ALJABAR LINIER

MAYDA WARUNI K, ST, MT

1ALJABAR LINIER (I)

MATERI ALJABAR LINIER

• VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3• ALJABAR VEKTOR• SISTEM PERSAMAAN LINIER• MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS,

INVERS MATRIKS• TRANSFORMASI LINIER• NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN• TEOREMA GREEN, GAUSS STOKES• DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL VEKTOR• TEOREMA MENGENAI MEDAN SKALAR

2ALJABAR LINIER (I)

PENDAHULUAN ALJABAR LINIER

1. Matrik, meliputi Definisi, Jenis Matrik, Operasi Matrik, dan Sifat-sifatnya.

2. Vektor di R2 dan R3, meliputi Operasi Vektor dan Sifat-sifatnya, Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang di R3, dan Persamaan Garis dan Bidang di R3.

3. Eliminasi Gauss yang digunakan untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier umum, Sistem Persamaan Linier homogen

ALJABAR LINIER (I) 3

4. Invers matrik dengan menggunakan matrik elementer, Pencarian solusi Sistem Persamaan Linier dengan matrik invers, Hasil lebih lanjut matrik invers terhadap Sistem Persamaan Linier.

5. Determinan, meliputi determinan dengan ekspansi kofaktor, Sifat-sifat determinan terhadap Operasi Baris Elementer, Matrik Adjoin, Matrik Invers dengan Matrik Adjoin, Aturan Cramer

6. Ruang Vektor, meliputi Ruang n Euclides, Definisi Ruang Vektor, Sub Ruang, Bebas Linier, Membangun, Basis, dan Dimensi

7. Ruang Hasil Kali Dalam, meliputi Definisi, Panjang dan Sudut di Ruang Hasil Kali Dalam, Ortonormalisasi Basis

8. Nilai dan Vektor Eigen, meliputi Persamaan Karakteristik, Diagonalisasi, dan Diagonalisasi secara Ortogonal

9. Transformasi Linier, meliputi Definisi, Kernel, Rank, Koordinat sebagai bentuk Transformasi dari Ruang vektor sebarang ke Rn, Matrik Transformasi

ALJABAR LINIER (I) 4

MATRIKS

• Definisi:Susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diaturdalam baris dan kolom.

• Bilangan atau fungsi tersebut disebut entri atau elemen matrik.

• Lambang matrik dilambangkan dengan huruf besar, sedangkan entri (elemen)

• dilambangkan dengan huruf kecil

Contoh:

ALJABAR LINIER (I) 5

710234

A

1331

B

Matriks (Lanjutan)

• Bentuk umum suatu matriks:

• Elemen kolom ke-1 =

• Elemen baris ke-1 =

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

21

22221

11211

1

21

11

ma

aa

naaa 11211

Matriks (Lanjutan)

• aij adalah elemen baris ke-i, kolom ke-j• Matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut berordo

m n.• Matriks berordo mxn yang banyak baris sama dengan

banyaknya kolom disebut matriks persegi.• Contoh:

• Elemen 3, -6, -1 disebut elemen-elemen diagonal utama.

189764123

A

Matriks (Lanjutan)

KesamaanKesamaan DuaDua MatriksMatriksDua matriks disebut sama jika ordonya sama dan elemen-elemen yang seletak sama.

JumlahJumlah DuaDua MatriksMatriksDua Matriks A dan B dapat dijumlahkan jika ordonya sama.Jumlah dua matriks A dan B ialah matriks C yang ordonyasama dengan ordo matriks A maupun B, sedangkan elemen-elemen yang seletak dijumlahkan:Contoh:

32

3182

435012

Matriks (Lanjutan)

HasilHasil Kali Kali MatriksMatriks dengandengan SkalarSkalarHasil kali matriks A dengan skalar k ialah matriks yangordonya sama dengan ordo matriks A sedangkan elemen-elemennya dikalikan dengan k.

