1
MM AA TT RR II KK SS
Definisi : Suatu himpunan bilangan atau skalar yang disusun
dalam bentuk bujur sangkar atau empat persegi
panjang, yang terdiri dari baris dan kolom.
Elemen Matriks diapit oleh kurung ( ) atau [ ] bentuk lain
║ ║. Nama Matriks biasanya ditulis dengan huruf kapital
seperti A, B, C, dan sebagainya sedangkan elemen-elemennya
dengan huruf kecil.
II.. BBeennttuukk UUmmuumm MMaattrriikkss
Dari matriks di atas menunjukkan :
o A = (aij), i = 1, 2, …, m (Indeks baris)
j = 1, 2, …, n (Indeks kolom)
o Contoh :
80
15
42
aa
aa
aa
A
3231
2221
1211
o aij adalah elemen matriks A yang terletak pada baris ke – i
dan kolom ke–j. Dengan demikian a11 = 2, a12 = 4, a21 = 5,
a22 = 1, a31 = 0 , dan a32 = 8
mnm2m1
2n2221
1n1211
a...aa
............
a...aa
a...aa
A
Baris_1
Baris_2
Baris_m
Kolom_1
Kolom_2
Kolom_n
2
Ukuran Matriks atau Ordo Matrik
Ordo suatu matriks dinyatakan oleh banyaknya baris dan
banyaknya kolom. Suatu matriks dengan m baris dan n kolom
dikatakan berordo m x n.
Contoh :
Kesamaan Dua Matriks
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B
atau aij = bij , jika dan hanya jika ordo keduanya sama, dan
setiap elemen yang seletak sama, yaitu aij = bij untuk setiap
i dan j.
IIII.. OOppeerraassii--00ppeerraassii DDaassaarr MMaattrriikkss
a. Penjumlahan dan pengurangan
Syarat : Dua buah matriks bisa dilakukan operasi
penjumlahan atau pengurangan apabila dimensi
(ordo)_nya sama.
A = [aij], berordo m x n dan B = [bij], berordo m x n
Jumlah A dan B adalah :
A B = [aij] [bij]
= [aij bij], juga berordo m x n
Bentuk umum operasi penjumlahan dan pengurangan :
e f
g h
LNMM
OQPP̶ =
dc
ba
hg
fe+ =
hg
fe
hdgc
fbea
dc
ba
hdgc
fbea
3
Contoh :
1. dan dan
maka :
2.
b. Perkalian skalar dengan matriks
Jika suatu skalar (bilangan) dan A = [aij], maka hasil kali
dengan matriks A adalah :
A = [aij]
Bentuk umum operasi perkalian dengan skalar :
Contoh :
Jika , maka :
5B =
HHuukkuumm--hhuukkuumm ppaaddaa ppeennjjuummllaahhaann ddaann ppeerrkkaalliiaann sskkaallaarr
Jika A, B, dan C matriks-matriks berordo sama, dan suatu
skalar, maka :
a). A + B = B + A (Hukum Komutatif)
b). A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum Asosiatif)
c). (A + B) = A + B (Hukum Distributif)
Contoh :
= .
dc
ba
dc
ba
Tidak dapat dijumlahkansebab oorrddoonnyyaa ttiiddaakk ssaammaa
4
c. Perkalian antara dua matriks
Syarat : Banyaknya kolom pada matriks pertama harus
sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua.
(m x p)A x
(p x n)B =
(m x n)C
Syarat yg hrsdipenuhi
Bentuk umum operasi perkalian:
a b
c d
e f
g h
ae+bgx =
ce+dg
af+bh
cf+dh
Contoh :
2 (A + B) = 2A + 2B
5
HHuukkuumm--hhuukkuumm ppaaddaa ooppeerraassii ppeerrkkaalliiaann dduuaa mmaattrriikkss::
Jika A, B, dan C matriks-matriks yang memenuhi syarat
perkalian matriks yang diperlukan, maka :
a). A (B C) = (A B) C (Hukum Asosiatif)
b). A (B + C) = A B + A C (Hukum Distributif)
c). (B + C) A = BA + CA (Hukum Distributif)
d). A (B – C) = A B – A C
e). (B – C) A = B A – C A
f). Perkalian tidak komutatif, AB BA
d. Transpose dari Suatu Matriks (AT)
Batasan I : Suatu matriks A = (aij) berukuran (m x n) maka
transpose dari A, adalah matriks AT berukuran
(n x m) yang didapatkan dari A dengan menuliskan
baris ke_i dari A sebagai kolom ke_i dari AT
(dimana i = 1, 2, 3, …, m).
Batasan II : Matriks stanspose diperoleh dengan menukar
elemen-elemen baris menjadi elemen-elemen
kolom atau sebaliknya.
Dengan perkataan lain : A(aij) = AT(aji)
A =
5925
6801
7143
AT =
567
981
204
513
BBeebbeerraappaa ssiiffaatt mmaattrriikkss ttrraannssppoossee ::
(i) (A + B) T = AT + BT
(ii) (AT) T = A
(iii) (AT) = ( A) T
(iv) (A . B) T = BT . AT ,A dan B harus memenuhi sifat perkalian
, bila suatu skalar
( 3 x 4 ) ( 4 x 3 )
6
Contoh –contoh :
A =
103
212dan B =
0
2
1
BT = 021
AT =
12
01
32
( AT )T =
T
12
01
32
=
103
212= A
A B =
103
212
0
2
1
=
3
4
(A B)T = 34
BT . AT = 021
12
01
32
= 34 = (A B)T
7
JOB SHEET 1
1. Jika :
1-3
2-1H
Hitunglah : a). H + H
b). H2 - HT + 3H
2. Jika
yxy
x
2
2
2
1
82
46
y
3. Jika : 2
2
12
1
1
+ 3
4
0
4
+ k
2
1
3
=
2
3
4
maka k adalah …
4. Diketahui matriks
513
241
652
C,
745
55
7
B,
2
414
322
A
-
--
--
-
r-
q--p
-qr
--
ap
Jika A + B = C maka nilai p , q dan r berturut-turut adalah
5. Nilai c dari persamaan matriks :
abac
a
b
3
2
2
2
33
2
5
adalah …
6. Diketahui
11
12
34
12
23
54
32
41
q
p
Maka nilai p + q = …
= , Maka nilai y adalah …
8
IIVV.. JJeenniiss MMaattrriikkss KKhhuussuuss
aa.. MMaattrriikkss BBuujjuurr SSaannggkkaarr
Adalah matriks yang banyaknya baris = banyaknya kolom
(berordo n)
Contoh :
Matriks berordo ( n x n)
Berikut ini adalah matriks bujur sangkar A( 3 x 3)
A =
981
624
593
a11 , a22 , a33 disebut Diagonal Utama
bb.. MMaattrriikkss NNooll
Adalah matriks yang semua elemennya nol, ditulis dengan
matriks 0
Sifat-sifat : 1). A + 0 = 0 + A = A
2). A . 0 = 0 dan 0 . A = 0
(Syarat perkalian harus dipenuhi )
Contoh :
cc.. MMaattrriikkss DDiiaaggoonnaall
Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diluar
diagonal utama adalah nol.
