Adri Priadana

ilkomadri.com

Pengertian Determinan

Determinan adalah nilai real yang dihitung

berdasarkan nilai elemen-elemennya.

Ditulis dengan simbol det(A) atau |A|

Setiap matrik bujur sangakar A selalu

mempunyai determinan.

Determinan dari sebuah matriks adalah sebuah

bilangan

Determinan Matriks 2x2

= (1) (0) – (3) (-1/2)

= 3/2

1 3

-½ 0

Determinan Matriks 3x3

= -3 ( (0) (11) – (-3/4) (180) )

-3 8 ¼

2 0 -¾

4 180 11

Sekarang ambil entri yang berada pada

pertemuan baris pertama dan kolom

pertama . . . .

Kalikan entri tersebut dengan

determinan matriks 2x2 yang tersisa

Coret baris pertama dan kolom

pertama

-3 8 ¼

2 0 -¾

4 180 11

Sekarang coret baris pertama

dan kolom kedua

•Ambil negatif dari entri pada pertemuan

baris pertama dan kolom kedua.

•Kalikan entri tersebut dengan

determinant matriks 2x2 yang tersisa.

•Jumlahkan dengan hasil sebelumnya.

Determinan Matriks 3x3

= - 3 ( (0) (11) – (-3/4) (180) ) +

(-8) ( (2) (11) – (-3/4) (4) )

Determinan Matriks 3x3

= - 3 ( (0) (11) – (-3/4) (180) ) +

(-8) ( (2) (11) – (-3/4) (4) ) +

(1/4) ( (2) (180) – (0) (4) )

= - 515

Terakhir, coret baris

pertama dan kolom

ketiga.

•Ambil entri pada pertemuan baris

pertama dan kolom ketiga.

•Kalikan entri tersebut dengan

determinan matriks 2x2 yang tersisa.

•Kemudian jumlahkan dengan hasil

sebelumnya.-3 8 ¼

2 0 -¾

4 180 11

Metode Sarrus

= ( 1.1.4 + 2.5.3 + 3.4.2 ) – ( 3.1.3 + 1.5.2 + 2.4.4)

= ( 4 + 30 + 24 ) – ( 9+10+32 )

= 7

1 2 3

4 1 5

3 2 4

1 2

4 1

3 2

Didefinisikan bahwa minor dari matriks Aij adalah det(Aij)

dan kofaktornya adalah (-1) i + j det(Aij)

Di sini Aij adalah matriks A dengan elemen-elemen baris

ke-i dan elemen-elemen kolom ke-j dibuang.

contoh:

A = , tentukan minor dan kofaktor

dari A11 dan A32

Minor dan Kofaktor

-3 4 2

2 1 3

1 0 -1

A11 = matriks A dengan elemen-elemen baris ke-1

dan elemen-elemen kolom ke-1 dibuang.

A11 = =

Minor A11 = det(A11 ) = (1) (-1) – (0) (3) = -1

Kofaktor A11 = (-1) i + j det(Aij) = (-1) 1 + 1 (-1) = -1

Minor dan Kofaktor

-3 4 2

2 1 3

1 0 -1

1 3

0 -1

A32 = matriks A dengan elemen-elemen baris ke-3

dan elemen-elemen kolom ke-2 dibuang.

A11 = =

Minor A32 = det(A32 ) = (-3) (3) – (2) (2) = -13

Kofaktor A32 = (-1) i + j det(Aij) = (-1) 3+ 2 (-13) = 13

Minor dan Kofaktor

-3 4 2

2 1 3

1 0 -1

-3 2

2 3

1. det(A) = 0 jika dalam suatu baris/kolom semua elemennya nol

2. det(A) = det(At)

Sifat – Sifat Determinan

3. Nilai determinan menjadi k kali bila dalam satu baris/kolom dikalikan dengan k (suatu skalar).

Dari soal sifat 2), baris 1 dikalikan dengan 5 menjadi :

Sifat – Sifat Determinan

4. det(A) = 0 jika 2 baris/kolom sebanding.

5. Nilai determinan berubah tanda jika dua baris/kolom ditukar tempatnya

Sifat – Sifat Determinan

6. Nilai determinan tidak berubah jika baris/kolom ke – i

ditambah k kali baris/kolom ke – j. Dari soal sifat 5),

baris 1 ditambah 3 kali baris 2 :

7. Elemen sebuah baris/kolom memuat 2 buah suku maka

determinan tersebut dapat ditulis sebagai jumlah

determinan.

Sifat – Sifat Determinan

8. Jika suatu matriks merupakan matriks segitiga atas

atau segitiga bawah, maka hasil determinannya

merupakan hasil kali dari elemen-elemen yang terletak

pada diagonal utamanya.

A = maka det(A) = 2.3.2 = 12

B = maka det(A) = 2.3.2 = 12

Sifat – Sifat Determinan

2 0 0

1 3 0

4 1 2

2 7 7

0 3 0

0 0 2

9. Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ukuran yang sama, maka det(AB) = det(A) det(B).

Sifat – Sifat Determinan

Matur Nuwun