Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial &...

24
Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomial Debrina Puspita Andriani www.debrina.lecture.ub.ac.id E-mail : [email protected] / [email protected] 6

Transcript of Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial &...

Page 1: Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomialdebrina.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/6-Distribusi-Diskrit-Binomial-Multinomial.pdf · Contoh Peluang cacat dan baik dari hasil

Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomial Debrina Puspita Andriani www.debrina.lecture.ub.ac.id E-mail : [email protected] / [email protected]

6

Page 2: Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomialdebrina.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/6-Distribusi-Diskrit-Binomial-Multinomial.pdf · Contoh Peluang cacat dan baik dari hasil

Outline

Distribusi Variabel Acak Diskrit

Distribusi Binomial

Distribusi Multinomial

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

2

Page 3: Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomialdebrina.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/6-Distribusi-Diskrit-Binomial-Multinomial.pdf · Contoh Peluang cacat dan baik dari hasil

Distribusi Probabilitas

Adalah sebuah susunan distribusi yang

mempermudah mengetahui probabilitas

sebuah peristiwa / merupakan hasil dari

setiap peluang peristiwa 3

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

Page 4: Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomialdebrina.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/6-Distribusi-Diskrit-Binomial-Multinomial.pdf · Contoh Peluang cacat dan baik dari hasil

Variabel Acak/Random

¡ Adalah variabel yang nilai-nilainya ditentukan

oleh kesempatan atau variabel yang dapat

bernilai numerik yang dapat didefinisikan dalam

suatu ruang sampel

¡ Misal: pelemparan sebuah dadu sebanyak 6 kali,

maka muncul angka 1 sebanyak 0,1,2,3,4,5, atau

6 kali merupakan kesempatan

4

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

Page 5: Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomialdebrina.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/6-Distribusi-Diskrit-Binomial-Multinomial.pdf · Contoh Peluang cacat dan baik dari hasil

Macam Variabel Acak/Random

Variabel Acak Diskrit

¡  Variabel random yang tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu.

¡  Nilainya merupakan bilangan bulat & asli, tidak berbentuk pecahan

¡  Contoh:

¡  Banyaknya pemunculan angka/gambar dalam pelemparan sebuah koin

¡  Jumlah anak dalam keluarga

Variabel Random Kontinu

¡  Variabel random yang mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang dapat memiliki nilai2 pada suatu interval tertentu

¡  Nilainya dapat berupa bilangan bulat maupun pecahan

¡  Contoh: ¡  Pada label kurva baja tertulis

diameter 2 ± 0,0005 mm. sehingga daerah hasil variabel random X adalah Rx = {X : 1,9995 ≤ x ≤ 2,0005; x adalah bilangan real}

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

5

Page 6: Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomialdebrina.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/6-Distribusi-Diskrit-Binomial-Multinomial.pdf · Contoh Peluang cacat dan baik dari hasil

1.  Distribusi Binomial suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan

bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai

dengan proses Bernoulli.

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

6

Page 7: Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomialdebrina.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/6-Distribusi-Diskrit-Binomial-Multinomial.pdf · Contoh Peluang cacat dan baik dari hasil

Proses Bernoulli 22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

7

usaha

Percobaan terdiri dari beberapa usaha

t i a p - t i a p u l a n g a n percobaan bebas satu sama lainnya.

Probabilitas kesuksesan

tidak berubah dari

percobaan satu ke

percobaan lainnya. Persyaratan:

• Percobaan terdiri atas n-usaha yang berulang

• Tiap-tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokkan menjadi 2-kategori, sukses atau gagal

• Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari satu usaha ke usaha berikutnya.

• Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.

