2 ini
diisi terlebih dahulu, yang besarnya adalam minimum kapasitas O2 dan permintaan
D2 yaitu 50. Dengan mengisi sel O2D2 sebesar 50, maka kapasitas O2 menjadi 40 dan
permintaan D2 menjadi 0. Dengan demikian kolom D2 ditandai dan tidak dimasukkan
dalam program selanjutnya.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
67
Tabel 4.44 Hasil perhitungan pada kolom penalty terbesar ketiga
Besarnya beda baris dan beda kolom berikutnya adalah sebagai berikut.
Tabel 4.45. Beda baris dan beda kolom iterasi ke-4
Beda baris atau beda kolom terbesar adalah 4 yaitu pada baris O1, biaya
termurah baris O1 adalah 5 yaitu pada sel O1D4. Oleh karena itu sel O1D4 ini diisi
terlebih dahulu, yang besarnya adalam minimum sisa kapasitas O1 dan permintaan D4
yaitu 60. Dengan mengisi sel O1D4 sebesar 60, maka kapasitas O1 menjadi 40 dan
permintaan D4 menjadi 0. Dengan demikian baris O4 ditandai dan tidak dimasukkan
dalam program selanjutnya.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
68
Tabel 4.46 Hasil perhitungan pada kolom penalty terbesar keempat
Besarnya beda baris dan beda kolom berikutnya adalah sebagai berikut.
Tabel 4.47 Beda baris dan beda kolom iterasi ke-5
Beda baris atau beda kolom terbesar kelima adalah 4 yaitu pada baris O4,
biaya termurah baris O4 adalah 6 yaitu pada sel O4D3. Oleh karena itu sel O4D3 ini
diisi terlebih dahulu, yang besarnya adalam minimum sisa kapasitas O4 dan
permintaan D3 yaitu 20. Dengan mengisi sel O4D3 sebesar 20, maka kapasitas O4
menjadi 0 dan permintaan D2 menjadi 80. Dengan demikian baris O4 ditandai dan
tidak dimasukkan dalam program selanjutnya.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
69
Tabel 4.48 Hasil perhitungan pada kolom penalty terbesar kelima
Kemudian kekurangan kebutuhan D3 dicukupi oleh sisa dari O1 sebanyak 40
dan sisa O2 sebanyak 30. Dengan demikian kita peroleh sistem transportasi sebagai
berikut: X13 = 40, X14 = 60, X21 = 10, X22 = 50, X23 = 30, X31 = 70, X43 = 20, dan X45 =
70. Besarnya biaya transportasi dengan metode VAM adalah :
Total biaya = 40 (9) + 60 (5) + 10 (8) + 50 (1) + 30 (6) + 70 (1) + 20
(6) + 70 (1) = 1230.
4.5.2 Uji optimalitas pada solusi awal
Dari penyelesaian ketiga metode tersebut di atas dapat dilihat bahwa metode yang
paling sederhana adalah metode NWC, tetapi hasil dari metode ini umumnya kurang
optimal yakni total biaya masih cukup besar. Sedangkan dengan metode VAM hasil
perhitungan biaya yang diperoleh rendah, tetapi perhitungannya cukup rumit. Metode
Least-cost secara perhitungan sederhana, tetapi hasilnya mendekati dengan hasil
metode VAM.
Berikut ini dilanjutkan pada uji keoptimalan solusi layak awal dengan metode
MODI. Tujuan dari uji optimalitas ini adalah fokus melihat solusi optimal yang akan
dibandingakan dengan solusi layak awal yang diperoleh dari ketiga metode pada
contoh soal yang sama. Karena pada intinya MODI adalah pengembangan dari
metode Stepping stone seperti telah diuraikan pada kajian subbab sebelumnya, maka
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
70
tetap akan menghasilkan solusi yang sama jika digunakan pada penyelesaian contoh
masalah transportasi ini, sehingga penulis langsung menetapkan satu metode uji saja
yaitu MODI.
