Pembuktian teorema lima lingkaran

22
Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari Pembuktian Teorema Lima Lingkaran Oleh Rahma Siska Utari 0

Transcript of Pembuktian teorema lima lingkaran

Page 1: Pembuktian teorema lima lingkaran

Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari

Pembuktian

Teorema Lima

Lingkaran

Oleh

Rahma Siska Utari

0

Page 2: Pembuktian teorema lima lingkaran

Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari

1. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Matematika merupakan studi tentang struktur, ruang dan perubahan. Ilmu

tentang ruang berawal dari geometri, yaitu bagian matematika yang berkenaan

dengan ukuran, bentuk dan posisi relative benda dengan beranekaragam ruang.

Geometri adalah satu dari ilmu pengetahuan tertua. Sebuah tubuh pengetahuan

praktis berkenaan dengan panjang, wilayah dan volume.

Di bidang geometri dikenal sebuah kaidah yaitu Five Circles Theorem

(Teorema Lima Lingkaran) yang dikemukakan oleh seorang matematikawan

Prancis bernama Auguste Miquel dan dipublikasikan pada Journal de

Mathematiques Pures et Appliquees (Liouville ‘s Journal) Tome Troisieme pada

tahun 1838.

Pada Teorema Lima Lingkaran tersebut dinyatakan bahwa suatu lingkaran

dapat dibentuk dari suatu segilima (pentagon) yang tidak beraturan. Tentu saja

teorema ini sangat menarik, selain itu teorema lima lingkaran ini juga dapat

memberikan suatu ilmu baru, khususnya bagi penulis untuk mengetahui

bagaimana cara menggambar lingkaran dari sebuah segilima tidak beraturan.

1.2 Rumusan Masalah

. Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah “Bagaimana membuktikan

Teorema Lima Lingkaran dengan menggunakan konsep bangun datar yaitu

pentagon, pentagram, segiempat tali busur, lingkaran serta sifat – sifat dan

hubungan antar sudut dalam lingkaran ?”

1.3 Tujuan

Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah Untuk mengetahui

pembuktian Teorema Lima Lingkaran menggunakan konsep bangun datar yaitu

1

Page 3: Pembuktian teorema lima lingkaran

Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari

pentagon, pentagram, segiempat tali busur dan lingkaran serta sifat – sifat dan

hubungan antar sudut dalam lingkaran.

1.4 Manfaat

Adapun manfaat yang penulis harapkan dari makalah ini :

Teman teman mahasiswa, untuk menambah wawasan dan materi baru

tentang teorema lima lingkaran.

Siswa, sebagai materi pengayaan untuk sekolah menengah agar dapat

memperluas pengetahuan siswa mengenai bangun datar serta dapat

melatih siswa berpikir kreatif.

2. MATERI PENUNJANG

2.1 Definisi Pentagon

Dalam geometri, pentagon atau segi lima adalah semua segi banyak yang

bersisi lima.

2.2 Definisi Pentagram

Pentagram terkadang dikenal sebagai pentalpha atau pentangle atau

segilima bintang adalah bentuk dari sebuah bintang bersisi lima (pentagon) yang

digambar dari perpanjangan lima garis lurus masing – masing sisi pentagon.

2

A

B

C

DE

Gambar 1. Pentagon

Page 4: Pembuktian teorema lima lingkaran

Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari

2.3 Lingkaran

i. Definisi Lingkaran

Lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat

kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak

yang sama tersebut disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu disebut

pusat lingkaran.

ii. Bagian-bagian Lingkaran

iii. Lingkaran Luar Segitiga

Lingkaran luar suatu segitiga adalah suatu lingkaran yang melalui

semua titik sudut segitiga dan berpusat di titik potong ketiga garis sumbu

sisi-sisi segitiga.

Gambar di atas menunjukkan lingkaran luar ΔABC dengan pusat O.

OA = OB = OC adalah jari-jari lingkaran dan OP = OQ = OR adalah garis

sumbu sisi-sisi segitiga.