Page 8: Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomialdebrina.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/6-Distribusi-Diskrit-Binomial-Multinomial.pdf · Contoh Peluang cacat dan baik dari hasil

perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5

kali Sisi

gambar Sisi angka

Dua macam kartu yang diambil berturut-turut

dengan label ; •  merah : “berhasil” •  hitam : “gagal”

berhasil gagal

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

8

Page 9: Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomialdebrina.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/6-Distribusi-Diskrit-Binomial-Multinomial.pdf · Contoh Peluang cacat dan baik dari hasil

Distribusi Binomial

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

9

Suatu usaha bernoulli dapat menghasilkan:

§  kesuksesan dengan probabilitas p

§  kegagalan dengan probabilitas q = 1 – p

maka distribusi probabilitas perubah acak binomial X yaitu

banyaknya kesuksesan dalam n-usaha bebas adalah

0 1 2x n xnb(x;n,p) p q ;x , , ,....,n

x−⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎝ ⎠

Di mana :

Page 10: Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomialdebrina.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/6-Distribusi-Diskrit-Binomial-Multinomial.pdf · Contoh Peluang cacat dan baik dari hasil

Contoh

Peluang cacat dan baik dari hasil produksi suatu perusahaan yang hampir bangkrut adalah 50%. Apabila perusahaan itu memproduksi 3 barang, berapakah probabilitas yang diperoleh, jika:

a.  Satu barang cacat

b.  Dua barang baik

c.  Maksimum dua barang cacat

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

10

maka akan diperoleh ruang sampel sbb:

S = {bbb, bbc, bcb, cbb, bcc, cbc, ccb, ccc}

b = barang baik

c = barang cacat

Page 11: Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomialdebrina.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/6-Distribusi-Diskrit-Binomial-Multinomial.pdf · Contoh Peluang cacat dan baik dari hasil

Solusi:

¡  Probabilitas nilai x, yaitu:

¡  X = 0, nilai probabilitasnya = p(x = 0) = 1/8

¡  X = 1, nilai probabilitasnya = p(x = 1) = 3/8

¡  X = 2, nilai probabilitasnya = p(x = 2) = 3/8

¡  X = 3, nilai probabilitasnya = p(x = 3) = 1/8

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

11

¡  Kasus di atas dapat diselesaikan dengan distribusi binomial Dengan: p = ½, q = ½

x = banyaknya barang yang baik n = 3

Misal x adalah banyaknya barang baik dari 3 barang yang diproduksi, maka nilai x adalah:

sampel bbb bbc bcb cbb bcc cbc ccb ccc

x 3 2 2 2 1 1 1 0

Dengan x = 0, 1, 2, 3

Page 12: Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomialdebrina.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/6-Distribusi-Diskrit-Binomial-Multinomial.pdf · Contoh Peluang cacat dan baik dari hasil

Solusi: a.  Jika peristiwa A à satu barang cacat, maka A mempunyai

ruang sampel : S = { bbc, bcb, cbb} à p(A) = 3/8

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

12

b.  Jika peristiwa B à adalah memproduksi dua barang baik, maka B mempunyai ruang sampel : S = { bbc, bcb, cbb} à p(B) = 3/8

Dengan distribusi binomial x = 2 à 1 barang cacat, yang tidak cacat (x) = 2

Dengan distribusi binomial x = 2 à 2 barang baik

Page 13: Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomialdebrina.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/6-Distribusi-Diskrit-Binomial-Multinomial.pdf · Contoh Peluang cacat dan baik dari hasil

Solusi:

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

13

c.  Jika peristiwa C adalah memproduksi maksimum dua barang cacat, maka C mempunyai ruang sampel : S = { bbb, bcb, bcb,cbb, ccb, cbc, bcc} à p(C) = 7/8

Dengan distribusi binomial x = 1, 2 dan 3 à Maksimum 2 barang cacat, x ≠ 0

1 –

Page 14: Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomialdebrina.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/6-Distribusi-Diskrit-Binomial-Multinomial.pdf · Contoh Peluang cacat dan baik dari hasil

Tabel Binomial - Cara membaca Untuk n=15, p=0.4 ;

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

14 n r p

0.01 . . . . . . . 0.4 . . . . . . . . .

15 1

2 0.0271

: : :

8 0.9050

9 0.9662

: :

15

9

015 0 4 0 9662

xb(x; ; . ) .

=

→ =∑

b(x;15;0.4)=0.0271x=0

2∑

8

015 0 4 0 9050

xb(x; ; . ) .

