Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas...

287
Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- Supriyanto Suparno ( Website: http://supriyanto.fisika.ui.ac.id ) ( Email: [email protected] atau [email protected] ) Edisi Pertama Revisi terakhir tgl: 24 Oktober 2014 Departemen Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Univeristas Indonesia 2014

Transcript of Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas...

Page 1: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

Komputasi untuk Sains dan Teknik-Menggunakan Matlab-

Supriyanto Suparno

( Website: http://supriyanto.fisika.ui.ac.id )

( Email: [email protected] atau [email protected] )

Edisi Pertama

Revisi terakhir tgl: 24 Oktober 2014

Departemen Fisika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Univeristas Indonesia

2014

Page 2: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan
Page 3: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

Untuk

Muflih Syamil

Hasan Azmi

Farah Raihana

Nina Marliyani

Page 4: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

Usia bukan ukuran kedewasaan

Ketekunan adalah jalan terpercaya menuju kesuksesan

Page 5: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

Kata Pengantar

Segala puji saya panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas kesempatan yang telah Dia dibe-

rikan untuk menulis Buku Komputasi untuk Sains dan Teknik. Buku ini disusun dengan tujuan

yaitu, pertama, untuk memperkenalkan sejumlah metode komputasi numerik kepada maha-

siswa sarjana ilmu fisika; kedua, memperkenalkan tahap-tahap pembuatan program komputer

(script) dan logika pemrograman dalam bahasa Matlab untuk memecahkan problem fisika seca-

ra numerik. Rujukan utama buku adalah pada buku teks standar yang sangat populer di dunia

komputasi, yaitu buku yang ditulis oleh Richard L. Burden dan J. Douglas Faires dengan judul

Numerical Analysis edisi ke-7, diterbitkan oleh Penerbit Brooks/Cole, Thomson Learning Aca-

demic Resource Center. Namun demikian, buku ini telah dilengkapi dengan sejumlah contoh

script yang mudah dipahami oleh programmer pemula.

Walaupun buku ini masih jauh dari sempurna, semoga ia dapat memberikan sumbangan

yang berarti untuk peningkatan kapasitas dan kompetensi anak bangsa generasi penerus. Bagi

yang ingin berdiskusi, memberikan masukan, kritikan dan saran, silakan dikirimkan ke email:

[email protected]

Akhirnya saya ingin mengucapkan rasa terima kasih yang tak terhingga kepada Dede Dju-

hana yang telah berkenan memberikan format LATEX-nya sehingga tampilan tulisan pada buku

ini benar-benar layaknya sebuah buku yang siap dicetak. Tak lupa, saya pun berterima kasih

kepada seluruh mahasiswa yang telah mengambil mata kuliah Komputasi Fisika dan Anaisis Nu-

merik di Departemen Fisika, FMIPA, Universitas Indonesia atas diskusi yang berlangsung selama

kuliah. Kepada seluruh mahasiswa dari berbagai universitas di Timur dan di Barat Indonesia

juga saya ungkapkan terima kasih atas pertanyaan-pertanyaan yang turut memperkaya isi buku

ini. Tak lupa saya ingin sampaikan rasa terima kasih kepada Dikti, Kementerian Pendidikan dan

Kebudayaan, RI atas segala dukungan dan apresiasi terhadap penerbitan buku ini.

Depok, 24 Oktober 2014

Supriyanto Suparno

iii

Page 6: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

iv

Page 7: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

Daftar Isi

Lembar Persembahan i

Kata Pengantar iii

Daftar Isi iii

Daftar Gambar ix

Daftar Tabel xiii

1 Pendahuluan 1

1.1 Inisialisasi variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perhitungan yang berulang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Mengenal cara membuat grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Gerak mobil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.2 Osilasi teredam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Baris-baris pembuka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Membuat 2 grafik dalam satu gambar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Matriks dan Komputasi 15

2.1 Mengenal matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Vektor-baris dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Inisialisasi matriks dalam memori komputer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Macam-macam matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.1 matriks transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.2 matriks bujursangkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.3 Matrik simetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.4 matriks diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.5 matriks identitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.6 matriks upper-triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.7 matriks lower-triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.8 matriks tridiagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.9 matriks diagonal dominan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.10 matriks positive-definite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Operasi matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5.1 Penjumlahan matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5.2 Komputasi penjumlahan matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

v

Page 8: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

vi

2.5.3 Perkalian matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5.4 Komputasi perkalian matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5.5 Perkalian matriks dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5.6 Komputasi perkalian matriks dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.7 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Fungsi 41

3.1 Fungsi internal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Fungsi eksternal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Fungsi eksternal pada operasi matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4 Fungsi eksternal penjumlahan matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.5 Fungsi eksternal perkalian matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.6 Fungsi eksternal perkalian matrik dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.7 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.8 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Aplikasi dalam Sains 55

4.1 Metode gravitasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Mencari Solusi Satu Variabel 65

5.1 Definisi akar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2 Metode bisection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2.1 Script Matlab metode bisection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.3 Metode Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.3.1 Contoh 1: penerapan metode Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.3.2 Script metode Newton untuk contoh 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.3.3 Contoh 2: penerapan metode Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.4 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6 Integral Numerik 79

6.1 Metode Trapezoida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2 Metode Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.3 Peran faktor pembagi, n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.3.1 Source code metode integrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.4 Metode Composite-Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.5 Adaptive Quardrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.6 Gaussian Quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.6.1 Contoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.6.2 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Page 9: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

vii

7 Diferensial Numerik 89

7.1 Metode Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.2 Metode Runge Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.2.1 Aplikasi: Pengisian muatan pada kapasitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.3 Latihan I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.4 Metode Finite Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.4.1 Aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.5 Latihan II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.6 Persamaan Diferensial Parsial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.7 PDP eliptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.7.1 Contoh pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.7.2 Script Matlab untuk PDP Elliptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.7.3 Contoh kedua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.8 PDP parabolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.8.1 Metode Forward-difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.8.2 Contoh ketiga: One dimensional heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.8.3 Metode Backward-difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.8.4 Metode Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.9 PDP Hiperbolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.9.1 Contoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7.10 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

8 Metode Iterasi 141

8.1 Kelebihan Vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

8.2 Pengertian Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

8.2.1 Script perhitungan norm dua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

8.2.2 Script perhitungan norm tak hingga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

8.2.3 Perhitungan norm-selisih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

8.3 Iterasi Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

8.3.1 Script metode iterasi Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8.3.2 Stopping criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

8.3.3 Fungsi eksternal iterasi Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

8.4 Iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

8.4.1 Script iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8.4.2 Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

8.4.3 Script iterasi Gauss-Seidel dalam Fortran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

8.5 Iterasi dengan Relaksasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

8.5.1 Algoritma Iterasi Relaksasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

9 Metode Eliminasi Gauss 171

9.1 Sistem persamaan linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

9.2 Teknik penyederhanaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Page 10: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

viii

9.2.1 Cara menghilangkan sebuah variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

9.2.2 Permainan indeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

9.3 Triangularisasi dan Substitusi Mundur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

9.3.1 Contoh pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

9.3.2 Contoh kedua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

9.4 Matrik dan Eliminasi Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

9.4.1 Matrik Augmentasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

9.4.2 Penerapan pada contoh pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

9.4.3 Source-code dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

9.4.4 Optimasi source code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

9.4.5 Pentingnya nilai n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

9.4.6 Jangan puas dulu.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

9.4.7 Pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

9.5 Function Eliminasi Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

9.6 Contoh aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

9.6.1 Menghitung arus listrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

9.6.2 Mencari invers matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

9.7 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

10 Aplikasi Eliminasi Gauss pada Masalah Inversi 205

10.1 Inversi Model Garis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

10.1.1 Script matlab inversi model garis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

10.2 Inversi Model Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

10.2.1 Script matlab inversi model parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

10.3 Inversi Model Bidang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

10.4 Contoh aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

10.4.1 Menghitung gravitasi di planet X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

11 Metode LU Decomposition 223

11.1 Faktorisasi matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

11.2 Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

12 Interpolasi 233

12.1 Interpolasi Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

12.2 Interpolasi Cubic Spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

13 Solusi Sistem Persamaan Non Linear 247

13.1 Fungsi ber-input vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

13.2 Fungsi ber-output vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

13.3 Fungsi ber-output matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

13.4 Metode Newton untuk sistem persamaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

13.5 Aplikasi: Mencari sumber sinyal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

13.6 Aplikasi: Mencari pusat gempa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Page 11: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

ix

14 Metode Monte Carlo 257

14.1 Penyederhanaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

15 Inversi 261

15.1 Inversi Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

15.2 Inversi Non-Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

16 Lampiran 267

16.1 Script Iterasi Jacobi, jcb.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

16.2 Script Iterasi Gauss-Seidel, itgs.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

Indeks 269

Page 12: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

x

Page 13: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

Daftar Gambar

1.1 Data perubahan kecepatan terhadap waktu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Data perubahan kecepatan terhadap waktu dengan keterangan gambar . . . . . . 4

1.3 Kurva simpangan benda yang mengalami gerak osilasi teredam . . . . . . . . . . 5

1.4 Grafik gelombang berfrekuensi 5 Hz dalam rentang waktu dari 0 hingga 1 detik . 7

1.5 Grafik yang dilengkapi dengan keterangan sumbu-x dan sumbu-y serta judul . . . 8

1.6 Grafik yang dilengkapi dengan font judul 14pt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7 Dua buah grafik dalam sebuah gambar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.8 Tiga buah grafik dalam sebuah gambar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.9 Lintasan elektron ketika memasuki medan magnet . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.10 Kapasitor dan induktor masing-masing terhubung seri dengan sumber tegangan

bolak-balik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1 Kurva lintasan gerak parabola yang dihasilkan oleh fungsi eksternal parabol() . . 43

4.1 Vektor percepatan gravitasi dalam arah vertikal akibat benda anomali dan akibat

bumi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Benda anomali berupa bola berada dibawah permukaan bumi . . . . . . . . . . . 57

4.3 Variasi nilai percepatan gravitasi terhadap perubahan jarak horizontal . . . . . . 63

5.1 Fungsi dengan dua akar yang ditandai oleh lingkaran kecil berwarna merah, yaitu

pada x = −2 dan x = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2 Fungsi dengan satu akar yang ditandai oleh lingkaran kecil berwarna merah, ya-

itu pada x = −1, 2599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3 Fungsi kuadrat yang memiliki 2 akar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.4 Awal perhitungan: batas kiri adalah a = 0, batas kanan adalah b = 1; sementara

p adalah posisi tengah antara a dan b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.5 Iterasi kedua: batas kiri adalah a = 0,5, batas kanan adalah b = 1; sementara p

adalah posisi tengah antara a dan b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.6 Iterasi ketiga: batas kiri adalah a = 0,5, batas kanan adalah b = 0,75; sementara

p adalah posisi tengah antara a dan b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.7 Perubahan f(p) dan p terhadap bertambahnya iterasi . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.8 Nilai akar ditandai oleh lingkaran kecil pada kurva yang memotong sumbu-x . . . 72

xi

Page 14: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

xii DAFTAR GAMBAR

6.1 Metode Trapezoida. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f(x) dengan batas

bawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara meto-

de Trapesoida menghitung integral dengan cara menghitung luas area integrasi, dimana

luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a

dan b. Jika anda perhatikan dengan teliti, ada area kecil dibawah garis kurva dan diatas

garis miring yang berada diluar bidang trapesium. Metode Trapesoida tidak menghitung

luas area kecil tersebut. Disinilah letak kelemahan metode trapezoida. . . . . . . . . . . 80

6.2 Metode Simpson. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f(x) dengan batas

bawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara me-

tode Simpson menghitung luas area integrasi, dimana area integrasi di bawah kurva f(x)

dibagi 2 dalam batas interval a− x1 dan x1 − b dengan lebar masing-masing adalah h . . 81

6.3 Metode Composite Simpson. Kurva fungsi f(x) dengan batas bawah integral adalah a

dan batas atas b. Luas area integrasi dipecah menjadi 8 area kecil dengan lebar masing-

masing adalah h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.1 Kiri: Kurva y(t) dengan pasangan titik absis dan ordinat dimana jarak titik absis sebesar

h. Pasangan t1 adalah y(t1), pasangan t2 adalah y(t2), begitu seterusnya. Kanan: Garis

singgung yang menyinggung kurva y(t) pada t=a, kemudian berdasarkan garis singgung

tersebut, ditentukan pasangan t1 sebagai w1. Perhatikan gambar itu sekali lagi! w1 dan

y(t1) beda tipis alias tidak sama persis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.2 Kurva biru adalah solusi exact, dimana lingkaran-lingkaran kecil warna biru pada kurva

menunjukkan posisi pasangan absis t dan ordinat y(t) yang dihitung oleh Persamaan

(7.9). Sedangkan titik-titik merah mengacu pada hasil perhitungan metode euler, yaitu

nilai wi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.3 Kurva biru adalah solusi exact, dimana lingkaran-lingkaran kecil warna biru pada kurva

menunjukkan posisi pasangan absis t dan ordinat y(t) yang dihitung oleh Persamaan

(7.9). Sedangkan titik-titik merah mengacu pada hasil perhitungan metode Runge Kutta

orde 4, yaitu nilai wi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.4 Rangkaian RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.5 Kurva pengisian muatan q (charging) terhadap waktu t . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.6 Kurva suatu fungsi f(x) yang dibagi sama besar berjarak h. Evaluasi kurva yang

dilakukan Finite-Difference dimulai dari batas bawah x0 = a hingga batas atas

x6 = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.8 Skema grid lines dan mesh points pada aplikasi metode Finite-Difference . . . . . . 115

7.9 Susunan grid lines dan mesh points untuk mensimulasikan distribusi temperatur

pada lempeng logam sesuai contoh satu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.10 Sebatang logam dengan posisi titik-titik simulasi (mesh-points) distribusi temperatur. Ja-

rak antar titik ditentukan sebesar h = 0, 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.11 Interval mesh-points dengan jarak h = 0, 1 dalam interval waktu k = 0, 0005 . . . . . . . 124

7.12 Posisi mesh-points. Arah x menunjukkan posisi titik-titik yang dihitung dengan forward-

difference, sedangkan arah t menunjukkan perubahan waktu yg makin meningkat . . . . 125

Page 15: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

DAFTAR GAMBAR xiii

10.1 Sebaran data observasi antara suhu dan kedalaman . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

10.2 Kurva hasil inversi data observasi antara suhu dan kedalaman . . . . . . . . . . . 209

10.3 Kurva hasil inversi data observasi antara suhu dan kedalaman . . . . . . . . . . . 214

10.4 Grafik data pengukuran gerak batu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

10.5 Grafik hasil inversi parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

12.1 Kurva hasil interpolasi Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

12.2 Sejumlah titik terdistribusi pada koordinat kartesian. Masing-masing titik memi-

liki pasangan koordinat (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

12.3 Kurva interpolasi cubic spline yang menghubungkan semua titik . . . . . . . . . . 238

12.4 Sejumlah polinomial cubic yaitu S0, S1, S2... dan seterusnya yang saling sambung-

menyambung sehingga mampu menghubungkan seluruh titik . . . . . . . . . . . 238

12.5 Profil suatu object . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

12.6 Sampling titik data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

12.7 Hasil interpolasi cubic spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

12.8 Hasil interpolasi lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

13.1 Koordinat sumber sinyal berada pada x = −4 dan y = −8 . . . . . . . . . . . . . 251

14.1 Lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

14.2 Dart yang menancap pada bidang lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . . . . 258

14.3 Dart yang menancap pada bidang 1/4 lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . 259

Page 16: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

xiv DAFTAR GAMBAR

Page 17: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

Daftar Tabel

5.1 Perubahan nilai f(p) dan p hingga iterasi ke-20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.1 Polinomial Legendre untuk n=2,3,4 dan 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.1 Solusi yang ditawarkan oleh metode euler wi dan solusi exact y(ti) serta selisih

antara keduanya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.2 Solusi yang ditawarkan oleh metode Runge Kutta orde 4 (wi) dan solusi exact

y(ti) serta selisih antara keduanya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.3 Perbandingan antara hasil perhitungan numerik lewat metode Runge Kutta dan

hasil perhitungan dari solusi exact, yaitu persamaan (7.16) . . . . . . . . . . . . 103

7.4 Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi. Kolom ke-2 adalah

solusi analitik/exact, kolom ke-3 dan ke-5 adalah solusi numerik forward-difference. Ko-

lom ke-4 dan ke-6 adalah selisih antara solusi analitik dan numerik . . . . . . . . . . . 128

7.5 Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi dengan metode backward-

difference dimana k = 0, 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.6 Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu (t) dalam 1-dimensi dengan

metode backward-difference dan Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

8.1 Hasil akhir elemen-elemen vektor x hingga iterasi ke-10 . . . . . . . . . . . . . . 154

8.2 Hasil perhitungan norm2-selisih hingga iterasi ke-10 . . . . . . . . . . . . . . . . 155

8.3 Hasil Iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8.4 Hasil perhitungan iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8.5 Hasil perhitungan iterasi Relaksasi dengan ω = 1, 25 . . . . . . . . . . . . . . . . 169

10.1 Data suhu bawah permukaan tanah terhadap kedalaman . . . . . . . . . . . . . . 205

10.2 Data suhu bawah permukaan tanah terhadap kedalaman . . . . . . . . . . . . . . 210

10.3 Data ketinggian terhadap waktu dari planet X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

13.1 Koordinat Sumber Sinyal dan Waktu Tempuh Sinyal . . . . . . . . . . . . . . . . 251

13.2 Data Gempa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

xv

Page 18: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

xvi DAFTAR TABEL

Page 19: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

Bab 1

Pendahuluan

Objektif :

⊲ Mengenal cara inisialisasi variabel.

⊲ Mengenal operasi matematika.

⊲ Mengenal fungsi-fungsi dasar.

⊲ Mengenal cara membuat grafik.

1.1 Inisialisasi variabel

Salah satu perbedaan utama antara komputer dan kalkulator adalah pemanfaatan variabel da-

lam proses perhitungan. Kebanyakan kalkulator tidak menggunakan variabel dalam proses per-

hitungan; sebaliknya, komputer sangat memanfaatkan variabel dalam proses perhitungan.

Misalnya kita ingin mengalikan 2 dengan 3. Dengan kalkulator, langkah pertama yang akan

kita lakukan adalah menekan tombol angka 2, kemudian diikuti menekan tombol ×, lalu me-

nekan tombol angka 3, dan diakhiri dengan menekan tombol =; maka keluarlah hasilnya yaitu

angka 6. Kalau di komputer, proses perhitungan seperti ini dapat dilakukan dengan memanfa-

atkan variabel. Pertama-tama kita munculkan sebuah variabel yang diinisialisasi1 dengan angka

2, misalnya A = 2. Kemudian kita munculkan variabel lain yang diinisialisasi dengan angka 3,

misalnya B = 3. Setelah itu kita ketikkan A ∗B; maka pada layar monitor akan tampil angka 6.

Bahkan kalau mau, hasil perhitungannya dapat disimpan dalam variabel yang lain lagi, misalnya

kita ketikkan C = A ∗ B; maka hasil perhitungan, yaitu angka 6 akan disimpan dalam variabel

C. Skrip2 Matlab untuk melakukan proses perhitungan seperti itu adalah sebagai berikut

A = 2;

B = 3;

C = A * B

1inisialisasi adalah proses memberi nilai awal pada suatu variabel2Skrip atau dalam bahasa Inggris ditulis Script adalah daftar baris-baris perintah yang akan dikerjakan (di-

eksekusi) oleh komputer

1

Page 20: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

2 BAB 1. PENDAHULUAN

Nama suatu variabel tidak harus hanya satu huruf, melainkan dapat berupa sebuah kata.

Misalnya kita ingin menyatakan hukum Newton kedua, yaitu F = ma, dengan m adalah massa,

a adalah percepatan dan F adalah gaya. Maka, script Matlab dapat ditulis seperti berikut ini

massa = 2;

percepatan = 3;

gaya = massa * percepatan

Atau bisa jadi kita memerlukan variabel yang terdiri atas dua patah kata. Dalam hal ini, kedua

kata tadi mesti dihubungkan dengan tanda underscore. Perhatikan contoh berikut

besar_arus = 2;

beda_potensial = 3;

nilai_hambatan = beda_potensial / besar_arus

Semua contoh di atas memperlihatkan perbedaan yang begitu jelas antara penggunaan kom-

puter dan kalkulator dalam menyelesaikan suatu perhitungan.

1.2 Perhitungan yang berulang

Di dalam Matlab, suatu variabel dapat diinisialisasi dengan urutan angka. Misalnya jika variabel

t hendak diinisialisasi dengan sejumlah angka yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 10, caranya

sangat mudah, cukup dengan mengetikkan

t = 0:10;

Angka 0 pada script di atas merupakan nilai awal; sedangkan angka 10 adalah nilai akhir.

Contoh lainnya, jika Anda hanya menginginkan bilangan genap, cukup ketikkan

t = 0:2:10;

angka 2 bertindak sebagai nilai interval dari 0 sampai 10. Sehingga angka-angka yang muncul

adalah 0, 2, 4, 6, 8 dan 10. Urutan angka dapat dibalik dengan mengetikkan

t = 10:-2:0;

sehingga angka yang muncul adalah 10, 8, 6, 4, 2 dan 0. Adakalanya proses perhitungan

meminta kita untuk memulainya dari angka kurang dari nol, misalnya

t = -10:3:4;

maka angka-angka yang tersimpan pada variabel t adalah -10, -7, -4, -1 dan 2.

Dengan adanya kemampuan dan sekaligus kemudahan inisialisasi urutan angka seperti ini,

maka kita dimudahkan dalam melakukan perhitungan yang berulang. Sebagai contoh, kita

ingin mensimulasikan perubahan kecepatan mobil balap yang punya kemampuan akselerasi 2

m/s2. Rumus gerak lurus berubah beraturan sangat memadai untuk maksud tersebut

v = vo + at (1.1)

Page 21: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

1.3. MENGENAL CARA MEMBUAT GRAFIK 3

Jika kita hendak mengamati perubahan kecepatan mobil balap dari detik pertama di saat se-

dang diam hingga detik ke-5, kita dapat menghitung perubahan tersebut setiap satu detik, yaitu

pada t = 1 ⇒ v1 = (0) + (2)(1) ⇒ 2m/s

pada t = 2 ⇒ v2 = (0) + (2)(2) ⇒ 4m/s

pada t = 3 ⇒ v3 = (0) + (2)(3) ⇒ 6m/s

pada t = 4 ⇒ v4 = (0) + (2)(4) ⇒ 8m/s

pada t = 5 ⇒ v5 = (0) + (2)(5) ⇒ 10m/s

skrip Matlab untuk tujuan di atas adalah

a = 2;

t = 1:5;

vo = 0;

v = vo + a * t

Jarak tempuh mobil juga dapat ditentukan oleh persamaan berikut

s = vot+1

2at2 (1.2)

Untuk menentukan perubahan jarak tempuh tersebut, skrip sebelumnya mesti ditambah satu

baris lagi

1 a = 2;

2 t = 1:5;

3 vo = 0;

4 s = vo * t + 1/2 * a * t.^2

Ada hal penting yang perlu diperhatikan pada baris ke-4 di atas, yaitu penempatan tanda titik

pada t.∧2. Maksud dari tanda titik adalah setiap angka yang tersimpan pada variabel t harus di-

kuadratkan. Jika Anda lupa menempatkan tanda titik, sehingga tertulis t∧2, maka skrip tersebut

tidak akan bekerja.

1.3 Mengenal cara membuat grafik

1.3.1 Gerak mobil

Seringkali suatu informasi lebih mudah dianalisis setelah informasi tersebut ditampilkan dalam

bentuk grafik. Pada contoh mobil balap di atas, kita bisa menggambar data perubahan kece-

patan mobil terhadap waktu dengan menambahkan perintah plot seperti ditunjukkan oleh skrip

dibawah ini

1 a = 2;

2 t = 1:5;

3 vo = 0;

4 v = vo + a * t

5 plot(t,v,’o’)

Page 22: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

4 BAB 1. PENDAHULUAN

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 52

3

4

5

6

7

8

9

10

Gambar 1.1: Data perubahan kecepatan terhadap waktu

Jika skrip tersebut di-run, akan muncul Gambar 1.1. Untuk melengkapi keterangan gambar,

beberapa baris perlu ditambahkan

1 a = 2;

2 t = 1:5;

3 vo = 0;

4 v = vo + a * t;

5 plot(t,v,’o’);

6 xlabel(’Waktu (s)’);

7 ylabel(’Kecepatan (m/s)’)

8 title(’Data Kecepatan vs Waktu’)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 52

3

4

5

6

7

8

9

10

Waktu (s)

Kecepata

n (

m/s

)

Data Kecepatan vs Waktu

Gambar 1.2: Data perubahan kecepatan terhadap waktu dengan keterangan gambar

Page 23: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

1.3. MENGENAL CARA MEMBUAT GRAFIK 5

1.3.2 Osilasi teredam

Gerak dari suatu benda yang mengalami osilasi teredam (damped oscillations) memenuhi persa-

maan berikut:

y = Ae−(b/2m)tcos(ωt+ θ) (1.3)

dengan A = amplitudo, b = faktor redaman (damping factor), m = massa benda, ω = frekuensi

angular dan t = waktu. Adapun frekuensi angular (ω) dirumuskan oleh

ω =

k

m+

(

b

2m

)2

(1.4)

dengan k = kontanta pegas.

Diketahui suatu benda bermassa 10,6 kg, digantung pada ujung pegas yang memiliki kon-

stanta pegas sebesar 2,05×104 N/m serta faktor redaman sebesar 63,50 N.s/m. Jika efek gravi-

tasi diabaikan dan benda diberi simpangan awal sebesar 0,1 m, maka gerak osilasi benda akan

nampak seperti Gambar 1.3.

0 0.5 1 1.5 2−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Waktu (detik)

Sim

pangan (

mete

r)

Gambar 1.3: Kurva simpangan benda yang mengalami gerak osilasi teredam

Skrip Matlab untuk menghasilkan Gambar 1.3 adalah

1 m = 10.6;

2 k = 2.05e4;

3 b = 63.50;

4 A = 0.1;

5 theta = 0;

6 t = 0:0.001:2;

7

8 w = sqrt((k/m)+(b/(2*m))^2);

9 y = A*exp((-b/(2*m))*t).*cos(w*t+theta);

10

11 plot(t,y)

Page 24: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

6 BAB 1. PENDAHULUAN

12 xlabel(’Waktu (detik)’);

13 ylabel(’Simpangan (meter)’);

1.4 Baris-baris pembuka

Ketika Anda membuat skrip di komputer, Anda mesti menyadari bahwa skrip yang sedang Anda

buat akan memodifikasi isi memory komputer. Oleh karena itu disarankan agar sebelum kom-

puter menjalankan skrip, maka pastikan bahwa memory komputer dalam keadaan bersih. Cara

membersihkan memory komputer, di dalam Matlab, adalah dengan menuliskan perintah clear.

Alasan yang sama diperlukan untuk membersihkan gambar dari layar monitor. Untuk maksud

ini, cukup dengan menuliskan perintah close. Sedangkan untuk membersihkan teks atau tulis-

an di layar monitor, tambahkan perintah clc. Ketiga perintah tersebut disarankan ditulis pada

baris-baris pembuka suatu skrip Matlab, seperti contoh berikut

1 clear

2 close

3 clc

4

5 a = 2;

6 t = 1:5;

7 vo = 0;

8 v = vo + a * t;

9 plot(t,v,’o’);

10 xlabel(’Waktu (dt)’);

11 ylabel(’Kecepatan (m/dt)’)

12 title(’Data Kecepatan vs Waktu’)

1.5 Membuat 2 grafik dalam satu gambar

Misalnya, sebuah gelombang dinyatakan oleh persamaan

y = A sin(2πft+ θ) (1.5)

dengan A = amplitudo; f = frekuensi; t = waktu; θ = sudut fase gelombang. Jika suatu

gelombang beramplitudo 1 memiliki frekuensi tunggal 5 Hz dan sudut fase-nya nol, maka skrip

untuk membuat grafik gelombang tersebut adalah

1 clc

2 clear

3 close

4

5 A = 1; % amplitudo

6 f = 5; % frekuensi

7 theta = 0; % sudut fase gelombang

8 t = 0:0.001:1; % t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.001

9 y = A * sin(2*pi*f*t + theta); % persamaan gelombang

10

11 plot(t,y) % menggambar grafik persamaan gelombang

Page 25: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

1.5. MEMBUAT 2 GRAFIK DALAM SATU GAMBAR 7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Gambar 1.4: Grafik gelombang berfrekuensi 5 Hz dalam rentang waktu dari 0 hingga 1 detik

Grafik di atas muncul karena ada perintah plot(t,y) yang diletakkan di baris paling akhir pada

skrip. Kata atau kalimat yang ditulis setelah tanda % tidak akan dikerjakan oleh komputer.

Modifikasi skrip perlu dilakukan untuk memberi keterangan pada sumbu-x dan sumbu-y serta

menambahkan judul grafik

1 clc

2 clear

3 close

4

5 A = 1; % amplitudo

6 f = 5; % frekuensi

7 theta = 0; % sudut fase gelombang

8 t = 0:0.001:1; % t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.001

9 y = A * sin(2*pi*f*t + theta); % persamaan gelombang

10

11 plot(t,y) % menggambar grafik persamaan gelombang

12 xlabel(’Waktu, t (detik)’); % melabel sumbu-x

13 ylabel(’Amplitudo’); % melabel sumbu-y

14 title(’Gelombang berfrekuensi 5 Hz’); % judul grafik

Untuk memperbesar font judul grafik, tambahkan kata fontsize14 pada title(), contohnya

title(’\fontsize14 Gelombang berfrekuensi 5 Hz’); % judul grafik

Untuk menggambar dua buah grafik, contoh skrip berikut ini bisa digunakan

1 clc

2 clear

3 close

4

5 t = 0:0.001:1; % t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.001

6

7 A1 = 1; % amplitudo gelombang 1

Page 26: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

8 BAB 1. PENDAHULUAN

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Waktu, t (detik)

Am

plit

udo

Gelombang berfrekuensi 5 Hz

Gambar 1.5: Grafik yang dilengkapi dengan keterangan sumbu-x dan sumbu-y serta judul

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Waktu, t (detik)

Am

plit

ud

o

Gelombang berfrekuensi 5 Hz

Gambar 1.6: Grafik yang dilengkapi dengan font judul 14pt

Page 27: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

1.5. MEMBUAT 2 GRAFIK DALAM SATU GAMBAR 9

8 f1 = 5; % frekuensi gelombang 1

9 theta1 = 0; % sudut fase gelombang 1

10 y1 = A1 * sin(2*pi*f1*t + theta1); % persamaan gelombang 1

11

12 A2 = 1; % amplitudo gelombang 2

13 f2 = 3; % frekuensi gelombang 2

14 theta2 = pi/4; % sudut fase gelombang 2

15 y2 = A2 * sin(2*pi*f2*t + theta2); % persamaan gelombang 2

16

17 figure

18

19 subplot(2,1,1)

20 plot(t,y1) % menggambar grafik persamaan gelombang 1

21 xlabel(’Waktu, t (detik)’);

22 ylabel(’Amplitudo’);

23 title(’\fontsize14 Gelombang berfrekuensi 5 Hz’);

24

25 subplot(2,1,2)

26 plot(t,y2) % menggambar grafik persamaan gelombang 2

27 xlabel(’Waktu, t (detik)’);

28 ylabel(’Amplitudo’);

29 title(’\fontsize14 Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4’);

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1

Waktu, t (detik)

Am

plit

udo

Gelombang berfrekuensi 5 Hz

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1

Waktu, t (detik)

Am

plit

udo

Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4

Gambar 1.7: Dua buah grafik dalam sebuah gambar

Sekarang, jika ingin melihat tampilan superposisi kedua gelombang di atas, maka skrip berikut

ini bisa digunakan

1 clc

2 clear

3 close

4

5 t = 0:0.001:1; % t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.001

6

7 A1 = 1; % amplitudo gelombang 1

8 f1 = 5; % frekuensi gelombang 1

9 theta1 = 0; % sudut fase gelombang 1

Page 28: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

10 BAB 1. PENDAHULUAN

10 y1 = A1 * sin(2*pi*f1*t + theta1); % persamaan gelombang 1

11

12 A2 = 1; % amplitudo gelombang 2

13 f2 = 3; % frekuensi gelombang 2

14 theta2 = pi/4; % sudut fase gelombang 2

15 y2 = A2 * sin(2*pi*f2*t + theta2); % persamaan gelombang 2

16

17 y3 = y1 + y2; % superposisi gelombang

18

19 figure

20

21 subplot(3,1,1)

22 plot(t,y1) % menggambar grafik persamaan gelombang 1

23 xlabel(’Waktu, t (detik)’);

24 ylabel(’Amplitudo’);

25 title(’\fontsize14 Gelombang berfrekuensi 5 Hz’);

26

27 subplot(3,1,2)

28 plot(t,y2) % menggambar grafik persamaan gelombang 2

29 xlabel(’Waktu, t (detik)’);

30 ylabel(’Amplitudo’);

31 title(’\fontsize14 Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4’);

32

33 subplot(3,1,3)

34 plot(t,y3) % menggambar grafik superposisi gelombang

35 xlabel(’Waktu, t (detik)’);

36 ylabel(’Amplitudo’);

37 title(’\fontsize14 Superposisi gelombang 5 Hz dan 3 Hz’);

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

0

1

Waktu, t (detik)

Am

plit

ud

o

Gelombang berfrekuensi 5 Hz

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

0

1

Waktu, t (detik)

Am

plit

ud

o

Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−2

0

2

Waktu, t (detik)

Am

plit

ud

o

Superposisi gelombang 5 Hz dan 3 Hz

Gambar 1.8: Tiga buah grafik dalam sebuah gambar

Page 29: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

1.6. LATIHAN 11

1.6 Latihan

1. Jarak tempuh mobil balap yang bergerak dengan percepatan 2 m/s2 dari posisi diam di-

tentukan oleh rumus berikut

s = vot+1

2at2

Buatlah skrip untuk menggambarkan grafik jarak tempuh terhadap waktu dimulai dari t

= 0 hingga t = 20 dt.

2. Sebuah elektron memasuki daerah yang dipengaruhi oleh medan listrik seperti Gambar

1.9

Gambar 1.9: Lintasan elektron ketika memasuki medan magnet

diketahui besar muatan elektron = 1,6×10−19 C, massa elektron = 9,11×10−31 kg, kece-

patan v = 3×106 m/s, kuat medan listrik E = 200 N/C , dan panjang plat ℓ = 0,1 meter.

Posisi koordinat elektron memenuhi persamaan

x = vt y = −1

2

eE

mt2 dengan percepatan a =

eE

m

Buatlah skrip untuk menentukan variasi posisi elektron (x, y) terhadap waktu (t), mulai

dari t = 0 detik hingga t = 3,33×10−8 detik dengan interval waktu 3,33×10−10 detik.

3. Berkali-kali bola ditendang dari depan gawang ke tengah lapangan oleh penjaga gawang

yang sedang berlatih. Misalnya bola ditendang sedemikian rupa sehingga bola selalu ber-

gerak dengan kecepatan awal 5 m/dt. Diketahui konstanta gravitasi adalah 9,8 m/s2.

(a) Plot variasi ketinggian maksimum bola bila sudut tendangan bervariasi dari 30 hing-

ga 60 dengan interval 5. Persamaan untuk menghitung ketinggian maksimum ada-

lah

hmaks =v2o sin

2 α

2g

(b) Plot variasi jangkauan maksimum bola bila sudut tendangan bervariasi dari 30 hing-

ga 60 dengan interval 5. Persamaan untuk menghitung jangkauan maksimum ada-

Page 30: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

12 BAB 1. PENDAHULUAN

lah

xmaks =v2o sin 2α

g

4. Tuliskan sebuah skrip untuk menggambar superposisi gelombang yang terbentuk dari 9

gelombang berfrekuensi 9 Hz, 18 Hz, 27 Hz, 35 Hz, 47 Hz, 57 Hz, 65 Hz, 74 Hz dan 82

Hz.

5. Sebuah kapasitor 8 µF dan sebuah induktor sebesar 25 mH, masing-masing dihubungkan

ke sumber tegangan bolak-balik 150 Volt dengan frekuensi 60 Hz seperti terlihat pada

Gambar 1.10

Gambar 1.10: Kapasitor dan induktor masing-masing terhubung seri dengan sumber tegangan

bolak-balik

(a) Tentukan nilai reaktansi kapasitif pada rangkaian (a); dan reaktansi induktif pada

rangkaian (b).

(b) Tuliskan skrip Matlab untuk menggambarkan kurva arus dan tegangan pada rangka-

ian (a); kemudian plot gambar kurva-nya.

(c) Tuliskan skrip Matlab untuk menggambarkan kurva arus dan tegangan pada rangka-

ian (b); kemudian plot gambar kurva-nya.

6. Muatan Q1 sebesar 4µC terletak pada x = -1; sementara Q2 = 20µC terletak pada x = 1.

Buatlah skrip Matlab untuk tujuan:

(a) plot kurva medan listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval 0.1

(b) menghitung medan listrik pada x = 0 (cek: dititik ini, medannya TIDAK NOL; dima-

nakah posisi yang medannya NOL ?)

(c) mencari titik x yang medan-nya nol pada -1 < x < 1

(d) mencari titik-titik x yang medannya bernilai 20000

7. Muatan Q1 sebesar 4µC terletak pada x = -1; sementara Q2 = 4µC terletak pada x = 1.

Buatlah skrip Matlab untuk tujuan:

(a) menghitung potensial listrik pada x = -2

Page 31: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

1.6. LATIHAN 13

(b) menghitung potensial listrik pada x = 0

(c) menghitung potensial listrik pada x = 2 (cek: besar potensial harus sama dengan

point pertanyaan (a))

(d) menghitung medan listrik pada -1 < x < 1 dengan interval 0.1

(e) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai potensial listrik terkecil ada di x = 0; dan

nilai potensial listrik meningkat ketika mendekati x = -1 atau x = 1)

(f) menghitung potensial listrik pada -10 < x < -1 dengan interval 0.1

(g) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai potensial listrik harus meningkat ketika

mendekati x = -1)

(h) menghitung potensial listrik pada 1 < x < 10 dengan interval 0.1

(i) plot kurva perhitungan di atas. (cek: nilai potensial harus meningkat ketika mende-

kati x = 1)

(j) plot kurva potensial listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval 0.1

8. Muatan Q1 sebesar 4µC terletak pada x = -1; sementara Q2 = -20µC terletak pada x = 1.

Buatlah skrip Matlab untuk tujuan:

(a) plot kurva potensial listrik dari x = -10 hingga x = 10 dengan interval 0.1

(b) menghitung potensial listrik pada x = 0

9. Sebuah bola pejal memiliki jari-jari sebesar 0,75 meter. Kuat medan listrik yang terukur

pada permukaan bola diketahui sebesar 890 N/C dan mengarah keluar bola. Dengan

memanfaatkan hukum Gauss, tentukan:

(a) Total muatan yang terdapat pada kulit bola

(b) Apakah muatan-nya positif atau negatif ?

(c) Kuat medan listrik pada jarak 1 meter dari pusat bola

(d) Kuat medan listrik pada jarak 0,5 meter dari pusat bola

(e) Buatlah skrip Matlab untuk menggambarkan kurva kuat medan listrik terhadap jarak

mulai dari pusat bola sampai ke jarak 3 meter

Page 32: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

14 BAB 1. PENDAHULUAN

Page 33: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

Bab 2

Matriks dan Komputasi

Objektif :

⊲ Mengenalkan matriks, vektor dan jenis-jenis matriks.

⊲ Mendeklarasikan elemen-elemen matriks ke dalam memori komputer.

⊲ Mengenalkan operasi penjumlahan dan perkalian matriks.

⊲ Membuat skrip operasi matriks.

2.1 Mengenal matriks

Notasi suatu matriks berukuran n × m ditulis dengan huruf besar dan dicetak tebal, misalnya

An×m. Huruf n menyatakan jumlah baris, dan huruf m jumlah kolom. Suatu matriks tersusun

atas elemen-elemen yang dinyatakan dengan huruf kecil lalu diikuti oleh angka-angka indeks,

misalnya aij. Indeks i menunjukkan posisi baris ke-i dan indeks j menentukan posisi kolom

ke-j.

A = (aij) =

a11 a12 . . . a1m

a21 a22 . . . a2m...

......

an1 an2 . . . anm

(2.1)

Pada matriks ini, a11, a12, ..., a1m adalah elemen-elemen yang menempati baris pertama. Se-

mentara a12, a22, ..., an2 adalah elemen-elemen yang menempati kolom kedua.

Contoh 1: Matriks A2×3

A =

[

3 8 5

6 4 7

]

dengan masing-masing elemennya adalah a11 = 3, a12 = 8, a13 = 5, a21 = 6, a22 = 4, dan

a23 = 7.

15

Page 34: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

16 BAB 2. MATRIKS DAN KOMPUTASI

Contoh 2: Matriks B3×2

B =

1 3

5 9

2 4

dengan masing-masing elemennya adalah b11 = 1, b12 = 3, b21 = 5, b22 = 9, b31 = 2, dan

b32 = 4.

2.2 Vektor-baris dan vektor-kolom

Notasi vektor biasanya dinyatakan dengan huruf kecil dan dicetak tebal. Suatu matriks dina-

makan vektor-baris berukuran m, bila hanya memiliki satu baris dan m kolom, yang dinyatakan

sebagai berikut

a =[

a11 a12 . . . a1m

]

=[

a1 a2 . . . am

]

(2.2)

Sedangkan suatu matriks dinamakan vektor-kolom berukuran n, bila hanya memiliki satu kolom

dan n baris, yang dinyatakan sebagai berikut

a =

a11

a21...

an1

=

a1

a2...

an

(2.3)

2.3 Inisialisasi matriks dalam memori komputer

Sebelum dilanjutkan, disarankan agar Anda mencari tahu sendiri bagaimana cara membuat m-

file di Matlab dan bagaimana cara menjalankannya. Karena semua skrip yang terdapat dalam

buku ini ditulis dalam m-file. Walaupun sangat mudah untuk melakukan copy-paste, namun

dalam upaya membiasakan diri menulis skrip di m-file, sangat dianjurkan Anda menulis ulang

semuanya.

Dalam Matlab terdapat 3 cara inisialisasi matriks. Cara pertama1, sesuai dengan Contoh 1,

adalah

1 clear all

2 clc

3

4 A(1,1) = 3;

5 A(1,2) = 8;

6 A(1,3) = 5;

7 A(2,1) = 6;

8 A(2,2) = 4;

9 A(2,3) = 7;

10 A

Sedangkan untuk matriks B3×2, sesuai Contoh 2 adalah

1Cara ini bisa diterapkan pada bahasa C, Fortran, Pascal, Delphi, Java, Basic, dll. Sementara cara kedua dan caraketiga hanya akan dimengerti oleh Matlab

Page 35: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

2.4. MACAM-MACAM MATRIKS 17

1 clear all

2 clc

3

4 B(1,1) = 1;

5 B(1,2) = 3;

6 B(2,1) = 5;

7 B(2,2) = 9;

8 B(3,1) = 2;

9 B(3,2) = 4;

10 B

Cara kedua relatif lebih mudah dan benar-benar merepresentasikan dimensi matriksnya, dengan

jumlah baris dan jumlah kolom terlihat dengan jelas.

1 clear all

2 clc

3

4 A=[ 3 8 5

5 6 4 7 ];

6

7 B=[ 1 3

8 5 9

9 2 4 ];

Cara ketiga jauh lebih singkat, namun tidak menunjukkan dimensi matriks lantaran ditulis ha-

nya dalam satu baris.

1 clear all

2 clc

3

4 A=[ 3 8 5 ; 6 4 7 ];

5 B=[ 1 3 ; 5 9 ; 2 4];

2.4 Macam-macam matriks

2.4.1 matriks transpose

Operasi transpose terhadap suatu matriks akan menukar elemen-elemen kolom menjadi elemen-

elemen baris. Notasi matriks tranpose adalah AT atau At.

Contoh 3: Operasi transpose terhadap matriks A

A =

[

3 8 5

6 4 7

]

AT =

3 6

8 4

5 7

Dengan Matlab, operasi transpose cukup dilakukan dengan menambahkan tanda petik tunggal

di depan nama matriksnya

1 clear all

2 clc

Page 36: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

18 BAB 2. MATRIKS DAN KOMPUTASI

3

4 A=[ 3 8 5

5 6 4 7 ];

6

7 AT = A’;

2.4.2 matriks bujursangkar

matriks bujursangkar adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama.

Contoh 4: Matrik bujursangkar berukuran 3x3 atau sering juga disebut matriks bujursangkar

orde 3

A =

1 3 8

5 9 7

2 4 6

2.4.3 Matrik simetrik

matriks simetrik adalah matriks bujursangkar yang elemen-elemen matriks transpose-nya ber-

nilai sama dengan matriks asli-nya.

Contoh 5: matriks simetrik

A =

2 −3 7 1

−3 5 6 −2

7 6 9 8

1 −2 8 10

AT =

2 −3 7 1

−3 5 6 −2

7 6 9 8

1 −2 8 10

2.4.4 matriks diagonal

matriks diagonal adalah matriks bujursangkar yang seluruh elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali

elemen-elemen diagonalnya.

Contoh 6: matriks diagonal orde 3

A =

11 0 0

0 29 0

0 0 61

2.4.5 matriks identitas

matriks identitas adalah matriks bujursangkar yang semua elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali

elemen-elemen diagonal yang seluruhnya bernilai 1.

Contoh 7: matriks identitas orde 3

I =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Page 37: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

2.4. MACAM-MACAM MATRIKS 19

2.4.6 matriks upper-triangular

matriks upper-tringular adalah matriks bujursangkar yang seluruh elemen dibawah elemen di-

agonal bernilai 0 (nol).

Contoh 8: matriks upper-triangular

A =

3 6 2 1

0 4 1 5

0 0 8 7

0 0 0 9

2.4.7 matriks lower-triangular

matriks lower-tringular adalah matriks bujursangkar yang seluruh elemen diatas elemen diago-

nal bernilai 0 (nol).

Contoh 9: matriks lower-triangular

A =

12 0 0 0

32 −2 0 0

8 7 11 0

−5 10 6 9

2.4.8 matriks tridiagonal

matriks tridiagonal adalah matriks bujursangkar yang seluruh elemen bukan 0 (nol) berada

disekitar elemen diagonal, sementara elemen lainnya bernilai 0 (nol).

Contoh 10: matriks tridiagonal

A =

3 6 0 0

2 −4 1 0

0 5 8 −7

0 0 3 9

2.4.9 matriks diagonal dominan

matriks diagonal dominan adalah matriks bujursangkar yang memenuhi

|aii| >n∑

j=1,j 6=i

|aij| (2.4)

dengan i=1,2,3,..n. Coba perhatikan matriks-matriks berikut ini

A =

7 2 0

3 5 −1

0 5 −6

B =

6 4 −3

4 −2 0

−3 0 1

Page 38: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

20 BAB 2. MATRIKS DAN KOMPUTASI

Pada elemen diagonal aii matriks A, |7| > |2|+|0|, lalu |5| > |3|+|−1|, dan |−6| > |5|+|0|. Maka

matriks A disebut matriks diagonal dominan. Sekarang perhatikan elemen diagonal matriks B,

|6| < |4| + | − 3|, | − 2| < |4| + |0|, dan |1| < | − 3| + |0|. Dengan demikian, matriks B bukan

matriks diagonal dominan.

2.4.10 matriks positive-definite

Suatu matriks dikatakan positive-definite bila matriks tersebut simetrik dan memenuhi

xTAx > 0 (2.5)

Contoh 11: Diketahui matriks simetrik berikut

A =

2 −1 0

−1 2 −1

0 −1 2

untuk menguji apakah matriks A bersifat positive-definite, maka

xTAx =[

x1 x2 x3

]

2 −1 0

−1 2 −1

0 −1 2

x1

x2

x3

=[

x1 x2 x3

]

2x1 − x2

−x1 + 2x2 − x3

−x2 + 2x3

= 2x21 − 2x1x2 + 2x22 − 2x2x3 + 2x23

= x21 + (x21 − 2x1x2 + x22) + (x22 − 2x2x3 + x23) + x23

= x21 + (x1 − x2)2 + (x2 − x3)

2 + x23

Dari sini dapat disimpulkan bahwa matriks A bersifat positive-definite, karena memenuhi

x21 + (x1 − x2)2 + (x2 − x3)

2 + x23 > 0

kecuali jika x1=x2=x3=0.

2.5 Operasi matematika

2.5.1 Penjumlahan matriks

Operasi penjumlahan pada dua buah matriks hanya bisa dilakukan bila kedua matriks tersebut

berukuran sama. Misalnya matriks C2×3

C =

[

9 5 3

7 2 1

]

Page 39: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

2.5. OPERASI MATEMATIKA 21

dijumlahkan dengan matriks A2×3, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matriks D2×3

D = A + C

D =

[

3 8 5

6 4 7

]

+

[

9 5 3

7 2 1

]

=

[

3 + 9 8 + 5 5 + 3

6 + 7 4 + 2 7 + 1

]

=

[

12 13 8

13 6 8

]

Tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing matriks, operasi penjumlahan antara

matriks A2×3 dan C2×3, bisa juga dinyatakan dalam indeks masing-masing dari kedua matriks

tersebut, yaitu[

d11 d12 d13

d21 d22 d23

]

=

[

a11 + c11 a12 + c12 a13 + c13

a21 + c21 a22 + c22 a23 + c23

]

Dijabarkan satu persatu sebagai berikut

d11 = a11 + c11

d12 = a12 + c12

d13 = a13 + c13 (2.6)

d21 = a21 + c21

d22 = a22 + c22

d23 = a23 + c23

Dari sini dapat diturunkan sebuah rumus umum penjumlahan dua buah matriks

dij = aij + cij (2.7)

dengan i=1,2 dan j=1,2,3. Perhatikan baik-baik! Batas i hanya sampai angka 2 semen-

tara batas j sampai angka 3. Kemampuan Anda dalam menentukan batas indeks sangat

penting dalam dunia programming.

2.5.2 Komputasi penjumlahan matriks

Berdasarkan contoh operasi penjumlahan di atas, indeks j pada persamaan (2.7) lebih cepat

berubah dibanding indeks i sebagaimana ditulis pada 3 baris pertama dari Persamaan (2.6),

d11 = a11 + c11

d12 = a12 + c12

d13 = a13 + c13

Page 40: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

22 BAB 2. MATRIKS DAN KOMPUTASI

Jelas terlihat, ketika indeks i masih bernilai 1, indeks j sudah berubah dari nilai 1 sampai 3.

Hal ini membawa konsekuensi pada skrip pemrograman, dengan looping untuk indeks j harus

diletakkan di dalam looping indeks i. Aturan mainnya adalah yang looping-nya paling cepat

harus diletakkan paling dalam; sebaliknya, looping terluar adalah looping yang indeksnya

paling jarang berubah.

Bila Anda masih belum paham terhadap kalimat yang dicetak tebal, saya akan berikan con-

toh source code dasar yang nantinya akan kita optimasi selangkah demi selangkah. OK, kita

mulai dari source code paling mentah berikut ini.

1 clear all

2 clc

3

4 A=[3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A

5

6 C=[9 5 3; 7 2 1]; % inisialisasi matriks B

7

8 % ---proses penjumlahan matriks----

9 D(1,1)=A(1,1)+C(1,1);

10 D(1,2)=A(1,2)+C(1,2);

11 D(1,3)=A(1,3)+C(1,3);

12 D(2,1)=A(2,1)+C(2,1);

13 D(2,2)=A(2,2)+C(2,2);

14 D(2,3)=A(2,3)+C(2,3);

15

16 % ---menampilkan matriks A, C dan D----

17 A

18 C

19 D

Tanda % berfungsi untuk memberikan komentar atau keterangan. Komentar atau keterangan

tidak akan diproses oleh Matlab. Saya yakin Anda paham dengan logika yang ada pada bagian %

—proses penjumlahan matriks—- dalam source code di atas. Misalnya pada baris ke-9, elemen

d11 adalah hasil penjumlahan antara elemen a11 dan c11, sesuai dengan baris pertama Persamaan

2.6.

Tahap pertama penyederhanaan source code dilakukan dengan menerapkan perintah for -

end untuk proses looping. Source code tersebut berubah menjadi

1 clear all

2 clc

3

4 A=[3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A

5

6 C=[9 5 3; 7 2 1]; % inisialisasi matriks B

7

8 % ---proses penjumlahan matriks----

9 for j=1:3

10 D(1,j)=A(1,j)+C(1,j);

11 end

12

13 for j=1:3

14 D(2,j)=A(2,j)+C(2,j);

15 end

Page 41: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

2.5. OPERASI MATEMATIKA 23

16

17 % ---menampilkan matriks A, C dan D----

18 A

19 C

20 D

Pada baris ke-9 dan ke-13, saya mengambil huruf j sebagai nama indeks dengan j bergerak dari

1 sampai 3. Coba Anda pikirkan, mengapa j hanya bergerak dari 1 sampai 3?

Modifikasi tahap kedua adalah sebagai berikut

1 clear all

2 clc

3

4 A=[3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A

5

6 C=[9 5 3; 7 2 1]; % inisialisasi matriks B

7

8 % ---proses penjumlahan matriks----

9 i=1

10 for j=1:3

11 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);

12 end

13

14 i=2

15 for j=1:3

16 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);

17 end

18

19 % ---menampilkan matriks A, C dan D----

20 A

21 C

22 D

Saya gunakan indeks i pada baris ke-9 dan ke-14 yang masing-masing berisi angka 1 dan 2.

Dengan begitu indeks i bisa menggantikan angka 1 dan 2 yang semula ada di baris ke-11 dan

ke-16. Nah sekarang coba Anda perhatikan, statemen pada baris ke-10, ke-11 dan ke-12 sama

persis dengan statemen pada baris ke-15, ke-16 dan ke-17, sehingga mereka bisa disatukan

kedalam sebuah looping yang baru dengan i menjadi nama indeksnya.

1 clear all

2 clc

3

4 A=[3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A

5

6 C=[9 5 3; 7 2 1]; % inisialisasi matriks B

7

8 % ---proses penjumlahan matriks----

9 for i=1:2

10 for j=1:3

11 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);

12 end

13 end

14

15 % ---menampilkan matriks A, C dan D----

16 A

Page 42: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

24 BAB 2. MATRIKS DAN KOMPUTASI

17 C

18 D

Coba Anda pahami dari baris ke-9, mengapa indeks i hanya bergerak dari 1 sampai 2?

Source code di atas memang sudah tidak perlu dimodifikasi lagi, namun ada sedikit saran

untuk penulisan looping bertingkat dimana sebaiknya looping terdalam ditulis agak menjorok

kedalam seperti berikut ini

1 clear all

2 clc

3

4 A=[3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A

5

6 C=[9 5 3; 7 2 1]; % inisialisasi matriks B

7

8 % ---proses penjumlahan matriks----

9 for i=1:2

10 for j=1:3

11 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);

12 end

13 end

14

15 % ---menampilkan matriks A, C dan D----

16 A

17 C

18 D

Sekarang Anda lihat bahwa looping indeks j ditulis lebih masuk kedalam dibandingkan looping

indeks i. Semoga contoh ini bisa memperjelas aturan umum pemrograman dimana yang lo-

oping-nya paling cepat harus diletakkan paling dalam; sebaliknya, looping terluar adalah

looping yang indeksnya paling jarang berubah. Dalam contoh ini looping indeks j bergerak

lebih cepat dibanding looping indeks i.

2.5.3 Perkalian matriks

Operasi perkalian dua buah matriks hanya bisa dilakukan bila jumlah kolom matriks pertama

sama dengan jumlah baris matriks kedua. Jadi kedua matriks tersebut tidak harus berukuran

sama seperti pada penjumlahan dua matriks. Misalnya matriks A2×3 dikalikan dengan matriks

B3×2, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matriks E2×2

E2×2 = A2×3.B3×2

Page 43: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

2.5. OPERASI MATEMATIKA 25

E =

[

3 8 5

6 4 7

]

1 3

5 9

2 4

=

[

3.1 + 8.5 + 5.2 3.3 + 8.9 + 5.4

6.1 + 4.5 + 7.2 6.3 + 4.9 + 7.4

]

=

[

53 101

40 82

]

Tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing matriks, operasi perkalian antara ma-

triks A2×3 dan B3×2, bisa juga dinyatakan dalam indeks masing-masing dari kedua matriks ter-

sebut, yaitu

[

e11 e12

e21 e22

]

=

[

a11.b11 + a12.b21 + a13.b31 a11.b12 + a12.b22 + a13.b32

a21.b11 + a22.b21 + a23.b31 a21.b12 + a22.b22 + a23.b32

]

Bila dijabarkan, maka elemen-elemen matriks E2×2 adalah

e11 = a11.b11 + a12.b21 + a13.b31 (2.8)

e12 = a11.b12 + a12.b22 + a13.b32 (2.9)

e21 = a21.b11 + a22.b21 + a23.b31 (2.10)

e22 = a21.b12 + a22.b22 + a23.b32 (2.11)

Sejenak, mari kita amati perubahan pasangan angka-angka indeks yang mengiringi elemen e,

elemen a dan elemen b mulai dari persamaan (2.8) sampai persamaan (2.11). Perhatikan peru-

bahan angka-indeks-pertama pada elemen e seperti berikut ini

e1.. = ..

e1.. = ..

e2.. = ..

e2.. = ..

Pola perubahan yang sama akan kita dapati pada angka-indeks-pertama dari elemen a

e1.. = a1...b... + a1...b... + a1...b...

e1.. = a1...b... + a1...b... + a1...b...

e2.. = a2...b... + a2...b... + a2...b...

e2.. = a2...b... + a2...b... + a2...b...

Dengan demikian kita bisa mencantumkan huruf i sebagai pengganti angka-angka indeks yang

Page 44: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

26 BAB 2. MATRIKS DAN KOMPUTASI

polanya sama

ei.. = ai...b... + ai...b... + ai...b...

ei.. = ai...b... + ai...b... + ai...b...

ei.. = ai...b... + ai...b... + ai...b...

ei.. = ai...b... + ai...b... + ai...b...

dengan i bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 2, atau kita nyatakan i=1,2. Selanjut-

nya, masih dari persamaan (2.8) sampai persamaan (2.11), marilah kita perhatikan perubahan

angka-indeks-kedua pada elemen e dan elemen b,

ei1 = ai...b..1 + ai...b..1 + ai...b..1

ei2 = ai...b..2 + ai...b..2 + ai...b..2

ei1 = ai...b..1 + ai...b..1 + ai...b..1

ei2 = ai...b..2 + ai...b..2 + ai...b..2

Dengan demikian kita bisa mencantumkan huruf j sebagai pengganti angka-angka indeks yang

polanya sama

eij = ai...b..j + ai...b..j + ai...b..j

eij = ai...b..j + ai...b..j + ai...b..j

eij = ai...b..j + ai...b..j + ai...b..j

eij = ai...b..j + ai...b..j + ai...b..j

dengan j bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 2, atau kita nyatakan j=1,2. Selanjut-

nya, masih dari persamaan (2.8) sampai persamaan (2.11), mari kita perhatikan perubahan

angka-indeks-kedua elemen a dan angka-indeks-pertama elemen b, dimana kita akan dapati

pola sebagai berikut

eij = ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j

eij = ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j

eij = ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j

eij = ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j

Dan kita bisa mencantumkan huruf k sebagai pengganti angka-angka indeks yang polanya sama,

Page 45: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

2.5. OPERASI MATEMATIKA 27

dengan k bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 3, atau kita nyatakan k=1,2,3.

eij = aik.bkj + aik.bkj + aik.bkj

eij = aik.bkj + aik.bkj + aik.bkj

eij = aik.bkj + aik.bkj + aik.bkj

eij = aik.bkj + aik.bkj + aik.bkj

Kemudian secara sederhana dapat ditulis sebagai berikut

eij = aik.bkj + aik.bkj + aik.bkj (2.12)

Selanjutnya dapat ditulis pula formula berikut

eij =

3∑

k=1

aikbkj (2.13)

dengan i=1,2; j=1,2; dan k=1,2,3.

Berdasarkan contoh ini, maka secara umum bila ada matriks An×m yang dikalikan dengan ma-

triks Bm×p, akan didapatkan matriks En×p dengan elemen-elemen matriks E memenuhi

eij =m∑

k=1

aikbkj (2.14)

dengan i=1,2,. . . ,n; j=1,2. . . ,p; dan k=1,2. . . ,m.

2.5.4 Komputasi perkalian matriks

Mari kita mulai lagi dari source code paling dasar dari operasi perkalian matriks sesuai dengan

contoh di atas.

