ANALISA KESTABILAN PERSAMAAN

GERAK ROKET TIGA DIMENSI TIPE RKX-

200 LAPAN DAN SIMULASINYA

MOHAMMAD RIFA’I

1208100703

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

SURABAYA

2012

1.1 Latar Belakang

Indonesia

sebagai negara

yang

berkembang

Roket

kendali6 derajat

kebebasan

Tidak

stabilPersamaan

non linear

Longitudinal

dan lateral-

directional

1.2 Rumusan Masalah

Bagaimana melinearisasi persamaan non linear gerak roket ?

Bagaimana menentukan kestabilan sistem persamaan gerak

roket tipe RKX-200 LAPAN ?

1.3 Batasan Masalah

Roket dianggap rigid body (benda tegar)

Massa roket diasumsikan konstan

Sudut serang (angle of attack) dianggap nol

Fase yang diamati hanya pada fase sustainer (fase setelahpembakaran propelan atau bahan bakar utama habis pada

ketinggian tertentu)

Diasumsikan tidak terjadi coupling antara gerak longitudinal dan gerak lateral-directional

Simulasi yang digunakan adalah Simulink Matlab 7.10

1.4 Tujuan

Untuk melinearisasi persamaan nonlinear gerak roket

Untuk menentukan kestabilan persamaan gerak roket tipe RKX-200

1.5 Manfaat

Memperdalam dan mengembangkan wawasandisipilin ilmu, terutama sistem persamaangerak roket

Sebagai dasar untuk mendesain sistemkendali yang tepat

Geometri Roket RKX-200 LAPAN

Didesain :

boosting stage

sustaining stage

Mempunyai 3 sirip kendali yaitu : elevator, rudder, aileron

Karakteristik RKX-200 LAPAN

massa roket (m) 65.26 kg

luas sirip 0.04875 m2

busur aerodinamika rata-rata (c) 0.3249 m

momen inersia roll (Ix) 0.012 kg m2

momen inersia pitch (Iy) 84.43 kg m2

momen inersia yaw (Iz) 84.43 kg m2

volume 0.0216 m3

kecepatan awal jelajah (U0) 0.1 mach

Sistem Sumbu Roket

Sumbubadan

Sumbu bumi

Sistem Sumbu Roket

Sistem Sumbu Roket

No. Parameter sistem

sumbu badan

Sumbu-x Sumbu-y Sumbu-z

1. Kecepatan linear u v w

2. Kecepatan sudut p q r

3. Gaya aerodinamik X Y Z

4. Momen aerodinamik L M N

5. Momen kelembaman Ix Iy Iz

6. Perubahan sudut euler

Model Persamaan Gerak Roket

Persamaan gaya

Persamaan momen

Persamaan Kecepatan Anguler

Linearisasi

Sistem

Deret taylor

Karena adalah titik setimbang, maka

Dengan memisalkan

Maka

Persamaan Ruang Keadaan

Kestabilan Sistem

Kestabilan ditentukan melalui nilai karakteristik

suatu sistem pada titik setimbangnya dapat dikatakan :

• Stabil, jika bagian real dari nilai eigen bernilai non-positif .

• Stabil asimtotis, jika bagian real dari nilai eigen bernilai

negatif .

• Tidak stabil, jika bagian real dari nilai eigen bernilai

positif .

Kriteria Kestabilan Routh Hurwitz

Jika diketahui suatu persamaan karakteristik

dengan orde ke-n sebagai berikut :

Dengan menggunakan akar karakteristik (nilai eigen), sistem

dikatakan stabil atau mempunyai bagian real negatif jika dan

hanya jika suku-suku pada kolom pertama memiliki tanda yang

sama (positif atau negatif semua)

Obyek Penelitian

menganalisa kestabilan sistem persamaan gerak roket

tiga dimensi tipe RKX-200 LAPAN serta mensimulasikan dengan

matlab.

