Kasicna Mehanika

download Kasicna Mehanika

of 183

Transcript of Kasicna Mehanika

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    1/183

    1

    Prirodoslovno matematiki fakultetSveuilite u Splitu

    Klasina mehanika

    Skripta

    Prof. eljko Antunovi

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    2/183

    2

    KLASINA MEHANIKA1. Newtonova mehanika 4

    1.1Koordinatni sustavi 41.2Galilejeve transformacije 6

    1.3Newtonovi postulati 91.4Zakoni ouvanja 111.5Neinercijalni referentni sustavi 181.6Linearni harmoniki oscilator 25

    2. Lagrangeov formalizam 342.1Veze, sile reakcije, dAlembertov princip, Lagrangeove jednadbe 342.2 Zakoni ouvanja 52

    3. Hamiltonov formalizam 553.1Hamiltonov princip 553.2Hamiltonove (kanonske) jednadbe 61

    3.3Zakoni ouvanja 643.4Poissonove zagrade 663.5Analogija sa kvantnom mehanikom 683.6Kanonske transformacije 693.7Invarijantnost Poissonovih zagrada pri kanonskim transformacijama 723.8Hamilton-Jacobieva jednadba 75

    4. Centralne sile 784.1Problem dva tijela 784.2Keplerov problem 804.3Runge-Lenz vektor 904.4Mehanika tijela konanih dimenzija 92

    4.5Rasprenje estica u centralnom polju sila 954.6Kinematika rasprenja 954.7Dinamika rasprenja 994.8Rutherfordovo rasprenje 104

    5. Gibanje krutog tijela 1085.1Tenzor inercije (tromosti) krutog tijela 1115.2 Eulerovi kutovi i Lagrangeove jednadbe 121

    6. Male oscilacije 1306.1Male oscilacije sustva 1306.2Jednadba svojstvenih vrijednosti 133

    6.3

    Normalne koordinate 1386.4Male oscilacije trostrukog njihala 1416.5Titranje linearne troatomske molekule 1466.6Titranje molekule vode 152

    7. Mehanika kontinuuma 1597.1Prijelaz na kontinuirani sustav 1597.2Lagrangeova formulacija za kontinuirane sustave 1627.3Jednadbe gibanja u teoriji polja 1667.4Ouvane veliine 8struje) u teoriji polja 1717.5Jednadbe gibanja u mehanici kontinuuma 177

    Popis rjeenih primjera 181Literatura 183

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    3/183

    3

    Klasina mehanika izuava problem gibanja materijalnih objekata i predstavlja temeljklasine fizike. Tehnoloka primjena zakona klasine fizike izazvala je industrijsku revolucijui omoguila razvoj modernog drutva.

    Poetkom XX stoljea domena primjenjivosti klasine mehanike znaajno se smanjila

    otkriem teorije relativnosti i kvantne mehanike. Tako je klasina mehanika odfundamentalne fizikalne teorije postala aproksimativno tona teorija gibanja makroskopskihobjekata nerelativistikim brzinama. Ali, unutar svoje domene valjanosti, klasina mehanika

    je izuzetno tona teorija ije predikcije se izvrsno slau s eksperimentalnim rezultatima. ak, iu uvenom primjeru perihelija Merkura koji dokazuje ispravnost Ope teorije relativnostinasuprot Newtonova zakona gravitacije, relativna pogreka klasine mehanike je manja od10 7, a za sve ostale planete pogreka je jo i puno manja. Matematika i logika strukturaklasine mehanike pretstavlja model za bilo koju fizikalnu teoriju.

    U teorijskoj fizici kaemo da klasina mehanika izuava problem gibanja fizikalnihsustava. Pod fizikalnim sustavom podrazumjeva se bilo koji skup (klasinih) estica. estica

    je matematika generalizacija jako malog tijela, tj. materijalna toka tijelo mase m, bezikakve unutarnje strukture, ije su sve tri prostorne dimenzije nula. Prema tipu sustava kojeizuava klasina mehanika se dijeli na:

    mehaniku sustava estica sustavi s maksimalno prebrojivo mnogo stupnjeva slobodegibanja i

    mehaniku kontinuuma sustavi s neprebrojivo mnogo stupnjeva slobode gibanja(fluidi i elastina tijela).

    U mehanici, stanje sustava u jednom trenutku vremena potpuno je odreeno poloajem i

    brzinama svih estica.

    Klasina mehanika, kao i cjelokupna fizika uostalom, bazira se na genijalnoj Newtonovojrealizaciji da interakcije meu esticama (sile) odreuju jednadbe gibanja estica koje sudiferencijalne jednadbe drugog reda po vremenu. Rjeavanje jednadbe gibanja estice uzpoetne uvjete poetni poloaj i poetnu brzinu, kompletno odreuje putanju estice. Akoznamo sile koje djeluju na sustav i stanje sustava u jednom trenutku vremena, znat emostanje sustava u bilo kojem trenutku (naravno, uspijemo li rjeiti jednadbe gibanja).

    Jedna od najvanijih karakteristika klasine mehanike je postojanje nekoliko razliitihekvivaletnih formulacija teorije:

    Newtonova formulacija mehanike, Lagrangeov formalizam, Hamiltonov formalizam, Hamilton-Jacobijeva teorija.

    U principu, svaki problem moe se rjeiti bilo kojim od ovih formalizama, ali razliiteformulacije prilagoene su razliitim tipovima problema. Npr., gibanje sustava s vezama(constaints) lake je rjeavati Lagrangeovim nego Newtonovim formalizmom.

    Danas se Hamiltonova (kanonska) formulacija klasine mehanika smatra prototipom zabilo koju fizikalnu teoriju.

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    4/183

    4

    1. Newtonova mehanika

    Definirajmo prvo neke od osnovnih matematikih koncepata neophodnih za razmatranjegibanja sustava estica.

    1.1 Koordinatni sustavi

    Poloaj estice u bilo kojem trenutku vremena je toka u trodimenzionalnom Euklidskomprostoru. Da bi odredili poloaj estice moramo specificirati prostorni koordinatni sustav(prostorni dio referentnog sustava) odreen ishoditem i trima meusobno okomitimkoordinatnim osima.

    Od razliitih moguih opih ortogonalnih koordinatnih sustava, najee se koristeKartesijev, koji je najjednostavniji, ili cilindrini ili sferni koordinatni sustav. Bazis prostoraine tri jedinina vektora koordinatnih osi sustava S, tj.

    S : { 321 e,e,e },

    koji zadovoljavaju uvjete ortonormiranosti i kompletnosti:

    ijji ee = uvjet ortonormiranosti i

    =

    =3

    1jji 1ee uvjet kompletnosti.

    Vektor poloaja ili radijus vektor rr estice je vektor iji je poetak u ishoditu, a kraj utoci u kojoj se nalazi estica. U koordinatnom sustavu S radijus vektor estice jednoznano

    je odreen razvojem po bazisu prostora, tj. svojim komponentama ri du koordinatnih osi:

    ==i

    iiii err;rerrr

    . (1.1)

    Eksplicitno, za Kartezijev sustav (x,y,z) je:

    kzjyixr ++=r

    ,

    za cilindrini sustav (,,z) je:

    z ezer +=r

    ,

    a, za sferni sustav (r,,) je:

    rerr =r

    .

    Ponekad je korisno radijus vektor prikazati kao ureenu trojku realnih brojeva, tj. na jeziku

    linearne algebre, kao vektor stupac ( 31 matricu):

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    5/183

    5

    =

    3

    2

    1

    r

    r

    r

    rr

    . (1.2)

    Gibanje estice je promjena njenog poloaja u prostoru, to znai da radijus vektor esticepostaje funkcija vremena (t)rr

    . Brzina vr

    i akceleracija ar

    estice su prva i druga derivacija povremenu radijus vektora estice respektivno, tj.

    vdt

    rdra;

    dt

    rdrv

    2

    2&r

    r

    &&rrr

    &rr ===== . (1.3)

    Pravac brzine estice je tangenta na putanju u svakoj toci, tj. tvv =r

    , dok akceleracija ima

    tangencijalnu i radijalnu (centripetalnu) komponentu: nR

    vtvnataa

    2

    rt +=+= &r

    , gdje su

    nit jedinini vektori tangente i glavne normale na putanju, a R je radijus zakrivljenostiputanje.

    Za raunanje komponenti brzine i ubrzanja estice, tj. pri deriviranju izraza (1.1) treba voditirauna o derivacijama bazisnih vektora jer je:

    +=i

    iiii )rere(r &&&r . (1.4)

    Samo u Kartezijevom sustavu su sva tri jedinina vektora koordinatnih osi konstantnivektori ije derivacije su nula. Npr., za komponente kvadrata brzine estice u opem

    ortogonalnom koordinatnom sustavu S ije su koordinate (q1, q2, q3) dobija se:

    v2 =i

    2i

    2i qh & , (1.5)

    gdje su Lameovi koeficijentii

    i dq

    rdh

    r

    = .

    Eksplicitno je:

    Kartezijev sustav: hx =hy = hz = 1,cilindrini sustav: h = hz = 1 ; h = ,

    sferni sustav: hr = 1 ; h = r ; h = rsin.

    Razmotrimo sad rotaciju koordinatnog sustava.

    Neka imamo dva prostorna koordinatna sustava S i S koji su zarotirani jedan u odnosu nadrugi. Jednostavnosti radi zamislimo da su im ishodita u istoj toci prostora. Komponentenekog vektora r

    ru dva sustava odreene su izrazima:

    ==i

    iii

    ii rererr . (1.6)

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    6/183

    6

    Pri rotaciji koordinatnog sustava intenzitet vektora ostaje nepromjenjen, odakle slijedi dameu bazisnim vektorima dva sustava postoji matrina relacija:

    jiijj j

    Tjijijiji eeR;Ree;Ree === ; (1.7)

    gdje je:

    RRT = RT R = 1 i detR = 1, (1.8)

    tj. matrica rotacije R je realna ortogonalna 33 matrica iji elementi su kosinusi pravacakoordinatnih osi jednog sustava u odnosu na drugi. Relacija koja povezuje koordinate vektorarr

    u dva sustava je onda:

    ====i ji, j i

    ijijjjijijii rRrrerRererr

    .

    Zadnja relacija u matrinoj notaciji daje vezu izmeu vektora u dva koordinatna sustava:

    rRrilirRr Trrrr

    == . (1.9)

    1.2Galilejeve transformacijeU mehanici u SI sustavu sve veliine mogu se derivirati iz tri osnovne fizikalne veliine:

    Duljina, osnovna jedinica metar: m

    Vrijeme, osnovna jedinica sekunda: s Masa, osnovna jedinica kilogram: kg.

    Kako je svako gibanje relativno, razmatranje problema gibanja bilo kojeg fizikalnogsustava zahtijeva definiranje referentnog sustava. Klasa referentnih sustava u kojima zakonimehanike imaju najjednostavniju formu su inercijalni referentni sustavi.

    Definicija: Inercijalni referentni sustav

    Homogenost znai da nema specijalnih toaka u prostoru ili trenutaka u vremenu, dokizotropnost prostora znai ekvivalentnost svih pravaca. Time se osigurava da se bilo kojatoka prostora ili vremena moe odabrati za ishodite, kao i da bilo koji pravac u prostorupromatra moe odabrati za koordinatnu os.

    Definicija: Inercijalni referentni sustav

    Referentni sustav u odnosu na koji je:

    prostor homogen i izotropan, vrijeme homogeno,

    je inercijalni referentni sustav.

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    7/183

    7

    U homogenom i izotropnom prostoru i vremenu, bilo koja dva inercijalna referentnasustava (IRS) S i S mogu se razlikovati samo po 4 elementa:

    1. Ishodita prostornih sustava su u razliitim tokama prostora,2. Ishodita vremenskih sustava su razliiti vremenski trenutci,

    3. Prostorne koordinatne osi nisu paralelne i4. Jedan sustav se giba konstantnom brzinom V

    ru odnosu na drugi!

    Ako elimo dva proizvoljna IRS-a dovesti do preklapanja, ili prijei iz jednog u drugiIRS, kako se kae, dovoljno je napraviti etiri prostorno-vremenske transformacije:

    1. Prostornu translaciju svih toaka u prostoru za vektor OO (udaljenost dvajuishodita) da bi ishodita prostornih koordinata bila u istoj toci,

    2. Vremensku translaciju da se poklope ishodita vremenskih koordinata,3. Prostornu rotaciju oko neke osi kroz ishodita da se poklope koordinatne osi i

    4.

    specijalnu Galilejevu transformaciju (potisak) odreenu brzinom V

    r

    .Skup svih takvih prostorno-vremenskih transformacija tvori grupu koja se naziva Galilejevagrupa. To je 10-parametarska kontinuirana grupa, koja pojednostavljeno govorei, sadrietiri podgrupe:

    1. Grupu prostornih translacija (3 parametra neophodna da jednoznanospecificiraju element grupe tri komponente vektora translacije),

    2. Grupu vremenskih translacija (1 parametar),3. Grupu prostornih rotacija (3 parametra) i4. Grupu specijalnih Galilejevih transformacija, tj. potisaka (3 parametra).

