Fungsi Transenden

Fungsi Transenden

Fungsi Transenden

Invers suatu fungsi dan turunannya

Fungsi logaritma asli

Fungsi eksponen asli

Fungsi eksponen dan logaritma umum

Pertumbuhan dan peluruhan eksponen

Fungsi Transenden

Fungsi satu-ke-satu

Fungsi dikatakan satu-ke-satu jika untuk setiap

u, v Є Df berlaku u ≠ v, f (u) ≠ f (v). (atau f (u) = f (v)

maka u = v, untuk setiap u,v Є )

: f ff D R

fD

Contoh:

fD

Fungsi f: , f (x) = x3 satu-ke-satu karena

Fungsi bukan satu-ke-satu

dengan 2 ≠ 2 tetapi f (-2) = f (2) = 4.

dengan demikian 3 3( ) ( ) maka f u f v u v 3 3 2 3-v 0 atau ( )( ) 0, maka u u v u uv v u v

2: [0, ), ( )f f x x

karena -2, 2

f

f -1

x

x

f (x)

Misalkan x berada pada suatu daerah asal dan f fungsi

satu-satu;

Kemudian x kita kenakan pada f, akan menghasilkan f(x)

pada daerah hasil;

Selanjutnya kita kenakan f(x) pada fungsi invers atau

balikannya; yang hasilnya adalah x itu sendiri.

Atau dengan kata lain dapat dinotasikan dengan

dan

xxff 1 yyff 1

Invers Fungsi & Turunannya

Fungsi Transenden

Notasi Fungsi Invers

Andaikan f memiliki balikan atau invers, maka

1x f y y f x

Akibatnya y=f(x) dan f invers y menentukan pasangan bilangan

(x,y) yang sama, sehingga memiliki grafik-grafik yang identik.

x

y

y=x

( 4, 2 )

( 2, 4 )

y = f(x)

y = f -1 (x)

Fungsi Transenden

Fungsi Transenden

Jika f monoton murni pada daerah asalnya,

maka f memiliki fungsi invers

Teorema Eksistensi

Fungsi Invers

125 xxxf

025 4 xxf

Contoh Soal

f memiliki invers pada daerah asalnya, yaitu bilangan real.

Fungsi Transenden

Prosedur Menentukan Bentuk Invers Fungsi Langkah 1 : Selesaikan persamaan y = f(x) untuk x dalam bentuk y. Misalkan:

y

yxyyx

yxyxxxyy

xyxx

xy

11

11

Langkah 2 : Gunakan f-1 (y) untuk untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam y.

y

yyf

1

1

Langkah 3 : Gantilah y dengan x untuk mendapatkan rumus untuk f-1(x).

x

xxf

1

1

Fungsi Transenden

Teorema Turunan Fungsi Invers

Contoh

f(x)=2x+cos x, tentukan (f – 1)’(1). Perhatikan bahwa f’(x) = 2 – sin x > 0, akan dicari f – 1(1); f(0)=1 akibatnya f – 1(f(0)) =0= f – 1(1) Jadi (f – 1)’(1) =1/(f ’ (f – 1(1))) = 1/(f ’ (0)) = ½

Fungsi Transenden

Jika f adalah suatu fungsi yang memiliki invers, dengan

g = f - 1 dan f’(g(a)) ≠ 0,

maka g dapat diturunkan di a dan

g’ (a)=1/f ’(g(a)).

Fungsi Logaritma Asli Perhatikan turunan2 fungsi berikut ini.

12

2

2

22

2

xxD

xxD

xx

D

x

x

x

Kemudian adakah fungsi yang turunannya adalah 1/x?

x

Dx

1????

Fungsi Transenden

Definisi Logaritma Fungsi logaritma asli dinyatakan dalam ln, didefinisikan sebagai

0,1

ln1

xdtt

x

x

Daerah asalnya adalah himpunan real positip.

Secara Geometri y

3x

1

Luas = ln 3

3

1

1ln 3dt

t

y = 1/x

Fungsi Transenden

Turunan Fungsi Logaritma

.0,11

ln1

x

xdt

tDxD

x

xx

Dengan demikian bila kita akan mencari anti turunan dari fungsi 1/x kita dapatkan

Fungsi Transenden

.0,11

ln1

x

xdt

tDxD

x

xx

Penyelesaian Soal

0,1

ln

,1

????

xx

xD

xD

x

x

Fungsi Transenden

Dari rumusan ini kita dapat menjawab pertanyaan yang muncul pada awal sub bab ini

yakni ln(x)

Teorema A Sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi logaritma asli adalah;

Jika a dab b bilangan-bilangan positif dan r sebarang bilangan rasional, maka

araiv

bab

aiii

baabii

i

r lnln)(

lnlnln)(

lnlnln)(

01ln).(

Fungsi Transenden

Contoh Soal Tentukan turunan dari 3ln x

Jawabannya :

.3

1

3

1.

1.

1ln 3

2

3

1

3

1

3

1

3

xx

x

xD

x

xD xx

Fungsi Transenden

Fungsi Eksponen Asli Invers dari fungsi logaritma asli disebut fungsi eksponen asli

dan dinyatakan oleh lambang e atau exp; yakni

xyyx lnexp

kata exp dikenal dengan lambang e,

yg menyatakan bilangan real positip

sedemikian rupa sehingga ln e = 1.