4.5.2.1 Uji Optimalitas dengan Modified Distribution (MODI)
Dengan memperhatikan kembali total biaya yang dihasilkan dari masing-masing
metode solusi layak awal yaitu, metode NWC sebesar 2080 satuan biaya, metode
LCM sebesar 1240 satuan biaya dan metode VAM sebesar 1230 satuan biaya, maka
Penulis memilih satu solusi layak awal yang akan dievaluasi untuk menentukan
solusi optimal. Solusi tersebut adalah hasil dari metode Least-cost karena besar biaya
yang dihasilkan berada diantara ketiga metode.
Tabel 4.49 Solusi layak awal dengan Least-cost method (LCM)
Berdasarkan tabel 4.49 di atas, kolom tambahan pada sisi paling kanan tabel
dengan variabel vi dan baris tambahan pada bagian sisi paling bawah tabel dengan
variabel uj melambangkan nilai kolom dan baris yang harus dihitung dalam metode
MODI. Nilai tersebut dihitung untuk semua sel alokasi dengan rumus:
vi + uj = cij.
Dari Tabel 4.48 di atas diperlihatkan bahwa jumlah baris m = 4 dan jumlah
kolom n =5 maka jumlah sel variabel basis dinyatakan layak sebagai solusi awal jika
sel alokasi memenuhi syarat umum m+n -1= 4+5-1= 8. Solusi awal pada tabel 4.48
memperlihatkan alokasi yang sesuai yaitu sebanyak 8 sel variabel basis. Sehingga
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
71
dapat dilanjutkan untuk dievaluasi dengan metode MODI yaitu mengevaluasi seluruh
sel kosong dengan rumus yang sudah ditetapkan. Banyak sel kosong yang akan
dievaluasi adalah sebanyak (m x n) – (m +n -1) = (4 x 5) - (4 + 5 - 1) = 12 sel. Maka,
rumus untuk sel-sel kosong pada tabel 4.48 di atas adalah sebagai berikut.
xO1D2 : vO1 + uD2 = 4
xO1D5 : vO1 + uD5 = 9
xO2D1 : vO2 + uD1 = 8
xO2D4 : vO2+ uD4 = 6
xO2D5 : vO2 + uD5 = 7
xO3D2 : vO3 + uD2 = 12
xO3D3 : vO3 + uD3 = 7
xO3D4 : vO3+ uD4 = 7
xO3D5 : vO3 + uD5 = 7
xO4D1 : vO4 + uD1 = 10
xO4D2 : vO4 + uD2 = 15
xO4D4 : vO4+ uD4 = 9
Dengan memilih vO1 = 0, maka diperoleh hasil berikut.
xO1D2 : vO1 + uD2 = 4
0 + uD2 = 4
uD2 = 4
dan dengan cara yang sama diperoleh nilai semua vi dan uj sebagai berikut. uD1 = 12,
uD3 = 9, uD4 = 5. Dari u D1= 12, diperoleh vO1 = -11, dari uD3 = 9, diperoleh vO2 = -3,
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
72
dan vO4 = -3, dari vO2 = -3, diperoleh uD2 = 4, dan dari vO4 = -3, diperoleh uD5 = 4.
Seperti diperlihatkan pada tabel 4.50 berikut.
Tabel 4.50 Nilai vi dan uj dalam tabel solusi awal
Selanjutnya menentuka nilai opportunity cost dengan menghitung perubahan
biaya dij setiap sel kosong dengan rumus:
dij = cij – (vi + uj)
dO1D2 = cO1D2 – (vO1+ uD2)
dO1D2 = 4 – (0 + 4) = 0
Dengan cara yang sama diperoleh nilai opportunity cost dari semua sel kosong pada
Tabel 4.50 berikut.