=

=∑

Page 15: Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomialdebrina.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/6-Distribusi-Diskrit-Binomial-Multinomial.pdf · Contoh Peluang cacat dan baik dari hasil

15

Probabilitas seseorang sembuh dari penyakit jantung setelah operasi adalah 0.4. Bila diketahui 15 orang menderita penyakit ini, berapa peluang: a.  sekurang-kurangnya 10 orang dpt sembuh b.  ada 3 sampai 8 orang yg sembuh c.  tepat 5 orang yg sembuh

Penyelesaian: Misal : X = menyatakan banyaknya orang yg sembuh Diketahui : p = 0.4 n = 15

a)

Jadi probabilitas sekurang-kurangnya 10 orang sembuh = 0.0338

[ ]9

0

10 1 10 1 0 1 9

1 15 0 4

1 0 96620 0338

x

P(X ) P(X ) P(X ) P(X ) P(X )

b(x; ; . ) lihat tabel

..

=

≥ = − < = − = + = + =

= − ←

= −

=

Contoh

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

Page 16: Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomialdebrina.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/6-Distribusi-Diskrit-Binomial-Multinomial.pdf · Contoh Peluang cacat dan baik dari hasil

16 b)

Jadi probabilitas terdapat 3 sampai 8 orang yg sembuh = 0.8779

8 2

0 0

3 8 8 2

15 0 4 15 0 4

0 9050 0 02710 8779

x x

P( X ) P(X ) P(X )

b(x; , . ) b(x; , . ) lihat tabel

. .

.

= =

≤ ≤ = ≤ − ≤

= − ←

= −

=

∑ ∑

c)

Jadi probabititas tepat 5 orang yang sembuh = 0.1859  

5 4

0 0

5 5 15 0 4 5 4

15 0 4 15 0 4x x

P(X ) b( ; ; . ) P(X ) P(X )

b(x; , . ) b(x; , . ) lihat tabel

0.4032 - 0.2173 0.1859

= =

= = = ≤ − ≤

= − ←

=

=

∑ ∑

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

Page 17: Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomialdebrina.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/6-Distribusi-Diskrit-Binomial-Multinomial.pdf · Contoh Peluang cacat dan baik dari hasil

Distribusi Binomial Kumulatif

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

17

Adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari satu sukses.

)(...)2()1()0(

)(

PBK

0

0

nXPXPXPXP

xXP

qpC

n

x

n

x

xnxxn

=++=+=+==

==

⋅⋅=

Page 18: Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomialdebrina.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/6-Distribusi-Diskrit-Binomial-Multinomial.pdf · Contoh Peluang cacat dan baik dari hasil

Tabel Distribusi Probabilitas Binomial Kumulatif

∑=

=r

xpnxbpnrB

0),;(),;(

B(r=1;n=2,p=0.30) = 0.9100 22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

18

Page 19: Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomialdebrina.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/6-Distribusi-Diskrit-Binomial-Multinomial.pdf · Contoh Peluang cacat dan baik dari hasil

Contoh Soal u/ Tabel Binomial

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

19

Warna mesin cuci yang diproduksi oleh PT. Makmur Jaya

adalah putih dan merah. Suatu rumah tangga memesan

2 mesin cuci tersebut dan pengirimannya dilakukan 2 kali.

Berapa probabilitas ?

1.  Ke-2 mesin cuci berwarna merah

2.  Ke-2 mesin cuci berwarna putih

3.  Berwarna merah minimal 1

Kerjakan dengan Tabel Distribusi Binomial dan

Tabel Distribusi Binomial Kumulatif.

Page 20: Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomialdebrina.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/6-Distribusi-Diskrit-Binomial-Multinomial.pdf · Contoh Peluang cacat dan baik dari hasil

¡  Tabel Distribusi Binomial

p = ½, q = ½, dan n=2

X = banyaknya mesin cuci yang berwarna merah.