    Transformacije koordinata i vremena kojima se prelazi iz jednog u drugi IRS u klasinojmehanici nazivaju se Galilejeve transformacije. Zamislimo da imamo dva IRS-a. Jedanuvjetno mirni S, ije su prostorno-vremenske koordinate ( r

    r, t) = (x,y,z,t) i drugi S s

    paralelnim osima, u kojemu su odgovarajue koordinate ( rr

    ,t) = (x,y,z,t).

    Neka se sustav S giba brzinom .V const=r

    u odnosu na S kao na Slici 1.

    Slika 1.

    sustav S

    zrr rr

    z ysustav S

    0rr

    y x

    x

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    8/183

    8

    Ishodite O sustava S u S odreuje radijus vektor qt)t(r0rrr

    += V , gdje je qr

    razmak dva

    ishodita u trenutku t = 0 . Transformacije iz S u S su oito:

    x = x Vxt qx

    y = y Vyt qy qtrrrrrr

    = V (1.10)z = z Vzt qz ili u vektorskom obliku: t = t + t0t = t + t0

    Zadnji redak u relaciji (1.10) znai da vrijeme tee istom brzinom i u S i u S, ali sevremenska ishodita dva sustava ne poklapaju, po analogiji s prostornim ishoditima. Bezgubitka openitosti, lako je zamisliti da su napravljene neophodne vremenske ( t0 = 0 ) iprostorne translacije (q

    r= 0 ) tako da se ishodita oba sustava poklapaju u poetnom trenutku:

    t = t = 0. Zato se Galilejeve transformacije najee piu bez ovih konstanti u obliku:

    x = x Vxt

    y = y Vyt trr Vrrr

    = (1.11)z = z Vzt ili u vektorskom obliku: t = tt = t

    Dva IRS-a su potpuno ravnopravna, pa je iz (1.11) lako nai inverznu transformaciju iz

    sustava S u sustav S (zamijeniti "crtane" i "necrtane" koordinate te promijeniti Vr

    u Vr

    ):

    x = x + Vxt

    y = y + Vyt trr Vrrr

    += (1.11)z = z + Vzt ili u vektorskom obliku: t = tt = t

    Galilejeve transformacije za bilo koje dvije toke u prostoru: tVrr 22rrr

    = i tVrr 11rrr

    = ,oduzimanjem daju:

    12121212 rrrrrrrrrrrr

    = , t12 t2 t1 = t2 t1 t12, (1.12)

    ili u infinitezimalnom obliku:

    rdrdrr

    = i dt = dt. (1.12)

    Proizilazi da su udaljenost dviju toaka i duljina vremenskog intervala invarijantni pri

    Galilejevim transformacijama apsolutnost prostora i vremena u klasinoj fizici. Ovo jepotpuno u skladu s naim svakodnevnim iskustvom i intuicijom u makrosvijetu kadspecificiramo dimenzije tijela i duljine vremenskih intervala podrazumijevamo da su to

    jednoznane veliine i ne moramo razmiljati gdje, kada i kako su te veliine mjerene.

    Za opisivanje gibanja trebaju nam jo i brzina i akceleracija. Iz relacije (1.12) slijedi da jed/dt = d/dt, pa deriviranjem po vremenu iz (1.11) ili (1.11) dobijamo:

    Vrrr

    += vv . (1.13)

    Kako je .V const=r

    za ubrzanje nalazimo

    aarr

    = . (1.14)

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    9/183

    9

    Izraz (1.13) je zakon slaganja brzina u klasinoj mehanici brzina estice u mirnomsustavu jednaka je zbroju brzine estice u pokretnom sustavu i brzine samog pokretnogsustava. Izraz (1.14) pokazuje invarijantnost akceleracija pri Galijevim transformacijama.

    Napomena: Na pitanje da li je neki odreeni sustav referencije inercijalni ili neinercijalni

    moe se odgovoriti samo eksperimentom ako vae Newtonovi postulati sustav je inercijalni!Treba definirati jo i impuls (koliinu gibanja) estice.

    1.3Newtonovi postulatiSir Isaac Newton (1643-1727) je 1687. u svom glavnom djelu: Philosophiae naturalis

    principia mathematica formulirao skup fundamentalnih postulata koji predstavljaju temeljklasine mehanike. Napomena: Iako se najee govori o Newtonovim zakonima, logikiprimjereniji termin je postulat, jer se radi o osnovnim tvrdnjama teorije koje ne slijede iznekih elementarnijih i ija valjanost se moe samo usporeivati s rezultatima eksperimenata.

    Definicija: Impuls estice pr

    Impuls estice mase m i brzine .vmp:jervrr&rr ==

    Impuls sustava estica je vektorski zbroj impulsa pojedinih estica.

    Newtonovi postulati

    Zakon inercije (lex prima)U inercijalnom referentnom sustavu impuls slobodne estice, tj. estice na koju nedjeluje nikakva sila, je ouvan (zakon ouvanja impulsa)

    const.(t)p0F ==rr

    (1.15)

    Jednadba gibanja i definicija sile (lex secunda)U inercijalnom referentnom sustavu, sila koja djeluje na esticu jednaka je promjeniimpulsa estice.

    dtpdF

    rr

    = . (1.16)

    Zakon akcije i reakcije (lex tertia)

    Sile ijFr

    (akcija) i jiFr

    (reakcija) kojima estice i i j djeluju jedna na drugu

    zadovoljavaju

    jiij FFrr

    = . (1.17)

    Princip superpozicije (lex quarta)

    Sile su vektori i ukupna sila ukFr

    na esticu je zbroj svih sila koje na nju djeluju

    = i iuk FFrr

    . (1.18)

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    10/183

    10

    Prvi zakon je oigledno specijalni sluaj drugog.

    Drugi Newtonov zakon je jednadba gibanja estice: rmrdt

    dmF &&

    r&rr

    == (m = const.) i kako

    su sile funkcije samo poloaja i brzina estica (i moda eksplicitna funkcija vremena) dobija

    se:

    )t,r,r(Frm &rrr&&r = , (1.19)

    obina diferencijalna jednadba II reda (vektorska) ije je rjeenje putanja estice (t)rrrr

    = .Najvanije sile u klasinoj fizici su funkcije samo relativnog rastojanja meu esticama, npr.gravitacijska ili elektrina sila:

    3

    ji

    ji

    0

    jiij3

    ji

    jijiij

    rr

    rr

    4

    QQF;

    rr

    rrmmGF

    rr

    rrr

    rr

    rrr

    =

    = .

    Napomena: U II Newtonovom zakonu pojavljuje se inercijalna masa min estice, a uNewtonovom zakonu gravitacije gravitacijska masa mgr estice. Eksperimentalno jeutvreno da su ova dva tipa mase proporcionalna ako odaberemo sustav jedinica u kome jemin = mgr , onda je gravitacijska konstanta G = (6,67259 0,00085)1011 Nm2kg2. Uklasinoj fizici nema objanjenja za ovu jednakost. Jednakost inercijalne i gravitacijske masenaziva se Princip ekvivalencije. To je bio poetni korak u Einsteinovom razvoju nove teorijegravitacije Ope teorije relativnosti (1916.).

    Trei Newtonov zakon uz princip superpozicije omoguuje laku generalizaciju na sustav

    estica. Ako imamo sustav od N estica s masama mi (i = 1,2,....,N) jednadba gibanja za i-tuesticu je:

    =

    +=N

    i)(j1j

    ext.iijii FFrmrr

    &&r , (1.20)

    gdje je ext.iFr

    ukupna spoljanja sila na i-tu esticu, a ijFr

    je unitarnja sila kojom esticaj djeluje

    na esticu i. Ako je sustav izoliran, nema spoljanjih sila 0F ext.i =r

    . Tada je desna strana

    jednadbe gibanja i-te estice (1.20) funkcija samo relativnog poloaja jiij rrrrrr

    = i relativnih

    brzina estica jiijij rrrv &r

    &

    r

    &

    rr

    == , ali nije eksplicitna funkcija vremena.

    Koristei (1.12) (1.14) lako se pokazuje invarijantnost Newtonovih postulata, tj.jednadbi gibanja estica (1.20), pri Galilejevim transformacijama.

    Kako Galilejeva grupa ima 10 parameta, prema Noether teoremu (dokaz u odjeljku 2.)oekujemo da e izolirani fizikalni sustav imati 10 ouvanih veliina! Ouvane veliine sunaravno: energija, ukupni impuls, ukupni moment impulsa (angularni moment) i zakongibanja centra mase.

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    11/183

    11

    1.4 Zakoni ouvanja

    Direktna posljedica II Newtonovog zakona (ili I zakon) je zakon ouvanja impulsa.

    Definirajmo rad, snagu i kinetiku energiju.

    Iz (1.22) i II Newtonovog zakona odmah slijedi:

    Definicija: Rad W, snaga P i kinetika energija T

    Element rada dW sile )t,r,r(F &rrr

    pri pomaku estice dtrrd &rr

    = je:

    dW = )rd,F(FdrcosrdFrrrr

    =

    Pri pomaku estice iz toke 1rr

    u toku 2rr

    du krivulje C rad sile Fr

    je:

    W( C,r,r 21rr

    ) = ==2

    1

    2

    1

    2

    1

    t

    t

    r

    r

    r

    C,r

    dtrFrdFdW &rrrr

    r

    r

    r

    r

    . (1.22)

    Snaga P je rad u jedinici vremena, tj:P(t) = rF

    dtdW &rr= . (1.23)

    Kinetika energija T estice je:

    T(t) = 22

    rm21

    m2)t(p &r

    r

    = . (1.24)

    Kinetika energija sustava estica je zbroj kinetikih energija svake pojedineestice.

    Teorem o radu i kinetikoj energiji:

    Rad ukupne sile na esticu jednak je promjeni njene kinetike energije. Zaista,

    W( C,r,r 21rr

    ) = 12

    t

    t

    2t

    t

    t

    t

    uk TTr

    2

    m

    dt

    ddtdtrrmdtrF

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    =

    == &r&r&&r&r

    r. (1.25)

    Zakon ouvanja impulsa estice:

    Ako je ukupna sila na esticu jednaka nuli, impuls estice je ouvana veliina.

    .constp0F ==rr

    (1.21)

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    12/183

    12

    Specijalno vana klasa sila koje ne zavise od vremena, niti od brzina estica, ve samo odpoloaja estica, su konzervativne sile. Najvanije sile u klasinoj mehanici upravo sukonzervativne sile. Ako su sve sile koje djeluju na estice nekog fizikalnog sustavakonzervativne kaemo da je taj sustav konzervativan. Za konzervativne sustave vai zakonouvanja energije.

    Napomena: Potencijal je potencijalna energija po estici. Potencijalna energija zavisi odpoloaja para estica, a potencijal je funkcija poloaja samo jedne estice. Npr. gravitacijskapotencijalna energija estica m1 i m2 je:

    U 21

    21

    12

    21

    21 rr

    mm

    Gr

    mm

    G)r,r( rr

    rr

    == , (1.28)

    a, gravitacijski potencijal V( 1rr

    ) estice 1 u gravitacijskom polju estice 2 je U( 21 r,rrr

    )

    promatran kao funkcija samo od 1rr

    , tako da je gravitacijska sila na esticu 1:

    )r,r(U)r(VF 211112rrrr

    == .

    Zbog antisimetrinosti vektora relativnog poloaja estica 12rr

    , je naravno:

    12212221 F)r,r(U)r(VFrrrrr

    === .

    Iz (1.25) i (1.27) odmah slijedi:

    Definicija: Konzervativne sile

    Slijedei iskazi su meusobno ekvivalentni:

    1. Sila )r(Frr

    je konzervativna.

    2. 0)r(F)r(Frot ==rrrr

    .

    3. Konzervativna sila )r(Frr

    je negativni gradijent skalarnog polja )r(Vr

    koje se

    naziva potencijal, tako da je:

    ==r

    r0

    rd)r(F)r(V)r(V)r(F

    r

    r

    rrrrrrr. (1.26)

    Ovaj iskaz se najee navodi kao definicija konzervativne sile.Potencijal je definiran do na proizvoljnu aditivnu konstantu odabir toke 0r

    r.

    4. Rad konzervativne sile ne zavisi od puta, ve samo od poetnog i krajnjegpoloaja:

    W( C,r,r 21rr

    ) = W( 21 r,r

    rr

    ) = [ ] =2

    1

    r

    r12 )r(V)r(Vrd)r(V

    r

    r

    rrrr

    . (1.27)

    5. Diferencijal rada konzervativne sile dW = rd)r(Frrr

    je totalni diferencijal.

