Post on 23-Feb-2018
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
1/39
1
2
2
3
1
3
U3, P3
u3,p3U1, P1
U2, P2
u1,p1u2,p2
u1
u2
u3
=
C1 C2 0
-C2 C1 0
0 0 1
U1
U2
U3
C1 = cos
C2 = sin
TRANSFORMASI SUMBU KOORDINAT
Tujuan Pembelajaran Umum
Mahasiswa mampu menyelesaikan analisa struktur dengan cara Analisa
Struktur Metode Matriks (ASMM)
3.5 Pendahuluan Transformasi Sumbu Koordinat
Tujuan Pembelajaran Khusus
Mahasiswa mampu menyelesaikan struktur statis tak tentu elemen balok dan
portal 2 Dimensi dengan transformasi sumbu koordinat
Koordinat Lokal dan Global
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
2/39
C S 0
-S C 0
0 0 1
C = cos
S = sin
u1u2u3u4
u5u6
=
0
0
U1U2U3U4
U5U6
[ u ] = [ R ] [ U ]
R = matriks rotasi
P1P2P3P4P5P6
=
0
0
p1p2p3p4p5p6
[ P ] = [ R ]T [ p ]
R = matriks rotasi
K
Atau dapat ditulis : u = U
Dimana :
=
Untuk transformasi sumbu sebuah titik dengan 6 dof dapat ditulis :
Transformasi sumbu juga berlaku untuk gaya :
p = P
P = -1
p -1
= T
P = T p
p = k u ; u = R U
P = RT p P = K U
= RT k u K = R
T k R
= RT k R U
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
3/39
0 0 - 0 0
0 12 6L 0 -12 6L
0 6L 4L2 0 -6L 2L2
- 0 0 0 0
0 -12 -6L 0 12 -6L
0 6L 2L2 0 -6L 4L
2
Matriks kekakuan elemen untuk 6 dof :
6 x 6
Dimana :
= =
[ K ] = [ R ]T [ k ] [ R ]
k =
2323 L
EI6L
EI12-0L
EI6L
EI120
L
EI2
L
EI6-0
L
EI4
L
EI60
22
2323 L
EI6-
L
EI120
L
EI6
L
EI120 -
L
EI4
L
EI6-0
L
EI2
L
EI60
22
00L
EA-00
L
EA
00L
EA-00
L
EA
k =
L
EI
3 I
LA 2
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
4/39
C -S 0
S C 0
0 0 1
C -S 0
S C 0
0 0 1
0
0
0 0 - 0 0
0 12 6L 0 -12 6L
0 6L 4L2 0 -6L 2L2
- 0 0 0 0
0 -12 -6L 0 12 -6L
0 6L 2L2 0 -6L 4L2
C S 0
-S C 0
0 0 1
C S 0
-S C 0
0 0 1
g1 g2 g4 -g1 -g2 g4
g3 g5 -g2 -g3 g5
g6 -g4 -g5 g7
g1 g2 -g4
g3 -g5
g6
0
0
Dimana :
g1 = ( C2 + 12 S2) g5 = 6 L C
g2 = C S ( - 12 ) g6 = 4 L2
g3 = ( S2 + 12 C
2) g7 = 2 L
2
g4 = -6 L S
K =
K =
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
5/39
q = 1,68 k/ft
L = 10 ft
M = 14 kft = 168 kin
L = 10 ft
1
2 3
1
2
E = 30.000 ksi
A = 5 in2
I = 50 in4
L = 10 ft
1
2
1
2 3
0
0
3
10
0
2
0
0 Sumbu Global
DOF [ Ks ]3 x 31
2
1
2 3
2
4
54
5
6
13 Sumbu Lokal
DOF [ k ]3 x 3
6
1
3
2
2
1
2
x
x
1
= 270o
1 =
C S 0
-S C 0
0 0 1
=
0 -1 0
1 0 0
0 0 1
Contoh 7 Sebuah portal seperti gambar, dengan menggunakan transformasi
sumbu hitunglah gaya-gaya dalam yang bekerja.