Tabel 4.51 Nilai opportunity cost dari hasil evaluasi sel-sel kosong
Dari Tabel 4.51 di atas, terlihat bahwa opportunity cost terbesar adalah pada
sel O2D1 yaitu +1 sehingga sel ini harus diisi sebanyak mungkin. Sel ini diisi
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
73
sebanyak minimun dari sel O1D1 dan O2D2 yaitu sebanyak 10. Sehingga Tabel 4.50
menjadi Tabel 4.52 berikut.
Tabel 4.52 Hasil realokasi solusi dengan metode MODI iterasi ke-1
Untuk memutuskan apakah solusi dari hasil evaluasi iterasi ke-1 sudah
optimal atau tidak dilakukan evaluasi kembali pada setiap sel kosong untuk melihat
nilai opportunity cost dengan metode MODI. Dengan cara yang sama diperoleh nilai
opportunity cost dari sel-sel kosong pada Tabel 4.53 berikut.
Tabel 4.53 Nilai opportunity cost sel-sel kosong metode MODI iterasi ke-2
No. Sel kosong Opportunity cost
1 O1D1 -1
2 O1D2 0
3 O1D5 -5
4 O2D4 -3
5 O2D5 -6
6 O3D2 -18
7 O3D3 -5
8 O3D4 -12
9 O3D5 -13
10 O4D1 -2
11 O4D2 -14
12 O4D4 -7
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
74
Dari Tabel 4.53 terlihat bahwa tidak ada lagi sel kosong yang mempunyai
opportunity cost positif, ini berarti bahwa solusi pada Tabel 4.50 telah optimal,
dengan biaya transportasi sebesar:
Total biaya =40 (9) + 60 (5) + 10 (8) + 50 (1) + 30 (6) + 70 (1) + 20
(6) + 70(1) = 1.230.
Sebagai catatan bahwa opportunity cost sel O1D2 adalah nol, ini berarti bahwa sel ini
diisi maupun tidak, tidak akan menambah atau mengurangi biaya transportasi.
Dari evaluasi sel-sel kosong dengan metode uji optimal MODI diperoleh total
biaya alokasi optimal sebesar 1230 satuan biaya utuk mengalokasikan seluruh supply
yang tersedia memenuhi seluruh demand. Jika dibandingkan total biaya optimal
dengan biaya alokasi solusi layak awal dari ketiga metode yang sudah dikalkulasi
sebelumnya, dapat dilihat perbedaan selisih biaya alokasi yang paling mendekati
solusi optimal. Besar solusi awal metode NWC sebesar 2080 satuan biaya, metode
LCM sebesar 1240 satuan biaya dan metode VAM sebesar 1230 satuan biaya.
Selisih biaya terbesar terjadi antara metode NWC dan MODI sebesar 850, sementara
selisih biaya yang paling kecil atau bahkan besar solusi awal sama dengan besar
biaya optimal adalah antara VAM dan MODI yaitu 1230 dengan selisih biaya 0, dan
yang berada diantara keduanya adalah metode LCM dengan selisih biaya 10.
Perbedaan selisih biaya antara solusi layak awal dan solusi optimal
menunjukkan seberapa optimal suatu metode solusi awal tersebut jika dilihat dari
besar biaya yang dihasilkan. Hal ini dapat menjadi pertimbangan dalam memilih
suatu metode menyelesaikan sebuah kasus transportasi. Namun, pemilihan metode
juga perlu memperhatikan bagaimana efesiensi setiap metode menyelesaikan
permasalahan transportasi. Efesiensi tersebut mencakup banyaknya iterasi
perhitungan, waktu yang dibutuhkan, proses alokasi variabel basis dan juga
disesuaikan dengan tingkat kesulitan dari masalah transportasi yang akan
diselesaikan. Tidak hanya memperhatikan hasil akhir yang diperoleh, karena solusi
layak awal tetap akan dievaluasi sebelum dinyatakan sebagai solusi optimal.