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    13/183

    13

    U sluaju rotacionog gibanja vane su angularne (kutne) veliine.

    Iz (1.32) odmah slijedi zakon ouvanja angularnog momenta.

    Moment sile na esticu je nula ako je sila nula ili ako je sila centralna. Sila je centralna ako jeparalelna (antiparalelna) radijus vektoru estice. Angularni moment estice na koju djelujecentralna sila je ouvan.

    Najvanije sile u klasinoj fizici su centralne konzervativne sile gravitacijska ielektrina sila na primjer. Za takve sile je:

    0)r(VrFr ==rrrr

    .

    U sfernim koordinatama je: rerr =r

    i

    V

    rsin

    e

    V

    r

    e

    r

    VeV r

    ++

    = , pa zadnja jednadba

    daje: 0

    V

    V=

    =

    , to znai da potencijal konzervativne centralne sile zavisi samo od

    intenziteta radijus vektora: V = V(r) . Za takav potencijal kaemo da je rotaciono invarijantanili da je sferno simetrian.

    Zakon ouvanja energije za esticu:

    Ako na esticu djeluju samo konzervativne sile, energija estice je ouvana veliina:

    E = T + U = const. (1.29)

    Definicija: Moment impulsa (angularni moment) lr

    i moment sile Mr

    Moment impulsa estice je: )t(p(t)r(t)rrr

    =l . (1.30)

    Moment sile Fr

    je: FrM

    rrr

    = . (1.31)

    Mnoei slijeva s radijus vektorom, II Newtonov zakon daje:

    dt

    (t)d)t(M

    lr

    r= . (1.32)

    Zakon ouvanja momenta impulsa estice:

    Ako je moment ukupne sile na esticu jednak nuli, moment impulsa estice jeouvana veliina.

    const.0M == lrr

    (1.33)

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    14/183

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    15/183

    15

    =i

    ii 0rmr

    i =

    =

    i iiiii 0rmdt

    drm

    r&r ,

    pa je impuls sustava estica:

    ( ) =+==i i

    CiCiii rMrrmrmP&r&r&r&rr .

    Koristei (1.36) i (1.37), kinetika energija sustava je:

    T = ( ) +=+=+=i i i

    C2

    ii2

    C

    2

    iCi2

    ii TTrm2

    1rM

    2

    1rrm

    2

    1rm

    2

    1 &r&r&r&r&r , (1.38)

    a, angularni moment je:

    ( ) ( ) +=+=++= i CiiiCCi iCiCi LLrrmrrMrrrrmLrr

    &rr&rr&r&rrrr

    . (1.39)

    Relacija (1.38) pokazuju da je kinetika energija sustava estica zbroj kinetike energijeTC centra mase i kinetike energije T za gibanje u odnosu na centar mase. Analogan rezultatza angularni moment sustava estica je relacija (1.39).

    Ako zbrojimo jednadbe gibanja (1.20) svih estica sustava dobijamo:

    ( ) =++===j,i i

    .ext.extijiij

    iii

    ii FFFF2

    1rmpP

    rrrr&&r&r&

    r(1.40)

    to znai da impuls cijelog sustava zavisi samo od spoljanjih sila i vai zakon ouvanjaimpulsa:

    Prema (1.35) impuls sustava je:

    CrMP&r

    r= , pa slijedi: C

    .ext rMF &&rr

    = , (1.42)

    to znai da se centar mase giba kao da je cijela masa sustava skoncentrirana u njemu i kao da

    sve spoljanje sile djeluju direktno na centar mase. Ako je sustav izoliran, 0rC =&&r

    , te se centar

    mase sustava estica giba konstantnom brzinom .constrC =&r

    Iz (1.42) odmah slijedi:

    Zakon ouvanja impulsa Pr

    sustava estica:

    Ako je ukupna spoljanja sila na sustav estica nula, impuls Pr

    fizikalnog sustava jeouvana veliina.

    .constP0F .ext ==rr

    (1.41)

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    16/183

    16

    Angularni moment fizikalnog sustava je zbroj angularnih momenata pojedinih estica, tj.

    ==i

    iiii

    i rrmL&rr

    rrl . (1.44)

    Ukupni moment unutarnjih centralnih sila je nula, jer je za njih ijFr ijrr , pa je:

    ( ) 0Frr21

    Fr ijj,i

    jii j

    iji == rrrrr

    ,

    te je ukupni moment sile na sustav estica jednak ukupnom momentu spoljanjih sila i prema(1.20) i (1.44) je:

    ===i i

    iii.ext

    ii dt

    LdrmrFrM

    r

    &&rrrrr

    . (1.45)

    Iz (1.45) odmah slijedi:

    Pomnoimo li jednadbu gibanja i-te estice (1.20) njenom brzinom ir&r i zbrojimo po svim

    esticama za konzervativni fizikalni sustav dobijamo:

    Zakon gibanja centra mase sustava estica:

    Centar mase izoliranog sustava ( 0F .ext =r

    ) giba se tako da je

    .constPtrM C =rr

    (1.43)

    ouvana veliina.

    Zakon ouvanja momenta impulsa Lr

    sustava estica:

    Ako je ukupni moment spoljanjih sila koje djeluju na sustav estica nula (i ako su

    sve unutarnje sile centralne) ukupni moment impulsa Lr

    fizikalnog sustava jeouvana veliina.

    .constL0M ==rr

    (1.46)

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    17/183

    17

    ( ) ( )

    ,dt

    dUU

    dt

    dU

    2

    1

    dt

    d

    )r(UrrUr21

    FrFrr21

    rm21

    dtd

    dtdT

    i

    .exti

    j,iij

    ii

    .extiii

    j,iijijijij

    j,i i

    .extiiijji

    i

    2ii

    =

    =

    ==+=

    =

    r&rr&r

    r&r

    r&r&r&r

    gdje je ukupna potencijalna energija sustava estica zbroj potencijalne energije unutarnjih ispoljanjih konzervativnih sila:

    U = +j.i i

    .extiijij U)r(U2

    1. (1.47)

    Gornji izraz odmah daje:

    Konano moemo zakljuiti da se svaki izolirani konzervativni fizikalni sustav giba takoda postoji 10 ouvanih veliina:

    Zakon ouvanja energije E sustava estica:

    Energija konzervativnog fizikalnog sustava je ouvana veliina.

    E = T + U = const. (1.48)

    Zakoni ouvanja za izolirani konzervativni fizikalni sustav:

    .constP =r

    ouvanje impulsa sustava, (1.41)

    .constPtrM C =rr

    gibanje centra mase, (1.43)

    .constL =r

    ouvanje angularnog momenta, (1.46)

    E = T + U = const. ouvanje energije. (1.48)

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    18/183

    18

    1.5 Neinercijalni referentni sustavi

    Newtonovi zakoni vae u bilo kojem inercijalnom referentnom sustavu. Razliitiinercijalni referentni sustavi gibaju se bez akceleracije, znai konstantnom brzinom, jedan uodnosu na drugi. Klasini princip relativnosti zahtijeva da fizikalni zakoni ostaju invarijantni

    pri promjeni inercijalnog referentnog sustava, to vodi na invarijantnost zakona mehanike priGalilejevim transformacijama (1.10) kojima se u klasinoj fizici prelazi iz jednog u drugiinercijalni referentni sustav.

    No, nisu svi referentni sustavi inercijalni. ta e se dogoditi ako neki promatra odabereneinercijalni referentni sustav, tj. precizno, kako izgledaju jednadbe gibanja fizikalnogsustava u neinercijalnom referentnom sustavu?

    Neka imamo jedan inercijalni referentni sustav S i jedan neinercijalni (ubrzani) sustav S.U opem sluaju ubrzano gibanje sustava S u odnosu na S sastoji se od rotacije i translacije.Rotacija neinercijalnog sustava S je rotacija oko neke osi koja prolazi kroz njegovo ishoditeO , a translatorno gibanje sustava S u odnosu na S moe se opisati kao promjena vektora

    )t(r0r

    koji spaja ishodita, kao na Slici 2.

    Slika 2.

    Razmotrimo prvo sluaj iste rotacije sustava S u odnosu na sustav S. Jednostavnostiradi, a bez gubitka openitosti moemo pretpostaviti da su ishodita dva sustava u istoj toci,tj. da je )t(r0

    r= 0 , te kasnije dodati translaciju ishodita.

    Kao to smo ve vidjeli u 1.1 dva koordinatna sustava S:{ 321 e,e,e } i S:{ e,e,e 321 }

    koji rotiraju jedan u odnosu na drugi povezuje vremenski zavisna (33) ortogonalna matricarotacije R(t) koja zadovoljava relacije (1.7) i (1.8). Deriviranjem po vremenu iz (1.8) slijedi:

    0RRRR TT =+ && ,

    to znai da je matrica = RRT & realna antisimetrina (33) matrica te se moe predstaviti uobliku:

    )t(wr

    Sustav S)t(r

    r )t(r

    r

    O)t(r0r

    O Sustav S

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    19/183

    19

    ,

    0ww

    w0w

    ww0

    RR

    12

    13

    23

    T

    == & (1.49)

    tj.

    =

    = 31i

    iiijkjk Rw,w . (1.49)

    gdje je ijk potpuno antisimetrini tenzor treeg reda. Mnoei s ljk lako se invertira relacija(1.49):

    =

    =3

    1k,jjkijki 2

    1w . (1.50)

    Pokaimo da je =i

    iiwewr

    vektor trenutne kutne brzine rotacije sustava S u odnosu na

    sustav S.elimo nai relacije koje povezuju vremenske promjene fizikalnih veliina u dva

    koordinatna (referentna) sustava. Pri tome nas ne zanima totalna derivacija po vremenu (1.4),ve samo vremenska promjena komponenti vektora koju bi izmjerili promatrai u dva sustava(bez uzimanja u obzir promjene bazisnih vektora sustava). Da istaknemo razliku u odnosu na

    uobiajenu potpunu vremensku derivacijudt

    d, takvu vremensku derivaciju oznaimo sa D , tj.

    definiramo:

    ==i

    iii

    ii rerD;rerD &r

    &r

    , (1.51)

    gdje su ri i ri komponente radijus vektora proizvoljne toke u dva sustava.

    Prema (1.7) i (1.9) je

    ( )

    ,rwrDrwerDrerD

    rRRererRrRererD

    j,i,kjikijk

    j,kjkjk

    j,i j j,i,kjijki

    Tkjjjijjiji

    iii

    rrrrr

    &&&&&r

    ==+=

    =+=+==

    tj. vrijedi:

    Coriolisov teorem

    Vremenska derivacija proizvoljnog vektora rr

    u sustavu S koji rotira trenutnomkutnom brzinom w

    ru odnosu na inercijalni sustav S je:

    rwrDrDrrrr

    = . (1.52)

    Posljedica: Vremenska derivacija trenutne kutne brzine rotacije ne zavisi odreferentnog sustava, tj.

    wDwD rr = . (1.53)

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    20/183

    20

    Znaenje Coriolisovog teorema postaje oigledno ako za rr

    odaberemo konstantni vektor usustavu S tj. uzmemo:

    rwrD0rDrrrr

    == . (1.54)

    U inercijalnom sustavu S infinitezimalna promjena rr

    vektora rr

    za vrijeme t je:trwr =

    rrrto je vektor okomit i na w

    ri na r

    ri predstavlja rezultat rotacije vektora r

    roko

    pravca paralelnog s pravcem wr

    za kut tw r

    kao na Slici 3.,

    Slika 3.

    pa je jasno da je w

    r

    trenutna kutna brzina rotacije neinercijalnog sustava S.

    Lako je ukljuiti i translatorno gibanje sustava S jer je prema Slici 2. za proizvoljnu tokuu prostoru: )t(r)t(r)t(r 0

    rrr= .

    Kako je sustav S inercijalni u njemu vae Newtonovi zakoni, tj. jednadba gibanjaestice je:

    m FrD2rr

    = . (1.55)

    Coriolisov teorem (1.52) onda daje:

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ) .rDrwwrDw2rwDrD

    rDrwrDwrwrDD

    rDrwrDDrDrDrDmF

    022

    02

    02

    0222

    rrrrrrrrr

    rrrrrrrr

    rrrrrrrr

    ++++=

    =++++=

    =++=+==

    Iz ovog izraza lako je iitati kako glasi II Newtonov zakon u neinercijalnom sustavu S:

    wr

    rr

    rr

    = wt tsinrwtrDr ==rr

    rsin

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    21/183

    21

    Klasini princip relativnosti zahtijeva da II Newtonov zakon, tj. jednadba gibanja esticebude form-invarijantan (ima istu formu) u svim inercijalnim sustavima referencije. Prema

    (1.57) taj zahtjev je ekvivalentan uvjetima: 0FFFF LCFT ====rrrr

    , to je ispunjeno ako vrijedi:

    0w,0rD 02 ==

    rr. (1.58)

    Najopenitije rjeenje je:

    .constR,q,,R)t(R,qt)t(r0 ==+=rrrrr

    VV , (1.59)

    to znai da u opem sluaju, inercijalni sustav S moe samo biti zarotiran za fiksni kut i/ilise moe gibati konstantnom brzinom u odnosu na sustav S. Ako dodatno, sila F

    rne zavisi

    eksplicitno od vremena, vremensko ishodite sustava S moe se translirati u odnosu na sustavS.