Matriks transformasi batang :
Batang 1 : = 270o cos 270
o = 0
sin 270o = -1
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
6/39
2 3
x
x
= 0o
2 =
C S 0
-S C 0
0 0 1
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
C S 0
-S C 0
0 0 1
C S 0
-S C 0
0 0 1
0
0
0 -1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 -1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
C S 0
-S C 0
0 0 1
C S 0
-S C 0
0 0 1
0
0
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
Batang 2 : = 0o cos 0
o = 1
sin 0o = 0
R1 = =
R2 = =
Matriks kekakuan system struktur
Elemen 1 :
1 = 331
12).10(
50.30.000
L
EI= = 0,87
1 =50
12).(10.5
I
LA 22
1 = = 1.440
C = 0 ; S = -1
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
7/39
g1 g2 g4 -g1 -g2 g4
g3 g5 -g2 -g3 g5
g6 -g4 -g5 g7
g1 g2 -g4
g3 -g5
-g4 g6
0
0
0
1
0
2
g1 -g4 0
-g4 g6 0
0 0 0
1
2
3
10,44 -626,4 0
-626,4 50.112 0
0 0 0
{ T } = { 0 0 0 1 0 2 }T
0 0 0 1 0 2
1 2 3
g1 = ( C2 + 12 S2) = 0,87 [ 0 + 12 (-1)2] = 10,44
g4 = -6 L S = -0,87 . 6 . 120 (-1) = 626,4
g6 = 4 L2
= 0,87 . 4 . 1202 = 50.112
Sehingga :
Elemen 2 :
2 = 331
12).10(
50.30.000
L
EI= = 0,87
2 =50
12).(10.5ILA
22
1 = = 1.440
C = 1 ; S = 0
K1 =
K1 =
K1 =
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
8/39
g1 g2 g4 -g1 -g2 g4
g3 g5 -g2 -g3 g5
g4 g6 -g4 -g5 g7
g1 g2 -g4
g3 -g5
g4 g7 g6
1
0
2
0
0
3
g1 g4 g4
g4 g6 g7
g4 g7 g6
1
2
3
1.252,8 0 0
0 50.112 25.056
0 25.056 50.112
1.263,24 -626,4 0
-626,4 100.224 25.056
0 25.056 50.112
{ T } = { 1 0 2 0 0 3 }T
1 0 2 0 0 3
1 2 3
g1 = ( C2 + 12 S
2) = 0,87 [ 1.440 . 1
2+ 12 (0)
2] = 1.252,8
g4 = -6 L S = -0,87 . 6 . 120 (0) = 0
g6 = 4 L2
= 0,87 . 4 . 1202 = 50.112
g7 = 2 L2 = 0,87 . 2 . 1202 = 25.056
Sehingga :
K1 =
K1 =
KS =
K1 =
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
9/39
q = 0,14 k/in
168 kin168 kin168 kin0 0
0
168
0
1.263,24 -626,4 0
-626,4 100.224 25.056
0 25.056 50.112
- 1 0
168
0
0,00095
0,00192
-0,00096
Defleksi horizontal di 2
Rotasi di 2
Rotasi di 3
u11
u12
u13
u14
u15
u16
0
0
0
0,00095
0
0,00192
=
0
0
0
0
0,00095
0,00192
Matriks beban :
8,4 8,4
PS =
{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1
{ Ps }
Displasement masing-masing batang (koordinat lokal)
u1 = =
US =
US =
0 -1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 -1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
10/39
u21
u22
u23
u24
u25
u26
0,00095
0
0,00192
0
0
-0,0096
=
0,00095
0
0,00192
0
0
-0,0096
0
1,193 k
47,512 kin
0
-1,193 k
95,620 kin
0
1,193 k
3,959 kft
0
-1,193 k
7,968 kft
1,19 k
-7,8 k
-95,84 kin
-1,19 k
-9 k
168 kin
1,19 k
-7,8 k
-7,99 kft
-1,19 k
-9 k
14 kft
u2 = =
Gaya akhir batang :
Elemen 1 :
{ P1} = [ k1] { u1} + { 0 }
P1 = =
Elemen 2 :
{ P2} = [ k2] { u2} + { Faksi}
P2 = =
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
11/39
q = 1,68 k/ft 14 kft
7,8 k 9 k
1
21,19 k1,19 k
7,99 kft
1,193 k
1,193 k
0
3,959
7,968 kft
3,959
+
-7,99
7,99
14
+ +
-
Free body diagram :
Bidang M :
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
12/39
+
+
-
1,193
1,193
7,8
9
- 1,191,19
Bidang D :
Bidang N :
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
13/39
Aplikasi dengan SAP 2000 V9.0.3 Untuk Contoh 6
1.