A = aij Adalah matriks diagonal jika aij = 0 untuk i j
Contoh :
000
000
000
A
A =
10
01B =
200
070
008
9
dd.. MMaattrriikkss IIddeennttiittyy ((SSaattuuaann))
Adalah matriks diagonal yang elemen-elemen diagonal
utamanya semuanya = 1 dan elemen lainnya = 0
Dengan perkataan lain : jika I adalah matriks identitas
maka Iij = 1 untuk i = j dan Iij = 0 untuk i j
I2 =
10
01; I4 =
1000
0100
0010
0001
Sifat-Sifat Matriks Identitas :
1) A . I = A
2) I . A = A ; syarat perkalian harus dipenuhi
Contoh :
Jika A =
976
854; dan I3 =
100
010
001
, maka :
A . I3 =
976
854.
100
010
001
=
976
854= A
I2 . A =
10
01.
976
854=
976
854= A
ee.. MMaattrriikkss SSkkaallaarr
Adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal
utamanya sama = k
Contoh :
Matriks skalar dengan k = 5
800
080
008
8
100
010
001adalah matriks skalardapat ditulis sebagai 8I =
10
Matriks identity adalah bentuk khusus dari matriks skalar
dengan k = 1
ff.. MMaattrriikkss SSeeggiittiiggaa BBaawwaahh ((LLoowweerr TTrriiaanngguulleerr))
Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di atas
diagonal utama = 0
aij adalah Matriks Segitiga Bawah jika aij = 0 untuk i < j
Contoh :
861
035
002
5427
0103
0051
0004
gg.. MMaattrriikkss SSeeggiittiiggaa AAttaass ((UUppppeerr TTrriiaanngguulleerr))
Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di bawah
diagonal utama = 0
aij adalah Matriks Segitiga Atas jika aij = 0 untuk i > j
200
180
723
8000
0200
5630
7021
hh.. MMaattrriikkss AAnnttii SSiimmeettrriiss
Adalah matriks persegi yang transposenya adalah negative-
nya atau AT = - A.
aij adalah anti simetris jika aij = -aji untuk semua i dan j.
Semua elemen diagonal utamanya = 0
A =
043
402
320
; AT =
043
402
320
100
010
001
11
VV.. DDeetteerrmmiinnaann
Setiap matriks bujur sangkar A selalu dikaitkan dengan
suatu skalar matriks yang disebut DETERMINAN matriks
tersebut, dan ditulis sebagai det (A) atau A
aa.. MMeennccaarrii ddeetteerrmmiinnaann mmaattrriikkss oorrddoo 22 xx 22
Bentuk umum :
Jika A =
dc
bamaka det ( A ) =
dc
ba= ad - bc
Contoh :
Jika A =
54
32maka det (A) =
54
32= 10 – 12 = -2
Jika A =
42
21maka det (A) =
42
21= 4 – (– 4) = 8
bb.. MMeennccaarrii ddeetteerrmmiinnaann mmaattrriikkss oorrddoo 33 xx 33
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Metode Sarrus
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12
a21 a22
a31 a32
+ + +---
Det (A) = |A|=
a32 -a11 a22 a33. . + a12 a23 a31. . + a13 a21. . a12 a21 a33. . a11 a23 a32. . a13 a22. .a31- -
atau
a32 -a11 a22 a33. . + a12 a23 a31. . + a13 a21. . a12 a21 a33. . a11 a23 a32. . a13 a22. . a31+ + )) ((
, maka determinan dari A adalahJika : A =
12
Contoh : Hitunglah Determinan dari M =
987
654
321
Jawab : =
987
654
321
87
54
21
Det ( M ) = M = (45) + (84) + (96) – (105) – (-48) – (-72) = 240
Catatan : Metode di atas tidak berlaku untuk matriks bujur sangkar
berordo (4x4) atau yang lebih besar.
cc.. MMeenngghhiittuunngg ddeetteerrmmiinnaann ddeennggaann PPeenngguurraaiiaann ((EEkkssppaannssii))
sseeccaarraa bbaarriiss ddaann kkoolloomm
Minor dan kofaktor :
Definisi : jika A adalah matriks persegi, maka minor
entri aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan menjadi
determinan sub matriks yang tetap setelah baris ke-i dan
kolom ke-j dicoret dari A.
Bilangan (-1) i+j Mij dinyatakan oleh Cij dan dinamakan
kofaktor entri aij.
Contoh :
A =
987
654
321
,maka
Minor Entri a11 adalah M11 =
987
654
321
=98
65=45–48 = -3
Kofaktor a11, adalah :
c11 = (-1 ) 1+1 M11 = (-1)2 (-3) = -3
Baris-1 dan kolom-1 dicoret
13
Demikian juga, minor entri a32 adalah :
M32 =
987
654
321
=64
31= 6 – 12 = -6
Kofaktor a32 adalah :c32 = (-1) 3+2 M32 = (-1) 5 .M32 = (-1) (-6) = 6
TEOREMA LAPLACE
Jika A suatu matriks persegi, maka determinan matriks A
adalah jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris
atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya. Dengan perkataan
lain :
atau
Contoh :
A =
a b c d
e f g h
i j k l
m n o p
Ekspansi menurut baris 1 :
A =+ a
f g h
j k l
n o p
-b
e g h
i k l
m 0 p
+ c
e f h
i j l
m n p
- d
e f g
i j k
m n o
Baris-3 dan kolom-2 dicoret
A =
n
j 1
aij . cij = ai 1 ci 1 + ai 2 . ci 2 + . . .+ ai n . ci n
dengan i, disebut ekspansi menurut baris ke-i
A =
n
i 1
aij . cij = a1 j c1 j + a2 j . c2 j + . . .+ an j . cn j
dengan j, disebut ekspansi menurut kolom ke-j
14
Ekspansi menurut kolom 3 :
CCaattaattaann : dalam pemilihan baris/kolom mana yangdiekspansikan, tidak jadi persoalan karenahasilnya akan sama.
Contoh :
A =
245
342
013
; det (A) = ?
Jawab :
Ekspansi menurut kolom-1 :
Det (A) = a11 c11 + a12 c12 + a13 c13
= 324
34
-(-2 )
24
01
+ 5
34
01
= 3 (-4) – (-2) (-2) + 5 (3) = -1
Ekspansi menurut baris-3 :
Det (A) = a31 c31 + a32 c32 + a33 c33
= 534
01
- 4
32
03
+ (-2 )
42
13
= 5 (3) – (4) (9) + (-2) (-10)
= +15 – 36 +20 = 35 - 36 = -1
Untuk menyederhanakan perhitungan determinan, ekspansikan
menurut baris atau kolom yang paling banyak mengandung
elemen 0 (nol), karena suku-suku ini hasilnya nol.