    Tako se dobija najopenitiji oblik prostorno-vremenskih transformacija koje tvoreGalilejevu grupu:

    Jednadba gibanja estice u neinercijalnom referentnom sustavu:

    Neka su rr

    i rr

    radijus vektori estice u inercijalnom sustavu S i u neinercijalnomsustavu S koji se ubrzano giba u odnosu na S. Jednadbe gibanje estice u dvasustava su:

    m FrD2rr

    = (1.56)

    m LCFT2 FFFFFrD

    rrrrrr++++= , (1.57)

    gdje su dodatne inercijalne sile:

    02

    T rDmFrr

    = translaciona sila,

    ( )rwwmFF rrrr

    = centrifugalna sila,

    rDwm2FCrrr

    = Coriolisova sila i

    ( ) rwDmFLrrr

    = linearna sila.

    U jednadbi gibanja estice u neinercijalnom referentnom sustavu u opemsluaju pojavljuju se 4 vrste inercijalnih sila (pseudo sila) koje su rezultat odabiraubrzanog referentnog sustava, a ne interakcija s drugim esticama.

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    22/183

    22

    Newtonovi zakoni su form-invarijantni u svim inercijalnim referentnim sustavima, tj.kaemo da je Newtonova mehanika Galileo invarijantna.

    Najvanije sile u klasinoj fizici su gravitacijske, elektrine i elastine sile koje sukonzervativne centralne sile. Ako na esticu djeluju samo takve sile, prema (1.34), ukupnasila na esticu je negativni gradijent rotaciono (tj. sferno) simetrinog potencijala V(r) =

    ( )rVr

    :

    r

    r

    dr

    dVVF r

    rr

    == . (1.62)

    Druga vana klasa potencijala su homogeni potencijali (potencijalne energije).

    Za esticu na koju djeluje konzervativna centralna sila opisana homogenim potencijalom je:

    ( ) ( ) FrT2rrrmrrmdtd 2 rr&&rr&r&rr +=+= . (1.64)

    Usrednjavanje po vremenu za interval daje:

    [ ]

    =+= 0 dtT

    1

    T,FrT2)0(r)0(r)(r)(r

    m rr&rr&rr

    .

    Galilejeva grupa

    Najopenitije transformacije kojima se u klasinoj mehanici prelazi iz jednog udrugi inercijalni referentni sustav su:

    0iiiijii tttt,qtrRrr +=++= V , (1.60)

    gdje je:

    1Rdet;1RR;.constt,q,,R T0 ===rr

    V . (1.61)

    Ove transformacije tvore 10 parametarsku Lie grupu koju nazivamo Galilejevagrupa. Transformacije (1.10) ne ukljuuju rotacije ( R = 1 ) i predstavljaju specijalnisluaj takozvanih pravih (proper) Galilejevih transformacija.

    Definicija: Homogeni potencijal

    Homogeni potencijal je rotaciono invarijantni potencijal oblika

    V(r) = ( ) Rk,rrV k = rr . (1.63)

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    23/183

    23

    Ako je gibanje estice periodino s periodom , tj. ako je: )0(r)(r,)0(r)(r &r&rrr == , vai

    virijalni teorem:

    = Fr21

    Trr

    . (1.65)

    Za konzervativne centralne sile )r(VF =r

    , koje su odreene homogenim potencijalom(1.63) je:

    =

    =

    =

    VkrkdtrrdtFr0

    k

    0

    k rrrrr,

    pa vai:

    Napomena: Virijalni teorem vai i openitije, ne samo za periodino, ve i za bilo kakvoogranieno gibanje estice, tj. ako poloaj i brzina estice ostaju konani kad .

    Homogeni potencijali oblika (1.63) imaju jo jedno vano svojstvo. Oni su invarijantni nesamo pri rotacijama, ve i pri transformacijama skale (konformnim transformacijama).

    Virijalni teorem za homogeni potencijal

    Za esticu koja se giba pod djelovanjem centralnih sila koje su opisanih homogenimpotencijalom (1.63) je:

    = V2k

    T . (1.66)

    Konformne transformacije za homogene potencijale

    Jednadba gibanja estice na koje djeluje sila opisana homogenim potencijalom(1.63)

    rrk)r(Vdt

    rdm

    2k

    2

    2rr

    r== , (1.67)

    invarijantna je pri konformnim transformacijama (transformacijama skale) oblika:

    tt,rr 2k2

    rr

    . (1.68)

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    24/183

    24

    Kako je: )r(V)r(Vidt

    rd

    dt

    rd 1k2

    21k

    2

    2

    == rr

    , zaista vrijedi i: )r(Vdt

    rdm 2

    2

    =r

    .

    Ako su T i T odreeni vremenski intervali (periodi titraja, na primjer), a odgovarajueudaljenosti (npr. amplitude gibanja) R i R za dva tipa gibanja estice koji su povezanikonformnom transformacijom (1.68), onda vrijedi:

    k22k

    R

    R

    T

    Tr)r(V

    =

    =r

    . (1.69)

    Za gravitacijske i elektrine sile je: k = 1, pa odmah slijedi:

    32

    R

    R

    T

    T

    =

    , (1.70)

    to znai da je III Keplerov zakon direktna posljedica konformne invarijantnosti Newtonovogzakona gravitacije.

    Na kraju rezimirajmo kako se u Newtonovoj formulaciji mehanike rjeava problemgibanja fizikalnog sustava:

    Osnovni problem dinamike

    Neka imamo sustav estica masa mi(i = 1,2, ....,N). Ako znamo:

    sve sile koje djeluju na sustav, tj. znamo ukupnu silu ( )t,r,rFF iiii &rrrr

    = na i-tuesticu, i

    mehaniko stanje sustava u trenutku t = 0, tj. poetni poloaj0i

    rr

    i poetnu

    brzinu0i

    r&r

    svih estica sustava,

    onda rjeavanjem jednadbi gibanja sustava:

    ii Fpr

    &r = , (i = 1,2, ....,N),

    nalazimo mehaniko stanje sustava svakom trenutku, tj. znamo poloaj svake estice)t(ri

    ru bilo kojem trenutku t .

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    25/183

    25

    1.6Linearni harmoniki oscilatorKao primjer razmotrimo najvaniji sustav u teorijskoj fizici linearni harmoniki

    oscilator (LHO). Jednodimenzioni linearni harmoniki oscilator je estica mase m na kojudjeluje elastina sila Fel. = k x, gdje je k > 0 konstanta sile (konstanta opruge), a x jeelongacija estice, tj. udaljenost od stabilnog ravnotenog poloaja estice x = 0. Smjer takverestitucione sile uvijek je ka ravnotenom poloaju. Naravno, na esticu mogu djelovati idodatne sile, od kojih su najvanije: sila otpora proporcionalna brzini estice Ftr. = x& iprinudna vremenski zavisna sila. Najjednostavniju realizaciju predstavlja estica vezana zaidealnu oprugu konstante k.

    Elastina sila je konzervativna i elastina potencijalna energija estice je: U = 2xk2

    1, tako

    da je: xkidxdU

    UF .elrr

    === . Jednadba gibanja je: .tr.el FFxm +=&& , tj:

    .m

    k;

    m2

    :jegdje,0xx2x 20

    20 ===++ &&& (1.71)

    Razmotrimo prvo sluaj kad nema sile otpora = 0. Jednadba gibanja je:

    ,0xx 20 =+&& (1.72)

    gdje je svojstvena frekvencija oscilatora

    m

    k0 = . Obina linearna diferencijalna jednadba

    II reda s konstantnim koeficijentima (1.72), rjeava se smjenom x(t) = et, koja daje kvadratnu

    jednadbu: 202 + = 0 za parametar sa rjeenjem: 1,2 = 0i . Ope rjeenje jednadbe

    gibanja je:

    x(t) = ti2ti

    100 eCeC + ili x(t) = tsinAtcosA 0201 + , (1.73)

    gdje su C1,2 ili A1,2 neodreene konstante. Odabirom: A1 = Acos i A2 = Asin, operjeenje (1.73) moe se napisati u obliku prostog harmonikog titranja:

    x(t) = Acos ( )t0 + , (1.74)

    gdje je A amplituda (maksimalna elongacija), a poetna faza, koje se odreuju iz poetnihuvjeta:

    poetnog poloaja: x(t=0) = Acos i poetne brzine: x& (t=0) = Asin.

    Gibanje estice je periodino osciliranje oko ravnotenog poloaja kutnom frekvencijom 0 ,

    tj. period titraja je:

    km2

    2T0

    == . (1.75)

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    26/183

    26

    Ako na oscilator djeluje i nekonzervativna sila otpora Ftr. = x& , ope rjeenje

    jednadbe gibanja (1.71) je: x(t) = t2t

    121 eCeC + , gdje je: 20

    21,2 = . Gibanje

    ovakvog priguenog harmonikog oscilatora je aperiodino, tj. rjeenje je linearnakombinacija realnih opadajuih eksponencijalnih funkcija u sluaju jakog (> 0 ) i kritinog

    ( = 0 ) priguenja. Samo u sluaju slabog priguenja ( < 0 ) gibanje je kvazi-periodinotitranje:

    x(t) = ( )tcosAe t + , (1.76)

    sa eksponencijalno opadajuom amplitudom tAeA(t) = i kvazi-periodom:

    T =22

    0

    2

    2

    = . (1.77)

    Ako na oscilator djeluje jo i neka prinudna sila )t(fF .pr = ovisna o vremenujednadba gibanja je:

    )t(fxmxm2xm 20 =++ &&& , (1.78)

    to je nehomogena obina linearna diferencijalna jednadba II reda. Metod Greenove funkcijeje najjednostavniji nain rjeavanja svake nehomogene linearne diferencijalne jednadnadbe.Ope rjeenje (1.78) moe se napisati u obliku:

    x(t) = xh(t) + ( ) ( )tft,tGdt , (1.79)

    gdje je xh(t) ope rjeenje odgovarajue homogene jednadbe, a pomona Greenova funkcija( )t,tG daje partikularno rjeenje nehomogene jednadbe. Iz (1.79) i (1.78) lako se vidi da je

    Greenova funkcija rjeenje jednadbe:

    ( ) ( ) ( ) ( )ttt,tGmt,tGm2t,tGm 20 =++ &&& . (1.80)

    Fourierov transform omoguuje da se gornja jednadba transformira u algebarsku. Kako je:

    ( )( )

    =tti

    ed2

    1

    tt , definirajmo: ( ) ( )( )

    =tti

    egd2

    1

    t,tG , (1.81)

    to uvrtavanjem u (1.80) za Fourierov transform g() Greenove funkcije daje:

    ( )( )( )ii

    1

    2m

    1

    2i

    1

    2m

    1g 2

    02 +

    =

    = , 220 = , (1.82)

    pa je Greenova funkcija:

    ( ) =t,tG( )

    ( )( ) +

    ii edm21

    tti

    . (1.83)

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    27/183

    27

    Integral (1.83) rauna se kompleksnom -integracijom po zatvorenim konturama C i C saSlike 4. koristei Cauchyev teorem.

    Slika 4.

    Pri integraciji se mora voditi rauna o slijedeem:

    Podintegralna funkcija u (1.83) ima dva pola prvog reda za 220

    , a jedan pol

    drugog reda za 220 = u gornjoj kompleksnoj poluravnini ( Im = > 0 ).

    Za t t > 0 , za integraciju moramo odabrati zatvorenu konturu C, osiguravajui dadoprinos integralu sa polukrunice tei nuli u limesu kad radijus krunice R .Analogno, za t t < 0 biramo zatvorenu konturu C, to osigurava da je zadovoljenuvjet kauzalnosti:

    ( ) ttza0t,tG ,

    ( ) ( ) ( )[ ] 220tt ,ttsine

    m1

    t,tG == , (1.84)

    Jako priguenje: 220 < ,

    ( ) ( ) ( )[ ] 202tt ,ttshe

    m1

    t,tG == , (1.85)

    Kritino priguenje: 220 = ,

    ( ) ( )ttem

    ttt,tG = . (1.86)

    Im

    Ct > t

    Re

    Ct < t

    i i+

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    28/183

    28

    Dvodimenzioni linearni harmoniki oscilator je estica mase m na koju djeluje elastina

    sila: jkyikxrkF .el ==rr

    , gdje jednostavnosti radi uzimamo: kx = ky = k. Jednadba

    gibanja je:

    ( ) ykymxkxm

    .tj,rkrmdt

    d

    =

    =

    = &&

    &&r&r

    ,

    sa rjeenjem:

    ( ) ( )

    ( ) ( )20

    10

    tcosBty

    tcosAtx

    +=+=

    . (1.87)

    Konstante A, B, 1 , 2 odreuje se iz poetnih uvjeta. Eksplicitna jednadba putanje dobija seeliminacijom vremena. Uvodei novu konstantu = 12 lako se dobija:

    sinAx

    1cosxAB

    y21

    2

    2

    = .