HasilHasil Kali 2 Kali 2 MatriksMatriksJika A adalah sebuah matriks m r dan B adalah matriks r nmaka hasil kali A B adalah matriks mxn yang elemen-elemennya ditentukan sbb: elemen di dalam baris ke-i, kolomke-j dari AB, maka pilihlah baris ke-i dari matriks A dankolom ke-j dari matriks B, kalikanlah elemen-elemen yangbersangkutan dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dankemudian tambahkanlah hasil perkalian yang dihasilkan.

Matriks (Lanjutan)

• Contoh:

2 3 3 4 2 4

• (2 4) + (6 3) + (0 5) = 26

257213103414

062421

BA

1226.4...8..

..13...30..27....12.

257213103414

062421

JENIS MATRIKS

1. bujursangkar dikenal diagonal utama, yaitu entri-entri yang mempunyai nomor baris=nomor kolom.

ALJABAR LINIER (I) 11

pada matrik di atas mempunyai ordo 3, dan ditulis A3, sedangkan entri yang terletak pada diagonal utama adalah: a11, a22, dan a33.

2. Matrik segitiga atas yaitu matrik bujur sangkar yang semua entri di bawah diagonal utama bernilai nol

3. Matrik segitiga bawah

yaitu matrik bujur sangkar yang semua entri di atas diagonal utama bernilai nol

ALJABAR LINIER (I) 12

4. Matrik diagonaladalah matriks persegiyang semua elemen di luardiagonal utamanya adalahnol, sedangkan elemendiagonal utamanya tidaksemua nol.

5. Matrik satuan/ Identitasadalah matriks persegiyang semua elemendiagonal utamanya satu, sedangkan elemen lainnyanol. Matriks identitasdinyatakan dengan I.

ALJABAR LINIER (I) 13

6. Matrik skalar , yaitu matrik diagonal yang semua entri pada diagonal utama bernilai sama, asalkan tidak nol, atau c≠0 .

• Efek dari perkalian sebarang matrik dengan matrik skalar adalah seperti mengalikanmatrik sebarang tersebut dengan skalar c.

7. Matrik nol yaitu matrik yang semua entrinya nol. Dengan lambang: O jika ordo dipentingkan ditulis O35 untuk menyatakan matrik nol dengan ordo 3x5.

ALJABAR LINIER (I) 14

8. Matrik invers, matrik bujursangkar A disebut mempunyai invers, jika terdapat matrik B, sehingga memenuhi BA=AB=I, lambang: invers matrik B biasanya A-1. Untuk matrik berordo 2x2, telah diberikan rumus pencariannya,

9. Matrik bujur sangkar Sebuah matrik bujur sangkar disebut Simetri, jika A = AT.

ALJABAR LINIER (I) 15

10. Sebuah matrik bujur sangkar disebut Skew-Simetri, jika AT = -A.

Contoh:

Tentukan a, b, c, sehingga matrik A menjadi matrik skew-simetri, jika

ALJABAR LINIER (I) 16

penyelesaian

ALJABAR LINIER (I) 17

Operasi matrik

1. Penjumlahan matrik

2. Perkalian dengan skalar

3. Perkalian dua matrik

4. Transpose matrik

ALJABAR LINIER (I) 18

Penjumlahan matrik

ALJABAR LINIER (I) 19

ALJABAR LINIER (I) 20

2. Perkalian skalar

ALJABAR LINIER (I) 21

contoh

ALJABAR LINIER (I) 22

3. Perkalian Dua matrik

ALJABAR LINIER (I) 23

contoh

ALJABAR LINIER (I) 24

ALJABAR LINIER (I) 25

4. Transpose matrik

ALJABAR LINIER (I) 26

5. Trase matrik

ALJABAR LINIER (I) 27

ALJABAR LINIER (I) 28

Hitung :1. A + B2. AB3. A+E4. BC + 3D5. TRASE A6. TRASE B7. 3A8. 3IA9. TRASE D

ALJABAR LINIER (I) 29

Sifat – sifat Matriks

SOAL

ALJABAR LINIER (I) 31

TENTUKAN:1. (A+B)T

2. AT+BT

3. (AB)T

4. ATBT

5. BTAT

6. (1/2B)T

7. 1/2BT

8. -2A9. -2IA10. A2

11. A3

12. TRASE A13. TRASE B14. TRASE (A+B)