Uniform Series Arithmetic Gradient Cash Flow

Gradient adalah salah satu sistem “cash flow” yang besarnya bertambah atau berkurang

dalam jumlah yang sama setiap periode. Misalnya biaya pemeliharaan suatu mesin, makin tua umur

mesin, pemeliharaannya makin meningkat, sedangkan kemampuannya (atau juga produk yang

dihasilkannya) makin menurun. Trend ini dapat digambarkan seperti gambar G1.1

Dari diagram terlihat bahwa pada periode pertama tidak ada gradient karena nilai pada

periode pertama itu dijadikan dasar untuk seluruh periode, dan juga nilai pada periode berikutnya

adalah sebagai pertambahan sehingga pada periode terakhir, nilai gradient adalah (N-1)G.

a. Menghitung P, bila diketahui G

Apabila harga-harga G, 2G, 3G dan seterusnya diambil harga PV-nya maka diperoleh

P = G { 1 } + 2G { 1 } + .... + (N – 2)G{ 1 } + (N – 1)G{ 1 }

(1 + i)² (1 + i)³ (1 + i)ᴺ⁻¹ (1 + i)ᴺ

P = G [ 1 { (1 + i)ᴺ – 1 – N }] ............................................................................(1.09 a)

i i (1+i)ᴺ (1+i)ᴺ

Factor’ [ 1 { (1 + i)ᴺ – 1 – N }] = ‘gradient to present wort conversion diberi notasi (P/G, i %, N)

i i (1+i)ᴺ (1+i)ᴺ

Rumus (1.09 a) berubah menjadi:

P = G (P/G, i %, N) ............................................................................... .............................(1.09 a)

Nilai gradient setiap periode sama seperti digambarkan pada diagram G1.2

b. Menghitung A, bila diketahui G

Dari rumus-rumus (1.08 a), (1.08 b), (1.09 a) dan (1.09 b):

A = P [ i(1+i)ᴺ ]

(1+i)ᴺ – 1

P = G [ 1 { (1 + i)ᴺ – 1 – N }]

i i (1+i)ᴺ (1+i)ᴺ

Maka : A = G [ 1 { (1 + i)ᴺ – 1 – N }] [ i(1+i)ᴺ ]

i i (1+i)ᴺ (1+i)ᴺ (1+i)ᴺ – 1

Kemampuan

Produk Annual Cost

Titik Optimum, Umur Ekonomis

Umur mesin/ alat, tahun

Gambar G1.1 Trend Pendapatan dan Cost pada mesin.

P A

i = %

1 2 3 N – 2 N – 1 N

Tidak ada- G

gradien 2G (N – 3)G (N – 2)G (N – 1)G

Gambar G1.2 Diagram ‘Uniform Series Gradient Cash Flow’

A = G [ 1 { 1– N }] ................................................................................................. (1.10 a)

i (1+i)ᴺ – 1

1 {1– N }: disebut ‘gradient to uniform series conversion factor’, diberi notasi (A/G, i %, N). i (1+i)ᴺ – 1

Rumus (1.10 a) menjadi: A = G (A/G, i %, N) .................................................... ...............(1.10 b)

Contoh-contoh soal, 1.07

1) Suatu pengeluaran selama 4 tahun, bertambah sebesar $ 1,000.-

Pada tahun kedua, $ 2,000.- pada tahun ketiga dan keempat $ 3,000.- Apabila MARR 15%,

hitunglah ekivalen:

a. Present Value pada awal siklus.

b. Annual worth pada tiap akhir tahun.

Jawaban:

Secara diagram dapat digambarkan seperti gambar G1.3

A

i = 15 %

1 2 3 4

P G

2G 3G

Gambar G1.3 Diagram ‘Cash Flow’

Diketahui bahwa G = $ 1,000.- dan N = 4

a. P = G(P/G, i %, N)

= G (P/G, 15 %, 4) = 1,000 (3.79) = $ 3,790.-

b. A = G (A/G, i %, N)

= 1,000 (1.327) = $ 1,327.-

Dapat juga dihitung dari rumus (1.08 b):

A = P (A/P, i %, N)

= P (A/P, 15 %, 4) = 3,790 (0.3503) = $ 1,327.-

Dari hasil perhitungan di atas diperoleh tiap tahun adalah:

Tahun ke Pengeluaran, $

1 1,327.-

2 2,327.-

3 3,327.-

4 4,327.-

2) Suatu penerima tiap tahun adalah seperti berikut:

Akhir tahun -1 : P₁ = Rp. 10,000.-

-2 : P₂ = Rp. 11,000.-

-3 : P₃ = Rp. 12,000.-

-4 : P₄ = Rp. 13,000.-

-5 : P₅ = Rp. 14,000.-

Hitunglah ekuivalen ‘present wort’ apabila MARR 15%.

Jawaban:

Secara diagram dapat digambarkan seperti gambar G1.4

PV P₄ P₃

P₂ P₃

P₁

(a)

1 2 3 4 5

A

A = 10,000.-

PA

(b)

1 2 3 4

PG 4,000

2,000 3,000

1,000

(C)

1 2 3 4 5

Gambar G1.4 Diagram ‘Cash Flow’

Terlihat bahwa untuk menjawab soal ini sesuai dengan diagram di atas, gambar G1.4.