    Kvadriranjem dobijemo kvadratnu funkciju dviju varijabli:

    sinBAyAxycosAB2xB 2222222 =+ , (1.88)

    koja predstavlja jednadbu konusnih presjeka: elipse, parabole i hiperbole. Iz (1.87) jeoigledno da su obe koordinate ograniene: By,Ax , to znai da je putanja

    dvodimenzionalnog harmonikog oscilatora:

    Krunica za A = B i = 2

    ,

    Segment pravca za = 0, i proizvoljno A i B,

    Elipsa za sve ostale vrijednosti , A i B.

    Razmotrimo na kraju i trodimenzionalni sluaj.

    Izotropni linearni harmoniki oscillator je estica mase mna koju djeluje sila:

    r.el erkrkF ==rr

    . (1.89)

    Izvor sile je u ishoditu koje je ravnoteni poloaj estice. Za t = 0 poetni poloaj i poetnabrzina estice neka su: 0r

    ri 0vr

    .

    Prema II Newtonovom zakonu u poetnom trenutku je i ubrzanje estice kolinearno s 0rr

    , pa

    estica uvijek ostaje u poetnoj ravnini odreenoj s 0rr

    i 0vr

    (ako su kojim sluajem 0rr

    i 0vr

    kolinearni gibanje je jednodimenziono du pravca odreenog tim vektorima).

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    29/183

    29

    Da je gibanje izotropnog linearnog harmonikog oscilatora u dvije dimenzije u poetnojravnini, moe se vidjeti i na slijedei nain.

    Sila je konzervativna i centralna (uvijek usmjerena k ishoditu), tj. moe se izvjesti izpotencijala koji zavisi samo od r :

    2rk21

    )r(U:jegdje,)r(UF ==r

    . (1.90)

    pa vae zakoni o ouvanja energije i angularnog momenta, tj:

    ( ) ( ) 0rrk2

    1rrkm

    2

    1rrk

    2

    1rrm

    2

    1rk

    2

    1rm

    2

    1

    dt

    dUT

    dt

    d

    dt

    dE 22 =+=+=

    +=+= &rr&rr&rr&&r&rr&r ,

    ( ) ( ) 000 pr.constpr0rkrdt

    pd

    rprdt

    d

    dt

    dll

    l rrrrrrrrr

    rrrr

    ======== ,

    to znai da su vektori vmrmpirr&rrr == uvijek okomiti na konstantni vector 0l

    r, tj. r

    ri vr

    su

    uvijek u ravnini okomitoj na 0lr

    .

    Odaberimo referentni sustav tako da je angularni moment du z-osi, pa je gibanje u xy-

    ravnini (2

    = u sfernim koordinatama):

    l0 = lz = mr2 dtd dtd = 20

    rm

    l

    , (1.91)

    to se lako pokazuje polazei od lz = m(xvy yvx).

    Ukupna energija oscilatora je onda:

    ( ) 0.constrk21

    rm2rm

    21

    rk21

    rrm21

    UTE 22

    2022222 =++=++=+=

    l&&& . (1.92)

    Za svaku pozitivnu vrijednost energije, udaljenost r od ishodita je konana, to znai da naputanji mora postojati toka povrata (turning point) .povr

    rgdje je radijalna komponenta brzine

    nula 0r .pov =& , tako da je energija oscilatora:

    2.pov2

    .pov

    20 rk

    21

    rm2E +=

    l. (1.93)

    Bez gubitka openitosti moemo uzeti da je oscilator u poetnom trenutku u toci povrata, tj.da je .pov0 rr

    rr= (to je ustvari odabir pravca x-osi koordinatnog sustava).

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    30/183

    30

    Zakon ouvanja energije (1.92) za radijalnu komponentu brzine daje diferencijalnu jednadbuprvog reda:

    2

    1

    220

    22

    20 rrmm

    E2

    dt

    dr

    =

    l,

    gdje je svojstvena frekvencija oscilatora: 02

    m

    k= . Separacijom varijabli i integracijom od t =

    0 do nekog trenutka t je:

    t =

    )t(r

    r

    2

    1

    22022

    20

    0

    rrmm

    E2dr

    l. (1.94)

    Smjenom x = r2 gornji integral se svodi na kanonski oblik:

    ++ 2cxbxadx

    , gdje je: c = 20 i 0rk21

    mr2ac4b

    2

    202

    0

    202

    ==

    l,

    to daje:

    ( )

    =

    2120

    20

    2

    20

    0

    2

    1

    22

    02

    20

    lE

    Exmarcsin

    2

    1x

    m

    lx

    m

    2Edx

    2

    1.

    Koristei gornji izraz dobijemo rjeenje jednadbe gibanja oscilatora:

    ( )[ ]1arcsin

    rmE

    Etrmarcsint2 2

    02

    0

    220

    0

    = ,

    i kako je arcsin[1] =2

    , parametarska jednadba putanje oscilatora u (r,) ravnini je:

    r(t) =2

    1

    02

    020

    20

    tcos2rm

    E

    m

    E

    . (1.95)

    Period oscilatora je T =k

    m

    0

    = , a putanja je elipsa ije karakteristike zavise od ouvanih

    veliina E i 0lr

    . Ako je npr. -komponenta brzine jednaka svojstvenoj frekvenciji oscilatora,

    tj. 2000 rm=l , iz izraza za energiju i putanju dobijamo:

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    31/183

    31

    r(t) = 02

    1

    20

    02

    1

    20

    rmm

    E=

    =

    l,

    to znai da je putanja krunica radijusa 2

    1

    20m

    E

    .

    Ako je 2000 rm>l , onda je2

    020

    rm

    E> , to znai da r(t) oscilira izmeu:

    0min rr = za t =0

    n ,

    i

    2

    1

    2020

    max rm E2r

    = za t =

    021n .

    Da se dobije jednadba putanje u Kartezijevim koordinatama prvo iz (1.91), (1.92) i(1.93) treba pokazati da je:

    += 2

    0

    202

    020

    1r

    2

    1

    m

    E &, (1.96)

    te iz jednadbe putanje u polarnim koordinatama (1.95) dobiti:

    tcosttg

    1r)t(r 0

    20

    22

    0

    202

    02

    +=

    &. (1.97)

    Iz (1.91) i (1.95) diferencijalna jednadba za azimutalni kut je:

    d = dtt2cosr

    m

    E

    m

    E

    1

    m0

    202

    02

    0

    0

    l,

    to zbog (1.96) daje:

    d =xcos1

    dxE2

    00

    l,

    gdje je:E

    rm1

    20

    20= i t2x 0= .

    Koristei tablini integral:

    +=+ 2xtgba baarctgba

    2xcosba dx 22 , dobijamo:

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    32/183

    32

    (t) 0=

    +

    2x

    tg1

    1arctg

    1E

    2

    00l ,

    gdje je:

    E

    rm21

    20

    20=+ ;

    E

    rm1

    20

    20= ; 00

    2 1E l= ,

    te:

    tg[(t) 0] = ttg

    00

    0& . (1.98)

    Kako jer: xtg1

    1

    xcosixtg1

    xtg

    xsin 22

    2

    22

    +=+= , iz (1.97) i (1.98) slijedi:

    cos2[(t) 0] =)t(r

    tcosr

    ttg

    1

    12

    022

    0

    02

    20

    20

    =+

    &

    sin2[(t) 0] =

    )t(r

    tsinr

    ttg1

    ttg

    22

    0

    022

    02

    0

    0220

    2

    0

    02

    20

    20

    &

    &

    &

    =

    +

    ,

    to daje:

    20

    2

    r

    )t(rcos2[(t) 0] = tcos 0

    2 (1.99)

    20

    2

    0

    2

    0

    2

    r

    )t(r&

    sin2[(t) 0] = tsin 02 . (1.100)

    Zadnje dvije relacije daju jednadbu putanje izotropnog linearnog harmonikog oscilatora uKartezijevim koordinatama:

    20

    2

    r

    )t(x+

    20

    20

    20

    2

    r

    )t(y&

    =1, (1.101)

    to predstavlja jednadbu elipse ija je velika poluos:

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    33/183

    33

    a = ( )

    +=+

    0

    00minmax

    1

    2

    rrr

    2

    1 &,

    a ekscentricitet:

    e =00

    00

    minmax

    minmax

    rr

    rr+

    =+

    &

    &.

    Fundamentalni znaaj linearnog harmonikog oscilatora za sva grane fizike posljedica jeteorema koji kae da je gibanje bilo kojeg fizikalnog sustava u okolici poloaja stabilneravnotee ekvivalentno gibanju ansambla neovisnih linearnih harmonikih oscilatora. Teorememo razmatrati u poglavlju o malim oscilacijama.

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    34/183

    34

    2. Lagrangeov formalizam

    Newtonova formulacija mehanike zahtijeva poznavanje svih sila koje djeluju na fizikalnisustav. Za sustave ija dinamika je ograniena vezama (constraints) to esto nije lako. Tipianprimjer je gibanje po nekoj podlozi znamo da na esticu (tijelo) mora djelovati sila reakcije

    (otpor podloge) koja osigurava da estica ostaje u kontanktu s podlogom, ali ne znamonapisati izraz za tu silu kao funkciju poloaja i brzina estica. U drugoj polovici XVII stoljeau radovima dAlemberta i Lagrangea nastala je nova, openitija formulacija mehanikespecijalno prilagoenja rjeavanju problema gibanja sustava s vezama. Temelj noveformulacije su Lagrangeove jednadbe gibanja koje se formuliraju u prikladno odabranomprostoru (konfiguracijski prostor) iji bazis ine generalizirane koordinate fizikalnog sustava.Lagrangeov formalizam omoguio je razvoj i drugih formulacija mehanike (Hamiltonovformalizam), znatno je olakao apstraktnu analizu problema gibanja fizikalnih sustava i uveou teorijsku fiziku novi standard analitikog formuliranja teorija koji vai i u modernoj fizici.

    2.1 Veze, sile reakcije, dAlembertov princip, Lagrangeove jednadbe

    Razmatramo fizikalni sustav N estica masa mi i radijus vektora irr

    , (i = 1,2,...,N) ije

    gibanje je ogranieno vezama.

    Veza (constraint) je bilo kakvo a priorno ogranienje poloaja i/ili brzine estica.

    Pojednostavljeno reeno ako je gibanje estice ogranieno bar jednom vezom, tada postojibar jedna toka u prostoru i/ili bar jedna vrijednost brzine koju estica nikako ne moe dostiitijekom gibanja. To znai da za svaku vezu na esticu mora djelovati neka sila, nazivamo jesilom reakcije R

    r, koja osigurava da estica tijekom gibanja ne narui vezu.

    U Newtonovoj formulaciji mehanike sile reakcije su problem, jer znamo kakav efekt tesile imaju na gibanje estica, ali ne znamo (prije nego rjeimo problem) kako sile reakcijezavise od poloaja i brzina estica. Za sustave ije je gibanje ogranieno vezama Newtonova

    jednadba gibanja za i-tu esticu:

    iiii RFrmrr

    &&r += , (2.1)

    gdje je ( )t,r,rFF ii &rrrr

    = ukupna aktivna sila na i-tu esticu, sadri nepoznati lan ukupnu silureakcije na i-tu esticu iR

    r. Da bi rjeili problem, prvo moramo iz poznavanja veza, tj. naina

    kako se sustav giba, odrediti sve sile reakcije iRr

    i tek onda moemo rjeavati Newtonovejednadbe gibanja. Lagrange je uspio reformulirati problem tako da se nepoznate sile reakcije

    iRr

    uope ne pojavljuju u jednadbama gibanja i stoga ih ne moramo ni odreivati.

    Precizno, Lagrange je naao rjeenje problema gibanja sustava s holonomnim vezama(plus eventualno i homogenim linearnim diferencijalnim vezama), to upravo i jesu fizikalnonajvaniji sluajavi. U najopenitijem sluaju gibanja sustava s proizvoljnim vezama,

    problem je toliko kompliciran da ne postoji ope rjeenje odvojeno se mora razmatrati svakipojedini problem.

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    35/183

    35

    Sve veze koje ukljuuju i brzine estica ili se ne mogu prikazati algebarskim jednadbama(nego nejednadbama, ili diferencijalnim ili integralnim jednadbama, na primjer) suneholonomne.