3

A

C

B

OO

P

QR

Gambar 3. Lingkaran Luar Segitiga

Keterangan gambar :

O = Pusat Lingkaran

OA = OB = OC = Jari – jari Lingkaran

BC = Diameter Lingkaran

AC = Tali Busur

OD = Apotema

Daerah ACE = tembereng

Daerah AOB = Juring

Gambar 2. Bagian – bagian Lingkaran

E

Page 5: Pembuktian teorema lima lingkaran

B

CA

D

A ...>.

Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari

2.4 Segiempat

i. Definisi Segiempat

Segiempat adalah bangun datar yang dibentuk dengan

menghubungkan empat buah titik yang tidak segaris. Ada enam macam

bangun datar segi empat, yaitu persegi panjang, belah ketupat, persegi,

layang-layang, jajargenjang, trapesium.

ii. Segiempat Siklis

Segi empat siklis (segi empat tali busur) adalah segi empat yang

terletak dalam lingkaran, dimana tiap sudutnya menyinggung lingkaran

sedemikian hingga jumlah dua buah sudut yang berhadapan pada segi

empat siklis (segi empat tali busur) adalah 180o. Sebaliknya, jika dua

buah sudut yang berhadapan pada suatu segiempat berjumlah 180o,

maka segiempat tersebut adalah segi empat tali busur.

< CDE = < ABC

< CDE + < ADC = 180o

< ADC + <ABC = 180o

Jadi , < CDE = < ABC

2.5 Pengertian Concyclic

Suatu himpunana titik S = {A1, A2, ...,An } adalah concyclic jika titik - titik

tersebut terletak pada keliling lingkaran.

Pada gambar di atas, titik A,B, C, D concyclic, karena titik – titik tersebut

terletak pada keliling lingkaran yang berpusat di O.

4

O

BC

D

Gambar 5. Titik - Titik Concyclic

Gambar 4.Sudut segiempat tali busur

Page 6: Pembuktian teorema lima lingkaran

Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari

Sebuah poligon (segi banyak) yang memiliki lingkaran-luar disebut

poligon siklik (kadang-kadang poligon concyclic). Untuk poligon siklik dengan

jumlah sisi ganjil, semua sudut sama jika dan hanya jika poligon tidak beraturan.

Sebuah poligon siklik dengan jumlah sisi n memiliki sudut sama jika dan hanya

jika sisi alternatif sama (yaitu, sisi 1, 3, 5, ... adalah sama, dan sisi 2, 4, 6, ...

adalah sama).

2.6 Sudut

i. Sudut keliling yang menghadap busur yang sama

Dari gambar diatas, diperoleh:

QOR merupakan sudut pusat lingkaran yang menghadap busur QR.

QTR merupakan sudut keliling lingkaran yang menghadap ke busur

QPR merupakan sudut keliling lingkaran yang menghadap ke busur

QSR merupakan sudut keliling lingkaran yang menghadap ke

Jadi, dapat disimpulkan bahwa semua sudut keliling yang menghadap

busur yang sama memiliki ukuran sudut/besar sudut yang sama.

5

Page 7: Pembuktian teorema lima lingkaran

Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari

ii.Sudut Pelengkap

Sudut pelengkap adalah pasangan sudut yang jika dijumlahkan hasilnya

180o. Jadi pasangan dari sudut xo adalah sudut (180 - x)o.

3. MATERI POKOK

Isi dari makalah ini untuk membuktikan Teorema Lima Lingkaran. Adapun

bunyi dari Teorema Lima Lingkaran adalah

Teorema Lima Lingkaran : Diberikan segilima ABCDE sebarang yang

perpanjangan sisi – sisinya berpotongan di titik F, G, H, I dan J, membentuk

pentagram. Dapat dibentuk lingkaran dari segitiga AFB, BGC, PJK, DIE, dan

EJA. Sehingga ada lima titik baru K, L, M, N, P yang dihasilkan dari perpotongan

dua lingkaran.

Akan dibuktikan bahwa titik K, L, M, N dan P concyclic.

Bukti :

6

Gambar 6. Teorema Lima Lingkaran

Page 8: Pembuktian teorema lima lingkaran

Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari

Langkah – Langkah Pembuktian :

No Gambar Penjelasan

1. Diberikan pentagon ABCDE

2. Perpanjangan sisi – sisi pentagon

akan berpotongan di titik F, G, H, I

dan J membentuk pentagram.