Hasil dari penyelesaian contoh kasus transportasi di atas akan Penulis
perlhatkan dalam Tabel 4.54 berikut.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
75
Tabel 4.54 Hasil Penyelesaian contoh Kasus Transportasi subbab 4.5
No Metode
Solusi
Awal
Total Biaya
yang Diperoleh
(satuan biaya)
Banyak
iterasi
perhitungan
Total Biaya
Optimal dengan
MODI (satuan
biaya)
Selisih terhadap
Solusi optimal
(satuan biaya)
1 NWCM 2080 - 1230 850
2 LCM 1240 3 1230 20
3 VAM 1230 5 1230 0
Berdasarkan Tabel 4.54 dapat diketahui bahwa solusi layak awal yang paling
optimal diperoleh dengan metode VAM, yaitu dilihat dari selisih biaya antara solusi
layak awal dan solusi optimal yang dihasilkan paling rendah yaitu 0 satuan biaya.
4.5.3 Penyelesaian Masalah Transportasi dengan Software
4.5.3.1 Program Lindo
Program Lindo merupakan sebuah software yang biasa digunakan untuk
menyelesaikan masalah program linier. Masalah transportasi sebagai bentuk khusus
dari program linier juga dapat diselesaikan dengan Lindo. Berikut ini akan dibahas
masalah transportasi yang sama dengan contoh kasus pada subbab 4.5 menggunakan
Program Lindo.
Tabel 4.55 Tabel masalah Transportasi dengan Lindo
Misalkan banyaknya barang pada sel Xij yaitu banyaknya barang yang dikirim
dari pabrik Oi ke permintaan Dj, dan cij adalah biaya satuan pengiriman dari pabrik Oi
ke permintaan Dj, maka besarnya biaya pengiriman adalah:
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
76
Dari ketentuan ini, untuk kasus masalah transportasi ini, maka kita peroleh model.
Minimumkan biaya:
Z= 12X11 + 4X12 +9 X13 + 5X14 + 9X15 + 8X21 + 1X22 + 6X23 + 6X24 +
7X25 + 1X31 + 12X32 + 4X33 + 7X34 + 7X35 + 10X41 + 15 X42 + 6X43 +
9X44 + 1X45
Dengan kendala:
X11 + X21 + X31 + X41 = 80
X12 + X22 + X32 + X42 = 50
X13 + X23 + X33 + X43 = 90
X14 + X24 + X34 + X44 = 60
X15 + X25 + X35 + X45 = 70
X11 + X12 + X13 + X14 + X15 = 100
X21 + X22 + X23 + X24 + X25 = 90
X31 + X32 + X33 + X34 + X35 = 70
X41 + X42 + X43 + X44 + X45 = 90
Dengan Xij ≥ 0, untuk setiap i dan j.
Dalam menyelesaikan program linear maupun masalah transportasi, indeks
ditulis sejajar dengan variabelnya sehingga dalam penulisan pada Lindo sebagai
berikut.
Setelah program Lindo dijalankan, maka akan diperoleh hasil sebagai berikut.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
77
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
78
Tampilan yang muncul pada layar editor di atas merupakan penyelesaian
suatu masalah transportasi yang dapat diartikan sebagai berikut.
1. Biaya minimum yang diperlukan untuk pengangkutan barang adalah 1.230
yang dapat dibaca dari
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
79
2. Alokasi pengiriman barang dapat diketahui dari nilai value pada hasil berikut.
a. Dari O1 (tempat asal) dikirimkan ke D2 (tempat tujuan) sebanyak 40 unit, dan
ke D4 sebanyak 60 unit.
b. Dari O2 dikirimkan ke D1 sebanyak 10 unit, ke D2 sebanyak 10 dan dikirim ke
D3 sebanyak 70
c. Dari O 3 dikirimkan sebanyak 70 unit ke D1.
d. Dari O 4 dikirimkan sebanyak 20 unit ke D3, dan 80 unit ke D5
Reduced Cost adalah lawan dari opportunity cost, jadi apabila Reduced Cost = 4,
maka opportunity cost nya = -4. Dengan demikian dari hasil di atas, tidak ada
opportunity cost yang positif, jadi program optimal.