    Veze koje eksplicitno zavise od vremena nazivaju se reonomne. Stacionarne iliskleronomne veze ne zavise eksplicitno od vremena.

    Gibanje po podlozi je primjer holonomne veze.

    Primjer 1. Gibanje estice po sferi radijusa R.

    Ako za ishodite Kartezijevog koordinatnog sustava odaberemo centar sfere, tada koordinateestice zadovoljavaju:

    x2 + y2 + z2 R2 = 0,

    to je stacionarna holonomna veza. Od 3 Kartezijeve koordinate estice samo dvije sulinearno nezavisne i moemo odabrati bilo koje dvije. Odaberemo li kao nezavisne (x,y),

    jednadbu veze moemo napisati kao:

    z = 222 yxR + .

    Bez obzira koje dvije Kartezijeve koordinate odaberemo za nezavisne, sve tri se eksplicitnopojavljuju u jednadbi veze, tj. jednadba veze ograniava variranje svake Kartezijevekoordinate estice tijekom njenog gibanja po sferi, tj. Rz,Ry,Rx .No, ako umjesto Kartezijevog (x,y,z), za koordinate estice koristimo sferni koordinatnisustav (r,,) jednadba iste veze je:

    r R = 0.

    Jednadba veze fiksira vrijednost sferne koordinate r = R, dok uope ne utjee na moguevrijednosti dviju nezavisnih sfernih koordinata estice i .

    Definicija: Holonomne veze i broj stupnjeva slobode gibanja n

    Holonomnom vezom se naziva bilo koje ogranienje koje se moe prikazatijednadbom koja ukljuuje poloaje estica i vrijeme, ali ne i brzine estica. Ako jegibanje sustava N estica ogranieno sa k holonomnih veza, znai da postoji k

    jednadbi oblika:

    ( ) 0t,r,...,r,rf N21 =rrr

    l, l = 1,2,....,k. (2.2)

    Poloaj sustava N estica odreen je s 3N koordinata, ali kako meu njima postoji kjednadbi veza (2.2), samo 3N k komponenti radijus vektora estica su linearnonezavisne.

    Broj nezavisnih komponenti vektora poloaja estica sustava n naziva se brojstupnjeva slobode gibanja sustava, tj.

    n = 3N k. (2.3)

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    36/183

    36

    Primjer 2. Gibanje dviju estica spojenih krutim tapom po horizontalnoj podlozi.

    Odaberemo li horizontalnu podlogu za xy-ravninu, za koordinate estica kzjyixr iiii ++=r

    ,

    (i = 1,2) vae 3 stacionarne holonomne veze:

    z1 = 0; z2 = 0; (x1 x2)2 + (y1 y2)2 d2 = 0,

    gdje je d duljina tapa.Svih 6 Kartezijevih koordinata estica eksplicitno se pojavljuju u jednadbama veza.

    Meu tih 6 koordinata vae 3 relacije samo tri od 4 Kartezijeve koordinate (x1,x2,y1,y2) sunezavisne. Odaberemo li recimo (x1,x2,y2) kao nezavisne, onda jednadbe veza moemonapisati u obliku:

    z1 = 0; z2 = 0; ( )2

    212

    21 xxdyy += .

    No, opet imamo isti problem kako god napisali jednadbe veza u Kartezijevimkoordinatama i koje god 3 odabrali kao nezavisne, svih 6 koordinata dviju estica eksplicitnose pojavljuju u jednadbama veza, to znai da veze utjeu na variranje tih koordinata tijekomgibanja sustava.

    Ako odaberemo cilindrini koordinatni sustav (,,z) za koordinate esticakzer iii i +=

    r, (i = 1,2) i opet horizontalnu podlogu za xy-ravninu, jednadbe veza su:

    z1 = 0; z2 = 0; ( ) 0dcos22

    21212

    22

    1 =+ .

    Samo 3 od cilindrinih koordinata dviju estica (1,2,1,2) su nezavisne dok je etvrtaodreena zadnjom od gornjih relacija, ali i dalje se svih 6 cilindrinih koordinata dviju esticaeksplicitno pojavljuju u jednadbama veza.

    Ipak, i u ovom primjeru postoji (i to ne samo jedan) skup od 6 koordinata takav da se ujednadbama veza eksplicitno pojavljuju samo 3 od njih, dok ostale 3 potpuno slobodnovariraju tijekom gibanja sustava.

    Prvo, umjesto radijus vektora estica 21 r,rrr

    definirajmo nove varijable: r,rCrr

    radijus

    vektor centra mase Crr

    i vektor relativnog poloaja rr

    relacijama:

    2121

    2211C rrr;mm

    rmrmrrrr

    rrr =

    ++= . (2.4)

    Veza koja fiksira duljinu tapa u novim varijablama je jednostavno: drrr 21 ==rr

    .

    Jednostavnosti radi, bez gubitka openitosti, uzmimo da su mase estica jednake, tako da je:

    r21

    rr;r21

    rr C2C1rrrrrr

    =+= .

    kao na Slici 5.

    Zbog gornjih relacija jasno je da su poloaji estica jednoznano odreeni ako znamo r,rC rr .

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    37/183

    37

    Slika 5.

    Odaberimo sad za varijable r,rCrr

    cilindrine koordinate (C,C,z C) i (,,z) tako da je:

    kzer CCC C +=r

    i kzer +=r

    . Jednadbe triju holonomnih veza u ovim koordinatama su:

    zC = 0; z = 0; d = 0,

    tako da se 3 nezavisne koordinate sustava (C,C,) uope ne pojavljuju u jednadbama veza.Jasno je da smo za 3 nezavisne koordinate mogli odabrati i (xC,yC,), jer je poloaj sustava uxy-ravnini jednoznano odreen poloajem centra mase (centra tapa) i kutom tapa uodnosu na x-os.

    Za svaki sustav N estica na koji djeluje k holonomnih veza uvijek je mogue pronaitakav skup 3N k nezavisnih koordinata koje (uz poznavanje jednadbi veza) jednoznanoodreuju poloaj sustava, tj. poloaj svih estica sustava, a ne pojavljuju se eksplicitno u

    jednadbama veza, to znai da te koordinate potpuno slobodno variraju tijekom gibanjasustava. Takav skup n = 3N k veliina nazivamo generaliziranim koordinatama sustava.

    y

    m1

    CM

    1rr

    Crr

    rr

    m2

    2rr

    O x

    Defnicija: Generalizirane koordinate qj

    Generalizirane koordinate sustava N estica ije je gibanje ogranieno sa kholonomnih veza (2.2), je bilo koji skup od n = 3N k linearno nezavisnih veliinaqj, (j = 1,2,...,n), definiranih preko radijus vektora estica sustava:

    qj = qj t,r,...,r,r N21rrr , (2.5)

    koje jednoznano odreuju bilo koji mogui poloaj sustava i ije variranje nikakonije ogranieno jednadbama veza (2.2).

    Znai, poznavanje generaliziranih koordinata (q1,q2,...,qn), uz poznavanjejednadbi veza (2.2), ekvivalentno je poznavanju poloaja ir

    r, (i = 1,2,....,N) svih

    estica sustava,( )t,q,...,q,qrr n21ii rr = . (2.6)

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    38/183

    38

    Napomena: Generalizirane koordinate qj su realne funkcije vremena qj(t) i ne moraju bitikoordinate neke od estica sustava npr. u Primjeru 2. koordinate centra mase, niti morajubiti koordinate nekog opeg koordinatnog sustava (iako najee jesu) npr. preeni putestice, niti moraju imati dimenzije duljine npr. kut. Prednost generaliziranih koordinata jeto omoguavaju rjeavanje problema dinamike u prostoru ija je geometrija prilagoena

    fizikalnom sustavu ije se gibanje razmatra. n-dimenzionalni prostor ije su osi generaliziranekoordinate qj naziva se konfiguracijski prostor fizikalnog sustava. Zahtjev da veze neograniavaju varijaciju generaliziranih koordinata osigurava da svaka toka konfiguracijskogprostora odgovara jednom i samo jednom moguem poloaju (koji je u skladu s vezama)sustava. No, skup generaliziranih koordinata za neki fizikalni sustav nije jednoznano odreen za svaki sustav postoji ustvari beskonano mnogo razliitih skupova generaliziranihkoordinata. Pametan odabir generaliziranih koordinata daje jednostavnije jednadbe gibanja.

    Sve veze nisu holonomne. Najvaniji sluaj neholonomnih veza u mehanici je kotrljanjebez klizanja.

    Primjer 3. Kotrljanje diska radijusa R bez klizanja po horizontalnoj podlozi.

    Uvjet kotrljanja bez klizanja je ogranienje brzine toka O u kontaktu s mirujuompodlogom (Slika 6.) ne smije klizati, tj. mora imati trenutnu brzinu nula.

    Slika 6.

    Disk rotira oko trenutne horizontalne osi kroz toku O kutnom brzinom =dt

    d =& , pa je

    brzina centra masedtd

    RRdt

    dxxv CCC ==== & , gdje je kut rotacije diska. Ovo je

    diferencijalna jednadba neholonomne veze, koja se mnoei sa dt moe prikazati kaohomogena linearna relacija meu diferencijalima koordinata centra mase xC i kuta rotacije diska, tj.

    0RddxC = .

    Ovakve kotrljanje bez klizanja veze pripadaju klasi jednostavnih neholonomnih veza,tzv. homogenim linearnim diferencijalnim vezama, koje se mogu inkorporirati u Lagrangeovformalizam metodom mnoitelja veza (Lagrange multipliers).

    Cvr

    O x

    CM

    R

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    39/183

    39

    Mehaniko stanje sustava u jednom trenutku odreeno je poloajem i brzinom svih estica

    sustava { })t(r),t(r ii &rr

    , to u analitikoj mehanici znai poznavanje generaliziranih koordinata i

    generaliziranih brzina )t(q),t(q jj & . Generalizirane brzine su prema (2.6):

    t

    rq

    q

    rr i

    n

    1jj

    j

    ii

    +=

    =

    r&

    r&r , (2.8)

    odakle slijedi:

    j

    i

    j

    i

    q

    r

    q

    r

    &

    &rr

    =

    . (2.9)

    Ako nema trenja (sustave u kojima postoje sile trenja razmatrat emo kasnije), sile otporapodloge su okomite na podlogu. Takve sile reakcije nazivamo idealnim silama reakcije.Ukupna idealna sila reakcije iR

    rna i-tu esticu, koja osigurava valjanost svih holonomnih veza

    fl (2.2) tijekom gibanja sustava, je zbroj komponenti du pravaca lfi ,

    l

    l

    lfR i

    k

    1i =

    =

    r, l = 1,2,...,k, (2.10)

    gdje i oznaava gradijent po komponentama vektora irr

    . Rad takvih idealnih sila reakcije na

    svakom moguem infinitezimalnom pomaku sustava =

    N

    1i

    ii rdRrr

    je nula, jer su sile okomite na

    pomake. Razliku dva mogua pomaka sustava u istom vremenskom intervalu dt nazivamovirtualnim pomakom ir

    r , tj.:

    iii rdrdrrrr

    = ,

    to znai da je rad idealnih sila reakcije na bilo kojem virtualnom pomaku sustava nula:

    =

    =N

    1iii 0rRrr

    . (2.11)

    Tvrdnja (2.11) je osnova dAlembertova (ili dAlembert-Lagrangeova) principa koji jepostulat iz kojega se izvode Lagrangeove jednadbe.

    Definicija: Homogene linearne diferencijalne veze

    Ako je gibanje sustava N estica ogranieno sa k holonomnih veza (2.2) i jo i sar homogenih linearnih diferencijalnih veza, sve generalizirane koordinate qj nisuvie nezavisne jer meu njima postoji r neintegrabilnih diferencijalnih relacija:

    =

    ==+n

    1jstjsj .r,....,2,1s,0dtadqa (2.7)

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    40/183

    40

    Pretpostavimo li vaenje Newtonovih zakona, onda iz (2.1) i (2.11) direktno slijedi gornjiizraz, to je dokaz da iz Newtonove formulacije slijedi Lagrangeova.

    dAlembertov princip je pogodana polazna osnova za razmatranje gibanja sustava svezama jer je ekvivalentan Newtonovim zakonima, a ne sadri eksplicitno sile reakcija. Sve

    jednadbe koje slijede iz (2.12) nee zahtijevati poznavanje sila reakcije! Lagrangeovejednadbe gibanja slijede iz dAlembertova principa ako svaki lan u (2.12) prepiemopomou nezavisnih varijabli generaliziranih koordinata qj sustava.