Menentukan Sistem Grid
Buka program SAP 2000 dengan mengklik Start >> All program >>
Sap2000 9 >> Sap2000.
Klik menu File >> New Model dan ganti satuan dalam bentukKip,ft,F dan
pilihgrid onlyuntuk membuat model
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
14/39
Setelah memilih menu grid only, maka akan muncul tampilan untuk mengisikan
jarak dan jumlah grid searah sumbu x, y dan z seperti pada gambar berikut.
Isikan pada Number of Grid Lines, X direction = 2, Ydirection = 1, dan Z
directon = 2
Isikan pada Grid Spacing , X direction =10, Y direction = 1, dan Z direction
=10.
Kemudian klik OK.
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
15/39
2. Mendefenisikan Property Material
Ubah satuan menjadi Kip,in,F hal ini karena satuan dari E adalah Ksi
KlikDefine >> Materialuntuk mendefinisikan material yang akan digunakan.
Pilih Other kemudian klik Modify/Show Material...
Isikan Modulus of Elasticity= 30000 ksi kemudian klik OK 2 kali
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
16/39
3.
Mendefenisikan Properti Penampang Batang
Pastikan satuan di pojok kanan bawah adalah Kip,in,F
Pilih menu Define >> Frame Section kemudian akan muncul tampilan dialog
Frame Propertiesbox sebagai berikut.
Di bagian Choose Property Type to Addpilih Add Rectanguler kemudian klik
Add New Property
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
17/39
Kemudian akan muncul tampilan dialog Rectanguler Sectionbox sebagai berikut.
Isikan data-data untuk penampang :
Section Name = FRAME
Material = Other
Dimension : Depth (t3) = 6in; Width (t2) = 4in
Kemudian klik Set Modifiermaka akan keluar dialog box sepeti di bawah ini.
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
18/39
Ubah parameter Shear Area in 2 directiondan Shear Area in 3 directionmenjadi
0. Hal ini dilakukan karena kita hanya memperhitungkan pengaruh lentur dari
penampang dan tidak memperhitungkan pengaruh geser dari penampang. Selain itu,
nilai Moment of Inertiajuga harus diubah. Hal ini karena nilai Idi soal adalah 50
in4 sedangkan I penampang SAP2000 = 7264121 3 = in
4 (asumsi penampang
yang digunakan adalah segiempat dengan b = 4 in dan h = 6 in), jadi nilai Moment
of Inertia about 2 axis danMoment of Inertia about 3 axisdi ubah menjadi =72
50
0,694444444.
Klik OK 2 kali sehingga muncul dialog Frame Properties box sebagai berikut.
Pastikan batang yang kita beri nama FRAME sudah terbentuk. Kemudian klik OK.
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
19/39
4. Merubah definisi Tipe Beban
Klik MenuDefine >> Load Casesuntuk membuka menu Define Load, kemudian
akan muncul tampilan dialog Define Loadsbox seperti berikut.
Karena berat sendiri diabaikan maka parameter Self Weight Multiplierdiganti
0, kemudian klik Modify Loaddan Klik OK.
5.
Menggambar Balok
Tutup jendela 3D dengan mengklik tanda X pada window 3D, kemudian pilih
set XZ Viewpada toolbar.
Sehingga muncul window seperti di bawah ini :
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
20/39
Klik tombol atau klik Draw >> Draw Frame/Cable/Tendon untuk
menggambar frame
Lalu muncul dialog Properties of Objectdan pada section pilih FRAME
Klik pada nodal dan tarik garis FRAME yang akan dibuat seperti pada
gambar di bawah.
