INTEGRAL

KELOMPOK

JOHAN SETIAWAN

ABIY RAIHAN ALFARIZI

CHRISNA BARKA

DINDA ARIFAH

HAFSHA ULRIKA

Integral

1. INTEGRAL TAK TENTU DAN TENTU (SUATU PENDAHULUAN)

2. Aplikasi dalam Ekonomi

Integral tak tentu

Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan antinya, yaitu F(x)

Bentuk umum integral dari f(x) adalah :

kxFdxxf )()(

Dimana k adalah sembarang konstanta yang nilainya

tidak tentu.

3

Integral tak tentu ©

Contoh

untuk fungsi asal : F(x) = x2 + 5

fungsi turunannya : f(x) = dF(x) / dx = 2x

Jika prosesnya dibalik, maka :

kxkxFdxxf 2)()(

4

Kaidah- kaidah Integrasi tak tentu

Kaidah 1. Formula Pangkat

kn

xdxx

nn

1

1

Kaidah 2. Formula Logaritmis

kxdxx

ln1

5

Kaidah- kaidah Integrasi tak tentu ©

Kaidah 3. Formula Eksponensial

Kaidah 4. Formula Penjumlahan

f(x)u kedue

kedxe

uu

xx

kG(x)F(x)

dxxgdxxfdxxgxf

)()()()(

6

Kaidah-kaidah Integrasi tak tentu ©

Kaidah 5. Formula Perkalian

Kaidah 6. Formula Substitusi

0 )( ndxxfndxn f(x)

kuFduufdxdx

duuf )()()(

7

Penerapan Ekonomi

Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkanuntuk mencari persamaan fungsi total darisuatu variabel ekonomi apabila persamaanfungsi marginalnya diketahui.

1. Fungsi Biaya

2. Fungsi Penerimaan

3. Fungsi Produksi

Fungsi Biaya

Biaya total 𝐶 = 𝑓(𝑄)

Biaya marjinal : 𝑀𝐶 = 𝐶′ =𝑑𝐶

𝑑𝑄= 𝑓′(𝑄)

Biaya total tak lain adalah integral dari biaya biaya marjinal

𝐶 = 𝑀𝐶𝑑𝑄 = 𝑓′ 𝑄 𝑑𝑄

Contoh kasus

Biaya marjinal dari suatu perusahaanditunjukkan oleh 𝑀𝐶 = 3𝑄2 − 6𝑄 + 4. Carilah persamaan biaya total dan biayarata-ratanya.

Biaya total : 𝐶 = 𝑀𝐶𝑑𝑄

= 3𝑄2 − 6𝑄 + 4 𝑑𝑄

Biaya rata-rata : 𝐴𝐶 =𝐶

𝑄= 𝑄2 − 3𝑄 + 4 + 𝑘 𝑄

Konstanta 𝑘 tak lain adalah biayatetap. Jika diketahui biaya tetaptersebut sebesar 4, maka :

𝐶 = 𝑄3 − 3𝑄2 + 4𝑄 + 4

𝐴𝐶 = 𝑄2 − 3𝑄 + 4 + 4 𝑄

Fungsi Penerimaan

Penerimaan total : 𝑅 = 𝑓(𝑄)

Penerimaan marjinal : 𝑀𝑅 = 𝑅′ =𝑑𝑅

𝑑𝑄= 𝑓′(𝑄)

Penerimaan total tak lain adalah integral dan penerimaan marjinal

𝑅 = 𝑀𝑅 𝑑𝑄 = 𝑓′ 𝑄 𝑑𝑄

Contoh Kasus Carilah persamaan penerimaan total dan

penerimaan rata-rata dari suatu perusahaanjika penerimaan marjinalnya 𝑀𝑅 = 16 − 4𝑄.

Penerimaan total : 𝑅 = 𝑀𝑅 𝑑𝑄

= 16 − 4𝑄 𝑑𝑄

= 16𝑄 − 2𝑄2

Penerimaan rata-rata: 𝐴𝑅 =𝑅

𝑄= 16 − 2𝑄

Dalam persamaan penerimaan total kontanta𝑘 = 0, sebab penerimaan tidak akan ada jikatak ada barang yang dihasilkan atau terjual.