Langkah Pengerjaan

Studi Pendahuluan

Linearisasi Model Persamaan gerakroket

Membentuk State Space dan Analisa Kestabilan

Simulasi Matlab

Kesimpulan dan Saran

Linerisasi

4.1

4.2

4.3

Teori Gangguan Kecil (Small Disturbance Theory)

4.4

4.5

4.6

Ketika kondisi rata-rata gangguan sangat kecil, maka

dipenuhi asumsi :

a. perkalian (product) antar gangguan dapat dianggap

nol.

b. sinus dari sudut gangguan dapat dianggap sama

dengan sudut gangguan, sedangkan cosinus dari

sudut gangguan dianggap sama dengan satu.

4.7

4.8

4.9

Persamaan 4.7-4.8 merupakan persamaan gerak

roket yang terdiri dari persamaan pada kondisi trim dan

persamaan gangguan

Karena pelinearan, maka persamaan pada kondisi

setimbang diabaikan

Kasus khusus

• Kondisi terbang lurus (staight) menyebabkan

• Kondisi terbang symetric menyebabkan

• Kondisi terbang dengan sayap mendatar

• menyebabkan

• Kondisi terbang setimbang (trimmed)

menyebabkan hal ini berakibat juga

persamaan gerak untuk perubahan kecil disekitar nilai

kesetimbangannya atau disebut persamaan gangguan dari

gaya dan momen.

Gangguan dalam analisa gerak roket sangat

berpengaruh pada gaya dan momen roket. Gangguan-

gangguan ini secara tidak langsung ditransformasi ke dalam

bentuk fungsi gangguan.

Fungsi gangguan

Deret Taylor

Dengan menyamakan antara persamaan gaya dan fungsi

gangguan

Serta jika mengikuti definisi berikut :

Pembentukan Matriks State Space

Persamaan Gerak Longitudinal

Dalam analisa kestabilan, ada beberapa parameter yang

diabaikan seperti karena tidak berpengaruh terhadap

respon gerak roket.

Disamping itu, Dengan menggunakan sumbu kestabilan

(keseimbangan) roket, dapat dianggap nol.

Sedangkan sama dengan sudut jalur terbang jika sudut

serang diasumsikan nol

Untuk sudut lintas terbang = 0, maka persamaan gerak

longitudunal menjadi :

Dengan subtitusi ke maka menjadi :

State space persamaan longitudinal

Dengan :

Matriks output

No Output Matriks output

1.

2.

3.

4.

Pada gerak lateral directional, parameter diabaikan karena

tidak berpengaruh terhadap respon gerak roket.

Persamaan Lateral-directional

Dengan memisalkan

Maka persamaan menjadi :

Dengan

Dalam analisa kestabilan sideslip angles

Sering digunakan sebagai variabel state dari pada sideslip

velocity . untuk sudut serang yang sangat kecil maka

dipenuhi . Sehingga persamaan menjadi :

dengan :

State space gerak lateral-directional

output gerak lateral-directional

No output Matriks output

1.

2. p

3. r

4.

Analisa kestabilan

Stabil merupakan suatu kondisi sistem yang jika

mengalami gangguan dari dalam maupun luar mampu kembali

ke kondisi titik kesetimbangan. Dalam hal ini, sebelum analisa

kestabilan diperlukan suatu titik tetap kesetimbangan suatu

sistem.

Titik tetap gerak longitudinal

l

Titik Tetap gerak Lateral-directional

Analisa kestabilan Routh Hurwitz

Gerak Longitudinal

Mencari nilai karakteristik

Diperoleh

Dengan

Tabel Routh Hurwitz gerak Longitudinal

Sistem Dikatakan Stabil, Bila Kolom Pertama Bernilai

Positif . Sehingga menurut kriteria Routh-Hurwitz, sistem

persamaan gerak longitudinal dikatakan stabil apabila :

1.

2.

3.

4.

Analisa Kestabilan Routh Hurwitz

Gerak lateral-directional

Mencari nilai akar karakteristik :

Diperoleh

Dengan

Tabel Routh-Hurwitz gerak Lateral-directional

Sistem Dikatakan Stabil Bila Kolom Pertama Bernilai

Positif. Sehingga menurut kriteria Routh-Hurwitz sistem

persamaan gerak lateral-directional dikatakan stabil apabila :

1.

2.

3.

4.