3. Akan terbentuk circumcircle atau

lingkaran luar dari sisi – sisi

pentagon.

7

Pentagon

Page 9: Pembuktian teorema lima lingkaran

Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari

4. Terdapat titik baru K, L, M, N, P

yang merupakan perpotongan dua

circumcircles.

Akan dibuktikan bahwa titik K, L, M,

N dan P concyclic.

5. Akan dibuktikan α = α1 = α2 = α3

DEIM adalah segiempat tali

busur. Berdasarkan sifat sudut

segiempat tali busur bahwa

sudut yang berhadapan

berjumlah 180o.

∠MIE = α

∠MIE + ∠EDM = 180o

∠EDM = 180o - ∠MIE

∠EDM = 180o – α ... (1) Perhatikan ∠MNE = ∠

MIE

Karena ∠MNE menghadap

busur yang sama dengan∠

MIE yaitu busur EM,

berdasarkan sifat sudut

keliling bahwa sudut keliling

yang menghadap busur yang

sama memiliki ukuran

sudut/besar sudut yang sama,

8

Page 10: Pembuktian teorema lima lingkaran

Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari

maka ∠MNE = ∠MIE

Sehingga α1= α ...(2)

Perhatikan ∠MDH dan ∠

EDM merupakan sudut

berpelurus.

∠MDH = α2

Dengan mensubstitusi

Persamaan 1, didapat

∠MDH + ∠EDM = 180o

∠MDH = 180o - ∠EDM

α2 = 180o – (180o – α)

α2 = α ... (3)

Karena ∠MCH menghadap

busur yang sama dengan∠

MDH yaitu busur MH.

Maka ∠MCH = ∠MDH

∠MCH= α3

α2 = α3 ... (4)

Berdasarkan persamaan 2, 3 dan 4

maka terbukti α = α1 = α2 = α3

9

Page 11: Pembuktian teorema lima lingkaran

Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari

6. Perhatikan ∠MCF dan ∠MCH

adalah sudut berpelurus

∠MCF + ∠MCH = 180o

∠MCF + α3 = 180o karena α = α3

∠MCF = 180o - α

Sehingga FCMI adalah segiempat

siklis atau segiempat tali busur,

dengan kata lain titik F, C, M, I

concyclic.

7. Akan dibuktikan β = β1 = β2

ABKF adalah segiempat tali

busur. Berdasarkan sifat sudut

segiempat tali busur bahwa

sudut yang berhadapan

berjumlah 180o.

diberikan ∠AFK = β

∠AFK + ∠KBA= 180o

∠KBA = 180o - ∠AFK

∠KBA = 180o – β ... (1) ∠KBA dan ∠GBK

merupakan sudut berpelurus.

∠GBK = β1

∠GBK + ∠KBA= 180o

∠GBK = 180o - ∠KBA

β1 = 180o – (180o – β)

β1 = β ... (2)

Karena ∠GBK menghadap

busur yang sama dengan∠

KCG yaitu busur KG

10

Page 12: Pembuktian teorema lima lingkaran

Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari

Maka ∠GBK = ∠KCG

∠KCG = β1

β1 = β2 ... (3)

Berdasarkan persamaan 2 dan 3 maka

terbukti β = β1 = β2 .

8. Perhatikan ∠GCK dan ∠IHK adalah

sudut berpelurus

∠GCK + ∠IHK = 180o

∠GCK+ β1 = 180o karena β = β1

∠MCF = 180o - β

Sehingga FKCI adalah segiempat

siklis atau segiempat tali busur,

dengan kata lain titik F, K, C, I

concyclic.

9. Akan dibuktikan bahwa α = α4

FKMI adalah segiempat tali busur,

karena segi empat FKMI yang

terletak dalam lingkaran, dimana tiap

sudutnya menyinggung lingkaran.

Berdasarkan sifat sudut

segiempat tali busur bahwa

sudut yang berhadapan

berjumlah 180o.

∠FIM = α

∠FIM + ∠MKF = 180o

∠MKF = 180o - ∠FIM

∠MKF = 180o – α ... (1)

Karena∠MKF dan α4

merupakan sudut berpelurus.