Fungsi Produksi

Produk total : 𝑃 = 𝑓(𝑋) di mana,

𝑃 = keluaran; 𝑋 = masukan

Produk marjinal : 𝑀𝑃 = 𝑃′ =𝑑𝑃

𝑑𝑋= 𝑓′(𝑋)

Produk total tak lain adalah integral dari produk marjinal

𝑃 = 𝑀𝑃 𝑑𝑋 = 𝑓′ 𝑋 𝑑𝑋

Contoh kasus

Produk marjinal sebuah perusahaan dicerminkan oleh𝑀𝑃 = 18𝑋 − 3𝑋2. Carilah persamaan produk total dan

produk rata-ratanya.

Produk total : 𝑃 = 𝑀𝑃 𝑑𝑋

= (18𝑋 − 3𝑋2) 𝑑𝑋

= 9𝑋2 − 𝑋3

Produk rata-rata : 𝐴𝑃 =𝑃

𝑋= 9𝑋 − 𝑋2

Dalam persamaan produk total juga konstant 𝑘 = 0, sebab tidak akan ada barang (P) yang dihasilkn jikatidak ada bahan (X) yang diolah atau digunakan.

Integral Tertentu

Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas) tertentu.

Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas areal yang terletak di antara kurva y = f(x) dan sumbu horizontal – x, dalam suatu rentangan wilayah yang dibatasi oleh x = a dan x =b.

Bentuk umum :

)()()()( aFbFxFdxxf

b

a

b

a

16

Integral Tertentu ©

∆x1

∆x2

∆xn

0 a x1 x2 xi xi bxn

x

y

y=f(x)

Nilai atau harga masing-

masing titik yang mebatasi

tiap sub-rentangan adalah :

X0 = a

X1 = a + ∆x

X2 = a + 2 (∆x)

…………………

Xn = a + n (∆x) = b

x0 17

Kaidah- kaidah Integrasi Tertentu

Untuk a < b < c, berlaku :

a

b

b

a

a

b

a

b

a

dxxfdxxf

dxxf

aFbFxFdxxf

)()( .3

0)( .2

)()()()( .1

18

Kaidah- kaidah Integrasi Tertentu ©

bc

a

b

c

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

dxxfdxxfdxxf

dxxgdxxfdxxgxf

dxxfkdxxkf

)()()( .6

)()()()( .5

)()( .4

19

Surplus Konsumen

Surplus konsumen atau CS (singkatan dariConsumer Surplus)

Surplus konsumen mencerminkan suatukeuntungan lebih atau surplus yang dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaandengan tingkat harga pasar.

Fungsi permintaan (P) = f (Q) menunjukkanjumlah suatu barang yang akan dibeli olehkonsumen pada tingkat harga tertentu.

Surplus konsumen Jika tingkat harga pasar adalah Pe, maka bagi

konsumen tertentu yang sebetulnya mampudan bersedia membayar dengan harga yang lebih tinggi dari Pe.

Hal ini akan merupakan keuntungan baginya, sebab ia cukup membayar barang tadi denganharga Pe. Secara geometri, besarnya surplus konsumen ditunjukkan oleh luar daerah di bawah kurva permintaaan tetapi di atastingkat harga pasar.

B (O1, 𝑃)

𝐶𝑠

PeE (Qe,Pe)

P=f(Q)

A( 𝑄,0)

Qe

Q

Surplus konsumen atau 𝐶𝑠

(singkatan dari Consumers’ surplus) tak lain adalah segitiga𝑃𝑒𝐷𝐸, dengn rentang wilayah yang dibatasi oleh 𝑄 = 0 sebagai batas-bawah dan 𝑄 = 𝑄𝑒 sebagai batas-atas.

Besarnya surplus konsumen adalah :

𝐶𝑠 = 0

𝑄𝑒

𝑓(𝑄) 𝑑𝑄 − 𝑄𝑒𝑃𝑒

Dalam hal fungsi permintaan berbentuk 𝑃 =𝑓(𝑄) atau

𝐶𝑠 = 𝑃𝑒

𝑃

𝑓 𝑃 𝑑𝑃

Dalam hal fungsi permintaan berbentuk 𝑄 =𝑓(𝑃); 𝑃 adalah nilai 𝑃 untuk 𝑄 = 0 atau

penggal kurva permintaan pada sumbu harga

Dengan demikian :

𝐶𝑠 = 0

𝑄𝑒

𝑓(𝑄) 𝑑𝑄 − 𝑄𝑒𝑃𝑒 = 𝑃𝑒

𝑃

𝑓 𝑃 𝑑𝑃

Contoh Kasus

Fungsi permintan akan suatu barangditunjukkan oleh persamaan 𝑄 = 48 −0,03𝑃2. Hitunglah surplus konsumenjika tingkat harga pasar adalah 30.