Pada masalah transportasi keadaan pasar seimbang artinya jumlah permintaan
akan barang sama dengan jumlah kapasitas produksi, maka dual price tidak memiliki
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
80
makna khusus. Selanjutnya hasil berikut menunjukkan perubahan yang dibolehkan
agar sistem transportasi tetap, dengan biaya optimal.
Misalnya c11 dapat turun sampai 11 atau naik sampai tak berhingga, c12 dapat turun
sampai 0 dan tidak boleh naik, dan seterusnya.
Hasil terakhir yaitu:
Menunjukkan bahwa jumlah produksi maupun jumlah permintaan adalah tetap
karena memang keadaan pasar seimbang.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
81
4.5.3.2 Program Lingo
Lingo adalah salah satu program (software) dibawah Winston satu set bersama-sama
dengan Lindo. Program Lingo lebih luas cakupannya, namun output (hasil keluaran)
nya tidak selengkap program Lindo. Pada program Lingo, dapat mengolah data atau
rumusan non-linear, seperti membuat grafik fungsi sinus, fungsi logarirmis, fungsi
eksponen, dan lain-lain.
Bentuk pemrograman Lingo juga lebih rumit sedikit, tetapi akan lebih efisien
apabila digunakan untuk menyelesaikan masalah transportasi dengan banyak
variabel. Karena pada program Lingo disediakan perintah (command) looping
dengan perintah for ... loop. Sebagai contoh masalah transportasi yang sudak dibahas
di atas akan dikerjakan dengan program Lingo.
Tabel 4.56 Tabel masalah Transportasi dengan Lingo
Dengan program Lingo, maka perintah untuk menyelesaikan masalah
transportasi ini adalah.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
82
Dari program di atas menunjukkan bahwa, program Lingo ini sangat baik
untuk masalah transportasi khususnya untuk banyak variable, karena dengan Lingo
tidak perlu mendefinisikan nama variable. Perhatikan bahwa bentuk program Lingo
untuk menyelesaikan masalah transportasi ini bentuk program sudah baku dan tidak
perlu mengganti variabel/ menambah variabel. Perubahan program hanya mengubah
banyaknya Kapasitas, Permintaan, dan perubahan pada data saja.
Setelah program dijalankan, maka akan diperoleh hasil sebagai berikut.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
83
Dari hasil program Lingo diperoleh biaya minimum yang diperlukan untuk
pengangkutan barang adalah 1.230 pada iterasi ke-15.
Sedangkan menggunakan program Lindo dengan besar biaya minimum sama 1.230
pada iterasi ke-8
Dari penyelesaian masalah transportasi menggunakan software LINDO dan
LINGO diperoleh biaya minimum yang sama dengan penyelesaian secara analitik
menggunakan metode transportasi solusi optimum MODI. Jadi dapat disimpulkan
bahwa penyelesaian antara proses manual dan menggunakan software menghasilkan
biaya optimum yang sama. Software LINDO dan LINGO dapat digunakan untuk
menyelesaikan kasus transportasi dengan jumlah variabel yang relatif besar dalam
waktu yang lebih singkat.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan analisis yang telah Penulis lakukan tentang beberapa metode
transportasi dalam optimalisasi biaya distribusi suatu produk yang telah diuraikan
dalam bab pembahasan, maka dapat disimpulkan sebagai berikut.