    Generalizirana sila Qj pridruena generaliziranoj koordinati qj po definiciji je:

    =

    =

    N

    1i j

    iij q

    rFQ

    rr

    . (2.13)

    Za konzervativni sustav je ( )N21ii r,....,r,rUFrrrr

    = , pa su generalizirane sile konzervativne, tj.:

    jj q

    UQ

    = , (2.14)

    gdje je potencijalna energija sustava U = U(q1,q2,....,qn) . Openiti sluaj su potencijalne sile

    Qjp koje se deriviraju iz generalizirane potencijalne energije U

    ~koja zavisi i od poloaja qj i

    od brzina jq& prema:

    Qjp=

    jj q

    U~

    q

    U~

    dt

    d

    &

    . (2.15)

    Svaka generalizirana sila Qj uvijek se moe rastaviti na zbroj jedne potencijalne Qj p i jednenepotencijalne Qj* komponente:

    Qj = Qjp + Qj*. (2.16)

    Veliine Qj nazivaju se generaliziranim silama jer imaju dimenzije sile samo ako qj imadimenzije duljine, ali produkt Qj qj uvijek ima dimenzije rada.

    Virtualni pomak i-te estice je:

    =

    =n

    1j

    j

    j

    ii qq

    rr

    rr

    , (2.17)

    gdje je qj varijacija generalizirane koordinate qj.

    dAlembertov princip:

    Sustav N estica na koji djeluje k idealnih holonomnih veza (2.2) giba se tako davai:

    ( ) 0rFrm iN

    1iiii =

    =

    rr&&r . (2.12)

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    41/183

    41

    Koristei (2.13), (2.17) i (2.9), te

    j

    i

    j

    i

    j

    2i

    j

    ii q

    r

    q

    r

    dtd

    iq

    r

    dtd

    21

    q

    rr

    dtd

    =

    =

    &rr

    &

    &rrr

    ,

    dobija se:

    =

    =

    n

    1jj

    jjj 0Qq

    T

    q

    T

    dt

    dq

    &, (2.18)

    to, zbog (2,14) i zbog linearne nezavisnosti varijacija generaliziranih koordinata, za fizikalnonajvaniji sluaj konzervativnih sustava daje:

    Lagrangeove jednadbe (2.20) ine sustav n obinih diferencijalnih jednadbi II reda ijimrjeavanjem, uz 2n poetnih uvjeta

    00 jjqiq & , dobijamo poloaj sustava u svakom trenutku

    qj(t).

    Openitije, ako generalizirane sile imaju potencijalne i nepotencijalne komponente, prema(2.15) i (2.16), je:

    Lagrangeove jednadbe za konzervativne sustave

    Jednadbe gibanja konzervativnog sustava sa n stupnjeva slobode na koji djelujek idealnih holonomnih veza (2.2), opisanog Lagrangianom L:

    L = L ( )n21n21 q,...,q,q,q,...,q,q &&& = T U, (2.19)

    su:

    0qL

    qL

    dtd

    jj

    =

    &

    , j = 1,2,...,n. (2.20)

    Lagrangeove jednadbe

    Fizikalni sustav sa n stupnjeva slobode opisan Lagrangianom

    L = T U~

    = L ( )t,q,...,q,q,q,...,q,q n21n21 &&& , (2.21)

    gdje je T kinetika, a U~

    generalizirana potencijalna energija sustava, na koji djelujek idealnih holonomnih veza (2.2), giba se tako da vae Lagrangeove jednadbe:

    *QqL

    qL

    dtd

    jjj

    =

    &

    , j = 1,2,...,n. (2.22)

    Ako je sustav potencijalan na desnoj strani je Qj* = 0.

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    42/183

    42

    Primjer 4. Lorentzova sila

    Lorentzova sila na esticu naboja e u elektrinom ( )t,rErr

    i magnetskom ( )t,rBrr

    polju:

    BveEeFrrrr

    += , (2.23)

    je potencijalna sila koja zavisi od brzine estice rv &rr

    = i moe se derivirati iz generaliziranogpotencijala:

    ( ) ( ) ( )t,rAret,ret,r,rU~ rr

    &rr&rr = , (2.24)

    gdje su skalarni ( )t,rr

    i vektorski ( )t,rArr

    potencijali definirani relacijama:

    t

    AE

    =r

    r, AB

    rr= . (2.25)

    Uzimajui za generalizirane koordinate qj = rj Kartezijeve koordinate nabijene estice prema(2.15) i (2.24) je:

    Qjp = ( )

    ===

    =+=+3

    1mmjm

    3

    1mjmmjtj

    3

    1mmjmjjt AreAreAeeAreeAed &&&

    = e jtj A + e ( )=

    3

    1mjmmjm AAr& = e jE + e

    = =

    3

    1m

    3

    1nnjmnm Br& = e jE + e n

    3

    1n,mmjmn Br

    =

    & =

    = e ( ) jjj FBreE =+r

    &r u skladu sa (2.23).

    m

    mtt r;

    t;

    tdd

    d

    Znai, Lagrangian estice mase m i naboja e u spoljanjem elektromagnetskom polju je:

    ( ) ( ) ( )t,rAret,rerm2

    1U~

    Tt,r,rLL 2rr&rr&r&rr +=== , (2.26)

    gdje eksplicitna zavisnost Lagrangiana od vremena znai da sustav nije izoliran.

    U najopenitijem sluaju, ako je gibanje sustava N estica ogranieno sa k holonomnih(2.2) i r neholonomnih veza (2.7), jednadbe gibanja sustava su:

    *QaqL

    qL

    dtd

    j

    r

    1ssjs

    jj

    =

    =&

    , j = 1,2,...,n = 3N k,

    (2.27)

    =

    =+n

    1jstjsj 0aqa & , s = 1,2,...,r,

    gdje je L = T U~

    = L ( )t,q,...,q,q,q,...,q,q n21n21 &&& Lagrangian sustava, a s su mnoitelji veza.

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    43/183

    43

    Jednadbe (2.27) tvore sustav od n + r obinih diferencijalnih jednadbi II reda za ngeneraliziranih koordinata qj(t) i r nepoznatih mnoitelja veza s ( )t,q,...,q,q,q,...,q,q n21n21 &&& .

    Gornje jednadbe slijede iz poopenja izraza (2.18) za sluaj kad postoji i r neholomnihveza (2.7):

    = =

    =

    n

    1j

    r

    1ssjsj

    jjj 0aQq

    TqT

    dtd

    q&

    , (2.28)

    gdje je funkcija Lagrangeovih multiplikatora s da osiguraju da koeficijenti uz r zavisnihvarijacija generaliziranih koordinata qj budu nula.

    Primjer 5. Lagrangeovi multiplikatori

    Umjesto opeg dokaza, metod multiplikatora veza ilistrirajmo na jednostavnom primjeru.

    Neka imamo jednadbu:P(x,y,z) dx + Q(x,y,z) dy + R(x,y,z) dz = 0. (2.29)

    Ako su x, y i z nezavisne varijable jedino rjeenje je:

    P = 0 Q = 0 R = 0.

    Ali ako meu 3 varijable x, y, z postoji jedna diferencijalna veza oblika:

    A(x,y,z)dx + B(x,y,z)dy + C(x,y,z)dz = 0. (2.30)

    samo su dvije varijable, recimo x i y, linearno nezavisne. Za diferencijal dz iz jednadbe veze

    slijedi:dz = dy

    CB

    dxCA

    ,

    to zamjenom u polaznu jednadbu daje:

    0dyC

    RBQdx

    C

    RAP =

    +

    ,

    sa rjeenjem: 0C

    RBQ0

    CRA

    P == .

    U metodi mnoitelja veza, svaka veza se prvo pomnoi s neodreenim Lagrangeovimmultiplikatorom :

    A + B + C = 0

    i potom pridoda poetnoj jednadbi, to daje:

    ( ) ( ) ( ) 0dzCRdyBQdxAP =+++++ . (2.31)

    Lagrangeov multiplikator se odredi iz uvjeta da je koeficijent uz diferencijal zavisne varijablenula:

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    44/183

    44

    CR

    = ,

    to gornju jednadbu prevodi u jednadbu u kojoj se pojavljuju samo diferencijali nezavisnihvarijabli:

    ( ) ( ) 0dyBQdxAP =+++ ,

    sa rjeenjem:

    P + A = 0 Q + B = 0.

    Uvrtavanjem vrijednosti Lagrangeovog multiplikatora u ovo rjeenje opet dobijamo:

    0C

    RBQ0

    C

    RAP == .

    Uvoenjem mnoitelja veza promjenili smo originalnu jednadbu (2.29) u jednadbu kojasadri dodatne lanove (2.31) u kojoj su koeficijenti uz diferencijale svih varijabli, inezavisnih i zavisnih, nula. Uvjeti iezavanja koeficijanata uz diferencijale zavisnih varijabliupravo odreuju vrijednosti Lagrangeovih multiplikatora.

    Kao i u sluaju holonomnih veza, da bi se sustav gibao u skladu sa r neholonih veza tipa

    (2.7) moraju djelovati neke sile reakcije R ir

    . Ako zamislimo da su to aktivne sile koje djelujuna nain da gibanje sustava ostane nepromjenjeno, sve neholonomne veze bile bi eliminirane iumjesto (2.28) dobili bi:

    =

    =

    n

    1jjj

    jjj 0QQq

    TqT

    dtd

    q&

    , (2.32)

    gdje su Qj dodatne generalizirane sile koje osiguravaju vaenje neholonomnih veza. Poredei(2.28) i (2.32) vidimo da Lagrangeovi multiplikatori odreuju generalizirane sile ijedjelovanje osigurava vaenje neholonomnih veza (2.7), tj.

    Qj==

    r

    1ssjsa . (2.33)

    Primjer 6. Ekvivalentnost Lagrangeove i Newtonove formulacije mehanike.

    Ve smo vidjeli da iz II Newtonovog zakona u sluaju idealnih holonomnih veza slijedidAlembertov princip, pa onda i Lagrangeove jednadbe. Ako nema veza, pa prema tome nisila reakcije, iz Lagrangeovih jednadbi za sustav N estica slijede Newtonove jednadbe.Odaberemo li Kartezijeve koordinate estica za generalizirane koordinate, Lagrangian je:

    L = T U = ( )=

    N

    1iN21

    2i

    i t,r,...,r,rUr2

    m rrr&r , (2.34)

    pa je u vektorskoj notaciji:

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    45/183

    45

    iirirr rmLdtd

    ,FULiii

    &&rr

    & === ,

    i Lagrangeove jednadbe zaista daju:

    iiirr FrmLLdt

    dii

    r

    &&

    r& == .

    Primjer 7. Matematiko njihalo

    Kao primjer konzervativnog sustava sa idealnim holonomnim vezama razmotrimomatematiko njihalo esticu koja se giba po krunici u vertikalnoj ravnini Slika 7. Naesticu djeluje teina gravitacijska sila Zemlje i neka sila reakcije koja prisiljava esticu da

    ostane na vertikalnoj krunici radijusa R (napetost niti Tr

    , na primjer).

    Slika 7.

    Gibanje estice je ogranieno sa 2 idealne holonomne veze estica mora ostati uvertikalnoj z = 0 ravnini i na krunici radijusa R. Jednadbe veza su:

    z = 0 x2 + y2 = R2,

    pa matematiko njihalo ima jedan stupanj slobode n = 1. Za generaliziranu koordinatuodaberimo otklon njihala od ravnotenog poloaja . Gravitacijska sila na esticu je + mg j , te

    je potencijalna energija U(y) = mgy + C. Odaberimo konstantu C tako da U = 0 uravnotenom poloaju njihala, tj. U(y) = mgy mgR. estica ima samo -komponentu brzine,pa su kinetika i potencijalna energija izraene preko generalizirane koordinate :

    T = 22 mR2

    1 & U() = mgR(cos 1),

    i Lagrangian njihala je:

    L = L , & = ( )1cosmgRR2m 22 & . (2.35)

    x

    m

    y

    R

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    46/183

    46

    Lagrangeova jednadba (2.20) za matematiko njihalo je:

    0sinRg

    =+&& . (2.36)

    Mnoei sa &

    lako je integrirati (2.36) i dobiti:

    ( )CcosR

    g

    2

    1 2 +=& , (2.37)

    prvi integral jednadbe gibanja (2.36), to je naravno zakon ouvanja energije njihala:

    E = T + U = ( )cos1mgRR2m 22 +& = const. (2.38)

    Izrazi (2.37) i (2.38) su identini ako za konstantu integracije odaberemo: C = 1mgR

    E .

    Vrijednost konstante E (ili C) odreuju tip gibanja matematikog njihala:

    C > 1 E > 2mgR 2& > 0 konstantna rotacija,

    C = 1 E = 2mgR 2& 0 i & = 0 samo za = asimtotska rotacija,

    1 < C < 1 0 < E < 2mgR & = 0 za = arccosC titranje izmeu i + ,

    C = 1 E = 0 & = = 0 mirovanje u stabilnom ravnotenom poloaju,

    C < 1 E < 0 2& < 0 nefizikalni sluaj.