Jawab

𝑄 = 48 − 0,03𝑃2

Jika 𝑃 = 0, 𝑄 = 48

Jika 𝑄 = 0, 𝑃 = 40 ≡ 𝑃

Jika 𝑃 ≡ 𝑃𝑒 = 30, 𝑄 ≡ 𝑄𝑒 = 40

𝐶𝑠 = 𝑃𝑒

𝑃𝑓(𝑃) 𝑑𝑃 = 30

40(48 − 0,03𝑃2) 𝑑𝑃

= 48𝑃 − 0,01(40)3 4030

= 48 40 −

Cs40

30

0 21 48

E

Q

P

Surplus Produsen

Surplus Produsen atau Ps (singkatan dariProducers’ Surplus)

Mencerminkan suatu keuntungan lebihatau surplus yang dinikmati olehprodusen tertentu berkenaan dngantingkat harga pasar dari barang yang ditawarkan

Fungsi penawaran 𝑃 = 𝑓(𝑄) menunjukkanjumlah suatu barang yang akn dijual olehprodusen pada tingkat harga tertentu

Surplus Produsen

Jika tingkat harga pasar adalah 𝑃𝑒, makabagi produsen tertentu yang sebetulnyabersedia menjual dengan harga yang lebih rendah dari 𝑃𝑒

Hal ini merupakan keuntungan baginya, sebab ia dapat menjual barangnyadengan harga 𝑃𝑒. Secara geometri, besarnya surplus produsen ditunjukkanoleh luas area di atas kurva penawarantetapi di bawah tingkat harga pasar.

P

Pe

P=f(Q)

E(Qe,Pe)

D(0, 𝑃)

Qe

Q

Surplus produsen (Ps)

0

Surplus produsen atau Ps (singkatan dari Producers’ surplus) tak lain adalahsegitiga 𝑃𝑒𝐷𝐸, denganrentang wilayah yang dibatasi oleh 𝑄 = 0 sebagaibatas bawah dan 𝑄 = 𝑄𝑒

sebagai batas-atas.

Besarnya surplus produsen adalah :

𝑃𝑠 = 𝑄𝑒𝑃𝑒 − 0

𝑄𝑒

𝑓 𝑄 𝑑𝑄

Dalam hal fungsi penawaran berbentuk 𝑃 =𝑓(𝑄)

𝑃𝑠 = 𝑃

𝑃𝑒

𝑓 𝑃 𝑑𝑃

Dalam hal fungsi penawaran berbentuk 𝑄 =𝑓(𝑃); 𝑃 adalah nilai 𝑃 untuk 𝑄 = 0, ataupenggal kurva penawaran pada sumbu harga

Dengan demikian :

𝑃𝑠 = 𝑄𝑒𝑃𝑒 − 0

𝑄𝑒

𝑓 𝑄 𝑑𝑄 = 𝑃

𝑃𝑒

𝑓 𝑃 𝑑𝑃

Contoh Kasus

Seorang produsen mempunyai fungsipenawaran 𝑃 = 0,50𝑄 + 3. Berapasurplusprodusen itu bila tingkat hargakeseimbangan di pasar adalah 10?

𝑃 = 0,50𝑄 + 3 → 𝑄 = −6 + 2𝑃

𝑃 = 0 → 𝑄 = −6

𝑄 = 0 → 𝑃 = 3 ≡ 𝑃

𝑃𝑒 = 10 → 𝑄𝑒 = 14

Cara pertama

𝑃𝑠 = 𝑄𝑒𝑃𝑒 − 0𝑄𝑒 𝑓 𝑄 𝑑𝑄 = 14 10 − 0

14(0,50𝑄 + 3) 𝑑𝑄

= 140 − [0,25𝑄2 + 3𝑄] 140

= 140 − 0,25 14 2 + 3 14 − 0,25(0)2+3(0)

= 140 − 91 − 0 = 49

Cara Kedua

𝑃𝑠 = 𝑃

𝑃𝑒 𝑓(𝑃) 𝑑𝑃 = 310

(−6 + 2𝑃) 𝑑𝑃

= −6𝑃 + 𝑃2 103

= −6 10 + 102 − −6 3 + 32}

= 40 − −9 = 49

P

10

3

0 14 Q

𝑃𝑒