1. Sebuah masalah transportasi diselesaikan menggunakan sebuah metode
khusus yang disebut metode transportasi. Ada dua tahap penyelesaian yang
harus dilakukan yaitu menentukan solusi layak awal (basic feasible solution)
dan solusi optimal (optimal solution). Solusi layak awal adalah solusi dasar
yang harus ditentukan dengan memenuhi seluruh ketentuan kendala dan
fungsi tujuan, sementara solusi optimal adalah solusi akhir yang telah
dinyatakan optimal melalui uji optimalitas. Untuk memperoleh solusi optimal
terlebih dahulu ditentukan solusi layak awal dengan menggunakan beberapa
metode yaitu North-west corner method (NWCM), Least-cost method (LCM)
dan Vogel’s Approximation method (VAM). Solusi layak awal yang diperoleh
dari salah satu metode solusi awal akan dievalusi menggunakan metode uji
optimalitas yaitu metode Stepping stone method (SSM) dan Modified
distribution (MODI) dan diperoleh solusi optimal.
2. Dari ketiga metode yang telah dikaji dapat dilihat bahwa metode yang paling
sederhana adalah metode NWC, karena proses alokasinya singkat tanpa
adanya iterasi perhitungan, tetapi hasil dari metode ini umumnya kurang
memuaskan karena biaya alokasi yang diperoleh cukup besar, hal ini
diakibatkan proses alokasi yang tidak mempertimbangkan biaya alokasi tiap
produk. Sedangkan dengan metode VAM, alokasi yang dilakukan
menghasilkan total biaya paling rendah, hal ini terjadi karena pemilihan sel
alokasi didasarkan pada nilai penalty cost yang meminimumkan
pengalokasian pada sel berbiaya tinggi, tetapi perhitungannya cukup rumit
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
85
karena memerlukan beberapa iterasi sampai diperoleh solusi layak awal.
Sementara metode LCM, secara perhitungan masih kategori sederhana karena
alokasi didasarkan pada biaya sel terendah, kemudian besar total biaya
alokasi dari solusi awal yang diperoleh umumnya berada diantara metode
NCM dan VAM.
3. Dari hasil uji optimalitas dengan metode MODI pada solusi awal yang
diperoleh dari pengaplikasian ketiga metode yakni NWC, LCM dan VAM
pada contoh masalah tranasportasi dalam tulisan ini, selisih terbesar antara
solusi awal dan solusi optimal dihasilkan oleh metode NWC, selisih terendah
adalah metode VAM, sementara metode LCM umumya memiliki selisih
biaya diantara keduanya atau ada kalanya sama dengan VAM.
4. Jadi, setiap metode memilki karakteristik tersendiri baik kelemahan dan
kelebihan. Dari hasil analisis masing-masing metode, Penulis menyimpulkan
bahwa pemilihan metode optimal harus disesuaikan dengan kondisi masalah
tranasportasi yang akan diselesaikan, maksudnya adalah tergantung
banyaknya variabel permasalahan mencakup jumlah source (banyaknya
tempat produksi) , dan jumlah destination (tujuan alokasi) serta waktu yang
disediakan untuk menyelesaikan. Bilamana diberi waktu yang cukup, maka
akan digunakan metode VAM, namun jika ingin waktu lebih singkat dengan
metode LCM sudah cukup optimal. Berapapun nilai solusi awal yang
diperoleh masih harus dilakukan uji optimal untuk menentukan solusi optimal
dari sebuah masalah transportasi. Tujuan utama memiliki metode optimal
dalam meneyelesaikan sebuah masalah transportasi agar banyak iterasi uji
optimal yang diperlukan seminimal mungkin.