    Interesantan sluaj je oscilatorno gibanje za 0 < E < 2mgR.

    U aproksimaciji malih osilacija je 0, tj. sin i jednadba gibanja njihala postaje:

    0R

    g =+&& ,

    ista kao i za linearni harmoniki oscilator (1.72), sa rjeenjem:

    (t) = cos(t + ),

    gdje je kutna frekvencija: =R

    g, a period malih oscilacija njihala:

    T =g

    R2 . (2.39)

    Amplituda i poetna faza odreuju se iz poetnih uvjeta:

    0 = cos i 0& = sin.

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    47/183

    47

    Odaberemo li za konstantu C = cos, gdje je amplituda njihala, prvi integral jednadbegibanja (2.37) moe se napisati u obliku:

    2

    sin2

    sinRg

    2dtd 22 = ,

    to je diferencijalna jednadba I reda koja dozvoljava separaciju varijabli:

    2

    sin2

    sin

    2

    d

    dtRg

    22

    = ,

    sa rjeenjem:

    2sink,

    2

    sink

    2

    d

    tRg

    0 22

    =

    = , (2.40)

    gdje smo, bez gubitka openitosti, odabrali da je t = 0 kad je estica u ravnotenom poloaju.

    Smjenom varijabli:22uk1

    duk2

    d,duk

    2

    d

    2

    cos,uk

    2

    sin

    =

    =

    = , rjeenje jednadbe

    gibanja matematikog njihala postaje:

    ( )( ) =

    u

    0222 uk1u1

    dut

    R

    g. (2.41)

    Izraz na desnoj strani u (2.41) je dobro definirana funkcija gornje granice u, tj. kuta . Integralse naziva eliptini integral prve vrste i ne moe se izraziti pomou elementarnih funkcija, vesamo numeriki raunati postoje numerike tabele i kompjuterski programi.

    Fizikalno najinteresantniji karakteristika njihala je njegov period T. Ako njihalo krene iz

    ravnotenog poloaja = 0, u poloaj amplitude = dospije u trenutku t =4T

    , pa iz (2.41)

    za period njihala slijedi:

    ( )( ) =

    1

    0222 uk1u1

    dugR4T

    ili smjenom u = sinx :

    =

    2

    022 xsink1

    du

    g

    R4T . (2.42)

    Razvijelimo li podintegralnu funkciju u red: ( ) ( )

    ( )

    =

    +=

    1n

    n2n22

    122 xsink

    !!n2

    !!1n21xsink1 , i

    integriramo lan po lan, to je mogue jer red uniformno konvergira, koristei:

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    48/183

    48

    ( )( )

    =

    2

    0

    2n

    2

    !!n2!!1n2

    xsindx ,

    za period njihala konano dobijamo:

    T =( )

    ( )

    +

    =1n

    n2

    2

    k!!n2

    !!1n21

    g

    R2 =

    =

    +

    +

    +

    + ...2

    sin642531

    2

    sin4231

    2

    sin21

    1gR

    2 62

    42

    22

    .

    Period matematikog njihala ovisi o amplitudi . Samo prvi lan u gornjem redu jeneovisan od i isti je kao i u sluaju malih oscilacija. No, zavisnost je slaba (red brzo

    konvergira), jer je npr. ak i za = 3 , drugi lan u redu 161 -prvog, a trei 10249 -prvog, itd.

    Pogledajmo sad na jednom primjeru kako odabir generaliziranih koordinata utjee najednadbe gibanja sustava.

    Primjer 8. Cikloidno njihalo

    Sustav koji nazivamo cikloidno njihalo je estica koja se bez trenja giba po cikloidi u

    vertikalnoj ravnini jedina razlika u odnosu na matematiko njihalo je putanja estice,cikloida umjesto krunice. Cikloida je krivulja koju opisuje toka na rubu kotaa radijusa Rkoji se bez klizanja giba po horizontalnoj podlozi kao na Slici 8.

    Slika 8.

    y

    O x

    My

    O P Q x

    MCQ =

    R CN

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    49/183

    49

    Koordinate proizvoljne toke M, iji je poetni poloaj u ishoditu O, cikloide prema slici su:

    x = OP = OQ PQ = OQ Rsin ,

    y = PM = QC NC = R Rcos .

    gdje je kut rotacije kotaa.Uvjet kotrljanja bez klizanja zahtijeva: OQ = MQ = R , pa su parametarske jednadbe

    cikloide:

    x = R( sin ), y = R(1 cos). (2.43)

    Jasno je da za cikloidno njihalo trebamo obrnutu cikloidu po kojoj estica moe oscilirati.Jednadbe takve cikloide, najjednostavnije je nai ako jednadbe (2.43) prevedemo u xOykoordinatni sustav s centrom u poloaju stabilne ravnotee estice O. Smjenama:

    x = x R , y = y + 2R , = + ,

    dobijamo parametarske jednadbe cikloide:

    x = R( + sin ), y = R(1 cos ), (2.44)

    po kojoj se estica giba.

    Sustav ima jedan stupanj slobode gibanja i za generaliziranu koordinatu moemo odabratikut rotacije . Kako je iz (2.44):

    ( ) sinRy,cosRx &&&&& =+= ,

    kinetika energija estice je:

    T = 2m2

    cosR 222 & .

    Gravitacijska potencijalna energija estice u odnosu na poloaj stabilne ravnotee estice je:U = mgy = mgR(1 cos ), tj.

    U = 2mgR2

    sin2 ,

    pa je Lagrangian:

    L = L ( ), & = T U = 2m2

    cosR 222 & 2mgR

    2

    sin2 . (2.45)

    Jednadba gibanja cikloidnog njihalaL

    L

    dt

    d

    &

    = 0 je onda:

    02

    sinRg

    21

    2

    cos 2 =

    + &&& , (2.46)

    nelinearna diferencijalna jednadba II reda.

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    50/183

    50

    Ali, odaberemo li za generaliziranu koordinatu s elongaciju estice, tj. duljinu lukacikloide koja je preeni put estice mjeren od ravnotenog poloaja, iz izraza za kinetikuenergiju:

    T =2

    dt

    dsm

    2

    1

    = 2m2

    cosR 222 & ,

    slijedi: ds = 2R d2

    cos , pa se integracijom dobija veza nove i stare generalizirane

    koordinate:

    s = 4R2

    sin . (2.47)

    Lagrangian cikloidnog njihala kao funkcija nove koordinate s je jednostavna:

    L = L ( )s,s&

    = T U =

    22

    smgR8

    1

    sm2

    1

    &

    , (2.48)

    kvadratna funkcija generalizirane koordinate s i generalizirane brzine s& (kao jednodimenzioni

    LHO za koji je: L = 22 xk21

    xm21

    & ), koja daje jednadbu gibanja cikloidnog njihala:

    4R

    g,0ss 22 ==+&& . (2.49)

    Znai, gibanje cikloidnog njihala je prosto harmoniko titranje: s(t) = sm cos(t + ), saamplitudom sm , poetnom fazom i periodom:

    T =2

    = 4gR

    . (2.50)

    Cikloidno njihalo je izohrono period ne zavisi od amplitude njihala.

    Zamjena generaliziranih koordinata cikloidnog njihala s je primjer opeg svojstvaform-invarijantnosti Lagrangeovih jednadbi. Lagrangeove jednadbe vae u bilo kojemsustavu generaliziranih koordinata, tj. precizno:

    Invarijantnost Lagrangeovih jednadbi pri koordinatnim transformacijama

    Lagrangeove jednadbe su invarijantne pri proizvoljnoj transformacijigeneraliziranih kordinata: qj Qj(q,t) . Znai, ako vai:

    0qL

    qL

    dtd

    jj

    =

    &

    , j = 1,2,....,n, (2.51)

    vaie i Lagrangeove jednadbe za transformirani Lagrangian:

    L ( )t,,QQ & = L ( ) ( )[ ]t,t,,,t, QQqQq && . (2.52)

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    51/183

    51

    Zaista, kako je: =

    +

    =n

    1m

    jm

    m

    jj t

    qQ

    Q

    qq && , vai:

    m

    j

    m

    j

    Q

    q

    Q

    q&

    &

    =

    , pa je:

    j

    m

    m

    n

    1m j

    m

    mj Q

    q

    q

    L

    Q

    q

    q

    L

    Q

    L

    +

    =

    =

    &

    &

    ; ==

    =

    =

    n

    1m j

    m

    m

    n

    1m j

    m

    mj Q

    q

    q

    L

    Q

    q

    q

    L

    Q

    L

    &&

    &

    &&

    ,

    = =

    +

    =

    n

    1m

    n

    1m j

    m

    mj

    m

    mj Qq

    dtd

    qL

    Qq

    qL

    dtd

    QL

    dtd

    &&&.

    Lagrangeove jednadbe koje daje novi Lagrangian L (2.52) su onda:

    = =

    +

    =

    n

    1m

    n

    1m j

    m

    j

    m

    mj

    m

    mmjj Qq

    Qq

    dtd

    qL

    Qq

    qL

    qL

    dtd

    QL

    QL

    dtd &

    &&.

    Prvi lan na desnoj strani je nula po pretpostavci (2.51), a drugi je nula jer je:

    =

    +

    =

    =

    = j

    m

    j

    m2

    l

    n

    1l lj

    m2

    m

    jj

    m

    Qq

    dtd

    tQq

    QQQ

    qdtqd

    QQq && ,

    to znai da zaista vai:

    0Q

    L

    Q

    L

    dt

    d

    jj

    =

    &

    .

    Napomenimo na kraju kako se u Lagrangeov formalizam uvode sile trenja ili openitijesile otpora sredstva. Sile otpora sredstva su rezultat ogromnog broja kompliciranih, uglavnomelektromagnetskih interakcija, izmeu atoma (molekula) znai kvantno mehanikihinterakcija, materijalnih objekata u relativnom gibanju. Ukupna sila otpora zavisi od vrsteatoma, oblika i stanja povrine tijela, relativne brzine, itd. Zato se za silu otpora koristerazliiti aproksimativni, fenomenoloki izrazi prilagoeni tipu sustava koji se razmatraju.

    Sile otpora .trFr

    su najee nepotencijalne i koriste se Lagrangeove jednadbe (2.22). Na

    primjer u hidrodinamici je esto sila otpora proporcionalna brzini estice (Stokesov zakon), tj.

    kzjyixF zyxtr. &&&r

    = , gdje u opem sluaju koeficijent trenja moe zavisiti od pravcakoordinatne osi. Takva sila trenja moe se derivirati iz disipativne funkcije sustava F:

    F= ( )=

    ++N

    1i

    2iz

    2iy

    2ix zyx

    vvv2

    1, (2.53)

    kao:i.tr

    Fr

    = iv

    F.

    Ukupni rad protiv sila trenja je onda:

    dWtr. = ==

    == N1i

    i.trN

    1ii.tr dtvFrdF ii

    rrrr 2Fdt, (2.54)

  • 7/29/2019 Kasicna Mehanika

    52/183

    52

    to znai da disipativna funkcija predstavlja dvostruku snagu disipacije mehanike energijesustava uslijed sila trenja.

    Komponenta generalizirane sile Qj* uslijed sila trenja je prema (2.13) i (2.9):

    j

    N

    1i j

    iv

    N

    1i j

    iv

    N

    1i j

    i.trj qq

    r

    q

    r

    q

    r

    F*Q iii &&

    &rrrr

    =

    =

    =

    = ===F

    FF , (2.55)

    te Lagrangeove jednadbe umjesto (2.22) postaju:

    0qq

    L

    q

    L

    dt

    d

    jjj

    =

    +

    &&

    F, j = 1,2,....,n. (2.56)

    Ako djeluju sile trenja, da bi se dobile jednadbe gibanja, pored Lagrangiana L, trebapoznavati i disipativnu funkciju sustava F .

    2.2 Zakoni ouvanja

    U Lagrangeovoj formulaciji mehanike moe se pokazati veza izmeu prostorno-vremenskih simetrija fizikalnog sustava i zakona ouvanja. Povezanost simetrija Lagrangiana(ili Hamiltonijana) fizikalnog sustava i zakona ouvanja poznata je kao Noether teorem(Emmi Noether 1918.) i ima veliki znaaj u teoriji polja. Noether teorem u osnovi tvrdi da zasvaku grupu transformacija generaliziranih koordinata qj i brzina jq& koje ostavljaju

    invarijantnim Lagrangian sustava postoji ouvana fizikalna veliina. Razmotrimo osnovneprostorno-vremenske transformacije simetrije: vremenske translacije, prostorne translacije iprostorne rotacije. Klasini princip relativnosti zahtijeva da u bilo kojem IRS-u (u kome suprostor i vrijeme su homogeni i izotropni), ove transformacije koje su podgrupe Galilejevegrupe, budu transformacije simetrije svakog izoliranog fizikalnog sustava.

    Lagrangian izoliranog konzervativnog sustava N estica