Uji Kestabilan Dan Simulasi

Blok simulink

Gerak longitudinal

Matriks state space pada kecepatan 0.2 mach

Matriks state space pada kecepatan 0.5 mach

Matriks state space pada kecepatan 1.0 mach

Matriks state space pada kecepatan 1.1 mach

Matriks state space pada kecepatan 1.3 mach

Matriks state space pada kecepatan 1.5 mach

diperoleh nilai karakteristik sebagai berikut

Simulasi gerak longitudinal

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-2

0

2

4

6

8

Respon Sistem

Waktu (detik)

Kecep

ata

n L

inea

r S

um

bu

-z

mach 0.2

mach 0.5

mach 1.0

0 5 10 15 20 25 30-0.05

0

0.05

0.1

0.15

Respon Sistem

Waktu (detik)

laju

su

du

t a

ng

gu

k

mach 0.2

mach 0.5

mach 1.0

0 5 10 15 20 25 30 35-5

-4

-3

-2

-1

0

Respon Sistem

Waktu (detik)

Kecep

ata

n L

inea

r S

um

bu

-x

mach 0.2

mach 0.5

mach 1.0

0 5 10 15 20 25 30 350

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Respon Sistem

Waktu (detik)

Su

du

t A

ng

gu

k

mach 0.2

mach 0.5

mach 1.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-40

-30

-20

-10

0

10

Respon Sistem

Waktu (detik)

Kecep

ata

n L

inea

r S

um

bu

-x

mach 1.1

mach 1.3

mach 1.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-40

-20

0

20

40

60

80

Respon Sistem

Waktu (detik)

Kecep

ata

n L

inea

r S

um

bu

-z

mach 1.1

mach 1.3

mach 1.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-15

-10

-5

0

5

Respon Sistem

Waktu (detik)

laju

su

du

t a

ng

gu

k

mach 1.1

mach 1.3

mach 1.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-80

-60

-40

-20

0

20

Respon Sistem

Waktu (detik)su

du

t a

ng

gu

k

mach 1.1

mach 1.3

mach 1.5

Gerak Lateral Directional

Matriks state space pada kecepatan 0.2 mach

Matriks state space pada kecepatan 0.5 mach

Matriks state space pada kecepatan 1.0 mach

Matriks state space pada kecepatan 1.1 mach

Matriks state space pada kecepatan 1.3 mach

Matriks state space pada kecepatan 1.5 mach

Simulasi gerak lateral directional

Pengaruh Defleksi Rudder

0 10 20 30 40 50 60 70 80-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

Respon Sistem

Waktu (detik)

sid

esli

p a

ng

le

mach 0.2

mach 0.5

mach 1.0

0 10 20 30 40 50 60 70 800

2

4

6

8

10

12

Respon Sistem

Waktu (detik)

laju

su

du

t ro

ll

mach 0.2

mach 0.5

mach 1.0

0 20 40 60 80 100 1200

10

20

30

40

50

Respon Sistem

Waktu (detik)

laju

su

du

t y

aw

mach 0.2

mach 0.5

mach 1.0

0 20 40 60 80 100 1200

50

100

150

200

250

300

Respon Sistem

Waktu (detik)

su

du

t ro

ll

mach 0.2

mach 0.5

mach 1.0

Pengaruh Defleksi Rudder

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-40

-30

-20

-10

0

10

Respon Sistem

Waktu (detik)

Kecep

ata

n L

inea

r S

um

bu

-x

mach 1.1

mach 1.3

mach 1.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-40

-20

0

20

40

60

80

Respon Sistem

Waktu (detik)