Gambar G1.4 (a) : gambar seluruh persoalan.

(b) : bagian khusus penerimaan yang merata sebesar P₁

(c) : bagian khusus penerimaan yang gradient.

PA = nilai ‘present value’ penerimaan merata sebesar P₁

PG = nilai ‘present value’ penerimaan gradient, G = Rp. 1,000.-

Dengan demikian : PA + PG = PV

Dari rumus (1.06 b) P = A(P/A, i %, N)

PA = P₁ (P/A, 15%, 5) = 10,000 (3.3522) = Rp. 33,522.-

Dari rumus (1.09 b) P = G (P/G, i %, N)

PG = G (P/G, 15 %, 5) = 1,000 (5.78) = Rp. 5,780.-

Sehingga : PV = PA + PG = 33,522 + 5,78 = Rp. 39,302.-

INFLASI DAN PERUBAHAN HARGA

Inflasi adalah penurunan nilai uang karena jumlah nilai uang yang beredar (uang chartal) dan

uang giral lebih banyak dari nilai barang dan jasa yang diproduksi. Uang giral adalah uang yang

dikeluarkan oleh bank umum berupa surat-surat berharga.

Apabila : uang chartal + uang giral = jumlah nilai barang dan jasa, maka inflasi = 0. Uang berada

pada posisi kuat. Dalam praktek di semua negara, inflasi ≠ 0.

‘inflasi’ diartikan juga perubahan harga barang dan jasa sebagai reduksi terhadap daya beli

dalam satuan moneter. Kebalikannya adalah ‘deflasi’ yang juga sebagai perubahan harga (nilai) barang

dan jasa. Inflasi ditandai dengan naiknya harga-harga serta diikuti dengan daya beli yang menurun,

sedangkan deflasi adalah turunnya harga-harga barang, dan terdorong untuk meningkatkan daya

beli.perubahan harga oleh inflasi dan deflasi diukur dengan ‘indeks harga’ (IH) terhadap beberapa

barang kebutuhan pokok sesuai dengan periode waktu. Pemerintah melalui Dinas Statistika Nasional

biasanya mengumumkan IH setiap tahun. Penentuan besarnya IH sangat berkaitan dengan inflasi, oleh

karena itu dari IH akan dapat pula ditentukan ‘rate’ inflasi tiap tahun. Pada tabel T1.01 diperlihatkan

IH yang dihubungkan dengan rate inflasi Ppemerintah Amerika Serikat dengan ‘base year’ tahun 1967.

Daftar tersebut disusun berdasarkan rumus:

(ri)ᴋ = (IH)ᴋ - (IH)ᴋ-₁ (100) ............................................................................................................(1.11)

(IH)ᴋ-₁

Dimana: (ri)ᴋ = ‘rate’ inflasi tahun ke-K

(IH)ᴋ = indeks harga pada tahun ke-k

(IH)ᴋ-₁ = indeks harga pada tahun ke-(k-1)

Berkenaan dengan IH dan ‘rate’ inflasi, dikenal notasi (terminologi) seperti berikut:

- Nilai berlaku (NB) = nilai uang aktual, seperti nilai uang dalam ‘cash flow’ atau nilai uang

inflatoir.

Tabel T-1.1 ‘IH dan Rate Inflasi 1967-1990, USA’

Tahun IH Inflasi, % Tahun IH Inflasi, %

1967 100 2.9 1979 217.4 11.3

1968 104.2 4.2 1980 246.8 13.5

1969 109.8 5.4 1981 272.4 10.4

1970 116.3 5.9 1982 289.1 6.1

1971 121.3 4.3 1983 298.4 3.2

1972 125.3 3.3 1984 311.1 4.3

1973 133.1 6.2 1985 322.2 3.6

1974 147.7 11.0 1986 328.4 1.9

1975 161.2 9.1 1987 340.4 3.6

1976 170.5 5.8 1988 354.3 4.1

1977 181.5 6.5 1989 371.3 4.8

1978 195.4 7.7 1990 391.4 5.4

- Nilai Riel = Nnilai Tetap (NT) = nilai uang sesuai dengan daya beli pada waktu tertentu, atau

nilai pada ’base year’.

- Nominal rate (rn) = ‘market interest rate’ yaitu pertumbuhan nilai uang per-periode yang

dibagi dalam periode yang lebih kecil seperti bulan, kwartal, semester dan lainnya.

- Effective rate (re) = pertumbuhan uang sebenarnya per-periode tahun yang dihitung dari

‘nominal rate’.

- Base time = ‘base year’, yaitu tahun pada mana suatu nilai diambil sebagai dasar seperti pada

tabel T-1.1 di atas, tahun 1967 adalah sebagai ‘base year’.