Misal B =
718
004
532
A =+ c
e f h
i j l
m n p
-g
a b d
i j l
m n p
+ k
a b d
e f h
m n p
- o
a b d
e f h
i j l
15
Kita ekspansi menurut baris-2,
Det (B)= -471
53
+ 0
78
52 - 0
18
32
= -4(21-5)
= -64
dd.. SSiiffaatt--ssiiffaatt ddeetteerrmmiinnaann
1. Tanda determinan berubah apabila dua baris/kolom
ditukar tempatnya.
Contoh :
atau :
421
123
052
= -
421
052
123
= +
123
052
421
2. Jika dikali skalar, hanya untuk satu baris/kolom saja
Contoh: A =
230
114
232
Det (A) =
230
114
232
Andaikan baris satu dikalikan 5 maka :
230
114
101510
= 5
230
114
232
= 5 A
a b c
d e f
g h i
d e f
a b c
g h i
g h i
a b c
d e f
= ̶ =
a b c
d e f
g h i
c b a
f e d
i h g
= ̶
tidak perlu diikutkan
16
3. Tiap baris atau kolom boleh ditambah atau dikurangi
baris atau kolom lain, tidak berubah tanda
Contoh :
844
413
532
=
8444
4113
5332
= 0
4. Kalau ada baris atau kolom semua elemennya 0, maka
determinan = 0
Contoh :
121
000
273
A
B =
20206
9042
7071
4038
= 0
5. Kalau ada 2 baris atau kolom yang sama, maka hasilnya = 0
Contoh :
3124
5312
5206
3124
A
B =
651083
96375
45081
96375
74816
= 0
a + g b + h c + i
d e f
g h i
a b - c c
d e - f f
g h - i i
atau
det (A) = 0
det (A) = 0 (baris 1 = baris 4)
17
6. Kalau matriksnya berbentuk segitiga atas atau segitiga
bawah, maka tinggal mengalikan semua elemen yang ada
pada diagonal utamanya.
Contoh :
A = det(A) = 1.4 = 4
B = det(B) = 1.5.2 = 10
C = det(C) = 6
18
JOB SHEET 2
1. Carilah determinan dari matriks di bawah ini !
B =
-2 4 -1
3 -7 2
1 3 -4
D =
3 4 -1 4 1
-1 3 2 -2 1
1 0 -1 0 -2
3 9 7 5 4
3 -9 -6 6 -3
2. Diketahui matriks :
Ditanya :|[(F2 + 2F) – FT] + I2| = ?
F =1 -2
0 1
19
VVII.. IInnvveerrss MMaattrriikkss ((AA--11))
Jika A dan B matriks- matriks persegi berordo n dan
berlaku A B = B A = In, maka dikatakan B invers dari A dan
ditulis A-1 , sebaliknya A adalah invers dari B , ditulis A = B-1.
Tidak semua matriks persegi mempunyai invers, terjadi jika
determinan dari matriks ≠ 0 (= Non singular)
Sebuah matriks yang inversnya adalah dirinya sendiri
dengan perkataan lain A . A = I , disebut matriks yang
INVOLUTORY.
Contoh :
Matriks A =
104
21mempunyai invers A-1 =
2/12
15
Karena A . A-1 =
104
21
2/12
15=
10
01= I2
Juga A-1 . A =
2/12
15
104
21=
10
01= I2
Ada beberapa cara untuk mencari invers :
1. Rumus abc
Contoh :
A-1 . A = I
dicek dulu apakah determinannya ≠ 0
A=1 2
1 3= 3-2=1
Karena determinannya ≠ 0, maka inversnya bisa dicari
31
21A
20
Misal invers dari A adalah A-1 =
dc
ba
2. Metode Adjoin
Dari matrik A = (aij) di atas. Kita sebut kofaktor dari elemen
aij sebagai cij, transpose dari matrik (cij) disebut matrik
Adjoin dari A.
Adj. A =
nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
........
....................
....................
......
........
21
22221
12111
Contoh:
Kita hendak mencari matrik adjoin dari A =
511
240
432
Maka kofaktor ke 9 elemen dari A adalah sebagai berikut :
a + b = 1
2a + 3b = 0
x2
x1
x2
x1
x2
x1
a + b = 1
a = 1 + 2
a = 3
c + d = 0
2c + 3d = 1
2c + 2d = 0
2c + 3d = 1 _
-d = -1
d = 1
x2
x1
c + d = 0
c = -1
11
23
dc
baA 1
Jadi :
10
01
31
21x
dc
ba
a + b = 1
2a + 3b = 0
x2
x1
2a + 2b = 2
2a + 3b = 0 _
-b = 2 b = -2
21
c11 = +
51
24= -18 , c12 = -
51
20= 2 ,
c13 = +
11
40= 4 , c21 = -
51
43= -11 ,
c22 = +
51
42= 14 , c23 = -
11
32= 5,
c31 = +
24
43= -10 , c32 = -
20
42= -4 ,
c33 = +
40
32= - 8 ,
Jadi, adj. A =
854
4142
101118
Dengan pertolongan matrik adjoin kita dapat mencari invers
suatu matrik dengan rumus
Contoh : kita dapat mencari A-1 dengan matrik adjoin sebagai
berikut :
A= maka c11 = 3 ; c12 = - 1 ; c21 = -2 ; c22 = 1.
adj. A =
11
23, det (A) =
31
21= 1
Jadi, A-1 =1
11
23
=
11
23
A-1 =)det(
.
A
Aadj, dengan syarat det (A) 0
31
21
22
Tentukan invers dari matriks berikut :
A =
511
240
432
det(A) =
511
240
432
= 251
24
+
24
43
; Ekspansi Laplace pada kolom-1
= - 36 - 10 = -46
Jadi, A-1 =)det(
.
A
Aadj=
46
1
854
4142
101118
=
23/446/523/2
23/223/723/1
23/546/1123/9
3. Metode Gauss
Contoh :
A I2
1 2 1 0
1 3 0 1 1xI
~ 1 2 1 0
0 1 -1 1
-2xII
~
1 0 3 -2
0 1 -1 1} } }
I2
A-1
}
1A-1 =
3 -2
-1
Ditanya A-1 = ?
23
Carilah Invers dari matriks A =
801
352
321
Penyelesaian :
100801
010352
001321
|
|
|
B21(-2) & B31
(-1)
101502
012310
001321
|
|
|
B32(2)
125100
012310
001321
|
|
|
B3(-1)
125100
012310
001321
|
|
|
B23(3) & B13
(-3)
125100
3513010
3614021
|
|
|
B12(-2)
125100
3513010
91640001
|
|
|
Jadi, Invers dari A adalah A-1 =
125
3513
91640
Baris-2 ditambah -2 kalibaris-1, dan Baris-3ditambah –1 kali baris-1
Baris-3 ditambah 2kali baris-2
Baris-3 dikalikan -1
Baris-2 tambah 3 kalibaris-3, dan Baris-1ditambah –3 kali baris-3
Baris-1 ditambah -2kali baris-2
24
JOB SHEET 3
1. Diketahui matriks :
Ditanya : (A2 ̶ AT + B + I2) – 1
2. Carilah invers dari matriks di bawah ini dengan 3 cara :
25
A
B
y2
VV EE KK TT OO RR
Vektor secara geometris dapat dinyatakan berupa garis lurus
yang mempunyai besar dan arah.
Suatu vektor digambarkan dengan suatu anak panah,
dimana panjang anak panah menyatakan besarnya vektor
dan arah anak panah menunjukkan arah vektor.
Perhatikan gambar vektor di sebelah :
Titik A disebut titik pangkal vektor
atau titik tangkap vektor (initial point)
Titik B disebut ujung vektor (terminal
point)
Suatu vektor yang titik pangkal A dan titik ujungnya B
ditulis AB atau ditulis dengan sebuah huruf kecil yang diberi
garis di atasnya, misal : a
Vektor standar adalah vektor yang titik pangkalnya terletak
pada titik 0.
y
0 x
Di dalam bidang datar (R2) suatu vektor yang titik
pangkalnya A(x1,y1) dan titik ujungnya B(x2,y2) dapat
dituliskan dalam bentuk komponen sebagai berikut :
26
(x, y)(x,y,z)
x
y
x
z
y
MMeennggggaammbbaarr vveekkttoorr ::
R2 : Vektor dua dimensi (x, y) atau (x1, x2)
R3 : Vektor tiga dimensi (x, y, z) atau (x1, x2, x3)
OOppeerraassii DDaassaarr VVeekkttoorr
Yang akan dibicarakan adalah operasi penjumlahan Vektor dan
perkalian skalar.
a. Penjumlahan vektor.
Misalkan kita hendak menjumlahkan Vektor a dan b .Kita mengenal dua metoda sebagai berikut :
1. Metoda jajaran genjang : Vektor hasil resultan yaitu
ā + b diperoleh dari diagonal jajaran genjang yang
dibentuk oleh ā dan b setelah titik awal ditempatkanberimpit.
3. Metoda segitiga : Resultan kita peroleh dengan
menempatkan titik awal salah satu Vektor ( misalnya b )pada titik ujung Vektor yang lainnya, maka resultanadalah bertitik awal di titik awal ā dan betitik ujung di
titik ujung b .
Gambar Vektor 2 dimensi Gambar Vektor 3 dimensi
27
Catatan :
Penjumlahan Vektor bersifat komutatif, artinya untuk setiap
vektor ā dan b berlaku abba ;maka pemilihan Vektor
mana yang didahulukan tidaklah menjadi persoalan. Dapat
kita perbandingkan gambar 3 dan gambar 4 bahwa
abba .
Metode segi tiga baik sekali untuk menjumlahkan lebih dari
2 vektor. Misalkan hendak menjumlahkan edcba ,
maka berturut-turut kita tempatkan titik awal dari b pada
titik ujung dari ā, titik awal dari c pada titik ujung dari b
dan seterusnya ( pemilihan urutan tidak menjadi persoalan ).
Resultannya adalah Vektor yang titik awalnya di titik awal Vektor
pertama (ā) dan titik ujungnya di titik ujung Vektor terakhir ( e )
28
Penjumlahan Vektor dengan operasi aritmatika
Rumus umum:
ō = (a1, a2)
ē = (b1, b2)
maka ō + ē = (a1, a2) + (b1, b2)
= (a1 + b1 , a2 + b2)
Contoh :
ō = (3, 2)
ē = (5, 4)
Pengurangan Vektor dengan operasi aritmatika
ō - ē = ō + (-ē)
Rumus umum:
diketahui :
ō = (a1, a2)
ē = (b1, b2)
maka ō - ē = (a1, a2) - (b1, b2)
= (a1 + (-b1) , a2 + (-b2))
= (a1 -b1, a2 -b2)
ō + ē = (3 + 5 , 2 + 4)
= (8, 6)
29
Contoh :
ō = (1, 3)
ē = (4, 2)
Catatan :
Sebagai gabungan dari operasi penjumlahan dan pengurangan
vektor. Misalnya )()1( bababa yaitu menjumlahkan ā
dengan -b . Tentu saja pengurangan Vektor tidak komutatif,
abba .
Contoh :
b. Perkalian Vektor dengan skalar.
Kalau k suatu scalar bilangan riil, ā suatu Vektor, maka
perkalian perkalian scalar k ā adalah suatu Vektor yang
panjangnya k kali panjang ā, dan arahnya sama dengan
arah a bila k positif atau berlawanan.
Bila k = 0 maka k ā = 0 ; disebut Vektor nol yaitu Vektor
yang titik awal dan titik ujungnya berimpit.
PPeerrkkaalliiaann VVeekkttoorr ddeennggaann ssccaallaarr pada operasi aritmatika
Rumus umum:
diketahui : ō = (a1, a2)
Skalar : λ
maka λ x ō = λ x (a1, a2)
= (λa1, λa2)
ō - ē = (1 - 4 , 3 – 2)
= (-3, 1)
30
= a1.b1 + a2.b2
= 3.2 + 5.7 = 41
Contoh :
ō = (4, 2)
λ = 5
TTrraannssppoossee ssuuaattuu VVeekkttoorr
Rumus umum:
diketahui : ō = (a1, a2) maka Transpose ōT=
2
1
a
a
Contoh :
ē = (3, 7) → ēT
=
7
3
PPeerrkkaalliiaann aannttaarraa dduuaa VVeekkttoorr
Rumus umum:
diketahui : ō = (a1, a2) ; ē = (b1, b2)
maka ō x ē = (a1, a2)
2
1
b
b
Contoh :
ō = (3, 5)
ē = (2, 7)
maka ō x ē = (3, 5)
7
2
λ x ō = 5 x (4, 2)
= (20, 10)
31
JOB SHEET 4
1. Gambarlah Vektor (Gunakan kertas berpetak) :
a. ō = (2, 5)
b. ū = (6, -2)
c. ē = (4, 5, 6)
d. ā = (-3, 2, -4)
2. Diketahui vektor:
ā = (2, 0, -1, 3)
ū = (5, 4, 7, -1)
ē = (6, 2, 0, 9)
Hitunglah :
a) ā – ū
b) 7ū + 3ē
c) 3(ā - 7ū)
d) –3ū - 8ē
32
KKoommbbiinnaassii LLiinniieerr ddaarrii VVeekkttoorr--vveekkttoorr
Ada Vektor-vektor : ā1, ā2 , ā3 …, ān
Skalar-skalar : 1, 2, 3 …, n
dapat dikatakan kombinasi linier jika :
ū = 1ā1 + 2ā2 + 3ā3 + … + nān
Contoh :
1. ā1 = (3, 2, 1) ; 1 = 3
ā2 = (0, 1, 2) ; 2 = 5
Buatlah kombinasi linier dari ā1 dan ā2 :
Jawab :
ū = 1ā1 + 2ā2
= 3(3, 2, 1) + 5(0, 1, 2)
= (9, 6, 3) + (0, 5 , 10)
= (9, 11, 13)
2. Diketahui vektor :
ā1 = (1, 2, -1)
ā2 = (6, 4, 2)
Apakah vektor : a. ū = (9, 2, 7)
b. ē = (4, -1, 8)
Masing-masing kombinasi linier dari vektor ā1 dan vektor ā2 ?
Jawab :
a. Jika ū kombinasi linier dari ā1 dan ā2 , maka :
(9, 2, 7) = 1 (1, 2, -1) + 2 (6, 4, 2)
(9, 2, 7) = (1, 21, -1) + (62, 42, 22)
maka diperoleh 3 persamaan :
I. 9 = 1 + 62
II. 2 = 21 + 42 dieliminasi
III. 7 = -1 + 22
9 = 1 + 62
7 = -1 + 22 +
16 = 82
2 = 2
33
Eliminasi
Substitusi ke persamaan I atau III (jangan ke pers. II):
I. 9 = 1 + 62
9 = 1 + 6(2)
1 = -3
Persamaan II, untuk memeriksa apakah hasil sudah betul ?
II. 2 = 21 + 42
2 = 2(-3) + 4(2)
2 = 2 (Cocok)
KKeessiimmppuullaann : vektor ū kombinasi linier dari vektor ā1 dan ā2
ū = 1ā1 + 2ā2
ū = -3ā1 + 2ā2
b. Jika vektor ē kombinasi linier dari vektor ā1 dan ā2, maka :
(4, -1, 8) = 1 (1, 2, -1) + 2 (6, 4, 2)
(4, -1, 8) = (1, 21, -1) + (62, 42, 22)
maka diperoleh 3 persamaan :
I. 4 = 1 + 62
II. -1 = 21 + 42
III. 8 = -1 + 22
Substitusi ke persamaan I atau II :
I. 4 = 1 + 62
4 = 1 + 6(9/8)
1 = 4 - 27/4
1 = -2 3/4
Periksa dengan persamaan III :
8 = -1 + 22
8 = -(-2 3/4) + 2(9/8)
4 = 1 + 62 8 = 21 + 122
-1 = 21 + 42 -1 = 21 + 42
9 = 82
2 = 9/8
2
1
34
8 = 2 3/4 + 18/8
8 = 11/4 + 18/8
8 = 22/8 + 18/8
8 = 40/8
8 ≠ 5 (Tidak cocok)
KKeessiimmppuullaann : vektor ē = (4, -1, 8) bukan
kombinasi linier dari vektor ā1 dan ā2
35
JOB SHEET 5
Diketahui Vektor :
ā1 = (1, -1, 3)
ā2 = (2, 4, 0)
Ditanya :
a. Ū1 = (1, 5, 6)
b. Ū2 = (2, -4, 0)
c. Ū3 = (3, 3, 3)
d. Ū4 = (0, 0, 0)
Apakah masing-masing Ū1, Ū2, Ū3 dan Ū4 merupakan kombinasi
linier dari vektor ā1 dan ā2 ?
36
BBEEBBAASS LLIINNIIEERR ((LLIINNEEAARRLLYY IINNDDEEPPEENNDDEENNTT))TTAAKK BBEEBBAASS LLIINNIIEERR ((LLIINNEEAARRLLYY DDEEPPEENNDDEENNTT))
DDeeffiinniissii II :
Misal : Vektor-vektor ā1, ā2 , ā3 …, ān dikatakan bebas atau
tidak bergantungan jika ada bilangan-bilangan 1, 2, 3 …, n
yang semuanya 0, sehingga 1.ā1 + 2.ā2 + … + n.ān = 0
(= SSeemmuuaannyyaa 00, Tak CCooccookk)
DDeeffiinniissii IIII :
Misal : Vektor-vektor ā1, ā2 , ā3 …, ān dikatakan tak bebas atau
bergantungan jika ada bilangan-bilangan 1, 2, 3 …, n yang
tidak semuanya 0, sehingga 1.ā1 + 2.ā2 + … + n.ān = 0
(= TTaakk sseemmuuaannyyaa 00, CCooccookk)
CContoh :
1. Vektor :
ā1 = 3, 6 → Selalu bebas
3, 6 = 0
ā2 = 0, 0 → Selalu Tak bebas
0, 0 = 0
2. Diketahui dua buah vektor 2, 3 dan 1, 4
2, 3 + 1, 4 = 0
2 + = 0 x 4 8 + 4 = 03 + 4 = 0 x 1 3 + 4 = 0 ( - )
5 = 0 = 0
2 + = 02(0) + = 0
= 0
= 0 = 0
Bebas
37
Cocok / sama:Tak bebas
3. Diketahui dua buah vektor 4, 3 dan -4, -3
Cara 1 :
4, 3 + -4, -3 = 0
4, 3 + -4, -3 = 0
1 4, 3 + 1 -4, -3 = 0 Tak bebas
Cara 2 :
4, 3 = -4, -3
4 = -4 = -1
3 = -3 = -1
4. Diketahui vektor-vektor :
ā1 = 1, 3, 2 ā1 = Bebas (karena bukan vektor 0)
ā2 = 2, -1, 4
ā3 = -1, 2, -3
Vektor ā2 dan ā1 :
2, -1, 4 = 1, 3, 2
2 = 1 1 = 2
-1 = 32 2 = -1/3
4 = 23 3 = 2
Vektor ā3 , ā1 dan ā2 :
-1, 2, -3 = 6, 3, 2 + 2, -1, 4
I. –1 = 6 + 2 x 1 –1 = 6 + 2
II. 2 = 3 - x 2 4 = 6 - 2 +
3 = 12
= 4
Substitusi ke persamaan I atau II :
II. 2 = 3 -
= -2 + 12
= 10
1 = 3 2
Tidak cocok :Bebas
38
CCocok
III. -3 = 2 + 4
-3 = 2.4 + 4.10-3 = 8 – 40-3 -32 ( Tidak cocok Bebas)
5. Diketahui vektor-vektor :
a.
1
0
1
,
1
1
0
,
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
321
1 + 3 = 0 → 1 = 0
2 = 0 → 2 = 0
2 + 3 = 0 → 3 = 0
b.
2
2
1
,
0
2
1
,
1
0
1
0
2
2
1
0
2
1
1
0
1
321
1 - 2 + 3 = 0 - 2 - 3 = 0
22 + 23 = 0 2 + 3 = 0
1 + 23 = 0 (-)
Karena : - 2 - 3 = 0 2 + 3 = 0
Jadi : Tak bebas linier
1, 2, 3 semuanya 0, Bebas linier
39
JOB SHEET 6
Diketahui Vektor :
ā1 = 0, 0, 0
ā2 = -8, 2, -6
ā3 = -4, 1, -3
Ditanya, Apakah vektor-vektor di bawah ini Bebas atau
Tak Bebas Linier :
a. ā1
b. ā2
c. ā3
d. ā1 dan ā2
e. ā1 dan ā3
f. ā2 dan ā3
g. ā1 , ā2 dan ā2
h. ā2 , ā1 dan ā3
i. ā3 , ā2 dan ā1
40
dimana i = 1, 2, …
BBaassiiss,, DDiimmeennssii,, ddaann KKoommbbiinnaassii lliinniieerr
Batasan :
1. Himpunan n vektor-vektor { Ū1, Ū2, Ū3, …, Ūn} dinamakan
Basis, jika :
(i). { Ū1, Ū2, Ū3, …, Ūn} → Bebas linier
(ii). { Ū1, Ū2, Ū3, …, Ūn} → Membangun
2. Dimensi adalah banyaknya vektor yang bebas
Contoh :
a.
4
3,
2
1 Basis (Bebas dan membangun)
b.
1
5,
4
3,
2
1 Bebas tapi tak sebangun
c.
0
1
2
,
3
2
1
Bukan basis karena tak sebangun
3. Kombinasi linier
Vektor Ā kombinasi linier dari { Ū1, Ū2, Ū3, …, Ūn} jika
terdapat 1, 2, 3, … , n sehingga :
Syarat lain : Tak bebas linier
Contoh :
1.
0
1
2
0
λ
2
0
1
λ
0
1
1
λ 321
Â Û i i
i
n
1
2
0
,
2
0
1
,
0
1
1
A
41
Jadi A : Basis
Cocok
Jadi B : Bukan Basis
1 + 2 = 0 2 - 23 = 0
1 + 23 = 0 (-)
22 + 3 = 0
2 - 23 = 0 x2 22 - 43 = 0
22 + 3 = 0 x1 22 + 3 = 0 -
-53 = 0
3 = 0
22 + 3 = 0
22 + 0 = 0 2= 0
1 + 2 = 0
1 + 0 = 0 1= 0
1, 2, 3 = 0 (Semuanya 0)
(i) Bebas linier
(ii) membangun
2.
2-
2
1
,
2
0
1
,
0
1
1
B
0
2-
2
1
λ
2
0
1
λ
0
1
1
λ 321
1 + 2 + 3 = 0 2 - 3 = 0
1 + 23 = 0 (-)
22 - 23 = 0 : 2 → 2 - 3 = 0
(i) Tak bebas linier
(ii) Membangun
42
Jadi C : Bukan Basis
3.
1
1
2
,
2
2
1
C
0
1
1
2
λ
2
2
1
λ 21
21 + 4 2 = 0
21 + 2 = 0 _
32 = 0 → 2 = 0 ; 1 = 0
(i) bebas linier
(ii) tidak membangun
4.
Vektor
1
0
1
kombinasi linier dari
2
1
0
1
1
1, , karena :
CCara I :
2
1
1
λ
0
1-
1
λ
1
0
1
21
1 = 1 + 2 → 1 = ½ + ½ (CCocok => Tak Bebas)
0 = -1 + 2 → 1 = 2 = ½
1 = 22 → 2 = ½
Karena Tak bebas linier : Kombinasi linier
1 + 22 = 0
21 + 1 = 0
21 + 2 = 0
43
CCara II (Metode Gauss):
Catatan :
Tak bebas : Banyak baris tak nol < banyak kolom tak nol
Bebas : Banyak baris tak nol = banyak kolom tak nol
.
Bukti :
5. Dari soal no. 1, gunakan cara II
Bukti :
Matrik akhir mempunyai : baris tak nol = 3
kolom tak nol = 3
6. Dari soal no. 2, gunakan cara II
Banyak baris tak nol = 2Banyak kolom tak nol = 3
Jadi akibatnya :Tak bebas linier
Bebas linier
Baris tak nol = 2Kolom tak nol = 3
2 < 3Tak bebas linier
Buktikan Tak bebas linier
44
JOB SHEET 7
1. Apakah Kombinasi linier atau bukan dari :
2. Apakah himpunan vektor di bawah ini basis atau bukan
45
SSIISSTTEEMM PPEERRSSAAMMAAAANN LLIINNIIEERR ((SSPPLL))
II.. SSiisstteemm PPeerrssaammaaaann LLiinniieerr HHoommooggeenn
a11 x1 + a12 x2 = 0
a21 x1 + a22 x2 = 0
Sistem Persamaan linier ini mempunyai jawab Trivial dan
Tak trivial.
IIII.. SSiisstteemm PPeerrssaammaaaann LLiinniieerr TTaakk HHoommooggeenn
Sistem Persamaan linier tak homogen mempunyai jawab, jika
dan hanya jika rraannkk mmaattrriikkss kkooeeffiissiieenn = rraannkk mmaattrriikkss lleennggkkaapp.
Batasan :
Banyak maksimal vektor-vektor yang bebas linier disebut
rank matriks.
CContoh :
Penyelesaian Cara I :
1. Apakah persamaan di bawah ini mempunyai jawab ?
0
0
x
x
aa
aa
2
1
2221
1211
2221
1211
aa
aaA Disebut matriks koefisien
A x = 0
a x a x b
a x a x b
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
22221
11211
baa
baab)(A, Disebut matriks lengkap
A x = b
x x
x 2x1 2
1 2
0
3
2
1
2
1
2221
1211
b
b
x
x
aa
aa
3
0
x
x
2-1
1-1
2
1
46
x x
x 2x1 2
1 2
0
3
Mempunyai jawab
1 -1A =
1 -2
Jadi Rank A = 2 ………. (I)
1 -1 0(A, b) =
1 -2 3
Jadi Rank A, b = 2 ………. (II)
Karena I = II , maka persamaan Mempunyai jawab
2.
Jadi Rank A = 0 ………. (I)
1 -1 2(A,b) =
2 -2 2
Jadi Rank A, b = 2 ………. (II)
Karena I ≠ II , maka persamaan Tidak mempunyai jawab
Penyelesaian Cara II :
1.
x1 – x2 = 0
x1 = -3
a1 = {1, -1} → Bebas
a2 = {1, -2} → Juga Bebas
a1 = {1, -1, 0} → Bebas
a2 = {1, -2, 3} → Bebas
x x
2x 2x1 2
1 2
2
2
a1 = {1, -1} → Tak bebas
a2 = {2, -2} → Tak bebas
a1 = {1, -1, 2} → Bebas
a2 = {2, -2, 2} → Bebas
→ x2 = -3
jadi
47
Tidak Cocok
jadi tidak mempunyai jawab
▪▪
▪
▪
+2
-2
+1
-1X1
X2
CocokMempunyai jawab
0 = 0
2.
0 1
Menurut ilmu ukur persamaan tersebut sejajar.
3.
x1 – x2 = 1 , misal x2 = tx1 = 1 + t
x2 = t
4. x + 2y + 3z = 6
2x - y + z = 2
x + 7y + 8z = 11
0x1 + 0x2 = 1
x x
2x 2x1 2
1 2
2
2
x1 - x2 = 2
2x1 - 2x2 = 2
x x
2x 2x
1 2
1 2
1
2
0x1 + 0x2 = 0
48
0x + 0y + 0z = -1
0 ≠ -1
Tidak Cocok Jadi tidak mempunyai jawab
5. x 2y + 3z = 6
2x ─ y + z = 2
x + 3y ─ z = 3
y + z = 2 y = 1
x + 2y + 3z = 6 x = 1
6. 2x1 - x2 + x3 – x4 = 3
x1 + x2 - 2x3 = 2
x2 - x3 + x4 = 1
x1 + x2 - 2x3 = 2
x2 - x3 + x4 = 1 Misal : x4 = t
x3 + x4 = 1 x3 = 1 - t
x2 = 1 + 1 – t – t = 2 – 2t
x1 = 2 + 2 + 2t + 2 - 2t = 2
1000
2110
6321
1xII
~
~
1110
2110
6321
5:
5:
~
5550
10550
6321
~
5:
~
3410
10550
6321
1xI
2xI
~
3131
2112
6321
1100
2110
6321
5:
~
~
5500
2110
6321
1xII
~
~
3410
2110
6321
z = 1
1
1
1
z
y
x
110220 10
11110
20211
2:
~
~
20
11110
20211
3xII
~
~
11530
11110
20211
Mempunyai jawab
49
Jawaban Trivial
x1 = 2
x2 = 2 - 2t
x3 = 1 - t
x4 = t
PPeerrssaammaaaann LLiinniieerr HHoommooggeenn
1. x1 + x2 - x3 = 0
x1 - x2 + x3 = 0
2x1 + x2 + 2x3 = 0
2. 2x1 - x2 - x3 - x4 = 0
x1 + x2 - 2x3 = 0
x1 + x2 - 2x3 = 0
x2 - x3 + 1∕3x4 = 0
Misal :
x3 = s dan x4 = t
x2 = x3 - 1∕3x4 = s - 1∕3t
x1 = - x2 + 2x3 = - s + 1∕3t + 2s
= s + 1∕3tJawaban Tak trivial
50
JOB SHEET 8
Apakah sistem persamaan linier tak homogen di bawah ini
“Mempunyai Jawab” atau “Tidak mempunyai Jawab”, jika “Ya”
tentukan jawabannya !
1. x y + 2z = 1
x + y 2z = 2
x 3y z = 2
2. 2x1 + x2 + 2x3 + x4 = 1
x1 x2 2x3 = 2
2x1 3x2 + x3 2x4 = 2
3. x1 x2 x3 x4 2x5 = 3
2x1 x2 2x3 x4 2x5 = 2
3x1 x2 x3 2x4 x5 = 4
Apakah sistem persamaan linier homogen di bawah ini
mempunyai jawaban “Trivial” atau “Tak Trivial”
1. w + x 2y + z = 0
w + x 2y 2z = 0
2w x + 2y + 3z = 0
2. x1 x2 2x3 x4 3x5 = 0
x1 2x2 x3 2x5 = 0
x1 x2 x3 3x4 2x5 = 0
51
SSiiffaatt--ssiiffaatt PPeerrssaammaaaann LLiinniieerr TTaakk HHoommooggeenn
1. Tidak mempunyai penyelesaian, jika unsur terkanan dari
baris terbawah = 1
Contoh :
2. Mempunyai penyelesaian, jika unsur 1 dari baris terbawah
tidak pada kolom terakhir
Contoh :
a. Mempunyai tepat 1 penyelesaian, jika banyak baris tak
nol = banyak nilai yang dicari
b. Mempunyai lebih dari satu penyelesaian, jika banyak
baris tak nol banyak nilai yang dicari
Contoh :
1. x1 – x2 + x3 = 4
2x1 – x2 – x3 = 2
x1 – 2x3 = 1
Jawab :
Apakah persamaan iniMempunyai penyelesaian ?
Tidak mempunyai penyelesaian
;
52
2. x1 – x3 + 2x4 = 2
2x1 – x2 – x3 + x4 = 3
2x1 – 2x2 – x4 = 2
Jawab :
Penyelesaiannya :
Banyak baris tak nol = 3
Banyak nilai yang dicari = 4
x1 x3 + 2x4 = 2
x2 – x3 + 3x4 = 1
x4 = 0
x2 x3 + 3x4 = 1
x2 = 1 + x3 – 3x4 = 1 + t – 3(0) = 1 + t
x1 = 2 + x3 – 2x4 = 2 + t – 0 = 2 + t
Apakah persamaan iniMempunyai penyelesaian ?
Sifat 2Jadi mempunyai penyelesaian
3 < 4
Jadi lebih dari satupenyelesaian (sifat 4)
Misalkan :x3 = t
53
4 = 4
3. x1 + x2 – x3 + x4 = 3
2x1 – x2 + x3 – x4 = 1
x1 + 2x2 – x3 + 2x4 = 4
x1 + 2x2 – x3 + 3x4 = 5
Jawab :
Penyelesaiannya :
Banyak baris tak nol = 4
Banyak nilai yg dicari = 4
Jadi mempunyai tepat satu penyelesaian (sifat 3)
x4 = 1 , x3 = -2/3 , x2 = 1 – 1 = 0
x1 = 3 – x4 + x3 – x2 = 3 – 1 – 2/3 – 0 = 4/3
Apakah persamaan iniMempunyai penyelesaian ?
Sifat 2 : Mempunyai penyelesaian
54
JOB SHEET 9
Apakah persamaan-persamaan ini mempunyai penyelesaian.
Jika Ya, tentukan penyelesaiannya !
1. 4x1 + 8x2 – 4x3 = 4
x3 = 2 + x2
2. 2x1 – 2x3 – 2x4 = 2 + 4x2
x1 – 4x2 = 2 – x3 + 2x4
3. 2w – 2y – 2z = 2 + 4x
w – 4x = 2 – y + 2z
2 + x + y = 0
8x – 4y = 4
55
14
32A
( (λ – 2) (λ –1) – 12 = 0
301
120
801
A
KKAARRAAKKTTEERRIISSTTIIKK EEIIGGEENN
Batasan :
1. Vektor ū R, ū 0 dan R, dimana A ū = ū, maka
disebut nilai eigen
2. diketahui maka akan terdapat persamaan eigen dan
vektor eigen.
A matriks ukuran n x n dan bilangan sembarang, maka
terjadi :
A ū = ū A ū = I ū
I ū – A ū = 0 ( I – A) ū = 0
Supaya ada jawab tak trivial maka l I – A l = 0
Contoh :
1.
Jawab :
2.
Tentukan : 1. Persamaan eigen
2. Nilai eigen
3. Vektor-vektor eigen
4. Ruang eigen beserta basis dan dimensinya!
Carilah nilai-nilai eigen !
14
32
λ0
0λ
14
32
10
01λ
2 3
4 1
λ2 – 3λ + 2 – 12 = 0
λ2 – 3λ - 10 = 0 λ1 = 5 , λ2 = -2
56
NNiillaaii EEiiggeenn
– x3 = 0
Rt,
0
1
0
t
Jawab :
1.
2. – 2 = 0 1 = 2
( – 1) ( – 3) – 8 = 0
2 – 4 + 3 – 8 = 0
2 – 4 – 5 = 0 2 = 5 dan 3 = -1
3. 1 = 2
x3 = 0 x1 ― 0 = 0 x1 = 0
Misal x2 = t
Vektor eigen ialah
4.Ruang eigen E1 =
01
2λ0
01λ
3λ01
12λ0
801λ
= ( – 1) ( – 2) ( – 3) + 0 + 0 – 8 ( – 2) – 0 – 0 = 0
= ( – 2) { ( – 1) ( – 3) – 8} = 0 PPeerrssaammaaaann EEiiggeenn
1
2
3
2
5
1
101
100
801
3201
1220
8012
0
0
0
x
x
x
101
100
801
3
2
1 x1 – 8x3 = 0
- x1 – x3 = 0
3
2
1
x
x
x
= t
0
1
0
57
3x2 – x3 = 0
Misal : x2 = t , x3 = 3tx1 – 6t = 0
x1 = 6t
–3x2 – x3 = 0
Misal : x2 = t , x3 = -3tx1 – 12t = 0
x1 = 12t
dimensinya E1 = 1 , basis =
2 = 5
x1 – 2x3 = 0
3x2 – x3 = 0
-x1 + 2x3 = 0
Vektor eigen ialah =
Ruang eigen E2 =
Rt,
3
1
6
t
dimensinya E2 = 1 , basis =
3 = -1
-x1 – 4x3 = 0
-3x2 – x3 = 0
-x1 + 4x3 = 0
0
0
0
x
x
x
01
130
804
3
2
1
2
4x1 – 8x3 = 0
-x1 + 2x3 = 0
0
0
0
x
x
x
401
130
802
3
2
1 - 2x1 – 8x3 = 0
- x1 – 4x3 = 0
0
1
0
3
2
1
x
x
x
= t
3
1
6
3
1
6
59
JOB SHEET 10
Diketahui matriks :
Tentukan kedua Matriks di atas :
1. Persamaan eigen
2. Nilai eigen
3. Vektor-vektor eigen
4. Ruang eigen beserta basis dan dimensinya!
60
DDIIAAGGOONNAALLIISSAASSII
Batasan :
Matriks bujur sangkar dapat didiagonalkan, jika terdapat
matriks tak singular P, sehingga P-1.A.P matriks diagonal.
Misal A dapat didiagonalkan, maka terdapat matriks tak
singular P sehingga A1 = P-1.A.P
dimana :
A1 = matriks diagonal
P = matriks tak singular
Dalil :
Matriks A (berukuran n x n) dapat didiagonalkan jika dan
hanya jika A mempunyai n vektor eigen yang bebas linier,
dan vektor-vektor eigen matriks A itu adalah kolom-kolom
matriks P yang mendiagonalkan A.
Contoh :
1. Tunjukkan matriks A
= dapat didiagonalkan
2. Tentukan matriks tak singular yang mendiagonalkan
matriks A
3. Tentukan matriks diagonalnya.
Jawab :
1.
301
120
801
01
2λ0
01λ
3λ01
12λ0
801λ
= ( – 1) ( – 2) ( – 3) + 0 + 0 – 8 (– 2) – 0 – 0 = 0
= ( - 2) { ( – 1) ( – 3) – 8} = 0
61
–8x3 = 0
3x2 – x3 = 0
Misal : x2 = t , x3 = 3tx1 – 6t = 0
x1 = 6t
Nilai Eigen
– 2 = 0 1 = 2
( – 1) ( – 3) – 8 = 0
2 – 4 + 3 – 8 = 0
2 – 4 – 5 = 0 2 = 5 dan 3 = -1
1 = 2
0
0
0
x
x
x
101
100
801
3
2
1
x3 = 0 x1 ― 0 = 0 x1 = 0
Misal x2 = t
Vektor ā ialah
2 = 5
0
0
0
x
x
x
01
130
804
3
2
1
2
x1 – 2x3 = 0
3x2 – x3 = 0
-x1 + 2x3 = 0
Vektor ē ialah =
3
2
1
x
x
x
= t
3
1
6
– x3 = 0
4x1 – 8x3 = 0
- x1 + 2x3 = 0
1
2
3
2
5
1
-x1 – x3 = 0
3
2
1
x
x
x
= t
0
1
0
62
-3x2 – x3 = 0
Misal : x2 = t , x3 = -3t
x1 – 12t = 0
x1 = 12t
3
1
12
,
3
1
6
,
0
1
0
3 = -1
-x1 – 4x3 = 0
-3x2 – x3 = 0
-x1 + 4x3 = 0
Vektor ō ialah =
3
2
1
x
x
x
= t
Maka ā, ē, ō =
Himpunan vektor-vektor di atas merupakan calon P. Adapun
syarat P adalah (1) NNoonn SSiinngguullaarr (2) BBeebbaass lliinniieerr
Kita coba cek kedua syarat tersebut :
(1) Apakah Non Singular ?
(2) Apakah Bebas Linier ?
-2x1 – 8x3 = 0
-x1 – 4x3 = 0
3
1
12
0
0
0
x
x
x
401
130
802
3
2
1
= 36 + 18 = 54 0 (Non Singular)
63
330
111
1260
Karena kedua syarat terpenuhi ( non singular dan bebas linier)
maka himpunan vector-vektor tersebut syah sebagai P
selanjutnya berarti matriks A dapat didiagonalkan.
4. Jadi P =
5.Tentukan A1, cari dulu P -1 = ?
~
~
~
III2
100330
0011260
010111
100330
010111
0011260
~
3:
~
~
3100110
2-011800
010111
100330
2-011800
010111
~
III
II
0100
001-10
010111
2-0100
001-10
010111
-21
31
31
181818:
~
~
18
3:
~
~
300
210
111
1XII
~
~
110
210
111
3:
6:
~
330
1260
111
~
I
II
330
111
1260
100
210
111Banyak baris tak nol = 3
Banyak kolom tak nol = 3
Jadi ;
Bebas linier
64
91-
181
921
9-1
18-2
91-
181
92
181
3-1
0100
0010
1001
~
~
2xIII
000
0010
102-01
18
1
91
181
92
181
91
182
0
0
1
2
22
18
1
01
401
18
2
22
18
1
01
401
18
3
81
01
120
0
3
120
30
111
6
18
036
18
1
00
0900
0
1
02
00
050
0
Jadi P-1 =
A1 = P-1.A.P
Top Related