11

Page 13: Pembuktian teorema lima lingkaran

Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari

∠MKF + α4= 180o

180o – α = 180o - α4

α = α4

10. Akan dibuktikan θ = θ1 = θ2

AENP adalah segiempat tali

busur. Berdasarkan sifat sudut

segiempat tali busur bahwa

sudut yang berhadapan

berjumlah 180o.

diberikan ∠ENP = θ

∠ENP + ∠PAE = 180o

∠PAE = 180o - ∠ENP

∠PAE = 180o – θ ... (1) ∠PAE dan ∠FAP merupakan

sudut berpelurus.

∠FAP = θ1

∠PAE + ∠ FAP = 180o

∠FAP = 180o - ∠PAE

θ1 = 180o – (180o – θ)

θ1 = θ ... (2)

Karena ∠FAP menghadap

busur yang sama dengan∠

FKP = θ2

Maka ∠FAP = ∠FKP

∠FAP = θ1

θ1 = θ2 ... (3)

Berdasarkan persamaan 2 dan 3 maka

terbukti θ = θ1 = θ2 .

12

Page 14: Pembuktian teorema lima lingkaran

Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari

11. Perhatikan ∠PKM dan α4+ θ2 adalah sudut berpelurus

∠PKM = 180o – (α4+ θ2) dan

∠PKM=α1+ θBerdasarkan langkah (8) dan (9)

didapat bahwa α = α4 dan θ = θ2

Sehingga KMNP adalah segiempat

siklis atau segiempat tali busur,

dengan kata lain titik K, M, N, P

concyclic.

12. Titik K, M, N, P concyclic. Maka

titik L yang terletak pada lingkaran

yang sama juga concyclic.

Dengan demikian titik K, L, M, N

concyclic dan teorema lima lingkaran

terbukti.

4. PENUTUP

Dari pembahasan yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa

pembuktian Teorema Lima Lingkaran dapat dibuktikan dengan penggunaan

konsep pentagon, pentagram, lingkaran, segiempat tali busur, sifat sudut pada

lingkaran, aturan sudut dalam trigonometri, serta titik – titik concyclic. Sehingga

terbukti bahwa titik – titik K, L, M, N, P yang dihasilkan dari perpotongan dua

lingkar adalah concyclic. Selain itu dapat juga disimpulkan bahwa dari suatu

segilima sebarang dapat dibentuk suatu lingkaran.

DAFTAR PUSTAKA

13

Page 15: Pembuktian teorema lima lingkaran

Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari

Aisyah, Nyimas. 2009. Diktat Geometri. Indralaya : Universitas sriwijaya

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan.

Negoro dan Harahap. 1998. Ekslopedia Matematika. Jakarta : Yudhistira.

Wikipedia. 2008. Geometri. http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri. Diakses

tanggal 8 Maret 2012.

Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Five_circles_theorem. Diakses tanggal 8

Maret 2012.

http://agutie.homestead.com/files/miquel_pentagram1.htm. Diakses tanggal 8

Maret 2012.

Wikipedia. http://id.wikipedia.org/wiki/Segi_lima. Diakses tanggal 9 Maret 2012.

Crayonpedia.http://www.crayonpedia.org/mw/

BSE:Garis_Singgung_Lingkaran_8.2_(BAB_7) Diakses tanggal 11 Maret

2012.

Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Pentagram. Diakses tanggal 29 Maret

2012.

Wikipedia.http://en.wikipedia.org/wiki/Inscribed_angle_theorem#Theorem.

Diakses tanggal 28 April 2012.

Wikipedia.http://mathworld.wolfram.com/Concyclic.html. Diakses tanggal 28

April 2012.

Wikipedia.http://en.wikipedia.org/wiki/Circumscribed_circle. Diakses tanggal 28

April 2012.

Wikipedia.http://en.wikipedia.org/wiki/Concyclic_points. Diakses tanggal 28

April 2012.

Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_quadrilateral. Diakses tanggal 28

April 2012, 14 : 53 WIB.

14

Page 16: Pembuktian teorema lima lingkaran

Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari

15