Kecep

ata

n L

inea

r S

um

bu

-z

mach 1.1

mach 1.3

mach 1.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-15

-10

-5

0

5

Respon Sistem

Waktu (detik)

laju

su

du

t a

ng

gu

k

mach 1.1

mach 1.3

mach 1.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-80

-60

-40

-20

0

20

Respon Sistem

Waktu (detik)

sud

ut

an

gg

uk

mach 1.1

mach 1.3

mach 1.5

Simulasi gerak Lateral-directional

Pengaruh Defleksi Aileron

0 10 20 30 40 50 60 70 80

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

Respon Sistem

Waktu (detik)

sid

esl

ip a

ng

le

mach 0.2

mach 0.5

mach 1.0

0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

Respon Sistem

Waktu (detik)

laju

su

du

t ro

ll

mach 0.2

mach 0.5

mach 1.0

0 20 40 60 80 100 1200

0.02

0.04

0.06

0.08

Respon Sistem

Waktu (detik)

laju

su

du

t y

aw

mach 0.2

mach 0.5

mach 1.0

0 20 40 60 80 100 120

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Respon Sistem

Waktu (detik)

sud

ut

ro

ll

mach 0.2

mach 0.5

mach 1.0

Pengaruh Defleksi Aileron

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

Respon Sistem

Waktu (detik)

sid

esl

ip a

ng

le

mach 1.1

mach 1.3

mach 1.5

0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

Respon Sistem

Waktu (detik)

laju

su

du

t ro

ll

mach 0.2

mach 0.5

mach 1.0

0 20 40 60 80 100 1200

0.02

0.04

0.06

0.08

Respon Sistem

Waktu (detik)

laju

su

du

t y

aw

mach 0.2

mach 0.5

mach 1.0

0 20 40 60 80 100 120

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Respon Sistem

Waktu (detik)

sud

ut

roll

mach 0.2

mach 0.5

mach 1.0

Kesimpulan

1. Uji kestabilan sistem persamaan gerak roket

yang dianalisa pada tiga kecepatan yaitu, mach

0.5, mach 0.2, mach1.0 diketahui bahwa

sistem telah stabil.

2. Uji kestabilan sistem persamaan gerak roke

pada mach 1.1, mach 1.3, mach 1.5 diketahui

bahwa sistem tidak stabil, karena terdapat nilai

eigen pada bagian realnya bernilai positif.

3. Pada analisa uji kestabilan yang dianalisa

melalui berbagai kecepatan terbang roket,

diketahui kecepatan diatas mach 1.0 sistem

cenderung tidak stabil.

Saran

1. Pada model persamaan gerak roket perlu memasukkan efek

pergeseran titik pusat massa (Central of Gravity) roket, karena

pada hakikatnya titik pusat massa roket selalu berubah terhadap

waktu .

2. Pada tugas akhir ini, kestabilan roket hanya pada fase sustaining

saja. Peneliti selanjutnya bisa mengamati kestabilan roket pada

fase boosting juga demi bisa menggambarkan secara utuh tentang

kestabilan roket.

3. Dalam analisa data parameter terbang, perlu hati-hati dalam

membaca output yang dikeluarkan oleh missile DATCOM.

4. Perlu menvariasikan ketinggian serta sudut serang roket agar

didapatkan hasil perbandingan yang optimal.

5. Pada penelitian selanjutnya diharapkan melakukan sistem kontrol

pada analisa gerak roket.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Blackelock, J. (1990). Automatic Control of Aircraf and Missiles, USA :

Yellow springs.

[2] Donald, M.D. (1990). Automatic Flight Control System, New York : Pretince

Hall Internasional (UK).

[3] Fitria, D. (2010). Desain dan Implementasi Pengontrol PI Optimal Pada

Gerak Longitudinal Roket RKX-200 LAPAN, Bandung : Tugas Akhir S1

Departemen Teknik Fisika ITB.

[4] Finizio, N. dan Landas, G. (1988). Ordinary Differential Equations with

Modern Applications. California : Wadsworth Publishing Company.

[5] Husnul, A.dkk. (2010). Stucture and Mechanic DIV, Bogor : LAPAN

[6] Nelson, R. (1998). Flight Stability And Automatic Control, USA : MCGraw-

Hill.

[7] Olsder, G.J., 1994, Mathematical Systems Theory, Netherlands : Delftse

Uitgevers Maatschappij b.v.

[8] Siouris, G. (2003). Missile Guidance and Control Systems, New York :

Spinger-Verlag.

[9]Wahyuni, A dan Humas, P. (2009). Aspek-Aspek Terkait Dalam Merancang

Roket Kendali RKX Pada Tahap Awal, Bogor : LAPAN.