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
21/39
2
1
1
0
1 2
Ingat:pada proses penggambaran frame, frame yang telah di beri nomor 1 pada
soal harus digambar terlebih dahulu kemudian di gambar frame nomor 2 dan
seterusnya. Arah penggambaran frame sesuai dengan titik nodal di soal. Jadi,
frame nomor 1 diatas di gambar dari koordinat sumbu Z+ ke koordinat 0,0
(berlawanan dengan sumbu Z+) untuk frame nomor 2 di gambar dari sumbu X =
0 ke sumbu X+.
Arah penggambaran
Frame
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
22/39
Untuk melihat section frame klik menu View >> Set Display Option maka
akan keluar dialog Display Option For Active Windowseperti dibawah ini.
Beri tanda Check pada Section pada Frame/Cables/Tendons. Kemudian
klikOK.
Sehingga section frame terlihat seperti pada gambar berikut.
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
23/39
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
24/39
6. Memberi perletakan
Select joint 1 dengan cara mengklik joint 1
Klik Assign >> Joint >> Restraints, kemudian akan muncul dialog box
sebagai berikut :
Klik gambar jepit untuk mendefinisikan perletakan sebagai jepit. Kemudian,
klik OK.
Select joint 2
Klik Assign >> Joint >> Restraints, kemudian akan muncul dialog box
sebagai berikut :
Klik gambar rol untuk mendefinisikan perletakan sebagai rol. Kemudian, klik
OK.
Select joint 3
Klik Assign >> Joint >> Restraints, kemudian akan muncul dialog box
sebagai berikut :
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
25/39
Klik gambar sendi untuk mendefinisikan perletakan sebagai sendi.
Kemudian, klik OK.
Hasilnya adalah sebagai berikut :
Select joint 1
Klik Assign >> Joint >> Local Axes, kemudian akan muncul dialog box
seperti di bawah ini. Ubah parameter Rotation about Y menjadi1800.
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
26/39
Sehingga Local Axes untuk join 3 berubah seperti gambar berikut.
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
27/39
7. Memberikan Beban
Ganti satuan menjadi Kip,ft,F
Select frame 2 dengan cara mengklik frame 2
KlikAssign >> Frame /Cable/Tendon Loads >> Distributed
Kemudian akan muncul dialog Frame Distributed Loads seperti gambar di bawah
ini. Pastikan satuan pada units adalah Kip,ft,F. Load Case Name sebagai Dead,
Isikan Uniform Load dengan 1,68 pastikan directionnya adalah gravity kemudian
klik OK.
Sehingga muncul pada gambar seperti dibawah ini .
Select joint 3 dengan cara mengklik joint 3
KlikAssign >> Joint Loads >> Forces
Kemudian akan muncul dialog Joint Forces seperti gambar di bawah ini. Pastikan
satuan pada units adalah Kip,ft,F. Load Case Namesebagai Dead, Isikan Moment
about GlobalY = 14 kemudian klik OK.
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
28/39
Catatan :
Pemberian beban momen sesuai dengan sumbu putarnya. Jika moment resebut
berputar pada sumbu X maka diberikan beban moment pada Moment about Global
X (Mx), jika momen berputar pada sumbu Y maka di berikan momen pada Moment
about Global Y (My)demikian juga untuk beban momen yang berputar pada sumbu
Z.
Pada soal diatas moment berputar pada sumbu Y maka diberikan moment pada
Moment about Global Y. Bila searah berputarnya jarum jam maka nilai moment
negatif (-) namun bila berlawanan dengan perputaran jarum jam maka nilai moment
positif (+).
Y
X
Z
My
Mz
Mx
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
29/39
Untuk meyakinkan apakah beban momen sudah masuk maka klik kanan joint 3, akan
muncul dialog Point informationbox, pilih Loads.
Kemudian klik OK
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
30/39
8. Analisis Model
Klik menu Analyze >> set analysis option, maka akan muncul dialog
Analysis Optionseperti pada gambar di bawah ini. Klik pada Plane Frame
XZ Planekemudian klik OK.
Klik menu Analyze >> Set Analysis Cases to Run, maka akan muncul
dialog Set Analysis Cases to Run seperti pada gambar di bawah ini. Klik
pada Modal kemudian klik Run/Do Not Run Case. Kemudian klik Run
Now
Untuk pekerjaan SAP yang belum disimpan sebelumnya, akan muncul
tampilan untuk menyimpan pekerjaan. Simpan pekerjaan SAP yang telah
dikerjakan dengan memberi nama pada File Name, kemudian tekan Save.