Dari tabel distribusi binomial :

Nilai x 0 1 2

Probabilitas 0,2500 0,500 0,2500

1.  Probabilitas ke-2 mesin berwarna merah dapat ditentukan x=2, P = 0,2500

2.  Probabilitas ke-2 mesin berwarna putih dapat ditentukan x=0, P = 0,2500

3.  Probabilitas berwarna merah minimal 1 dapat ditentukan dengan nilai x=1 ditambah nilai x = 2. sehingga: 0,5000 + 0,2500 = 0, 7500

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

20

Page 21: Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomialdebrina.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/6-Distribusi-Diskrit-Binomial-Multinomial.pdf · Contoh Peluang cacat dan baik dari hasil

¡  Tabel Distribusi Binomial Kumulatif

p = ½, q = ½, dan n=2

X = banyaknya mesin cuci yang berwarna merah.

Dari tabel distribusi binomial kumulatif:

Nilai x 0 1 2

Probabilitas 0,2500 0,7500 1,0000

1.  Probabilitas ke-2 mesin berwarna merah = P(x=2) – P(x=1) = 1,0000- 0,7500= 0,2500

2.  Probabilitas ke-2 mesin berwarna putih = P(x=0) = 0,2500

3.  Probabilitas berwarna merah minimal 1 = {P(x=1) – P(x=0)} + {P(x=2) – P(x=1)} = {0,7500 - 0,2500} + {1,0000 - 0,7500} = 0,7500

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

21

Page 22: Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomialdebrina.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/6-Distribusi-Diskrit-Binomial-Multinomial.pdf · Contoh Peluang cacat dan baik dari hasil

Distribusi Multinomial

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

22

Distribusi probabilitas binomial digunakan untuk sejumlah

sukses dari n percobaan yang independen, dimana seluruh

hasil (outcomes) dikategorikan ke dalam dua kelompok

(sukses dan gagal).

Distribusi probabilitas multinomial digunakan untuk

penentuan probabilitas hasil yang dikategorikan ke dalam

lebih dari dua kelompok.

Fungsi distribusi probabilitas multinomial:

P(x1, x2,.., xk ) =n!

x1!x2 !...xk !p1x1p2

x2 ...pkxk

Page 23: Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomialdebrina.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/6-Distribusi-Diskrit-Binomial-Multinomial.pdf · Contoh Peluang cacat dan baik dari hasil

Berdasarkan laporan sebuah penelitian tahun 1995, diantara produk

mikroprosesor pentium generasi pertama diketahui terdapat cacat yang

mengakibatkan kesalahan dalam operasi aritmatika.

Setiap mikroprosesor dapat dikategorikan sebagai baik, rusak dan cacat

(dapat digunakan dengan kemungkinan muncul kesalahan operasi

aritmatika).

Diketahui bahwa 70% mirkoprosesor dikategorikan baik, 25% cacat dan 5%

rusak. Jika sebuah sample random berukuran 20 diambil, berapa

probabilitas ditemukan 15 mikroprosesor baik, 3 cacat dan 2 rusak?

( )( )( )P( , , ) ! ! ! . . .

.

15 3 2 20!15 3 2 7 25 05

0288

15 3 2=

=

23 Contoh (1)

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

Penyelesaian :

Page 24: Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomialdebrina.lecture.ub.ac.id/files/2014/10/6-Distribusi-Diskrit-Binomial-Multinomial.pdf · Contoh Peluang cacat dan baik dari hasil

Bila dua buah dadu dilemparkan 6 kali, berapa peluang mendapat jumlah bilangan yang muncul sebesar 7 atau 11 sebanyak 2 kali, bilangan yang sama pada kedua dadu sekali, dan kemungkinan lainnya sebanyak 3 kali?

Penyelesaian : o  S = 36 o  E1 = jumlah kedua dadu 7 atau 11: peluangnya adalah 2/9 o  E2 = bilangan yang sama pada kedua dadu : peluangnya 1/6 o  E3 = kemungkinan lainnya: 1 – P(E1 + E2) = 1 – (2/9 + 1/6) = 11/18

Maka f(2,1,3; 2/9, 1/6, 11/18, 6)

x p n

Contoh (2)

22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

24

= 0,1127