1 clear all

2 clc

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A

5 B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matriks B

6

7 % ---proses perkalian matriks----

8 E(1,1)=A(1,1)*B(1,1)+A(1,2)*B(2,1)+A(1,3)*B(3,1);

9 E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2);

10 E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1);

11 E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2);

12

13 % ---menampilkan matriks A, B dan E----

14 A

15 B

16 E

Page 46: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

28 BAB 2. MATRIKS DAN KOMPUTASI

Sejenak, mari kita amati dengan cermat statemen dari baris ke-9 sampai ke-12 sambil dikaitkan

dengan bentuk umum penulisan indeks pada perkalian matriks yaitu

eij = aik.bkj + aik.bkj + aik.bkj (2.15)

Dari sana ada 4 point yang perlu dicatat:

• elemen e memiliki indeks i dan indeks j dengan indeks j lebih cepat berubah dibanding

indeks i.

• pada baris statemen ke-8 sampai ke-11 ada tiga kali operasi perkalian dan dua kali operasi

penjumlahan yang semuanya melibatkan indeks i, indeks j dan indeks k. Namun indeks k

selalu berubah pada masing-masing perkalian. Jadi indeks k paling cepat berubah diban-

ding indeks i dan indeks j.

• elemen a memiliki indeks i dan indeks k dimana indeks k lebih cepat berubah dibanding

indeks i.

• elemen b memiliki indeks k dan indeks j dimana indeks k lebih cepat berubah dibanding

indeks j.

Tahapan modifikasi source code perkalian matriks tidak semudah penjumlahan matriks. Dan

mengajarkan logika dibalik source code perkalian matriks jauh lebih sulit daripada sekedar me-

modifikasi source code tersebut. Tapi akan saya coba semampu saya lewat tulisan ini walau

harus perlahan-lahan. Mudah-mudahan mudah untuk dipahami.

Saya mulai dengan memecah operasi pada statemen baris ke-8 yang bertujuan menghitung

nilai E(1, 1)

1 clear all

2 clc

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A

5 B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matriks B

6

7 % ---proses perkalian matriks----

8 % ---E(1,1) dihitung 3 kali

9 E(1,1)=A(1,1)*B(1,1);

10 E(1,1)=E(1,1)+A(1,2)*B(2,1);

11 E(1,1)=E(1,1)+A(1,3)*B(3,1);

12

13 % ---E(1,2); E(2,1); dan E(2,2) masih seperti semula

14 E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2);

15 E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1);

16 E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2);

17

18 % ---menampilkan matriks A, B dan E----

19 A

20 B

21 E

Agar baris ke-9 memiliki pola yang sama dengan baris ke-11 dan ke-12, upaya yang dilakukan

adalah

Page 47: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

2.5. OPERASI MATEMATIKA 29

1 clear all

2 clc

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A

5 B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matriks B

6

7 % ---proses perkalian matriks----

8 % ---E(1,1) dihitung 3 kali

9 E(1,1)=0;

10 E(1,1)=E(1,1)+A(1,1)*B(1,1);

11 E(1,1)=E(1,1)+A(1,2)*B(2,1);

12 E(1,1)=E(1,1)+A(1,3)*B(3,1);

13

14 % ---E(1,2); E(2,1); dan E(2,2) masih seperti semula

15 E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2);

16 E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1);

17 E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2);

18

19 % ---menampilkan matriks A, B dan E----

20 A

21 B

22 E

Dari sini kita bisa munculkan indeks k

1 clear all

2 clc

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A

5 B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matriks B

6

7 % ---proses perkalian matriks----

8 E(1,1)=0;

9 for k=1:3 % k bergerak dari 1 sampai 3

10 E(1,1)=E(1,1)+A(1,k)*B(k,1);

11 end

12

13 % ---E(1,2); E(2,1); dan E(2,2) masih seperti semula

14 E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2);

15 E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1);

16 E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2);

17

18 % ---menampilkan matriks A, B dan E----

19 A

20 B

21 E

Kemudian cara yang sama dilakukan pada E(1, 2), E(2, 1), dan E(2, 2). Anda mesti cermat dan

hati-hati dalam menulis angka-angka indeks!!!

1 clear all

2 clc

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A

5 B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matriks B

6

Page 48: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

30 BAB 2. MATRIKS DAN KOMPUTASI

7 % ---proses perkalian matriks----

8 E(1,1)=0;

9 for k=1:3

10 E(1,1)=E(1,1)+A(1,k)*B(k,1);

11 end

12

13 E(1,2)=0;

14 for k=1:3

15 E(1,2)=E(1,2)+A(1,k)*B(k,2);

16 end

17

18 E(2,1)=0;

19 for k=1:3

20 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1);

21 end

22

23 E(2,2)=0;

24 for k=1:3

25 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2);

26 end

27

28 % ---menampilkan matriks A, B dan E----

29 A

30 B

31 E

Inisialisasi elemen-elemen matriks E dengan angka nol, bisa dilakukan diawal proses perkalian

yang sekaligus memunculkan indeks i dan j untuk elemen E

1 clear all

2 clc

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A

5 B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matriks B

6

7 % ---proses perkalian matriks----

8 for i=1:2 % i bergerak dari 1 sampai 2

9 for j=1:2 % j bergerak dari 1 sampai 2

10 E(i,j)=0;

11 end

12 end

13

14 for k=1:3

15 E(1,1)=E(1,1)+A(1,k)*B(k,1);

16 end

17

18 for k=1:3

19 E(1,2)=E(1,2)+A(1,k)*B(k,2);

20 end

21

22 for k=1:3

23 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1);

24 end

25

26 for k=1:3

27 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2);

28 end

29

Page 49: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

2.5. OPERASI MATEMATIKA 31

30 % ---menampilkan matriks A, B dan E----

31 A

32 B

33 E

Sekarang coba Anda perhatikan statemen pada baris ke-15 dan ke-19, lalu bandingkan indeks

i dan indeks j pada elemen E. Indeks mana yang berubah? Ya. Jawabannya adalah indeks j.

Dengan demikian kita bisa munculkan indeks j

1 clear all

2 clc

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A

5 B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matriks B

6

7 % ---proses perkalian matriks----

8 for i=1:2 % i bergerak dari 1 sampai 2

9 for j=1:2 % j bergerak dari 1 sampai 2

10 E(i,j)=0;

11 end

12 end

13

14 j=1;

15 for k=1:3

16 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j);

17 end

18

19 j=2;

20 for k=1:3

21 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j);

22 end

23

24 for k=1:3

25 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1);

26 end

27

28 for k=1:3

29 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2);

30 end

31

32 % ---menampilkan matriks A, B dan E----

33 A

34 B

35 E

Lihatlah, statemen dari baris ke-15 sampai ke-17 memiliki pola yang sama dengan statemen

dari baris ke-20 sampai ke-22, sehingga mereka bisa disatukan kedalam looping indeks j

1 clear all

2 clc

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A

5 B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matriks B

6

7 % ---proses perkalian matriks----

8 for i=1:2 % i bergerak dari 1 sampai 2

Page 50: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

32 BAB 2. MATRIKS DAN KOMPUTASI

9 for j=1:2 % j bergerak dari 1 sampai 2

10 E(i,j)=0;

11 end

12 end

13

14 for j=1:2

15 for k=1:3

16 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j);

17 end

18 end

19

20 for k=1:3

21 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1);

22 end

23

24 for k=1:3

25 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2);

26 end

27

28 % ---menampilkan matriks A, B dan E----

29 A

30 B

31 E

Sekarang coba sekali lagi Anda perhatikan statemen pada baris ke-21 dan ke-25, lalu bandingk-

an indeks i dan indeks j pada elemen E. Indeks mana yang berubah? Ya. Jawabannya tetap

indeks j. Dengan demikian kita bisa munculkan juga indeks j disana

1 clear all

2 clc

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A

5 B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matriks B

6

7 % ---proses perkalian matriks----

8 for i=1:2 % i bergerak dari 1 sampai 2

9 for j=1:2 % j bergerak dari 1 sampai 2

10 E(i,j)=0;

11 end

12 end

13

14 for j=1:2

15 for k=1:3

16 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j);

17 end

18 end

19

20 j=1;

21 for k=1:3

22 E(2,j)=E(2,j)+A(2,k)*B(k,j);

23 end

24

25 j=2;

26 for k=1:3

27 E(2,j)=E(2,j)+A(2,k)*B(k,j);

28 end

29

Page 51: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

2.5. OPERASI MATEMATIKA 33

30 % ---menampilkan matriks A, B dan E----

31 A

32 B

33 E

Cermatilah, statemen dari baris ke-21 sampai ke-23 memiliki pola yang sama dengan statemen

dari baris ke-25 sampai ke-27, sehingga mereka pun bisa disatukan kedalam looping indeks j

1 clear all

2 clc

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A

5 B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matriks B

6

7 % ---proses perkalian matriks----

8 for i=1:2 % i bergerak dari 1 sampai 2

9 for j=1:2 % j bergerak dari 1 sampai 2

10 E(i,j)=0;

11 end

12 end

13

14 for j=1:2

15 for k=1:3

16 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j);

17 end

18 end

19

20 for j=1:2

21 for k=1:3

22 E(2,j)=E(2,j)+A(2,k)*B(k,j);

23 end

24 end

25

26 % ---menampilkan matriks A, B dan E----

27 A

28 B

29 E

Akhirnya kita sampai pada bagian akhir tahapan modifikasi. Perhatikan baris ke-16 dan ke-22.

Indeks i pada elemen E dan A bergerak dari 1 ke 2, sehingga indeks i bisa dimunculkan

1 clear all

2 clc

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A

5 B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matriks B

6

7 % ---proses perkalian matriks----

8 for i=1:2 % i bergerak dari 1 sampai 2

9 for j=1:2 % j bergerak dari 1 sampai 2

10 E(i,j)=0;

11 end

12 end

13

14 i=1;

15 for j=1:2

Page 52: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

34 BAB 2. MATRIKS DAN KOMPUTASI

16 for k=1:3

17 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j);

18 end

19 end

20

21 i=2;

22 for j=1:2

23 for k=1:3

24 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j);

25 end

26 end

27

28 % ---menampilkan matriks A, B dan E----

29 A

30 B

31 E

Sekarang, statemen dari baris ke-15 sampai ke-19 memiliki pola yang sama dengan statemen

dari baris ke-22 sampai ke-26. Mereka bisa disatukan oleh looping indeks i

1 clear all

2 clc

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A

5 B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matriks B

6

7 % ---proses perkalian matriks----

8 for i=1:2

9 for j=1:2

10 E(i,j)=0;

11 end

12 end

13

14 for i=1:2

15 for j=1:2

16 for k=1:3

17 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j);

18 end

19 end

20 end

21

22 % ---menampilkan matriks A, B dan E----

23 A

24 B

25 E

Inilah hasil akhir dari tahapan-tahapan modifikasi yang selanjutnya saya sebut sebagai proses

optimasi. Upaya yang baru saja saya perlihatkan, sebenarnya penuh dengan jebakan-jebakan

kesalahan, terutama jika Anda kurang cermat membaca indeks dan pola. Upaya seperti itu

memerlukan konsentrasi dan perhatian yang tidak sebentar. Upaya semacam itu tidak semudah

meng-copy hasil akhir optimasi. Walaupun bisa di-copy, namun saya menyarankan agar Anda

mencoba melakukan proses optimasi itu sekali lagi di komputer tanpa melihat catatan ini dan

tanpa bantuan orang lain. Kalau Anda gagal, cobalah berfikir lebih keras untuk mencari jalan

keluarnya. Jika masih tetap gagal, silakan lihat catatan ini sebentar saja sekedar untuk mencari

Page 53: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

2.5. OPERASI MATEMATIKA 35

tahu dimana letak kesalahannya. Hanya dengan cara begitu ilmu programming ini akan bisa

menyatu pada diri Anda.

2.5.5 Perkalian matriks dan vektor-kolom

Operasi perkalian antara matriks dan vektor-kolom sebenarnya sama saja dengan perkalian an-

tara dua matriks. Hanya saja ukuran vektor-kolom boleh dibilang spesial yaitu m x 1, dengan

m merupakan jumlah baris sementara jumlah kolomnya hanya satu. Misalnya matriks A, pa-

da contoh 1, dikalikan dengan vektor-kolom x yang berukuran 3 x 1 atau disingkat dengan

mengatakan vektor-kolom x berukuran 3, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan vektor-kolom y

y = Ax

y =

[

3 8 5

6 4 7

]

2

3

4

=

[

3.2 + 8.3 + 5.4

6.2 + 4.3 + 7.4

]

=

[

50

52

]

Sekali lagi, tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing, operasi perkalian antara

matriks A dan vektor-kolom x, bisa juga dinyatakan dalam indeksnya masing-masing, yaitu

[

y1

y2

]

=

[

a11.x1 + a12.x2 + a13.x3

a21.x1 + a22.x2 + a23.x3

]

Bila dijabarkan, maka elemen-elemen vektor-kolom y adalah

y1 = a11.x1 + a12.x2 + a13.x3

y2 = a21.x1 + a22.x2 + a23.x3

kemudian secara sederhana dapat diwakili oleh rumus berikut

yi =

3∑

j=1

aijxj

dengan i=1,2.

Berdasarkan contoh tersebut, secara umum bila ada matriks A berukuran n x m yang dikalikan

dengan vektor-kolom x berukuran m, maka akan didapatkan vektor-kolom y berukuran n x 1

Page 54: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

36 BAB 2. MATRIKS DAN KOMPUTASI

dengan elemen-elemen vektor-kolom y memenuhi

yi =

m∑

j=1

aijxj (2.16)

dengan i=1,2,. . . ,n.

2.5.6 Komputasi perkalian matriks dan vektor-kolom

Mari kita mulai lagi dari source code paling dasar dari operasi perkalian antara matriks dan

vektor-kolom sesuai dengan contoh di atas

1 clear all

2 clc

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A

5 x = [2; 3; 4]; % inisialisasi vektor x

6

7 % ---proses perkalian matriks dan vektor----

8 y(1,1)=A(1,1)*x(1,1)+A(1,2)*x(2,1)+A(1,3)*x(3,1);

9 y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1);

10

11 % ---menampilkan matriks A, B dan E----

12 A

13 x

14 y

Sejenak, mari kita amati dengan cermat statemen dari baris ke-8 dan ke-9 sambil dikaitkan

dengan bentuk umum penulisan indeks pada perkalian antara matriks dan vektor-kolom yaitu

yi1 = aij.xj1 + aij.xj1 + aij .xj1 (2.17)

Dari sana ada 3 point yang perlu dicatat:

• elemen y dan elemen x sama-sama memiliki indeks i yang berpasangan dengan angka 1.

• pada baris statemen ke-8 dan ke-9 ada tiga kali operasi perkalian dan dua kali operasi

penjumlahan yang semuanya melibatkan indeks i dan indeks j. Namun indeks j sela-

lu berubah pada masing-masing perkalian. Jadi indeks j lebih cepat berubah dibanding

indeks i.

• elemen a memiliki indeks i dan indeks j dengan indeks j lebih cepat berubah dibanding

indeks i.

Kita mulai dengan memecah operasi pada statemen baris ke-8 yang bertujuan menghitung

nilai y(1, 1)

1 clear all

2 clc

3

Page 55: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

2.5. OPERASI MATEMATIKA 37

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A

5 x = [2; 3; 4]; % inisialisasi vektor x

6

7 % ---proses perkalian matriks dan vektor----

8 y(1,1)=A(1,1)*x(1,1);

9 y(1,1)=y(1,1)+A(1,2)*x(2,1);

10 y(1,1)=y(1,1)+A(1,3)*x(3,1);

11

12 y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1);

13

14 % ---menampilkan matriks A, B dan E----

15 A

16 x

17 y

Agar baris ke-8 memiliki pola yang sama dengan baris ke-9 dan ke-10, upaya yang dilakukan

adalah

1 clear all

2 clc

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A

5 x = [2; 3; 4]; % inisialisasi vektor x

6

7 % ---proses perkalian matriks dan vektor----

8 y(1,1)=0;

9 y(1,1)=y(1,1)+A(1,1)*x(1,1);

10 y(1,1)=y(1,1)+A(1,2)*x(2,1);

11 y(1,1)=y(1,1)+A(1,3)*x(3,1);

12

13 y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1);

14

15 % ---menampilkan matriks A, B dan E----

16 A

17 x

18 y

Dari sini kita bisa munculkan indeks j

1 clear all

2 clc

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A

5 x = [2; 3; 4]; % inisialisasi vektor x

6

7 % ---proses perkalian matriks dan vektor----

8 y(1,1)=0;

9 for j=1:3

10 y(1,1)=y(1,1)+A(1,j)*x(j,1);

11 end

12

13 y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1);

14

15 % ---menampilkan matriks A, B dan E----

16 A

17 x

18 y

Page 56: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

38 BAB 2. MATRIKS DAN KOMPUTASI

Dengan cara yang sama, baris ke-13 dimodifikasi menjadi

1 clear all

2 clc

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A

5 x = [2; 3; 4]; % inisialisasi vektor x

6

7 % ---proses perkalian matriks dan vektor----

8 y(1,1)=0;

9 for j=1:3

10 y(1,1)=y(1,1)+A(1,j)*x(j,1);

11 end

12

13 y(2,1)=0;

14 for j=1:3

15 y(2,1)=y(2,1)+A(2,j)*x(j,1);

16 end

17

18 % ---menampilkan matriks A, B dan E----

19 A

20 x

21 y

Inisialisasi vektor y dengan angka nol dapat dilakukan diawal proses perkalian, sekaligus me-

munculkan indeks i

1 clear all

2 clc

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A

5 x = [2; 3; 4]; % inisialisasi vektor x

6

7 % ---proses perkalian matriks dan vektor----

8 for i=1:2

9 y(i,1)=0;

10 end

11

12 for j=1:3

13 y(1,1)=y(1,1)+A(1,j)*x(j,1);

14 end

15

16 for j=1:3

17 y(2,1)=y(2,1)+A(2,j)*x(j,1);

18 end

19

20 % ---menampilkan matriks A, B dan E----

21 A

22 x

23 y

Kemudian, untuk menyamakan pola statemen baris ke-13 dan ke-17, indeks i kembali dimun-

culkan

1 clear all

2 clc

Page 57: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

2.6. PENUTUP 39

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A

5 x = [2; 3; 4]; % inisialisasi vektor x

6

7 % ---proses perkalian matriks dan vektor----

8 for i=1:2

9 y(i,1)=0;

10 end

11

12 i=1;

13 for j=1:3

14 y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1);

15 end

16

17 i=2;

18 for j=1:3

19 y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1);

20 end

21

22 % ---menampilkan matriks A, B dan E----

23 A

24 x

25 y

Akhir dari proses optimasi adalah sebagai berikut

1 clear all

2 clc

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matriks A

5 x = [2; 3; 4]; % inisialisasi vektor x

6

7 % ---proses perkalian matriks dan vektor----

8 for i=1:2

9 y(i,1)=0;

10 end

11

12 for i=1:2

13 for j=1:3

14 y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1);

15 end

16 end

17

18 % ---menampilkan matriks A, B dan E----

19 A

20 x

21 y

2.6 Penutup

Demikianlah catatan singkat dan sederhana mengenai jenis-jenis matriks dasar dan operasi pen-

jumlahan dan perkalian yang seringkali dijumpai dalam pengolahan data secara numerik. Se-

muanya akan dijadikan acuan atau referensi pada pembahasan topik-topik numerik yang akan

datang.

Page 58: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

40 BAB 2. MATRIKS DAN KOMPUTASI

2.7 Latihan

1. Diketahui matriks A, matriks B, dan vektor x sebagai berikut

A =

1 3 −6 −2

5 9 7 5.6

2 4 8 −1

2.3 1.4 0.8 −2.3

B =

8 1 4 21

3 10 5 0.1

7 −2 9 −5

2.7 −12 −8.9 5.7

x =

0.4178

−2.9587

56.3069

8.1

(a) Buatlah skrip untuk menyelesaikan penjumlahan matriks A dan matriks B.

(b) Buatlah skrip untuk menyelesaikan perkalian matriks A dan matriks B.

(c) Buatlah skrip untuk menyelesaikan perkalian matriks A dan vektor x.

(d) Buatlah skrip untuk menyelesaikan perkalian matriks B dan vektor x.

Page 59: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

Bab 3

Fungsi

Objektif :

⊲ Mengenalkan fungsi internal.

⊲ Membuat fungsi ekstenal.

⊲ Membuat fungsi ekternal untuk penjumlahan matrik.

⊲ Membuat fungsi ekternal untuk perkalian matrik.

3.1 Fungsi internal

Fungsi internal adalah fungsi bawaan yang sudah tersedia di dalam Matlab; contohnya: sqrt(),

sind() dan log10(). Ketika kita hendak mencari akar kuadrat dari angka 49, maka cukup dengan

mengetikkan

>> sqrt(49)

ans =

7

Untuk mencari nilai sinus dari 30C

>> sind(30)

ans =

0.5000

dan untuk mendapatkan nilai logaritma berbasis 10 dari angka 10000

>> log10(10000)

ans =

4

Selain sqrt(), sind() dan log10(), masih banyak lagi fungsi internal yang dimiliki Matlab. Adanya

fungsi internal sangat memudahkan kita dalam membuat script dengan Matlab.

41

Page 60: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

42 BAB 3. FUNGSI

3.2 Fungsi eksternal

Fungsi-fungsi yang tidak tersedia di matlab dapat dibuat sendiri sebagai fungsi eksternal. Ca-

ra membuat fungsi eksternal tidak sulit. Misalnya kita ingin membuat fungsi eksternal untuk

menghitung jarak vertikal dari gerak jatuh bebas yang persamaannya adalah

h =1

2gt2 (3.1)

dimana h = adalah jarak vertikal, t adalah waktu (detik) dan konstanta gravitasi g = 9, 8m/dt2.

Bukalah window Matlab editor, kemudian ketik script berikut

1 function y = gjb(t)

2

3 g = 9.8;

4 y = 0.5*g*t^2;

lalu simpan dengan nama gjb.m. Sampai disini, kita sudah selesai membuat fungsi eksternal

dengan nama gjb(). Sebagai bukti, misalnya kita ingin hitung jarak jatuh setelah 2 detik, coba

jalankan perintah berikut di window command

>> gjb(2)

ans =

19.6000

diperoleh jawaban sebesar 19,6 meter.

Contoh lain, persamaan lintasan gerak parabola adalah sebagai berikut

y = (tan θo)x− gx2

2(vo cos θo)2(3.2)

Jika vo = 5 m/dt dan θo = 30 sementara variabel x berubah-ubah, maka fungsi eksternal-nya

dapat ditulis sebagai berikut

1 function y = parabol(x)

2

3 vo = 5;

4 g = 9.8;

5 tetha = 30;

6

7 y = tand(tetha)*x - (g*x.^2)/(2*(vo*cosd(tetha))^2);

Sekarang fungsi eksternal parabol() siap digunakan

>> x = 1.2;

>> parabol(x)

ans =

0.3165

Page 61: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

3.2. FUNGSI EKSTERNAL 43

Seperti fungsi lainnya, ia bisa menerima input berupa angka yang banyak, misalnya

>> x=0:0.01:2;

>> y=parabol(x);

>> plot(x,y)

>> xlabel(’Jangkauan (meter)’);

>> ylabel(’Tinggi (meter)’);

>> title(’Lintasan Gerak Parabola’)

0 0.5 1 1.5 20

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Jangkauan (meter)

Tin

gg

i (m

ete

r)

Lintasan Gerak Parabola

Gambar 3.1: Kurva lintasan gerak parabola yang dihasilkan oleh fungsi eksternal parabol()

Dalam contoh di atas, fungsi parabol() dibuat hanya bisa menerima sebuah input, yaitu x. Jika

inputnya mau dimodifikasi dengan memasukkan faktor sudut awal dan kecepatan awal, maka

fungsi eksternal diubah menjadi

1 function y = parabol(x,vo,theta)

2

3 g = 9.8;

4

5 y = tand(theta)*x - (g*x.^2)/(2*(vo*cosd(theta))^2);

Contoh pemanfaatan fungsi eksternal yang telah dimodifikasi tersebut adalah

>> vo = 5;

>> theta = 30;

>> x=0:0.01:2;

>> y=parabol(x,vo,theta);

>> plot(x,y)

>> xlabel(’Jangkauan (meter)’);

>> ylabel(’Tinggi (meter)’);

>> title(’Lintasan Gerak Parabola’)

Page 62: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

44 BAB 3. FUNGSI

3.3 Fungsi eksternal pada operasi matrik

Pada bab terdahulu kita sudah melakukan proses optimasi penjumlahan matrik dengan source

code akhir seperti ini

1 clear all

2 clc

3

4 A=[3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A

5 C=[9 5 3; 7 2 1]; % inisialisasi matrik B

6

7 % ---proses penjumlahan matrik----

8 for i=1:2

9 for j=1:3

10 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);

11 end

12 end

13

14 % ---menampilkan matrik A, C dan D----

15 A

16 C

17 D

Pertanyaan yang segera muncul adalah apakah source code tersebut bisa digunakan untuk me-

nyelesaikan penjumlahan matrik yang dimensinya bukan 2x3 ? Misalnya

D = A + C

D =

4 3 8 6

5 1 2 3

6 7 9 1

+

2 6 7 2

9 1 3 8

5 8 4 7

Tentu saja bisa, asal indeks i bergerak dari 1 sampai 3 dan indeks j bergerak dari 1 sampai 4.

Lihat source code berikut

1 clear all

2 clc

3

4 A=[4 3 8 6; 5 1 2 3; 6 7 9 1]; % inisialisasi matrik A

5 C=[2 6 7 2; 9 1 3 8; 5 8 4 7]; % inisialisasi matrik B

6

7 % ---proses penjumlahan matrik----

8 for i=1:3

9 for j=1:4

10 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);

11 end

12 end

13

14 % ---menampilkan matrik A, C dan D----

15 A

16 C

17 D

Page 63: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

3.3. FUNGSI EKSTERNAL PADA OPERASI MATRIK 45

Walaupun bisa digunakan, namun cara modifikasi seperti itu sangat tidak fleksibel dan beresiko

salah jika kurang teliti. Untuk menghindari resiko kesalahan dan agar lebih fleksibel, source

code tersebut perlu dioptimasi sedikit lagi menjadi

1 clear all

2 clc

3

4 A=[4 3 8 6; 5 1 2 3; 6 7 9 1]; % inisialisasi matrik A

5 C=[2 6 7 2; 9 1 3 8; 5 8 4 7]; % inisialisasi matrik B

6

7 % ---proses penjumlahan matrik----

8 dim=size(A);

9 n=dim(1);

10 m=dim(2);

11 for i=1:n

12 for j=1:m

13 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);

14 end

15 end

16

17 % ---menampilkan matrik A, C dan D----

18 A

19 C

20 D

Perhatikan, ada tambahan 3 statemen yaitu mulai dari baris ke-8 sampai ke-10. Sementara

baris ke-11 dan ke-12 hanya mengalami sedikit perubahan. Statemen di baris ke-8 bermaksud

mendeklarasikan variabel dim untuk diisi oleh hasil perhitungan fungsi internal yang bernama

size. Matrik A dijadikan parameter input fungsi size. Fungsi size berguna untuk menghitung

jumlah baris dan jumlah kolom dari matrik A. Hasilnya adalah dim(1) untuk jumlah baris dan

dim(2) untuk jumlah kolom. Pada baris ke-9, variabel n dideklarasikan untuk menerima infor-

masi jumlah baris dari dim(1), sementara variabel m diisi dengan informasi jumlah kolom dari

dim(2) pada baris ke-10. Adapun baris ke-11 dan ke-12 hanya mengubah angka indeks batas

atas, masing-masing menjadi n dan m.

Sekarang kalau kita balik lagi menghitung penjumlahan matrik dari contoh sebelumnya yang

berukuran 2x3, maka source code akan seperti ini

1 clear all

2 clc

3

4 A=[3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A

5 C=[9 5 3; 7 2 1]; % inisialisasi matrik B

6

7 % ---proses penjumlahan matrik----

8 dim=size(A);

9 n=dim(1);

10 m=dim(2);

11 for i=1:n

12 for j=1:m

13 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);

14 end

15 end

Page 64: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

46 BAB 3. FUNGSI

16

17 % ---menampilkan matrik A, C dan D----

18 A

19 C

20 D

Ajaib bukan!? Tidak ada statemen yang berubah kecuali hanya pada baris ke-4 dan ke-5. Per-

ubahan itu tidak bisa dihindari karena memang di kedua baris itulah deklarasi elemen-elemen

matrik A dan matrik C dilakukan.

3.4 Fungsi eksternal penjumlahan matrik

Saatnya kita memasuki topik tentang pembuatan fungsi eksternal. Dari source code yang terakhir

tadi, mari kita ambil bagian proses penjumlahan matrik-nya saja

1 dim=size(A);

2 n=dim(1);

3 m=dim(2);

4 for i=1:n

5 for j=1:m

6 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);

7 end

8 end

Kita akan jadikan potongan source code ini menjadi fungsi eksternal, dengan menambahkan

statemen function seperti ini

1 function D=jumlah(A,C)

2 dim=size(A);

3 n=dim(1);

4 m=dim(2);

5 for i=1:n

6 for j=1:m

7 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);

8 end

9 end

kemudian ia harus di-save dengan nama jumlah.m. Sampai dengan langkah ini kita telah mem-

buat fungsi eksternal dan diberi nama fungsi jumlah. Sederhana sekali bukan? Untuk menguji

kerja fungsi eksternal tersebut, coba jalankan source code berikut ini

1 clear all

2 clc

3

4 A=[3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A

5 C=[9 5 3; 7 2 1]; % inisialisasi matrik B

6

7 % ---proses penjumlahan matrik----

8 D=jumlah(A,C)

9

10 % ---menampilkan matrik A, C dan D----

11 A

Page 65: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

3.5. FUNGSI EKSTERNAL PERKALIAN MATRIK 47

12 C

13 D

atau anda jalankan source code yang berikut ini

1 clear all

2 clc

3

4 A=[4 3 8 6; 5 1 2 3; 6 7 9 1]; % inisialisasi matrik A

5 C=[2 6 7 2; 9 1 3 8; 5 8 4 7]; % inisialisasi matrik B

6

7 % ---proses penjumlahan matrik----

8 D=jumlah(A,C)

9

10 % ---menampilkan matrik A, C dan D----

11 A

12 C

13 D

atau coba iseng-iseng anda ganti matrik-nya menjadi

1 clear all

2 clc

3

4 V=[4 3; 5 1]; % inisialisasi matrik V

5 W=[2 6; 9 3]; % inisialisasi matrik W

6

7 % ---proses penjumlahan matrik----

8 U=jumlah(V,W)

9

10 % ---menampilkan matrik V, W dan U----

11 W

12 V

13 U

Periksa hasilnya, betul atau salah? Pasti betul! Kesimpulannya adalah setelah fungsi eksternal

berhasil anda dapatkan, maka seketika itu pula anda tidak perlu menggubrisnya lagi. Bahkan

anda tidak perlu mengingat nama matrik aslinya yang tertulis di fungsi jumlah yaitu matrik

A, matrik C dan matrik D. Ditambah lagi, source code anda menjadi terlihat lebih singkat dan

elegan. Dan kini, perhatian anda bisa lebih difokuskan pada deklarasi matrik-nya saja.

3.5 Fungsi eksternal perkalian matrik

Mari kita beralih ke perkalian matrik. Kita akan membuat fungsi eksternal untuk perkalian

matrik. Berikut ini adalah source code perkalian matrik hasil akhir optimasi yang telah ditulis

panjang lebar pada bab sebelumnya

1 clear all

2 clc

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A

5 B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B

Page 66: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

48 BAB 3. FUNGSI

6

7 % ---proses perkalian matrik----

8 for i=1:2

9 for j=1:2

10 E(i,j)=0;

11 end

12 end

13

14 for i=1:2

15 for j=1:2

16 for k=1:3

17 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j);

18 end

19 end

20 end

21

22 % ---menampilkan matrik A, B dan E----

23 A

24 B

25 E

Source code tersebut digunakan untuk menghitung perkalian matrik berikut

E2×2 = A2×3 · B3×2

Dan kita bisa sepakati simbol indeks m, n, dan p untuk men-generalisir dimensi matrik

Em×n = Am×p · Bp×n

Dengan demikian, source code tersebut dapat dioptimasi menjadi

1 clear all

2 clc

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A

5 B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B

6

7 % ---proses perkalian matrik----

8 dim=size(A);

9 m=dim(1);

10 p=dim(2);

11 dim=size(B);

12 n=dim(2);

13 for i=1:m

14 for j=1:n

15 E(i,j)=0;

16 end

17 end

18

19 for i=1:m

20 for j=1:n

21 for k=1:p

22 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j);

23 end

24 end

25 end

Page 67: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

3.6. FUNGSI EKSTERNAL PERKALIAN MATRIK DAN VEKTOR-KOLOM 49

26

27 % ---menampilkan matrik A, B dan E----

28 A

29 B

30 E

Selanjutnya kita ambil bagian proses perkalian matrik nya untuk dibuat fungsi eksternal

1 function E=kali(A,B)

2 dim=size(A);

3 m=dim(1);

4 p=dim(2);

5 dim=size(B);

6 n=dim(2);

7 for i=1:m

8 for j=1:n

9 E(i,j)=0;

10 end

11 end

12

13 for i=1:m

14 for j=1:n

15 for k=1:p

16 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j);

17 end

18 end

19 end

lalu di-save dengan nama kali.m, maka terciptalah fungsi eksternal yang bernama fungsi kali.

Kemudian coba anda uji fungsi kali tersebut dengan menjalankan source code berikut

1 clear all

2 clc

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A

5 B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B

6

7 % ---proses perkalian matrik----

8 E = kali(A,B)

9

10 % ---menampilkan matrik A, B dan E----

11 A

12 B

13 E

Silakan anda periksa hasil perhitungannya. Pasti betul! Anda bisa mencoba perkalian matrik

lainnya dengan menggunakan source code tersebut. Bahkan anda bisa mengganti nama matrik-

nya untuk selain A, B dan E.

3.6 Fungsi eksternal perkalian matrik dan vektor-kolom

Mari kita beralih ke perkalian matrik dan vektor-kolom. Kita akan membuat fungsi eksternal

untuk perkalian matrik dan vektor-kolom. Berikut ini adalah source code perkalian matrik dan

vektor-kolom hasil akhir optimasi yang telah ditulis panjang lebar pada bab sebelumnya

Page 68: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

50 BAB 3. FUNGSI

1 clear all

2 clc

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A

5 x = [2; 3; 4]; % inisialisasi vektor x

6

7 % ---proses perkalian matrik dan vektor----

8 for i=1:2

9 y(i,1)=0;

10 end

11

12 for i=1:2

13 for j=1:3

14 y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1);

15 end

16 end

17

18 % ---menampilkan matrik A, B dan E----

19 A

20 x

21 y

Source code tersebut digunakan untuk menghitung perkalian matrik dan vektor-kolom berikut

y2×1 = A2×3 · x3×1

Dan kita bisa sepakati simbol indeks m dan n untuk men-generalisir dimensi matrik

ym×1 = Am×n · xn×1

Dengan demikian, source code tersebut dapat dioptimasi menjadi

1 clear all

2 clc

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A

5 x = [2; 3; 4]; % inisialisasi vektor x

6

7 % ---proses perkalian matrik dan vektor----

8 dim=size(A);

9 m=dim(1);

10 n=dim(2);

11 for i=1:m

12 y(i,1)=0;

13 end

14

15 for i=1:m

16 for j=1:n

17 y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1);

18 end

19 end

20

21 % ---menampilkan matrik A, B dan E----

22 A

23 x

Page 69: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

3.7. PENUTUP 51

24 y

Selanjutnya kita ambil bagian proses perkalian matrik dan vektor nya untuk dibuat fungsi eks-

ternal

1 function y=kalivektor(A,x)

2 dim=size(A);

3 m=dim(1);

4 n=dim(2);

5 for i=1:m

6 y(i,1)=0;

7 end

8

9 for i=1:m

10 for j=1:n

11 y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1);

12 end

13 end

lalu di-save dengan nama kalivektor.m, maka terciptalah fungsi eksternal yang bernama fungsi

kalivektor. Kemudian coba anda uji fungsi kalivektor tersebut dengan menjalankan source code

berikut

1 clear all

2 clc

3

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A

5 x = [2; 3; 4]; % inisialisasi vektor x

6

7 % ---proses perkalian matrik dan vektor----

8 y = kalivektor(A,x);

9

10 % ---menampilkan matrik A, B dan E----

11 A

12 x

Silakan anda periksa hasil perhitungannya. Pasti betul! Anda bisa mencoba perkalian matrik dan

vektor-kolom dengan angka elemen yang berbeda menggunakan source code tersebut. Bahkan

anda bisa mengganti nama matrik dan vektor nya untuk selain A, x dan y.

3.7 Penutup

Ada tiga pilar yang harus dikuasai oleh seorang calon programmer. Pertama, ia harus tahu

bagaimana cara mendeklarasikan data. Kedua, ia harus tahu bagaimana mendayagunakan flow-

control, yang dalam bab ini dan bab sebelumnya menggunakan pasangan for-end. Dan ketiga,

ia harus bisa membuat fungsi eksternal.

Tidak ada yang melarang anda beralih ke Fortran, atau ke Delphi, atau ke C++, atau ke

Python, atau bahasa pemrograman apa saja. Saran saya, ketika anda berkenalan dengan suatu

bahasa pemrograman, yang pertama kali anda lakukan adalah menguasai ketiga pilar itu. Insya

Allah ia akan membantu anda lebih cepat mempelajari bahasa pemrograman yang sedang anda

geluti.

Page 70: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

52 BAB 3. FUNGSI

Penguasaan atas ketiga pilar tersebut akan mengarahkan programmer untuk membuat so-

urce code yang bersifat modular atau extention. Ini adalah modal untuk memasuki apa yang

disebut object oriented programming.

Sesungguhnya Matlab memiliki banyak fungsi internal yang bisa langsung dipakai. Anda

bisa coba sendiri suatu saat nanti. Kekuatan bahasa pemrograman salah satunya terletak pada

seberapa kaya dia memilik banyak fungsi. Library adalah kata lain untuk fungsi. Jadi, suatu

bahasa pemrograman akan semakin unggul bila dia memiliki semakin banyak library. Menurut

saya, yang terdepan saat ini masih dimenangkan oleh Python. Dengan Python, source code anda

akan bisa berjalan di Windows, Linux dan Machintos serta beberapa platform lainnya.

3.8 Latihan

1. Diketahui gelombang elektromagnetik bergerak dari medium 1 (permitivitas ǫ1 = 1) ke

medium 2 (permitivitas, ǫ2 = 80) dengan sudut datang (θI) bervariasi dari 0 o hingga 70o. Persamaan koefisien refleksi gelombang elektromagnetik adalah sbb:

EoR

EoI=

(

α− β

α+ β

)

=

ǫ2ǫ1cos θI −

ǫ2ǫ1

− sin2 θI

ǫ2ǫ1cos θI +

ǫ2ǫ1

− sin2 θI

(a) Buatlah script untuk menghitung koefisien refleksi dengan interval sudut per 5 o

(b) Buatlah gambar grafik Koefisien Refleksi vs Sudut

(c) Buatlah fungsi eksternal untuk perhitungan koefisien refleksi tersebut.

2. Diketahui gelombang elektromagnetik bergerak dari medium 1 (permitivitas ǫ1 = 1) ke

medium 2 (permitivitas, ǫ2 = 80) dengan sudut datang (θI) bervariasi dari 0 o hingga 70o. Persamaan koefisien transmisi gelombang elektromagnetik adalah sbb:

EoT

EoI=

(

2

α+ β

)

=2

ǫ2ǫ1cos θI +

ǫ2ǫ1

− sin2 θI

(a) Buatlah script untuk menghitung koefisien transmisi dengan interval sudut per 5 o

(b) Buatlah gambar grafik Koefisien Transmisi vs Sudut

(c) Buatlah fungsi eksternal untuk perhitungan koefisien transmisi tersebut.

3. Soal berikut ini berkaitan dengan superposisi gelombang

(a) Buatlah script untuk mem-plot gelombang sinusoidal berfrekuensi 200 Hz dengan

amplitudo 10 dalam fungsi waktu (t) dari 0 ms sampai 10 ms.

(b) Lanjutkan script yang tadi dengan menambahkan script baru untuk menggambar ge-

lombang sinusoidal berfrekuensi 500 Hz dengan amplitudo 6; kemudian di-plot pada

grafik yang sama.

Page 71: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

3.8. LATIHAN 53

(c) Lanjutkan script yang tadi dengan menambahkan script baru untuk menggambar ge-

lombang sinusoidal berfrekuensi 1000 Hz dengan amplitudo 6; kemudian di-plot

pada grafik yang sama.

(d) Lanjutkan script yang tadi dengan menambahkan script baru untuk menggambar su-

perposisi ketiga gelombang di atas; kemudian di-plot pada grafik yang sama.

(e) Buatlah fungsi eksternal hanya untuk ketiga persamaan gelombang-nya saja. Semen-

tara perhitungan superposisi dan plot grafik tetap ditulis pada main program.

Page 72: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

54 BAB 3. FUNGSI

Page 73: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

Bab 4

Aplikasi dalam Sains

Objektif :

⊲ Mengaplikasikan teori yang diuraikan pada Bab sebelumnya.

⊲ Menganalisis respon gaya gravitasi.

⊲ Menganalisis respon gaya potensial listrik.

⊲ Menganalisis respon gaya gravitasi dari banyak buah bola.

Keterampilan paling mendasar yang harus dimiliki oleh seorang programmer aplikasi sains

ada 4 yaitu mampu melakukan inisialisasi variabel, mampu membuat proses berulang (looping

process) dan mampu membuat fungsi eksternal serta mampu memvisualisasi dalam bentuk gra-

fik. Pada Bab ini, akan dihadirkan contoh proses pembuatan suatu script/program setahap demi

setahap, dimulai dari program yang paling sederhana, lalu dimodifikasi berulang kali, hingga

akhirnya diperoleh program final yang paling efektif dan efisien dilengkapi fungsi eksternal.

Kasus-kasus yang dihadirkan disini adalah respon gravitasi, respon potensial listrik, serta seis-

mik

4.1 Metode gravitasi

Gaya gravitasi diperkenalkan pertama kali oleh Newton. Gaya yang muncul antara dua benda

yang masing-masing bermassa m1 dan m2 berbanding lurus dengan perkalian massa dua benda

dan berbanding terbalik dengan jarak kuadrat r2 yang memisahkan pusat massa kedua benda

tersebut.

F = Gm1m2

r2(4.1)

Dalam satuan Standar Internasional konstanta gravitasi G bernilai 6.672 × 10−11 N m2/kg2;

sementara dalam cgs, G = 6.672 × 10−8 Dyne cm2/g2.

Gaya gravitasi menyebabkan benda kedua m2 merasakan percepatan gravitasi akibat penga-

ruh benda pertama m1, yaitu

g = Gm1

r2(4.2)

55

Page 74: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

56 BAB 4. APLIKASI DALAM SAINS

Jika m1 adalah massa bumi Me, g menjadi percepatan gravitasi bumi, yaitu

g = GMe

R2e

(4.3)

dimana Re adalah jari-jari bumi. Percepatan gravitasi pertama kali diukur oleh Galileo di Mena-

ra Miring Pisa. Nilai g dipermukaan bumi adalah 980 cm/dt2. Sebagai penghargaan terhadap

Galileo, 1 cm/dt2 disebut 1 galileo atau 1 gal. Gravimeter adalah alat ukur percepatan gravitasi

bumi di permukaan bumi. Sensitifitas gravimeter memiliki orde 10−5 gal atau 0.01 mgal.

Gambar 4.1 memperlihatkan diagram vektor respon gravitasi bumi g dan respon gravitasi

yang berasal dari suatu benda anomali δg dengan komponen horizontal δgx dan komponen ver-

tikal δgz . Karena δgz jauh lebih kecil dibanding g, maka sudut θ tidak signifikan atau relatif

sangat kecil sehingga bisa diasumsikan δg ≈ δgz . Artinya respon gravitasi komponen vertikal

dari benda anomali dianggap sama persis atau mendekati respon gravitasi yang arah-nya me-

nuju benda anomali tersebut. Sehingga, total percepatan gravitasi dalam arah vertikal adalah

g + δgz , terdiri atas percepatan gravitasi bumi dan percepatan gravitasi akibat benda anomali.

Gambar 4.1: Vektor percepatan gravitasi dalam arah vertikal akibat benda anomali dan akibat

bumi

Pusat massa sebuah bola, berjari-jari a dengan densitas ρ, berada pada kedalaman z memiliki

pengaruh gaya gravitasi pada benda yang ada disekitarnya. Alat gravimeter diletakkan di titik P

sebagaimana tampak pada Gambar 4.2. Komponen vertikal percepatan gravitasi δgz dirumuskan

sebagai berikut

δgz = Gm

r2cos θ = G

m

r2z

r= G

mz

r3(4.4)

Page 75: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

4.1. METODE GRAVITASI 57

karena m = ρV dan r =√x2 + z2, sementara V = 4

3πa3, maka

δgz = G4

3πa3ρ

z

(x2 + z2)3/2(4.5)

atau disederhanakan menjadi

δgz = ka3ρz

(x2 + z2)3/2(4.6)

dimana k = 43Gπ

Gambar 4.2: Benda anomali berupa bola berada dibawah permukaan bumi

Sebuah bola berjari-jari 50 m dengan densitas 2500 kg/m3 berada di kedalaman 3000 m.

Besarnya percepatan gravitasi yang terukur oleh gravimeter di titik stasiun yang berjarak hori-

zontal x = 200 m dihitung menggunakan script Matlab berikut

1 G = 6.672*1e-11; % konstanta gravitasi

2 k = (4*G*pi)/3;

3 a = 50; % jari-jari bola

4 rho = 2500; % densitas bola

5 z = 3000; % kedalaman pusat bola

6 x = 200; % jarak horizontal

7

8 dgz = (k*rho*a^3*z)/(x^2+z^2)^(3/2);

Pada bagian awal script, perlu ditambahkan clc dan clear all

1 clc

2 clear all

3

4 G = 6.672*1e-11; % konstanta gravitasi

5 k = (4*G*pi)/3;

6 a = 50; % jari-jari bola

7 rho = 2500; % densitas bola

8 z = 3000; % kedalaman pusat bola

9 x = 200; % jarak horizontal

10

11 dgz = (k*rho*a^3*z)/(x^2+z^2)^(3/2);

Page 76: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

58 BAB 4. APLIKASI DALAM SAINS

Agar lebih informatif, perlu ditambahkan keterangan tujuan program serta mempertegas bagian

inisialisasi dan perhitungan dgz

1 % PROGRAM Menghitung percepatan gravitasi pada arah vertikal

2 % Depok, 2 Maret 2013

3

4 clc

5 clear all

6

7 % ========== inisialisasi variabel ====================

8 G = 6.672*1e-11; % konstanta gravitasi

9 k = (4*G*pi)/3;

10 a = 50; % jari-jari bola

11 rho = 2500; % densitas bola

12 z = 3000; % kedalaman pusat bola

13 x = 200; % jarak horizontal

14

15 % ========== menghitung dgz ===========================

16 dgz = (k*rho*a^3*z)/(x^2+z^2)^(3/2);

Ketika terdapat 2 variasi jarak horizontal, maka dgz dihitung 2 kali

1 % PROGRAM Menghitung percepatan gravitasi pada arah vertikal

2 % Depok, 2 Maret 2013

3

4 clc

5 clear all

6

7 % ========== inisialisasi variabel ====================

8 G = 6.672*1e-11; % konstanta gravitasi

9 k = (4*G*pi)/3;

10 a = 50; % jari-jari bola

11 rho = 2500; % densitas bola

12 z = 3000; % kedalaman pusat bola

13

14 % ------- Ada variasi x1 dan x2 -----------------------

15 x1 = 200; % jarak horizontal x1

16 x2 = 300; % jarak horizontal x2

17

18 % ======== dgz dihitung 2 kali ========================

19 dgz1 = (k*rho*a^3*z)/(x1^2+z^2)^(3/2);

20 dgz2 = (k*rho*a^3*z)/(x2^2+z^2)^(3/2);

Variasi jarak horizontal disimpan dalam sebuah variabel, yaitu variabel x. Hasil perhitungan

dgz juga disimpan dalam sebuah variabel, yaitu variabel dgz

1 % PROGRAM Menghitung percepatan gravitasi pada arah vertikal

2 % Depok, 2 Maret 2013

3

4 clc

5 clear all

6

7 % ========== inisialisasi variabel ====================

8 G = 6.672*1e-11; % konstanta gravitasi

9 k = (4*G*pi)/3;

Page 77: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

4.1. METODE GRAVITASI 59

10 a = 50; % jari-jari bola

11 rho = 2500; % densitas bola

12 z = 3000; % kedalaman pusat bola

13

14 % ------- Ada 2 variasi disimpan dalam variabel x -----

15 x = [200 300]; % variasi jarak horizontal x

16

17 % ======== dgz dihitung 2 kali melibatkan indeks ======

18 dgz(1) = (k*rho*a^3*z)/(x(1)^2+z^2)^(3/2);

19 dgz(2) = (k*rho*a^3*z)/(x(2)^2+z^2)^(3/2);

Jika terdapat 3 variasi jarak horizontal, maka variabel x diisi dengan 3 angka. Adapun perhi-

tungan dgz mengikuti jumlah angka pada variabel x

1 % PROGRAM Menghitung percepatan gravitasi pada arah vertikal

2 % Depok, 2 Maret 2013

3

4 clc

5 clear all

6

7 % ========== inisialisasi variabel ====================

8 G = 6.672*1e-11; % konstanta gravitasi

9 k = (4*G*pi)/3;

10 a = 50; % jari-jari bola

11 rho = 2500; % densitas bola

12 z = 3000; % kedalaman pusat bola

13

14 % ------- Ada 3 variasi disimpan dalam variabel x -----

15 x = [-100 200 300]; % variasi jarak horizontal x

16

17 % ======== dgz dihitung 3 kali melibatkan indeks ======

18 dgz(1) = (k*rho*a^3*z)/(x(1)^2+z^2)^(3/2);

19 dgz(2) = (k*rho*a^3*z)/(x(2)^2+z^2)^(3/2);

20 dgz(3) = (k*rho*a^3*z)/(x(3)^2+z^2)^(3/2);

Selanjutnya looping process diterapkan untuk perhitungan dgz yang berulang 3 kali

1 % PROGRAM Menghitung percepatan gravitasi pada arah vertikal

2 % Depok, 2 Maret 2013

3

4 clc

5 clear all

6

7 % ========== inisialisasi variabel ====================

8 G = 6.672*1e-11; % konstanta gravitasi

9 k = (4*G*pi)/3;

10 a = 50; % jari-jari bola

11 rho = 2500; % densitas bola

12 z = 3000; % kedalaman pusat bola

13

14 % ------- Ada 3 variasi disimpan dalam variabel x -----

15 x = [-100 200 300]; % variasi jarak horizontal x

16

17 % ======== perhitungan dgz menggunakan looping for-end ===================

18 % -------- karena x menyimpan 3 angka, maka looping dilakukan 3 kali -----

19 for j = 1:3

Page 78: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

60 BAB 4. APLIKASI DALAM SAINS

20 dgz(j) = (k*rho*a^3*z)/(x(j)^2+z^2)^(3/2);

21 end

Banyaknya angka pada variabel x dapat dihitung secara otomatis menggunakan perintah le-

ngth()

1 % PROGRAM Menghitung percepatan gravitasi pada arah vertikal

2 % Depok, 2 Maret 2013

3

4 clc

5 clear all

6

7 % ========== inisialisasi variabel ====================

8 G = 6.672*1e-11; % konstanta gravitasi

9 k = (4*G*pi)/3;

10 a = 50; % jari-jari bola

11 rho = 2500; % densitas bola

12 z = 3000; % kedalaman pusat bola

13

14 % ------- Ada 3 variasi disimpan dalam variabel x -----

15 x = [-100 200 300]; % variasi jarak horizontal x

16 n = length(x); % menghitung jumlah angka pada variabel x

17

18 % ======== perhitungan dgz menggunakan looping for-end ===================

19 % -------- angka 3 diganti dengan n --------------------------------------

20 for j = 1:n

21 dgz(j) = (k*rho*a^3*z)/(x(j)^2+z^2)^(3/2);

22 end

Selanjutnya, jarak horizontal dapat divariasikan dengan angka yang lebih banyak lagi, misalnya

x dimulai dari -10000 hingga 10000 dengan interval 10 m.

1 % PROGRAM Menghitung percepatan gravitasi pada arah vertikal

2 % Depok, 2 Maret 2013

3

4 clc

5 clear all

6

7 % ========== inisialisasi variabel ====================

8 G = 6.672*1e-11; % konstanta gravitasi

9 k = (4*G*pi)/3;

10 a = 50; % jari-jari bola

11 rho = 2500; % densitas bola

12 z = 3000; % kedalaman pusat bola

13 x = -10000:10:10000; % variasi jarak horizontal x

14 n = length(x); % menghitung jumlah angka pada variabel x

15

16 % ======== perhitungan dgz menggunakan looping for-end ===================

17 for j = 1:n

18 dgz(j) = (k*rho*a^3*z)/(x(j)^2+z^2)^(3/2);

19 end

Sebagai tahap akhir, tampilkan grafik x vs dgz dengan perintah plot()

1 % PROGRAM Menghitung percepatan gravitasi pada arah vertikal

2 % Depok, 2 Maret 2013

Page 79: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

4.1. METODE GRAVITASI 61

3

4 clc

5 clear all

6

7 % ========== inisialisasi variabel ====================

8 G = 6.672*1e-11; % konstanta gravitasi

9 k = (4*G*pi)/3;

10 a = 50; % jari-jari bola

11 rho = 2500; % densitas bola

12 z = 3000; % kedalaman pusat bola

13 x = -10000:10:10000; % variasi jarak horizontal x

14 n = length(x); % menghitung jumlah angka pada variabel x

15

16 % ======== perhitungan dgz menggunakan looping for-end ===================

17 for j = 1:n

18 dgz(j) = (k*rho*a^3*z)/(x(j)^2+z^2)^(3/2);

19 end

20

21 % ======== visualisasi grafik x vs dgz ===================================

22 plot(x,dgz);

23 xlabel(’jarak horizontal’);

24 ylabel(’percepatan gravitasi’);

25 grid on;

Tambahkan perintah close all pada bagian awal script agar setiap kali script dijalankan ia akan

menghapus semua grafik

1 % PROGRAM Menghitung percepatan gravitasi pada arah vertikal

2 % Depok, 2 Maret 2013

3

4 clc

5 clear all

6 close all

7

8 % ========== inisialisasi variabel ====================

9 G = 6.672*1e-11; % konstanta gravitasi

10 k = (4*G*pi)/3;

11 a = 50; % jari-jari bola

12 rho = 2500; % densitas bola

13 z = 3000; % kedalaman pusat bola

14 x = -10000:10:10000; % variasi jarak horizontal x

15 n = length(x); % menghitung jumlah angka pada variabel x

16

17 % ======== perhitungan dgz menggunakan looping for-end ===================

18 for j = 1:n

19 dgz(j) = (k*rho*a^3*z)/(x(j)^2+z^2)^(3/2);

20 end

21

22 % ======== visualisasi grafik x vs dgz ===================================

23 plot(x,dgz);

24 xlabel(’jarak horizontal’);

25 ylabel(’percepatan gravitasi’);

26 grid on;

Berikutnya adalah pembuatan fungsi eksternal untuk perhitungan dgz. Mula-mula script per-

hitungan dgz diatur kembali agar memperjelas bagian mana yang akan di copy-paste menjadi

fungsi eksternal

Page 80: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

62 BAB 4. APLIKASI DALAM SAINS

1 % PROGRAM Menghitung percepatan gravitasi pada arah vertikal

2 % Depok, 2 Maret 2013

3

4 clc

5 clear all

6 close all

7

8 % ========== inisialisasi variabel ====================

9 G = 6.672*1e-11; % konstanta gravitasi

10 k = (4*G*pi)/3;

11 a = 50; % jari-jari bola

12 rho = 2500; % densitas bola

13 z = 3000; % kedalaman pusat bola

14 x = -10000:10:10000; % variasi jarak horizontal x

15

16 % ========== perhitungan dgz ==========================

17 n = length(x); % menghitung jumlah angka pada variabel x

18 for j = 1:n

19 dgz(j) = (k*rho*a^3*z)/(x(j)^2+z^2)^(3/2);

20 end

21

22 % ======== visualisasi grafik x vs dgz ===================================

23 plot(x,dgz);

24 xlabel(’jarak horizontal’);

25 ylabel(’percepatan gravitasi’);

26 grid on;

Sederatan baris perintah yang berisi perhitungan dgz di-copy-paste kedalam file fungsi eksternal

yang diberinama gravbola()

1 function dgz = gravbola(k,rho,a,z,x)

2

3 n = length(x); % menghitung jumlah angka pada variabel x

4 for j = 1:n

5 dgz(j) = (k*rho*a^3*z)/(x(j)^2+z^2)^(3/2);

6 end

Sekarang didapatkan script final perhitungan dgz dengan variasi jarak horizontal

1 % PROGRAM Menghitung percepatan gravitasi pada arah vertikal

2 % Depok, 2 Maret 2013

3

4 clc

5 clear all

6 close all

7

8 % ========== inisialisasi variabel ====================

9 G = 6.672*1e-11; % konstanta gravitasi

10 k = (4*G*pi)/3;

11 a = 50; % jari-jari bola

12 rho = 2500; % densitas bola

13 z = 3000; % kedalaman pusat bola

14 x = -10000:10:10000; % variasi jarak horizontal x

15

16 % ========== perhitungan dgz menggunakan fungsi gravbola =================

17 dgz = gravbola(k,rho,a,z,x)

Page 81: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

4.1. METODE GRAVITASI 63

18

19 % ======== visualisasi grafik x vs dgz ===================================

20 plot(x,dgz);

21 xlabel(’jarak horizontal’);

22 ylabel(’percepatan gravitasi’);

23 grid on;

−1 −0.5 0 0.5 1

x 104

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1x 10

−8

jarak horizontal

pe

rce

pa

tan

gra

vita

si

Gambar 4.3: Variasi nilai percepatan gravitasi terhadap perubahan jarak horizontal

Page 82: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

64 BAB 4. APLIKASI DALAM SAINS

Page 83: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

Bab 5

Mencari Solusi Satu Variabel

Objektif :

⊲ Mengetahui definisi akar

⊲ Mengenalkan metode Bisection

⊲ Mengenalkan metode Newton

⊲ Mengaplikasikan metode Bisection dan Newton

5.1 Definisi akar

Bab ini akan dimulai dengan mengetengahkan sebuah permasalahan klasik yaitu mencari akar

suatu persamaan matematika atau fungsi. Yang dimaksud akar adalah titik perpotongan antara

kurva fungsi f(x) dengan sumbu x, sehingga nilai f(x) sama dengan nol. Perhatikan Gambar

5.1 dan Gambar 5.2 berikut ini

5.2 Metode bisection

Apakah anda masih ingat rumus abc yang pernah diajarkan di bangku SMP? Itu adalah rumus

untuk mencari akar dari fungsi kuadrat. Lewat pendekatan numerik, ada dua cara alternatif

untuk menemukan akar dari suatu fungsi, yaitu metode bisection dan metode Newton. Dengan

kedua metode tersebut, anda dapat menemukan akar dari sembarang fungsi; tidak hanya ter-

batas pada fungsi kuadrat saja.

Langkah-langkah penerapan metode bisection adalah sebagai berikut:

• Tentukan a = batas kiri dan b = batas kanan, kemudian hitung p dengan rumus

p =a+ b

2(5.1)

• jika f(p) = 0, maka p adalah akar, perhitungan selesai

• jika f(p) dikali f(a) lebih besar dari nol, maka a = p

65

Page 84: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

66 BAB 5. MENCARI SOLUSI SATU VARIABEL

−5 0 5−5

0

5

10

15

20

25

x

f(x

)

f(x) = x2 − 4

Gambar 5.1: Fungsi dengan dua akar yang ditandai oleh lingkaran kecil berwarna merah, yaitu

pada x = −2 dan x = 2

• jika f(p) dikali f(a) lebih kecil dari nol, maka b = p

Agar lebih memperjelas cara kerja metode bisection, saya demonstrasikan untuk mencari

salah satu akar dari fungsi kuadrat f(x) = x2 + 3x − 2. Gambar 5.3 memperlihatkan kurva

fungsi tersebut yang didalamnya terdapat 2 nilai akar.

Dengan metode bisection, akar yang di sebelah kanan akan dicari. Secara visual terlihat

bahwa posisi akar tersebut ada diantara 0 dan 1. Ketika perhitungan baru dimulai, batas kiri

adalah a = 0. Batas kanan adalah b = 1. Sementara p adalah posisi tengah antara a dan b.

Posisi p belum berada pada titik perpotongan dengan sumbu x; sehingga saat ini nilai p bukan

nilai akar (lihat Gambar 5.4). Absis titik p ditentukan oleh

p =a+ b

2=

0 + 1

2= 0, 5

Langkah berikutnya adalah mengevaluasi perkalian f(a) dan f(p). Terlihat dari Gambar 5.4,

nilai f(a) adalah negatif, demikian juga dengan f(p), maka f(a) dikali f(p) hasilnya positif.