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
31/39
Kemudian akan muncul hasil Run sebagai berikut :
Pastikan tidak ada pesan Warning/Errorpada proses analysis.
Klik kanan pada joint untuk melihat nilai dari rotasi dan defleksi di titik yang di cari
misalnya joint 3 maka klik kanan joint 3.
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
32/39
Untuk melihat output joint displacement secara keseluruhan bisa dilakukan dengan
cara klik menu Display >> Show table maka akan keluar dialog Choose Tables for
Display klik Joint output >> Displacements kemudian klikSelect Analysis Cases
pilih Dead kemudian klikOK 2 kali.
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
33/39
0,00095
0,00192
-0,00096
Defleksi horizontal di 2
Rotasi di 2
Rotasi di 3
Sedangkan hasil dari perhitungan dengan menggunakan ASMM didapatkan hasil
seperti di bawah ini.
Perbandingan nilai rotasi metode ASMM dan SAP2000 V9.0.3
Joint Metode ASMM Hasil SAP2000 Error (%)
1 0 0 0
2 0,00192 0,001921 0,0521
3 0,00096 0,000961 0,1042
Perbandingan nilai translasi metode ASMM dan SAP2000 V9.0.3
Joint Metode ASMM Hasil SAP2000 Error (%)
1 0 0 0
2 0,00095 0,000017
3 0 0 0
US =
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
34/39
9. Menampilkan nilai bidang M (Momen)
Klik menu Display >> Show forces/Stresses >> Frames/Cables maka akan
muncul dialog Member Forces Diagram for Frames seperti gambar berikut.
Pastikan Case/Combo Name sebagai Dead kemudian klik pada Moment 3-3,
pilih Show values on Diagram, setelah itu klik OK
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
35/39
10.Menampilkan nilai bidang D (Gaya Lintang)
Klik menu Display >> Show forces/Stresses >> Frames/Cables maka akan
muncul dialog Member Forces Diagram for Frames seperti gambar berikut.
Pastikan Case/Combo Namesebagai Dead kemudian klik pada Shear 2-2, pilih
Show values on Diagram, setelah itu klik OK.
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
36/39
11. Menampilkan nilai bidang N (Gaya Normal)
Klik menu Display >> Show forces/Stresses >> Frames/Cables maka akan
muncul dialog Member Forces Diagram for Frames seperti gambar berikut.
Pastikan Case/Combo Name sebagai Dead kemudian klik pada Axial Force ,
pilih Show values on Diagram, setelah itu klik OK.
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
37/39
Untuk melihat output gaya dalam Momen, Gaya Lintang dan Gaya Normal secara
keseluruhan bisa dilakukan dengan cara klik menu Display >> Show table maka
akan keluar dialog Choose Tables for Display klik Element Output >> Frame
Output kemudian klikSelect Analysis Casespilih Dead kemudian klikOK
Kemudian klik OK maka akan keluar dialog Element Forces-Frames
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
38/39
Pada dialog Element Forces - Frames klikfile >> Export current table >> to
Excel
Maka akan dihasilkan table Output Frame dalam format Excel seperti gambar
berikut.
7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw
39/39
Perbandingan nilai Momen metode ASMM dan SAP2000 V9.0.3
Joint Metode ASMM
(Kip-ft)
Hasil SAP2000
(Kip-ft)
Error (%)
1 3,989 3,9926 0,09
2 -7,99 -7,9955 0,069
3 -14 -14 0
Perbandingan nilai Gaya Lintang metode ASMM dan SAP2000 V9.0.3
Posisi Metode ASMM
(Kip)
Hasil SAP2000
(Kip)
Error (%)
1kr 0 0 0
1kn 1,193 1,199 0,503
2kr 1,193 1,199 0,503
2kn 7,8 7,8 0
3kr 9 9 0
3kn 0 0 0
Perbandingan nilai Gaya Normal metode ASMM dan SAP2000 V9.0.3
Frame Metode ASMM
(Kip)
Hasil SAP2000
(Kip)
Error (%)
1 0 0 0
2 1,19 1,199 0,4737