Fungsi Transenden

Sifat Fungsi Eksponensial Andaikan a dan b adalah sebarang bilangan real, maka

ba

b

a

baba

ee

eii

eeei

)(

).(

Fungsi Transenden

Turunan & Integral Fungsi Eksponen

Cedxe

eeD

xx

xx

x

Karena fungsi logaritma natural dan eksponensial asli adalah fungsi yang saling invers,

maka grafik dari kedua fungsi tersebut adalah sebagai berikut

y = ex

y = x

y = ln(x)

xy

exy

ey

ey

x

x

ln

lnln

lnln

Fungsi Transenden

Fungsi Eksponen & Logaritma Umum

Definisi

Fungsi eksponensial berbasis a didefinisikan sebagai berikut

Untuk a > 0 dan sebarang bilangan real x.

axx ea ln

Fungsi Transenden

Sifat Fungsi Eksponen & Logaritma Umum

Jika a > 0, b > 0, dan x,y adalah bilangan-bilangan real, maka

x

xx

xxx

xyyx

yx

y

x

yxyx

b

a

b

av

baabiv

aaiii

aa

aii

aaai

)(

)(

)(

)(

)(

dengan bentuk turunan dan integralnya adalah sebagai berikut;

ln

, 1ln

x xx

xx

D a a a

aa dx C a

a

Fungsi Transenden

Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen

1. Pertumbuhan Populasi dan Peluruhan Radioactive

Pertumbuhan & Peluruhan

EksponensialGreg Kelly, Hanford High School, Richland, Washington

Glacier National Park, MontanaPhoto by Vickie Kelly, 2004

Fungsi Transenden

Model Peluruhan & Pertumbuhan Eksponensial

Pertumbuhan suatu populasi dapat dinyatakan sebagai:

laju perubahan populasi relative terhadap populasi awalnya;

misalnya laju pertumbuhan tersebut konstan sebesar k;

maka dapat dinyatakan dalam formula berikut;

dyky

dt

Solusi Solusi

Fungsi Transenden

1 dy k dt

y

1 dy k dt

y

ln y kt C

ln y kt Ce e

C kty e e

C kty e e

kty Ae

0

0

ky Ae

Fungsi Transenden

Diperoleh:

0

kty y e

Bila k bernilai positif maka disebut sebagai pertumbuhan eksponensial;

dan bila k bernilai negatif disebut sebagai peluruhan eksponensial;

yang contohnya ada dalam peluruhan radioaktif.

Alpha

Beta -

+

Gamma

Peluruhan radioaktif dapat digambarkan dalam proses berikut :

Fungsi Transenden

2. Kegunaan pada bahan makanan adalah untuk pengawetan

Fungsi Transenden

Waktu Paruh Bahan Radioaktif

0 0

1

2

kty y e

1

ln ln2

kte

ln1 ln 2 kt 0

ln 2 kt

ln 2t

k

Fungsi Transenden

Pertumbuhan terbatas

Aplikasi: Penjualan produk

terbaru, depresiasi peralatan,

pertumbuhan perusahaan,

proses belajar, dan

sebagainya.

Laju pertumbuhan

sebanding dengan selisih

antara jumlah tertentu dan

populasinya.

Solusi:

Pertumbuhan logistik

Laju pertumbuhan sebanding

dengan perkalian populasinya

dengan selisih antara jumlah

tertentu dan populasinya.

Aplikasi: Pertumbuhan

populasi jangka panjang,

epidemi, penjualan produk baru,

penyebaran rumor (gosip),

pertumbuhan perusahaan, dan

sebagainya

1( ), , 0, (0) .

dy M

dt cky M y k t y

+= - > =

Solusi: 1 kM t

M

cey -+

=

( )dy

dtky M y= - ( )

M dy

y M ykM dt

-=

( )1 1

y M ydy kM dt

-+ =

( )1 1

y M ydy kM dt

-+ =ò ò

1lny

M ykMt c

-= +

12

kMt c kMty

M ye c e

+

-= =

23

1kM t

kMtM y

y c ec e--

= = 3kMtM y yc e-- =

3(1 )kMty c e M-+ =31 kM t

M

c ey -+

=

1(0)

M

cy

+=

31 1

M M

c c+ +=

1 kM t

M

cey -+

=

•Bukti: ubah menjadi

Membuat rasional sederhana:

sehingga c3 = c. Jadi solusinya adalah

Karena

atau

atau

atau

maka

Exercise (1)

Carbon 14, an isotope of carbon is

radioactive and decays at a rate proportional

to the amount present. Its half-life is 5730

years; that is, it takes 5730 years for a given

amount of carbon 14 to decay to one-half its

original size. If 10 grams was present

originally, how much will be left after 2000

years?

Fungsi Transenden

Answer The half-life of 5730 allows us to determine

k, since it implies that

(5730)11

2

ke

Or, after taking logarithms,

-0.000121t

ln 2 570

ln 20.000121

5730

Thus,

y=10e

k

k

At t = 2000, that gives

0.000121(2000)10 7.85gramsy e

Fungsi Transenden

Exercise (2)

The number of bacteria in a rapidly growing

culture was estimated to be 10,000 at noon

and 40,000 after 2 hours. Predict how many

bacteria there will be at 5 P.M.

Fungsi Transenden

Answer

We assume that the differential equation

dy/dt = ky is applicable, so

Now we have two conditions (y0=10,000 and y=40,000 at t=2), from which we conclude that

0

kty y e

Fungsi Transenden

(2)

2

(ln 2)

0.693(5)

40,000 10,000

4

Taking logarithms yields

ln 4 2

or

1ln 4 ln 4 ln 2

2

Thus,

10,000

and at t=5, this gives

10,000 320,000

k

k

t

e

e

k

k

y e

y e

Fungsi Transenden

Fungsi Transenden