Suatu nilai actual (NB) pada periode ke-k dikonversi kepada nilai riel (NT) pada periode ke-b, ini

adalah fungsi (ri) dengan rumus, (k > b):

(NT)ᴋ = (NB)ᴋ { 1 }ᵏ⁻ᵇ = (NB)ᴋ (P/F, ri %, k – b) .....................................................................(1.12)

Nominal rate (rn) sering diartikan sebagai ‘combined interest inflation rate’ atau ‘minimum

attractive rate of return’ dimana:

rn = MARR = (id + 1) (re + 1) – 1 ............................................................................................. ....(1.13)

Contoh-contoh soal 1.08

1) Uang sebesar Rp 100,000.- diinvestir selama 10 tahun pada 6% per-kwartal. Berapakah jumlah

uang pada akhir tahun ke-10 ?

Jawaban

Jumlah periode compounding: n = 10 x 4 = 40 periode, rn = r/M = 6/4 = 1,5%

F = P(F/P, 1.5 %, 40) = 100,000 (1.814) = $ 181,400.-

Cara lain dengan menggunakan bunga efektif:

re = (1 + rn/M)ᵐ⁻1

periode pembangunan adalah seperti Tabel T1.2:

Tabel T1.2 Periode Pembangunan (Compounding Period)

Effektif ‘rate, %

Compounding

Period

Jumlah periode

per-tahun, M

re = 6 %

12 %

24 %

Annually 1 6 12 24

Semianually

(Semester)

2 6,09 12,36 25,44

Quarterly 4 6,14 12,55 26,25

Bimonthly 6 6,15 12,62 26,53

Monthly 12 6,17 12,68 26,82

Continuously ~ 6,18 12,75 27,12

Atau: F = 100,000 (F/P, (1 + 6/4)⁴ - 1 %, 40) = 100,000 (F/P, 6.14 %, 40)

= 100,000 (1.814) = Rp 181,400.-

Cat.: (1 + 6/4)⁴ - 1 = (1 + 1.5 %)⁴ - 1 = (1 + 0.015)⁴ - 1 = 1.06136 – 1 = 0.06136 ~ 6.14 %

2) Seseorang meminjam uang Rp 1,000.- untuk mendapatkan obligasi finansial dari agency

dengan ‘monthly interest rate’ 2%. Hitunglah:

a) ‘Amount of future disbursement’ pada akhir tahun ke -2

b) ‘monthly-payment’selama 3 tahun, dimulai pada awal tahun ke-3

c) Nominal interest rate.

d) Effective interest rate.

Jawaban

a) Jumlah periode n = 2 x 12 = 24 periode.

Nilai pinjaman itu di akhir tahun ke-2

F = P (1 + rn . n) = 1,000 (1 + 0,02(24)) = Rp 1,480.-

b) Jumlah pinjaman diakhir tahun ke-2 adalah Rp 1,480.- maka nilai ini menjadi monthly

disbursement selama 36 bulan dengan bunga 2%.

A = P(A/P, rn %, 36) = 1,480 (0.0392) = $ 58.-

c) Nominal interest rate rn = (12 x 2) % = 24 %.

d) Effective interest rate = re = (1 + rn/M)ᵐ - 1 = (1 + 0.24/12)¹² - 1 = 1.2682 – 1 = 0.2682 = 26.82

%

Tabel T1.3 Rumus-rumus ‘Discrete Compounding’

Untuk Menghitung Diketahui Faktor Pengali Nama

Faktor

Simbol Fungsi

Faktor

Single Cash Flow

F P (1 + i)ᴺ Single

payment

Compound

amount

(F/P, i %, N)

P F 1 .

(1 + i)ᴺ

Single

Payment

Present

worth

(P/F, i %, N)

Uniform Series (Annuities)

F A (1 + i)ᴺ - 1

i

Uniform

Series

(F/A, i %, N)

P A (1+i)ᴺ - 1

i(1+i)ᴺ

Present

Worth

(P/A, i %, N)

A F i .

(1+i)ᴺ - 1

Sinking

Fund

(A/F, i %, N)

A P i(1+i)ᴺ

(1+i)ᴺ - 1

Capital

Recovery

(A/P, i %, N)

Arithmetic Gradient Series

p G 1 [ (1 + I)ᴺ - 1 _ N]

i i(1 + i)ᴺ (1+ i)ᴺ

Gradient to

present

worth

(P/G, i %, N)

A G [ 1 - N ]

I (1+i) – 1

Gradient to

uniform

series

(A/G, i %, N)

Soal-soal

1) Berapakah jumlah interest yang harus dibayarkan atas pinjaman yang diambil ke Bank

sebanyak Rp. 5,000,000.- pada tanggal 1 April 1985 dan dikembalikan pada tanggal 31 Maret

1990 dengan simple interest 15% ?

2) Berapa besarkah dikembalikan tiap tahun suatu pinjaman sebesar Rp. 20,000,000.- selama 8

tahun dengan bunga 12 %?

3) Buatlah suatu diagram ‘cash flow’ untuk pinjaman sebesar Rp. 10,500,000.- menurut ‘simple

interest 15% per-tahun selama 6 tahun. Berapakah ‘lump sum’ dibayarkan pada akhir tahun

ke-6 itu?

Dikerjakan sampai dengan TANGGAL: 20 JANUARI 2017

PUKUL: 20.00 WIB