5.2 SARAN
Dalam penelitian ini penulis menggunakan sumber materi dari jurnal-jurnal ilmiah
dan beberapa buku yang mana semua kasus transportasi yang dibahas dan
diselesaikan tergolong sederhana. Hal ini dikarenakan penulis fokus pada
pembahasan materi dibanding aplikasi langsung atau studi kasus serta penyelesaian
dilakukan contoh kasus dilakukan secara manual sehingga jika menggunakan kasus
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
86
yang kompleks membutuhkan banyak waktu. Oleh karena itu saran yang dapat
penulis berikan adalah jika peneliti selanjutnya ingin mengkaji topik yang sama
dapat menggunakan kasus yang diambil langsung dari sumber lapangan dengan skala
permasalahan yang lebih besar dan dapat menggunakan bantuan software yang
sesuai. Pada tulisan ini penulis tidak menyertakan penyelesaian dengan batuan
software karena keterbatasan pengetahuan penulis tentang program yang
bersangkutan. Semoga peneliti selanjutnya dapat menyempurnakan kekurangan dari
tulisan ini.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
DAFTAR PUSTAKA
Agustini, Dwi Hayu dan Rahmadi, Endra. 2004. Riset Operasional Konsep konsep Dasar.
Cetakan Pertama. Jakarta: PT. Rineka
Akpan, Stephen dkk. 2015. A Modified Vogel Approximation Method for Solving Balanced
Transportation Problems. Department of Computer Science, University of Calabar,
Cross-River State, Nigeria. © Global Society of Scientific Research and Researchers.
http://asrjetsjournal.org/.
(diakses : 15 Februari 2018)
Ary, M dan Syarifuddin, D. 2011. ISSIT. Comparison the transportation problem solution
between north-west corner method and stepping stone method with basic approach.
Universitas BSI Bandung
Fitriatien, Sri Rahmawati. 2016. Metode Transportasi Sebagai Solusi Alternatif Dalam
Pengambilan Keputusan Pada Operasional Riset. Universitas PGRI Adi Buana
Surabaya. https://osf.io/fdg96/.
(diakses: 13 Februari 2018)
Gupta, PK dan Hira, DS. 2007. Operations Research Theory And Aplication. India: S.chand
& Company Ltd
Hernawati, Tri dan Laili, Isnaniah. 2015. Pendistribusian Produk Dengan Vogel‘S
Approximation Method (Vam) Dan Modified Distribution Method (Modi). Universitas
Islam Medan Area. https://osf.io/kc42n/.
(diakses : 13 Februari 2018)
Hyalel, Abdallah A dan Alia A, Mohammad. 2012. Solving Transportation Problems Using
The Best Candidates Method. Al-Zaytoonah Universty of Jordan. http://computer
Science & Engineering: An International Journal (CSEIJ), Vol.2, No.5, October 2012.
(diakses: 15 Februari 2018)
Mulyono, Sri. 2004. Riset Operasi. Edisi Revisi. Jakarta: Lembaga Penerbitan Fakultas
Ekonomi UI
Murthy, P R. 2007. Operation Reasearh 2nd edition. New age interational Ltd. New Delhi
Sentosa, Dika Herli. 2014. Management Biaya Distribusi. Binus University.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
87
Sharma, Gaurav dkk. 2012. Solving Transportation Problem With The Various Method Of
Linear Programming Problem. Institute Of Technology And Management, Bhopal
(M.P). http://www.innovativejournal.in/index.php/ajcem. (diakses : 15 Februari 2018)
Supranto, Johannes. 1988. Riset Operasi Untuk Pengambilan Keputusan. Cetakan Pertama.
Jakarta: UI Press
Taha, HA. 1999. Introduction to operations research. PHI limited. New Delhi
Vivek Joshi, Rekha. 2013. Optimization Techniques for Transportation Problems of Three
Variables. Department of Mathematics, Sydenham College of Commerce and
Economics, Mumbai University, India. IOSR Journal of Mathematics (IOSR-JM) e-
ISSN: 2278-5728, p-ISSN:2319-765X. Volume 9, Issue 1 (Nov. – Dec. 2013), PP 46-
50 www.iosrjournals.org.
(diakses: 15 Februari 2018)
Winston, WL. 2004. Operation Research application algorithms. Brooks/ Cole Thomson.
Canada
Zulfikarizah, Fien. 2014. Operation Research. Edisi Ketiga. Malang: Bayumedia Publishing
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA