Bahasa
Halaman
Hukum
Mata Pelajaran:Matematika (Peminatan)
Kelas:X IPA
Topik:VEKTOR (1)
Materi:1.Pengertian dan Notasi Vektor
2.Operasi Aljabar pada Vektor
3.Vektor Posisi Suatu Titik
4.Besar atau Panjang Vektor
5.Vektor Satuan
TUGAS:
1.Pelajari materi dan contoh-contoh yang ada pada uraian materi di bawah ini.
2.Pelajari buku paket: Sukino, Matematika untuk SMA Kelas X jilid 1 Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-ilmu Alam, Terbitan Erlangga, Carilah materi terkait pada Bab 4 tentang Vektor.
3.Mengerjakan soal Latihan 1, 2, dan 3.
4.Pekerjaan ditulis di kertas folio, kemudian di foto, hasilnya dikirim ke Pak Priyo via WA secara individu (japri).
Ttd.
Guru Mapel Matematika
Yohannes Priyo Istiarto
BAB 4 VEKTOR
A. VEKTOR DI BIDANG (RUANG DIMENSI 2)
1.Pengertian dan Notasi Vektor
Dalam mata pelajaran Fisika dipelajari konsep tentang besaran. Besaran terdiri dari besaran scalar dan besaran vektor.
Skalar adalah suatu kuantitas (besaran) yang mempunyai besar tetapi tidak mempunyai arah, misalnya : panjang, luas, volume, temperatur/suhu.
Vektor adalah suatu kuantitas yang mempunyai besar dan arah (direction), misalnya : perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya.
Notasi:
Skalar ditulis dengan huruf kecil atau huruf besar tanpa strip; a, b, A, B, …
Vektor ditulis dengan huruf kecil atau huruf besar dengan strip di bawah atau di atasnya;
a
,
a
,
®
a
,
A
, … . Dalam buku cetak sering ditulis dengan cetak tebal; a, b, A, B, ...
Secara gambar, vektor ditunjukkan oleh segmen garis atau ruas garis berarah, yang panjangnya menentukan besarnya dan ujung anak panah menunjukkan arahnya.
Ruas garis berarah ditulis dengan notasi
®
AB
, dengan A titik pangkal dan B titik ujung, maka arah vektor
®
AB
adalah dari A ke B
a
AB
=
®
a
AB
=
®
a
-
a
a
menyatakan panjang (besar) vektor
a
k
menyatakan harga mutlak k (bukan vektor).
b
a
-
adalah vektor yang besarnya sama dengan vektor
a
tetapi arahnya berlawanan.
b
a
=
b
a
2.Aljabar Vektor di R-2 dengan Pendekatan Geometris (Gambar)
a.Vektor nol
Vektor nol adalah vektor yang panjangnya nol, misalnya
®
AA
,
®
BB
.
b.Kesamaan Dua Vektor
b
a
+
Dua vektor
a
dan
b
dikatakan sama jika panjang dan arahnya sama.
b
v
v
u
w
u
w
w
v
u
+
+
a
Pada jajargenjang ABCD di samping, ruas garis berarah
®
AB
dan
®
DC
adalah wakil-wakil dari vektor yang sama sehingga dapat nyatakan
®
®
=
DC
AB
, demikian juga
®
®
=
BC
AD
.
b
a
+
b
b
b
a
b
-
Pada segi enam beraturan ABCDEF yang berpusat di O, dapat ditemukan beberapa ruas garis berarah yang mewakili vector yang sama, misalnya:
b
-
b
a
-
a
(i)
®
®
®
®
=
=
=
OC
FO
ED
AB
a
2
-
a
3
(ii)
®
®
®
®
=
=
=
OD
AO
FE
BC
(iii)
®
®
®
®
=
=
=
OE
BO
CD
AF
c.Jumlah Dua Vektor
*Aturan Segitiga (Poligon)
Vektor
b
a
+
adalah vektor yang bertitik pangkal di titik awal
a
dan berakhir di titik akhir
b
yang sudah digeser sehingga titik akhir
a
berimpit dengan titik pangkal
b
.
u
v
v
u
2
-
u
2
u
v
2
-
v
u
+
2
v
a
b
Untuk tiga vektor atau lebih
c
a
b
c
a
c
b
c
a
b
a
j
i
u
2
v
2
v
2
a
u
2
v
Pada segi enam beraturan ABCDEF yang berpusat di O,
u
(i)
®
®
®
®
®
®
=
+
+
+
+
AF
EF
DE
CD
BC
AB
j
i
p
A
a
b
-
(ii)
®
®
®
®
®
=
+
+
+
AO
DO
CD
BC
AB
(iii)
®
®
®
®
®
=
=
+
+
AO
AD
ED
OE
AO
2
a
B
(iv)
®
®
®
®
®
®
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
=
+
+
OC
AF
AB
ED
AF
AB
®
®
®
=
+
=
AC
OC
AO
*Aturan Jajargenjang
Vektor
b
a
+
adalah diagonal jajargenjang yang dibentuk dengan cara memindahkan vektor
b
sehingga titik pangkanya berimpit dengan titik pangkal vektor
a
.
b
)
,
(
m
l
P
p
j
i
)
,
(
A
A
y
x
A
a
b
-
)
,
(
B
B
y
x
B
b
a
)
,
,
(
z
y
x
P
k
Sifat-sifat Penjumlahan Vektor
1)Penjumlahan dua vektor
a
dan
b
bersifat komutatif
a
b
b
a
+
=
+
2)Penjumlahan tiga vektor
a
,
b
, dan
c
bersifat asosiatif
)
(
)
(
c
b
a
c
b
a
+
+
=
+
+
3)Ada unsur identitas pada penjumlahan vektor, yaitu vektor nol
)
(
o
sehingga
a
a
o
o
a
=
+
=
+
4)Pada penjumlahan vektor, setiap vektor mempunyai lawan (invers penjumlahan) bagi vektor itu. Lawan dari
a
adalah
a
-
(dan sebaliknya), sehingga berlaku
o
a
a
a
a
=
+
-
=
-
+
)
(
)
(
d.Pengurangan atau Selisih Dua Vektor
Definisi
Andaikan diketahui vektor
a
dan vektor
b
. Pengurangan atau selisih vektor
a
dengan vektor
b
ditentukan sebagai jumlah vektor
a
dengan lawan dari vektor
b
.
r
)
,
,
(
z
y
x
P
)
(
b
a
b
a
-
+
=
-
j
i
p
a
b
p
)
,
,
(
z
y
x
P
p
a
b
e.Hasil Kali Skalar dengan Vektor
Definisi
Misalkan k adalah suatu skalar (bilangan real) dan
a
adalah suatu vektor. Hasil kali skalar k dengan vektor
a
, ditulis
a
k
Ditentukan sebagai berikut:
Panjang vektor
a
k
sama dengan hasil kali
k
dengan panjang vektor
a
.
-jika nilai
0
>
k
, maka vektor
a
k
searah dengan vektor
a
.
-jika nilai
0
<
k
, maka vektor
a
k
berlawanan arah dengan vektor
a
.
a
e
ˆ
Contoh 1:
Gambar berikut adalah vektor-vektor
u
dan
v
dimana
5
1
,
=
u
cm dan
2
=
v
cm.
Gambarlah vektor-vektor berikut ini
a)
v
u
+
2
b)
v
u
2
-
Jawab:
a)
b)
Sifat-sifat Hasil kali Skalar dengan Vektor
Andaikan k dan l adalah skalar-skalar,
a
dan
b
adalah vektor-vektor sembarang, maka berlaku:
1)
a
l
a
k
a
l
k
+
=
+
)
(
2)
b
k
a
k
b
a
k
+
=
+
)
(
3)
a
kl
a
l
k
)
(
)
(
=
4)
a
a
=
1
5)
a
a
-
=
-
)
(
1
LATIHAN 1
1.Gambarlah jajargenjang ABCD, diagonal AC dan BD berpotongan di E. Jika
u
AB
=
®
(ruas garis berarah AB mewakili vektor
u
) dan
v
AD
=
®
(ruas garis berarah AD mewakili vektor
v
).
a.Sebutkan ruas garis berarah yang mewakili :
(i)
v
u
+
(ii)
v
u
-
b.Nyatakan dengan vektor
u
dan
v
:
(i)
®
BE
(iii)
®
CE
(ii)
®
AE
(iv)
®
DE
c.Sederhanakan dan nyatakan dengan vektor
u
dan
v
:
(i)
®
®
+
CD
AB
(iii)
®
®
®
+
+
ED
CE
BC
(ii)
®
®
+
DE
AD
(iv)
®
®
®
-
+
AE
AD
AB
2.Pada titik P bekerja tiga buah gaya, seperti pada gambar berikut
Jika
3
=
a
,
2
=
b
, dan
4
=
c
, vektor
c
b
a
r
+
+
=
, dengan aturan jajargenjang lukislah vektor
r
.
3.Diketahui vektor-vektor berikut
Jika
2
=
a
cm,
1
=
b
cm, dan
5
2
,
=
c
cm, lukislah vector-vektor berikut dengan aturan segitiga (polygon).
a.
c
b
a
+
+
b.
c
b
a
2
3
+
-
c.
c
b
a
2
3
+
-
-
d.
c
b
a
-
-
2
3.Vektor-Vektor Pada Bidang
Teorema
Jika
a
,
b
, dan
c
tiga buah vektor yang sebidang (koplanar) dan tidak searah, maka salah satu vektor dapat dinyatakan dengan vektor lainnya.
b
k
OP
=
®
,
a
l
OR
PQ
=
=
®
®
, dan
c
OQ
=
®
Di mana k dan l adalah skalar-skalar, maka
®
®
®
+
=
PQ
OP
OQ
b
k
a
l
c
+
=
Dikatakan:
Vektor
c
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari dua vektor
a
dan
b
.