Berdasarkan hasil ini, nilai a yang lama (angka 0) harus diganti dengan nilai p = 0,5. Adapun

nilai b tidak berubah sama sekali, yaitu 1. Ini adalah perhitungan iterasi pertama.

Iterasi kedua dimulai dengan menetapkan a dan b. Berdasarkan hasil iterasi pertama, nilai

a = 0,5 dan nilai b = 1. Berikutnya menentukan nilai p kembali menggunakan

p =a+ b

2=

0, 5 + 1

2= 0, 75

Langkah berikutnya adalah mengevaluasi kembali perkalian f(a) dan f(p). Terlihat dari Gambar

5.5, nilai f(a) adalah negatif, sebaliknya nilai f(p) positif, maka f(a) dikali f(p) hasilnya negatif.

Berdasarkan hasil ini, nilai b yang lama (angka 1) harus diganti dengan nilai p = 0,75. Adapun

nilai a tidak berubah sama sekali, yaitu 0,5. Ini adalah perhitungan iterasi kedua.

Page 85: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

5.2. METODE BISECTION 67

−5 0 5−150

−100

−50

0

50

100

150

x

f(x)

Fungsi f(x) = x3 + 2

Gambar 5.2: Fungsi dengan satu akar yang ditandai oleh lingkaran kecil berwarna merah, yaitu

pada x = −1, 2599

Iterasi ketiga dimulai dengan menetapkan a dan b. Berdasarkan hasil iterasi kedua, nilai a

= 0,5 dan nilai b = 0,75. Berikutnya menentukan nilai p kembali menggunakan

p =a+ b

2=

0, 5 + 0, 75

2= 0, 625

Langkah berikutnya adalah mengevaluasi kembali perkalian f(a) dan f(p). Terlihat dari Gambar

5.6, nilai f(a) adalah negatif, adapun nilai f(p) tetap positif, maka f(a) dikali f(p) hasilnya

negatif. Berdasarkan hasil ini, nilai b yang lama (angka 0,75) harus diganti dengan nilai p =

0,625. Adapun nilai a tidak berubah sama sekali, yaitu 0,5. Ini adalah perhitungan iterasi

ketiga.

Jika iterasi dilanjutkan hingga iterasi ke-20, maka f(p) akan bervariasi dengan kecende-

rungan menuju nol. Sementara nilai p cenderung menuju ke nilai kestabilan tertentu. Pada saat

f(p) = 0, nilai akar adalah nilai p. Tabel 5.1 memperlihatkan nilai p cenderung stabil pada p =

0,5615. Sehingga dapat disimpulkan salah satu akar dari f(x) = x2 + 3x− 2 adalah 0,5615.

Tabel 5.1: Perubahan nilai f(p) dan p hingga iterasi ke-20

iterasi 1 2 3 4 5 ... 18 19 20

f(p) -0,25 0,8125 0,2656 0,0039 -0,124 ... -1,1×10−5 -3,1×10−6 7,7×10−7

p 0,5 0,75 0,625 0,5625 0,5313 ... 0,5615 0,5615 0,5615

Gambar 5.7 memperlihatkan secara grafik mengenai pola perubahan f(p) dan p seiring de-

ngan bertambahnya iterasi.

Page 86: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

68 BAB 5. MENCARI SOLUSI SATU VARIABEL

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−5

0

5

10

15

20

25

30

x

f(x

)

Kurva f(x)=x2+3x−2

Gambar 5.3: Fungsi kuadrat yang memiliki 2 akar

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

f(x

)

Kurva f(x)=x2+3x−2

a= b=

f(p)

f(b)

f(a)

Gambar 5.4: Awal perhitungan: batas kiri adalah a = 0, batas kanan adalah b = 1; sementara padalah posisi tengah antara a dan b

Page 87: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

5.2. METODE BISECTION 69

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x

f(x

)

Kurva f(x)=x2+3x−2

f(a)

f(b)

f(p)

Gambar 5.5: Iterasi kedua: batas kiri adalah a = 0,5, batas kanan adalah b = 1; sementara padalah posisi tengah antara a dan b

5.2.1 Script Matlab metode bisection

Script Matlab untuk aplikasi metode bisection telah ditulis seperti di bawah ini. Script ini perlu

dukungan fungsi eksternal f.m untuk menyimpan persamaan matematika. Variabel toleransi

perlu diberikan untuk membatasi jumlah iterasi. Nilai toleransi berisi batasan nilai terkecil yang

dapat dianggap bernilai nol.

1 % PROGRAM APLIKASI METODE BISECTION

2 % Program ini memerlukan fungsi eksternal f.m

3 % berisi persamaan matematika yang akan dicari akarnya.

4

5 clc; clear all; close all

6

7 % ----- Menggambar Kurva -----------------------------------------

8 x = -4:0.001:4;

9 y = f(x);

10 plot(x,y); grid on; hold on;

11 xlabel(’nilai x’); ylabel(’nilai f(x)’);

12 title(’\fontsize14 Kurva f(x) = x^2 + 3x - 2’);

13

14 % ----- Mencari akar dengan Metode Bisection ---------------------

15 batas_kiri = 0; % angka batas kiri

16 batas_kanan = 1; % angka batas kanan

17 a = batas_kiri;

18 b = batas_kanan;

19 itermaks = 100; % iterasi maksimum

20 toleransi = 1e-7; % toleransi nilai yang dianggap sudah nol

21

22 for j = 1:itermaks

23 p = (a+b)/2;

Page 88: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

70 BAB 5. MENCARI SOLUSI SATU VARIABEL

0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

x

f(x

)

Kurva f(x)=x2+3x−2

f(a)

f(p)

f(b)

Gambar 5.6: Iterasi ketiga: batas kiri adalah a = 0,5, batas kanan adalah b = 0,75; sementara

p adalah posisi tengah antara a dan b

24 if abs(f(p)) < toleransi

25 break; % perintah untuk selesai/berhenti

26 end

27 if f(p)*f(a) > 0

28 a = p;

29 else

30 b = p;

31 end

32 end

33

34 plot(p,f(p),’ro’); % menampilkan lingkaran merah menunjukkan akar

35 akar = p % tidak diakhiri dengan titik-koma

36 jumlah_iterasi = j % agar bisa muncul di akhir program

Fungsi eksternal f.m adalah sebagai berikut

1 function y = f(x)

2

3 n = length(x);

4 for j = 1:n

5 y(j) = x(j)^2 + 3*x(j) - 2;

6 end

Fungsi eksternal f.m juga bisa dituliskan dalam bentuk lain, yaitu

1 function y = f(x)

2

3 y = x.^2 + 3*x - 2;

Bentuk penulisan seperti di atas, tidak bisa diterapkan dalam bahasa Fortran ataupun bahasa C.

Page 89: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

5.2. METODE BISECTION 71

0 5 10 15 20 25−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Jumlah iterasi

nila

i f(

p)

Perubahan nilai f(p) vs iterasi

0 5 10 15 20 250.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

Jumlah iterasi

nila

i p

Perubahan nilai p vs iterasi

Gambar 5.7: Perubahan f(p) dan p terhadap bertambahnya iterasi

Page 90: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

72 BAB 5. MENCARI SOLUSI SATU VARIABEL

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−5

0

5

10

15

20

25

30

nilai x

nila

i f(

x)

Kurva f(x) = x2 + 3x − 2

akar = 0,5615

Gambar 5.8: Nilai akar ditandai oleh lingkaran kecil pada kurva yang memotong sumbu-x

5.3 Metode Newton

Metode Newton sangat populer dan powerfull untuk mencari akar suatu fungsi yang kontinyu.

Metode ini melakukan perhitungan secara berulang-ulang (iterasi) sampai diperoleh nilai akhir

yang akurat; yang tidak lain adalah nilai akar itu sendiri. Formulasi metode Newton adalah

xbaru = xlama −f(xlama)

f ′(xlama)(5.2)

atau dinyatakan dalam xn dan xn−1 adalah

xn = xn−1 −f(xn−1)

f ′(xn−1), n ≥ 1 (5.3)

5.3.1 Contoh 1: penerapan metode Newton

Mari kita terapkan metode ini untuk mencari akar dari fungsi f(x) = x2 − 4, dimana kurva

fungsinya sudah tergambar pada Gambar 5.1. Fungsi tersebut mempunyai turunan pertama

f ′(x) = 2x. Untuk mencari akar-akar-nya, langkah penyelesaian dimulai dengan menentukan

nilai awal, misalnya xlama = −4. Kemudian persamaan (5.2) diterapkan untuk mendapatkan

Page 91: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

5.3. METODE NEWTON 73

xbaru

xbaru = xlama −f(xlama)

f ′(xlama)

= xlama −x2lama − 4

2xlama

= −4− (−4)2 − 4

2(−4)

= −2, 5000

Walaupun xbaru telah didapat, belum tentu nilai xbaru tersebut adalah akar f(x). Perlu ada

kriteria untuk memastikan apakah nilai xbaru merupakan akar yang dicari atau bukan. Saat ini

saya ingin ulangi lagi proses perhitungan di atas dengan terlebih dahulu memindahkan xbaru

(hasil perhitungan pertama tadi) menjadi xlama. Hasil pengulangan perhitungan ini disebut

hasil iterasi ke-2.

xbaru = xlama −f(xlama)

f ′(xlama)

= xlama −x2lama − 4

2xlama

= −2, 5000 − (−2, 5000)2 − 4

2(−2, 5000)

= −2, 0500

Saya ulangi perhitungannya sekali lagi sebagai iterasi ke-3

xbaru = xlama −f(xlama)

f ′(xlama)

= xlama −x2lama − 4

2xlama

= −2, 0500 − (−2, 0500)2 − 4

2(−2, 0500)

= −2, 0006

Selanjutnya, iterasi ke-4

xbaru = xlama −f(xlama)

f ′(xlama)

= xlama −x2lama − 4

2xlama

= −2, 0006 − (−2, 0006)2 − 4

2(−2, 0006)

= −2, 0000

Page 92: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

74 BAB 5. MENCARI SOLUSI SATU VARIABEL

sedangkan pada iterasi ke-5

xbaru = xlama −f(xlama)

f ′(xlama)

= xlama −x2lama − 4

2xlama

= −2, 0000 − (−2, 0000)2 − 4

2(−2, 0000)

= −2, 0000

Tampak jelas hasil iterasi ke-4 dan iterasi ke-5 tidak berbeda. Kalau dilanjutkan iterasi ke-6,

dipastikan hasilnya akan tetap sama, yaitu -2,0000. Kesimpulannya, akar dari f(x) = x2 − 4

adalah pada x = −2, 0000.

Tetapi bukankah akar dari f(x) = x2 − 4 ada dua (lihat Gambar 5.1)? Hasil perhitungan di

atas baru menemukan salah satu akarnya saja. Lalu bagaimana dengan akar yang satunya lagi?

Ok, untuk akar yang lainnya, kita tetap bisa mengandalkan metode Newton, namun nilai

awalnya perlu diubah. Misalnya saya pilih nilai awalnya xlama = 1. Maka hasil iterasi ke-1

yang akan didapat adalah

xbaru = xlama −f(xlama)

f ′(xlama)

= xlama −x2lama − 4

2xlama

= 1− (1)2 − 4

2(1)

= 2, 5000

Saya lanjut ke iterasi ke-2, hasilnya

xbaru = xlama −f(xlama)

f ′(xlama)

= xlama −x2lama − 4

2xlama

= 2, 5000 − (2, 5000)2 − 4

2(2, 5000)

= 2, 0500

Saya ulangi perhitungannya sekali lagi sebagai iterasi ke-3

xbaru = xlama −f(xlama)

f ′(xlama)

= xlama −x2lama − 4

2xlama

= 2, 0500 − (2, 0500)2 − 4

2(2, 0500)

= 2, 0006

Page 93: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

5.3. METODE NEWTON 75

Selanjutnya, iterasi ke-4

xbaru = xlama −f(xlama)

f ′(xlama)

= xlama −x2lama − 4

2xlama

= 2, 0006 − (2, 0006)2 − 4

2(2, 0006)

= 2, 0000

sedangkan pada iterasi ke-5

xbaru = xlama −f(xlama)

f ′(xlama)

= xlama −x2lama − 4

2xlama

= 2, 0000 − (2, 0000)2 − 4

2(2, 0000)

= 2, 0000

Tampak jelas hasil iterasi ke-4 dan iterasi ke-5 tidak berbeda. Kalau dilanjutkan iterasi ke-6,

dipastikan hasilnya akan tetap sama, yaitu 2,0000. Kesimpulannya, akar dari f(x) = x2 − 4

selain x = −2, 0000 adalah x = 2, 0000.

5.3.2 Script metode Newton untuk contoh 1

Script metode Newton terbagi tiga, yaitu script utama, script fungsi f(x) yang dinyatakan dalam

fungsi eksternal, dan script turunan pertama f ′(x) yang juga dinyatakan dalam fungsi eksternal.

Ini adalah script utamanya

1 clear all

2 close all

3 clc

4

5 itermaks = 1000; % batas iterasi maksimum

6 epsilon = 10^(-5); % batas toleransi

7 xlama = 1; % nilai awal

8

9 for k = 1:itermaks

10 xbaru = xlama - (fs(xlama))/ft(xlama);

11 if abs(xbaru-xlama) < epsilon

12 break;

13 end

14 xlama = xbaru;

15 end

dan ini adalah script fungsi eksternal untuk menyatakan f(x)

1 function y = fs(x)

2 y = x.^2 - 4;

Page 94: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

76 BAB 5. MENCARI SOLUSI SATU VARIABEL

sementara script fungsi eksternal untuk menyatakan f ′(x) adalah

1 function y = ft(x)

2 y = 2*x;

5.3.3 Contoh 2: penerapan metode Newton

Sekarang kita beralih ke fungsi f(x) = x3 + 2. Turunan pertama fungsi ini adalah f ′(x) = 3x2.

Maka script untuk fungsi-nya dan untuk turunan pertama-nya, masing-masing adalah

1 function y = fs(x)

2 y = x.^3 + 2;

dan

1 function y = ft(x)

2 y = 3*x.^2;

Sedangkan script utamanya tetap sama, kecuali hanya merubah nilai awalnya saja. Misalnya

anda pilih nilai awalnya xlama = 0.5, maka script utamanya ditulis sebagai berikut

1 clear all

2 close all

3 clc

4

5 itermaks = 1000; % batas iterasi maksimum

6 epsilon = 10^(-5); % batas toleransi

7 xlama = 0.5; % nilai awal

8

9 for k = 1:itermaks

10 xbaru = xlama - (fs(xlama))/ft(xlama);

11 if abs(xbaru-xlama) < epsilon

12 break;

13 end

14 xlama = xbaru;

15 end

jika script ini dijalankan, maka akan diperoleh akar pada x = −1.2599. Coba iseng-iseng anda

ganti nilai awalnya dengan angka 4,5 atau -3,21 atau angka-angka lainnya, apakah akarnya

tetap x = −1.2599 ? Jawabannya tentu iya. Tapi cobalah anda ganti nilai awalnya dengan

angka 1, apakah akarnya tetap x = −1.2599 ? Jawabannya pasti tidak. Mengapa bisa begitu?

Mari kita periksa formulasi metode Newton. Ketika anda memilih xlama = 1, maka iterasi

pertamanya akan seperti ini

xbaru = xlama −f(xlama)

f ′(xlama)

= xlama −x3lama + 2

3x2lama

= 1− (1)2 + 2

3(1)2

= 0

Page 95: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

5.3. METODE NEWTON 77

jika hasil ini diumpankan pada iterasi ke-2, maka f ′(x) akan bernilai nol. Efeknya adalah kom-

puter akan menemukan operasi pembagian dimana bagian penyebutnya (dalam hal ini turunan

pertamanya) bernilai nol, sehingga komputer akan mengeluarkan pesan kesalahan devided by

zero. Seketika komputer langsung hang (berhenti memproses perhitungan). Perlu ada modifi-

kasi untuk mengantisipasi hal ini. Salah satu caranya adalah dengan mengubah angka xlama

jika ditemukan nilai turunan pertama bernilai nol. Berikut ini script utama dengan modifikasi

1 clear all

2 close all

3 clc

4

5 itermaks = 1000; % batas iterasi maksimum

6 epsilon = 10^(-5); % batas toleransi

7 xlama = 1; % nilai awal

8

9 for k = 1:itermaks

10 if ft(xlama) == 0 % antisipasi jika turunan pertamanya = 0

11 xlama = xlama + 0.001; % sekedar ditambah 0.001 aja. Pakai angka lain juga bisa.

12 end

13 xbaru = xlama - (fs(xlama))/ft(xlama);

14 if abs(xbaru-xlama) < epsilon

15 break;

16 end

17 xlama = xbaru;

18 end

19 xbaru

Page 96: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

78 BAB 5. MENCARI SOLUSI SATU VARIABEL

5.4 Soal-soal Latihan

1. Buatlah script matlab rumus abc untuk mencari nilai-nilai akar persamaan kuadrat. Tam-

pilkan kurva fungsi kuadrat dalam bentuk grafik dan tandai posisi akarnya

Page 97: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

Bab 6

Integral Numerik

Objektif :

⊲ Mengenalkan metode Trapezoida

⊲ Mengenalkan metode Simpson

⊲ Mengenalkan metode Composite-Simpson

⊲ Mengenalkan metode Adaptive Quardrature

⊲ Mengenalkan metode Gaussian Quadrature

6.1 Metode Trapezoida

Integral terhadap suatu fungsi, f(x), yang dievaluasi dari a hingga b dapat dinyatakan oleh

rumus berikut ini∫ b

af(x)dx (6.1)

Pendekatan numerik yang paling dasar dalam memecahkan masalah integral adalah metode

Trapezoida, yang dirumuskan sebagai berikut

∫ b

af(x)dx =

h

2[f(x0) + f(x1)]−

h3

12f ′′(ξ) (6.2)

dimana x0 = a, x1 = b dan h = b − a. Akan tetapi, suku yang terakhir pada ruas kanan

dimana terdapat faktor turunan ke-2, f ′′, seringkali diabaikan dengan tujuan agar persamaan

(6.2) menjadi lebih sederhana.

∫ b

af(x)dx =

h

2[f(x0) + f(x1)] (6.3)

Akibatnya pendekatan Trapezoida hanya bekerja efektif pada fungsi-fungsi yang turunan kedua-

nya bernilai nol (f ′′ = 0). Gambar (6.1) memperlihatkan prinsip metode trapezoida dalam

bentuk grafik. Sementara, script berikut ini dibuat berdasarkan persamaan (6.3).

79

Page 98: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

80 BAB 6. INTEGRAL NUMERIK

x =a0 x =b1

f(x)

x =a0 x =b1

f(x)

f(x )0

f(x )1

Gambar 6.1: Metode Trapezoida. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f(x) dengan batasbawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara metode Trapesoidamenghitung integral dengan cara menghitung luas area integrasi, dimana luas area integrasi sama de-ngan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan teliti,ada area kecil dibawah garis kurva dan diatas garis miring yang berada diluar bidang trapesium. MetodeTrapesoida tidak menghitung luas area kecil tersebut. Disinilah letak kelemahan metode trapezoida.

1 clear all

2 clc

3

4 a = ... %batas bawah integral;

5 b = ... %batas atas integral;

6

7 x0 = a;

8 x1 = b;

9 h = b-a;

10

11 % -- metode trapezoida --

12 Int_trapezoida = h/2*(f(x0)+f(x1))

Dengan fungsi eksternal fungsi f(x) adalah

1 function y = f(x)

2 y = ... % rumus fungsi yang di-integralkan;

6.2 Metode Simpson

Metode pendekatan yang lebih baik dibanding metode Trapezoida dalam integral numerik ada-

lah metode Simpson yang diformulasikan sebagai berikut

∫ b

af(x)dx =

h

3[f(x1) + 4f(x2) + f(x3)]−

h5

90f4(ξ) (6.4)

dengan x1 = a, x3 = b, dan x2 = a + h dimana h = (b − a)/2. Jika suku terakhir diabaikan,

maka∫ b

af(x)dx =

h

3[f(x1) + 4f(x2) + f(x3)] (6.5)

Gambar (6.2) memperlihatkan prinsip metode trapezoida dalam bentuk grafik. Sementara,

script berikut ini dibuat berdasarkan persamaan (6.5).

Page 99: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

6.2. METODE SIMPSON 81

x =a0 x =b1

f(x)

x =a0 x =b2

f(x)

f(x )0

f(x )2

f(x )1

x1

hh

Gambar 6.2: Metode Simpson. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f(x) dengan batasbawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara metode Simpsonmenghitung luas area integrasi, dimana area integrasi di bawah kurva f(x) dibagi 2 dalam batas intervala− x1 dan x1 − b dengan lebar masing-masing adalah h

1 clc

2 clear all

3

4 a = ... %batas bawah integrasi ;

5 b = ... %batas atas integrasi ;

6

7 x1 = a;

8 x3 = b;

9 h = (b-a)/2;

10 x1 = a + h;

11

12 % -- metode simpson --

13 Int_simpson = h/3*(f(x1)+4*f(x2)+f(x3))

Contoh

Metode Trapezoida untuk fungsi f pada interval [0,2] adalah

∫ 2

0f(x)dx ≈ f(0) + f(2)

dimana x0 = 0, x1 = 2 dan h = 2 − 0 = 2. Sedangkan metode Simpson untuk fungsi f pada

interval [0,2] adalah∫ 2

0f(x)dx ≈ 1

3[f(0) + 4f(1) + f(2)]

dengan x0 = 0, x2 = 2, dan x1 = a+ h = 1 dimana h = (b− a)/2 = 1.

Tabel berikut ini memperlihatkan evaluasi integral numerik terhadap beberapa fungsi dalam

interval [0,2] beserta solusi exact-nya. Jelas terlihat, metode Simpson lebih baik dibanding

Trapezoida. Karena hasil intergral numerik metode Simpson lebih mendekati nilai exact

f(x) x2 x4 1/(x+ 1)√1 + x2 sinx ex

Nilai exact 2,667 6,400 1,099 2,958 1,416 6,389

Trapezoida 4,000 16,000 1,333 3,236 0,909 8,389

Simpson 2,667 6,667 1,111 2,964 1,425 6,421

Page 100: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

82 BAB 6. INTEGRAL NUMERIK

6.3 Peran faktor pembagi, n

Kalau diamati lebih teliti, akan kita dapatkan bahwa interval [0,2] telah dibagi 2 pada metode

Simpson, sementara pada metode Trapesoida tidak dibagi sama sekali. Sebenarnya dengan

membagi interval lebih kecil lagi, maka error-nya akan semakin kecil. Misalnya, banyaknya

pembagian interval dinyatakan dengan n

ketika n = 1: Trapesioda

∫ x2

x1

f(x)dx =h

2[f(x1) + f(x2)]−

h3

12f ′′(ξ) (6.6)

ketika n = 2: Simpson

∫ x3

x1

f(x)dx =h

3[f(x1) + 4f(x2) + f(x3)]−

h5

90f4(ξ) (6.7)

ketika n = 3: Simpson tiga-per-delapan

∫ x4

x1

f(x)dx =3h

8[f(x1) + 3f(x2) + 3f(x3) + f(x4)]−

3h5

80f4(ξ) (6.8)

ketika n = 4:

∫ x5

x1

f(x)dx =2h

45[7f(x1) + 32f(x2) + 12f(x3) + 32f(x4) + 7f(x5)]−

8h7

945f6(ξ) (6.9)

6.3.1 Source code metode integrasi

Source code untuk persamaan (6.8) disajikan sebagai berikut

1 clc

2 clear all

3

4 % -- batas integrasi --

5 a = 0;

6 b = 2;

7

8 x0 = a;

9 x3 = b;

10 h = (b-a)/3;

11 x1 = a + h;

12 x2 = a + 2*h;

13 % ---------------------

14

15 % -- metode simpson 3/8 --

16 Int_38 = 3*h/8*(f(x0)+3*f(x1)+3*f(x2)+f(x3))

Sementara, source code untuk persamaan (6.9) disajikan sebagai berikut

1 clc

2 clear all

3

Page 101: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

6.4. METODE COMPOSITE-SIMPSON 83

4 % -- batas integrasi --

5 a = 0;

6 b = 2;

7

8 x0 = a;

9 x4 = b;

10 h = (b-a)/4;

11 x1 = a + h;

12 x2 = a + 2*h;

13 x3 = a + 3*h;

14 % ---------------------

15

16 % -- metode simpson n=4 --

17 Int_n4 = 2*h/45*(7*f(x0)+32*f(x1)+12*f(x2)+32*f(x3)+7*f(x4))

Perbandingan tingkat akurasi hasil perhitungan seluruh metode integral numerik yang sudah

dibahas adalah sebagai berikut

f(x) x2 x4 1/(x+ 1)√1 + x2 sinx ex

Nilai exact 2,667 6,400 1,099 2,958 1,416 6,389

Trapezoida 4,000 16,000 1,333 3,236 0,909 8,389

Simpson n=2 2,667 6,667 1,111 2,964 1,425 6,421

Simpson n=3 2,667 6,519 1,105 2,960 1,420 6,403

Simpson n=4 2,667 6,400 1,099 2,958 1,416 6,389

Keempat bentuk persamaan integral numerik di atas dikenal dengan closed Newton-Cotes

formulas. Keterbatasan metode Newton-Cotes terlihat dari jumlah pembagian interval. Di

atas tadi pembagian interval baru sampai pada n = 4. Bagaimana bila interval evaluasinya

dipersempit supaya solusi numeriknya lebih mendekati solusi exact? Atau dengan kata lain

n > 4.

6.4 Metode Composite-Simpson

Persamaan (6.9) terlihat lebih rumit dibandingkan persamaan-persamaan sebelumnya. Bisakah

anda bayangkan bentuk formulasi untuk n = 5 atau n = 6 dan seterusnya? Pasti akan lebih

kompleks dibandingkan persamaan (6.9).

Metode Composite Simpson menawarkan cara mudah menghitung intergal numerik ketika

nilai n > 4. Perhatikan contoh berikut, tentukan solusi numerik dari∫ 40 exdx. Metode Simpson

dengan h = 2 (atau interval evaluasi integral dibagi 2 , n = 2) memberikan hasil

∫ 4

0exdx ≈ 2

3

(

e0 + 4e2 + e4)

= 56, 76958

Padahal solusi exact dari integral tersebut adalah e4 − e0 = 53, 59815, artinya terdapat error

sebesar 3,17143 yang dinilai masih terlampau besar untuk ditolerir. Bandingkan dengan metode

Page 102: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

84 BAB 6. INTEGRAL NUMERIK

x =a0 x =bnx1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

f(x)

h

Gambar 6.3: Metode Composite Simpson. Kurva fungsi f(x) dengan batas bawah integral adalah a danbatas atas b. Luas area integrasi dipecah menjadi 8 area kecil dengan lebar masing-masing adalah h.

yang sama namun dengan h = 1 (atau interval evaluasi integral dibagi 4 , n = 4)

∫ 4

0exdx =

∫ 2

0exdx+

∫ 4

2exdx

≈ 1

3

(

e0 + 4e+ e2)

+1

3

(

e2 + 4e3 + e4)

=1

3

(

e0 + 4e+ 2e2 + 4e3 + e4)

= 53, 86385

Hasil ini memperlihatkan error yang makin kecil, yaitu menjadi 0,26570. Jadi dengan memper-

kecil h, error menjadi semakin kecil dan itu artinya solusi integral numerik semakin mendekati

solusi exact. Sekarang kita coba kecilkan lagi nilai h menjadi h = 12 (atau interval evaluasi

integral dibagi 8 , n = 8),

∫ 4

0exdx =

∫ 1

0exdx+

∫ 2

1exdx+

∫ 3

2exdx+

∫ 4

3exdx

≈ 1

6

(

e0 + 4e1/2 + e)

+1

6

(

e+ 4e3/2 + e2)

+

1

6

(

e2 + 4e5/2 + e3)

+1

6

(

e3 + 4e7/2 + e4)

=1

6

(

e0 + 4e1/2 + 2e+ 4e3/2 + 2e2 + 4e5/2 + 2e3 + 4e7/2 + e4)

= 53, 61622

dan seperti yang sudah kita duga, error-nya semakin kecil menjadi 0,01807.

Prosedur ini dapat digeneralisir menjadi suatu formula sebagai berikut

∫ b

af(x)dx =

n/2∑

j=1

∫ x2j

x2j−2

f(x)dx

=

n/2∑

j=1

h

3[f(x2j−2) + 4f(x2j−1) + f(x2j)]−

h5

90f (4)(ξj)

(6.10)

Page 103: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

6.5. ADAPTIVE QUARDRATURE 85

dimana h = (b−a)/n dan xj = a+ jh, untuk j = 1, ..., n/2, dengan x0 = a dan xn = b. Formula

ini dapat direduksi menjadi

∫ b

af(x)dx =

h

3

f(x0) + 2

(n/2)−1∑

j=1

f(x2j) + 4

n/2∑

j=1

f(x2j−1) + f(xn)

− h5

90

n/2∑

j=1

f (4)(ξj) (6.11)

Formula ini dikenal sebagai metode Composite Simpson.

6.5 Adaptive Quardrature

Metode composite mensyaratkan luas area integrasi dibagi menjadi sejumlah region dengan ja-

rak interval yang seragam yaitu sebesar nilai h. Akibatnya, bila metode composite diterapkan

pada fungsi yang memiliki variasi yang tinggi dan rendah sekaligus, maka interval h yang kecil

menjadi kurang efektif, sementara interval h yang besar mengundang error yang besar pula.

Metode Adaptive Quadrature muncul untuk mendapatkan langkah yang paling efektif dimana

nilai interval h tidak dibuat seragam, melainkan mampu beradaptasi sesuai dengan tingkat va-

riasi kurva fungsinya.

Misalnya kita bermaksud mencari solusi numerik dari integral∫ ba f(x)dx dengan toleransi

ǫ > 0. Sebagai langkah awal adalah menerapkan metode Simpson dimana step size h = (b−a)/2

∫ b

af(x)dx = S(a, b)− h5

90f (4)(µ) (6.12)

dengan

S(a, b) =h

3[f(a) + 4f(a+ h) + f(b)]

Langkah berikutnya adalah men

∫ b

af(x)dx =

h

6

[

f(a) + 4f

(

a+h

2

)

+ 2f (a+ h) + 4f

(

a+3h

2

)

+ f(b)

]

−(

h

2

)4 (b− a)

180f (4)(µ) (6.13)

6.6 Gaussian Quadrature

Suatu integral dapat ditransformasi kedalam bentuk Gaussian quadrature melalui formulasi ber-

ikut∫ b

af(x)dx =

∫ 1

−1f

(

(b− a)t+ (b+ a)

2

)

(b− a)

2dt (6.14)

dimana perubahan variabel memenuhi

t =2x− a− b

b− a⇔ x =

1

2[(b− a)t+ a+ b] (6.15)

Berikut adalah table polinomial Legendre untuk penyelesaian Gaussian quadrature

Page 104: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

86 BAB 6. INTEGRAL NUMERIK

Tabel 6.1: Polinomial Legendre untuk n=2,3,4 dan 5n Akar rn,i Koefisien cn,i

2 0,5773502692 1,0000000000

-0,5773502692 1,0000000000

3 0,7745966692 0,5555555556

0,0000000000 0,8888888889

-0,7745966692 0,5555555556

4 0,8611363116 0,3478548451

0,3399810436 0,6521451549

-0,3399810436 0,6521451549

-0,8611363116 0,3478548451

5 0,9061798459 0,2369268850

0,5384693101 0,4786286705

0,0000000000 0,5688888889

-0,5384693101 0,4786286705

-0,9061798459 0,2369268850

6.6.1 Contoh

Selesaikan integrasi berikut ini∫ 1,5

1e−x2

dx (6.16)

(Solusi exact integral diatas adalah: 0.1093643)

jawab:

Pertama, integral tersebut ditransformasikan kedalam Gaussian quadrature melalui persamaan

(6.14)∫ 1,5

1e−x2

dx =1

4

∫ 1

−1e

−(t+5)2

16 dt (6.17)

Kedua, Gaussian quadrature dihitung menggunakan konstanta-konstanta yang tercantum pada

tabel polinomial Legendre. Untuk n = 2

∫ 1,5

1e−x2

dx ≈ 1

4

[

e(−(0,5773502692+5)2/16) + e(−(−0,5773502692+5)2/16)]

= 0, 1094003

Untuk n = 3

∫ 1,5

1e−x2

dx ≈ 1

4[(0, 5555555556)e(−(0,7745966692+5)2/16) + (0, 8888888889)e(−(5)2/16)

+ (0, 5555555556)e(−(−0,7745966692+5)2/16)] = 0, 1093642

6.6.2 Latihan

Selesaikan integrasi berikut ini∫ 0,35

0

2

x2 − 4dx

Page 105: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

6.6. GAUSSIAN QUADRATURE 87

Selesaikan integrasi berikut ini∫ 3,5

3

x√x2 − 4

dx

Page 106: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

88 BAB 6. INTEGRAL NUMERIK

Latihan

1. Hitunglah integral-integral berikut ini dengan metode Composite Simpson!

a.

∫ 2

1x lnxdx, n = 4

b.

∫ 2

0

2

x2 + 4dx, n = 6

c.

∫ 3

1

x

x2 + 4dx, n = 8

d.

∫ 2

−2x3exdx, n = 4

e.

∫ 3π/8

0tanxdx, n = 8

f.

∫ 5

3

1√x2 − 4

dx, n = 8

2. Tentukan nilai n dan h untuk mengevaluasi

∫ 2

0e2x sin 3xdx

dengan metode Composite Simpson, bila error yang ditolerir harus lebih kecil dari 10−4.

3. Dalam durasi 84 detik, kecepatan sebuah mobil balap formula 1 yang sedang melaju di arena

grandprix dicatat dalam selang interval 6 detik:

time(dt) 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84

speed(ft/dt) 124 134 148 156 147 133 121 109 99 85 78 89 104 116 123

Gunakan metode integral numerik untuk menghitung panjang lintasan yang telah dilalui mobil

tersebut selama pencatatan waktu di atas!

Page 107: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

Bab 7

Diferensial Numerik

Objektif :

⊲ Mengenalkan metode Euler

⊲ Mengenalkan metode Runge Kutta orde 4

⊲ Mengenalkan metode Finite Difference

⊲ Mengenalkan Persamaan Diferensial Parsial Eliptik

⊲ Mengenalkan Persamaan Diferensial Parsial Hiperbolik

⊲ Mengenalkan Persamaan Diferensial Parsial Parabolik

7.1 Metode Euler

Suatu persamaan diferensial (dydt ) dinyatakan dalam fungsi f(t, y), dimana y(t) adalah persama-

an asalnyady

dt= f(t, y), a ≤ t ≤ b, y(a) = α (7.1)

Nilai t dibatasi dari a hingga ke b. Sementara, syarat awal telah diketahui yaitu pada saat

t = a maka y bernilai α. Akan tetapi kita sama sekali tidak tahu bentuk formulasi persamaan

asalnya y(t). Gambar 7.1 memperlihatkan kurva persamaan asal y(t) yang tidak diketahui ben-

tuk formulasinya. Tantangannya adalah bagaimana kita bisa mendapatkan solusi persamaan

diferensial untuk setiap nilai y(t) yang t-nya terletak diantara a dan b ?

Tahap awal solusi pendekatan numerik adalah dengan menentukan point-point dalam jarak

yang sama di dalam interval [a,b]. Jarak antar point dirumuskan sebagai

h =b− a

N(7.2)

dengan N adalah bilangan integer positif. Nilai h ini juga dikenal dengan nama step size.

Selanjutnya nilai t diantara a dan b ditentukan berdasarkan

ti = a+ ih, i = 0, 1, 2, ..., N (7.3)

89

Page 108: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

90 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK

t0=a t

1t2

.....

h

tN=b t

y(t )= bN y( )

y(t )1

y(t )2

y(t )=0 a

y(a)=a

y’=f(t,y)

y

y(t)

t0=a t

1t2

.....

h

tN=b t

a

y(a)=a

y’=f(t,y)

y

w1y’(a)=f(a, )a

y(t)

Gambar 7.1: Kiri: Kurva y(t) dengan pasangan titik absis dan ordinat dimana jarak titik absis sebesarh. Pasangan t1 adalah y(t1), pasangan t2 adalah y(t2), begitu seterusnya. Kanan: Garis singgung yangmenyinggung kurva y(t) pada t=a, kemudian berdasarkan garis singgung tersebut, ditentukan pasangant1 sebagai w1. Perhatikan gambar itu sekali lagi! w1 dan y(t1) beda tipis alias tidak sama persis.

Metode Euler diturunkan dari deret Taylor. Misalnya, fungsi y(t) adalah fungsi yang konti-

nyu dan memiliki turunan dalam interval [a,b]. Dalam deret Taylor, fungsi y(t) tersebut diru-

muskan sebagai

y(ti+1) = y(ti) + (ti+1 − ti)y′(ti) +

(ti+1 − ti)2

2y′′(ξi) (7.4)

dengan memasukkan h = (ti+1 − ti), maka

y(ti+1) = y(ti) + hy′(ti) +h2

2y′′(ξi) (7.5)

dan, karena y(t) memenuhi persamaan diferensial (7.1), dimana y′(ti) tak lain adalah fungsi

turunan f(ti, y(ti)), maka

y(ti+1) = y(ti) + hf(ti, y(ti)) +h2

2y′′(ξi) (7.6)

Metode Euler dibangun dengan pendekatan bahwa suku terakhir dari persamaan (7.6), yang

memuat turunan kedua, dapat diabaikan. Disamping itu, pada umumnya, notasi penulisan bagi

y(ti) diganti dengan wi. Sehingga metode Euler diformulasikan sebagai

wi+1 = wi + hf(ti, wi) dengan syarat awal w0 = α (7.7)

dimana i = 0, 1, 2, .., N − 1.

Contoh

Diketahui persamaan diferensial

y′ = y − t2 + 1 batas interval: 0 ≤ t ≤ 2 syarat awal: y(0) = 0, 5 (7.8)

dimana N = 10. Disini terlihat bahwa batas awal interval, a = 0; dan batas akhir b = 2.

Dalam penerapan metode euler, pertama kali yang harus dilakukan adalah menghitung step-

Page 109: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

7.1. METODE EULER 91

size (h), caranya

h =b− a

N=

2− 0

10= 0, 2

kemudian dilanjutkan dengan menentukan posisi titik-titik ti berdasarkan rumus

ti = a+ ih = 0 + i(0, 2) sehingga ti = 0, 2i

serta menetapkan nilai w0 yang diambil dari syarat awal y(0) = 0, 5

w0 = 0, 5

Dengan demikian persamaan euler dapat dinyatakan sebagai

wi+1 = wi + h(wi − t2i + 1)

= wi + 0, 2(wi − 0, 04i2 + 1)

= 1, 2wi − 0, 008i2 + 0, 2

dimana i = 0, 1, 2, ..., N − 1. Karena N = 10, maka i = 0, 1, 2, ..., 9.

Pada saat i = 0 dan dari syarat awal diketahui w0 = 0, 5, kita bisa menghitung w1

w1 = 1, 2w0 − 0, 008(0)2 + 0, 2 = 0, 8000000

Pada saat i = 1

w2 = 1, 2w1 − 0, 008(1)2 + 0, 2 = 1, 1520000

Pada saat i = 2

w3 = 1, 2w2 − 0, 008(2)2 + 0, 2 = 1, 5504000

Demikian seterusnya, hingga mencapai i = 9

w10 = 1, 2w9 − 0, 008(9)2 + 0, 2 = 4, 8657845

Berikut ini adalah script matlab untuk menghitung w1, w2, sampai w10

1 clear all

2 clc

3

4 format long

5

6 b=2; %batas akhir interval

7 a=0; %batas awal interval

8 N=10; % bilangan interger positif

9 h=(b-a)/N; % nilai step-size

10 w0=0.5; % nilai w awal

11 t0=0; % nilai t awal

12

13 % perubahan t sesuai step-size h adalah:

14 t1=a+1*h;

15 t2=a+2*h;

Page 110: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

92 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK

16 t3=a+3*h;

17 t4=a+4*h;

18 t5=a+5*h;

19 t6=a+6*h;

20 t7=a+7*h;

21 t8=a+8*h;

22 t9=a+9*h;

23 t10=a+10*h;

24

25 % solusinya:

26 w1=w0+h*(w0-t0^2+1)

27 w2=w1+h*(w1-t1^2+1)

28 w3=w2+h*(w2-t2^2+1)

29 w4=w3+h*(w3-t3^2+1)

30 w5=w4+h*(w4-t4^2+1)

31 w6=w5+h*(w5-t5^2+1)

32 w7=w6+h*(w6-t6^2+1)

33 w8=w7+h*(w7-t7^2+1)

34 w9=w8+h*(w8-t8^2+1)

35 w10=w9+h*(w9-t9^2+1)

Atau bisa dipersingkat sebagai berikut

1 clear all

2 clc

3

4 format long

5

6 b=2; %batas akhir interval

7 a=0; %batas awal interval

8 N=10; % bilangan interger positif

9 h=(b-a)/N; % nilai step-size

10 w0=0.5; % nilai w awal

11 t0=0; % nilai t awal

12

13 % perubahan t sesuai step-size h adalah:

14 for i=1:N

15 t(i)=a+(i*h);

16 end

17

18 % solusinya:

19 w(1)=w0+h*(w0-t0^2+1);

20 for i=2:N

21 k=i-1;

22 w(i)=w(k)+h*(w(k)-t(k)^2+1);

23 end

24 w

Disisi lain, solusi exact persamaan diferensial (7.8) adalah

y(t) = (t+ 1)2 − 0, 5et (7.9)

Script matlab untuk mendapatkan solusi exact ini adalah:

1 clear all

2 clc

Page 111: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

7.1. METODE EULER 93

3

4 format long

5

6 b=2; %batas akhir interval

7 a=0; %batas awal interval

8 N=10; % bilangan interger positif

9 h=(b-a)/N; % nilai step-size

10

11 % perubahan t sesuai step-size h adalah:

12 for i=1:N

13 t(i)=a+(i*h);

14 end

15

16 % solusi exact:

17 for i=1:N

18 y(i)=(t(i)+1)^2-0.5*exp(t(i));

19 end

20 y

Tabel 7.1: Solusi yang ditawarkan oleh metode euler wi dan solusi exact y(ti) serta selisih antara

keduanyai ti wi yi = y(ti) |wi − yi|0 0,0 0,5000000 0,5000000 0,0000000

1 0,2 0,8000000 0,8292986 0,0292986

2 0,4 1,1520000 1,2140877 0,0620877

3 0,6 1,5504000 1,6489406 0,0985406

4 0,8 1,9884800 2,1272295 0,1387495

5 1,0 2,4581760 2,6408591 0,1826831

6 1,2 2,9498112 3,1799415 0,2301303

7 1,4 3,4517734 3,7324000 0,2806266

8 1,6 3,9501281 4,2834838 0,3333557

9 1,8 4,4281538 4,8151763 0,3870225

10 2,0 4,8657845 5,3054720 0,4396874

Coba anda perhatikan sejenak bagian kolom selisih |wi − yi|. Terlihat angkanya tumbuh semakin

besar seiring dengan bertambahnya ti. Artinya, ketika ti membesar, akurasi metode euler justru

berkurang. Untuk lebih jelasnya, mari kita plot hasil-hasil ini dalam suatu gambar.

Gambar (7.2) memperlihatkan sebaran titik-titik merah yang merupakan hasil perhitungan

metode euler (wi). Sementara solusi exact y(ti) diwakili oleh titik-titik biru. Tampak jelas bah-

wa titik-titik biru dan titik-titik merah –pada nilai t yang sama– tidak ada yang berhimpit alias

ada jarak yang memisahkan mereka. Bahkan semakin ke kanan, jarak itu semakin melebar.

Adanya jarak, tak lain menunjukkan keberadaan error (kesalahan). Hasil perhitungan metode

euler yang diwakili oleh titik-titik merah ternyata menghadirkan tingkat kesalahan yang sema-

kin membesar ketika menuju ke-N atau ketika ti bertambah. Untuk mengatasi hal ini, salah

satu pemecahannya adalah dengan menerapkan metode Runge-Kutta orde-4. Namun sebelum

masuk ke pembahasan tersebut, ada baiknya kita memodifikasi script matlab yang terakhir tadi.

Saya kira tidak ada salahnya untuk mengantisipasi kesalahan pengetikan fungsi turunan

yang terdapat dalam script sebelumnya yaitu,

Page 112: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

94 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

t

y(t

)

Gambar 7.2: Kurva biru adalah solusi exact, dimana lingkaran-lingkaran kecil warna biru pada kurvamenunjukkan posisi pasangan absis t dan ordinat y(t) yang dihitung oleh Persamaan (7.9). Sedangkantitik-titik merah mengacu pada hasil perhitungan metode euler, yaitu nilai wi.

w(1)=w0+h*(w0-t0^2+1);

dan

w(i)=w(k)+h*(w(k)-t(k)^2+1);

Ketika fungsi turunan memiliki formulasi yang berbeda dengan contoh di atas, bisa jadi

kita akan lupa untuk mengetikkan formulasi yang baru di kedua baris tersebut. Oleh karena

itu, lebih baik fungsi turunan tersebut dipindahkan kedalam satu file terpisah. Di lingkungan

matlab, file tersebut disebut file function. Jadi, isi file function untuk contoh yang sedang kita

bahas ini adalah

function y = futur(t,w)

y = w - t^2 + 1;

File function ini mesti di-save dengan nama file yang sama persis dengan nama fungsinya, dalam

contoh ini nama file function tersebut harus bernama futur.m. Kemudian file ini harus disimpan

dalam folder yang sama dimana disana juga terdapat file untuk memproses metode euler.

Setelah itu, script metode euler dimodifikasi menjadi seperti ini

1 clear all

2 clc

3

4 format long

5

6 b=2; %batas akhir interval

Page 113: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

7.2. METODE RUNGE KUTTA 95

7 a=0; %batas awal interval

8 N=10; % bilangan interger positif

9 h=(b-a)/N; % nilai step-size

10 w0=0.5; % nilai w awal

11 t0=0; % nilai t awal

12

13 % perubahan t sesuai step-size h adalah:

14 for i=1:N

15 t(i)=a+(i*h);

16 end

17

18 % solusinya:

19 w(1)=w0+h*futur(t0,w0);

20 for i=2:N

21 k=i-1;

22 w(i)=w(k)+h*futur(t(k),w(k));

23 end

24 w

Mulai dari baris ke-13 sampai dengan baris ke-24, tidak perlu diubah-ubah lagi. Artinya, jika

ada perubahan formulasi fungsi turunan, maka itu cukup dilakukan pada file futur.m saja.

Ok. Sekarang mari kita membahas metode Runge Kutta.

7.2 Metode Runge Kutta

Pada saat membahas metode Euler untuk penyelesaian persamaan diferensial, kita telah sampai

pada kesimpulan bahwa truncation error metode Euler terus membesar seiring dengan bertam-

bahnya iterasi (ti). Dikaitkan dengan hal tersebut, metode Runge-Kutta Orde-4 menawarkan

penyelesaian persamaan diferensial dengan pertumbuhan truncation error yang jauh lebih ke-

cil. Persamaan-persamaan yang menyusun metode Runge-Kutta Orde-4 adalah

w0 = α

k1 = hf(ti, wi) (7.10)

k2 = hf(ti +h

2, wi +

1

2k1) (7.11)

k3 = hf(ti +h

2, wi +

1

2k2) (7.12)

k4 = hf(ti+1, wi + k3) (7.13)

wi+1 = wi +1

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) (7.14)

dimana fungsi f(t, w) adalah fungsi turunan.

Contoh

Saya ambilkan contoh yang sama seperti contoh yang sudah kita bahas pada metode Euler.

Diketahui persamaan diferensial

y′ = y − t2 + 1, 0 ≤ t ≤ 2, y(0) = 0, 5

Page 114: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

96 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK

Jika N = 10, maka step-size bisa dihitung terlebih dahulu

h =b− a

N=

2− 0

10= 0, 2

dan

ti = a+ ih = 0 + i(0, 2) → ti = 0, 2i

serta

w0 = 0, 5

Sekarang mari kita terapkan metode Runge-Kutta Orde-4 ini. Untuk menghitung w1, tahap-

tahap perhitungannya dimulai dari menghitung k1

k1 = hf(t0, w0)

= h(w0 − t20 + 1)

= 0, 2((0, 5) − (0, 0)2 + 1)

= 0, 3

lalu menghitung k2

k2 = hf(t0 +h

2, w0 +

k12)

= h[(w0 +k12)− (t0 +

h

2)2 + 1)]

= 0, 2[(0, 5 +0, 3

2)− (0, 0 +

0, 2

2)2 + 1)]

= 0, 328

dilanjutkan dengan k3

k3 = hf(t0 +h

2, w0 +

k22)

= h[(w0 +k22)− (t0 +

h

2)2 + 1)]

= 0, 2[(0, 5 +0, 328

2)− (0, 0 +

0, 2

2)2 + 1)]

= 0, 3308

kemudian k4

k4 = hf(t1, w0 + k3)

= h[(w0 + k3)− t21 + 1]

= 0, 2[(0, 5 + 0, 3308) − (0, 2)2 + 1]

= 0, 35816

Page 115: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

7.2. METODE RUNGE KUTTA 97

akhirnya diperoleh w1

w1 = w0 +1

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

= 0, 5 +1

6(0, 3 + 2(0, 328) + 2(0, 3308) + 0, 35816)

= 0, 5 +1

6(0, 3 + 0, 656 + 0, 6616 + 0, 35816)

= 0, 8292933

Dengan cara yang sama, w2, w3, w4 dan seterusnya dapat dihitung dengan program komputer.

Script matlab-nya sebagai berikut1:

1 clear all

2 clc

3

4 format long

5

6 b=2; % batas akhir interval

7 a=0; % batas awal interval

8 N=10; % bilangan interger positif

9 h=(b-a)/N; % nilai step-size

10 w0=0.5; % nilai w awal

11 t0=0; % nilai t awal

12

13 % perubahan t sesuai step-size h adalah:

14 for i=1:N

15 t(i)=a+(i*h);

16 end

17

18 % solusinya:

19 k1=h*futur(t0,w0);

20 k2=h*futur(t0+h/2,w0+k1/2);

21 k3=h*futur(t0+h/2,w0+k2/2);

22 k4=h*futur(t(1),w0+k3);

23 w(1)=w0+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);

24

25 for i=2:N

26 k=i-1;

27 k1=h*futur(t(k),w(k));

28 k2=h*futur(t(k)+h/2,w(k)+k1/2);

29 k3=h*futur(t(k)+h/2,w(k)+k2/2);

30 k4=h*futur(t(i),w(k)+k3);

31 w(i)=w(k)+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);

32 end

33 w

Dibandingkan dengan metode Euler, tingkat pertumbuhan truncation error, pada kolom |wi−yi|(lihat Tabel 7.2), jauh lebih rendah sehingga metode Runge-Kutta Orde Empat lebih disukai

untuk membantu menyelesaikan persamaan-diferensial-biasa.

Contoh tadi tampaknya dapat memberikan gambaran yang jelas bahwa metode Runge-Kutta

Orde Empat dapat menyelesaikan persamaan diferensial biasa dengan tingkat akurasi yang lebih

1Jangan lupa, file futur.m mesti berada dalam satu folder dengan file Runge Kutta nya!

Page 116: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

98 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK

Tabel 7.2: Solusi yang ditawarkan oleh metode Runge Kutta orde 4 (wi) dan solusi exact y(ti)serta selisih antara keduanya

i ti wi yi = y(ti) |wi − yi|0 0,0 0,5000000 0,5000000 0,0000000

1 0,2 0,8292933 0,8292986 0,0000053

2 0,4 1,2140762 1,2140877 0,0000114

3 0,6 1,6489220 1,6489406 0,0000186

4 0,8 2,1272027 2,1272295 0,0000269

5 1,0 2,6408227 2,6408591 0,0000364

6 1,2 3,1798942 3,1799415 0,0000474

7 1,4 3,7323401 3,7324000 0,0000599

8 1,6 4,2834095 4,2834838 0,0000743

9 1,8 4,8150857 4,8151763 0,0000906

10 2,0 5,3053630 5,3054720 0,0001089

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

t

y(t

)

Gambar 7.3: Kurva biru adalah solusi exact, dimana lingkaran-lingkaran kecil warna biru pada kurvamenunjukkan posisi pasangan absis t dan ordinat y(t) yang dihitung oleh Persamaan (7.9). Sedangkantitik-titik merah mengacu pada hasil perhitungan metode Runge Kutta orde 4, yaitu nilai wi.

tinggi. Namun, kalau anda jeli, ada suatu pertanyaan cukup serius yaitu apakah metode ini

dapat digunakan bila pada persamaan diferensialnya tidak ada variabel t ? Misalnya pada kasus

pengisian muatan pada kapasitor berikut ini.

7.2.1 Aplikasi: Pengisian muatan pada kapasitor

Sebuah kapasitor yang tidak bermuatan dihubungkan secara seri dengan sebuah resistor dan

baterry (Gambar 7.4). Diketahui ǫ = 12 volt, C = 5,00 µF dan R = 8,00 ×105Ω. Saat sa-

Page 117: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

7.2. METODE RUNGE KUTTA 99

klar dihubungkan (t=0), muatan belum ada (q=0). Berdasarkan hukum Kirchoff II, bentuk

persamaan diferensial yang sesuai dengan rangkaian tersebut adalah

dq

dt=

ǫ

R− q

RC(7.15)

Adapun solusi exact persamaan (7.15) adalah

qexact = q(t) = Cǫ(

1− e−t/RC)

(7.16)

Anda bisa lihat semua suku di ruas kanan persamaan (7.15) tidak mengandung variabel t. Pa-

Gambar 7.4: Rangkaian RC

dahal persamaan-persamaan turunan pada contoh sebelumnya mengandung variabel t. Apakah

persamaan (7.15) tidak bisa diselesaikan dengan metode Runge-Kutta? Belum tentu. Sekarang,

kita coba selesaikan, pertama kita nyatakan

m1 =ǫ

R= 1, 5 × 10−5

m2 =1

RC= 0, 25

sehingga persamaan (7.15) dimodifikasi menjadi

dq

dt= f(qi) = m1 − qim2

ti = a+ ih

Jika t0 = 0, maka a = 0, dan pada saat itu (secara fisis) diketahui q0 = 0, 0. Lalu jika ditetapkan

h = 0, 1 maka t1 = 0, 1 dan kita bisa mulai menghitung k1 dengan menggunakan q0 = 0, 0,

Page 118: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

100 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK

walaupun t1 tidak dilibatkan dalam perhitungan ini

k1 = hf(q0)

= h(m1 − q0m2)

= 0, 1((1, 5 × 10−5)− (0, 0)(0, 25))

= 0, 150 × 10−5

lalu menghitung k2

k2 = hf(q0 +k12)

= h[(m1 − (q0 +k12)m2)]

= 0, 1[(1, 5 × 10−5 − ((0, 0) +0, 15 × 10−5

2)(0, 25)]

= 0, 14813 × 10−5

dilanjutkan dengan k3

k3 = hf(q0 +k22)

= h[(m1 − (q0 +k22)m2)]

= 0, 1[(1, 5 × 10−5 − ((0, 0) +0, 14813 × 10−5

2)(0, 25)]

= 0, 14815 × 10−5

kemudian k4

k4 = hf(q0 + k3)

= h[(m1 − (q0 + k3)m2)]

= 0, 1[(1, 5 × 10−5 − ((0, 0) + 0, 14815 × 10−5)(0, 25)]

= 0, 14630 × 10−5

akhirnya diperoleh q1

q1 = q0 +1

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

= 0, 0 +1

6(0, 150 + 2(0, 14813) + 2(0, 14815) + 0, 14630) × 10−5

= 0, 14814 × 10−5

Page 119: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

7.2. METODE RUNGE KUTTA 101

Selanjutnya q2 dihitung. Tentu saja pada saat t2, dimana t2 = 0, 2, namun sekali lagi, t2 tidak

terlibat dalam perhitungan ini. Dimulai menghitung k1 kembali

k1 = hf(q1)

= h(m1 − q1m2)

= 0, 1((1, 5 × 10−5)− (0, 14814 × 10−5)(0, 25))

= 0, 14630 × 10−5

lalu menghitung k2

k2 = hf(q1 +k12)

= h[(m1 − (q1 +k12)m2)]

= 0, 1[(1, 5 × 10−5 − ((0, 14814 × 10−5) +0, 14630 × 10−5

2)(0, 25)]

= 0, 14447 × 10−5

dilanjutkan dengan k3

k3 = hf(q1 +k22)

= h[(m1 − (q1 +k22)m2)]

= 0, 1[(1, 5 × 10−5 − ((0, 14814 × 10−5) +0, 14447 × 10−5

2)(0, 25)]

= 0, 14449 × 10−5

kemudian k4

k4 = hf(q1 + k3)

= h[(m1 − (q1 + k3)m2)]

= 0, 1[(1, 5 × 10−5 − ((0, 14814 × 10−5) + 0, 14449 × 10−5)(0, 25)]

= 0, 14268 × 10−5

akhirnya diperoleh q2

q2 = q1 +1

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

= 0, 14814 × 10−5 +1

6(0, 14630 + 2(0, 14447) + 2(0, 14449) + 0, 14268) × 10−5

= 0, 29262 × 10−5

Dengan cara yang sama, q3, q4, q5 dan seterusnya dapat dihitung. Berikut ini adalah script dalam

matlab yang dipakai untuk menghitung q

Page 120: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

102 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK

1 clear all

2 clc

3

4 format long

5

6 b=1; % batas akhir interval

7 a=0; % batas awal interval

8 h=0.1; % interval waktu

9 N=(b-a)/h; % nilai step-size

10 q0=0.0; % muatan mula-mula

11 t0=0.0; % waktu awal

12

13 % perubahan t sesuai step-size h adalah:

14 for i=1:N

15 t(i)=a+(i*h);

16 end

17

18 % solusinya:

19 k1=h*futur(q0);

20 k2=h*futur(q0+k1/2);

21 k3=h*futur(q0+k2/2);

22 k4=h*futur(q0+k3);

23 q(1)=q0+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);

24

25 for i=2:N

26 k=i-1;

27 k1=h*futur(q(k));

28 k2=h*futur(q(k)+k1/2);

29 k3=h*futur(q(k)+k2/2);

30 k4=h*futur(q(k)+k3);

31 q(i)=q(k)+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);

32 end

33 q

Adapun script fungsi turunannya (futur.m) adalah sebagai berikut:

1 function y=futur(q)

2 E=12; % tegangan (volt)

3 R=800000; % hambatan (ohm)

4 C=5e-6; % kapasitansi (farad)

5 m1=E/R;

6 m2=1/(R*C);

7 y=m1-(m2*q);

Luar biasa!! Tak ada error sama sekali. Mungkin, kalau kita buat 7 angka dibelakang koma,

errornya akan terlihat. Tapi kalau anda cukup puas dengan 5 angka dibelakang koma, hasil ini

sangat memuaskan. Gambar 7.5 memperlihatkan kurva penumpukan muatan q terhadap waktu

t – dengan batas atas interval waktu dinaikkan hingga 20 –.

Sampai disini mudah-mudahan jelas dan bisa dimengerti. Silakan anda coba untuk kasus

yang lain, misalnya proses pembuangan (discharging) q pada rangkaian yang sama, atau bisa

juga anda berlatih dengan rangkaian RL dan RLC. Saya akhiri dulu uraian saya sampai disini.

Page 121: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

7.3. LATIHAN I 103

Tabel 7.3: Perbandingan antara hasil perhitungan numerik lewat metode Runge Kutta dan hasil

perhitungan dari solusi exact, yaitu persamaan (7.16)i ti qi qexact = q(ti) |qi − qexact|0 0,0 0,00000×10−5 0,00000×10−5 0,00000

1 0,1 0,14814×10−5 0,14814×10−5 0,00000

2 0,2 0,29262×10−5 0,29262×10−5 0,00000

3 0,3 0,43354×10−5 0,43354×10−5 0,00000

4 0,4 0,57098×10−5 0,57098×10−5 0,00000

5 0,5 0,70502×10−5 0,70502×10−5 0,00000

6 0,6 0,83575×10−5 0,83575×10−5 0,00000

7 0,7 0,96326×10−5 0,96326×10−5 0,00000

8 0,8 1,0876×10−5 1,0876×10−5 0,00000

9 0,9 1,2089×10−5 1,2089×10−5 0,00000

10 1,0 1,3272×10−5 1,3272×10−5 0,00000

7.3 Latihan I

1. Sebuah benda bersuhu 50oF diletakkan di dalam ruangan bersuhu 100oF. Laju perubahan

suhu terhadap waktu diformulasikan oleh hukum Newton sebagai berikut

dT

dt= k(Tr − Tb)

dimana Tr = suhu ruang; Tb = suhu benda yang berubah-ubah dan k = konstanta bernilai

0,045.

(a) Buatlah kurva peningkatan suhu benda terhadap waktu berdasarkan analisis numerik

menggunakan medote Runge-kutta orde-4. Parameter waktu divariasikan mulai dari

0 menit hingga 20 menit.

(b) Berapakah suhu benda setelah 5 menit? Berapakah suhu benda setelah 20 menit?.

2. Peluruhan zat radioaktif diformulasikan sebagai

dN

dt− kN = 0

dimana N = massa zat radioaktif pada waktu tertentu; k = konstanta bernilai peluruhan.

Jika mula-mula adalah 50 miligram dan k = -0,053,

(a) Buatlah kurva peluruhan zat radioaktif terhadap waktu berdasarkan analisis numerik

menggunakan medote Runge-kutta orde-4. Parameter waktu divariasikan mulai dari

0 jam hingga 20 jam.

(b) Berapakah masa zat radioaktif setelah 4 jam? Berapakah masa zat radioaktif setelah

15 jam?

3. Saat saklar baru dihubungkan, yaitu pada t = 0 dan I = 0, arus mulai mengalir dari

Page 122: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

104 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

6x 10

−5

Gambar 7.5: Kurva pengisian muatan q (charging) terhadap waktu t

sumber tegangan. Persamaan Kirchhoff untuk rangkaian ini adalah

ǫ− IR− LdI

dt= 0 I(0) = 0

(a) Tentukan konstanta waktu (τ)

(b) Tentukan fungsi turunan yang siap digunakan pada metode Runge-Kutta orde 4.

(c) Tuliskan metode Runge-Kutta orde 4 untuk menghitung perubahan arus sampai 12

ms.

(d) Berapakah besarnya arus pada t = 2 ms?

(e) Gambarkan kurva hubungan antara arus (Ampere) terhadap waktu (milisecond) yang

didapat dari metode Runge-Kutta orde 4.

Page 123: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

7.3. LATIHAN I 105

(f) Solusi analitik persamaan diferensial di atas adalah I(t) = ǫR

(

1− e−Rt/L)

. Gambark-

an kurva hubungan antara arus (Ampere) terhadap waktu (milisecond) yang didapat

dari solusi analitik dan bandingkan dengan kurva yang diperoleh dari metode Runge-

Kutta orde 4.

Page 124: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

106 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK

Gambar 7.6: Kurva suatu fungsi f(x) yang dibagi sama besar berjarak h. Evaluasi kurva yang

dilakukan Finite-Difference dimulai dari batas bawah x0 = a hingga batas atas x6 = b

7.4 Metode Finite Difference

Suatu persamaan diferensial dapat dinyatakan sebagai berikut:

d2y

dx2(x) = p(x)

dy

dx(x) + q(x)y(x) + r(x), a ≤ x ≤ b, y(a) = α, y(b) = β (7.17)

atau juga dapat dituliskan dalam bentuk lain

y′′ = p(x)y′ + q(x)y + r(x) (7.18)

Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan melakukan pendekatan numerik terhadap y′′

dan y′. Caranya adalah pertama, kita memilih angka integer sembarang yaitu N dimana N > 0

dan membagi interval [a, b] dengan (N + 1), hasilnya dinamakan h (lihat Gambar 7.6)

h =b− a

N + 1(7.19)

Dengan demikian maka titik-titik x yang merupakan sub-interval antara a dan b dapat dinyatak-

an sebagai

xi = a+ ih, i = 1, 2, 3, ..., N (7.20)

Pencarian solusi persamaan diferensial melalui pendekatan numerik dilakukan dengan meman-

faatkan polinomial Taylor untuk mengevaluasi y′′ dan y′ pada xi+1 dan xi−1 seperti berikut

ini

y(xi+1) = y(xi + h) = y(xi) + hy′(xi) +h2

2y′′(xi) (7.21)

dan

y(xi−1) = y(xi − h) = y(xi)− hy′(xi) +h2

2y′′(xi) (7.22)

Page 125: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

7.4. METODE FINITE DIFFERENCE 107

Jika kedua persamaan ini dijumlahkan

y(xi+1) + y(xi−1) = 2y(xi) + h2y′′(xi)

Dari sini y′′ dapat ditentukan

h2y′′(xi) = y(xi+1)− 2y(xi) + y(xi−1)

y′′(xi) =y(xi+1)− 2y(xi) + y(xi−1)

h2(7.23)

Dengan cara yang sama, y′(xi) dapat dicari sebagai berikut

y′(xi) =y(xi+1)− y(xi−1)

2h(7.24)

Selanjutnya persamaan (7.23) dan (7.24) disubstitusikan ke persamaan (7.18) maka

y(xi+1)− 2y(xi) + y(xi−1)

h2= p(xi)

y(xi+1)− y(xi−1)

2h+ q(xi)y(xi) + r(xi)

−y(xi+1) + 2y(xi)− y(xi−1)

h2= −p(xi)

y(xi+1)− y(xi−1)

2h− q(xi)y(xi)− r(xi)

−y(xi+1) + 2y(xi)− y(xi−1)

h2+ p(xi)

y(xi+1)− y(xi−1)

2h+ q(xi)y(xi) = −r(xi)

Sebelum dilanjut, saya nyatakan bahwa y(xi+1)=wi+1 dan y(xi)=wi serta y(xi−1)=wi−1. Maka

persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut

(−wi+1 + 2wi − wi−1

h2

)

+ p(xi)

(

wi+1 −wi−1

2h

)

+ q(xi)wi = −r(xi)

(−wi+1 + 2wi − wi−1) +h

2p(xi) (wi+1 − wi−1) + h2q(xi)wi = −h2r(xi)

−wi+1 + 2wi − wi−1 +h

2p(xi)wi+1 −

h

2p(xi)wi−1 + h2q(xi)wi = −h2r(xi)

−wi−1 −h

2p(xi)wi−1 + 2wi + h2q(xi)wi − wi+1 +

h

2p(xi)wi+1 = −h2r(xi)

−(

1 +h

2p(xi)

)

wi−1 +(

2 + h2q(xi))

wi −(

1− h

2p(xi)

)

wi+1 = −h2r(xi) (7.25)

dimana i=1,2,3...sampai N, karena yang ingin kita cari adalah w1, w2, w3,..., wN . Sementara,

satu hal yang tak boleh dilupakan yaitu w0 dan wN+1 biasanya selalu sudah diketahui. Pada

persamaan (7.17), jelas-jelas sudah diketahui bahwa w0=α dan wN+1=β; keduanya dikenal

sebagai syarat batas atau istilah asingnya adalah boundary value. Topik yang sedang bahas

ini juga sering disebut sebagai Masalah Syarat Batas atau Boundary Value Problem.

Sampai disini kita mendapatkan sistem persamaan linear yang selanjutnya dapat dinyatakan

sebagai bentuk operasi matrik

Aw = b (7.26)

Page 126: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

108 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK

dimana A adalah matrik tridiagonal dengan orde N ×N

A =

2 + h2q(x1) −1 + h2p(x1) 0 . . . . . . . . . 0

−1− h2p(x2) 2 + h2q(x2) −1 + h

2p(x2) 0 . . . . . . 0

0 −1− h2p(x3) 2 + h2q(x3) −1 + h

2p(x3) 0 . . . 0

0 0 −1− h2p(x4) 2 + h2q(x4) −1 + h

2p(x4) 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . −1− h2p(xN−1) 2 + h2q(xN−1) −1 + h

2p(xN−1)

0 . . . . . . . . . . . . −1− h2p(xN ) 2 + h2q(xN )

sedangkan vektor w dan b adalah

w =

w1

w2

w3

w4

...

wN−1

wN

b =

−h2r(x1) +(

1 + h2p(x1)

)

w0

−h2r(x2)

−h2r(x3)

−h2r(x4)...

−h2r(xN−1)

−h2r(xN ) +(

1− h2p(xN )

)

wN+1

Dalam hal ini vektor w dapat dicari dengan mudah, yaitu

w = A−1b (7.27)

Agar lebih jelas, mari kita lihat contoh berikut; diketahui persamaan diferensial dinyatakan

sebagai

y′′ = −2

xy′ +

2

x2y +

sin(ln x)

x2, 1 ≤ x ≤ 2, y(1) = 1, y(2) = 2

Dengan metode Finite-Difference, solusi pendekatan dapat diperoleh dengan membagi interval

1 ≤ x ≤ 2 menjadi sub-interval, misalnya kita gunakan N = 9, sehingga spasi h diperoleh

h =b− a

N + 1=

2− 1

9 + 1= 0, 1

Dari persamaan diferensial tersebut, kita dapat menentukan fungsi p, fungsi q dan fungsi r

sebagai berikut:

p(xi) = − 2

xi

q(xi) =2

x2i

r(xi) =sin(ln xi)

x2i

Script matlab telah dibuat untuk menyelesaikan contoh soal ini. Isi script fungsi p yang disimpan

dengan nama file p.m:

Page 127: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

7.4. METODE FINITE DIFFERENCE 109

1 function u = p(x)

2

3 u = -2/x;

lalu inilah script fungsi q yang disimpan dengan nama file q.m:

1 function u = q(x)

2

3 u = 2./x.^2;

kemudian ini script fungsi r yang disimpan dengan nama file r.m::

1 function u = r(x)

2

3 u = sin(log(x))./x.^2;

dan terakhir, inilah script utamanya:

1 % PROGRAM - Aplikasi Metode Finite Difference (FD)

2 % Hasil FD dibandingkan dengan hasil solusi analitik

3 % yang ditampilkan dalam bentuk grafik

4 %

5 % Dibuat oleh : Supriyanto, 10 Desember 2012

6

7 clc;clear;close

8 %============== MENENTUKAN SYARAT BATAS =====================

9 a = 1; b = 2;

10 alpha = 1; beta = 2;

11 N = 9;

12 h = (b-a)/(N+1);

13 for k = 1:N

14 x(k) = a + k*h;

15 end

16 %============== MEMBUAT MATRIKS A ===========================

17 A = zeros(N);

18 for k = 1:N

19 A(k,k) = 2 + h^2*q(x(k));

20 end

21

22 for k = 2:N

23 A(k-1,k) = -1 + (h/2) * p(x(k-1));

24 A(k,k-1) = -1 - (h/2) * p(x(k));

25 end

26 %============== MEMBUAT VEKTOR b ============================

27 b(1,1) = -h^2*r(x(1)) + (1+(h/2)*p(x(1)))*alpha;

28 for k = 2:N-1

Page 128: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

110 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK

29 b(k,1) = -h^2*r(x(k));

30 end

31 b(N,1) = -h^2*r(x(N)) + (1-(h/2)*p(x(N)))*beta;

32 %============== MENGHITUNG w ================================

33 w = inv(A) * b;

34 %============== MEMPLOT HASIL FINITE DIFFERENCE =============

35 plot(x,w,’*b’)

36 xlabel(’nilai x’);

37 hold on

38 %============== MEMPLOT HASIL SOLUSI ANALITIK ===============

39 h = 0.1;

40 x = 1:h:2;

41 y = sol_analitik(x);

42 plot(x,y,’sr’);

43 ylabel(’nilai y’);

44 title(’\fontsize14 Kesesuaian Antara Solusi FD dan Solusi Analitik’);

Dalam script di atas, hasil perhitungan metode FD tersimpan pada baris 33 dan di-plot pada

baris 35. Disisi lain, solusi analitik dari persamaan diferensial

y′′ = −2

xy′ +

2

x2y +

sin(ln x)

x2, 1 ≤ x ≤ 2, y(1) = 1, y(2) = 2

adalah

y = c1x+c2x2

− 3

10sin(lnx)− 1

10cos(lnx),

dimana

c2 =1

70[8− 12 sin(ln 2)− 4 cos(ln 2)] ≈ −0, 03920701320

dan

c1 =11

10− c2 ≈ 1, 1392070132.

Pada script di atas, solusi analitik akan didapat pada baris 41, dimana sol_analitik() adalah

fungsi eksternal untuk menyimpan persamaan solusi analitik di atas.

Tabel berikut ini memperlihatkan hasil perhitungan dengan pendekatan metode FD wi dan

hasil perhitungan dari solusi exact y(xi), dilengkapi dengan selisih antara keduanya |wi − y(xi)|.Tabel ini memperlihatkan tingkat kesalahan (error) berada pada orde 10−5. Untuk memperkecil

orde kesalahan, kita bisa menggunakan polinomial Taylor berorde tinggi. Akan tetapi proses

kalkulasi menjadi semakin banyak dan disisi lain penentuan syarat batas lebih kompleks di-

bandingkan dengan pemanfaatan polinomial Taylor yang sekarang. Untuk menghindari hal-hal

yang rumit itu, salah satu jalan pintas yang cukup efektif adalah dengan menerapkan ekstrapo-

lasi Richardson.

Contoh

Pemanfaatan ekstrapolasi Richardson pada metode Finite Difference untuk persamaan diferen-

Page 129: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

7.4. METODE FINITE DIFFERENCE 111

1 1.2 1.4 1.6 1.8 21

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

nilai x

nila

i y

Kesesuaian Antara Solusi FD dan Solusi Analitik

solusi FD

solusi analitik

Gambar 7.7:

sial seperti berikut ini

y′′ = −2

xy′ +

2

x2y +

sin(lnx)

x2, 1 ≤ x ≤ 2, y(1) = 1, y(2) = 2,

dengan h = 0, 1, h = 0, 05, h = 0, 025. Ekstrapolasi Richardson terdiri atas 3 tahapan, yaitu

ekstrapolasi yang pertama

Ext1i =4wi(h = 0, 05) − wi(h = 0, 1)

3

kemudian ekstrapolasi yang kedua

Ext2i =4wi(h = 0, 025) − wi(h = 0, 05)

3

dan terakhir ekstrapolasi yang ketiga

Ext3i =16Ext2i − Ext1i

15

Tabel berikut ini memperlihatkan hasil perhitungan tahapan-tahapan ekstrapolasi tersebut. Jika

seluruh angka di belakang koma diikut-sertakan, maka akan terlihat selisih antara solusi exact

dengan solusi pendekatan sebesar 6, 3× 10−11. Ini benar-benar improvisasi yang luar biasa.

Page 130: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

112 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK

xi wi y(xi) |wi − y(xi)|1,0 1,00000000 1,00000000

1,1 1,09260052 1,09262930 2,88 × 10−5

1,2 1,18704313 1,18708484 4,17 × 10−5

1,3 1,28333687 1,28338236 4,55 × 10−5

1,4 1,38140205 1,38144595 4,39 × 10−5

1,5 1,48112026 1,48115942 3,92 × 10−5

1,6 1,58235990 1,58239246 3,26 × 10−5

1,7 1,68498902 1,68501396 2,49 × 10−5

1,8 1,78888175 1,78889853 1,68 × 10−5

1,9 1,89392110 1,89392951 8,41 × 10−6

2,0 2,00000000 2,00000000

xi wi(h = 0, 1) wi(h = 0, 05) wi(h = 0, 025) Ext1i Ext2i Ext3i

1,0 1,00000000 1,00000000 1,00000000 1,00000000 1,00000000 1,00000000

1,1 1,09260052 1,09262207 1,09262749 1,09262925 1,09262930 1,09262930

1,2 1,18704313 1,18707436 1,18708222 1,18708477 1,18708484 1,18708484

1,3 1,28333687 1,28337094 1,28337950 1,28338230 1,28338236 1,28338236

1,4 1,38140205 1,38143493 1,38144319 1,38144598 1,38144595 1,38144595

1,5 1,48112026 1,48114959 1,48115696 1,48115937 1,48115941 1,48115942

1,6 1,58235990 1,58238429 1,58239042 1,58239242 1,58239246 1,58239246

1,7 1,68498902 1,68500770 1,68501240 1,68501393 1,68501396 1,68501396

1,8 1,78888175 1,78889432 1,78889748 1,78889852 1,78889853 1,78889853

1,9 1,89392110 1,89392740 1,89392898 1,89392950 1,89392951 1,89392951

2,0 2,00000000 2,00000000 2,00000000 2,00000000 2,00000000 2,00000000

7.4.1 Aplikasi

Besar simpangan terhadap waktu (y(t)) suatu sistem osilator mekanik yang padanya diberikan

gaya secara periodik (forced-oscilations) memenuhi persamaan diferensial seperti dibawah ini

berikut syarat-syarat batasnya

d2y

dt2=

dy

dt+ 2y + cos(t), 0 ≤ t ≤ π

2, y(0) = −0, 3, y(

π

2) = −0, 1

Dengan metode Finite-Difference, tentukanlah besar masing-masing simpangan di setiap inte-

rval h = π/8. Buatlah table untuk membandingkan hasil finite-difference dengan solusi analitik

yang memenuhi y(t) = − 110 [sin(t) + 3cos(t)].

jawab:

Secara umum, persamaan diferensial dapat dinyatakan sbb:

d2y

dx2(x) = p(x)

dy

dx(x) + q(x)y(x) + r(x), a ≤ x ≤ b, y(a) = α, y(b) = β

Dengan membandingkan kedua persamaan di atas, kita bisa definisikan

p(t) = 1 q(t) = 2 r(t) = cos(t) a = 0 b =π

2α = −0, 3 β = −0, 1

Page 131: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

7.5. LATIHAN II 113

Adapun persamaan finite-difference adalah

−(

1 +h

2p(xi)

)

wi−1 +(

2 + h2q(xi))

wi −(

(1− h

2p(xi)

)

wi+1 = −h2r(xi)

Persamaan diatas dikonversi kedalam operasi matriks

Aw = b (7.28)

dimana A adalah matrik tridiagonal dengan orde N ×N

A =

2 + h2q(x1) −1 + h2p(x1) 0 . . . . . . . . . 0

−1− h2p(x2) 2 + h2q(x2) −1 + h

2p(x2) 0 . . . . . . 0

0 −1− h2p(x3) 2 + h2q(x3) −1 + h

2p(x3) 0 . . . 0

0 0 −1− h2p(x4) 2 + h2q(x4) −1 + h

2p(x4) 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . −1− h2p(xN−1) 2 + h2q(xN−1) −1 + h

2p(xN−1)

0 . . . . . . . . . . . . −1− h2p(xN ) 2 + h2q(xN )

w =

w1

w2

w3

w4

...

wN−1

wN

b =

−h2r(x1) +(

1 + h2p(x1)

)

w0

−h2r(x2)

−h2r(x3)

−h2r(x4)...

−h2r(xN−1)

−h2r(xN ) +(

1− h2p(xN )

)

wN+1

Jumlah baris matrik ditentukan oleh bilangan n. Namun disoal hanya tersedia informasi nilai

h = π/8, sehingga n harus dihitung terlebih dahulu:

h =b− a

n+ 1n =

b− a

h− 1 =

π2 − 0

π/8− 1 = 3

perhitungan ini dilakukan didalam script matlab. Selanjutnya seluruh elemen matrik A dan

vektor b dihitung dengan matlab

2, 3084 −0, 8037 0

−1, 1963 2, 3084 −0, 8037

0 −1, 1963 2, 3084

w1

w2

w3

=

−0, 5014

−0, 1090

−0, 1394

Proses diteruskan dengan metode Eliminasi Gauss dan didapat hasil akhir berikut ini

w1 = −0.3157 w2 = −0.2829 w3 = −0.2070

7.5 Latihan II

1.

Page 132: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

114 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK

7.6 Persamaan Diferensial Parsial

Dalam sub-bab ini, penulisan ’persamaan diferensial parsial’ akan dipersingkat menjadi PDP.

PDP dapat dibagi menjadi 3 jenis, yaitu persamaan diferensial eliptik, parabolik dan hiperbolik.

PDP eliptik dinyatakan sebagai berikut

∂2u

∂x2(x, y) +

∂2u

∂y2(x, y) = f(x, y) (7.29)

Dalam ilmu fisika, persamaan (7.29) dikenal sebagai Persamaan Poisson. Persamaan tersebut

akan lebih sederhana jika f(x, y)=0,

∂2u

∂x2(x, y) +

∂2u

∂y2(x, y) = 0 (7.30)

yang biasa disebut sebagai Persamaan Laplace. Contoh masalah PDP eliptik di bidang fisika

adalah distribusi panas pada kondisi steady-state pada obyek 2-dimensi dan 3-dimensi.

Jenis PDP kedua adalah PDP parabolik yang dinyatakan sebagai berikut

∂u

∂t(x, t)− α2 ∂

2u

∂x2(x, t) = 0 (7.31)

Fenomena fisis yang bisa dijelaskan oleh persamaan ini adalah masalah aliran panas pada suatu

obyek dalam fungsi waktu t.

Terakhir, PDP ketiga adalah PDP hiperbolik yang dinyatakan sebagai berikut

α2∂2u

∂2x(x, t) =

∂2u

∂t2(x, t) (7.32)

biasa digunakan untuk menjelaskan fenomena gelombang.

Sekarang, mari kita bahas lebih dalam satu-persatu, difokuskan pada bagaimana cara me-

nyatakan semua PDP di atas dalam formulasi Finite-Difference.

7.7 PDP eliptik

Kita mulai dari persamaan aslinya

∂2u

∂x2(x, y) +

∂2u

∂y2(x, y) = f(x, y) (7.33)

dimana R = [(x, y)|a < x < b, c < y < d]. Maksudnya, variasi titik-titik x berada di antara a dan

b. Demikian pula dengan variasi titik-titik y, dibatasi mulai dari c sampai d (lihat Gambar 7.8).

Jika h adalah jarak interval antar titik yang saling bersebelahan pada titik-titik dalam rentang

horizontal a dan b, maka titik-titik variasi di antara a dan b dapat diketahui melalui rumus ini

xi = a+ ih, dimana i = 1, 2, . . . , n (7.34)

Page 133: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

7.7. PDP ELIPTIK 115

a b

c

d

h

k

grid lines

mesh points

x1 x2 ... xn

y1

y2

ym

......

Gambar 7.8: Skema grid lines dan mesh points pada aplikasi metode Finite-Difference

dimana a adalah titik awal pada sumbu horisontal x. Demikian pula pada sumbu y. Jika k

adalah jarak interval antar titik yang bersebelahan pada titik-titik dalam rentang vertikal c dan

d, maka titik-titik variasi di antara c dan d dapat diketahui melalui rumus ini

yj = c+ jk, dimana j = 1, 2, . . . ,m (7.35)

dimana c adalah titik awal pada sumbu vertikal y. Perhatikan Gambar 7.8, garis-garis yang

sejajar sumbu horisontal, y = yi dan garis-garis yang sejajar sumbu vertikal, x = xi disebut grid

lines. Sementara titik-titik perpotongan antara garis-garis horisontal dan vertikal dinamakan

mesh points.

Bentuk diskrit turunan kedua persamaan (7.33) dapat dinyatakan dalam rumus centered-

difference sebagai berikut

∂2u

∂x2(xi, yj) =

u(xi+1, yj)− 2u(xi, yj) + u(xi−1, yj)

h2− h2

12

∂4u

∂x4(ξi, yj) (7.36)

∂2u

∂y2(xi, yj) =

u(xi, yj+1)− 2u(xi, yj) + u(xi, yj−1)

k2− k2

12

∂4u

∂y4(xi, ηj) (7.37)

Metode Finite-Difference biasanya mengabaikan suku yang terakhir, sehingga cukup dinyatakan

sebagai∂2u

∂x2(xi, yj) =

u(xi+1, yj)− 2u(xi, yj) + u(xi−1, yj)

h2(7.38)

∂2u

∂y2(xi, yj) =

u(xi, yj+1)− 2u(xi, yj) + u(xi, yj−1)

k2(7.39)

Pengabaian suku terakhir otomatis menimbulkan error yang dinamakan truncation error. Jadi,

ketika suatu persamaan diferensial diolah secara numerik dengan metode Finite-Difference, ma-

Page 134: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

116 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK

ka solusinya pasti meleset alias keliru "sedikit", dikarenakan adanya truncation error tersebut.

Akan tetapi, nilai error tersebut dapat ditolerir hingga batas-batas tertentu yang uraiannya akan

dikupas pada bagian akhir bab ini.

Ok. Mari kita lanjutkan! Sekarang persamaan (7.38) dan (7.39) disubstitusi ke persamaan

(7.33), hasilnya adalah

u(xi+1, yj)− 2u(xi, yj) + u(xi−1, yj)

h2+

u(xi, yj+1)− 2u(xi, yj) + u(xi, yj−1)

k2= f(xi, yj) (7.40)

dimana i = 1, 2, ..., n − 1 dan j = 1, 2, ...,m − 1 dengan syarat batas sebagai berikut

u(x0, yj) = g(x0, yj) u(xn, yj) = g(xn, yj)

u(xi, y0) = g(xi, y0) u(xi, ym) = g(xi, ym)

Pengertian syarat batas disini adalah bagian tepi atau bagian pinggir dari susunan mesh points.

Pada metode Finite-Difference, persamaan (7.40) dinyatakan dalam notasi w, sebagai berikut

wi+1,j − 2wi,j +wi−1,j

h2+

wi,j+1 − 2wi,j + wi,j−1

k2= f(xi, yj)

wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j +h2

k2(wi,j+1 − 2wi,j + wi,j−1) = h2f(xi, yj)

wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j +h2

k2wi,j+1 − 2

h2

k2wi,j +

h2

k2wi,j−1 = h2f(xi, yj)

−2[1 +h2

k2]wi,j + (wi+1,j + wi−1,j) +

h2

k2(wi,j+1 + wi,j−1) = h2f(xi, yj)

2[1 +h2

k2]wi,j − (wi+1,j + wi−1,j)−

h2

k2(wi,j+1 + wi,j−1) = −h2f(xi, yj) (7.41)

dimana i = 1, 2, ..., n − 1 dan j = 1, 2, ...,m − 1, dengan syarat batas sebagai berikut

w0,j = g(x0, yj) wn,j = g(xn, yj) j = 1, 2, ...,m − 1;

wi,0 = g(xi, y0) wi,m = g(xi, ym) i = 1, 2, ..., n − 1.

Persamaan (7.41) adalah rumusan akhir metode Finite-Difference untuk PDP Eliptik.

7.7.1 Contoh pertama

Misalnya kita diminta mensimulasikan distribusi panas pada lempengan logam berukuran 0, 5

m x 0, 5 m. Temperatur pada 2 sisi tepi lempengan logam dijaga pada 0C, sementara pada

2 sisi tepi lempengan logam yang lain, temperaturnya diatur meningkat secara linear dari 0C

hingga 100C. Problem ini memenuhi PDP Eliptik:

∂2u

∂x2(x, y) +

∂2u

∂y2(x, y) = 0; 0 < x < 0, 5, 0 < y < 0, 5

Page 135: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

7.7. PDP ELIPTIK 117

U(0

,y)=

0

U(x,0)=0

U(0

.5,y

)=200y

U(x,0.5)=200x

0.5

0.5

Y

X

W2,3

W1,3

W3,3

W1,2

W2,2

W3,2

W1,1

W2,1

W3,1

W1,4

W2,4

W3,4

W4,3

W4,2

W4,1

W0,3

W0,2

W0,1

W1,0

W2,0

W3,0

Gambar 7.9: Susunan grid lines dan mesh points untuk mensimulasikan distribusi temperatur

pada lempeng logam sesuai contoh satu

dengan syarat-syarat batas

u(0, y) = 0, u(x, 0) = 0, u(x, 0.5) = 200x, u(0.5, y) = 200y

Jika n = m = 4 sedangkan ukuran lempeng logam adalah 0, 5 m x 0, 5 m, maka

h =0, 5

4= 0, 125 k =

0, 5

4= 0, 125

Grid lines berikut mesh points dibuat berdasarkan nilai h dan k tersebut (lihat Gambar 7.9).

Langkah berikutnya adalah menyusun persamaan Finite-Difference, dimulai dari persamaan asal-

nya (persamaan 7.41)

2[1 +h2

k2]wi,j − (wi+1,j + wi−1,j)−

h2

k2(wi,j+1 + wi,j−1) = −h2f(xi, yj)

Karena h = k = 0, 125 dan f(xi, yj) = 0, maka

4wi,j − wi+1,j − wi−1,j − wi,j−1 −wi,j+1 = 0 (7.42)

Disisi lain, karena n = 4, maka nilai i yang bervariasi i = 1, 2, ..., n − 1 akan menjadi i =

1, 2, 3. Demikian hal-nya dengan j, karena m = 4, maka variasi j = 1, 2, ...,m − 1 atau j =

1, 2, 3. Dengan menerapkan persamaan (7.42) pada setiap mesh point yang belum diketahui

Page 136: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

118 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK

temperaturnya, diperoleh

4w1,3 − w2,3 − w1,2 = w0,3 + w1,4

4w2,3 −w3,3 − w2,2 − w1,3 = w2,4

4w3,3 − w3,2 − w2,3 = w4,3 + w3,4

4w1,2 −w2,2 − w1,1 − w1,3 = w0,2

4w2,2 − w3,2 −w2,1 − w1,2 − w2,3 = 0

4w3,2 −w3,1 − w2,2 − w3,3 = w4,2

4w1,1 − w2,1 − w1,2 = w0,1 + w1,0

4w2,1 −w3,1 − w1,1 − w2,2 = w2,0

4w3,1 − w2,1 − w3,2 = w3,0 + w4,1

Semua notasi w yang berada diruas kanan tanda sama-dengan sudah ditentukan nilainya ber-

dasarkan syarat batas, yaitu

w1,0 = w2,0 = w3,0 = w0,1 = w0,2 = w0,3 = 0,

w1,4 = w4,1 = 25, w2,4 = w4,2 = 50, dan

w3,4 = w4,3 = 75

Dengan memasukkan syarat batas tersebut ke dalam sistem persamaan linear, maka

4w1,3 − w2,3 − w1,2 = 25

4w2,3 − w3,3 − w2,2 − w1,3 = 50

4w3,3 − w3,2 − w2,3 = 150

4w1,2 − w2,2 − w1,1 − w1,3 = 0

4w2,2 − w3,2 − w2,1 − w1,2 − w2,3 = 0

4w3,2 − w3,1 − w2,2 − w3,3 = 50

4w1,1 − w2,1 − w1,2 = 0

4w2,1 − w3,1 − w1,1 − w2,2 = 0

4w3,1 − w2,1 − w3,2 = 25

Page 137: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

7.7. PDP ELIPTIK 119

Kemudian dijadikan operasi perkalian matrik

4 −1 0 −1 0 0 0 0 0

−1 4 −1 0 −1 0 0 0 0

0 −1 4 0 0 −1 0 0 0

−1 0 0 4 −1 0 −1 0 0

0 −1 0 −1 4 −1 0 −1 0

0 0 −1 0 −1 4 0 0 −1

0 0 0 −1 0 0 4 −1 0

0 0 0 0 −1 0 −1 4 −1

0 0 0 0 0 −1 0 −1 4

w1,3

w2,3

w3,3

w1,2

w2,2

w3,2

w1,1

w2,1

w3,1

=

25

50

150

0

0

50

0

0

25

Mari kita perhatikan sejenak susunan elemen-elemen angka pada matrik berukuran 9x9 di atas.

Terlihat jelas pada elemen diagonal selalu berisi angka 4. Ini sama sekali bukan ketidakse-

ngajaan. Melainkan susunan itu sengaja direkayasa sedemikian rupa sehingga elemen-elemen

tri-diagonal terisi penuh oleh angka bukan 0 dan pada diagonal utamanya diletakkan angka

yang terbesar. Metode Eliminasi Gauss dan Iterasi Gauss-Seidel telah diaplikasikan untuk me-

nyelesaikan persamaan matrik di atas.

7.7.2 Script Matlab untuk PDP Elliptik

Inilah script Matlab yang dipakai untuk menghitung nila-nilai w menggunakan metode Eliminasi

Gauss.

1 clear all

2 clc

3 n=9;

4 A=[ 4 -1 0 -1 0 0 0 0 0;

5 -1 4 -1 0 -1 0 0 0 0;

6 0 -1 4 0 0 -1 0 0 0;

7 -1 0 0 4 -1 0 -1 0 0;

8 0 -1 0 -1 4 -1 0 -1 0;

9 0 0 -1 0 -1 4 0 0 -1;

10 0 0 0 -1 0 0 4 -1 0;

11 0 0 0 0 -1 0 -1 4 -1;

12 0 0 0 0 0 -1 0 -1 4];

13

14 b=[25; 50; 150; 0; 0; 50; 0; 0; 25];

15

16 %&&&&&& Proses Eliminasi Gauss &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

17 %====== Menggabungkan Vektor b kedalam matrik A ========

18 %====== sehingga terbentuk matrik Augmentasi. ========

19 for i=1:n

20 A(i,n+1)=b(i,1);

21 end

22

23 %---------Proses Triangularisasi-----------

24 for j=1:(n-1)

25

26 %----mulai proses pivot---

27 if (A(j,j)==0)

Page 138: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

120 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK

28 for p=1:n+1

29 u=A(j,p);

30 v=A(j+1,p);

31 A(j+1,p)=u;

32 A(j,p)=v;

33 end

34 end

35 %----akhir proses pivot---

36 jj=j+1;

37 for i=jj:n

38 m=A(i,j)/A(j,j);

39 for k=1:(n+1)

40 A(i,k)=A(i,k)-(m*A(j,k));

41 end

42 end

43 end

44 %-------------------------------------------

45

46 %------Proses Substitusi mundur-------------

47 x(n,1)=A(n,n+1)/A(n,n);

48

49 for i=n-1:-1:1

50 S=0;

51 for j=n:-1:i+1

52 S=S+A(i,j)*x(j,1);

53 end

54 x(i,1)=(A(i,n+1)-S)/A(i,i);

55 end

56 %&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

57

58 %===== Menampilkan Vektor w =================

59 w=x

Sementara berikut ini adalah script Matlab untuk menghitung nila-nilai w menggunakan metode

Iterasi Gauss-Seidel.

1 clear all

2 clc

3

4 n=9;

5 A=[ 4 -1 0 -1 0 0 0 0 0;

6 -1 4 -1 0 -1 0 0 0 0;

7 0 -1 4 0 0 -1 0 0 0;

8 -1 0 0 4 -1 0 -1 0 0;

9 0 -1 0 -1 4 -1 0 -1 0;

10 0 0 -1 0 -1 4 0 0 -1;

11 0 0 0 -1 0 0 4 -1 0;

12 0 0 0 0 -1 0 -1 4 -1;

13 0 0 0 0 0 -1 0 -1 4];

14

15 b=[25; 50; 150; 0; 0; 50; 0; 0; 25];

16

17 %&&&&&&& ITERASI GAUSS-SEIDEL &&&&&&&&&&&&&&&&&&

18 itermax=100; %iterasi maksimum

19 %----nilai awal-----------

20 xl=[0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0];

21 xb=xl;

22 %----stopping criteria-----------

Page 139: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

7.7. PDP ELIPTIK 121

23 sc=0.001;

24 %----memulai iterasi-------------

25 for iterasi=1:itermax

26 smtr1=0;

27 for j=2:n

28 smtr1=smtr1+A(1,j)*xl(j,1);

29 end

30 xb(1,1)=(-smtr1+b(1,1))/A(1,1);

31 %----------------------------------------------

32 for i=2:n-1

33 smtr2=0;

34 for j=i+1:n

35 smtr2=smtr2-A(i,j)*xl(j,1);

36 end

37 smtr3=0;

38 for k=1:i-1

39 smtr3=smtr3-A(i,k)*xb(k,1);

40 end

41 xb(i,1)=(smtr3+smtr2+b(i,1))/A(i,i);

42 end

43 %----------------------------------------------

44 smtr4=0;

45 for k=1:n-1

46 smtr4=smtr4-A(n,k)*xb(k,1);

47 end

48 xb(n,1)=(smtr4+b(n,1))/A(n,n);

49 %------perhitungan norm2 -------------

50 s=0;

51 for i=1:n

52 s=s+(xb(i,1)-xl(i,1))^2;

53 end

54 epsilon=sqrt(s);

55 %-------------------------------------

56 xl=xb;

57 %------memeriksa stopping criteria--------

58 if epsilon<sc

59 w=xb

60 break

61 end

62 %-----------------------------------------

63 end

Tabel berikut memperlihatkan hasil pemrosesan dengan metode Eliminasi Gauss (disingkat: EG)

dan iterasi Gauss-Seidel (disingkat: GS)

w1,3 w2,3 w3,3 w1,2 w2,2 w3,2 w1,1 w2,1 w3,1

EG 18.7500 37.5000 56.2500 12.5000 25.0000 37.5000 6.2500 12.5000 18.7500

GS 18.7497 37.4997 56.2498 12.4997 24.9997 37.4998 6.2498 12.4998 18.7499

Inilah solusi yang ditawarkan oleh Finite-Difference. Kalau diamati dengan teliti, angka-

angka distribusi temperatur pada 9 buah mesh points memang logis dan masuk akal. Dalam

kondisi riil, mungkin kondisi seperti ini hanya bisa terjadi bila lempengan logam tersebut terbuat

dari bahan yang homogen.

Page 140: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

122 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK

Hasil EG dan GS memang berbeda, walaupun perbedaannya tidak significant. Namun perlu

saya tegaskan disini bahwa jika sistem persamaan linear yang diperoleh dari Finite Difference

berorde 100 atau kurang dari itu, maka lebih baik memilih metode Eliminasi Gauss sebagai

langkah penyelesaian akhir. Alasannya karena, direct method seperti eliminasi Gauss, lebih sta-

bil dibandingkan metode iterasi. Tapi jika orde-nya lebih dari 100, disarankan memilih metode

iterasi seperti iterasi Gauss-Seidel, atau menggunakan metode SOR yang terbukti lebih efisien

dibanding Gauss-Seidel. Jika matrik A bersifat positive definite, metode Court Factorization ada-

lah pilihan yg paling tepat karena metode ini sangat efisien sehingga bisa menghemat memori

komputer.

7.7.3 Contoh kedua

Diketahui persamaan poisson sebagai berikut

∂2u

∂x2(x, y) +

∂2u

∂y2(x, y) = xey, 0 < x < 2, 0 < y < 1,

dengan syarat batas

u (0, y) = 0, u (2, y) = 2ey, 0 ≤ y ≤ 1,

u (x, 0) = x, u (x, 1) = ex, 0 ≤ x ≤ 2,

Solusi numerik dihitung dengan pendekatan finite-difference gauss-seidel dimana batas toleran-

si kesalahan ditentukan∣

∣w

(l)ij − w

(l−1)ij

∣≤ 10−10

7.8 PDP parabolik

PDP parabolik yang kita pelajari disini adalah persamaan difusi

∂u

∂t(x, t) = α2 ∂

2u

∂x2(x, t), 0 < x < ℓ, t > 0, (7.43)

yang berlaku pada kondisi

u(0, t) = u(ℓ, t) = 0, t > 0,

dan

u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ ℓ,

dimana t dalam dimensi waktu, sementara x berdimensi jarak.

Page 141: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

7.8. PDP PARABOLIK 123

7.8.1 Metode Forward-difference

Solusi numerik diperoleh menggunakan forward-difference2 dengan langkah-langkah yang

hampir mirip seperti yang telah dibahas pada PDP eliptik. Langkah pertama adalah menen-

tukan sebuah angka m > 0, yang dengannya, nilai h ditentukan oleh rumus h = ℓ/m. Langkah

kedua adalah menentukan ukuran time-step k dimana k > 0. Adapun mesh points ditentukan

oleh (xi, tj), dimana xi = ih, dengan i = 0, 1, 2, ...,m, dan tj = jk dengan j = 0, 1, ....

Berdasarkan deret Taylor, turunan pertama persamaan (7.43) terhadap t, dengan time step

k, adalah∂u

∂t(xi, tj) =

u (xi, tj + k)− u (xi, tj)

k− k

2

∂2u

∂t2(xi, µj) (7.44)

Namun, sebagaimana pendekatan finite-difference pada umumnya, pendekatan forward-difference

selalu mengabaikan suku terakhir, sehingga persamaan di atas ditulis seperti ini

∂u

∂t(xi, tj) =

u (xi, tj + k)− u (xi, tj)

k(7.45)

Sementara itu, turunan kedua persamaan (7.43) terhadap x berdasarkan deret Taylor adalah

∂2u

∂x2(xi, tj) =

u (xi + h, tJ )− 2u (xi, tj) + u (xi − h, tJ )

h2− h2

12

∂4u

∂x4(ξi, tj) (7.46)

Pengabaian suku terakhir menjadikan persamaan di atas ditulis kembali sebagai berikut

∂2u

∂x2(xi, tj) =

u (xi + h, tj)− 2u (xi, tj) + u (xi − h, tj)

h2(7.47)

Kemudian persamaan (7.45) dan (7.47) disubstitusi kedalam persamaan (7.43), maka diperoleh

u (xi, tj + k)− u (xi, tj)

k= α2u (xi + h, tj)− 2u (xi, tj) + u (xi − h, tj)

h2(7.48)

atau dapat dinyatakan dalam notasi w

wi,j+1 − wi,j

k− α2wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j

h2= 0 (7.49)

Dari sini diperoleh solusi untuk wi,j+1, yaitu

wi,j+1 =

(

1− 2α2k

h2

)

wi,j + α2 k

h2(wi+1,j + wi−1,j) (7.50)

jika

λ =α2k

h2(7.51)

maka

(1− 2λ)wi,j + λwi+1,j + λwi−1,j = wi,j+1 (7.52)

2Pada Bab ini ada beberapa istilah yang masing-masing menggunakan kata difference, yaitu finite difference, for-

ward difference, centered difference dan backward difference. Setiap istilah punya arti yang berbeda.

Page 142: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

124 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK

7.8.2 Contoh ketiga: One dimensional heat equation

Misalnya diketahui, distribusi panas satu dimensi (1D) sebagai fungsi waktu (t) pada sebatang

logam memenuhi persamaan berikut

∂u

∂t(x, t)− ∂2u

∂x2(x, t) = 0, 0 < x < 1 0 ≤ t,

dengan syarat batas

u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 < t,

dan kondisi mula-mula

u(x, 0) = sin(πx), 0 ≤ x ≤ 1,

Solusi analitik atas masalah ini adalah

u(x, t) = e−π2t sin(πx)

Adapun sebaran posisi mesh-points dalam 1-D diperlihatkan pada Gambar 7.10. Sementara

h=0.1

Gambar 7.10: Sebatang logam dengan posisi titik-titik simulasi (mesh-points) distribusi temperatur.Jarak antar titik ditentukan sebesar h = 0, 1.

Gambar 7.11 melengkapi Gambar 7.10, dimana perubahan waktu tercatat setiap interval k =

0, 0005. Sepintas Gambar 7.11 terlihat seolah-olah obyek yang mau disimulasikan berbentuk

2-dimensi, padahal bendanya tetap 1-dimensi yaitu hanya sebatang logam.

1

t

x0

k=0.0005

0.0.....

h=0.1

Gambar 7.11: Interval mesh-points dengan jarak h = 0, 1 dalam interval waktu k = 0, 0005

Selanjutnya, Gambar 7.12 memperlihatkan tepi-tepi syarat batas yaitu angka 0 di ujung kiri

dan angka 1 di ujung kanan pada sumbu horisontal x. Diantara batas-batas itu terdapat sebaran

titik simulasi berjarak h = 0, 1. Sementara, sumbu vertikal menunjukan perubahan dari waktu

ke waktu dengan interval k = 0, 0005. Karena α = 1, h = 0, 1 dan k = 0, 0005 maka λ dapat

Page 143: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

7.8. PDP PARABOLIK 125

1

t

x0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.0005

0.0010

0.0015

0.0.....

Gambar 7.12: Posisi mesh-points. Arah x menunjukkan posisi titik-titik yang dihitung dengan forward-

difference, sedangkan arah t menunjukkan perubahan waktu yg makin meningkat

dihitung dengan persamaan (7.51)

λ =α2k

h2=

0, 0005

0, 12= 0, 05

Berdasarkan persamaan (7.52), sistem persamaan linear dapat disusun sebagai berikut

0, 9w1,j + 0, 5w2,j = w1,j+1 − 0, 5w0,j

0, 9w2,j + 0, 5w3,j + 0, 5w1,j = w2,j+1

0, 9w3,j + 0, 5w4,j + 0, 5w2,j = w3,j+1

0, 9w4,j + 0, 5w5,j + 0, 5w3,j = w4,j+1

0, 9w5,j + 0, 5w6,j + 0, 5w4,j = w5,j+1

0, 9w6,j + 0, 5w7,j + 0, 5w5,j = w6,j+1

0, 9w7,j + 0, 5w8,j + 0, 5w6,j = w7,j+1

0, 9w8,j + 0, 5w9,j + 0, 5w7,j = w8,j+1

0, 9w9,j + 0, 5w8,j = w9,j+1 − 0, 5w10,j

Syarat batas menetapkan bahwa w0,j = w10,j = 0. Lalu dinyatakan dalam bentuk operasi matrik

0, 9 0, 5 0 0 0 0 0 0 0

0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0 0 0 0

0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0 0 0

0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0 0

0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0

0 0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0

0 0 0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0

0 0 0 0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5

0 0 0 0 0 0 0 0, 5 0, 9

w1,j

w2,j

w3,j

w4,j

w5,j

w6,j

w7,j

w8,j

w9,j

=

w1,j+1

w2,j+1

w3,j+1

w4,j+1

w5,j+1

w6,j+1

w7,j+1

w8,j+1

w9,j+1

(7.53)

Page 144: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

126 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK

Persamaan matriks di atas dapat direpresentasikan sebagai

Aw(j) = w(j+1) (7.54)

Proses perhitungan dimulai dari j = 0. Persamaan matrik menjadi

0, 9 0, 5 0 0 0 0 0 0 0

0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0 0 0 0

0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0 0 0

0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0 0

0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0

0 0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0

0 0 0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0

0 0 0 0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5

0 0 0 0 0 0 0 0, 5 0, 9

w1,0

w2,0

w3,0

w4,0

w5,0

w6,0

w7,0

w8,0

w9,0

=

w1,1

w2,1

w3,1

w4,1

w5,1

w6,1

w7,1

w8,1

w9,1

Nilai w1,0, w2,0, ..., w9,0 sudah ditentukan oleh kondisi awal, yaitu

u(x, 0) = sinπx, 0 ≤ x ≤ 1,

Jika h = 0, 1, maka x1 = h = 0, 1; x2 = 2h = 0, 2; x3 = 3h = 0, 3;....; x9 = 9h = 0, 9.

Lalu masing-masing dimasukkan ke sinπx untuk mendapatkan nilai u(x, 0). Kemudian notasi

u(x, 0) diganti dengan notasi w yang selanjutnya dinyatakan sebagai berikut: w1,0 = u(x1, 0) =

u(0.1, 0) = sinπ(0.1) = 0, 3090. Dengan cara yang sama: w2,0 = 0, 5878; w3,0 = 0, 8090;

w4,0 = 0, 9511; w5,0 = 1, 0000; w6,0 = 0, 9511; w7,0 = 0, 8090; w8,0 = 0, 5878; dan w9,0 = 0, 3090.

Maka persamaan matriks menjadi

0, 9 0, 5 0 0 0 0 0 0 0

0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0 0 0 0

0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0 0 0

0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0 0

0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0

0 0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0

0 0 0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0

0 0 0 0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5

0 0 0 0 0 0 0 0, 5 0, 9

0, 3090

0, 5878

0, 8090

0, 9511

1, 0000

0, 9511

0, 8090

0, 5878

0, 3090

=

w1,1

w2,1

w3,1

w4,1

w5,1

w6,1

w7,1

w8,1

w9,1

Ini hanya perkalian matrik biasa 3. Hasil perkalian itu adalah: w1,1 = 0, 3075; w2,1 = 0, 5849;

w3,1 = 0, 8051; w4,1 = 0, 9464; w5,1 = 0, 9951; w6,1 = 0, 9464; w7,1 = 0, 8051; w8,1 = 0, 5849; dan

w9,1 = 0, 3075. Semua angka ini adalah nilai temperatur kawat di masing-masing mesh points

setelah selang waktu 0, 0005 detik4.

3Topik tentang perkalian matrik sudah diulas pada Bab 14karena step time k-nya sudah ditentukan sebesar 0, 0005

Page 145: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

7.8. PDP PARABOLIK 127

Selanjutnya, hasil ini diumpankan lagi ke persamaan matriks yang sama untuk mendapatkan

wx,2

0, 9 0, 5 0 0 0 0 0 0 0

0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0 0 0 0

0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0 0 0

0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0 0

0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0

0 0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0

0 0 0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0

0 0 0 0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5

0 0 0 0 0 0 0 0, 5 0, 9

0, 3075

0, 5849

0, 8051

0, 9464

0, 9951

0, 9464

0, 8051

0, 5849

0, 3075

=

w1,2

w2,2

w3,2

w4,2

w5,2

w6,2

w7,2

w8,2

w9,2

Perhitungan dengan cara seperti ini diulang-ulang sampai mencapai waktu maksimum. Jika

waktu maksimum adalah T = 0, 5 detik, berarti mesti dilakukan 1000 kali iterasi5. Untuk

sampai 1000 kali, maka indeks j bergerak dari 1 sampai 1000. Dengan bantuan script Matlab,

proses perhitungan menjadi sangat singkat.

7.8.2.1 Script Forward-Difference

Script matlab Forward-Difference untuk menyelesaikan contoh masalah ini, dimana h = 0, 1 dan

k = 0, 0005

1 clear all

2 clc

3

4 n=9;

5 alpha=1.0;

6 k=0.0005;

7 h=0.1;

8 lambda=(alpha^2)*k/(h^2);

9

10 % Kondisi awal

11 for i=1:n

12 suhu(i)=sin(pi*i*0.1);

13 end

14

15 %Mengcopy kondisi awal ke w

16 for i=1:n

17 w0(i,1)=suhu(i);

18 end

19

20 A=[ (1-2*lambda) lambda 0 0 0 0 0 0 0;

21 lambda (1-2*lambda) lambda 0 0 0 0 0 0;

22 0 lambda (1-2*lambda) lambda 0 0 0 0 0 ;

23 0 0 lambda (1-2*lambda) lambda 0 0 0 0;

24 0 0 0 lambda (1-2*lambda) lambda 0 0 0;

25 0 0 0 0 lambda (1-2*lambda) lambda 0 0;

26 0 0 0 0 0 lambda (1-2*lambda) lambda 0 ;

5cara menghitung jumlah iterasi: T/k = 0, 5/0, 0005 = 1000

Page 146: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

128 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK

27 0 0 0 0 0 0 lambda (1-2*lambda) lambda ;

28 0 0 0 0 0 0 0 lambda (1-2*lambda) ];

29

30 iterasi=1000;

31 for k=1:iterasi

32 disp(’perkalian matriks’)

33 %======================================

34 for i=1:n

35 w(i,1)=0.0;

36 end

37

38 for i=1:n

39 for j=1:n

40 w(i,1)=w(i,1)+A(i,j)*w0(j,1);

41 end

42 end

43 %====================================

44 w

45 w0=w;

46 end

Tabel 7.4 memperlihatkan hasil perhitungan yang diulang-ulang hingga 1000 kali. Tabel ter-

sebut juga menunjukkan hasil perbandingan antara pemilihan nilai interval k = 0, 0005 dan

k = 0, 01. Tabel ini menginformasikan satu hal penting, yaitu pada saat interval k = 0, 0005,

forward-difference berhasil mencapai konvergensi yang sangat baik. Namun pada saat interval

k = 0.01, dengan jumlah iterasi hanya 50 kali untuk mencapai time maksimum 0, 5 detik, ter-

lihat jelas hasil forward-difference tidak konvergen (Bandingkan kolom ke-4 dan kolom ke-6!),

dan ini dianggap bermasalah. Masalah ini bisa diatasi dengan metode backward-difference.

Tabel 7.4: Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi. Kolom ke-2 adalah solusianalitik/exact, kolom ke-3 dan ke-5 adalah solusi numerik forward-difference. Kolom ke-4 dan ke-6 adalahselisih antara solusi analitik dan numerik

wi,1000 wi,50

xi u(xi, 0.5) k = 0, 0005 |u(xi, 0.5) − wi,1000| k = 0, 01 |u(xi, 0.5) − wi,50|0,0 0 0 0

0,1 0,00222241 0,00228652 6, 411 × 10−5 8, 19876 × 107 8, 199 × 107

0,2 0,00422728 0,00434922 1, 219 × 10−4 −1, 55719 × 108 1, 557 × 108

0,3 0,00581836 0,00598619 1, 678 × 10−4 2, 13833 × 108 2, 138 × 108

0,4 0,00683989 0,00703719 1, 973 × 10−4 −2, 50642 × 108 2, 506 × 108

0,5 0,00719188 0,00739934 2, 075 × 10−4 2, 62685 × 108 2, 627 × 108

0,6 0,00683989 0,00703719 1, 973 × 10−4 −2, 49015 × 108 2, 490 × 108

0,7 0,00581836 0,00598619 1, 678 × 10−4 2, 11200 × 108 2, 112 × 108

0,8 0,00422728 0,00434922 1, 219 × 10−4 −1, 53086 × 108 1, 531 × 108

0,9 0,00222241 0,00228652 6, 511 × 10−5 8, 03604 × 107 8, 036 × 107

1,0 0 0 0

Page 147: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

7.8. PDP PARABOLIK 129

7.8.3 Metode Backward-difference

Kalau kita ulang lagi pelajaran yang lalu tentang forward-difference, kita akan dapatkan formula

forward-difference adalah sebagai berikut (lihat persamaan (7.49))

wi,j+1 − wi,j

k− α2wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j

h2= 0

Sekarang, dengan sedikit modifikasi, formula backward-difference dinyatakan sebagai

wi,j − wi,j−1

k− α2wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j

h2= 0 (7.55)

jika ditetapkan

λ =α2k

h2

maka backward-difference disederhanakan menjadi

(1 + 2λ)wi,j − λwi+1,j − λwi−1,j = wi,j−1 (7.56)

coba sejenak anda bandingkan dengan formula forward-difference dalam λ sebagaimana dinya-

takan oleh persamaan (7.52)

(1− 2λ)wi,j + λwi+1,j + λwi−1,j = wi,j+1

O.K., mari kita kembali ke contoh soal kita yang tadi, dimana ada perubahan nilai k yang semula

k = 0, 0005 menjadi k = 0, 01. Sementara α dan h nilainya tetap. Maka λ dapat dihitung dengan

persamaan (7.51) kembali

λ =α2k

h2=

0, 1

0, 012= 1

Berdasarkan persamaan (7.56), sistem persamaan linear mengalami sedikit perubahan

3w1,j − 1w2,j = w1,j−1 + 1w0,j

3w2,j − 1w3,j − 1w1,j = w2,j−1

3w3,j − 1w4,j − 1w2,j = w3,j−1

3w4,j − 1w5,j − 1w3,j = w4,j−1

3w5,j − 1w6,j − 1w4,j = w5,j−1

3w6,j − 1w7,j − 1w5,j = w6,j−1

3w7,j − 1w8,j − 1w6,j = w7,j−1

3w8,j − 1w9,j − 1w7,j = w8,j−1

3w9,j − 1w8,j = w9,j−1 + 1w10,j

Page 148: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

130 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK

Syarat batas masih sama, yaitu w0,j = w10,j = 0. Lalu jika dinyatakan dalam bentuk operasi

matrik

3 −1 0 0 0 0 0 0 0

−1 3 −1 0 0 0 0 0 0

0 −1 3 −1 0 0 0 0 0

0 0 −1 3 −1 0 0 0 0

0 0 0 −1 3 −1 0 0 0

0 0 0 0 −1 3 −1 0 0

0 0 0 0 0 −1 3 −1 0

0 0 0 0 0 0 −1 3 −1

0 0 0 0 0 0 0 −1 3

w1,j

w2,j

w3,j

w4,j

w5,j

w6,j

w7,j

w8,j

w9,j

=

w1,j−1

w2,j−1

w3,j−1

w4,j−1

w5,j−1

w6,j−1

w7,j−1

w8,j−1

w9,j−1

Persamaan matriks di atas dapat direpresentasikan sebagai

Aw(j) = w(j−1) (7.57)

Perhitungan dimulai dari iterasi pertama, dimana j = 1

3 −1 0 0 0 0 0 0 0

−1 3 −1 0 0 0 0 0 0

0 −1 3 −1 0 0 0 0 0

0 0 −1 3 −1 0 0 0 0

0 0 0 −1 3 −1 0 0 0

0 0 0 0 −1 3 −1 0 0

0 0 0 0 0 −1 3 −1 0

0 0 0 0 0 0 −1 3 −1

0 0 0 0 0 0 0 −1 3

w1,1

w2,1

w3,1

w4,1

w5,1

w6,1

w7,1

w8,1

w9,1

=

w1,0

w2,0

w3,0

w4,0

w5,0

w6,0

w7,0

w8,0

w9,0

Dengan memasukan kondisi awal, ruas kanan menjadi

3 −1 0 0 0 0 0 0 0

−1 3 −1 0 0 0 0 0 0

0 −1 3 −1 0 0 0 0 0

0 0 −1 3 −1 0 0 0 0

0 0 0 −1 3 −1 0 0 0

0 0 0 0 −1 3 −1 0 0

0 0 0 0 0 −1 3 −1 0

0 0 0 0 0 0 −1 3 −1

0 0 0 0 0 0 0 −1 3

w1,1

w2,1

w3,1

w4,1

w5,1

w6,1

w7,1

w8,1

w9,1

=

0, 3090

0, 5878

0, 8090

0, 9511

1, 0000

0, 9511

0, 8090

0, 5878

0, 3090

Page 149: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

7.8. PDP PARABOLIK 131

Berbeda dengan operasi matrik forward difference, operasi matrik backward difference ini bukan

perkalian matrik biasa. Operasi matrik tersebut akan dipecahkan oleh metode Eliminasi Gauss6.

Untuk jumlah iterasi hingga j = 50, perhitungannya dilakukan dalam script Matlab.

7.8.3.1 Script Backward-Difference dengan Eliminasi Gauss

1 clear all

2 clc

3

4 n=9;

5 alpha=1.0;

6 k=0.01;

7 h=0.1;

8 lambda=(alpha^2)*k/(h^2);

9

10 %Kondisi awal

11 for i=1:n

12 suhu(i)=sin(pi*i*0.1);

13 end

14

15 %Mengcopy kondisi awal ke w

16 for i=1:n

17 w0(i,1)=suhu(i);

18 end

19

20 AA=[ (1+2*lambda) -lambda 0 0 0 0 0 0 0;

21 -lambda (1+2*lambda) -lambda 0 0 0 0 0 0;

22 0 -lambda (1+2*lambda) -lambda 0 0 0 0 0 ;

23 0 0 -lambda (1+2*lambda) -lambda 0 0 0 0;

24 0 0 0 -lambda (1+2*lambda) -lambda 0 0 0;

25 0 0 0 0 -lambda (1+2*lambda) -lambda 0 0;

26 0 0 0 0 0 -lambda (1+2*lambda) -lambda 0 ;

27 0 0 0 0 0 0 -lambda (1+2*lambda) -lambda ;

28 0 0 0 0 0 0 0 -lambda (1+2*lambda) ];

29

30 iterasi=50;

31 for i=1:iterasi

32 %&&&&&& Proses Eliminasi Gauss &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

33 A=AA; %Matriks Backward Difference dicopy supaya fix

34

35 for i=1:n

36 A(i,n+1)=w0(i,1);

37 end

38

39 %---------Proses Triangularisasi-----------

40 for j=1:(n-1)

41

42 %----mulai proses pivot---

43 if (A(j,j)==0)

44 for p=1:n+1

45 u=A(j,p);

46 v=A(j+1,p);

47 A(j+1,p)=u;

48 A(j,p)=v;

49 end

6Uraian tentang metode Eliminasi Gauss tersedia di Bab 2

Page 150: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

132 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK

50 end

51 %----akhir proses pivot---

52 jj=j+1;

53 for i=jj:n

54 m=A(i,j)/A(j,j);

55 for k=1:(n+1)

56 A(i,k)=A(i,k)-(m*A(j,k));

57 end

58 end

59 end

60 %-------------------------------------------

61

62 %------Proses Substitusi mundur-------------

63 w(n,1)=A(n,n+1)/A(n,n);

64

65 for i=n-1:-1:1

66 S=0;

67 for j=n:-1:i+1

68 S=S+A(i,j)*w(j,1);

69 end

70 w(i,1)=(A(i,n+1)-S)/A(i,i);

71 end

72 %&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

73 w0=w;

74 end

75 w

Hasilnya menunjukkan bahwa kinerja metode backward-difference lebih baik dibanding metode

forward-difference, ini ditunjukkan dari selisih yang relatif kecil antara solusi numerik dan solusi

analitik, sebagaimana bisa terlihat dari kolom ke-4 pada tabel berikut

Tabel 7.5: Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi dengan metode backward-difference dimana k = 0, 01

xi u(xi, 0.5) wi,50 |u(xi, 0.5) − wi,50|0,0 0 0

0,1 0,00222241 0,00289802 6, 756 × 10−4

0,2 0,00422728 0,00551236 1, 285 × 10−3

0,3 0,00581836 0,00758711 1, 769 × 10−3

0,4 0,00683989 0,00891918 2, 079 × 10−3

0,5 0,00719188 0,00937818 2, 186 × 10−3

0,6 0,00683989 0,00891918 2, 079 × 10−3

0,7 0,00581836 0,00758711 1, 769 × 10−3

0,8 0,00422728 0,00551236 1, 285 × 10−3

0,9 0,00222241 0,00289802 6, 756 × 10−4

1,0 0 0

7.8.4 Metode Crank-Nicolson

Metode ini dimunculkan disini karena metode ini memiliki performa yang lebih unggul dari

dua metode sebelumnya. Namun begitu pondasi metode Crank-Nicolson terdiri atas metode

Forward-Difference dan metode Backward-Difference. Mari kita ulang lagi pelajaran yang sudah

Page 151: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

7.8. PDP PARABOLIK 133

kita lewati. Formula Forward-Difference adalah

wi,j+1 − wi,j

k− α2wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j

h2= 0

sedangkan Backward-Difference adalah

wi,j − wi,j−1

k− α2wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j

h2= 0

Ketika Backward-Difference berada pada iterasi ke j + 1, maka

wi,j+1 −wi,j

k− α2wi+1,j+1 − 2wi,j+1 + wi−1,j+1

h2= 0 (7.58)

Jika formula ini dijumlahkan dengan formula forward-difference, kemudian hasilnya dibagi 2,

maka akan diperoleh

wi,j+1 − wi,j

k− α2

2

[

wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j

h2+

wi+1,j+1 − 2wi,j+1 + wi−1,j+1

h2

]

= 0 (7.59)

inilah formula Crank-Nicolson. Adapun λ tetap dinyatakan sebagai

λ =α2k

h2

maka

wi,j+1 − wi,j −λ

2[wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j + wi+1,j+1 − 2wi,j+1 + wi−1,j+1] = 0

wi,j+1 − wi,j −λ

2wi+1,j + λwi,j −

λ

2wi−1,j −

λ

2wi+1,j+1 + λwi,j+1 −

λ

2wi−1,j+1 = 0

−λ

2wi−1,j+1 + wi,j+1 + λwi,j+1 −

λ

2wi+1,j+1 −

λ

2wi−1,j − wi,j + λwi,j −

λ

2wi+1,j = 0

−λ

2wi−1,j+1 + wi,j+1 + λwi,j+1 −

λ

2wi+1,j+1 =

λ

2wi−1,j + wi,j − λwi,j +

λ

2wi+1,j

dan akhirnya

−λ

2wi−1,j+1 + (1 + λ)wi,j+1 −

λ

2wi+1,j+1 =

λ

2wi−1,j + (1− λ)wi,j +

λ

2wi+1,j (7.60)

Dalam bentuk persamaan matrik dinyatakan sebagai

Aw(j+1) = Bw(j), untuk j = 0, 1, 2, ... (7.61)

Dengan menggunakan contoh soal yang sama, yang sebelumnya telah diselesaikan dengan me-

tode Forward-Difference dan Backward-Difference, maka penyelesaian soal tersebut dengan me-

tode Crank-Nicolson juga akan didemonstrasikan di sini. Dengan nilai k = 0, 01; h = 0, 1; λ = 1

Page 152: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

134 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK

dan berdasarkan persamaan (7.60) diperoleh

−0, 5wi−1,j+1 + 2wi,j+1 − 0, 5wi+1,j+1 = 0, 5wi−1,j + 0wi,j + 0, 5wi+1,j

Script Matlab untuk menyelesaikan persamaan ini adalah

1 clear all

2 clc

3

4 n=9;

5 iterasi=50;

6 alpha=1.0;

7 k=0.01;

8 h=0.1;

9 lambda=(alpha^2)*k/(h^2);

10

11 %Kondisi awal

12 for i=1:n

13 suhu(i)=sin(pi*i*0.1);

14 end

15

16 %Mengcopy kondisi awal ke w

17 for i=1:n

18 w0(i,1)=suhu(i);

19 end

20

21 AA=[(1+lambda) -lambda/2 0 0 0 0 0 0 0;

22 -lambda/2 (1+lambda) -lambda/2 0 0 0 0 0 0;

23 0 -lambda/2 (1+lambda) -lambda/2 0 0 0 0 0;

24 0 0 -lambda/2 (1+lambda) -lambda/2 0 0 0 0;

25 0 0 0 -lambda/2 (1+lambda) -lambda/2 0 0 0;

26 0 0 0 0 -lambda/2 (1+lambda) -lambda/2 0 0;

27 0 0 0 0 0 -lambda/2 (1+lambda) -lambda/2 0;

28 0 0 0 0 0 0 -lambda/2 (1+lambda) -lambda/2;

29 0 0 0 0 0 0 0 -lambda/2 (1+lambda)];

30

31 B=[(1-lambda) lambda/2 0 0 0 0 0 0 0;

32 lambda/2 (1-lambda) lambda/2 0 0 0 0 0 0;

33 0 lambda/2 (1-lambda) lambda/2 0 0 0 0 0;

34 0 0 lambda/2 (1-lambda) lambda/2 0 0 0 0;

35 0 0 0 lambda/2 (1-lambda) lambda/2 0 0 0;

36 0 0 0 0 lambda/2 (1-lambda) lambda/2 0 0;

37 0 0 0 0 0 lambda/2 (1-lambda) lambda/2 0;

38 0 0 0 0 0 0 lambda/2 (1-lambda) lambda/2;

39 0 0 0 0 0 0 0 lambda/2 (1-lambda)];

40

41 iterasi=50;

42 for iter=1:iterasi

43

44 %===perkalian matriks===================

45 for i=1:n

46 b(i,1)=0.0;

47 end

48 for i=1:n

49 for j=1:n

50 b(i,1)=b(i,1)+B(i,j)*w0(j,1);

51 end

52 end

Page 153: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

7.9. PDP HIPERBOLIK 135

53 %======================================

54

55 %&&&&&& Proses Eliminasi Gauss &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

56 A=AA; %Matriks Backward Difference dicopy supaya fix

57

58 for i=1:n

59 A(i,n+1)=b(i,1);

60 end

61

62 %---------Proses Triangularisasi-----------

63 for j=1:(n-1)

64

65 %----mulai proses pivot---

66 if (A(j,j)==0)

67 for p=1:n+1

68 u=A(j,p);

69 v=A(j+1,p);

70 A(j+1,p)=u;

71 A(j,p)=v;

72 end

73 end

74 %----akhir proses pivot---

75 jj=j+1;

76 for i=jj:n

77 m=A(i,j)/A(j,j);

78 for k=1:(n+1)

79 A(i,k)=A(i,k)-(m*A(j,k));

80 end

81 end

82 end

83 %-------------------------------------------

84

85 %------Proses Substitusi mundur-------------

86 w(n,1)=A(n,n+1)/A(n,n);

87

88 for i=n-1:-1:1

89 S=0;

90 for j=n:-1:i+1

91 S=S+A(i,j)*w(j,1);

92 end

93 w(i,1)=(A(i,n+1)-S)/A(i,i);

94 end

95 %&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

96 w0=w;

97 end

98 iter

99 w

Terlihat disini bahwa orde kesalahan metode Crank-Nicolson (kolom ke-6) sedikit lebih kecil di-

bandingkan metode Backward-Difference (kolom ke-5). Ini menunjukkan tingkat akurasi Crank-

Nicolson lebih tinggi dibandingkan Backward-Difference.

7.9 PDP Hiperbolik

Pada bagian ini, kita akan membahas solusi numerik untuk persamaan gelombang yang meru-

pakan salah satu contoh PDP hiperbolik. Persamaan gelombang dinyatakan dalam persamaan

Page 154: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

136 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK

Tabel 7.6: Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu (t) dalam 1-dimensi dengan metode

backward-difference dan Crank-NicolsonBD CN Backward-Diff Crank-Nicolson

xi u(xi, 0.5) wi,50 wi,50 |u(xi, 0.5) − wi,50| |u(xi, 0.5) − wi,50|0,0 0 0 0

0,1 0,00222241 0,00289802 0,00230512 6, 756 × 10−4 8, 271 × 10−5

0,2 0,00422728 0,00551236 0,00438461 1, 285 × 10−3 1, 573 × 10−4

0,3 0,00581836 0,00758711 0,00603489 1, 769 × 10−3 2, 165 × 10−4

0,4 0,00683989 0,00891918 0,00709444 2, 079 × 10−3 2, 546 × 10−4

0,5 0,00719188 0,00937818 0,00745954 2, 186 × 10−3 2, 677 × 10−4

0,6 0,00683989 0,00891918 0,00709444 2, 079 × 10−3 2, 546 × 10−4

0,7 0,00581836 0,00758711 0,00603489 1, 769 × 10−3 2, 165 × 10−4

0,8 0,00422728 0,00551236 0,00438461 1, 285 × 10−3 1, 573 × 10−4

0,9 0,00222241 0,00289802 0,00230512 6, 756 × 10−4 8, 271 × 10−5

1,0 0 0 0

diferensial sebagai berikut

∂2u

∂t2(x, t)− α2 ∂

2u

∂x2(x, t) = 0, 0 < x < ℓ, t > 0 (7.62)

dengan suatu kondisi

u (0, t) = u (ℓ, t) = 0, untuk t > 0,

u (x, 0) = f (x) , dan∂u

∂t(x, 0) = g (x) , untuk 0 ≤ x ≤ ℓ

dimana α adalah konstanta. Kita tentukan ukuran time-step sebesar k, jarak tiap mesh point

adalah h.

xi = ih dan tj = jk

dengan i = 0, 1, ...,m dan j = 0, 1, .... Pada bagian interior, posisi mesh points ditentukan oleh

koordinat (xi, tj), karenanya persamaan gelombang ditulis menjadi

∂2u

∂t2(xi, tj)− α2 ∂

2u

∂x2(xi, tj) = 0 (7.63)

Formula centered-difference digunakan sebagai pendekatan numerik persamaan gelombang pada

tiap-tiap suku. Untuk turunan kedua terhadap t

∂2u

∂t2(xi, tj) =

u (xi, tj+1)− 2u (xi, tj) + u (xi, tj−1)

k2

dan turunan kedua terhadap x

∂2u

∂x2(xi, tj) =

u (xi+1, tj)− 2u (xi, tj) + u (xi−1, tj)

h2

Page 155: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

7.9. PDP HIPERBOLIK 137

Dengan mensubtitusikan kedua persamaan di atas kedalam persamaan (7.63)

u (xi, tj+1)− 2u (xi, tj) + u (xi, tj−1)

k2− α2u (xi+1, tj)− 2u (xi, tj) + u (xi−1, tj)

h2= 0

maka dapat diturunkan formula finite-difference untuk PDP hiperbolik sebagai berikut

wi,j+1 − 2wi,j + wi,j−1

k2− α2wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j

h2= 0 (7.64)

Jika λ = αk/h, maka persamaan ini dapat ditulis kembali

wi,j+1 − 2wi,j + wi,j−1 − λ2wi+1,j + 2λ2wi,j − λ2wi−1,j = 0

sehingga wi,j+1 selaku solusi numerik dapat dihitung dengan merubah sedikit suku-suku pada

formula di atas

wi,j+1 = 2(

1− λ2)

wi,j + λ2 (wi+1,j +wi−1,j)− wi,j−1 (7.65)

dengan i = 1, 2, ...,m − 1 dan j = 1, 2, .... Kondisi syarat batas ditentukan sebagai berikut

w0,j = wm,j = 0, untuk j = 1, 2, 3, ... (7.66)

sementara kondisi awal dinyatakan

wi,0 = f (xi) , untuk i = 1, 2, ...,m − 1 (7.67)

Berbeda dengan PDP eliptik dan PDP parabolik, pada PDP hiperbolik, untuk menghitung mesh

point (j + 1), diperlukan informasi mesh point (j) dan (j − 1). Hal ini sedikit menimbulkan

masalah pada langkah/iterasi pertama karena nilai untuk j = 0 sudah ditentukan oleh persa-

maan (7.67) sementara nilai untuk j = 1 untuk menghitung wi,2, harus diperoleh lewat kondisi

kecepatan awal∂u

∂t(x, 0) = g (x) , 0 ≤ x ≤ ℓ (7.68)

Salah satu cara pemecahan dengan pendekatan forward-difference adalah

∂u

∂t(xi, 0) =

u (xi, t1)− u (xi, 0)

k(7.69)

u (xi, t1) = u (xi, 0) + k∂u

∂t(xi, 0)

= u (xi, 0) + kg (xi)

konsekuensinya

wi,1 = wi,0 + kg(xi), untuk i = 1, 2, ...,m − 1 (7.70)

Page 156: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

138 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK

7.9.1 Contoh

Tentukan solusi dari persamaan gelombang berikut ini

∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2= 0, 0 < x < 1, 0 < t

dengan syarat batas

u (0, t) = u (ℓ, t) = 0, untuk 0 < t,

dan kondisi mula-mula

u (x, 0) = sinπx, 0 ≤ x ≤ 1

∂u

∂t= 0, 0 ≤ x ≤ 1

menggunakan metode finite-difference, dengan m = 4, N = 4, dan T = 1, 0. Bandingkan hasil

yang diperoleh dengan solusi analitik u(x, t) = cos πt sinπx.

Jika persamaan gelombang pada contoh soal ini dibandingkan dengan persamaan (7.62),

maka diketahui nilai α = 1 dan ℓ = 1. Dari sini, nilai h dapat dihitung, yaitu h = ℓ/m = 1/4 =

0, 25. Sementara nilai k diperoleh dari k = T/N = 1, 0/4 = 0, 25. Dengan diketahuinya nilai α,

h, dan k, maka λ dapat dihitung, yaitu λ = αk/h = 1. Selanjutnya, nilai λ ini dimasukkan ke

persamaan (7.65)

wi,j+1 = 2(

1− λ2)

wi,j + λ2 (wi+1,j + wi−1,j)− wi,j−1

wi,j+1 = 2(

1− 12)

wi,j + 12 (wi+1,j + wi−1,j)− wi,j−1

wi,j+1 = 0wi,j + (wi+1,j + wi−1,j)− wi,j−1

dimana i bergerak dari 0 sampai m, atau i = 0, 1, 2, 3, 4. Sementara j, bergerak dari 0 sampai

T/k = 4, atau j = 0, 1, 2, 3, 4.

Catatan kuliah baru sampai sini!!

7.10 Latihan

1. Carilah solusi persamaan differensial elliptik berikut ini dengan pendekatan numerik meng-

gunakan metode Finite Difference

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= (x2 + y2)exy, 0 < x < 2, 0 < y < 1;

gunakan h = 0, 2 dan k = 0, 1

u(0, y) = 1, u(2, y) = e2y, 0 ≤ y ≤ 1

u(x, 0) = 1, u(x, 1) = ex, 0 ≤ x ≤ 2

Bandingkan hasilnya dengan solusi analitik u(x, t) = exy.

Page 157: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

7.10. LATIHAN 139

2. Carilah solusi persamaan differensial parabolik berikut ini dengan pendekatan numerik

menggunakan metode Finite Difference Backward-Difference

∂u

∂t− 1

16

∂2u

∂x2= 0, 0 < x < 1, 0 < t;

u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 < t;

u(x, 0) = 2 sin 2πx, 0 ≤ x ≤ 1;

gunakan m = 3, T = 0, 1, dan N = 2. Bandingkan hasilnya dengan solusi analitik

u(x, t) = 2e−(π2/4)t sin 2πx

u (xi, t1) = u (xi, 0) + k∂u

∂t(xi, 0) +

k2

2

∂2u

∂t2(xi, 0) +

k3

6

∂3u

∂t3(xi, µi) (7.71)

∂2u

∂t2(xi, 0) = α2 ∂

2u

∂x2(xi, 0) = α2 df

dx2(xi) = α2f” (xi) (7.72)

u (xi, t1) = u (xi, 0) + kg (xi) +α2k2

2f” (xi) +

k3

6

∂3u

∂t3(xi, µi) (7.73)

wi1 = wi0 + kg (xi) +α2k2

2f” (xi) (7.74)

f” (xi) =f (xi+1)− 2f (xi) + f (xi−1)

h2− h2

12f (4)

(

ξ)

(7.75)

u (xi, t1) = u (xi, 0) + kg (xi) +k2α2

2h2[

f (xi+1)− 2f (xi) + f (xi−1)h2]

+O(

k3 + h2k2)

(7.76)

u (xi, t1) = u (xi, 0) + kg (xi) +λ2

2

[

f (xi+1)− 2f (xi) + f (xi−1) h2]

+O(

k3 + h2k2)

(7.77)

=(

1− λ2)

f (xi) +λ2

2f (xi+1) +

λ2

2f (xi−1) + kg (xi) +O

(

k3 + h2k2)

(7.78)

wi,1 =(

1− λ2)

f (xi) +λ2

2f (xi+1) +

λ2

2f (xi−1) + kg (xi) (7.79)

Page 158: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

140 BAB 7. DIFERENSIAL NUMERIK

Page 159: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

Bab 8

Metode Iterasi

Objektif :

⊲ Mengenalkan konsep Norm.

⊲ Mengenalkan iterasi Jacobi.

⊲ Mengenalkan iterasi Gauss-Seidel.

⊲ Mengenalkan iterasi Succesive-Over-Relaxation (SOR).

8.1 Kelebihan Vektor-kolom

Sebelum kita membahas metode iterasi untuk menyelesaikan problem sistem persamaan linear,

saya ingin menyampaikan satu hal yang sangat sederhana, yaitu tentang cara merepresentasikan

elemen-elemen suatu vektor-kolom. Sebagaimana tertulis pada bab-bab sebelumnya, biasanya

suatu vektor-kolom ditulis sebagai

x =

x1

x2...

xn

(8.1)

Dengan operasi transpose, vektor-kolom tersebut dapat dinyatakan sebagai

x =[

x1; x2; . . . xn

]T(8.2)

Contoh:

x =

3

−2

8

5

=[

3; −2; 8; 5]T

Cara penulisan seperti ini digunakan untuk menyatakan vektor-kolom pada suatu kalimat di

dalam paragraf. Alasannya supaya tidak terlalu menyita banyak ruang penulisan. Sementara,

141

Page 160: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

142 BAB 8. METODE ITERASI

persamaan (8.1), lebih sering digunakan pada penulisan operasi matrik. Satu hal lagi, pada

paragraf-paragraf berikutnya, saya persingkat penulisan istilah vektor-kolom menjadi vektor

saja.

8.2 Pengertian Norm

Vektor x=(x1;x2; ...;xn)T memiliki norm ℓ2 dan ℓ∞ yang didefinisikan sebagai

ℓ2 = ‖x‖2 = n∑

i=1

x2i 1/2 (8.3)

dan

ℓ∞ = ‖x‖∞ = max1≤i≤n

|xi| (8.4)

Contoh: x=(3;−2; 8; 5)T memiliki norm ℓ2 yaitu

ℓ2 = ‖x‖2 =√

(3)2 + (−2)2 + (8)2 + (5)2 = 10, 0995

dan norm ℓ∞ yaitu

ℓ∞ = ‖x‖∞ = max(3), (−2), (8), (5) = 8

Saya menyarankan agar kedua norm ini diingat-ingat dengan baik, karena akan banyak dising-

gung pada catatan-catatan berikutnya.

8.2.1 Script perhitungan norm dua

Script berikut ini merujuk pada contoh di atas, dimana vektor x hanya terdiri dari 4 elemen,

yaitu x(1, 1),x(2, 1),x(3, 1) dan x(4, 1)

1 clear all

2 clc

3

4 x = [ 3 ; -2 ; 8 ; 5 ];

5

6 n = length(x);

7 S = 0;

8 for i = 1:n

9 S = S + x(i,1)^2;

10 end

11 hasil = sqrt(S);

Berdasarkan script di atas, dapat dibuat fungsi eksternal sebagai berikut:

1 function hasil = norm2(x)

2

3 n = length(x);

4 S = 0;

5 for i = 1:n

6 S = S + x(i,1)^2;

Page 161: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

8.2. PENGERTIAN NORM 143

7 end

8 hasil = sqrt(S);

8.2.2 Script perhitungan norm tak hingga

Script berikut ini merujuk pada contoh di atas, dimana vektor x hanya terdiri dari 4 elemen,

yaitu x(1, 1),x(2, 1),x(3, 1) dan x(4, 1)

1 clear all

2 clc

3

4 x = [ 3 ; -9 ; 8 ; 5 ];

5

6 n = length(x);

7 xx = x;

8 for i=1:n

9 if xx(i,1) < 0

10 xx(i,1) = xx(i,1) * -1;

11 end

12 end

13 hasil = max(xx);

Script ini menggunakan fungsi internal yang bernama max() untuk mendapatkan nilai elemen

terbesar diantara elemen-elemen yang ada dalam vektor x. Berdasarkan script di atas, dapat

dibuat fungsi eksternal sebagai berikut:

1 function hasil = normth(x)

2

3 n = length(x);

4 xx = x;

5 for i=1:n

6 if xx(i,1) < 0

7 xx(i,1) = xx(i,1) * -1;

8 end

9 end

10 hasil = max(xx);

8.2.3 Perhitungan norm-selisih

Misalnya kita punya vektor bernama xlama. Lalu ada vektor lainnya bernama xbaru. Norm

selisih dari xlama dan xbaru dapat dihitung dengan bantuan fungsi eksternal yang baru saja

kita buat di atas, yaitu bernama norm2() dan normth().

1 clear all

2 clc

3

4 xlama = [ 3 ; -2 ; 8 ; 5 ];

5 xbaru = [ 9 ; 4 ; 6 ; 1 ];

6

7 xselisih = xbaru-xlama;

8 hasil1 = norm2(xselisih);

9 hasil2 = normth(xselisih);

Page 162: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

144 BAB 8. METODE ITERASI

Cara perhitungan norm-selisih seperti ini akan diterapkan pada kebanyakan metode iterasi.

Jadi tolong diingat baik-baik!!

8.3 Iterasi Jacobi

Sekarang kita akan mulai membahas metode iterasi sekaligus penerapannya untuk menyele-

saikan sistem persamaan linear. Perbedaan metode iterasi dengan metode-metode yang telah

dijelaskan sebelumnya, adalah ia dimulai dari penentuan nilai awal (initial value) untuk setiap

elemen vektor x. Kemudian berdasarkan nilai awal tersebut, dilakukan langkah perhitungan

untuk mendapatkan elemen-elemen vektor x yang baru. Untuk lebih jelasnya, silakan perhatik-

an baik-baik contoh berikut. Diketahui sistem persamaan linear terdiri atas empat persamaan,

yaitu

10x1 − x2 + 2x3 = 6

−x1 + 11x2 − x3 + 3x4 = 25

2x1 − x2 + 10x3 − x4 = −11

3x2 − x3 + 8x4 = 15

yang mana solusinya adalah x=(1; 2;−1; 1)T . Silakan simpan dulu solusi ini, anggap saja kita

belum tahu. Lalu perhatikan baik-baik bagaimana metode iterasi Jacobi bisa menemukan solusi

tersebut dengan caranya yang khas.

Langkah pertama dan merupakan langkah terpenting dari metode iterasi Jacobi adalah

mengubah cara penulisan sistem persamaan linear di atas menjadi seperti ini

x1 =1

10x2 −

2

10x3 +

6

10

x2 =1

11x1 +

1

11x3 −

3

11x4 +

25

11

x3 = − 2

10x1 +

1

10x2 +

1

10x4 −

11

10

x4 = −3

8x2 +

1

8x3 +

15

8

Kita bisa menyatakan bahwa nilai x1, x2, x3 dan x4 yang berada di ruas kiri tanda = (baca: sama

dengan) sebagai x(baru). Sementara nilai x1, x2, x3 dan x4 yang berada di ruas kanan tanda =

(baca: sama dengan) sebagai x(lama). Sehingga sistem persamaan tersebut dapat ditulis seperti

ini

x(baru)1 =

1

10x(lama)2 − 2

10x(lama)3 +

6

10

x(baru)2 =

1

11x(lama)1 +

1

11x(lama)3 − 3

11x(lama)4 +

25

11

x(baru)3 = − 2

10x(lama)1 +

1

10x2 +

1

10x(lama)4 − 11

10

x(baru)4 = −3

8x(lama)2 +

1

8x(lama)3 +

15

8

Page 163: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

8.3. ITERASI JACOBI 145

yang secara umum dapat diformulasikan sebagai persamaan matrik berikut ini

x(baru) = Jx(lama) + u (8.5)

dimana

x(baru)1

x(baru)2

x(baru)3

x(baru)4

=

0 110 − 2

10 0111 0 1

11 − 311

− 210

110 0 1

10

0 −38

18 0

x(lama)1

x(lama)2

x(lama)3

x(lama)4

+

6102511

−1110

158

Atau dapat pula ditulis seperti ini

xk = Jxk−1 + u (8.6)

dimana k = 1, 2, 3, ..., n; sehingga persamaan matrik dapat dinyatakan sebagai berikut

x(k)1

x(k)2

x(k)3

x(k)4

=

0 110 − 2

10 0111 0 1

11 − 311

− 210

110 0 1

10

0 −38

18 0

x(k−1)1

x(k−1)2

x(k−1)3

x(k−1)4

+

6102511

−1110

158

Pada persamaan di atas, indeks k menunjukan jumlah perhitungan iterasi. Pada k = 1, maka

penulisan sistem persamaan linear menjadi

x(1)1 =

1

10x(0)2 − 2

10x(0)3 +

6

10

x(1)2 =

1

11x(0)1 +

1

11x(0)3 − 3

11x(0)4 +

25

11

x(1)3 = − 2

10x(0)1 +

1

10x(0)2 +

1

10x(0)4 − 11

10

x(1)4 = −3

8x(0)2 +

1

8x(0)3 +

15

8

Jika kita tentukan nilai-nilai awal x(0) sebagai berikut x(0)1 = 0, x

(0)2 = 0, x

(0)3 = 0 dan x

(0)4 = 0.

Atau dinyatakan seperti ini x(0) = (0; 0; 0; 0)T . Maka kita akan memperoleh nilai-nilai x(1) yang

tidak lain adalah hasil perhitungan iterasi pertama, yaitu

x(1)1 =

6

10

x(1)2 =

25

11

x(1)3 = −11

10

x(1)4 =

15

8

atau x(1) = (0, 6000; 2, 2727;−1, 1000; 1, 8750)T . Setelah nilai-nilai x(1) diperoleh, perhitungan

tersebut diulang kembali guna mendapatkan hasil iterasi kedua, yaitu ketika k = 2. Caranya

Page 164: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

146 BAB 8. METODE ITERASI

adalah dengan memasukan nilai-nilai x(1) = (0, 6000; 2, 2727;−1, 1000; 1, 8750)T ke suku-suku

pada ruas kanan tanda sama-dengan,

x(2)1 =

1

10x(1)2 − 2

10x(1)3 +

6

10

x(2)2 =

1

11x(1)1 +

1

11x(1)3 − 3

11x(1)4 +

25

11

x(2)3 = − 2

10x(1)1 +

1

10x(1)2 +

1

10x(1)4 − 11

10

x(2)4 = −3

8x(1)2 +

1

8x(1)3 +

15

8

maka nilai-nilai x(2) yang kita dapat adalah x(2) = (1, 0473; 1, 7159;−0, 8052; 0, 8852)T . Sete-

lah diperoleh nilai-nilai x(2), perhitungan tersebut diulangi kembali guna mendapatkan ha-

sil iterasi ketiga, dimana nilai k = 3. Caranya adalah dengan memasukan nilai-nilai x(2) =

(1, 0473; 1, 7159;−0, 8052; 0, 8852)T ke ruas kanan kembali,

x(3)1 =

1

10x(2)2 − 2

10x(2)3 +

6

10

x(3)2 =

1

11x(2)1 +

1

11x(2)3 − 3

11x(2)4 +

25

11

x(3)3 = − 2

10x(2)1 +

1

10x(2)2 +

1

10x(2)4 − 11

10

x(3)4 = −3

8x(2)2 +

1

8x(2)3 +

15

8

maka kita akan memperoleh nilai-nilai x(3) = (0, 9326; 2, 0530;−1, 0493; 1, 1309)T . Lalu proses

perhitungan diulangi lagi dengan k = 4. Begitulah seterusnya. Proses ini diulangi lagi berkali-

kali untuk nilai-nilai k berikutnya. Proses yang berulang ini disebut proses iterasi.

Sampai dengan x(3) di atas, kita sudah melakukan tiga kali proses iterasi. Lantas sampai

kapan proses iterasi ini terus berlanjut? Jawabnya adalah sampai x(baru) mendekati solusi yang

tepat, yaitu

x = (1; 2;−1; 1)T

Dengan kata lain, proses iterasi harus dihentikan bila x(baru) sudah mendekati solusi. Lalu

kriteria apa yang digunakan sehingga suatu hasil iterasi bisa dikatakan paling dekat dengan

solusi yang sebenarnya? OK, simpan dulu pertanyaan ini, sebagai gantinya marilah kita pelajari

terlebih dahulu script Matlab untuk metode iterasi Jacobi.

8.3.1 Script metode iterasi Jacobi

Sebagaimana biasa, saya tidak akan memberikan script yang sudah matang kepada anda. Saya

lebih suka mengajak anda mengikuti proses optimalisasi script; mulai dari yang mentah hingga

matang. Sebagai upaya pembelajaran, sengaja saya mulai dengan menampilkan script yang

paling kasar terlebih dahulu, lalu selangkah demi selangkah dimodifikasi hingga menjadi script

efisien.

Mari kita mulai dengan menampilkan kembali sistem persamaan linear pada contoh diatas,

Page 165: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

8.3. ITERASI JACOBI 147

yaitu

10x1 − x2 + 2x3 = 6

−x1 + 11x2 − x3 + 3x4 = 25

2x1 − x2 + 10x3 − x4 = −11

3x2 − x3 + 8x4 = 15

Sistem persamaan linear tersebut dapat dinyatakan dalam persamaan matrik

10 −1 2 0

−1 11 −1 3

2 −1 10 −1

0 3 −1 8

x1

x2

x3

x4

=

6

25

−11

15

Langkah pertama adalah mendeklarasikan matrik A dan vektor b sebagai berikut

1 clear all

2 clc

3

4 %--- inisialisasi matrik A --

5 A = [10 -1 2 0

6 -1 11 -1 3

7 2 -1 10 -1

8 0 3 -1 8];

9

10 %--- inisialisasi vektor b ---

11 b = [6 ; 25 ; -11 ; 15];

Kemudian, sistem persamaan linear di atas dimodifikasi menjadi

x1 =1

10x2 −

2

10x3 +

6

10

x2 =1

11x1 +

1

11x3 −

3

11x4 +

25

11

x3 = − 2

10x1 +

1

10x2 +

1

10x4 −

11

10

x4 = −3

8x2 +

1

8x3 +

15

8

Dan ditulis kembali dalam persamaan matrik sebagai berikut

x(k)1

x(k)2

x(k)3

x(k)4

=

0 110 − 2

10 0111 0 1

11 − 311

− 210

110 0 1

10

0 −38

18 0

x(k−1)1

x(k−1)2

x(k−1)3

x(k−1)4

+

6102511

−1110

158

Page 166: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

148 BAB 8. METODE ITERASI

Saya nyatakan suatu matrik J dan vektor u sebagai berikut

J =

0 110 − 2

10 0111 0 1

11 − 311

− 210

110 0 1

10

0 −38

18 0

u =

6102511

−1110

158

Inilah script untuk membuat matrik J dan vektor u,

1 clear all

2 clc

3

4 A = [ 10 -1 2 0;

5 -1 11 -1 3;

6 2 -1 10 -1;

7 0 3 -1 8];

8

9 b = [ 6 ; 25 ; -11 ; 15 ];

10

11 n = length(A); % n = jumlah baris

12

13 J = zeros(4); % ---- inisialisasi matrik J dengan angka nol

14

15 %---- inisialisasi elemen-elemen matrik J dan vektor u

16 J(1,2) = -A(1,2)/A(1,1);

17 J(1,3) = -A(1,3)/A(1,1);

18 J(1,4) = -A(1,4)/A(1,1);

19 u(1,1) = b(1,1)/A(1,1);

20

21 J(2,1) = -A(2,1)/A(2,2);

22 J(2,3) = -A(2,3)/A(2,2);

23 J(2,4) = -A(2,4)/A(2,2);

24 u(2,1) = b(2,1)/A(2,2);

25

26 J(3,1) = -A(3,1)/A(3,3);

27 J(3,2) = -A(3,2)/A(3,3);

28 J(3,4) = -A(3,4)/A(3,3);

29 u(3,1) = b(3,1)/A(3,3);

30

31 J(4,1) = -A(4,1)/A(4,4);

32 J(4,2) = -A(4,2)/A(4,4);

33 J(4,3) = -A(4,3)/A(4,4);

34 u(4,1) = b(4,1)/A(4,4);

Statemen baris 16 sampai 34 berfungsi menghitung elemen matrik J dan vektor u. Untuk me-

nyederhanakan baris 16 hingga 19, kita buat proses looping dengan indeks k, tetapi dengan

pengecualian pada k=1.

for k = 1:4

if (k ~= 1)

J(1,k) = -A(1,k)/A(1,1);

end

end

u(1,1) = b(1,1)/A(1,1);

Page 167: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

8.3. ITERASI JACOBI 149

Mulai dari baris 21 hingga 24 juga bisa dibuat proses looping dengan pengecualian pada k=2.

for k = 1:4

if (k ~= 2)

J(2,k) = -A(2,k)/A(2,2);

end

end

u(2,1) = b(2,1)/A(2,2);

Proses looping yang sama juga diterapkan terhadap baris ke-26 hingga ke-29.

for k = 1:4

if (k ~= 3)

J(3,k) = -A(3,k)/A(3,3);

end

end

u(3,1) = b(3,1)/A(3,3);

Sementara untuk baris ke-31 hingga ke-34, penyerderhanaan dilakukan dengan cara yang sama

pula

for k = 1:4

if (k ~= 4)

J(4,k) = -A(4,k)/A(4,4);

end

end

u(4,1) = b(4,1)/A(4,4);

Kalau seluruh penyederhanaan ini digabung, maka scriptnya akan seperti ini

1 clear all

2 clc

3

4 A = [ 10 -1 2 0

5 -1 11 -1 3

6 2 -1 10 -1

7 0 3 -1 8];

8

9 b = [ 6 ; 25 ; -11 ; 15 ];

10

11 n = length(A);

12

13 J = zeros(4);

14

15 for k = 1:4

16 if (k ~= 1)

17 J(1,k) = -A(1,k)/A(1,1);

18 end

19 end

20 u(1,1) = b(1,1)/A(1,1);

21

22 for k = 1:4

23 if (k ~= 2)

24 J(2,k) = -A(2,k)/A(2,2);

25 end

Page 168: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

150 BAB 8. METODE ITERASI

26 end

27 u(2,1) = b(2,1)/A(2,2);

28

29 for k = 1:4

30 if (k ~= 3)

31 J(3,k) = -A(3,k)/A(3,3);

32 end

33 end

34 u(3,1) = b(3,1)/A(3,3);

35

36 for k = 1:4

37 if (k ~= 4)

38 J(4,k) = -A(4,k)/A(4,4);

39 end

40 end

41 u(4,1) = b(4,1)/A(4,4);

Selanjutnya, saya tampilkan indeks p. Perhatikan penempatannya

1 clear all

2 clc

3

4 A = [ 10 -1 2 0

5 -1 11 -1 3

6 2 -1 10 -1

7 0 3 -1 8];

8

9 b = [ 6 ; 25 ; -11 ; 15 ];

10

11 n = length(A);

12

13 J = zeros(4);

14

15 p = 1;

16 for k = 1:4

17 if (k ~= p)

18 J(p,k) = -A(p,k)/A(p,p);

19 end

20 end

21 u(p,1) = b(p,1)/A(p,p);

22

23 p = 2;

24 for k = 1:4

25 if (k ~= p)

26 J(p,k) = -A(p,k)/A(p,p);

27 end

28 end

29 u(p,1) = b(p,1)/A(p,p);

30

31 p = 3;

32 for k = 1:4

33 if (k ~= p)

34 J(p,k) = -A(p,k)/A(p,p);

35 end

36 end

37 u(p,1) = b(p,1)/A(p,p);

38

39 p = 4;

Page 169: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

8.3. ITERASI JACOBI 151

40 for k = 1:4

41 if (k ~= p)

42 J(p,k) = -A(p,k)/A(p,p);

43 end

44 end

45 u(p,1) = b(p,1)/A(p,p);

Selanjutnya saya buat proses looping menggunakan indeks p tersebut. Perhatikan baik-baik

perubahannya

1 clear all

2 clc

3

4 A = [ 10 -1 2 0

5 -1 11 -1 3

6 2 -1 10 -1

7 0 3 -1 8];

8

9 b = [ 6 ; 25 ; -11 ; 15 ];

10

11 n = length(A);

12

13 J = zeros(4);

14

15 for p = 1:4

16 for k = 1:4

17 if (k ~= p)

18 J(p,k) = -A(p,k)/A(p,p);

19 end

20 end

21 u(p,1) = b(p,1)/A(p,p);

22 end

Dan akhirnya, angka 4 dapat digantikan dengan huruf n agar script tersebut tidak dibatasi oleh

matrik 4x4 saja.

1 clear all

2 clc

3

4 A = [ 10 -1 2 0

5 -1 11 -1 3

6 2 -1 10 -1

7 0 3 -1 8];

8

9 b = [ 6 ; 25 ; -11 ; 15 ];

10

11 n = length(A);

12

13 J = zeros(n);

14

15 for p = 1:n

16 for k = 1:n

17 if (k ~= p)

18 J(p,k) = -A(p,k)/A(p,p);

19 end

20 end

Page 170: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

152 BAB 8. METODE ITERASI

21 u(p,1) = b(p,1)/A(p,p);

22 end

Selanjutnya, vektor xlama diinisialisasi; dan proses iterasi pertama dimulai

1 clear all

2 clc

3

4 A = [ 10 -1 2 0

5 -1 11 -1 3

6 2 -1 10 -1

7 0 3 -1 8];

8

9 b = [ 6 ; 25 ; -11 ; 15 ];

10

11 n = size(A);

12

13 J = zeros(n);

14

15 for p = 1:n

16 for k = 1:n

17 if (k ~= p)

18 J(p,k) = -A(p,k)/A(p,p);

19 end

20 end

21 u(p,1) = b(p,1)/A(p,p);

22 end

23

24 xlama = [ 0 ; 0 ; 0 ; 0 ]; % --- inisialisasi xlama

25 xbaru = J*xlama + u; % --- iterasi pertama

xbaru yang didapat tak lain adalah hasil iterasi pertama, yaitu x(1) = (0, 6000; 2, 2727;−1, 1000;

1, 8750)T . Kemudian, sebelum iterasi ke-2 dilakukan, xbaru tersebut mesti disimpan sebagai

xlama.

1 clear all

2 clc

3

4 A = [ 10 -1 2 0

5 -1 11 -1 3

6 2 -1 10 -1

7 0 3 -1 8];

8

9 b = [ 6 ; 25 ; -11 ; 15 ];

10

11 n = length(A);

12

13 J = zeros(n);

14

15 for p = 1:n

16 for k = 1:n

17 if (k ~= p)

18 J(p,k) = -A(p,k)/A(p,p);

19 end

20 end

21 u(p,1) = b(p,1)/A(p,p);

Page 171: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

8.3. ITERASI JACOBI 153

22 end

23

24 xlama = [ 0 ; 0 ; 0 ; 0 ]; % --- inisialisasi xlama

25 xbaru = J*xlama + u; % --- iterasi pertama

26

27 xlama = xbaru;

28 xbaru = J*xlama + u; % --- iterasi kedua

Sampai disini, xbaru yang didapat dari hasil iterasi ke-2 adalah x(2) = (1, 0473; 1, 7159;

−0, 8052; 0, 8852)T . Setelah itu, untuk iterasi ke-3, xbaru tersebut mesti disimpan sebagai xlama

kembali,

1 clear all

2 clc

3

4 A = [ 10 -1 2 0

5 -1 11 -1 3

6 2 -1 10 -1

7 0 3 -1 8];

8

9 b = [ 6 ; 25 ; -11 ; 15 ];

10

11 n = length(A);

12

13 J = zeros(n);

14

15 for p = 1:n

16 for k = 1:n

17 if (k ~= p)

18 J(p,k) = -A(p,k)/A(p,p);

19 end

20 end

21 u(p,1) = b(p,1)/A(p,p);

22 end

23

24 xlama = [ 0 ; 0 ; 0 ; 0 ]; % --- inisialisasi xlama

25 xbaru = J*xlama + u; % --- iterasi pertama

26

27 xlama = xbaru;

28 xbaru = J*xlama + u; % --- iterasi kedua

29

30 xlama = xbaru;

31 xbaru = J*xlama + u; % --- iterasi ketiga

Sampai disini, xbaru yang didapat adalah hasil iterasi ke-3, yaitu x(3) = (0, 9326; 2, 0530;

− 1, 0493; 1, 1309)T . Kemudian, untuk iterasi ke-4, script di atas dimodifikasi dengan cara yang

sama. Tapi konsekuensinya script tersebut akan semakin bertambah panjang. Guna menghindari

hal itu, script di atas perlu dioptimasi dengan proses looping sebagai berikut

1 clear all

2 clc

3

4 A = [ 10 -1 2 0

5 -1 11 -1 3

6 2 -1 10 -1

Page 172: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

154 BAB 8. METODE ITERASI

7 0 3 -1 8];

8

9 b = [ 6 ; 25 ; -11 ; 15 ];

10

11 n = length(A);

12

13 J = zeros(n);

14

15 for p = 1:n

16 for k = 1:n

17 if (k ~= p)

18 J(p,k) = -A(p,k)/A(p,p);

19 end

20 end

21 u(p,1) = b(p,1)/A(p,p);

22 end

23

24 xlama = [ 0 ; 0 ; 0 ; 0 ]; % --- inisialisasi xlama

25

26 itermaks = 10; % --- iteraksi maksimum sampai 10 kali

27 for k = 1:itermaks

28 xbaru = J*xlama + u;

29 xlama = xbaru;

30 end

Dalam script di atas, jumlah iterasi dibatasi hanya sampai 10 kali saja. Maka keluaran dari script

di atas adalah hanya sampai hasil perhitungan iterasi yang ke-10. Hasil dari keseluruhan iterasi,

mulai dari iterasi ke-1 hingga iterasi ke-10 disajikan pada Tabel 8.1.

Tabel 8.1: Hasil akhir elemen-elemen vektor x hingga iterasi ke-10k 0 1 2 3 4 ... 9 10

x(k)1 0,0000 0,6000 1,0473 0,9326 1,0152 ... 0,9997 1,0001

x(k)2 0,0000 2,2727 1,7159 2,0530 1,9537 ... 2,0004 1,9998

x(k)3 0,0000 -1,1000 -0,8052 -1,0493 -0,9681 ... -1,0004 -0,9998

x(k)4 0,0000 1,8852 0,8852 1,1309 0,9739 ... 1,0006 0,9998

Berdasarkan Tabel 8.1, terlihat bahwa hasil iterasi ke-1, x(1) = (0, 6000; 2, 2727;−1, 1000; 1, 8852)T

adalah hasil yang paling jauh dari solusi, x = (1; 2;−1; 1)T . Coba bandingkan dengan hasil ite-

rasi ke-2! Jelas terlihat bahwa hasil iterasi ke-2 lebih mendekati solusi. Kalau terus diurutkan,

maka hasil iterasi ke-10 merupakan hasil yang paling dekat dengan solusi.

Sebelum dilanjutkan, saya ingin tuliskan script yang sudah dimodifikasi, dimana semua ba-

gian inisialisasi saya letakkan di baris-baris awal

1 clear all

2 clc

3

4 A = [ 10 -1 2 0

5 -1 11 -1 3

6 2 -1 10 -1

7 0 3 -1 8];

8 b = [ 6 ; 25 ; -11 ; 15 ];

9 xlama = [ 0 ; 0 ; 0 ; 0 ];

Page 173: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

8.3. ITERASI JACOBI 155

10 itermaks = 10;

11

12 n = length(A);

13

14 % --- membuat matrik J dan vektor u ---

15 J = zeros(n);

16 for p = 1:n

17 for k = 1:n

18 if (k ~= p)

19 J(p,k) = -A(p,k)/A(p,p);

20 end

21 end

22 u(p,1) = b(p,1)/A(p,p);

23 end

24

25 % --- proses iterasi jacobi ---

26 for k = 1:itermaks

27 xbaru = J*xlama + u;

28 xlama = xbaru;

29 end

8.3.2 Stopping criteria

Tabel 8.2 memperlihatkan perhitungan norm2-selisih antara xbaru dan xlama dari iterasi ke-1

hingga iterasi ke-10. Hasil perhitungan norm2-selisih tersebut, saya beri nama epsilon, ǫ, dima-

na semakin kecil nilai epsilon (ǫ), menandakan hasil iterasinya semakin dekat dengan solusi.

Hasil norm2-selisih yang semakin kecil pada iterasi ke-10 menunjukan bahwa hasil iterasi ke-10

adalah hasil yang paling dekat dengan solusi yang sebenarnya.

Tabel 8.2: Hasil perhitungan norm2-selisih hingga iterasi ke-10

norm ℓ2∥

∥x(2) − x(1)∥

2

∥x(3) − x(2)∥

2

∥x(4) − x(3)∥

2...

∥x(10) − x(9)∥

2ǫ 0,6000 0,4473 0,1146 ... 0,0004

Berikut ini adalah script untuk mendapatkan nilai epsilon

1 clear all

2 clc

3

4 A = [ 10 -1 2 0

5 -1 11 -1 3

6 2 -1 10 -1

7 0 3 -1 8];

8 b = [ 6 ; 25 ; -11 ; 15 ];

9 xlama = [ 0 ; 0 ; 0 ; 0 ];

10 itermaks = 10;

11

12 n = length(A);

13

14 % --- membuat matrik J dan vektor u ---

15 J = zeros(n);

16 for p = 1:n

17 for k = 1:n

18 if (k ~= p)

19 J(p,k) = -A(p,k)/A(p,p);

Page 174: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

156 BAB 8. METODE ITERASI

20 end

21 end

22 u(p,1) = b(p,1)/A(p,p);

23 end

24

25 % --- proses iterasi jacobi ---

26 for k = 1:itermaks

27 xbaru = J*xlama + u;

28 xselisih = xbaru - xlama;

29 epsilon = norm2(xselisih)

30 xlama = xbaru;

31 end

Tanda titik-koma pada baris ke-29 sengaja dihilangkan agar nilai epsilon selalu ditampilkan

ketika script tersebut dijalankan.

Nilai epsilon ini begitu penting untuk menentukan kapan proses iterasi harus dihentikan.

Oleh karenanya, nilai epsilon difungsikan sebagai stopping criteria. Berdasarkan Tabel 8.2, ji-

ka nilai ǫ ditentukan sebesar 0,2 , maka proses iterasi akan berhenti pada iterasi ke-4. Atau

kalau nilai ǫ ditentukan sebesar 0,0001 , maka proses iterasi akan berhenti pada iterasi ke-10.

Kesimpulannya, semakin kecil nilai ǫ, semakin panjang proses iterasinya, namun hasil akhirnya

semakin akurat.

Di bawah ini adalah script iterasi Jacobi yang memanfaatkan nilai epsilon untuk menghen-

tikan proses iterasi

1 clear all

2 clc

3

4 A = [ 10 -1 2 0

5 -1 11 -1 3

6 2 -1 10 -1

7 0 3 -1 8];

8 b = [ 6 ; 25 ; -11 ; 15 ];

9 xlama = [ 0 ; 0 ; 0 ; 0 ];

10 itermaks = 1000;

11 epsilon = 0.0001;

12

13 n = length(A);

14

15 % --- membuat matrik J dan vektor u ---

16 J = zeros(n);

17 for p = 1:n

18 for k = 1:n

19 if (k ~= p)

20 J(p,k) = -A(p,k)/A(p,p);

21 end

22 end

23 u(p,1) = b(p,1)/A(p,p);

24 end

25

26 % --- proses iterasi jacobi ---

27 for k = 1:itermaks

28 xbaru = J*xlama + u;

29 xselisih = xbaru - xlama;

30 if (norm2(xselisih) < epsilon)

Page 175: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

8.3. ITERASI JACOBI 157

31 break;

32 end

33 xlama = xbaru;

34 end

35 iterasi = k

36 x = xbaru

Pada baris ke-11 saya tetapkan nilai epsilon sebesar 0,0001. Sementara baris ke-10, dimana

itermaks saya batasi hingga 1000 kali iterasi. Akan tetapi dengan adanya baris ke-30, maka jika

norm2(xselisih) lebih kecil nilainya dari nilai epsilon yang dinyatakan pada baris ke-11, proses

iterasi akan dihentikan. Sementara, statemen baris ke-35 sengaja saya tambahkan hanya untuk

sekedar mengetahui berapa kali komputer kita melakukan proses iterasi. Dengan nilai epsilon

0,0001, proses iterasi akan dihentikan pada iterasi yang ke-10. Jadi, walaupun itermaks telah

ditentukan yaitu 1000, komputer hanya melakukan proses iterasi sampai iterasi yang ke-10 saja.

8.3.3 Fungsi eksternal iterasi Jacobi

Fungsi eksternal metode iterasi Jacobi dapat diambil dari script yang terakhir di atas adalah

1 function [k,xbaru] = ijcb(A,b,xlama,itermaks,epsilon)

2

3 n = length(A);

4

5 % --- membuat matrik J dan vektor u ---

6 J = zeros(n);

7 for p = 1:n

8 for k = 1:n

9 if (k ~= p)

10 J(p,k) = -A(p,k)/A(p,p);

11 end

12 end

13 u(p,1) = b(p,1)/A(p,p);

14 end

15

16 % --- proses iterasi jacobi ---

17 for k = 1:itermaks

18 xbaru = J*xlama + u;

19 xselisih = xbaru - xlama;

20 if (norm2(xselisih) < epsilon)

21 break;

22 end

23 xlama = xbaru;

24 end

Dengan fungsi eksternal ini, maka untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear, anda

dapat menyusun program sederhana. Contohnya adalah

1 clear all

2 clc

3

4 A = [ 10 -1 2 0;

5 -1 11 -1 3;

6 2 -1 10 -1;

Page 176: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

158 BAB 8. METODE ITERASI

7 0 3 -1 8];

8

9 b = [ 6 ; 25 ; -11 ; 15 ];

10

11 xlama = [ 0 ; 0 ; 0 ; 0 ]; %nilai awal

12 itermaks = 1000; % iterasi maksimum

13 epsilon = 0.0001; % stopping criteria

14

15 [k,xbaru] = iterjacobi(A,b,xlama,itermaks,epsilon);

16 x = xbaru

17 iterasi = k

Demikianlah penjelasan tentang metode iterasi Jacobi dilengkapi dengan cara membuat script-

nya. Sebagai catatan, metode iterasi Jacobi ini selalu sukses mencapai solusi hanya jika matrik A

memiliki pola diagonal dominan dimana nilai elemen-elemen diagonal harus lebih besar diban-

dingkan nilai elemen setiap barisnya. Sekarang mari kita beralih ke metode iterasi Gauss-Seidel.

8.4 Iterasi Gauss-Seidel

Metode Iterasi Gauss-Seidel hampir sama dengan metode Iterasi Jacobi. Perbedaannya hanya

terletak pada penggunaan nilai elemen vektor xbaru yang langsung digunakan pada persamaan

dibawahnya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan sistem persamaan linear berikut, yang diturunkan

dari contoh terdahulu

xbaru1 =1

10xlama2 − 2

10xlama3 +

6

10

xbaru2 =1

11xbaru1 +

1

11xlama3 − 3

11xlama4 +

25

11

xbaru3 = − 2

10xbaru1 +

1

10xbaru2 +

1

10xlama4 − 11

10

xbaru4 = −3

8xbaru2 +

1

8xbaru3 +

15

8

Pada baris pertama, xbaru1 dihitung berdasarkan xlama2 dan xlama

3 . Kemudian xbaru1 tersebut lang-

sung dipakai pada baris kedua untuk menghitung xbaru2 . Selanjutnya xbaru1 dan xbaru2 digunakan

pada baris ketiga untuk mendapatkan xbaru3 . Begitu seterusnya hingga xbaru4 pun diperoleh pada

baris keempat. Sistem persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam indeks k seperti dibawah ini

dimana k adalah jumlah iterasi.

x(k)1 =

1

10x(k−1)2 − 2

10x(k−1)3 +

6

10

x(k)2 =

1

11x(k)1 +

1

11x(k−1)3 − 3

11x(k−1)4 +

25

11

x(k)3 = − 2

10x(k)1 +

1

10x(k)2 +

1

10x(k−1)4 − 11

10

x(k)4 = −3

8x(k)2 +

1

8x(k)3 +

15

8

Misalnya kita tentukan nilai-nilai awal x(0) sebagai berikut x(0)1 = 0, x

(0)2 = 0, x

(0)3 = 0 dan

x(0)4 = 0. Atau dinyatakan seperti ini x(0) = (0; 0; 0; 0)t. Maka pada k = 1 kita akan memperoleh

Page 177: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

8.4. ITERASI GAUSS-SEIDEL 159

nilai-nilai x(1) sebagai berikut

x(1)1 = 0, 6000

x(1)2 = 2, 3272

x(1)3 = −0, 9873

x(1)4 = 0, 8789

Lalu proses perhitungan diulangi lagi dengan k = 2. Begitu seterusnya proses ini diulang-ulang

lagi untuk nilai-nilai k berikutnya sampai x(k) mendekati solusi yang sesungguhnya, yaitu

x = (1; 2;−1; 1)t

Marilah kita amati hasil seluruh iterasi. Tabel di bawah ini menampilkan hasil perhitungan

hingga iterasi yang ke-5. Kita bisa saksikan bahwa dibandingkan dengan iterasi Jacobi, problem

sistem persamaan linear yang sama, bisa diselesaikan oleh metode iterasi Gauss-Seidel hanya

dalam 5 kali iterasi. Dari kasus ini, bisa kita simpulkan bahwa iterasi Gauss-Seidel bekerja lebih

Tabel 8.3: Hasil Iterasi Gauss-Seidelk 0 1 2 3 4 5

x(k)1 0,0000 0,6000 1,030 1,0065 1,0009 1,0001

x(k)2 0,0000 2,3272 2,037 2,0036 2,0003 2,0000

x(k)3 0,0000 -0,9873 -1,014 -1,0025 -1,0003 -1,0000

x(k)4 0,0000 0,8789 0,9844 0,9983 0,9999 1,0000

efektif dibandingkan iterasi Jacobi. Ya.., memang secara umum demikian, akan tetapi ternyata

ditemukan kondisi yang sebaliknya pada kasus-kasus yang lain.

8.4.1 Script iterasi Gauss-Seidel

Pembuatan script iterasi Gauss-Seidel dimulai dari sistem persamaan linear yang telah dibahas

di atas, yaitu

xbaru1 =1

10xlama2 − 2

10xlama3 +

6

10

xbaru2 =1

11xbaru1 +

1

11xlama3 − 3

11xlama4 +

25

11

xbaru3 = − 2

10xbaru1 +

1

10xbaru2 +

1

10xlama4 − 11

10

xbaru4 = −3

8xbaru2 +

1

8xbaru3 +

15

8

Pada pembahasan iterasi Jacobi, saya telah membuat matrik J berisi konstanta yang menemani

variabel x. Matrik J ini akan saya gunakan lagi untuk menyusun script metode iterasi Gauss-

Page 178: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

160 BAB 8. METODE ITERASI

Seidel

J =

0 110 − 2

10 0111 0 1

11 − 311

− 210

110 0 1

10

0 −38

18 0

Kemudian matrik J dipecah menjadi matrik L dan matrik U, dimana J = L + U

0 110 − 2

10 0111 0 1

11 − 311

− 210

110 0 1

10

0 −38

18 0

=

0 0 0 0111 0 0 0

− 210

110 0 0

0 −38

18 0

+

0 110 − 2

10 0

0 0 111 − 3

11

0 0 0 110

0 0 0 0

Sampai disini saya nyatakan matrik L, matrik U dan vektor u sebagai berikut

L =

0 0 0 0111 0 0 0

− 210

110 00

0 −38

18 0

U =

0 110 − 2

10 0

0 0 111 − 3

11

0 0 0 110

0 0 0 0

u =

6102511

−1110

158

Karena matrik L dan U berasal dari matrik J, maka pembuatan script iterasi Gauss-Seidel akan

saya mulai dari script perhitungan matrik J yang telah dibuat sebelumnya. Inilah script untuk

membuat matrik J,

1 clear all

2 clc

3

4 A = [ 10 -1 2 0;

5 -1 11 -1 3;

6 2 -1 10 -1;

7 0 3 -1 8];

8

9 b = [ 6 ; 25 ; -11 ; 15 ];

10

11 n = length(A);

12

13 %---- Perhitungan matrik J dan vektor u-----

14 J = zeros(4);

15 for p = 1:n-1

16 for k = 1:n

17 if k == p

18 k = k+1;

19 end

20 J(p,k) = -A(p,k)/A(p,p);

21 end

22 u(p,1) = b(p,1)/A(p,p);

23 end

24

25 for k = 1:n-1

26 J(n,k) = -A(n,k)/A(n,n);

27 end

Page 179: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

8.4. ITERASI GAUSS-SEIDEL 161

28 u(n,1) = b(n,1)/A(n,n);

Untuk memperoleh matrik L, pertama-tama matrik J dicopy ke matrik L. Kemudian seluruh

elemen segitiga di atas elemen diagonal diganti dengan angka nol. Proses ini dilakukan mulai

dari baris ke-34 hingga ke-43.

1 clear all

2 clc

3

4 A = [ 10 -1 2 0;

5 -1 11 -1 3;

6 2 -1 10 -1;

7 0 3 -1 8];

8

9 b = [ 6 ; 25 ; -11 ; 15 ];

10

11 n = length(A);

12

13 %---- Perhitungan matrik J dan vektor u-----

14 J = zeros(4);

15 for p = 1:n-1

16 for k = 1:n

17 if k == p

18 k = k+1;

19 end

20 J(p,k) = -A(p,k)/A(p,p);

21 end

22 u(p,1) = b(p,1)/A(p,p);

23 end

24

25 for k = 1:n-1

26 J(n,k) = -A(n,k)/A(n,n);

27 end

28 u(n,1) = b(n,1)/A(n,n);

29 %-------------------------------------------

30 L = J; % matrik J dicopy ke matrik L

31 for k = 2:4

32 L(1,k) = 0;

33 end

34 for k = 3:4

35 L(2,k) = 0;

36 end

37 for k = 4:4

38 L(3,k) = 0;

39 end

Proses perhitungan mulai dari baris ke-35 hingga ke-43 akan disederhanakan dengan langkah-

langkah berikut. Saya munculkan indeks p,

L = J; % matrik J dicopy ke matrik L

p = 1;

for k = 2:4

L(p,k) = 0;

end

p = 2;

for k = 3:4

Page 180: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

162 BAB 8. METODE ITERASI

L(p,k) = 0;

end

p = 3;

for k = 4:4

L(p,k) = 0;

end

Dengan adanya indeks p, bagian looping dapat dimodifikasi menjadi

L = J; % matrik J dicopy ke matrik L

p = 1;

for k = p+1:4

L(p,k) = 0;

end

p = 2;

for k = p+1:4

L(p,k) = 0;

end

p = 3;

for k = p+1:4

L(p,k) = 0;

end

Kemudian, berdasarkan indeks p, dibuatlah proses looping,

L = J; % matrik J dicopy ke matrik L

for p = 1:3

for k = p+1:4

L(p,k) = 0;

end

end

Selanjutnya, angka 3 dan 4 dapat diganti dengan variabel n agar bisa digabung dengan script

utamanya. Perhatikan baris ke-35 dan ke-36 pada script berikut

1 clear all

2 clc

3

4 A = [ 10 -1 2 0;

5 -1 11 -1 3;

6 2 -1 10 -1;

7 0 3 -1 8];

8

9 b = [ 6 ; 25 ; -11 ; 15 ];

10

11 n = length(A);

12

13 %---- Perhitungan matrik J dan vektor u-----

14 J = zeros(4);

15 for p = 1:n-1

16 for k = 1:n

17 if k == p

18 k = k+1;

19 end

20 J(p,k) = -A(p,k)/A(p,p);

21 end

Page 181: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

8.4. ITERASI GAUSS-SEIDEL 163

22 u(p,1) = b(p,1)/A(p,p);

23 end

24

25 for k = 1:n-1

26 J(n,k) = -A(n,k)/A(n,n);

27 end

28 u(n,1) = b(n,1)/A(n,n);

29 %-------------------------------------------

30 L = J; % matrik J dicopy ke matrik L

31 for p = 1:n-1

32 for k = p+1:n

33 L(p,k) = 0;

34 end

35 end

OK, dengan demikian matrik L telah terbentuk dan tersimpan di memory komputer. Sekarang

kita akan membentuk matrik U. Prosesnya sama seperti saat pembentukan matrik L, yaitu di-

mulai dengan mencopy matrik J ke dalam matrik U. Perhatikan mulai dari baris ke-41 berikut

ini,

1 clear all

2 clc

3

4 A = [ 10 -1 2 0;

5 -1 11 -1 3;

6 2 -1 10 -1;

7 0 3 -1 8];

8

9 b = [ 6 ; 25 ; -11 ; 15 ];

10

11 n = length(A);

12

13 %---- Perhitungan matrik J dan vektor u-----

14 J = zeros(4);

15 for p = 1:n-1

16 for k = 1:n

17 if k == p

18 k = k+1;

19 end

20 J(p,k) = -A(p,k)/A(p,p);

21 end

22 u(p,1) = b(p,1)/A(p,p);

23 end

24

25 for k = 1:n-1

26 J(n,k) = -A(n,k)/A(n,n);

27 end

28 u(n,1) = b(n,1)/A(n,n);

29 %-------------------------------------------

30 L = J; % matrik J dicopy ke matrik L

31 for p = 1:n-1

32 for k = p+1:n

33 L(p,k) = 0;

34 end

35 end

36 %-------------------------------------------

37 U = J; % matrik J dicopy ke matrik U

Page 182: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

164 BAB 8. METODE ITERASI

38 for k = 2:4

39 U(k,1) = 0;

40 end

41 for k = 3:4

42 U(k,2) = 0;

43 end

44 for k = 4:4

45 U(k,3) = 0;

46 end

Kemudian, indeks p dimunculkan mulai diantara baris ke-42 hingga ke-50,

U = J; % matrik J dicopy ke matrik U

p = 1;

for k = p+1:4

U(k,p) = 0;

end

p = 2;

for k = p+1:4

U(k,p) = 0;

end

p = 3;

for k = p+1:4

U(k,p) = 0;

end

Selanjutnya, berdasarkan indeks p dibuatlah proses looping yang baru

U = J; % matrik J dicopy ke matrik U

for p = 1:3

for k = p+1:4

U(k,p) = 0;

end

end

Akhirnya, script ini digabungkan ke script utamanya setelah mengganti angkan 3 dan 4 dengan

variabel n.

1 clear all

2 clc

3

4 A = [ 10 -1 2 0;

5 -1 11 -1 3;

6 2 -1 10 -1;

7 0 3 -1 8];

8

9 b = [ 6 ; 25 ; -11 ; 15 ];

10

11 n = length(A);

12

13 %---- Perhitungan matrik J dan vektor u-----

14 J = zeros(4);

15 for p = 1:n-1

16 for k = 1:n

17 if k == p

18 k = k+1;

Page 183: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

8.4. ITERASI GAUSS-SEIDEL 165

19 end

20 J(p,k) = -A(p,k)/A(p,p);

21 end

22 u(p,1) = b(p,1)/A(p,p);

23 end

24

25 for k = 1:n-1

26 J(n,k) = -A(n,k)/A(n,n);

27 end

28 u(n,1) = b(n,1)/A(n,n);

29 %-------------------------------------------

30 L = J; % matrik J dicopy ke matrik L

31 for p = 1:n-1

32 for k = p+1:n

33 L(p,k) = 0;

34 end

35 end

36 %-------------------------------------------

37 U = J; % matrik J dicopy ke matrik U

38 for p = 1:n-1

39 for k = p+1:n

40 U(k,p) = 0;

41 end

42 end

Secara umum, script iterasi Gauss-Seidel yang saya tuliskan disini hampir sama dengan itera-

si Jacobi. Perbedaan kecil-nya terletak pada bagian nilai update, dimana elemen xbaru hasil

perhitungan dilibatkan langsung untuk menghitung elemen xbaru selanjutnya.

1 clear all

2 clc

3

4 %----nilai awal-----------

5 xlama(1,1)=0;

6 xlama(2,1)=0;

7 xlama(3,1)=0;

8 xlama(4,1)=0;

9 xlama

10

11 n=4 %jumlah elemen vektor

12 itermaks=10 %jumlah iterasi maksimal

13 sc=0.001 %stopping-criteria

14

15 for i=1:itermaks

16 %------nilai update-------------

17 xbaru(1,1)=(1/10)*xlama(2,1)-(2/10)*xlama(3,1)+(6/10);

18 xbaru(2,1)=(1/11)*xbaru(1,1)+(1/11)*xlama(3,1)-(3/11)*xlama(4,1)+(25/11);

19 xbaru(3,1)=-(2/10)*xbaru(1,1)+(1/10)*xbaru(2,1)+(1/10)*xlama(4,1)-(11/10);

20 xbaru(4,1)=-(3/8)*xbaru(2,1)+(1/8)*xbaru(3,1)+(15/8);

21 xbaru

22

23 %------norm selisih-------------

24 s=0;

25 for i=1:n

26 s=s+(xbaru(i,1)-xlama(i,1))^2;

27 end

28 epsilon=sqrt(s)

Page 184: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

166 BAB 8. METODE ITERASI

29

30 %------memeriksa stopping criteria, sc--------

31 if epsilon<sc

32 break

33 end

34

35 xlama=xbaru; %xbaru dijadikan xlama untuk iterasi berikutnya

36 end

Perumusan metode Iterasi Gauss-Seidel dapat dinyatakan sebagai berikut:

x(k)i =

−∑i−1j=1

(

aijx(k)j

)

−∑nj=i+1

(

aijx(k−1)j

)

+ bi

aii(8.7)

dimana i=1,2,3,...,n.

8.4.2 Algoritma

• Langkah 1: Tentukan k=1

• Langkah 2: Ketika (k ≤ N) lakukan Langkah 3-6

– Langkah 3: Untuk i=1,...,n, hitunglah

xi =−∑i−1

j=1 aijxj −∑n

j=i+1 aijXOj + bi

aii

– Langkah 4: Jika ‖x − XO‖ < ǫ, maka keluarkan OUTPUT (x1, ..., xn) lalu STOP

– Langkah 5: Tentukan k=k+1

– Langkah 6: Untuk i=1,...n, tentukan XOi = xi

• Langkah 7: OUTPUT (’Iterasi maksimum telah terlampaui’) lalu STOP

8.4.3 Script iterasi Gauss-Seidel dalam Fortran

1 IMPLICIT NONE

2 DIMENSION A(10,10),B(10),X(10),XO(10)

3 REAL A,B,X,XO,EPS,NORM,S1,S2

4 INTEGER N,I,J,K,ITMAX

5 WRITE(*,*)

6 WRITE(*,*) ’==> ITERASI GAUSS-SEIDEL UNTUK SISTEM LINEAR <==’

7 WRITE(*,*)

8 WRITE (*,’(1X,A)’) ’JUMLAH PERSAMAAN ? ’

9 READ (*,*) N

10 WRITE (*,*) ’MASUKAN ELEMEN-ELEMEN MATRIK A DAN VEKTOR B’

11 DO 52 I = 1,N

12 DO 62 J = 1,N

13 WRITE (*,’(1X,A,I2,A,I2,A)’) ’A(’,I,’,’,J,’) = ’

14 READ (*,*) A(I,J)

15 62 CONTINUE

16 WRITE (*,’(1X,A,I2,A)’) ’B(’,I,’) ? ’

17 READ (*,*) B(I)

Page 185: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

8.4. ITERASI GAUSS-SEIDEL 167

18 WRITE (*,*)

19 52 CONTINUE

20 WRITE (*,’(1X,A)’) ’JUMLAH ITERASI MAKSIMUM ? ’

21 READ (*,*) ITMAX

22 WRITE (*,’(1X,A)’) ’NILAI EPSILON ATAU TOLERANSI ? ’

23 READ (*,*) EPS

24 WRITE (*,*) ’MASUKAN NILAI AWAL UNTUK XO’

25 DO 72 I = 1,N

26 WRITE (*,’(1X,A,I2,A)’) ’XO(’,I,’) ? ’

27 READ (*,*) XO(I)

28 72 CONTINUE

29 WRITE (*,*)

30 C MENAMPILKAN MATRIK A

31 WRITE (*,’(1X,A)’) ’MATRIK A:’

32 DO 110 I = 1,N

33 WRITE (*,6) (A(I,J),J=1,N)

34 110 CONTINUE

35 WRITE (*,*)

36 C MENAMPILKAN VEKTOR B

37 WRITE (*,’(1X,A)’) ’VEKTOR B:’

38 DO 111 I = 1,N

39 WRITE (*,6) B(I)

40 111 CONTINUE

41 WRITE (*,*)

42 C LANGKAH 1

43 K = 1

44 C LANGKAH 2

45 100 IF(K.GT.ITMAX) GOTO 200

46 C LANGKAH 3

47 DO 10 I = 1,N

48 S1 = 0.0

49 DO 20 J=I+1,N

50 S1 = S1-A(I,J)*XO(J)

51 20 CONTINUE

52 S2 = 0.0

53 DO 23 J=1,I-1

54 S2 = S2-A(I,J)*X(J)

55 23 CONTINUE

56 X(I) = (S2+S1+B(I))/A(I,I)

57 10 CONTINUE

58 C SAYA PILIH NORM-2. ANDA BOLEH PAKAI NORM YANG LAIN!

59 NORM = 0.0

60 DO 40 I=1,N

61 NORM = NORM + (X(I)-XO(I))*(X(I)-XO(I))

62 40 CONTINUE

63 NORM = SQRT(NORM)

64 WRITE(*,’(1X,A,I3)’) ’ITERASI KE-’, K

65 WRITE(*,’(1X,A,F14.8)’) ’NORM-2 = ’, NORM

66 WRITE(*,’(1X,A,I3,A,F14.8)’) (’X(’,I,’) = ’, X(I),I=1,N)

67 WRITE(*,*)

68 C LANGKAH 4

69 IF(NORM.LE.EPS) THEN

70 WRITE(*,7) K,NORM

71 GOTO 400

72 END IF

73 C LANGKAH 5

74 K = K+1

75 C LANGKAH 6

76 DO 30 I=1,N

Page 186: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

168 BAB 8. METODE ITERASI

77 XO(I) = X(I)

78 30 CONTINUE

79 GOTO 100

80 C LANGKAH 7

81 200 CONTINUE

82 WRITE(*,9)

83 400 STOP

84

85 5 FORMAT(1X,I3)

86 6 FORMAT(1X,(6(1X,F14.8)))

87 7 FORMAT(1X,’KONVERGEN PADA ITERASI YANG KE- ’,I3,

88 *’ , NORM= ’,F14.8)

89 9 FORMAT(1X,’MELEBIHI BATAS MAKSIMUM ITERASI’)

90 END

8.5 Iterasi dengan Relaksasi

Metode Iterasi Relaksasi (Relaxation method) dinyatakan dengan rumus berikut:

x(k)i = (1− ω)x

(k−1)i +

ω

aii

bi −i−1∑

j=1

aijx(k)j −

n∑

j=i+1

aijx(k−1)j

(8.8)

dimana i=1,2,3,...,n.

Untuk lebih jelasnya, marilah kita perhatikan contoh berikut, diketahui sistem persamaan

linear Ax = b yaitu

4x1 + 3x2+ = 24

3x1 + 4x2 − x3 = 30

−x2 + 4x3 = −24

memiliki solusi (3, 4,−5)t. Metode Gauss-Seidel dan Relaksasi dengan ω = 1, 25 akan digunakan

untuk menyelesaikan sistem persamaan linear di atas dengan x(0) = (1, 1, 1)t. Untuk setiap nilai

k = 1, 2, 3, ..., persamaan Gauss-Seidelnya adalah

x(k)1 = −0, 75x

(k−1)2 + 6

x(k)2 = −0, 75x

(k)1 + 0, 25x

(k−1)3 + 7, 5

x(k)3 = 0, 25x

(k)2 − 6

Sedangkan persamaan untuk metode Relaksasi dengan ω = 1, 25 adalah

x(k)1 = −0, 25x

(k−1)1 − 0, 9375x

(k−1)2 + 7, 5

x(k)2 = −0, 9375x

(k)1 − 0, 25x

(k−1)2 + 0, 3125x

(k−1)3 + 9, 375

x(k)3 = 0, 3125x

(k)2 − 0, 25x

(k−1)3 − 7, 5

Tabel berikut ini menampilkan perhitungan dari masing-masing metode hingga iterasi ke-7.

Page 187: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

8.5. ITERASI DENGAN RELAKSASI 169

Tabel 8.4: Hasil perhitungan iterasi Gauss-Seidelk 0 1 2 3 4 5 6 7

x(k)1 1 5,2500 3,1406 3,0879 3,0549 3,0343 3,0215 3,0134

x(k)2 1 3,8125 3,8828 3,9267 3,9542 3,9714 3,9821 3,9888

x(k)3 1 -5,0468 -5,0293 -5,0183 -5,0114 -5,0072 -5,0044 -5,0028

Tabel 8.5: Hasil perhitungan iterasi Relaksasi dengan ω = 1, 25k 0 1 2 3 4 5 6 7

x(k)1 1 6,3125 2,6223 3,1333 2,9570 3,0037 2,9963 3,0000

x(k)2 1 3,5195 3,9585 4,0102 4,0075 4,0029 4,0009 4,0002

x(k)3 1 -6,6501 -4,6004 -5,0967 -4,9735 -5,0057 -4,9983 -5,0003

Dari kasus ini, bisa kita simpulkan bahwa iterasi Relaksasi memerlukan proses iterasi yang

lebih singkat dibandingkan iterasi Gauss-Seidel. Jadi, pada kasus ini (dan juga secara umum),

Relaksasi lebih efektif dibandingkan Gauss-Seidel. Pertanyaannya sekarang, bagaimana menen-

tukan nilai ω optimal?

Metode Relaksasi dengan pilihan nilai ω yang berkisar antara 0 dan 1 disebut metode under-

relaxation, dimana metode ini berguna agar sistem persamaan linear bisa mencapai kondisi

konvergen walaupun sistem tersebut sulit mencapai kondisi konvergen dengan metode Gauss-

Seidel. Sementara bila ω nilainya lebih besar dari angka 1, maka disebut metode successive

over-relaxation (SOR), yang mana metode ini berguna untuk mengakselerasi atau mempercepat

kondisi konvergen dibandingkan dengan Gauss-Seidel. Metode SOR ini juga sangat berguna

untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang muncul dari persamaan diferensial-parsial

tertentu.

8.5.1 Algoritma Iterasi Relaksasi

• Langkah 1: Tentukan k=1

• Langkah 2: Ketika (k ≤ N) lakukan Langkah 3-6

– Langkah 3: Untuk i=1,...,n, hitunglah

xi = (1− ω)XOi +ω(

−∑i−1j=1 aijxj −

∑nj=i+1 aijXOj + bi

)

aii

– Langkah 4: Jika ‖x − XO‖ < ǫ, maka keluarkan OUTPUT (x1, ..., xn) lalu STOP

– Langkah 5: Tentukan k=k+1

– Langkah 6: Untuk i=1,...n, tentukan XOi = xi

• Langkah 7: OUTPUT (’Iterasi maksimum telah terlampaui’) lalu STOP

Demikianlah catatan singkat dari saya tentang metode iterasi untuk menyelesaikan problem

sistem persamaan linear. Saya cukupkan sementara sampai disini. Insya Allah akan saya sam-

Page 188: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

170 BAB 8. METODE ITERASI

bung lagi dilain waktu. Kalau ada yang mau didiskusikan, silakan hubungi saya melalui email:

[email protected].

Page 189: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

Bab 9

Metode Eliminasi Gauss

Objektif :

⊲ Mengenalkan sistem persamaan linear.

⊲ Mengenalkan teknik triangularisasi dan substitusi mundur.

⊲ Aplikasi metode Eliminasi Gauss menggunakan matrik.

⊲ Membuat algoritma metode Eliminasi Gauss.

⊲ Menghitung invers matrik menggunakan metode Eliminasi Gauss.

9.1 Sistem persamaan linear

Secara umum, sistem persamaan linear dinyatakan sebagai berikut

Pn : an1x1 + an2x2 + ...+ annxn = bn (9.1)

dimana a dan b merupakan konstanta, x adalah variable, n = 1, 2, 3, ....

Berikut ini adalah sistem persamaan linear yang terdiri dari empat buah persamaan yaitu

P1, P2, P3, dan P4

P1 : x1 + x2 + 3x4 = 4

P2 : 2x1 + x2 − x3 + x4 = 1

P3 : 3x1 − x2 − x3 + 2x4 = -3

P4 : −x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 4

Problem dari sistem persamaan linear adalah bagaimana mencari nilai pengganti bagi vari-

abel x1, x2, x3, dan x4 sehingga semua persamaan diatas menjadi benar. Langkah awal penye-

lesaian problem tersebut adalah dengan melakukan penyederhanaan sistem persamaan linear.

171

Page 190: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

172 BAB 9. METODE ELIMINASI GAUSS

9.2 Teknik penyederhanaan

Ada banyak jalan untuk menyederhanakan sistem persamaan linear. Namun tantangannya, kita

ingin agar pekerjaan ini dilakukan oleh komputer. Oleh karena itu, kita harus menciptakan algo-

ritma yang nantinya bisa berjalan di komputer. Untuk mencapai tujuan itu, kita akan berpatokan

pada tiga buah aturan operasi matematika, yaitu

• Persamaan Pi dapat dikalikan dengan sembarang konstanta λ, lalu hasilnya ditempatkan

di posisi persamaan Pi. Simbol operasi ini adalah (λPi) → (Pi). Contoh

P1 : x1 + x2 + 3x4 = 4

jika λ = 2, maka

2P1 : 2x1 + 2x2 + 6x4 = 8

• Persamaan Pj dapat dikalikan dengan sembarang konstanta λ kemudian dijumlahkan de-

ngan persamaan Pi, lalu hasilnya ditempatkan di posisi persamaan Pi. Simbol operasi ini

adalah (Pi − λPj) → (Pi). Contoh

P2 : 2x1 + x2 − x3 + x4 = 1

2P1 : 2x1 + 2x2 + 6x4 = 8

maka operasi (P2 − 2P1) → (P2) mengakibatkan perubahan pada P2 menjadi

P2 : −x2 − x3 − 5x4 = −7

Dengan cara ini, maka variabel x1 berhasil dihilangkan dari P2. Upaya untuk menghi-

langkan suatu variabel merupakan tahapan penting dalam metode Eliminasi Gauss.

• Persamaan Pi dan Pj dapat bertukar posisi. Simbol operasi ini adalah (Pi) ↔ (Pj). Contoh

P2 : 2x1 + x2 − x3 + x4 = 1

P3 : 3x1 − x2 − x3 + 2x4 = −3

maka operasi (P2) ↔ (P3) mengakibatkan pertukaran posisi masing-masing persamaan,

menjadi

P2 : 3x1 − x2 − x3 + 2x4 = −3

P3 : 2x1 + x2 − x3 + x4 = 1

Page 191: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

9.2. TEKNIK PENYEDERHANAAN 173

9.2.1 Cara menghilangkan sebuah variabel

Sebelum dilanjut, saya ingin mengajak anda untuk fokus memahami aturan operasi yang kedua.

Misalnya ada 2 persamaan linear yaitu

P1 : 3x1 + 2x2 − 5x3 + 8x4 = 3

P2 : 4x1 + 7x2 − x3 + 6x4 = 9

Kemudian anda diminta untuk menghilangkan variabel x1 dari P2. Itu artinya, anda diminta

untuk memodifikasi P2 sedemikian rupa sehingga didapat P2 yang baru, yang didalamnya tidak

ada x1.

Berdasarkan rumus operasi (Pi−λPj) → (Pi), maka operasi yang tepat adalah (P2− 43P1) →

(P2). Perhatikan! Bilangan λ, yaitu 43 , harus dikalikan dengan P1, BUKAN dengan P2. Sedangk-

an angka 43 adalah satu-satunya angka yang bisa menghapus variabel x1 dari P2 lewat operasi

(P2 − 43P1). Selengkapnya adalah sebagai berikut

P2 : 4x1 + 7x2 − x3 + 6x4 = 94

3P1 :

4

33x1 +

4

32x2 −

4

35x3 +

4

38x4 =

4

33

Kemudian, hasil operasi (P2 − 43P1) disimpan sebagai P2 yang baru

P2 :

(

4− 4

33

)

x1 +

(

7− 4

32

)

x2 −(

1− 4

35

)

x3 +

(

6− 4

38

)

x4 =

(

9− 4

33

)

Dengan sendirinya x1 akan lenyap dari P2. Mudah-mudahan jelas sampai disini. Demikianlah

cara untuk menghilangkan x1 dari P2.

9.2.2 Permainan indeks

Sekarang, mari kita tinjau hal yang sama, yaitu menghilangkan x1 dari P2, namun menggunakan

’permainan’ indeks. Secara umum, P1 dan P2 bisa dinyatakan sebagai

P1 : a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = a15

P2 : a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 = a25

Agar x1 hilang dari P2, operasi yang benar adalah (P2 − λP1) → (P2), dimana λ = a21a11

. Dengan

demikian, P2 yang baru akan memenuhi

P2 :

(

a21 −a21a11

a11

)

x1+

(

a22 −a21a11

a12

)

x2+

(

a23 −a21a11

a13

)

x3+

(

a24 −a21a11

a14

)

x4 =

(

a25 −a21a11

a15

)

Perhatikanlah variasi indeks pada persamaan diatas. Semoga intuisi anda bisa menangkap ke-

beradaan suatu pola perubahan indeks. Jika belum, mari kita kembangkan persoalan ini.

Page 192: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

174 BAB 9. METODE ELIMINASI GAUSS

Sekarang saya ketengahkan kehadapan anda tiga buah persamaan, yaitu P1, P2 dan P3

P1 : a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = a15

P2 : a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 = a25

P3 : a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 = a35

Bagaimana cara menghilangkan x1 dari P3 dengan memanfaatkan P1??

Begini caranya, (P3 − λP1) → (P3), dengan λ = a31a11

..

P3 :

(

a31 −a31a11

a11

)

x1+

(

a32 −a31a11

a12

)

x2+

(

a33 −a31a11

a13

)

x3+

(

a34 −a31a11

a14

)

x4 =

(

a35 −a31a11

a15

)

Mudah-mudahan, pola perubahan indeksnya semakin jelas terlihat. Selanjutnya jika ada persa-

maan P4 yang ingin dihilangkan x1nya dengan memanfaatkan P1, bagaimana caranya?

Tentu saja operasinya adalah (P4 − λP1) → (P4), dengan λ = a41a11

P4 :

(

a41 −a41a11

a11

)

x1+

(

a42 −a41a11

a12

)

x2+

(

a43 −a41a11

a13

)

x3+

(

a44 −a41a11

a14

)

x4 =

(

a45 −a41a11

a15

)

9.3 Triangularisasi dan Substitusi Mundur

9.3.1 Contoh pertama

Sekarang, mari kita kembali kepada sistem persamaan linear yang sudah ditulis di awal bab ini

P1 : x1 + x2 + 3x4 = 4

P2 : 2x1 + x2 − x3 + x4 = 1

P3 : 3x1 − x2 − x3 + 2x4 = -3

P4 : −x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 4

Sekali lagi saya tegaskan bahwa problem dari sistem persamaan linear adalah bagaimana

mendapatkan angka-angka yang bisa menggantikan variabel x1, x2, x3, dan x4 sehingga semua

persamaan di atas menjadi benar. Dengan berpegang pada ketiga teknik penyederhanaan tadi,

maka sistem persamaan linear di atas dapat disederhanakan dengan langkah-langkah berikut

ini:

1. Gunakan persamaan P1 untuk menghilangkan variabel x1 dari persamaan P2, P3 dan P4

dengan cara (P2 − 2P1) → (P2), (P3 − 3P1) → (P3) dan (P4 + P1) → (P4). Hasilnya akan

seperti ini

P1 : x1 + x2 + 3x4 = 4,

P2 : −x2 − x3 − 5x4 = −7,

P3 : −4x2 − x3 − 7x4 = −15,

P4 : 3x2 + 3x3 + 2x4 = 8

Silakan anda cermati bahwa x1 kini telah hilang dari P2, P3 dan P4.

Page 193: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

9.3. TRIANGULARISASI DAN SUBSTITUSI MUNDUR 175

2. Gunakan persamaan P2 untuk menghilangkan variabel x2 dari persamaan P3 dan P4 de-

ngan cara (P3 − 4P2) → (P3) dan (P4 + 3P2) → (P4). Hasilnya akan seperti ini

P1 : x1 + x2 + 3x4 = 4,

P2 : −x2 − x3 − 5x4 = −7,

P3 : 3x3 + 13x4 = 13,

P4 : −13x4 = −13

Kalau x3 masih ada di persamaan P4, dibutuhkan satu operasi lagi untuk menghilang-

kannya. Namun hasil operasi pada langkah ke-2 ternyata sudah otomatis menghilangkan

x3 dari P4. Bentuk akhir dari sistem persamaan linear di atas, dikenal sebagai bentuk

triangular.

Sampai dengan langkah ke-2 ini, kita berhasil mendapatkan sistem persamaan linear yang

lebih sederhana. Apa yang dimaksud dengan sederhana dalam konteks ini? Suatu sistem

persamaan linear dikatakan sederhana bila kita bisa mendapatkan seluruh nilai pengganti

variabelnya dengan cara yang lebih mudah atau dengan usaha yang tidak memakan waktu

lama dibandingkan sebelum disederhanakan.

3. Selanjutnya kita jalankan proses backward-substitution untuk mendapatkan angka-angka

pengganti bagi x1, x2, x3 dan x4. Melalui proses backward-substitution, yang pertama

kali didapat adalah angka pengganti bagi variabel x4, kemudian x3, lalu diikuti x2, dan

akhirnya x1. Silakan cermati yang berikut ini

P4 : x4 =−13

−13= 1,

P3 : x3 =1

3(13− 13x4) =

1

3(13 − 13) = 0,

P2 : x2 = −(−7 + 5x4 + x3) = −(−7 + 5 + 0) = 2,

P1 : x1 = 4− 3x4 − x2 = 4− 3− 2 = −1

Jadi solusinya adalah x1 = −1, x2 = 2, x3 = 0 dan x4 = 1. Coba sekarang anda cek,

apakah semua solusi ini cocok dan tepat bila dimasukan ke sistem persamaan linear yang

pertama, yaitu yang belum disederhanakan?

OK, mudah-mudahan ngerti ya... Kalau belum paham, coba dibaca sekali lagi. Atau, seka-

rang kita beralih kecontoh yang lain.

Page 194: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

176 BAB 9. METODE ELIMINASI GAUSS

9.3.2 Contoh kedua

Diketahui sistem persamaan linear, terdiri dari empat buah persamaan yaitu P1, P2, P3, dan P4

seperti berikut ini:

P1 : x1 − x2 + 2x3 − x4 = -8

P2 : 2x1 − 2x2 + 3x3 − 3x4 = -20

P3 : x1 + x2 + x3 = -2

P4 : x1 − x2 + 4x3 + 3x4 = 4

Seperti contoh pertama, solusi sistem persamaan linear di atas akan dicari dengan langkah-

langkah berikut ini:

1. Gunakan persamaan P1 untuk menghilangkan x1 dari persamaan P2, P3 dan P4 dengan

cara (P2 − 2P1) → (P2), (P3 −P1) → (P3) dan (P4 −P1) → (P4). Hasilnya akan seperti ini

P1 : x1 − x2 + 2x3 − x4 = −8,

P2 : −x3 − x4 = −4,

P3 : 2x2 − x3 + x4 = 6,

P4 : 2x3 + 4x4 = 12

Perhatikan persamaan P2! Akibat dari langkah yang pertama tadi, ternyata tidak hanya

x1 saja yang hilang dari persamaan P2, variabel x2 pun turut hilang dari persamaan P2.

Kondisi ini bisa menggagalkan proses triangularisasi. Untuk itu, posisi P2 mesti ditukar

dengan persamaan yang berada dibawahnya, yang masih memiliki variabel x2. Maka

yang paling cocok adalah ditukar dengan P3.

2. Tukar posisi persamaan P2 dengan persamaan P3, (P2 ↔ P3). Hasilnya akan seperti ini

P1 : x1 − x2 + 2x3 − x4 = −8,

P2 : 2x2 − x3 + x4 = 6,

P3 : −x3 − x4 = −4,

P4 : 2x3 + 4x4 = 12

3. Agar sistem persamaan linear di atas menjadi berbentuk triangular, maka kita harus meng-

hilangkan variabel x3 dari persamaan P4. Karenanya, gunakan persamaan P3 untuk meng-

hilangkan x3 dari persamaan P4 dengan cara (P4 + 2P3) → (P4). Hasilnya akan seperti

ini

P1 : x1 − x2 + 2x3 − x4 = −8,

P2 : 2x2 − x3 + x4 = 6,

P3 : −x3 − x4 = −4,

P4 : 2x4 = 4

Page 195: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

9.4. MATRIK DAN ELIMINASI GAUSS 177

Sampai disini proses triangularisasi telah selesai.

4. Selanjutnya adalah proses backward-substitution. Melalui proses ini, yang pertama kali

didapat solusinya adalah x4, kemudian x3, lalu diikuti x2, dan akhirnya x1.

P4 : x4 =4

2= 2,

P3 : x3 =−4 + x4

−1= 2,

P2 : x2 =6 + x3 − x4

2= 3,

P1 : x1 = −8 + x2 − 2x3 + x4 = −7

Jadi solusinya adalah x1 = −7, x2 = 3, x3 = 2 dan x4 = 2.

Berdasarkan kedua contoh di atas, untuk mendapatkan solusi sistem persamaan linear, diper-

lukan operasi triangularisasi dan proses backward-substitution. Kata backward-substitution

kalau diterjemahkan kedalam bahasa indonesia, menjadi substitusi-mundur. Gabungan pro-

ses triangularisasi dan substitusi-mundur untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dikenal

sebagai metode Eliminasi Gauss.

9.4 Matrik dan Eliminasi Gauss

9.4.1 Matrik Augmentasi

Sejumlah matrik bisa digunakan untuk menyatakan suatu sistem persamaan linear. Sejenak,

mari kita kembali lagi melihat sistem persamaan linear secara umum seperti berikut ini:

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2

. . . . . . . . . . . . . . . = . . .

. . . . . . . . . . . . . . . = . . .

an1x1 + an2x2 + . . .+ annxn = bn

Sementara, kalau dinyatakan dalam bentuk operasi matrik, maka akan seperti ini:

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

an1 an2 . . . ann

x1

x2...

xn

=

b1

b2...

bn

(9.2)

Dalam mencari solusi suatu sistem persamaan linear dengan metode eliminasi gauss, bentuk

operasi matrik di atas dimanipulasi menjadi matrik augment, yaitu suatu matrik yang berukur-

Page 196: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

178 BAB 9. METODE ELIMINASI GAUSS

an n x (n+ 1) seperti berikut ini:

a11 a12 . . . a1n | b1

a21 a22 . . . a2n | b2...

...... | ...

an1 an2 . . . ann | bn

=

a11 a12 . . . a1n | a1,n+1

a21 a22 . . . a2n | a2,n+1

......

... | ...

an1 an2 . . . ann | an,n+1

(9.3)

Inilah source code Matlab untuk membentuk matrik augmentasi yang terdiri atas matrik A dan

vektor b,

1 clear all

2 clc

3

4 %---- inisialisasi matrik A ----

5 A = [1 1 0 3

6 2 1 -1 1

7 3 -1 -1 2

8 -1 2 3 -1];

9

10 %---- inisialisasi vektor b ----

11 b = [4 ; 1 ; -3 ; 4];

12

13 %---- membentuk matrik augmentasi ----

14 dim = size(A);

15 n = dim(1);

16 for i = 1:n

17 A(i,n+1) = b(i);

18 end

9.4.2 Penerapan pada contoh pertama

Pada contoh pertama di atas, diketahui sistem persamaan linear yang terdiri dari empat buah

persamaan yaitu P1, P2, P3, dan P4

P1 : x1 + x2 + 3x4 = 4

P2 : 2x1 + x2 − x3 + x4 = 1

P3 : 3x1 − x2 − x3 + 2x4 = -3

P4 : −x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 4

Sistem persamaan linear tersebut dapat dinyatakan dalam operasi matrik

1 1 0 3

2 1 −1 1

3 −1 −1 2

−1 2 3 −1

x1

x2

x3

x4

=

4

1

−3

4

Setelah itu matrik augment disusun seperti ini (perhatikan angka-angka indeks pada matriks

Page 197: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

9.4. MATRIK DAN ELIMINASI GAUSS 179

disebelahnya)

1 1 0 3 | 4

2 1 −1 1 | 1

3 −1 −1 2 | −3

−1 2 3 −1 | 4

a11 a12 a13 a14 | a15

a21 a22 a23 a24 | a25

a31 a32 a33 a34 | a35

a41 a42 a43 a44 | a45

Kemudian kita lakukan operasi triangularisai terhadap matrik augment, dimulai dari kolom

pertama (yang tujuannya untuk menghilangkan variabel x1 dari P2, P3, dan P4), yaitu

P2 :

(

a21 −a21a11

a11

)

x1+

(

a22 −a21a11

a12

)

x2+

(

a23 −a21a11

a13

)

x3+

(

a24 −a21a11

a14

)

x4 =

(

a25 −a21a11

a15

)

P3 :

(

a31 −a31a11

a11

)

x1+

(

a32 −a31a11

a12

)

x2+

(

a33 −a31a11

a13

)

x3+

(

a34 −a31a11

a14

)

x4 =

(

a35 −a31a11

a15

)

P4 :

(

a41 −a41a11

a11

)

x1+

(

a42 −a41a11

a12

)

x2+

(

a43 −a41a11

a13

)

x3+

(

a44 −a41a11

a14

)

x4 =

(

a45 −a41a11

a15

)

Sekarang akan saya tulis source code Matlab untuk menyelesaikan perhitungan diatas. Saran

saya, anda jangan hanya duduk sambil membaca buku ini, kalau bisa nyalakan komputer/laptop

dan ketik ulang source-code ini agar anda memperoleh feeling-nya! OK, mari kita mulai..

1 clear all

2 clc

3

4 %---- inisialisasi matrik A ----

5 A = [1 1 0 3

6 2 1 -1 1

7 3 -1 -1 2

8 -1 2 3 -1];

9

10 %---- inisialisasi vektor b ----

11 b = [4 ; 1 ; -3 ; 4];

12

13 %---- membentuk matrik augmentasi ----

14 dim = size(A);

15 n = dim(1);

16 for i = 1:n

17 A(i,n+1) = b(i);

18 end

19

20 %---- menghilangkan variabel x1 ----

21 m=A(2,1)/A(1,1); % huruf m mewakili simbol lambda

22 A(2,1)=A(2,1)-m*A(1,1);

23 A(2,2)=A(2,2)-m*A(1,2);

24 A(2,3)=A(2,3)-m*A(1,3);

25 A(2,4)=A(2,4)-m*A(1,4);

26 A(2,5)=A(2,5)-m*A(1,5);

27

28 m=A(3,1)/A(1,1);

29 A(3,1)=A(3,1)-m*A(1,1);

30 A(3,2)=A(3,2)-m*A(1,2);

31 A(3,3)=A(3,3)-m*A(1,3);

32 A(3,4)=A(3,4)-m*A(1,4);

Page 198: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

180 BAB 9. METODE ELIMINASI GAUSS

33 A(3,5)=A(3,5)-m*A(1,5);

34

35 m=A(4,1)/A(1,1);

36 A(4,1)=A(4,1)-m*A(1,1);

37 A(4,2)=A(4,2)-m*A(1,2);

38 A(4,3)=A(4,3)-m*A(1,3);

39 A(4,4)=A(4,4)-m*A(1,4);

40 A(4,5)=A(4,5)-m*A(1,5);

Hasilnya akan seperti ini

1 1 0 3 | 4

0 −1 −1 −5 | −7

0 −4 −1 −7 | −15

0 3 3 2 | 8

a11 a12 a13 a14 | a15

a21 a22 a23 a24 | a25

a31 a32 a33 a34 | a35

a41 a42 a43 a44 | a45

Pada kolom pertama, seluruh elemen berubah menjadi nol (a21 = 0, a31 = 0, dan a41 = 0)

kecuali elemen yang paling atas a11. Itu berarti kita sudah menghilangkan variabel x1 dari P2,

P3, dan P4. Sekarang dilanjutkan ke kolom kedua, dengan operasi yang hampir sama, untuk

membuat elemen a32 dan a42 bernilai nol

P3 :

(

a31 −a32a22

a21

)

x1+

(

a32 −a32a22

a22

)

x2+

(

a33 −a32a22

a23

)

x3+

(

a34 −a32a22

a24

)

x4 =

(

a35 −a32a22

a25

)

P4 :

(

a41 −a42a22

a21

)

x1+

(

a42 −a42a22

a22

)

x2+

(

a43 −a42a22

a23

)

x3+

(

a44 −a42a22

a24

)

x4 =

(

a45 −a42a22

a25

)

Source-code berikut ini adalah kelanjutan dari source-code diatas. Jadi jangan dipisah dalam file

lain!!!

1 m=A(3,2)/A(2,2);

2 A(3,1)=A(3,1)-m*A(2,1);

3 A(3,2)=A(3,2)-m*A(2,2);

4 A(3,3)=A(3,3)-m*A(2,3);

5 A(3,4)=A(3,4)-m*A(2,4);

6 A(3,5)=A(3,5)-m*A(2,5);

7

8 m=A(4,2)/A(2,2);

9 A(4,1)=A(4,1)-m*A(2,1);

10 A(4,2)=A(4,2)-m*A(2,2);

11 A(4,3)=A(4,3)-m*A(2,3);

12 A(4,4)=A(4,4)-m*A(2,4);

13 A(4,5)=A(4,5)-m*A(2,5);

14

Hasilnya akan seperti dibawah ini. Itu berarti kita telah menghilangkan variabel x2 dari P3, dan

P4; bahkan tanpa disengaja x3 juga hilang dari P4. Inilah bentuk triangular

1 1 0 3 | 4

0 −1 −1 −5 | −7

0 0 3 13 | 13

0 0 0 −13 | −13

a11 a12 a13 a14 | a15

a21 a22 a23 a24 | a25

a31 a32 a33 a34 | a35

a41 a42 a43 a44 | a45

Page 199: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

9.4. MATRIK DAN ELIMINASI GAUSS 181

Walaupun x3 sudah hilang dari P4, sebaiknya source-code penghapusan x3 dari P4 tetap ditam-

bahkan pada source-code sebelumnya agar source-code tersebut menjadi lengkap.

1 m=A(4,3)/A(3,3);

2 A(4,1)=A(4,1)-m*A(3,1);

3 A(4,2)=A(4,2)-m*A(3,2);

4 A(4,3)=A(4,3)-m*A(3,3);

5 A(4,4)=A(4,4)-m*A(3,4);

6 A(4,5)=A(4,5)-m*A(3,5);

Dengan memperhatikan angka-angka indeks pada matrik augment di atas, kita akan men-

coba membuat rumusan proses substitusi-mundur untuk mendapatkan seluruh nilai pengganti

variabel x. Dimulai dari x4,

x4 =a45a44

=−13

−13= 1

lalu dilanjutkan dengan x3, x2, dan x1.

x3 =a35 − a34x4

a33=

13− [(13)(1)]

3= 0

x2 =a25 − (a23x3 + a24x4)

a22=

(−7)− [(−1)(0) + (−5)(1)]

(−1)= 2

x1 =a15 − (a12x2 + a13x3 + a14x4)

a11=

4− [(1)(2) + (0)(0) + (3)(1)]

1= −1

Inilah source code proses substitusi mundur sesuai rumusan di atas

1 x(4,1)=A(4,5)/A(4,4);

2 x(3,1)=(A(3,5)-A(3,4)*x(4,1))/A(3,3);

3 x(2,1)=(A(2,5)-(A(2,3)*x(3,1)+A(2,4)*x(4,1)))/A(2,2);

4 x(1,1)=(A(1,5)-(A(1,2)*x(2,1)+A(1,3)*x(3,1)+A(1,4)*x(4,1)))/A(1,1);

9.4.3 Source-code dasar

Proses triangularisasi dan substitusi-mundur dibakukan menjadi algoritma metode eliminasi

gauss. Berikut ini saya tampilkan source-code dalam Matlab sebagaimana langkah-langkah diatas

1 clear all

2 clc

3

4 %---- inisialisasi matrik A ----

5 A = [1 1 0 3

6 2 1 -1 1

7 3 -1 -1 2

8 -1 2 3 -1];

9

10 %---- inisialisasi vektor b ----

11 b = [4 ; 1 ; -3 ; 4];

12

13 %---- membentuk matrik augmentasi ----

14 dim = size(A);

15 n = dim(1);

16 for i = 1:n

Page 200: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

182 BAB 9. METODE ELIMINASI GAUSS

17 A(i,n+1) = b(i);

18 end

19

20 %==== Proses Triangularisasi ====

21 %---- menghilangkan variabel x1 dari P2, P3 dan P4 ----

22 m=A(2,1)/A(1,1); % huruf m mewakili simbol lambda

23 A(2,1)=A(2,1)-m*A(1,1);

24 A(2,2)=A(2,2)-m*A(1,2);

25 A(2,3)=A(2,3)-m*A(1,3);

26 A(2,4)=A(2,4)-m*A(1,4);

27 A(2,5)=A(2,5)-m*A(1,5);

28

29 m=A(3,1)/A(1,1);

30 A(3,1)=A(3,1)-m*A(1,1);

31 A(3,2)=A(3,2)-m*A(1,2);

32 A(3,3)=A(3,3)-m*A(1,3);

33 A(3,4)=A(3,4)-m*A(1,4);

34 A(3,5)=A(3,5)-m*A(1,5);

35

36 m=A(4,1)/A(1,1);

37 A(4,1)=A(4,1)-m*A(1,1);

38 A(4,2)=A(4,2)-m*A(1,2);

39 A(4,3)=A(4,3)-m*A(1,3);

40 A(4,4)=A(4,4)-m*A(1,4);

41 A(4,5)=A(4,5)-m*A(1,5);

42

43 %---- menghilangkan variabel x2 dari P3 dan P4 ----

44 m=A(3,2)/A(2,2);

45 A(3,1)=A(3,1)-m*A(2,1);

46 A(3,2)=A(3,2)-m*A(2,2);

47 A(3,3)=A(3,3)-m*A(2,3);

48 A(3,4)=A(3,4)-m*A(2,4);

49 A(3,5)=A(3,5)-m*A(2,5);

50

51 m=A(4,2)/A(2,2);

52 A(4,1)=A(4,1)-m*A(2,1);

53 A(4,2)=A(4,2)-m*A(2,2);

54 A(4,3)=A(4,3)-m*A(2,3);

55 A(4,4)=A(4,4)-m*A(2,4);

56 A(4,5)=A(4,5)-m*A(2,5);

57

58 %---- menghilangkan variabel x3 dari P4 ----

59 m=A(4,3)/A(3,3);

60 A(4,1)=A(4,1)-m*A(3,1);

61 A(4,2)=A(4,2)-m*A(3,2);

62 A(4,3)=A(4,3)-m*A(3,3);

63 A(4,4)=A(4,4)-m*A(3,4);

64 A(4,5)=A(4,5)-m*A(3,5);

65

66 %==== Proses Substitusi Mundur ====

67 x(4,1)=A(4,5)/A(4,4);

68 x(3,1)=(A(3,5)-A(3,4)*x(4,1))/A(3,3);

69 x(2,1)=(A(2,5)-(A(2,3)*x(3,1)+A(2,4)*x(4,1)))/A(2,2);

70 x(1,1)=(A(1,5)-(A(1,2)*x(2,1)+A(1,3)*x(3,1)+A(1,4)*x(4,1)))/A(1,1);

Page 201: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

9.4. MATRIK DAN ELIMINASI GAUSS 183

9.4.4 Optimasi source code

Singkatnya, tujuan dari dilakukannya proses optimasi adalah untuk memperkecil jumlah baris

statemen pada source code dasar. Seperti kita ketahui bersama, source code dasar eliminasi gauss

yang tertulis di atas terdiri atas 70 baris statemen, sehingga perlu dilakukan proses optimasi

untuk memperkecil jumlah baris statemen (tanpa menyalahi hasil perhitungan).

9.4.4.1 Optimasi source code bagian triangular

Langkah optimasi source code bagian triangularisasi dimulai dari baris statemen ke 23 hingga

ke 27, yaitu

m=A(2,1)/A(1,1); % huruf m mewakili simbol lambda

A(2,1)=A(2,1)-m*A(1,1);

A(2,2)=A(2,2)-m*A(1,2);

A(2,3)=A(2,3)-m*A(1,3);

A(2,4)=A(2,4)-m*A(1,4);

A(2,5)=A(2,5)-m*A(1,5);

Bagian ini dapat dioptimasi menjadi

for k = 1:5

A(2,k) = A(2,k)-m*A(1,k);

end

Langkah optimasi yang sama juga bisa diterapkan untuk rangkaian baris statemen dari baris

ke 30 hingga 34 dan baris ke 37 hingga 41 (yang terdapat pada source-code dasar), sehingga

masing-masing akan menjadi

for k = 1:5

A(3,k) = A(3,k)-m*A(1,k);

end

dan

for k = 1:5

A(4,k) = A(4,k)-m*A(1,k);

end

Ternyata, pola optimasi yang sama juga masih bisa ditemui mulai baris ke 45 hingga baris

statemen ke 64. Dengan demikian, setidaknya, tahapan pertama ini akan menghasil source-code

baru hasil optimasi awal yaitu

1 clear all

2 clc

3

4 %---- inisialisasi matrik A ----

5 A = [1 1 0 3

6 2 1 -1 1

7 3 -1 -1 2

Page 202: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

184 BAB 9. METODE ELIMINASI GAUSS

8 -1 2 3 -1];

9

10 %---- inisialisasi vektor b ----

11 b = [4 ; 1 ; -3 ; 4];

12

13 %---- membentuk matrik augmentasi ----

14 dim = size(A);

15 n = dim(1);

16 for i = 1:n

17 A(i,n+1) = b(i);

18 end

19

20 %==== Proses Triangularisasi ====

21 %---- menghilangkan variabel x1 dari P2, P3 dan P4 ----

22 m=A(2,1)/A(1,1); % huruf m mewakili simbol lambda

23 for k = 1:5

24 A(2,k) = A(2,k)-m*A(1,k);

25 end

26

27 m=A(3,1)/A(1,1);

28 for k = 1:5

29 A(3,k) = A(3,k)-m*A(1,k);

30 end

31

32 m=A(4,1)/A(1,1);

33 for k = 1:5

34 A(4,k) = A(4,k)-m*A(1,k);

35 end

36

37 %---- menghilangkan variabel x2 dari P3 dan P4 ----

38 m=A(3,2)/A(2,2);

39 for k = 1:5

40 A(3,k) = A(3,k)-m*A(2,k);

41 end

42

43 m=A(4,2)/A(2,2);

44 for k = 1:5

45 A(4,k) = A(4,k)-m*A(2,k);

46 end

47

48 %---- menghilangkan variabel x3 dari P4 ----

49 m=A(4,3)/A(3,3);

50 for k = 1:5

51 A(4,k) = A(4,k)-m*A(3,k);

52 end

53

54 %==== Proses Substitusi Mundur ====

55 x(4,1)=A(4,5)/A(4,4);

56 x(3,1)=(A(3,5)-A(3,4)*x(4,1))/A(3,3);

57 x(2,1)=(A(2,5)-(A(2,3)*x(3,1)+A(2,4)*x(4,1)))/A(2,2);

58 x(1,1)=(A(1,5)-(A(1,2)*x(2,1)+A(1,3)*x(3,1)+A(1,4)*x(4,1)))/A(1,1);

Sekarang, source-code eliminasi gauss telah mengecil menjadi hanya 58 baris statemen saja (se-

belumnya ada 70 baris statemen). Namun ini belum merupakan akhir proses optimasi. Source-

code yang terakhir ini masih bisa dioptimasi kembali.

Coba anda perhatikan pola yang nampak mulai pada baris statemen ke-22 hingga ke-35.

Optimasi tahap dua dilakukan untuk menyederhanakan bagian tersebut, yaitu

Page 203: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

9.4. MATRIK DAN ELIMINASI GAUSS 185

for j = 2:4

m=A(j,1)/A(1,1);

for k = 1:5

A(j,k) = A(j,k)-m*A(1,k);

end

end

Demikian halnya untuk baris ke-38 sampai baris ke-46

for j = 3:4

m=A(j,2)/A(2,2);

for k = 1:5

A(j,k) = A(j,k)-m*A(2,k);

end

end

serta baris ke-49 hingga baris ke-52

for j = 4:4

m=A(j,3)/A(3,3);

for k = 1:5

A(j,k) = A(j,k)-m*A(3,k);

end

end

Dengan demikian hasil optimasi sampai dengan tahap ini adalah

1 clear all

2 clc

3

4 %---- inisialisasi matrik A ----

5 A = [1 1 0 3

6 2 1 -1 1

7 3 -1 -1 2

8 -1 2 3 -1];

9

10 %---- inisialisasi vektor b ----

11 b = [4 ; 1 ; -3 ; 4];

12

13 %---- membentuk matrik augmentasi ----

14 dim = size(A);

15 n = dim(1);

16 for i = 1:n

17 A(i,n+1) = b(i);

18 end

19

20 %==== Proses Triangularisasi ====

21 %---- menghilangkan variabel x1 dari P2, P3 dan P4 ----

22 for j = 2:4

23 m=A(j,1)/A(1,1);

24 for k = 1:5

25 A(j,k) = A(j,k)-m*A(1,k);

26 end

27 end

28

Page 204: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

186 BAB 9. METODE ELIMINASI GAUSS

29 %---- menghilangkan variabel x2 dari P3 dan P4 ----

30 for j = 3:4

31 m=A(j,2)/A(2,2);

32 for k = 1:5

33 A(j,k) = A(j,k)-m*A(2,k);

34 end

35 end

36

37 %---- menghilangkan variabel x3 dari P4 ----

38 for j = 4:4

39 m=A(j,3)/A(3,3);

40 for k = 1:5

41 A(j,k) = A(j,k)-m*A(3,k);

42 end

43 end

44

45 %==== Proses Substitusi Mundur ====

46 x(4,1)=A(4,5)/A(4,4);

47 x(3,1)=(A(3,5)-A(3,4)*x(4,1))/A(3,3);

48 x(2,1)=(A(2,5)-(A(2,3)*x(3,1)+A(2,4)*x(4,1)))/A(2,2);

49 x(1,1)=(A(1,5)-(A(1,2)*x(2,1)+A(1,3)*x(3,1)+A(1,4)*x(4,1)))/A(1,1);

Jika saya munculkan indeks i pada bagian proses triangularisasi

%==== Proses Triangularisasi ====

%---- menghilangkan variabel x1 dari P2, P3 dan P4 ----

i = 1;

for j = i+1:4

m=A(j,i)/A(i,i);

for k = 1:5

A(j,k) = A(j,k)-m*A(i,k);

end

end

%---- menghilangkan variabel x2 dari P3 dan P4 ----

i = 2;

for j = i+1:4

m=A(j,i)/A(i,i);

for k = 1:5

A(j,k) = A(j,k)-m*A(i,k);

end

end

%---- menghilangkan variabel x3 dari P4 ----

i = 3;

for j = i+1:4

m=A(j,i)/A(i,i);

for k = 1:5

A(j,k) = A(j,k)-m*A(i,k);

end

end

maka saya bisa gabungkan semua i tersebut menjadi

%==== Proses Triangularisasi ====

for i = 1:3

for j = i+1:4

Page 205: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

9.4. MATRIK DAN ELIMINASI GAUSS 187

m=A(j,i)/A(i,i);

for k = 1:5

A(j,k) = A(j,k)-m*A(i,k);

end

end

end

Sehingga hasil optimasi sampai tahapan ini telah mengecilkan jumlah baris statemen dari se-

mula 70 baris menjadi hanya 34 baris saja. Inilah hasilnya

1 clear all

2 clc

3

4 %---- inisialisasi matrik A ----

5 A = [1 1 0 3

6 2 1 -1 1

7 3 -1 -1 2

8 -1 2 3 -1];

9

10 %---- inisialisasi vektor b ----

11 b = [4 ; 1 ; -3 ; 4];

12

13 %---- membentuk matrik augmentasi ----

14 dim = size(A);

15 n = dim(1);

16 for i = 1:n

17 A(i,n+1) = b(i);

18 end

19

20 %==== Proses Triangularisasi ====

21 for i = 1:3

22 for j = i+1:4

23 m=A(j,i)/A(i,i);

24 for k = 1:5

25 A(j,k) = A(j,k)-m*A(i,k);

26 end

27 end

28 end

29

30 %==== Proses Substitusi Mundur ====

31 x(4,1)=A(4,5)/A(4,4);

32 x(3,1)=(A(3,5)-A(3,4)*x(4,1))/A(3,3);

33 x(2,1)=(A(2,5)-(A(2,3)*x(3,1)+A(2,4)*x(4,1)))/A(2,2);

34 x(1,1)=(A(1,5)-(A(1,2)*x(2,1)+A(1,3)*x(3,1)+A(1,4)*x(4,1)))/A(1,1);

9.4.4.2 Optimasi source code bagian substitusi-mundur

OK, sekarang kita beralih ke bagian substitusi-mundur. Saya mulai dengan memodifikasi bagian

tersebut menjadi seperti ini

%==== Proses Substitusi Mundur ====

x(4,1)=A(4,5)/A(4,4);

S = 0;

S = S + A(3,4)*x(4,1);

Page 206: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

188 BAB 9. METODE ELIMINASI GAUSS

x(3,1)=(A(3,5)-S)/A(3,3);

S = 0;

S = S + A(2,3)*x(3,1);

S = S + A(2,4)*x(4,1);

x(2,1)=(A(2,5)-S)/A(2,2);

S = 0;

S = S + A(1,2)*x(2,1);

S = S + A(1,3)*x(3,1);

S = S + A(1,4)*x(4,1);

x(1,1)=(A(1,5)-S)/A(1,1);

Dari situ, saya modifikasi kembali menjadi seperti ini

%==== Proses Substitusi Mundur ====

x(4,1)=A(4,5)/A(4,4);

S = 0;

for k = 4:4

S = S + A(3,k)*x(k,1);

end

x(3,1)=(A(3,5)-S)/A(3,3);

S = 0;

for k = 3:4

S = S + A(2,k)*x(k,1);

end

x(2,1)=(A(2,5)-S)/A(2,2);

S = 0;

for k = 2:4

S = S + A(1,k)*x(k,1);

end

x(1,1)=(A(1,5)-S)/A(1,1);

Lalu saya munculkan indeks i, coba perhatikan dengan teliti

%==== Proses Substitusi Mundur ====

x(4,1)=A(4,5)/A(4,4);

i = 3;

S = 0;

for k = i+1:4

S = S + A(i,k)*x(k,1);

end

x(i,1)=(A(i,5)-S)/A(i,i);

i = 2;

S = 0;

for k = i+1:4

S = S + A(i,k)*x(k,1);

end

x(i,1)=(A(i,5)-S)/A(i,i);

i = 1;

S = 0;

Page 207: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

9.4. MATRIK DAN ELIMINASI GAUSS 189

for k = i+1:4

S = S + A(i,k)*x(k,1);

end

x(i,1)=(A(1,5)-S)/A(i,i);

dengan demikian saya bisa ringkas menjadi seperti ini

%==== Proses Substitusi Mundur ====

x(4,1)=A(4,5)/A(4,4);

for i = 3:-1:1

S = 0;

for k = i+1:4

S = S + A(i,k)*x(k,1);

end

x(i,1)=(A(i,5)-S)/A(i,i);

end

Dan inilah hasil optimasi sampai tahapan yang terakhir

1 clear all

2 clc

3

4 %---- inisialisasi matrik A ----

5 A = [1 1 0 3

6 2 1 -1 1

7 3 -1 -1 2

8 -1 2 3 -1];

9

10 %---- inisialisasi vektor b ----

11 b = [4 ; 1 ; -3 ; 4];

12

13 %---- membentuk matrik augmentasi ----

14 dim = size(A);

15 n = dim(1);

16 for i = 1:n

17 A(i,n+1) = b(i);

18 end

19

20 %==== Proses Triangularisasi ====

21 for i = 1:3

22 for j = i+1:4

23 m=A(j,i)/A(i,i);

24 for k = 1:5

25 A(j,k) = A(j,k)-m*A(i,k);

26 end

27 end

28 end

29

30 %==== Proses Substitusi Mundur ====

31 x(4,1)=A(4,5)/A(4,4);

32

33 for i = 3:-1:1

34 S = 0;

35 for k = i+1:4

36 S = S + A(i,k)*x(k,1);

37 end

Page 208: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

190 BAB 9. METODE ELIMINASI GAUSS

38 x(i,1)=(A(i,5)-S)/A(i,i);

39 end

9.4.5 Pentingnya nilai n

Pada baris ke-15, nilai n adalah nilai ukuran matrik A yang berbentuk bujursangkar. Dalam

contoh ini, n bernilai 4. Dengan menggunakan angka 4 (atau n) sebagai acuan, maka source

code hasil optimasi terakhir dimodifikasi kembali menjadi seperti ini

1 clear all

2 clc

3

4 %---- inisialisasi matrik A ----

5 A = [1 1 0 3

6 2 1 -1 1

7 3 -1 -1 2

8 -1 2 3 -1];

9

10 %---- inisialisasi vektor b ----

11 b = [4 ; 1 ; -3 ; 4];

12

13 %---- membentuk matrik augmentasi ----

14 dim = size(A);

15 n = dim(1);

16 for i = 1:n

17 A(i,n+1) = b(i);

18 end

19

20 %==== Proses Triangularisasi ====

21 for i = 1:n-1

22 for j = i+1:n

23 m=A(j,i)/A(i,i);

24 for k = 1:n+1

25 A(j,k) = A(j,k)-m*A(i,k);

26 end

27 end

28 end

29

30 %==== Proses Substitusi Mundur ====

31 x(n,1)=A(n,n+1)/A(n,n);

32

33 for i = n-1:-1:1

34 S = 0;

35 for k = i+1:n

36 S = S + A(i,k)*x(k,1);

37 end

38 x(i,1)=(A(i,n+1)-S)/A(i,i);

39 end

Sekarang, source code di atas akan bisa memproses matrik bujursangkar yang ukurannya sem-

barang; tidak hanya 4x4. Demikianlah akhir dari proses optimasi yang cukup melelahkan.

Page 209: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

9.4. MATRIK DAN ELIMINASI GAUSS 191

9.4.6 Jangan puas dulu..

Walaupun memiliki jumlah baris statemen yang lebih sedikit, source-code ini masih mengandung

bug yang bisa berakibat fatal. Sekarang coba anda ganti angka-angka pada bagian inisialisasi

matrik menjadi angka-angka baru yang disesuaikan dengan sistem persamaan linear berikut ini

P1 : x1 − x2 + 2x3 − x4 = -8

P2 : 2x1 − 2x2 + 3x3 − 3x4 = -20

P3 : x1 + x2 + x3 = -2

P4 : x1 − x2 + 4x3 + 3x4 = 4

Saya jamin source code yang tadi akan berhenti sebelum tugasnya selesai. Artinya ia gagal

menjalankan tugas mencari solusi sistem persamaan linear. Mengapa bisa begitu?

9.4.7 Pivoting

Pada baris ke-23, yang merupakan bagian dari proses triangularisasi dalam source code di atas,

terdapat

m=A[j,i]/A[i,i]

elemen A[i, i] tentunya tidak boleh bernilai nol. Jika itu terjadi, maka proses triangularisasi

otomatis akan berhenti dan itu sekaligus menggagalkan metode eliminasi Gauss. Dilihat dari

indeks-nya yang kembar yaitu [i, i], maka tidak diragukan lagi bahwa ia pasti menempati posisi

di elemen diagonal dari matrik A. Nama lain elemen ini adalah elemen pivot. Jadi apa yang

harus dilakukan jika secara tidak disengaja didalam aliran proses terdapat elemen pivot yang

bernilai nol?

Salah satu cara untuk mengatasinya adalah dengan menukar seluruh elemen yang sebaris

dengan elemen diagonal bernilai nol. Ia harus ditukar posisinya dengan baris yang ada diba-

wahnya, sampai elemen diagonal matrik menjadi tidak nol, aii 6= 0. Cara ini disebut pivoting.

Penambahan proses pivoting kedalam source code eliminasi Gauss dimulai dari baris ke-23 sam-

pai baris ke-30 berikut ini

1 clear all

2 clc

3

4 %---- inisialisasi matrik A ----

5 A = [1 -1 2 -1

6 2 -2 3 -3

7 1 1 1 0

8 1 -1 4 3];

9

10 %---- inisialisasi vektor b ----

11 b = [-8 ; -20 ; -2 ; 4];

12

13 %---- membentuk matrik augmentasi ----

14 dim = size(A);

15 n = dim(1);

Page 210: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

192 BAB 9. METODE ELIMINASI GAUSS

16 for i = 1:n

17 A(i,n+1) = b(i);

18 end

19

20 %==== Proses Triangularisasi ====

21 for i = 1:n-1

22 %---- awal proses pivoting -----

23 if A(i,i) == 0

24 for s = 1:n+1

25 v = A(i,s);

26 u = A(i+1,s);

27 A(i,s) = u;

28 A(i+1,s) = v;

29 end

30 end

31 %---- akhir proses pivoting -----

32

33 for j = i+1:n

34 m=A(j,i)/A(i,i);

35 for k = 1:n+1

36 A(j,k) = A(j,k)-m*A(i,k);

37 end

38 end

39 end

40

41 %==== Proses Substitusi Mundur ====

42 x(n,1)=A(n,n+1)/A(n,n);

43

44 for i = n-1:-1:1

45 S = 0;

46 for k = i+1:n

47 S = S + A(i,k)*x(k,1);

48 end

49 x(i,1)=(A(i,n+1)-S)/A(i,i);

50 end

9.5 Function Eliminasi Gauss

Pendefinisian function eliminasi gauss, yang akan diberi nama elgauss merupakan langkah paling

akhir dari proses optimasi source code ini. Berdasarkan source code di atas, function eliminasi

gauss bisa dimulai dari baris ke-13 hingga baris ke-50. Berikut ini adalah cara pendefinisiannya

1 function x=elgauss(A,b)

2

3 %---- membentuk matrik augmentasi ----

4 dim = size(A);

5 n = dim(1);

6 for i = 1:n

7 A(i,n+1) = b(i);

8 end

9

10 %==== Proses Triangularisasi ====

11 for i = 1:n-1

12 %---- awal proses pivoting -----

13 if A(i,i) == 0

14 for s = 1:n+1

Page 211: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

9.5. FUNCTION ELIMINASI GAUSS 193

15 v = A(i,s);

16 u = A(i+1,s);

17 A(i,s) = u;

18 A(i+1,s) = v;

19 end

20 end

21 %---- akhir proses pivoting -----

22

23 for j = i+1:n

24 m=A(j,i)/A(i,i);

25 for k = 1:n+1

26 A(j,k) = A(j,k)-m*A(i,k);

27 end

28 end

29 end

30

31 %==== Proses Substitusi Mundur ====

32 x(n,1)=A(n,n+1)/A(n,n);

33

34 for i = n-1:-1:1

35 S = 0;

36 for k = i+1:n

37 S = S + A(i,k)*x(k,1);

38 end

39 x(i,1)=(A(i,n+1)-S)/A(i,i);

40 end

Dengan adanya function elgauss, maka source-code untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

dengan metode eliminasi gauss dapat ditulis secara sangat sederhana. Berikut ini contohnya..

1 clear all

2 clc

3

4 %---- inisialisasi matrik A ----

5 A = [1 -1 2 -1

6 2 -2 3 -3

7 1 1 1 0

8 1 -1 4 3];

9

10 %---- inisialisasi vektor b ----

11 b = [-8 ; -20 ; -2 ; 4];

12

13 x=elgauss(A,b)

Page 212: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

194 BAB 9. METODE ELIMINASI GAUSS

9.6 Contoh aplikasi

9.6.1 Menghitung arus listrik

Gunakan metode Eliminasi Gauss untuk menentukan arus i1, i2 dan i3 yang mengalir pada

rangkaian berikut ini

jawab:

Berdasarkan Hukum Kirchhoff:

I1 + I2 = I3

−14 + 6I1 − 10− 4I2 = 0

10− 6I1 − 2I3 = 0

Lalu kita susun ulang ketiga persamaan di atas menjadi seperti ini:

I1 + I2 − I3 = 0

6I1 − 4I2 = 24

6I1 + 2I3 = 10

Kemudian dinyatakan dalam bentuk matriks:

1 1 −1

6 −4 0

6 0 2

I1

I2

I3

=

0

24

10

Selanjutkan kita susun matriks augmentasi sebagai berikut:

1 1 −1 0

6 −4 0 24

6 0 2 10

Page 213: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

9.6. CONTOH APLIKASI 195

Langkah berikutnya adalah menghitung matriks triangularisasi dengan langkah-langkah sebagai

berikut:

m =a21a11

=6

1= 6

a21 = a21 −m.a11 = 6− (6).(1) = 0

a22 = a22 −m.a12 = −4− (6).(1) = −10

a23 = a23 −m.a13 = 0− (6).(−1) = 6

a24 = a24 −m.a14 = 24− (6).(0) = 24

m =a31a11

=6

1= 6

a31 = a31 −m.a11 = 6− (6).(1) = 0

a32 = a32 −m.a12 = 0− (6).(1) = −6

a33 = a33 −m.a13 = 2− (6).(−1) = 8

a34 = a34 −m.a14 = 10− (6).(0) = 10

Sampai disini matriks augment mengalami perubahan menjadi

1 1 −1 0

0 −10 6 24

0 −6 8 10

Kelanjutan langkah menuju triangularisasi adalah

m =a32a22

=−6

−10

a31 = a31 −m.a21 = 0− (−6

−10).(0) = 0

a32 = a32 −m.a22 = −6− (−6

−10).(−10) = 0

a33 = a33 −m.a23 = 8− (−6

−10).(6) = 4, 4

a34 = a34 −m.a24 = 10− (−6

−10).(24) = −4, 4

maka matriks triangularisasi berhasil didapat yaitu

1 1 −1 0

0 −10 6 24

0 0 4, 4 −4, 4

Page 214: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

196 BAB 9. METODE ELIMINASI GAUSS

Sekarang tinggal melakukan proses substitusi mundur

I3 =a34a33

=−4, 4

4, 4= −1

I2 =a24 − a23.I3

a22=

24− (6).(−1)

−10= −3

I1 =a14 − (a13.I3 + a12.I2)

a11=

(0− [(−1).(−1) + (1).(−3)]

1= 2

Jadi besar masing-masing arus pada rangkaian di atas adalah I1 = 2A, I2 = −3A dan I3 = −1A.

Tanda minus (-) memiliki arti bahwa arah arus yang sesungguhnya berlawanan arah dengan

asumsi awal yang kita gunakan. Keseluruhan tahapan perhitungan di atas cukup diselesaikan

oleh source-code berikut ini

1 clear all

2 clc

3

4 %---- inisialisasi matrik A ----

5 A = [1 1 -1

6 6 -4 0

7 6 0 2];

8

9 %---- inisialisasi vektor b ----

10 b = [0 ; 24 ; 10];

11

12 I=elgauss(A,b)

Isi matrik A diturunkan dari sistem persamaan linear yang mengacu kepada Hukum Kirchhoff

sebagai berikut

I1 + I2 − I3 = 0

6I1 − 4I2 = 24

6I1 + 2I3 = 10

yang kemudian dinyatakan dalam bentuk matrik A dan vektor b:

1 1 −1

6 −4 0

6 0 2

I1

I2

I3

=

0

24

10

9.6.2 Mencari invers matrik

Dalam kaitannya dengan invers matrik, matrik A disebut matrik non-singular jika matrik A

memiliki matrik invers dirinya yaitu A−1. Atau dengan kata lain, matrik A−1 adalah invers dari

matrik A. Jika matrik A tidak memiliki invers, maka matrik A disebut singular. Bila matrik A

dikalikan dengan matrik A−1 maka akan menghasilkan matrik identitas I, yaitu suatu matrik

Page 215: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

9.6. CONTOH APLIKASI 197

yang elemen-elemen diagonalnya bernilai 1.

AA−1 = I =

1 0 . . . 0

0 1 . . . 0...

.... . .

...

0 0 . . . 1

(9.4)

Misalnya diketahui,

A =

1 2 −1

2 1 0

−1 1 2

, A−1 =

−29

59 −1

949 −1

929

−13

13

13

Bila keduanya dikalikan, maka akan menghasilkan matrik identitas,

AA−1 =

1 2 −1

2 1 0

−1 1 2

−29

59 −1

949 −1

929

−13

13

13

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Lalu bagaimana cara memperoleh matrik invers, A−1? Itulah bahan diskusi kita kali ini. Ba-

iklah.., anggap saja kita tidak tahu isi dari A−1. Tapi yang jelas matrik A−1 ukurannya mesti

sama dengan matrik A, yaitu 3x3.

AA−1 = I

1 2 −1

2 1 0

−1 1 2

i11 i12 i13

i21 i22 i23

i31 i32 i33

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(9.5)

dalam hal ini matrik A−1 adalah

A−1 =

i11 i12 i13

i21 i22 i23

i31 i32 i33

Elemen-elemen matrik invers, A−1 dapat diperoleh dengan menerapkan metode eliminasi gauss

pada persamaan 9.5 yang telah dipecah 3 menjadi

1 2 −1

2 1 0

−1 1 2

i11

i21

i31

=

1

0

0

Page 216: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

198 BAB 9. METODE ELIMINASI GAUSS

1 2 −1

2 1 0

−1 1 2

i21

i22

i23

=

0

1

0

1 2 −1

2 1 0

−1 1 2

i31

i32

i32

=

0

0

1

Ketiganya dapat diselesaikan satu persatu menggunakan source code Eliminasi Gauss. Source

code untuk mendapatkan kolom pertama dari matrik invers adalah

1 clear all

2 clc

3

4 %---- inisialisasi matrik A ----

5 A = [1 2 -1

6 2 1 0

7 -1 1 2];

8

9 %---- inisialisasi vektor b ----

10 for j = 1:3

11 b(j,1) = 0;

12 end

13 b(1,1) = 1;

14

15 I=elgauss(A,b)

Sementara, source code untuk mendapatkan kolom kedua dari matrik invers adalah

1 clear all

2 clc

3

4 %---- inisialisasi matrik A ----

5 A = [1 2 -1

6 2 1 0

7 -1 1 2];

8

9 %---- inisialisasi vektor b ----

10 for j = 1:3

11 b(j,1) = 0;

12 end

13 b(2,1) = 1;

14

15 I=elgauss(A,b)

Dan untuk memperoleh kolom ketiga matrik invers, caranya adalah

1 clear all

2 clc

3

4 %---- inisialisasi matrik A ----

5 A = [1 2 -1

Page 217: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

9.6. CONTOH APLIKASI 199

6 2 1 0

7 -1 1 2];

8

9 %---- inisialisasi vektor b ----

10 for j = 1:3

11 b(j,1) = 0;

12 end

13 b(3,1) = 1;

14

15 I=elgauss(A,b)

Memang pada prinsipnya, dengan menjalankan tiga source-code di atas, akan diperoleh ma-

trik invers. Namun cara seperti ini tentunya kurang efektif. Mungkinkah ketiganya digabung

menjadi satu? Jelas bisa!

1 clear all

2 clc

3

4 %---- inisialisasi matrik A ----

5 A = [1 2 -1

6 2 1 0

7 -1 1 2];

8

9

10 %---- inisialisasi vektor b ----

11 for j = 1:3

12 b(j,1) = 0;

13 end

14 b(1,1) = 1;

15 I=elgauss(A,b);

16 for k = 1:3

17 AI(k,1) = I(k,1);

18 end

19

20 for j = 1:3

21 b(j,1) = 0;

22 end

23 b(2,1) = 1;

24 I=elgauss(A,b);

25 for k = 1:3

26 AI(k,2) = I(k,1);

27 end

28

29 for j = 1:3

30 b(j,1) = 0;

31 end

32 b(3,1) = 1;

33 I=elgauss(A,b);

34 for k = 1:3

35 AI(k,3) = I(k,1);

36 end

Jika kita munculkan indeks i seperti ini

1 clear all

2 clc

Page 218: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

200 BAB 9. METODE ELIMINASI GAUSS

3

4 %---- inisialisasi matrik A ----

5 A = [1 2 -1

6 2 1 0

7 -1 1 2];

8

9

10 %---- inisialisasi vektor b ----

11 i = 1;

12 for j = 1:3

13 b(j,1) = 0;

14 end

15 b(i,1) = 1;

16 I=elgauss(A,b);

17 for k = 1:3

18 AI(k,i) = I(k,1);

19 end

20

21 i = 2;

22 for j = 1:3

23 b(j,1) = 0;

24 end

25 b(i,1) = 1;

26 I=elgauss(A,b);

27 for k = 1:3

28 AI(k,i) = I(k,1);

29 end

30

31 i = 3;

32 for j = 1:3

33 b(j,1) = 0;

34 end

35 b(i,1) = 1;

36 I=elgauss(A,b);

37 for k = 1:3

38 AI(k,i) = I(k,1);

39 end

maka source code tersebut dapat dioptimasi menjadi

1 clear all

2 clc

3

4 %---- inisialisasi matrik A ----

5 A = [1 2 -1

6 2 1 0

7 -1 1 2];

8

9

10 %---- menghitung matrik invers ----

11 for i = 1:3

12 for j = 1:3

13 b(j,1) = 0;

14 end

15 b(i,1) = 1;

16 I=elgauss(A,b);

17 for k = 1:3

18 AI(k,i) = I(k,1);

Page 219: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

9.6. CONTOH APLIKASI 201

19 end

20 end

Diperlukan sedikit lagi modifikasi agar source code tersebut dapat berlaku umum

1 clear all

2 clc

3

4 %---- inisialisasi matrik A ----

5 A = [1 2 -1

6 2 1 0

7 -1 1 2];

8

9 %---- menghitung matrik invers ----

10 dim = size(A);

11 n = dim(1);

12 for i = 1:n

13 for j = 1:n

14 b(j,1) = 0;

15 end

16 b(i,1) = 1;

17 I=elgauss(A,b);

18 for k = 1:n

19 AI(k,i) = I(k,1);

20 end

21 end

9.6.2.1 function invers matrik

Berdasarkan source code yang sudah teroptimasi di atas, kita bisa membuat function untuk

menghitung matrik invers.

1 %---- menghitung matrik invers ----

2 function AI = Ainv(A)

3 dim = size(A);

4 n = dim(1);

5 for i = 1:n

6 for j = 1:n

7 b(j,1) = 0;

8 end

9 b(i,1) = 1;

10 I=elgauss(A,b);

11 for k = 1:n

12 AI(k,i) = I(k,1);

13 end

14 end

Dengan demikian, untuk mendapatkan matrik invers, cara termudahnya adalah

1 clear all

2 clc

3

4 %---- inisialisasi matrik A ----

5 A = [1 2 -1

6 2 1 0

Page 220: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

202 BAB 9. METODE ELIMINASI GAUSS

7 -1 1 2];

8

9 %---- menghitung matrik invers ----

10 AI = Ainv(A);

Keberadaan matrik A−1 bisa digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (men-

cari nilai x), dengan cara sebagai berikut

Ax = b

A−1Ax = A−1b

Ix = A−1b

x = A−1b (9.6)

Contoh berikut ini akan menjelaskan prosesnya secara lebih rinci. Misalnya diketahui sistem

persamaan linear

x1 + 2x2 − x3 = 2

2x1 + x2 = 3

−x1 + x2 + 2x3 = 4

Bila dikonversikan kedalam operasi matrik menjadi

1 2 −1

2 1 0

−1 1 2

x1

x2

x3

=

2

3

4

Berdasarkan persamaan (9.6), maka elemen-elemen vektor x dapat dicari dengan cara

x = A−1b

x =

−29

59 −1

949 −1

929

−13

13

13

2

3

4

=

7913953

Akhirnya diperoleh solusi x1 = 7/9, x2 = 13/9, dan x3 = 5/3. Penyelesaian sistem persamaan

linear menjadi lebih mudah bila matrik A−1 sudah diketahui. Sayangnya, untuk mendapatk-

an matrik A−1, diperlukan langkah-langkah, seperti yang sudah dibahas pada contoh pertama

di atas, yang berakibat in-efisiensi proses penyelesaian (secara komputasi) bila dibandingkan

dengan metode eliminasi gauss untuk memecahkan sistem persamaan linear. Namun bagai-

manapun, secara konseptual kita dianjurkan mengetahui cara bagaimana mendapatkan matrik

A−1.

Page 221: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

9.7. PENUTUP 203

9.7 Penutup

Saya cukupkan sementara sampai disini. Insya Allah akan saya sambung lagi dilain waktu. Ka-

lau ada yang mau didiskusikan, silakan hubungi saya melalui email yang tercantum di halaman

paling depan.

Page 222: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

204 BAB 9. METODE ELIMINASI GAUSS

Page 223: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

Bab 10

Aplikasi Eliminasi Gauss pada Masalah

Inversi

Objektif :

⊲ Mengenalkan model garis.

⊲ Mengenalkan model parabola.

⊲ Mengenalkan model bidang.

Pada bab ini, saya mencoba menuliskan aplikasi Metode Eliminasi Gauss sebagai dasar-dasar

teknik inversi yaitu meliputi model garis, model parabola dan model bidang. Uraian aplikasi

tersebut diawali dari ketersediaan data observasi, lalu sejumlah parameter model mesti dicari

dengan teknik inversi. Mari kita mulai dari model garis.

10.1 Inversi Model Garis

Pengukuran suhu terhadap kedalaman di bawah permukaan bumi menunjukkan bahwa semakin

dalam, suhu semakin tinggi. Misalnya telah dilakukan sebanyak empat kali (N = 4) pengukur-

an suhu (Ti) pada kedalaman yang berbeda beda (zi). Tabel pengukuran secara sederhana

disajikan seperti ini:

Tabel 10.1: Data suhu bawah permukaan tanah terhadap kedalamanPengukuran ke-i Kedalaman (m) suhu (OC)

1 z1 = 5 T1 = 352 z2 = 16 T2 = 573 z3 = 25 T3 = 754 z4 = 100 T4 = 225

Grafik sebaran data observasi ditampilkan pada Gambar (10.2). Lalu kita berasumsi bahwa

variasi suhu terhadap kedalaman ditentukan oleh rumus berikut ini:

m1 +m2zi = Ti (10.1)

205

Page 224: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

206 BAB 10. APLIKASI ELIMINASI GAUSS PADA MASALAH INVERSI

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

50

100

150

200

250

Kedalaman (meter)

Te

mp

era

tur

(Ce

lciu

s)

Variasi temperatur terhadap kedalaman

Gambar 10.1: Sebaran data observasi antara suhu dan kedalaman

dimana m1 dan m2 adalah konstanta-konstanta yang akan dicari. Rumus di atas disebut model

matematika. Sedangkan m1 dan m2 disebut parameter model. Pada model matematika di atas

terdapat dua buah parameter model, (M = 2). Sementara jumlah data observasi ada empat,

(N = 4), yaitu nilai-nilai kedalaman, zi, dan suhu, Ti. Berdasarkan model tersebut, kita bisa

menyatakan suhu dan kedalaman masing-masing sebagai berikut:

m1 +m2z1 = T1

m1 +m2z2 = T2

m1 +m2z3 = T3

m1 +m2z4 = T4

Semua persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam operasi matrik berikut ini:

1 z1

1 z2

1 z3

1 z4

[

m1

m2

]

=

T1

T2

T3

T4

(10.2)

Lalu ditulis secara singkat

Gm = d (10.3)

dimana d adalah data yang dinyatakan dalam vektor kolom, m adalah model parameter, juga

dinyatakan dalam vektor kolom, dan G disebut matrik kernel. Lantas bagaimana cara menda-

Page 225: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

10.1. INVERSI MODEL GARIS 207

patkan nilai m1 dan m2 pada vektor kolom m? Manipulasi berikut ini bisa menjawabnya

GTGm = GTd (10.4)

dimana t disini maksudnya adalah tanda transpos matrik. Selanjutnya, untuk mendapatkan

elemen-elemen m, diperlukan langkah-langkah perhitungan berikut ini:

1. Tentukan transpos dari matrik kernel, yaitu Gt

G =

1 z1

1 z2

1 z3

1 z4

⇒ Gt =

[

1 1 1 1

z1 z2 z3 z4

]

2. Tentukan GTG

GtG =

[

1 1 1 1

z1 z2 z3 z4

]

1 z1

1 z2

1 z3

1 z4

=

[

N∑

zi∑

zi∑

z2i

]

dimana N = 4 dan i = 1, 2, 3, 4.

3. Kemudian tentukan pula GTd

Gtd =

[

1 1 1 1

z1 z2 z3 z4

]

T1

T2

T3

T4

=

[

Ti∑

ziTi

]

4. Sekarang persamaan (10.4) dapat dinyatakan sebagai

[

N∑

zi∑

zi∑

z2i

][

m1

m2

]

=

[

Ti∑

ziTi

]

(10.5)

5. Aplikasikan metode Eliminasi Gauss dengan Substitusi Mundur. Untuk itu, tentukan

matrik augment-nya

[

N∑

zi | ∑

Ti∑

zi∑

z2i | ∑

ziTi

]

6. Untuk mempermudah perhitungan, kita masukan dulu angka-angka yang tertera pada

tabel pengukuran dihalaman depan.

[

4 146 | 392

146 10906 | 25462

]

Page 226: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

208 BAB 10. APLIKASI ELIMINASI GAUSS PADA MASALAH INVERSI

7. Lakukan proses triangularisasi dengan operasi (P2 − (36, 5)P1) → P2. Saya sertakan pula

indeks masing-masing elemen pada matrik augment sebagaimana yang telah saya lakukan

pada catatan kuliah yang berjudul Metode Eliminasi Gauss. Hasilnya adalah

[

4 146 | 392

0 5577 | 11154

]

=

[

a11 a12 | a13

a21 a22 | a23

]

8. Terakhir, tentukan konstanta m1 dan m2 yang merupakan elemen-elemen vektor kolom

m, dengan proses substitusi mundur. Pertama tentukan m2

m2 =a23a22

=11154

5577= 2

lalu tentukan m1

m1 =a13 − a12m2

a11=

392 − (146)(2)

4= 25

10.1.1 Script matlab inversi model garis

Script inversi model garis ini dibangun dari beberapa script yang sudah kita pelajari sebelumnya,

yaitu script transpose matriks, perkalian matrik dan script eliminasi gauss. Silakan pelajari

maksud tiap-tiap baris pada script ini.

1 clc

2 clear all

3 close all

4

5 % ---- data observasi ----

6 N = 4; % jumlah data

7 z = [ 5 ; 16 ; 25 ; 100 ];

8 T = [ 35 ; 57 ; 75 ; 225 ];

9

10

11 % ---- menentukan matrik kernel, G ----

12 for i = 1:N

13 G(i,1) = 1;

14 G(i,2) = z(i,1);

15 end

16

17 % ---- menentukan vektor d ----

18 d=T;

19

20 % ---- proses inversi ----

21 A = G’*G;

22 b = G’*d;

23 m = elgauss(A,b);

24

25 %-------MENGGAMBAR GRAFIK----------------------

26 plot(z,T,’ro’);

27 xlabel(’Kedalaman (meter)’);ylabel(’Suhu (derajat Celcius)’);

28 title(’Data variasi suhu terhadap kedalaman’)

29 hold on;

30 for i=1:max(z)

Page 227: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

10.2. INVERSI MODEL PARABOLA 209

31 zi(i)=i;

32 Ti(i)=m(1)+m(2)*zi(i);

33 end

34 plot(zi,Ti);

35 hold off;

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

50

100

150

200

250

Kedalaman (meter)

Su

hu

(d

era

jat

Ce

lciu

s)

Data variasi suhu terhadap kedalaman

Gambar 10.2: Kurva hasil inversi data observasi antara suhu dan kedalaman

Demikianlah contoh aplikasi metode Eliminasi Gauss pada model garis. Anda bisa meng-

aplikasikan pada kasus lain, dengan syarat kasus yang anda tangani memiliki bentuk model

yang sama dengan yang telah dikerjakan pada catatan ini, yaitu model persamaan garis atau

disingkat model garis: y = m1 +m2x. Selanjutnya mari kita pelajari inversi model parabola.

10.2 Inversi Model Parabola

Pengukuran suhu terhadap kedalaman di bawah permukaan bumi menunjukkan bahwa semakin

dalam, suhu semakin tinggi. Misalnya telah dilakukan sebanyak delapan kali (N = 8) pengu-

kuran suhu (Ti) pada kedalaman yang berbeda beda (zi). Tabel 10.2 menyajikan data observasi

pada kasus ini.

Lalu kita berasumsi bahwa variasi suhu terhadap kedalaman ditentukan oleh rumus berikut

ini:

m1 +m2zi +m3z2i = Ti (10.6)

dimana m1, m2 dan m3 adalah konstanta-konstanta yang akan dicari. Rumus di atas disebut

model. Sedangkan m1, m2 dan m3 disebut model parameter. Jadi pada model di atas terdapat

tiga buah model parameter, (M = 3). Adapun yang berlaku sebagai data adalah nilai-nilai

Page 228: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

210 BAB 10. APLIKASI ELIMINASI GAUSS PADA MASALAH INVERSI

Tabel 10.2: Data suhu bawah permukaan tanah terhadap kedalamanPengukuran ke-i Kedalaman (m) suhu (OC)

1 z1 = 5 T1 = 21, 752 z2 = 8 T2 = 22, 683 z3 = 14 T3 = 25, 624 z4 = 21 T4 = 30, 875 z5 = 30 T5 = 40, 56 z6 = 36 T6 = 48, 727 z7 = 45 T7 = 63, 758 z8 = 60 T8 = 96

suhu T1, T2,..., dan T8. Berdasarkan model tersebut, kita bisa menyatakan suhu dan kedalaman

masing-masing sebagai berikut:

m1 +m2z1 +m3z21 = T1

m1 +m2z2 +m3z22 = T2

m1 +m2z3 +m3z23 = T3

m1 +m2z4 +m3z24 = T4

m1 +m2z5 +m3z25 = T5

m1 +m2z6 +m3z26 = T6

m1 +m2z7 +m3z27 = T7

m1 +m2z8 +m3z28 = T8

Semua persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam operasi matrik berikut ini:

1 z1 z211 z2 z221 z3 z231 z4 z241 z5 z251 z6 z261 z7 z271 z8 z28

m1

m2

m3

=

T1

T2

T3

T4

T5

T6

T7

T8

(10.7)

Lalu ditulis secara singkat

Gm = d (10.8)

dimana d adalah data yang dinyatakan dalam vektor kolom, m adalah model parameter, juga

dinyatakan dalam vektor kolom, dan G disebut matrik kernel. Lantas bagaimana cara menda-

patkan nilai m1, m2 dan m3 pada vektor kolom m? Manipulasi berikut ini bisa menjawabnya

GtGm = Gtd (10.9)

Page 229: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

10.2. INVERSI MODEL PARABOLA 211

dimana t disini maksudnya adalah tanda transpos matrik. Selanjutnya, untuk mendapatkan

elemen-elemen m, diperlukan langkah-langkah perhitungan berikut ini:

1. Tentukan transpos dari matrik kernel, yaitu Gt

G =

1 z1 z211 z2 z221 z3 z231 z4 z241 z5 z251 z6 z261 z7 z271 z8 z28

⇒ Gt =

1 1 1 1 1 1 1 1

z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8

z21 z22 z23 z24 z25 z26 z27 z28

2. Tentukan GtG

GtG =

1 1 1 1 1 1 1 1

z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8

z21 z22 z23 z24 z25 z26 z27 z28

1 z1 z211 z2 z221 z3 z231 z4 z241 z5 z251 z6 z261 z7 z271 z8 z28

=

N∑

zi∑

z2i∑

zi∑

z2i∑

z3i∑

z2i∑

z3i∑

z4i

dimana N = 8 dan i = 1, 2, 3, ..., 8.

3. Kemudian tentukan pula Gtd

Gtd =

1 1 1 1 1 1 1 1

z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8

z21 z22 z23 z24 z25 z26 z27 z28

T1

T2

T3

T4

T5

T6

T7

T8

=

Ti∑

ziTi∑

z2i Ti

4. Sekarang persamaan (10.14) dapat dinyatakan sebagai (ini khan least square juga...!?)

N∑

zi∑

z2i∑

zi∑

z2i∑

z3i∑

z2i∑

z3i∑

z4i

m1

m2

m3

=

Ti∑

ziTi∑

z2i Ti

(10.10)

Page 230: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

212 BAB 10. APLIKASI ELIMINASI GAUSS PADA MASALAH INVERSI

5. Aplikasikan metode Eliminasi Gauss dengan Substitusi Mundur. Untuk itu, tentukan

matrik augment-nya

N∑

zi∑

z2i | ∑

Ti∑

zi∑

z2i∑

z3i | ∑

ziTi∑

z2i∑

z3i∑

z4i | ∑

z2i Ti

6. Untuk mempermudah perhitungan, kita masukan dulu angka-angka yang tertera pada

tabel pengukuran dihalaman depan.

8 219 8547 | 349, 89

219 8547 393423 | 12894, 81

8547 393423 19787859 | 594915, 33

7. Lakukan proses triangularisasi dengan operasi (P2 − (219/8)P1) → P2. Hasilnya adalah

8 219 8547 | 349, 89

0 2551, 88 159448, 88 | 3316, 57

8547 393423 19787859 | 594915, 33

8. Masih dalam proses triangularisai, operasi berikutnya (P3 − (8547/8)P1) → P3. Hasilnya

adalah

8 219 8547 | 349, 89

0 2551, 88 159448, 88 | 3316, 57

0 159448.88 10656457, 88 | 221101, 6

9. Masih dalam proses triangularisai, operasi berikutnya (P3−(159448, 88/2551, 88)P2 ) → P3.

Hasilnya adalah

8 219 8547 | 349, 89

0 2551, 88 159448, 88 | 3316, 57

0 0 693609, 48 | 13872, 19

(10.11)

Seperti catatan yang lalu, saya ingin menyertakan pula notasi masing-masing elemen pada

matrik augment sebelum melakukan proses substitusi mundur.

8 219 8547 | 349, 89

0 2551, 88 159448, 88 | 3316, 57

0 0 693609, 48 | 13872, 19

a11 a12 a13 | a14

a21 a22 a23 | a24

a31 a32 a33 | a34

10. Terakhir, tentukan konstanta m1, m2 dan m3 yang merupakan elemen-elemen vektor ko-

Page 231: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

10.2. INVERSI MODEL PARABOLA 213

lom m, dengan proses substitusi mundur. Pertama tentukan m3

m3 =a34a33

=13872, 19

693609, 48= 0, 02

lalu m2

m2 =a24 − a23m3

a22=

3316, 57 − (159448, 88)(0, 02)

2551, 88= 0, 05

dan m1

m1 =a14 − (a12m2 + a13m3)

a11=

349, 89 − [(219)(0, 05) + (8547)(0, 02)

8= 21

10.2.1 Script matlab inversi model parabola

Perbedaan utama script ini dengan script inversi model garis terletak pada inisialisasi elemen-

elemen matrik kernel. Elemen-elemen matrik kernel sangat ditentukan oleh model matematika

yang digunakan. Seperti pada script ini, matrik kernelnya diperoleh dari model parabola.

1 clc

2 clear all

3 close all

4

5 % ---- data observasi ----

6 N = 8; % Jumlah data

7 z = [5; 8; 14; 21; 30; 36; 45; 60];

8 T = [21.75; 22.68; 25.62; 30.87; 40.5; 48.72; 63.75; 96];

9

10 % ---- menentukan matrik kernel, G ----

11 for i = 1:N

12 G(i,1) = 1;

13 G(i,2) = z(i,1);

14 G(i,3) = z(i,1)^2;

15 end

16

17 % ---- menentukan vektor d ----

18 d=T;

19

20 % ---- proses inversi ----

21 A = G’*G;

22 b = G’*d;

23 m = elgauss(A,b);

24

25 %-------MENGGAMBAR GRAFIK----------------------

26 plot(z,T,’ro’);

27 xlabel(’Kedalaman (meter)’);ylabel(’Suhu (derajat Celcius)’);

28 title(’Data variasi suhu terhadap kedalaman’);

29 hold on;

30 for i=1:max(z)

31 zi(i)=i;

32 Ti(i)=m(1)+m(2)*zi(i)+m(3)*zi(i)^2;

33 end

34 plot(zi,Ti);

35 hold off;

Page 232: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

214 BAB 10. APLIKASI ELIMINASI GAUSS PADA MASALAH INVERSI

0 10 20 30 40 50 6020

30

40

50

60

70

80

90

100

Kedalaman (meter)

Su

hu

(d

era

jat

Ce

lciu

s)

Data variasi suhu terhadap kedalaman

Gambar 10.3: Kurva hasil inversi data observasi antara suhu dan kedalaman

Demikianlah contoh aplikasi metode Eliminasi Gauss pada model parabola. Anda bisa meng-

aplikasikan pada kasus lain, dengan syarat kasus yang anda tangani memiliki bentuk model

yang sama dengan yang telah dikerjakan pada catatan ini, yaitu memiliki tiga buah model pa-

rameter yang tidak diketahui dalam bentuk persamaan parabola: y = m1 +m2x+m3x2. Pada

catatan berikutnya, saya akan membahas model yang mengandung tiga model parameter dalam

2 dimensi.

10.3 Inversi Model Bidang

Dalam catatan ini saya belum sempat mencari contoh pengukuran yang sesuai untuk model

2-dimensi. Maka, saya ingin langsung saja mengajukan sebuah model untuk 2-dimensi berikut

ini:

m1 +m2xi +m3yi = di (10.12)

dimana m1, m2 dan m3 merupakan model parameter yang akan dicari. Adapun yang berlaku

sebagai data adalah d1, d2, d3, ..., di. Berdasarkan model tersebut, kita bisa menyatakan suhu

Page 233: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

10.3. INVERSI MODEL BIDANG 215

dan kedalaman masing-masing sebagai berikut:

m1 +m2x1 +m3y1 = d1

m1 +m2x2 +m3y2 = d2

m1 +m2x3 +m3y3 = d3...

......

......

m1 +m2xN +m3yN = dN

Semua persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam operasi matrik berikut ini:

1 x1 y1

1 x2 y2

1 x3 y3...

......

1 xN yN

m1

m2

m3

=

d1

d2

d3...

dN

Lalu ditulis secara singkat

Gm = d (10.13)

dimana d adalah data yang dinyatakan dalam vektor kolom, m adalah model parameter, juga

dinyatakan dalam vektor kolom, dan G disebut matrik kernel. Lantas bagaimana cara menda-

patkan nilai m1, m2 dan m3 pada vektor kolom m? Manipulasi berikut ini bisa menjawabnya

GtGm = Gtd (10.14)

dimana t disini maksudnya adalah tanda transpos matrik. Selanjutnya, untuk mendapatkan

elemen-elemen m, diperlukan langkah-langkah perhitungan berikut ini:

1. Tentukan transpos dari matrik kernel, yaitu Gt

G =

1 x1 y1

1 x2 y2

1 x3 y3...

......

1 xN yN

⇒ Gt =

1 1 1 · · · 1

x1 x2 x3 · · · xN

y1 y2 y3 · · · yN

2. Tentukan GtG

GtG =

1 1 1 · · · 1

x1 x2 x3 · · · xN

y1 y2 y3 · · · yN

1 x1 y1

1 x2 y2

1 x3 y3...

......

1 xN yN

=

N∑

xi∑

yi∑

xi∑

x2i∑

xiyi∑

yi∑

xiyi∑

y2i

Page 234: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

216 BAB 10. APLIKASI ELIMINASI GAUSS PADA MASALAH INVERSI

dimana N = jumlah data. dan i = 1, 2, 3, ..., N .

3. Kemudian tentukan pula Gtd

Gtd =

1 1 1 · · · 1

x1 x2 x3 · · · xN

y1 y2 y3 · · · yN

d1

d2

d3...

dN

=

di∑

xidi∑

yidi

4. Sekarang, persamaan (10.14) dapat dinyatakan sebagai

N∑

xi∑

yi∑

xi∑

x2i∑

xiyi∑

yi∑

xiyi∑

y2i

m1

m2

m3

=

di∑

xidi∑

yidi

(10.15)

5. Aplikasikan metode Eliminasi Gauss dengan Substitusi Mundur. Untuk itu, tentukan

matrik augment-nya

N∑

xi∑

yi |∑

di∑

xi∑

x2i∑

xiyi |∑

xidi∑

yi∑

xiyi∑

y2i |∑

yidi

6. Langkah-langkah selanjutnya akan sama persis dengan catatan sebelumnya (model linear

dan model parabola)

Anda bisa mengaplikasikan data pengukuran yang anda miliki, dengan syarat kasus yang

anda tangani memiliki bentuk model yang sama dengan yang telah dikerjakan pada catatan

ini, yaitu memiliki tiga buah model parameter yang tidak diketahui dalam bentuk persamaan

bidang (atau 2-dimensi): d = m1 +m2x+m3y.

Saya cukupkan sementara sampai disini. Insya Allah akan saya sambung lagi dilain waktu.

Kalau ada yang mau didiskusikan, silakan hubungi saya melalui email: [email protected].

10.4 Contoh aplikasi

10.4.1 Menghitung gravitasi di planet X

Seorang astronot tiba di suatu planet yang tidak dikenal. Setibanya disana, ia segera menge-

luarkan kamera otomatis, lalu melakukan ekperimen kinematika yaitu dengan melempar batu

vertikal ke atas. Hasil foto-foto yang terekam dalam kamera otomatis adalah sebagai berikut

Plot data pengukuran waktu vs ketinggian diperlihatkan pada Gambar 10.4. Anda diminta un-

tuk membantu proses pengolahan data sehingga diperoleh nilai konstanta gravitasi di planet

tersebut dan kecepatan awal batu. Jelas, ini adalah persoalan inversi, yaitu mencari unkown

parameter (konstanta gravitasi dan kecepatan awal batu) dari data observasi (hasil foto gerak

sebuah batu).

Page 235: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

10.4. CONTOH APLIKASI 217

Tabel 10.3: Data ketinggian terhadap waktu dari planet XWaktu (dt) Ketinggian (m) Waktu (dt) Ketinggian (m)

0,00 5,00 2,75 7,62

0,25 5,75 3,00 7,25

0,50 6,40 3,25 6,77

0,75 6,94 3,50 6,20

1,00 7,38 3,75 5,52

1,25 7,72 4,00 4,73

1,50 7,96 4,25 3,85

1,75 8,10 4,50 2,86

2,00 8,13 4,75 1,77

2,25 8,07 5,00 0,58

2,50 7,90

Langkah awal untuk memecahkan persoalan ini adalah dengan mengajukan asumsi model

matematika, yang digali dari konsep-konsep fisika, yang kira-kira paling cocok dengan situasi

pengambilan data observasi. Salah satu konsep dari fisika yang bisa diajukan adalah konsep

tentang Gerak-Lurus-Berubah-Beraturan (GLBB), yang formulasinya seperti ini

ho + vot−1

2gt2 = h

Berdasarkan tabel data observasi, ketinggian pada saat t = 0 adalah 5 m. Itu artinya ho = 5 m.

Sehingga model matematika (formulasi GLBB) dapat dimodifikasi sedikit menjadi

vot−1

2gt2 = h− ho (10.16)

Selanjut, didefinisikan m1 dan m2 sebagai berikut

m1 = vo m2 = −1

2g (10.17)

sehingga persamaan model GLBB menjadi

m1ti +m2t2i = hi − 5 (10.18)

dimana i menunjukkan data ke-i.

Langkah berikutnya adalah menentukan nilai tiap-tiap elemen matrik kernel, yaitu dengan

memasukan data observasi kedalam model matematika (persamaan (10.18))

m1t1 +m2t21 = h1 − 5

m1t2 +m2t22 = h2 − 5

m1t3 +m2t23 = h3 − 5

...... =

...

m1t20 +m2t220 = h20 − 5

Page 236: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

218 BAB 10. APLIKASI ELIMINASI GAUSS PADA MASALAH INVERSI

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Waktu (detik)

Tin

ggi (m

ete

r)

Gambar 10.4: Grafik data pengukuran gerak batu

Semua persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam operasi matrik berikut ini:

t1 t21t2 t22t3 t23t4 t24...

...

t19 t219t20 t220

[

m1

m2

]

=

h1 − 5

h2 − 5

h3 − 5...

h19 − 5

h20 − 5

Operasi matrik di atas memenuhi persamaan matrik

Gm = d

Seperti yang sudah dipelajari pada bab ini, penyelesaian masalah inversi dimulai dari proses

manipulasi persamaan matrik sehingga perkalian antara Gt dan G menghasilkan matriks bujur-

sangkar

GtGm = Gtd (10.19)

Selanjutnya, untuk mendapatkan m1 dan m2, prosedur inversi dilakukan satu-per-satu

Page 237: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

10.4. CONTOH APLIKASI 219

1. Menentukan transpos matrik kernel, yaitu Gt

G =

t1 t21t2 t22t3 t23t4 t24...

...

t19 t219t20 t220

⇒ Gt =

[

t1 t2 t3 t4 . . . t19 t20

t21 t22 t23 t24 . . . t219 t220

]

2. Menentukan GtG

GtG =

[

t1 t2 t3 t4 . . . t19 t20

t21 t22 t23 t24 . . . t219 t220

]

t1 t21t2 t22t3 t23t4 t24...

...

t19 t219t20 t220

=

[

t2i∑

t3i∑

t3i∑

t4i

]

dimana N = 20 dan i = 1, 2, ..., N .

3. Kemudian menentukan hasil perkalian Gtd

Gtd =

[

t1 t2 t3 t4 . . . t19 t20

t21 t22 t23 t24 . . . t219 t220

]

h1

h2

h3

h4...

h19

h20

=

[

tihi∑

t2ihi

]

4. Sekarang persamaan (10.19) dapat dinyatakan sebagai

[

t2i∑

t3i∑

t3i∑

t4i

][

m1

m2

]

=

[

tihi∑

t2ihi

]

(10.20)

Berdasarkan data observasi, diperoleh

[

179, 4 689, 1

689, 1 2822, 9

][

m1

m2

]

=

[

273, 7

796, 3

]

Hasil inversinya adalah nilai kecepatan awal yaitu saat batu dilempar ke atas adalah sebesar

m1 = vo = 3,2009 m/dt. Adapun percepatan gravitasi diperoleh dari m2 dimana m2 = −12g =

Page 238: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

220 BAB 10. APLIKASI ELIMINASI GAUSS PADA MASALAH INVERSI

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Waktu (dt)

Ketinggia

n (

m)

Gambar 10.5: Grafik hasil inversi parabola

-0,8169; maka disimpulkan nilai g adalah sebesar 1,6338 m/dt2.

Gambar 10.5 memperlihatkan kurva hasil inversi berserta sebaran titik data observasi. Garis

berwarna biru merupakan garis kurva fitting hasil inversi parabola. Sedangkan bulatan berwar-

na merah adalah data pengukuran ketinggian (m) terhadap waktu (dt). Jelas terlihat bahwa

garis kurva berwarna biru benar-benar cocok melewati semua titik data pengukuran. Ini me-

nunjukkan tingkat akurasi yang sangat tinggi. Sehingga nilai kecepatan awal dan gravitasi hasil

inversi cukup valid untuk menjelaskan gerak batu di planet X.

Berikut adalah script inversi dalam Matlab untuk memecahkan masalah ini

1 clc

2 clear all

3 close all

4

5 % ---- data observasi ----

6 N = 20; % jumlah data

7 for i=1:N

8 t(i)=i*0.25;

9 end

10 h = [5.75;6.40;6.94;7.38;7.72;7.96;8.10;8.13;8.07;

11 7.90;7.62;7.25;6.77;6.20;5.52;4.73;3.85;2.86;1.77;0.58];

12

13 % ---- menentukan matrik kernel, G ----

14 for i=1:N

15 G(i,1)=t(i);

16 G(i,2)=t(i)^2;

17 end

18

19 % ---- menentukan vektor d ----

20 for i=1:N

Page 239: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

10.4. CONTOH APLIKASI 221

21 d(i,1)=h(i)-5;

22 end

23

24 % ---- proses inversi ----

25 A = G’*G;

26 b = G’*d;

27 m = elgauss(A,b);

28

29 %-------MENGGAMBAR GRAFIK----------------------

30 plot(t,h,’ro’);

31 xlabel(’Waktu (detik)’);ylabel(’ketinggian (meter)’);

32 title(’Data variasi waktu terhadap ketinggian’)

33 hold on;

34 for i=1:N

35 hi(i)=m(1)*t(i)+m(2)*t(i)^2+5;

36 end

37 plot(t,hi);

38 hold off;

Page 240: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

222 BAB 10. APLIKASI ELIMINASI GAUSS PADA MASALAH INVERSI

Page 241: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

Bab 11

Metode LU Decomposition

Objektif :

⊲ Mengenalkan teknik faktorisasi matrik.

⊲ Mengenalkan aplikasi LU Decomposition pada sistem persamaan linear.

⊲ Merumuskan algoritma LU Decomposition.

11.1 Faktorisasi matrik

Pada semua catatan yang terdahulu, telah diulas secara panjang lebar bahwa sistem persamaan

linear dapat dicari solusinya secara langsung dengan metode eliminasi gauss. Namun perlu

juga diketahui bahwa eliminasi gauss bukan satu-satunya metode dalam mencari solusi sistem

persamaan linear, misalnya ada metode matrik inversi seperti yang dijelaskan pada catatan yang

paling terakhir. Terlepas dari masalah in-efisiensi penyelesaiannya, yang jelas metode invers

matrik bisa digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Nah, pada catatan kali ini, saya ingin mengetengahkan sebuah metode yang lain untuk

menyelesaikan sistem persamaan linear, yaitu metode faktorisasi matrik yang umum dikenal

sebagai LU-decomposition. Metode ini sekaligus menjadi pengantar menuju metode Singular

Value Decomposition, (SVD), suatu metode yang saat ini paling “handal” dalam menyelesaikan

sistem persamaan linear dan merupakan bagian dari metode least square.

Seperti biasa, kita berasumsi bahwa sistem persamaan linear dapat dinyatakan dalam ope-

rasi matrik

Ax = b (11.1)

Pada metode LU-decomposition, matrik A difaktorkan menjadi matrik L dan matrik U, dimana

dimensi atau ukuran matrik L dan U harus sama dengan dimensi matrik A. Atau dengan kata

lain, hasil perkalian matrik L dan matrik U adalah matrik A,

A = LU (11.2)

223

Page 242: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

224 BAB 11. METODE LU DECOMPOSITION

sehingga persamaan (12.4) menjadi

LUx = b

Langkah penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode LU-decomposition, diawali de-

ngan menghadirkan vektor y dimana,

Ux = y (11.3)

Langkah tersebut tidak bermaksud untuk menghitung vektor y, melainkan untuk menghitung

vektor x. Artinya, sebelum persamaan (11.3) dieksekusi, nilai-nilai yang menempati elemen-

elemen vektor y harus sudah diketahui. Lalu bagaimana cara memperoleh vektor y? Begini

caranya,

Ly = b (11.4)

Kesimpulannya, metode LU-decomposition dilakukan dengan tiga langkah sebagai berikut:

• Melakukan faktorisasi matrik A menjadi matrik L dan matrik U → A = LU .

• Menghitung vektor y dengan operasi matrik Ly = b. Ini adalah proses forward-substitution

atau substitusi-maju.

• Menghitung vektor x dengan operasi matrik Ux = y. Ini adalah proses backward-substitution

atau substitusi-mundur.

Metode LU-decomposition bisa dibilang merupakan modifikasi dari eliminasi gauss, kare-

na beberapa langkah yang mesti dibuang pada eliminasi gauss, justru harus dipakai oleh LU-

decomposition. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini. Diketahui sistem persamaan

linear sebagai berikut

P1 : x1 + x2 + 3x4 = 4

P2 : 2x1 + x2 − x3 + x4 = 1

P3 : 3x1 − x2 − x3 + 2x4 = -3

P4 : −x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 4

Sistem tersebut dapat dinyatakan dalam operasi matrik Ax = y,

1 1 0 3

2 1 −1 1

3 −1 −1 2

−1 2 3 −1

x1

x2

x3

x4

=

4

1

−3

4

(11.5)

Pada metode eliminasi gauss, matrik A dikonversi menjadi matrik triangular melalui urutan

operasi-operasi berikut: (P2 − 2P1) → (P2), (P3 − 3P1) → (P3), (P4 − (−1)P1) → (P4), (P3 −4P2) → (P3), (P4 − (−3)P2) → (P4). Disisi lain, vektor b ikut berubah nilainya menyesuaikan

Page 243: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

11.1. FAKTORISASI MATRIK 225

proses triangularisasi,

1 1 0 3

0 −1 −1 −5

0 0 3 13

0 0 0 −13

x1

x2

x3

x4

=

4

−7

13

−13

(11.6)

Lain halnya dengan metode LU-decomposition dimana vektor b tidak mengalami perubahan.

Yang berubah hanya matrik A saja, yaitu menjadi matrik L dan matrik U, A = LU

A =

1 1 0 3

2 1 −1 1

3 −1 −1 2

−1 2 3 −1

=

1 0 0 0

2 1 0 0

3 4 1 0

−1 −3 0 1

1 1 0 3

0 −1 −1 −5

0 0 3 13

0 0 0 −13

Jadi matrik L dan U masing-masing adalah

L =

1 0 0 0

2 1 0 0

3 4 1 0

−1 −3 0 1

U =

1 1 0 3

0 −1 −1 −5

0 0 3 13

0 0 0 −13

Coba bandingkan matrik U di atas dengan matrik hasil triangularisasi dari metode eliminasi

gauss pada persamaan (11.6), sama persis bukan? Jadi, cara memperoleh matrik U adalah

dengan proses triangularisasi! Lantas, bagaimana cara memperoleh matrik L? Begini caranya:

(1) elemen-elemen diagonal matrik L diberi nilai 1 (Asal tahu saja, cara ini dikenal dengan

metode Doolittle). (2) elemen-elemen matrik L yang berada di atas elemen-elemen diagonal

diberi nilai 0. (3) sedangkan, elemen-elemen matrik L yang berada di bawah elemen-elemen

diagonal diisi dengan faktor pengali yang digunakan pada proses triangularisasi eliminasi gauss.

Misalnya pada operasi (P2 − 2P1) → (P2), maka faktor pengalinya adalah 2; pada operasi

(P3 − 3P1) → (P3), maka faktor pengalinya adalah 3, dan seterusnya.

Inilah letak perbedaannya, seluruh faktor pengali tersebut sangat dibutuhkan pada metode

LU-decomposition untuk membentuk matrik L. Padahal dalam metode eliminasi gauss, seluruh

faktor pengali tersebut tidak dimanfaatkan alias dibuang begitu saja. Disisi lain, vektor b tidak

mengalami proses apapun sehingga nilainya tetap. Jadi, proses konversi matrik pada metode

LU-decomposition hanya melibatkan matrik A saja!

Setelah langkah faktorisasi matrik A dilalui, maka operasi matrik pada persamaan (11.5)

menjadi,

1 0 0 0

2 1 0 0

3 4 1 0

−1 −3 0 1

1 1 0 3

0 −1 −1 −5

0 0 3 13

0 0 0 −13

x1

x2

x3

x4

=

4

1

−3

4

(11.7)

Page 244: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

226 BAB 11. METODE LU DECOMPOSITION

Langkah berikutnya adalah menentukan vektor y, dimana Ly = b,

1 0 0 0

2 1 0 0

3 4 1 0

−1 −3 0 1

y1

y2

y3

y4

=

4

1

−3

4

Dengan proses substitusi-maju, elemen-elemen vektor y dapat ditentukan,

y1 = 4,

2y1 + y2 = 1,

3y1 + 4y2 + y3 = −3,

−y1 − 3y2 + y4 = 4

maka diperoleh y1 = 4, y2 = −7, y3 = 13, y4 = −13.

Langkah terakhir adalah proses substitusi-mundur untuk menghitung vektor x, dimana Ux = y,

1 1 0 3

0 −1 −1 −5

0 0 3 13

0 0 0 −13

x1

x2

x3

x4

=

4

−7

13

−13

Melalui proses ini, yang pertama kali didapat solusinya adalah x4, kemudian x3, lalu diikuti x2,

dan akhirnya x1.

x4 = 1

x3 =1

3(13− 13x4) = 0

x2 = −(−7 + 5x4 + x3) = 2

x1 = 4− 3x4 − x2 = −1

akhirnya diperoleh solusi x1 = −1, x2 = 2, x3 = 0, dan y4 = 1. Demikianlah contoh penyelesai-

an sistem persamaan linear dengan metode LU-decomposition.

Sekali matrik A difaktorkan, maka vektor b bisa diganti nilainya sesuai dengan sistem per-

samaan linear yang lain, misalnya seluruh nilai di ruas kanan diganti menjadi

P1 : x1 + x2 + 3x4 = 8

P2 : 2x1 + x2 − x3 + x4 = 7

P3 : 3x1 − x2 − x3 + 2x4 = 14

P4 : −x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = -7

Page 245: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

11.2. ALGORITMA 227

Dalam operasi matrik menjadi

1 1 0 3

2 1 −1 1

3 −1 −1 2

−1 2 3 −1

x1

x2

x3

x4

=

8

7

14

−7

(11.8)

Perhatikan baik-baik! Matrik A sama persis dengan contoh sebelumnya. Perbedaannya hanya

pada vektor b. Selanjutnya, dengan metode LU-decomposition, persamaan (11.8) menjadi

1 0 0 0

2 1 0 0

3 4 1 0

−1 −3 0 1

1 1 0 3

0 −1 −1 −5

0 0 3 13

0 0 0 −13

x1

x2

x3

x4

=

8

7

14

−7

(11.9)

Silakan anda lanjutkan proses perhitungannya dengan mencari vektor y sesuai contoh yang

telah diberikan sebelumnya. Pada akhirnya akan diperoleh solusi sebagai berikut: x1 = 3,

x2 = −1, x3 = 0, dan y4 = 2.

11.2 Algoritma

Sekarang saatnya saya tunjukkan algoritma metode LU decomposition. Algoritma ini dibuat

untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, dengan cara menfaktorkan matrik A = (aij) ber-

ukuran n x n menjadi matrik L = (lij) dan matrik U = (uij) dengan ukuran yang sama. Algori-

tma LU-decomposition yang anda lihat sekarang merupakan modifikasi dari algoritma eliminasi

gauss. Silakan anda periksa langkah-langkah mana saja yang telah mengalami modifikasi! Tapi

asal tahu saja bahwa ini bukan satu-satunya algoritma untuk mendapatkan matrik LU. Sejauh

yang saya tahu, ada algoritma lain untuk tujuan yang sama, dimana algoritma tersebut mem-

butuhkan matrik permutasi untuk menggeser elemen pivot yang bernilai nol agar terhindar dari

singular. Nah, sedangkan algoritma yang akan anda baca saat ini, sama sekali tidak “berurus-

an” dengan matrik permutasi. Algoritma ini cuma memanfaatkan “trik” tukar posisi yang sudah

pernah dibahas di awal-awal catatan khususnya ketika membahas konsep eliminasi gauss.

Satu lagi yang harus saya sampaikan juga adalah bahwa dalam algoritma ini, elemen-elemen

matrik L dan matrik U digabung jadi satu dan menggantikan seluruh elemen-elemen matrik A.

Perhatian! cara ini jangan diartikan sebagai perkalian matrik L dan matrik U menjadi matrik A

kembali. Cara ini dimaksudkan untuk menghemat memori komputer. Suatu aspek yang tidak

boleh diabaikan oleh para programer. Marilah kita simak algoritmanya bersama-sama!

INPUT: dimensi n; nilai elemen aij, 1 ≤ i, j ≤ n; nilai elemen bi.

OUTPUT: solusi x1, x2, x3, ..., xn atau pesan kesalahan yang mengatakan bahwa faktorisasi tidak

mungkin dilakukan.

• Langkah 1: Inputkan konstanta-konstanta dari sistem persamaan linear kedalam elemen-

Page 246: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

228 BAB 11. METODE LU DECOMPOSITION

elemen matrik A dan vektor b, seperti berikut ini:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

an1 an2 . . . ann

b =

b1

b2...

bn

(11.10)

• Langkah 2: Untuk i = 1, ..., n − 1, lakukan Langkah 3 sampai Langkah 5.

• Langkah 3: Definisikan p sebagai integer dimana i ≤ p ≤ n. Lalu pastikan bahwa

api 6= 0. Langkah dilakukan bila ditemukan elemen diagonal yang bernilai nol (aii =

0). Ketika ada elemen diagonal yang bernilai nol, maka program harus mencari dan

memeriksa elemen-elemen yang tidak bernilai nol dalam kolom yang sama dengan

kolom tempat elemen diagonal tersebut berada. Jadi saat proses ini berlangsung,

integer i (indeks dari kolom) dibuat konstan, sementara integer p (indeks dari baris)

bergerak dari p = i sampai p = n. Bila ternyata setelah mencapai elemen paling

bawah dalam kolom tersebut, yaitu saat p = n tetap didapat nilai api = 0, maka

sebuah pesan dimunculkan: sistem persamaan linear tidak memiliki solusi yang unik.

Lalu program berakhir: STOP.

• Langkah 4: Namun jika sebelum integer p mencapai nilai p = n sudah diperoleh

elemen yang tidak sama dengan nol (api 6= 0), maka bisa dipastikan p 6= i. Jika p 6= i

maka lakukan proses pertukaran (Pp) ↔ (Pi).

• Langkah 5: Untuk j = i+ 1, .., n, lakukan Langkah 6 dan Langkah 7.

• Langkah 6: Tentukan mji,

mji =ajiaii

• Langkah 7: Lakukan proses triangularisasi,

(Pj −mjiPi) → (Pj)

• Langkah 8: Nilai mji disimpan ke aji,

aji = mji

• Langkah 9: Nilai b1 dicopy ke y1, lalu lakukan substitusi-maju.

y1 = b1

Untuk i = 2, ..., n tentukan xi,

yi = bi −i−1∑

j=1

aijyj

Page 247: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

11.2. ALGORITMA 229

• Langkah 10: Lakukan proses substitusi-mundur, dimulai dengan menentukan xn,

xn =an,n+1

ann

Untuk i = n− 1, ..., 1 tentukan xi,

xi =ai,n+1 −

∑nj=i+1 aijxj

aii

• Langkah 11: Diperoleh solusi yaitu x1, x2, ..., xn. Algoritma telah dijalankan dengan suk-

ses. STOP.

Algoritma di atas telah diimplementasi kedalam program yang ditulis dengan bahasa For-

tran. Program tersebut sudah berhasil dikompilasi dengan visual fortran (windows) dan g77

(debian-linux). Inilah programnya:

1 DIMENSION A(10,11), B(10), Y(10), X(10)

2 REAL MJI

3 WRITE(*,*)

4 WRITE(*,*) ’==> FAKTORISASI MATRIK: LU DECOMPOSITION <==’

5 WRITE (*,*)

6 C LANGKAH 1: MEMASUKAN NILAI ELEMEN-ELEMEN MATRIK A DAN VEKTOR B

7 WRITE (*,’(1X,A)’) ’JUMLAH PERSAMAAN ? ’

8 READ (*,*) N

9 WRITE (*,*)

10 WRITE (*,*) ’MASUKAN ELEMEN-ELEMEN MATRIK A’

11 DO 50 I = 1,N

12 DO 60 J = 1,N

13 WRITE (*,’(1X,A,I2,A,I2,A)’) ’A(’,I,’,’,J,’) = ’

14 READ (*,*) A(I,J)

15 60 CONTINUE

16 WRITE (*,’(1X,A,I2,A)’) ’B(’,I,’) ? ’

17 READ (*,*) B(I)

18 WRITE (*,*)

19 50 CONTINUE

20 WRITE (*,*)

21 C MENAMPILKAN MATRIK A

22 WRITE (*,’(1X,A)’) ’MATRIK A:’

23 DO 110 I = 1,N

24 WRITE (*,6) (A(I,J),J=1,N)

25 110 CONTINUE

26 WRITE (*,*)

27 C LANGKAH 2: MEMERIKSA ELEMEN-ELEMEN PIVOT

28 NN = N-1

29 DO 10 I=1,NN

30 C LANGKAH 3: MENDEFINISIKAN P

31 P = I

32 100 IF (ABS(A(P,I)).GE.1.0E-20 .OR. P.GT.N) GOTO 200

33 P = P+1

34 GOTO 100

35 200 IF(P.EQ.N+1)THEN

36 C MENAMPILKAN PESAN TIDAK DAPAT DIFAKTORKAN

37 WRITE(*,8)

38 GOTO 400

Page 248: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

230 BAB 11. METODE LU DECOMPOSITION

39 END IF

40 C LANGKAH 4: PROSES TUKAR POSISI

41 IF(P.NE.I) THEN

42 DO 20 JJ=1,N

43 C = A(I,JJ)

44 A(I,JJ) = A(P,JJ)

45 A(P,JJ) = C

46 20 CONTINUE

47 END IF

48 C LANGKAH 5: PERSIAPAN PROSES TRIANGULARISASI

49 JJ = I+1

50 DO 30 J=JJ,N

51 C LANGKAH 6: TENTUKAN MJI

52 MJI = A(J,I)/A(I,I)

53 C LANGKAH 7: PROSES TRIANGULARISASI

54 DO 40 K=JJ,N

55 A(J,K) = A(J,K)-MJI*A(I,K)

56 40 CONTINUE

57 C LANGKAH 8: MENYIMPAN MJI KE A(J,I)

58 A(J,I) = MJI

59 30 CONTINUE

60 10 CONTINUE

61 C MENAMPILKAN MATRIK LU

62 WRITE (*,’(1X,A)’) ’MATRIK LU:’

63 DO 120 I = 1,N

64 WRITE (*,6) (A(I,J),J=1,N)

65 120 CONTINUE

66 WRITE (*,*)

67 C LANGKAH 9: SUBSTITUSI-MAJU

68 Y(1) = B(1)

69 DO 15 I=2,N

70 SUM = 0.0

71 DO 16 J=1,I-1

72 SUM = SUM+A(I,J)*Y(J)

73 16 CONTINUE

74 Y(I) = B(I)-SUM

75 15 CONTINUE

76 C MENAMPILKAN VEKTOR Y

77 WRITE (*,’(1X,A)’) ’VEKTOR Y:’

78 DO 138 I = 1,N

79 WRITE (*,6) Y(I)

80 138 CONTINUE

81 WRITE (*,*)

82 C LANGKAH 10: SUBSTITUSI-MUNDUR

83 X(N) = Y(N)/A(N,N)

84 DO 24 K=1,N-1

85 I = N-K

86 JJ = I+1

87 SUM = 0.0

88 DO 26 KK=JJ,N

89 SUM = SUM+A(I,KK)*X(KK)

90 26 CONTINUE

91 X(I) = (Y(I)-SUM)/A(I,I)

92 24 CONTINUE

93 C LANGKAH 11: MENAMPILKAN SOLUSI DAN SELESAI

94 WRITE (*,’(1X,A)’) ’SOLUSI:’

95 DO 18 I = 1,N

96 WRITE (*,’(1X,A,I2,A,F14.8)’) ’X(’,I,’) = ’,X(I)

97 18 CONTINUE

Page 249: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

11.2. ALGORITMA 231

98 WRITE(*,*)

99 WRITE(*,*) ’SELESAI --> SUKSES’

100 WRITE(*,*)

101 400 CONTINUE

102 6 FORMAT(1X,5(F14.8))

103 8 FORMAT(1X,’TIDAK DAPAT DIFAKTORKAN’)

104 END

Demikianlah, sekarang kita punya tiga buah algoritma untuk memecahkan problem sistem

persamaan linear, yaitu eliminasi gauss, invers matrik, dan lu-decomposition. Diantara ketiga-

nya, eliminasi gauss adalah algoritma yang paling simpel dan efisien. Dia hanya butuh proses

triangularisasi dan substitusi-mundur untuk mendapatkan solusi. Sedangkan dua algoritma

yang lainnya membutuhkan proses-proses tambahan untuk mendapatkan solusi yang sama.

Saya cukupkan sementara sampai disini. Insya Allah akan saya sambung lagi dilain waktu.

Kalau ada yang mau didiskusikan, silakan hubungi saya melalui email.

Page 250: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

232 BAB 11. METODE LU DECOMPOSITION

Page 251: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

Bab 12

Interpolasi

Objektif :

⊲ Mengenalkan Interpolasi Lagrange

⊲ Mengenalkan Interpolasi Spline-cubic

12.1 Interpolasi Lagrange

Interpolasi Lagrange diterapkan untuk mendapatkan fungsi polinomial P (x) berderajat tertentu

yang melewati sejumlah titik data. Misalnya, kita ingin mendapatkan fungsi polinomial berde-

rajat satu yang melewati dua buah titik yaitu (x0, y0) dan (x1, y1). Langkah pertama yang kita

lakukan adalah mendefinisikan fungsi berikut

L0(x) =x− x1x0 − x1

dan

L1(x) =x− x0x1 − x0

kemudian kita definisikan fungsi polinomial sebagai berikut

P (x) = L0(x)y0 + L1(x)y1

Jika semua persamaan diatas kita gabungkan, maka akan didapat

P (x) = L0(x)y0 + L1(x)y1

P (x) =x− x1x0 − x1

y0 +x− x0x1 − x0

y1

dan ketika x = x0

P (x0) =x0 − x1x0 − x1

y0 +x0 − x0x1 − x0

y1 = y0

233

Page 252: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

234 BAB 12. INTERPOLASI

dan pada saat x = x1

P (x1) =x1 − x1x0 − x1

y0 +x1 − x0x1 − x0

y1 = y1

dari contoh ini, kira-kira apa kesimpulan sementara anda? Ya.. kita bisa sepakat bahwa fungsi

polinomial

P (x) =x− x1x0 − x1

y0 +x− x0x1 − x0

y1 (12.1)

benar-benar melewati titik (x0, y0) dan (x1, y1).

Sekarang mari kita perhatikan lagi contoh lainnya. Misalnya ada tiga titik yaitu (x0, y0), (x1, y1)

dan (x2, y2). Tentukanlah fungsi polinomial yang melewati ketiganya! Dengan pola yang sama

kita bisa awali langkah pertama yaitu mendefinisikan

L0(u) =(u− x1)(u− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)

lalu

L1(u) =(u− x0)(u− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)

dan

L2(u) =(u− x0)(u− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)

kemudian kita definisikan fungsi polinomial sebagai berikut

P (u) = L0(u)y0 + L1(u)y1 + L2(u)y2

Jika semua persamaan diatas kita gabungkan, maka akan didapat fungsi polinomial

P (u) =(u− x1)(u− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)y0 +

(u− x0)(u− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)y1 +

(u− x0)(u− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)y2

Kita uji sebentar. Ketika x = x0

P (x0) =(x0 − x1)(x0 − x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)y0 +

(x0 − x0)(x0 − x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)y1 +

(x0 − x0)(x0 − x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)y2 = y0

pada saat x = x1

P (x1) =(x1 − x1)(x1 − x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)y0 +

(x1 − x0)(x1 − x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)y1 +

(x1 − x0)(x1 − x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)y2 = y1

pada saat x = x2

P (x2) =(x2 − x1)(x2 − x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)y0 +

(x2 − x0)(x2 − x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)y1 +

(x2 − x0)(x2 − x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)y2 = y2

Page 253: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

12.1. INTERPOLASI LAGRANGE 235

Terbukti bahwa fungsi polonomial

P (x) =(x− x1)(x− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)y0 +

(x− x0)(x− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)y1 +

(x− x0)(x− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)y2 (12.2)

melewati ketiga titik tadi.

Kalau kita bandingkan antara persamaan (12.1) dan persamaan (12.2), terlihat bahwa derajat

persamaan (12.2) lebih tinggi dibandingkan dengan derajat persamaan (12.1). Hal ini terlihat

dari x2 pada persamaan (12.2) sementara pada persamaan (12.1) hanya ada x. persamaan

(12.2) disebut fungsi polinomial berderajat 2, sedangkan persamaan (12.1) disebut fungsi poli-

nomial berderajat 1.

Script matlab untuk polinomial Lagrange berderajat 2 yang sesuai persamaan (12.2) adalah

sebagai berikut:

1 clc; clear all; close all

2

3 x = [2 7.2 -6];

4 y = [4 6.3 5];

5

6 plot(x,y,’sr’);

7 axis([-8 8 0 8]);

8

9 u = 5;

10 % =========== Menghitung koefisien Lagrange ============

11 L1 = (u-x(2))*(u-x(3)) / ((x(1)-x(2))*(x(1)-x(3)));

12 L2 = (u-x(1))*(u-x(3)) / ((x(2)-x(1))*(x(2)-x(3)));

13 L3 = (u-x(1))*(u-x(2)) / ((x(3)-x(1))*(x(3)-x(2)));

14 % =========== Menghitung interpolasi Lagrange ==========

15 P = L1*y(1) + L2*y(2) + L3*y(3);

16

17 hold on

18 plot(u,P,’*’); grid on;

19 xlabel(’\fontsize12 x’);

20 ylabel(’\fontsize12 P(x)’);

Script matlab untuk polinomial Lagrange yang bisa menyesuaikan jumlah pasangan titik

adalah sebagai berikut:

1 clc; clear all; close all;

2

3 x = [2 7.2 -6 4 -1];

4 y = [4 6.3 5 3 0];

5 u = -5:0.001:7;

6

7 plot(x,y,’sr’)

8 axis([-7 8 -6 7]);

9

10 n = length(x);

11 w = length(u);

12 for h = 1:w

13 for q = 1:n

14 M = 1;

Page 254: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

236 BAB 12. INTERPOLASI

−6 −4 −2 0 2 4 6 8−6

−4

−2

0

2

4

6

x

P(x

)

Gambar 12.1: Kurva hasil interpolasi Lagrange

15 for k = 1:n

16 if k ~= q

17 M = M * (u(h)-x(k));

18 end

19 end

20 N = 1;

21 for k = 1:n

22 if k ~= q

23 N = N * (x(q)-x(k));

24 end

25 end

26 L(q) = M/N;

27 end

28 P = 0;

29 for k = 1:n

30 P = P + L(k)*y(k);

31 end

32 B(h) = P;

33 end

34 hold on

35 plot(u,B); grid on;

36 xlabel(’\fontsize12 x’);

37 ylabel(’\fontsize12 P(x)’);

Page 255: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

12.2. INTERPOLASI CUBIC SPLINE 237

12.2 Interpolasi Cubic Spline

Sekarang mari kita bahas konsep dari interpolasi cubic spline. Ngomong-ngomong, kapan anda

biasa mendengar kata cubic (baca: kubik)? Kata kubik sering dihubungkan dengan satuan vo-

lume, misalnya meter-kubik (m3) atau centimeter-kubik (cm3). Kubik itu sendiri artinya adalah

pangkat 3. Bandingkan dengan kata persegi yang berhubungan dengan satuan luas, misalnya

meter-persegi (m2) atau kilometer-persegi (km2). Dalam konteks pembahasan interpolasi cu-

bic spline, kita akan menggunakan pendekatan polinomial pangkat 3 atau berderajat 3 untuk

menghubungkan sejumlah titik dalam suatu koordinat.

Apa bedanya dengan Lagrange? Disini kita akan menciptakan segmen-segmen kurva poli-

nomial berderajat 3 diantara titik-titik yang sudah diketahui. Itulah penjelasan dari kata spline

yang merupakan singkatan dari separation line. Ok, mari kita masuki pembahasan ini lebih

dalam lagi..

Gambar (12.2) memperlihatkan sebaran dari sejumlah titik yang masing-masing memiliki

pasangan koordinat (x, y). Pertanyaannya adalah bagaimanakah cara cubic spline menciptak-

an suatu kurva yang bisa menghubungkan semua titik tersebut? Atau pertanyaan yang lebih

tepat adalah bagaimanakah cara cubic spline menciptakan fungsi polinomial yang bisa meng-

hubungkan semua titik tersebut? Agar nantinya fungsi polinomial itu dapat digunakan untuk

memperkirakan titik-titik yang belum terlihat pada Gambar (12.2) sehingga kita akan dapatkan

kurvanya seperti Gambar (12.3)

Gambar 12.2: Sejumlah titik terdistribusi pada koordinat kartesian. Masing-masing titik memi-

liki pasangan koordinat (x, y)

Untuk bisa menghasilkan kurva seperti yang tampak pada Gambar (12.3), interpolasi cubic

spline menciptakan sejumlah fungsi polinomial S(x) yang merupakan potongan fungsi polino-

mial kecil-kecil (Gambar 12.4) berderajat tiga (cubic) yang saling sambung-menyambung untuk

menghubungkan dua titik yang bersebelahan

Agar tujuan interpolasi cubic spline dapat tercapai, diperlukan sejumlah ketentuan-ketentuan

sebagai berikut:

1. Sj(x) adalah potongan fungsi yang berada pada sub-interval dari xj hingga xj+1 untuk

Page 256: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

238 BAB 12. INTERPOLASI

Gambar 12.3: Kurva interpolasi cubic spline yang menghubungkan semua titik

Gambar 12.4: Sejumlah polinomial cubic yaitu S0, S1, S2... dan seterusnya yang saling sambung-

menyambung sehingga mampu menghubungkan seluruh titik

nilai j = 0, 1, ..., n − 1;

2. S(xj) = f(xj), artinya pada setiap titik data (xj), nilai f(xj) bersesuaian dengan S(xj)

dimana j = 0, 1, ..., n;

3. Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1). Perhatikan titik xj+1 pada Gambar (12.4). Ya.. tentu saja jika

fungsi itu kontinyu, maka titik xj+1 menjadi titik sambungan antara Sj dan Sj+1.

4. S′j+1(xj+1) = S′

j(xj+1), artinya kontinyuitas menuntut turunan pertama dari Sj dan Sj+1

pada titik xj+1 harus bersesuaian.

5. S′′j+1(xj+1) = S′′

j (xj+1), artinya kontinyuitas menuntut turunan kedua dari Sj dan Sj+1

pada titik xj+1 harus bersesuaian juga.

6. Salah satu syarat batas diantara 2 syarat batas x0 dan xn berikut ini mesti terpenuhi:

• S′′(x0) = S′′(xn) = 0 ini disebut natural boundary

Page 257: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

12.2. INTERPOLASI CUBIC SPLINE 239

• S′(x0) = f ′(x0) dan S′(xn) = f ′(xn) ini disebut clamped boundary

Suatu potongan fungsi polinomial cubic spline Sj(x) dinyatakan oleh

Sj(x) = aj + bj(x− xj) + cj(x− xj)2 + dj(x− xj)

3 (12.3)

dimana j = 0, 1, ..., n − 1. Maka ketika x = xj

Sj(xj) = aj + bj(xj − xj) + cj(xj − xj)2 + dj(xj − xj)

3

Sj(xj) = aj = f(xj)

Itu artinya, aj selalu jadi pasangan titik data dari xj . Dengan pola ini maka pasangan titik data

xj+1 adalah aj+1, konsekuensinya S(xj+1) = aj+1. Berdasarkan ketentuan (3), yaitu ketika

x = xj+1 dimasukan ke persamaan (12.3)

aj+1 = Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) = aj + bj(xj+1 − xj) + cj(xj+1 − xj)2 + dj(xj+1 − xj)

3

dimana j = 0, 1, ..., n − 2. Sekarang, kita nyatakan hj = xj+1 − xj , sehingga

aj+1 = aj + bjhj + cjh2j + djh

3j (12.4)

Kemudian, turunan pertama dari persamaan (12.3) adalah

S′j(x) = bj + 2cj(x− xj) + 3dj(x− xj)

2

ketika x = xj,

S′j(xj) = bj + 2cj(xj − xj) + 3dj(xj − xj)

2 = bj

dan ketika x = xj+1,

bj+1 = S′j(xj+1) = bj + 2cj(xj+1 − xj) + 3dj(xj+1 − xj)

2

Ini dapat dinyatakan sebagai

bj+1 = bj + 2cj(xj+1 − xj) + 3dj(xj+1 − xj)2

dan dinyatakan dalam hj

bj+1 = bj + 2cjhj + 3djh2j (12.5)

Berikutnya, kita hitung turunan kedua dari persamaan (12.3)

S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj) (12.6)

tapi dengan ketentuan tambahan yaitu S′′(x)/2, sehingga persamaan ini dimodifikasi menjadi

S′′j (x) = cj + 3dj(x− xj)

Page 258: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

240 BAB 12. INTERPOLASI

dengan cara yang sama, ketika x = xj

S′′j (xj) = cj + 3dj(xj − xj) = cj

dan ketika x = xj+1

cj+1 = S′′j (xj+1) = cj + 3dj(xj+1 − xj)

cj+1 = cj + 3djhj (12.7)

dan dj bisa dinyatakan

dj =1

3hj(cj+1 − cj) (12.8)

dari sini, persamaan (12.4) dapat ditulis kembali

aj+1 = aj + bjhj + cjh2j + djh

3j

= aj + bjhj + cjh2j +

h2j3(cj+1 − cj)

= aj + bjhj +h2j3(2cj + cj+1) (12.9)

sementara persamaan (12.5) menjadi

bj+1 = bj + 2cjhj + 3djh2j

= bj + 2cjhj + hj(cj+1 − cj)

= bj + hj(cj + cj+1) (12.10)

Sampai sini masih bisa diikuti, bukan? Selanjutnya, kita coba mendapatkan bj dari persamaan

(12.9)

bj =1

hj(aj+1 − aj)−

hj3(2cj + cj+1) (12.11)

dan untuk bj−1

bj−1 =1

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) (12.12)

Langkah berikutnya adalah mensubtitusikan persamaan (12.11) dan persamaan (12.12) keda-

lam persamaan (12.10),

hj−1cj−1 + 2(hj−1 + hj)cj + hjcj+1 =3

hj(aj+1 − aj)−

3

hj−1(aj − aj−1) (12.13)

dimana j = 1, 2, ..., n − 1. Dalam sistem persamaan ini, nilai hjn−1j=0 dan nilai ajnj=0 sudah

diketahui, sementara nilai cjnj=0 belum diketahui dan memang nilai inilah yang akan dihitung

dari persamaan ini.

Sekarang coba perhatikan ketentuan nomor (6), ketika S′′(x0) = S′′(xn) = 0, berapakah nilai

Page 259: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

12.2. INTERPOLASI CUBIC SPLINE 241

c0 dan cn? Nah, kita bisa evaluasi persamaan (12.6)

S′′(x0) = 2c0 + 6d0(x0 − x0) = 0

jelas sekali c0 harus berharga nol. Demikian halnya dengan cn harganya harus nol. Jadi untuk

natural boundary, nilai c0 = cn = 0.

Persamaan (12.13) dapat dihitung dengan operasi matrik Hc = d dimana

H =

1 0 0 . . . . . . . . . 0

h0 2(h0 + h1) h1 0 . . . . . . 0

0 h1 2(h1 + h2) h2 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−1

0 . . . . . . . . . 0 0 1

c =

c0

c1...

cn

d =

03h1(a2 − a1)− 3

h0(a1 − a0)

...3

hn−1(an − an−1)− 3

hn−2(an−1 − an−2)

0

Sekarang kita beralih ke clamped boundary dimana S′(a) = f ′(a) dan S′(b) = f ′(b). Nah, kita

bisa evaluasi persamaan (12.11) dengan j = 0, dimana f ′(a) = S′(a) = S′(x0) = b0, sehingga

f ′(a) =1

h0(a1 − a0)−

h03(2c0 + c1)

konsekuensinya,

2h0c0 + h0c1 =3

h0(a1 − a0)− 3f ′(a) (12.14)

Sementara pada xn = bn dengan persamaan (12.10)

f ′(b) = bn = bn−1 + hn−1(cn−1 + cn)

sedangkan bn−1 bisa didapat dari persamaan (12.12) dengan j = n− 1

bn−1 =1

hn−1(an − an−1)−

hn−1

3(2cn−1j + cn)

Page 260: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

242 BAB 12. INTERPOLASI

Jadi

f ′(b) =1

hn−1(an − an−1)−

hn−1

3(2cn−1j + cn) + hn−1(cn−1 + cn)

=1

hn−1(an − an−1 +

hn−1

3(cn−1j + 2cn)

dan akhirnya kita peroleh

hn−1cn−1 + 2hn−1Cn = 3f ′(b)− 3

hn−1(an − an−1) (12.15)

Persamaan (12.14) dan persamaan (12.15) ditambah persamaan (12.13 membentuk operasi

matrik Ax = b dimana

A =

2h0 h0 0 . . . . . . . . . 0

h0 2(h0 + h1) h1 0 . . . . . . 0

0 h1 2(h1 + h2) h2 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−1

0 . . . . . . . . . 0 hn−1 2hn−1

x =

c0

c1...

cn

b =

3h0(a1 − a0)− 3f ′(a)

3h1(a2 − a1)− 3

h0(a1 − a0)

...3

hn−1(an − an−1)− 3

hn−2(an−1 − an−2)

3f ′(b)− 3hn−1

(an − an−1)

1 % ==============================================================

2 % PROGRAM - Interpolasi Cubic Spline

3 % diaplikasikan pada punggung burung

4 % dibuat oleh Supriyanto, 17 Desember 2012

5 % ==============================================================

6

7 clc

8 close

9 clear

10

11 data = load(’burung.txt’);

12 x = data(:,1);

13 y = data(:,2);

14

15 plot(x,y,’sr’);

16

17 n = length(x);

Page 261: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

12.2. INTERPOLASI CUBIC SPLINE 243

18 for k = 1:n-1

19 h(k) = x(k+1) - x(k);

20 end

21

22 H = zeros(n);

23 H(1,1) = 1;

24 H(n,n) = 1;

25

26 a = y;

27 r(1,1) = 0;

28 for k = 2:n-1

29 H(k,k) = 2*(h(k-1)+h(k));

30 H(k,k-1) = h(k-1);

31 H(k,k+1) = h(k);

32 r(k,1) = 3/h(k)*(a(k+1)-a(k)) - 3/h(k-1)*(a(k)-a(k-1));

33 end

34 r(n,1) = 0;

35

36 c = inv(H)*r;

37

38 for k = 1:n-1

39 b(k,1) = 1/h(k)*(a(k+1)-a(k)) - h(k)/3*(2*c(k)+c(k+1));

40 d(k,1) = 1/(3*h(k))*(c(k+1)-c(k));

41 end

42

43 hold on

44

45 for k = 2:n

46 xx = x(k-1):0.01:x(k);

47 S = a(k-1)+b(k-1)*(xx-x(k-1))+c(k-1)*(xx-x(k-1)).^2+d(k-1)*(xx-x(k-1)).^3;

48 plot(xx,S);

49 end

Page 262: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

244 BAB 12. INTERPOLASI

Gambar 12.5: Profil suatu object

Gambar 12.6: Sampling titik data

Page 263: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

12.2. INTERPOLASI CUBIC SPLINE 245

0 2 4 6 8 10 12 140

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Gambar 12.7: Hasil interpolasi cubic spline

0 2 4 6 8 10 12 14−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

Gambar 12.8: Hasil interpolasi lagrange

Page 264: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

246 BAB 12. INTERPOLASI

j xj aj bj cj dj

0 0,9 1,3 0,54 0,00 -0,25

1 1,3 1,5 0,42 -0,30 0,95

2 1,9 1,85 1,09 1,41 -2,96

3 2,1 2,1 1,29 -0,37 -0,45

4 2,6 2,6 0,59 -1,04 0,45

5 3,0 2,7 -0,02 -0,50 0,17

6 3,9 2,4 -0,5 -0,03 0,08

7 4,4 2,15 -0,48 0,08 1,31

8 4,7 2,05 -0,07 1,27 -1,58

9 5,0 2,1 0,26 -0,16 0,04

10 6,0 2,25 0,08 -0,03 0,00

11 7,0 2,3 0,01 -0,04 -0,02

12 8,0 2,25 -0,14 -0,11 0,02

13 9,2 1,95 -0,34 -0,05 -0,01

14 10,5 1,4 -0,53 -0,1 -0,02

15 11,3 0,9 -0,73 -0,15 1,21

16 11,6 0,7 -0,49 0,94 -0,84

17 12,0 0,6 -0,14 -0,06 0,04

18 12,6 0,5 -0,18 0 -0,45

19 13,0 0,4 -0,39 -0,54 0,60

20 13,3 0,25

Page 265: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

Bab 13

Solusi Sistem Persamaan Non Linear

Objektif :

⊲ Mengenalkan fungsi ber-input vektor

⊲ Mengenalkan fungsi ber-output vektor

⊲ Mengenalkan fungsi ber-output matrik

⊲ Menerapkan metode Newton pada sistem persamaan non linear

13.1 Fungsi ber-input vektor

Pada bab terdahulu, telah dibahas cara membuat fungsi eksternal dengan parameter input ber-

upa konstanta. Kali ini kita akan mencoba membuat fungsi eksternal dengan parameter input

berupa vektor1.

Misalnya terdapat vektor kolom x sebagai berikut

x =

3

−2

8

5

itu artinya x1 = 3; x2 = -2; x3 = 8 dan x4 = 5. Kemudian vektor kolom x tersebut diinputkan

ke dalam suatu persamaan

y = x31 + 2x22 − 4x3 − x4

dan diperoleh nilai y = -2. Di dalam Matlab, fungsi ini ditulis sebagai fungsi eksternal yang

diberinama fun.m sebagai berikut

1 function y = fun(x)

2

3 y = x(1)^3 + 2*x(2)^2 - 4*x(3) - x(4);

1Yang dimaksud vektor disini adalah matrik yang hanya terdiri dari satu kolom atau satu baris

247

Page 266: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

248 BAB 13. SOLUSI SISTEM PERSAMAAN NON LINEAR

Pada script di atas, cara penulisan y = fun(x) memiliki pola yang sama dengan penulisan

fungsi eksternal sebelum-sebelumnya. Namun sebenarnya berbeda makna-nya. Parameter input

x disini bermakna vektor yang didalamnya terdapat 4 buah angka. Untuk lebih jelasnya, coba

anda bandingkan dengan script berikut

1 function y = fun(x)

2

3 y = x^3;

Disini parameter input x pada y = fun(x) bermakna sebuah angka tunggal.

Penggunaan fungsi ekternal berinput vektor adalah sebagai berikut

>> x = [3 -2 8 5];

>> y = fun(x)

y =

-2

13.2 Fungsi ber-output vektor

Pada pelajaran sebelumnya, fungsi eksternal hanya menghasilkan output berupa konstanta atau

angka. Sekarang kita akan membuat fungsi eksternal dengan output berupa vektor. Misalnya

ada 3 persamaan linear sebagai berikut:

y1 = x31 + 2x22 − 4x3

y2 = x21 + 3x22 − x3

y3 =1

x1− 2x2 +

x232

Output y1, y2 dan y3 dinyatakan dalam fungsi eksternal berikut ini

1 function y = fun(x)

2

3 y = [x(1)^3 + 2*x(2)^2 - 4*x(3)

4 x(1)^2 + 3*x(2)^2 - x(3)

5 1/x(1) - 2*x(2) + x(3)^2/2];

Contoh penggunaannya adalah sebagai berikut

>> x = [3 -2 8];

>> y = fun(x)

y =

3.0000

Page 267: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

13.3. FUNGSI BER-OUTPUT MATRIK 249

13.0000

36.3333

sehingga

x31 + 2x22 − 4x3 = 3

x21 + 3x22 − x3 = 13 (13.1)

1

x1− 2x2 +

x232

= 36.3333

13.3 Fungsi ber-output matrik

Jika fungsi eksternal dapat menghasilkan vektor, maka tentu saja ia juga dapat menghasilkan

matriks. Misalnya matriks J berbentuk

J(x) =

3x21 4x2 −4

2x1 6x2 −1

− 1x21

−2 x3

kemudian dinyatakan dalam fungsi eksternal berikut ini

1 function J = jaco(x)

2

3 J = [3*x(1)^2 4*x(2) -4

4 2*x(1) 6*x(2) -1

5 -1/x(1)^2 -2 x(3)];

Contoh penggunaannya adalah sebagai berikut

>> x = [3 -2 8];

>> J = jaco(x)

J =

27.0000 -8.0000 -4.0000

6.0000 -12.0000 -1.0000

-0.1111 -2.0000 8.0000

13.4 Metode Newton untuk sistem persamaan

Pada permulaan Bab ini telah dibahas metode Newton untuk mencari akar yang hanya satu

buah angka saja. Formulasinya adalah sebagai berikut

xbaru = xlama −f(xlama)

f ′(xlama)

Page 268: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

250 BAB 13. SOLUSI SISTEM PERSAMAAN NON LINEAR

Metode Newton juga bisa diterapkan untuk mencari solusi sistem persamaan yang terdiri atas

sejumlah angka. Untuk maksud tersebut, formula di atas dimodifikasi menjadi

xb = x− (J(x))−1f(x) (13.2)

dimana J(x) = matriks Jacobian dan f(x) = fungsi sistem persamaan. Untuk membahas hal

ini mari kita perhatikan contoh berikut. Misalnya diketahui sistem persamaan berikut

x31 + 2x22 − 4x3 = 3

x21 + 3x22 − x3 = 13

1

x1− 2x2 +

x232

= 36.3333

Tentukan solusi x1, x2 dan x3. Langkah pertama penyelesaian adalah dengan membentuk vektor

fungsi, yaitu

f(x) =

f1

f2

f3

=

x31 + 2x22 − 4x3 − 3

x21 + 3x22 − x3 − 131x1

− 2x2 +x232 − 36.3333

kemudian membentuk matriks Jacobian

J(x) =

∂f1∂x1

∂f1∂x2

∂f1∂x3

∂f2∂x1

∂f2∂x2

∂f2∂x3

∂f3∂x1

∂f3∂x2

∂f3∂x3

=

3x21 4x2 −4

2x1 6x2 −1

− 1x21

−2 x3

langkah berikutnya adalah menerapkan metode Newton (persamaan (13.2)) dengan nilai awal

x = [1;2;1]. Setelah iterasi ke-27, diperoleh solusi xb = [3;-2;8] atau x1 = 3, x2 = -2 dan

x3 = 8. Script utama untuk masalah ini adalah

1 clear all

2 clc

3

4 itermaks = 10000;

5 tol = 10^(-10);

6 x = [1; 2; 1];

7 for k = 1:itermaks

8 if det(jaco(x))==0

9 x = x + 0.0000000001;

10 end

11 xb = x - inv(jaco(x))*fun(x);

12 if abs(xb-x) < tol

13 break;

14 end

15 x = xb;

16 end

17 xb

18 iterasi = k

adapun fungsi eksternal fun.m dan jaco.m sudah dibuat pada contoh sebelumnya.

Page 269: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

13.5. APLIKASI: MENCARI SUMBER SINYAL 251

13.5 Aplikasi: Mencari sumber sinyal

Metode Newton bisa diaplikasikan untuk mencari koordinat sumber sinyal atau pulsa yang me-

rambat pada suatu medium. Misalnya, suatu sumber sinyal terletak pada koordinat (-4,-8),

kemudian ada 4 detektor yang menangkap sinyal yang dipancarkan oleh sumber tadi. Masing-

masing detektor memiliki koordinat dan waktu tempuh sinyal dari sumber ke tiap detektor

sudah diketahui dengan asumsi kecepatan rambat sinyal adalah 28 m/dt. Informasi mengenai

koordinat detektor serta waktu tempuh sinyal diperlihatkan oleh Tabel 13.1

Tabel 13.1: Koordinat Sumber Sinyal dan Waktu Tempuh SinyalDetektor X Y Waktu tempuh (dt)

Detektor 1 6 10 0.7354

Detektor 2 7 -6 0.3992

Detektor 3 2 9 0.6438

Detektor 4 -3 -8 0.0357

−4 −2 0 2 4 6 8−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

X

Y

Posisi Sumber Sinyal dan Posisi 4 Detektor

Gambar 13.1: Koordinat sumber sinyal berada pada x = −4 dan y = −8

Hubungan antara waktu tempuh sinyal (t) dan koordinat suatu detektor adalah

t =

(xp − x)2 + (yp − y)2

v(13.3)

dimana (xp, yp) adalah koordinat sumber sinyal; (x, y) adalah koordinat detektor; v adalah ke-

cepatan rambat sinyal; dan t adalah waktu tempuh sinyal. Dengan demikian, sistem persamaan

Page 270: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

252 BAB 13. SOLUSI SISTEM PERSAMAAN NON LINEAR

untuk detektor-1 hingga detektor-4 adalah

t1 =

(xp − x1)2 + (yp − y1)2

v

t2 =

(xp − x2)2 + (yp − y2)2

v

t3 =

(xp − x3)2 + (yp − y3)2

v

t4 =

(xp − x4)2 + (yp − y4)2

v

atau dapat diformulasikan sebagai

ti =

(xp − xi)2 + (yp − yi)2

v(13.4)

dimana i = 1,2,3 dan 4.

Sekarang anggap saja kita tidak tahu koordinat sumber sinyal. Lalu kita percayakan ke-

pada inversi non-linear (dengan metode Newton) untuk menemukan koordinat sumber sinyal

tersebut. Untuk membahas ini lebih jauh, saya mulai dengan memunculkan kembali formulasi

metode Newton yaitu

(baru) = (lama)− f (lama)

f ′ (lama)

Berdasarkan formulasi tersebut, yang pertama harus dilakukan adalah menentukan fungsi f (lama).

Dalam kasus ini, fungsi f (lama) diperoleh dengan memodifikasi persamaan 13.4 dimana varia-

bel ti yang semula terletak di sebelah kiri tanda sama-dengan, dipindah ke sebelah kanan tanda

sama-dengan, sehingga menjadi

fi(xp, yp) =

(xp − xi)2 + (yp − yi)2

v− ti (13.5)

Mengingat jumlah detektor-nya ada 4, maka fungsi f untuk masing-masing detektor adalah

f1(xp, yp) =

(xp − x1)2 + (yp − y1)2

v− t1 (13.6)

f2(xp, yp) =

(xp − x2)2 + (yp − y2)2

v− t2 (13.7)

f3(xp, yp) =

(xp − x3)2 + (yp − y3)2

v− t3 (13.8)

f4(xp, yp) =

(xp − x4)2 + (yp − y4)2

v− t4 (13.9)

dimana nilai-nilai x1, y1, t1, x2, y2, t2, x3, y3, t3, x4, y4, t4 sudah tertera di dalam Tabel 13.1 dan

v sudah diketahui yaitu 28 m/dt. Kemudian saya kumpulkan setiap fungsi f(xp, yp) kedalam

Page 271: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

13.5. APLIKASI: MENCARI SUMBER SINYAL 253

sebuah vektor f

f(xp, yp) =

f1(xp, yp)

f2(xp, yp)

f3(xp, yp)

f4(xp, yp)

(13.10)

Parameter yang belum diketahui (unknown parameters) adalah xp dan yp, yang tidak lain adalah

koordinat sumber sinyal; dan itu yang akan kita cari dengan metode Newton. Formulasi metode

Newton untuk xp dan yp adalah

(xp, yp)baru = (xp, yp)lama −f((xp, yp)lama)

f ′((xp, yp)lama)

atau saya tulis lebih simple sebagai berikut

(xbp, ybp) = (xp, yp)−

f(xp, yp)

f ′(xp, yp)(13.11)

atau lebih tepatnya lagi seperti ini

(xbp, ybp) = (xp, yp)−

fi(xp, yp)

f ′i(xp, yp)

(13.12)

dimana i = 1, 2, 3 dan 4 sesuai dengan jumlah detektor. Karena fi telah dinyatakan sebagai

sebuah vektor f (lihat persamaan 13.10), maka

(xbp, ybp) = (xp, yp)−

f(xp, yp)

f ′i(xp, yp)

(13.13)

Nah sekarang bagaimana cara mendapatkan f ′i(xp, yp)? Untuk menjawab pertanyaan terse-

but, mari kita ambil fungsi f1 dari detektor 1 (persamaan 13.7)

f1(xp, yp) =

(xp − x1)2 + (yp − y1)2

v− t1

Operasi turunan terhadap fungsi f1 hanya dilakukan terhadap unknown-paramters saja yaitu xp

dan yp. Dengan demikian, turunan fungsi f1 terhadap xp adalah

∂f1∂xp

=(xp − x1)

v√

(xp − x1)2 + (yp − y1)2

Sedangkan, turunan terhadap yp adalah

∂f1∂yp

=(yp − y1)

v√

(xp − x1)2 + (yp − y1)2

Tentu dengan cara yang sama, kita bisa mendapatkan nilai-nilai untuk f ′2(xp, yp), f

′3(xp, yp) dan

f ′4(xp, yp); disesuaikan dengan jumlah detektor. Semua nilai tersebut dapat digabung dalam

Page 272: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

254 BAB 13. SOLUSI SISTEM PERSAMAAN NON LINEAR

sebuah matrik yaitu

f ′(xp, yp) =

∂f1∂xp

∂f1∂yp

∂f2∂xp

∂f2∂yp

∂f3∂xp

∂f3∂yp

∂f4∂xp

∂f4∂yp

=

(xp−x1)

v√

(xp−x1)2+(yp−y1)2(yp−y1)

v√

(xp−x1)2+(yp−y1)2

(xp−x2)

v√

(xp−x2)2+(yp−y2)2(yp−y2)

v√

(xp−x2)2+(yp−y2)2

(xp−x3)

v√

(xp−x3)2+(yp−y3)2(yp−y3)

v√

(xp−x3)2+(yp−y3)2

(xp−x4)

v√

(xp−x4)2+(yp−y4)2(yp−y4)

v√

(xp−x4)2+(yp−y4)2

Setiap elemen matrik adalah turunan pertama dari suatu unknown-parameter (bisa terhadap xp

maupun yp). Matrik yang tiap elemennya berbentuk turunan pertama dikenal dengan nama

matrik Jacobian. Jumlah baris matrik Jacobian ditentukan oleh banyaknya detektor atau oleh

banyaknya data. Sedangkan jumlah kolomnya ditentukan oleh banyaknya jumlah unknown-

parameter.

J(xp, yp) =

∂f1∂xp

∂f1∂yp

∂f2∂xp

∂f2∂yp

∂f3∂xp

∂f3∂yp

∂f4∂xp

∂f4∂yp

Nah, sekarang formulasi metode Newton saya tulis kembali dalam bentuk

(xbp, ybp) = (xp, yp)−

f(xp, yp)

J(xp, yp)(13.14)

dimana f(xp, yp) berupa vektor dan J(xp, yp) berupa matrik. Lalu bagaimana cara menghitung

pembagian antara vektor dan matrik dalam komputasi? Kalau anda masih ingat dengan persa-

maan matrik Gm = d, tentu anda masih ingat juga bagaimana caranya mendapatkan vektor m,

yaitu

m = [GTG]−1GTd

dalam hal ini bukankah

m =d

G

dimana d berupa vektor dan G berupa matrik? Bentuknya sama persis dengan vektor f dibagi

matrik Jacobian pada Persamaan 13.14. Dengan demikian formulasi Newton dalam komputasi

dapat saya nyatakan sebagai

(xbp, ybp) = (xp, yp)− [JT (xp, yp)J(xp, yp)]

−1JT (xp, yp)f(xp, yp) (13.15)

Jika saya munculkan vektor m dimana

m =

[

m1

m2

]

=

[

xp

yp

]

maka formulasi Newton di atas dapat saya modif menjadi

mb = m− [JT (m)J(m)]−1JT (m)f(m) (13.16)

Page 273: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

13.6. APLIKASI: MENCARI PUSAT GEMPA 255

dimana mb adalah vektor yang berisi unknown-parameters ter-update hasil iterasi sekian kali.

Untuk mengakhiri catatan ini, berikut saya tuliskan script Matlab untuk kasus mencari koo-

rdinat sumber sinyal. Dalam hal ini saya membuat fungsi eksternal untuk menghitung elemen-

elemen vektor f dan elemen-elemen matrik Jacobian J. Sebagai nilai awal, saya pilih xp = -2

dan yp = 5. Saat iterasi berakhir, akan didapat xp = -3,9986 dan yp = -7,9997 dengan jumlah

iterasi = 8. Sedangkan solusi yang sesungguhnya adalah xp = -4 dan yp = -8.

1 % PROGRAM - Mencari Sumber Sinyal

2 % Diketahui 4 stasiun menerima sinyal dari sumber yang sama. Tiap-tiap

3 % stasiun memiliki koordinat (x,y). Waktu tempuh sinyal untuk tiap-tiap

4 % stasiun sudah diketahui. Tentukan koordinat sumber sinyal tersebut.

5 % Supriyanto, Fisika-UI, 15-12-2012

6

7 clc

8 clear all

9 close all

10

11 x = [6 7 2 -3]; % koordinat x tiap stasiun

12 y = [10 -6 9 -8]; % koordinat y tiap stasiun

13 t = [0.7354 0.3992 0.6438 0.0357]; % waktu tempuh sinyal di tiap stasiun

14 v = 28; % kecepatan rambat sinyal

15

16 m = [-2 5]; % dugaan awal posisi sumber sinyal xp = -2 dan yp = 5

17

18 epsilon = 1e-12; % batas ketelitian hasil perhitungan

19 itermaks = 1000; % batas iterasi maksimum

20

21 % ============ INVERSI NON-LINEAR =======================================

22 for p = 1:itermaks

23 xl = m(1);

24 yl = m(2);

25 fungsi = f(x,y,xl,yl,v,t); % mendapatkan vektor f

26 [dtdxp,dtdyp] = ft(x,y,xl,yl,v); % menghitung turunan tiap detektor

27 % ==== Menghitung elemen-elemen matrik Jacobian ====================

28 for k = 1:4 % kebetulan jumlah datanya hanya 4

29 J(k,1) = dtdxp(k);

30 J(k,2) = dtdyp(k); % kebetulan matrik Jacobiannya cuma 2 kolom

31 end

32 m = [xl;yl] - inv(J’*J)*J’*fungsi’;

33 if sqrt((m(1)-xl)^2+(m(2)-yl)^2) < epsilon

34 break

35 end

36 end

37

38 % ============ HASIL INVERSI : POSISI SUMBER SINYAL =====================

39 xp = m(1) % koordinat x sumber sinyal

40 yp = m(2) % koordinat y sumber sinyal

41 Jml_iterasi = p % jumlah iterasi

13.6 Aplikasi: Mencari pusat gempa

Sekarang kita akan membahas aplikasi metode Newton untuk menyelesaikan masalah riil, yaitu

mencari pusat gempa.

Page 274: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

256 BAB 13. SOLUSI SISTEM PERSAMAAN NON LINEAR

Tabel 13.2: Data GempaNo Lokasi stasiun Bujur (UTM) Lintang (UTM) Elevasi (m) Waktu tempuh (dt)

1 Bayah 637832,12 9233524,43 24 14,3969

2 Cisolok 663404,05 9230887,17 47 18,7538

3 Pelabuhan Ratu 672826,09 9227840,52 225 20,4636

4 Sukabumi 716515,83 9243720,59 1303 30,9577

5 Jakarta 704103,18 9313254,00 13 37,1075

6 Serpong 685530,76 9301381,24 45 32,1874

7 Serang 626149,27 9321631,57 54 29,8686

8 Merak 610679,32 9341758,86 6 33,8572

9 Rajabasa 572069,29 9354831,95 7 37,2062

10 Krakatau 548069,44 9319709,03 279 31,0471

11 Bandar Lampung 529521,76 9397735,04 4 49,5118

12 Ulu Belu 448850,75 9419854,84 1090 62,9535

13 Cibaliung 538002,47 9257238,94 95 20,7673

14 Labuhan 591398,14 9298007,77 7 23,8196

15 Pandeglang 622310,20 9302623,36 249 25,4868

16 Rangkasbitung 641858,34 9295866,68 66 25,5319

17 Pangandaran 641645,15 9148191,79 1 86,2979

18 Garut 821353,91 9197731,98 829 53,8889

Page 275: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

Bab 14

Metode Monte Carlo

Objektif :

⊲ Mengenalkan metode Monte Carlo

14.1 Penyederhanaan

Kita awali pembahasan metode Monte Carlo dengan mengetengahkan contoh yang sangat terke-

nal yaitu menghitung luas suatu lingkaran. Fugure 1 memperlihatkan lingkaran dengan radius

r = 1 berada di dalam kotak bujursangkar. Luas lingkaran adalah πr2 = π(1)2 = π sementara

luas bujursangkar adalah (2)2 = 4. Rasio antara luas lingkaran dan luas bola adalah

ρ =luas lingkaran

luas bujursangkar=

π

4= 0, 7853981633974483 (14.1)

Gambar 14.1: Lingkaran dan bujursangkar

257

Page 276: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

258 BAB 14. METODE MONTE CARLO

Jadi, dengan mengetahui nilai ρ, maka kita bisa menghitung luas lingkaran dengan cara

luas lingkaran = ρ× luas bujursangkar (14.2)

Bayangkan anda punya satu set permainan dart. Anda lemparkan sejumlah dart ke arah

lingkaran tadi. Misalnya, total dart yang menancap di papan dart ada 1024 buah. Sebanyak

812 dart berada di dalam lingkaran, dan yang lainnya di luar lingkaran. Rasio antara keduanya

ρ =dart di dalam lingkaran

total dart di dalam bujursangkar=

812

1024= 0, 79296875 (14.3)

Gambar 14.2: Dart yang menancap pada bidang lingkaran dan bujursangkar

Dengan pendekatan ke persamaan (14.2) maka luas lingkaran adalah

luas lingkaran = ρ× luas bujursangkar

= 0, 79296875 × 4

= 3, 171875

Apakah angka ini make sense? Mungkin anda masih ragu. Sekarang mari kita coba hitung nilai

π dengan mengacu pada rumus di atas. Kita sepakati saja bahwa dart yang berada di dalam

lingkaran mesti memenuhi x2i + y2i ≤ 1. Dalam perhitungan, semua dart diganti dengan bi-

langan acak (random number). Dari 1000 dart, yang masuk lingkaran ada 787 buah, sehingga,

mengacu persamaan (14.3)

ρ =787

1000= 0, 787

maka berdasarkan persamaan (14.1)

π = ρ× 4 = 0, 787 × 4 = 3, 148

Lumayan akurat bukan? Semakin banyak jumlah dart, semakin akurat nilai π yang anda pero-

Page 277: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

14.1. PENYEDERHANAAN 259

Gambar 14.3: Dart yang menancap pada bidang 1/4 lingkaran dan bujursangkar

leh.

Sekarang mari kita kembangkan metode Monte Carlo ini untuk menghitung luas suatu area

yang terletak di bawah garis kurva suatu fungsi f(x). Atau sebut saja menghitung integral suatu

fungsi f(x) yang dievaluasi antara batas a dan b. Luas kotak R yang melingkupi luas bidang

integral A adalah

R = (x, y) : a ≤ x ≤ b dan 0 ≤ y ≤ d (14.4)

dimana

d = maksimum f(x) , a ≤ x ≤ b (14.5)

Page 278: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

260 BAB 14. METODE MONTE CARLO

Page 279: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

Bab 15

Inversi

Objektif :

⊲ Mengenalkan inversi linear

⊲ Mengenalkan inversi non-linear

15.1 Inversi Linear

Diketahui data eksperimen tersaji dalam tabel berikut ini

xi yi xi yi

1 1,3 6 8,8

2 3,5 7 10,1

3 4,2 8 12,5

4 5,0 9 13,0

5 7,0 10 15,6

Lalu data tersebut di-plot dalam sumbu x dan y. Sekilas, kita bisa melihat bahwa data yang

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

14

16

X

Y

telah di-plot tersebut dapat didekati dengan sebuah persamaan garis, yaitu a1xi + a0. Artinya,

261

Page 280: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

262 BAB 15. INVERSI

kita melakukan pendekatan secara linear, dimana fungsi pendekatan-nya adalah

P (xi) = a1xi + a0 (15.1)

Problemnya adalah berapakah nilai konstanta a1 dan a0 yang sedemikian rupa, sehingga posisi

garis tersebut paling mendekati atau bahkan melalui titik-titik data yang telah di-plot di atas?

Dengan kata lain, sebisa mungkin yi sama dengan P (xi) atau dapat diformulasikan sebagai

m∑

i=1

yi − P (xi) = 0 (15.2)

m∑

i=1

yi − (a1xi + a0) = 0 (15.3)

dimana jumlah data, m = 10. Suku yang berada disebelah kiri dinamakan fungsi error (error

function), yaitu

E(a0, a1) =

m∑

i=1

yi − (a1xi + a0) (15.4)

Semua data yang diperoleh melalui eksperimen, fungsi error-nya tidak pernah bernilai nol. Ja-

di, tidak pernah didapatkan garis yang berhimpit dengan semua titik data ekperimen. Namun

demikian, kita masih bisa berharap agar fungsi error menghasilkan suatu nilai, dimana nilai

tersebut adalah nilai yang paling minimum atau paling mendekati nol. Harapan tersebut di-

wujudkan oleh metode least square dengan sedikit modifikasi pada fungsi error-nya sehingga

menjadi

E(a0, a1) =

m∑

i=1

[yi − (a1xi + a0)]2 (15.5)

Agar fungsi error bisa mencapai nilai minimum, maka syarat yang harus dipenuhi adalah:

∂E(a0, a1)

∂ai= 0 (15.6)

dimana i = 0 dan 1, karena dalam kasus ini memang cuma ada a0 dan a1. Maka mesti ada dua

buah turunan yaitu:

∂E(a0, a1)

∂a0=

∂a0

m∑

i=1

[yi − (a1xi + a0)]2 = 0

2m∑

i=1

(yi − a1xi − a0)(−1) = 0

a0.m+ a1

m∑

i=1

xi =

m∑

i=1

yi (15.7)

Page 281: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

15.1. INVERSI LINEAR 263

dan

∂E(a0, a1)

∂a1=

∂a1

m∑

i=1

[yi − (a1xi + a0)]2 = 0

2

m∑

i=1

(yi − a1xi − a0)(−xi) = 0

a0

m∑

i=1

xi + a1

m∑

i=1

x2i =

m∑

i=1

xiyi (15.8)

Akhirnya persamaan (15.7) dan (15.8) dapat dicari solusinya berikut ini:

a0 =

∑mi=1 x

2i

∑mi=1 yi −

∑mi=1 xiyi

∑mi=1 xi

m(∑m

i=1 x2i

)

− (∑m

i=1 xi)2 (15.9)

dan

a1 =m

∑mi=1 xiyi −

∑mi=1 xi

∑mi=1 yi

m(∑m

i=1 x2i

)

− (∑m

i=1 xi)2 (15.10)

Coba anda bandingkan kedua hasil di atas dengan rumus least square yang terdapat pada buku

Praktikum Fisika Dasar keluaran Departemen Fisika-UI. Mudah-mudahan sama persis. OK,

berdasarkan data ekperimen yang ditampilkan pada tabel diawal catatan ini, maka didapat:

a0 =385(81) − 55(572, 4)

10(385) − (55)2= −0, 360 (15.11)

dan

a1 =10(572, 4) − 55(81)

10(385) − (55)2= 1, 538 (15.12)

Jadi, fungsi pendekatan-nya, P (xi), adalah

P (xi) = 1, 538xi − 0, 360 (15.13)

Solusi least square dengan pendekatan persamaan garis seperti ini juga dikenal dengan nama

lain yaitu regresi linear. Sedangkan nilai a0 dan a1 disebut koefisien regresi. Gambar di

bawah ini menampilkan solusi regresi linear tersebut berikut semua titik datanya

Tentu saja anda sudah bisa menduga bahwa selain regresi linear, mungkin saja terdapat regresi

parabola atau quadratik dimana fungsi pendekatannya berupa persamaan parabola, yaitu:

P (xi) = a2x2i + a1xi + a0 (15.14)

dimana koefisien regresinya ada tiga yaitu a0, a1 dan a2. Kalau anda menduga demikian, maka

dugaan anda benar! Bahkan sebenarnya tidak terbatas sampai disitu. Secara umum, fungsi

pendekatan, P (xi), bisa dinyatakan dalam aljabar polinomial berikut ini:

P (xi) = anxni + an−1x

n−1i + ...+ a2x

2i + a1xi + a0 (15.15)

Page 282: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

264 BAB 15. INVERSI

0 2 4 6 8 10−2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

P(x) = 1.538*x − 0.36

Namun untuk saat ini, saya tidak ingin memperluas pembahasan hingga regresi parabola, dan

polinomial. Saya masih ingin melibatkan peranan metode eliminasi gauss dalam menyelesaikan

problem least square seperti yang selalu saya singgung pada catatan-catatan kuliah saya yang

terdahulu. Nah, kalau metode eliminasi gauss hendak digunakan untuk mencari solusi regresi

linear, kita bisa mulai dari persamaan (15.7) dan (15.8), yaitu:

a0.m+ a1

m∑

i=1

xi =

m∑

i=1

yi

a0

m∑

i=1

xi + a1

m∑

i=1

x2i =m∑

i=1

xiyi

Keduanya bisa dinyatakan dalam operasi matrik:

[

m∑m

i=1 xi∑m

i=1 xi∑m

i=1 x2i

][

a0

a1

]

=

[

∑mi=1 yi

∑mi=1 xiyi

]

(15.16)

Kalau anda mengikuti catatan-catatan terdahulu, pasti anda tidak asing lagi dengan dengan se-

mua elemen-elemen matrik di atas. Semua sudah saya ulas pada catatan yang berjudul Aplikasi

Elimininasi Gauss: Model Garis. Silakan anda lanjutkan perhitungan matrik tersebut hingga

diperoleh koefisien regresi a0 dan a1. Selamat mencoba!

15.2 Inversi Non-Linear

Persamaan least squares linear adalah sebagai berikut:

[GtG]δm = Gtδd (15.17)

Persamaan least squares non-linear dapat dinyatakan sebagai berikut:

[GtG+ λI]δm = Gtδd (15.18)

Page 283: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

15.2. INVERSI NON-LINEAR 265

dimana G adalah matrik kernel, namun dia juga biasa dikenal dengan sebutan matrik Jaco-

bian, sementara λ adalah faktor pengali Lagrange, dan I adalah matrik identitas yang ordenya

disesuaikan dengan GtG. Adapun definisi δm dan δd akan dijelaskan pada bagian akhir catatan

ini.

Langkah-langkah untuk menyelesaikan problem least squares non-linear adalah:

1. Menentukan model, misal f(x) = xm

2. Menghitung jacobian, G. Caranya adalah menghitung turunan pertama dari model terha-

dap model-parameter, m. Sesuai permisalan pada point 1, didapat

G =∂f(x)

∂m= xmln(x) (15.19)

3. Membuat perhitungan simulasi, misalnya ditentukan m = 2. Nilai m adalah nilai yang

hendak dicari. Dalam simulasi, nilai m dianggap sudah diketahui bahkan ditentukan. Lalu

hitunglah f(x) = xm dengan x bergerak dari x = 1, 2, 3.., 10. Jadi, nanti akan didapat 10

buah f(x). Mau lebih dari 10 juga boleh, terserah saja. Hasil hitungannya dikasih nama d,

jadi d = f(x). Karena dalam simulasi ini x-nya bergerak hanya sampai 10, maka hasilnya

mesti ada 10 d, yaitu d1, d2, .., d10.

4. Buatlah perhitungan untuk m sembarang, misal mula-mula dipilih m = 5. Ini adalah nilai

awal dari m yang akan diiterasikan sedemikian rupa hingga nantinya m akan menuju 2

sesuai dengan nilai m pada simulasi (point 3). Bagusnya dibedakan penulisannya, atau

tulis saja m0 = 5, dimana m0 maksudnya adalah m mula-mula. Lalu hitung lagi nilai

f(x) = xm0. Sekarang dinamakan dc = f(x). Jangan lupa bahwa saat perhitungan, nilai

x bergerak dari 1 sampai 10. Jadi, nanti didapat 10 dc.

5. Hitunglah δd, dimana δd = dc − d. Sebelumnya sudah dinyatakan bahwa dc ada 10 buah,

demikian juga d ada 10 buah, maka δd harus ada 10 buah juga.

6. Selanjutnya hitung ||δd|| yang rumusnya seperti ini

||δd|| = 1

NΣ(dc − d)2 =

1

NΣδd2 (15.20)

dimana N = 10 karena δd-nya ada 10. Rumus ini tidak mutlak harus demikian, anda bisa

juga menggunakan norm 2, ℓ2.

7. Tentukan nilai epsilon, ǫ, misal ǫ = 0.000001. Lalu lakukan evaluasi sederhana. Cek,

apakah ||δd|| < ǫ ? Pasti awalnya ||δd|| > ǫ, kenapa? Karena m 6= m0. Kalau begini

situasinya, δd yang ada 10 biji itu dimasukan kedalam proses berikutnya.

8. Hitunglah operasi matriks berikut ini untuk mendapatkan δm

[GtG+ λI]δm = Gtδd (15.21)

Page 284: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

266 BAB 15. INVERSI

dengan λ-nya dikasih nilai sembarang antara 0 dan 1, misalnya λ = 0.005. Perhitungan

ini bisa diselesaikan dengan metode eliminasi gauss.

9. Ganti nilai m0 menjadi m1 sesuai dengan rumus

m1 = m0 + δm (15.22)

Nah, m1 ini dimasukan ke proses yang dijelaskan pada point 4 kemudian proses diulangi

hingga point 9, begitu seterusnya. Dari sinilah dimulai proses iterasi. Iterasi akan berhenti

bila ||δd|| < ǫ. Pada saat itu, nilai mk akan mendekati m = 2 sesuai dengan m simulasi.

Selamat mencoba! Saya juga telah menulis beberapa persamaan non-linear sebagai bahan

latihan. Lihat saja di Latihan 1. Tapi tolong diperiksa lagi, apakah jacobiannya sudah benar

atau ada kekeliruan. Selanjutnya, kalau ada pertanyaan atau komentar, silakan kirim ke sup-

[email protected]

Page 285: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

Bab 16

Lampiran

16.1 Script Iterasi Jacobi, jcb.m

1 % Fungsi Eksternal - METODE ITERASI JACOBI

2 % Script ini adalah hasil akhir dari proses penyempurnaan script

3 % berulang-ulang yang diajarkan pada kuliah Analisis Numerik

4 % di Ruang B203, Gedung B, FMIPA-UI.

5 %

6 % Perhatikan bahwa elemen diagonal matrik A harus berisi angka

7 % yang paling besar. Contoh penggunaan script ini adalah

8 % A = [ 10 -1 2 0;

9 % -1 11 -1 3;

10 % 2 -1 10 -1;

11 % 0 3 -1 8];

12 %

13 % b = [ 6 ; 25 ; -11 ; 15 ];

14 %

15 % xawal = [12 ; 0.3; -0.12; 6];

16 %

17 % [xakhir,L2,k] = jcb(A,b,xawal)

18 % atau

19 % [xakhir,L2] = jcb(A,b,xawal)

20 % atau

21 % [xakhir] = jcb(A,b,xawal)

22 %

23 % script ini disusun oleh Supriyanto (1 Feb 2011)

24

25 function [xbaru, L2, k] = jcb(A,b,xlama)

26 % L2 diatas ini menyimpan nilai norm2-selisih antara xbaru dan xlama;

27 % Sementara k menyimpan jumlah iterasi aktual.

28

29 % epsilon adalah batas nilai selisih antara xbaru dan xlama yang

30 % dihitung secara norm-2. Epsilon bisa diartikan sebagai batas

31 % toleransi. Anda bisa merubahnya sesuai kebutuhan.

32 epsilon = 10^(-5);

33

34 % itermaks adalah jumlah iterasi maksimum yang mampu dilakukan

35 % oleh function ini. Anda bisa merubahnya sesuai kebutuhan.

36 itermaks = 1000;

37

38 n = length(A);

267

Page 286: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

268 BAB 16. LAMPIRAN

39 for p = 1:n

40 J(p,p) = 0;

41 for k = 1:n

42 if k ~= p

43 J(p,k) = -A(p,k)/A(p,p);

44 end

45 end

46 u(p,1) = b(p)/A(p,p);

47 end

48 for k = 1:itermaks

49 xbaru = J*xlama + u;

50 L2 = norm2(xlama-xbaru);

51 if L2 < epsilon

52 break;

53 end

54 xlama = xbaru;

55 end

16.2 Script Iterasi Gauss-Seidel, itgs.m

1 % Fungsi Eksternal - METODE GAUSS-SEIDEL

2 % Script ini adalah hasil akhir dari proses penyempurnaan script

3 % berulang-ulang yang diajarkan pada kuliah Analisis Numerik

4 % di Ruang B203, Gedung B, FMIPA-UI.

5 %

6 % Perhatikan bahwa elemen diagonal matrik A harus berisi angka

7 % yang paling besar. Contoh penggunaan script ini adalah

8 % A = [ 10 -1 2 0;

9 % -1 11 -1 3;

10 % 2 -1 10 -1;

11 % 0 3 -1 8];

12 %

13 % b = [ 6 ; 25 ; -11 ; 15 ];

14 %

15 % xawal = [12 ; 0.3; -0.12; 6];

16 %

17 % [xakhir,L2,v] = jcb(A,b,xawal)

18 % atau

19 % [xakhir,L2] = jcb(A,b,xawal)

20 % atau

21 % [xakhir] = jcb(A,b,xawal)

22 %

23 % script ini disusun oleh Supriyanto (1 Feb 2011)

24 function [xbaru,L2,v] = itgs(A,b,xlama)

25 % L2 diatas ini menyimpan nilai norm2-selisih antara xbaru dan xlama;

26 % Sementara v menyimpan jumlah iterasi aktual.

27

28 % epsilon adalah batas nilai selisih antara xbaru dan xlama yang

29 % dihitung secara norm-2. Epsilon bisa diartikan sebagai batas

30 % toleransi. Anda bisa merubahnya sesuai kebutuhan.

31 epsilon = 10^(-5);

32

33 % itermaks adalah jumlah iterasi maksimum yang mampu dilakukan

34 % oleh function ini. Anda bisa merubahnya sesuai kebutuhan.

35 itermaks = 1000;

36 n = length(A);

37 for k = 1:n

Page 287: Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- · luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

16.2. SCRIPT ITERASI GAUSS-SEIDEL, ITGS.M 269

38 J(k,k) = 0;

39 for q = 1:n

40 if q ~= k

41 J(k,q) = -A(k,q)/A(k,k);

42 end

43 end

44 p(k,1) = b(k)/A(k,k);

45 end

46 L = zeros(n);

47 U = zeros(n);

48 for q = 1:n-1

49 for k = q+1:n

50 L(k,q) = J(k,q);

51 U(q,k) = J(q,k);

52 end

53 end

54 for v = 1:itermaks

55 xsmt = U*xlama + p;

56 xbaru(1,1) = xsmt(1,1);

57 for q = 1:n-1

58 sum = 0;

59 for k = 1:q

60 sum = sum + L(q+1,k)*xbaru(k,1);

61 end

62 xbaru(q+1,1) = sum + xsmt(q+1,1);

63 end

64 L2 = norm2(xbaru-xlama);

65 if L2 < epsilon

66 break;

67 end

68 xlama = xbaru;

69 end