Vektor
a
dan
b
disebut sebagai basis atau dasar untuk semua vektor pada bidang itu.
4.Sistem Koordinat pada Bidang (Ruang Dimensi 2)
Dalam sistem koordinat tegak lurus dengan vektor-vektor basis
i
dan
j
yang panjangnya masing-masing 1 satuan dan arahnya saling tegak lurus.
Vektor basis
i
dan
j
sering ditulis dalam bentuk vektor kolom
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
0
1
i
dan
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
1
0
j
Pehatikan gambar berikut:
®
OP
mewakili vektor
a
Dalam bentuk kombinasi linear ditulis
j
i
a
3
5
+
=
.
Dalam bentuk vektor baris ditulis
(
)
3
5
=
a
Dalam bentuk vektor kolom ditulis
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
3
5
a
Contoh 2:
Diketahui vektor
j
i
u
+
=
3
, vektor
j
i
v
2
+
-
=
, dan vektor
v
u
a
2
2
+
=
. Nyatakan vektor
a
dalam bentuk kombinasi linear vektor basis
i
dan
j
.
Jawab:
v
u
a
2
2
+
=
)
(
)
(
j
i
j
i
a
2
2
3
2
+
-
+
+
=
j
i
j
i
a
4
2
2
6
+
-
+
=
j
i
a
6
4
+
=
5.Vektor Posisi Suatu Titik
Jika O titik pangkal koordinat dan
)
,
(
p
p
y
x
P
sebuah titik, vektor yang diwakili oleh
®
OP
disebut vektor posisi titik
)
,
(
p
p
y
x
P
. Dilambangkan dengan
p
.
Dalam bentuk vektor kolom ditulis
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
p
p
y
x
p
, dalam bentuk kombinasi vektor basis ditulis
j
y
i
x
p
p
p
+
=
. Absis
p
x
dan ordinat
p
y
menjadi komponen vektornya.
Setiap vektor merupakan vektor posisi suatu titik . Vektor
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
4
3
a
atau
j
i
a
4
3
+
=
adalah vektor posisi dari titik
)
,
(
4
3
A
dan
®
OA
sebagai wakil vektornya.
Teorema
Jika
a
dan
b
vektor-vektor posisi dari titik A dan B, maka
®
AB
mewakili vektor
a
b
-
\
a
b
AB
-
=
®
6.Besar atau Panjang Vektor
Untuk menghitung besar (panjang) vektor digunakan sistem koordinat berbasis
i
dan
j
yang saling tegak lurus dan panjangnya satu.
Dalam bentuk vektor kolom
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
0
1
i
dan
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
1
0
j
Pehatikan gambar berikut:
Vektor posisi titik
)
,
(
m
l
P
yaitu
j
m
i
l
p
+
=
atau
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
m
l
p
Besar vektor
p
ditentukan oleh panjang
®
OP
, yaitu:
2
2
m
l
OP
p
+
=
=
®
Contoh 3:
Diketahui vektor
j
i
p
12
5
+
=
, tentukan besar vektor
p
.
Jawab:
13
169
144
25
12
5
2
2
=
=
+
=
+
=
=
®
OP
p
Andaikan vektor
v
diwakili oleh
®
AB
, lihat gambar
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
=
-
=
=
®
A
B
A
B
y
y
x
x
a
b
AB
v
, sehingga
2
2
)
(
)
(
A
B
A
B
y
y
x
x
AB
v
-
+
-
=
=
®
Contoh 4:
Diketahui vektor
j
i
a
2
14
+
-
=
dan
j
i
b
5
10
-
=
merupakan vektor posisi dari titik A dan B. Andaikan vektor
v
diwakili oleh
®
AB
, tentukan panjang vektor
v
.
Jawab :
2
2
)
(
)
(
A
B
A
B
y
y
x
x
AB
v
-
+
-
=
=
®
25
625
49
576
7
24
2
5
14
10
2
2
2
2
=
=
+
=
-
+
=
-
-
+
-
-
=
=
®
)
(
)
(
))
(
(
AB
v
7.Operasi Aljabar Vektor di Ruang Dimensi 2 Secara Analitik
Secara analitik, operasi aljabar vektor di ruang dimensi 2 biasanya disajikan dalam bentuk vektor kolom
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
1
1
y
x
a
,
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
2
2
y
x
b
, dan berlaku aturan berikut :
a.Kesamaan Dua Vektor
Jika
b
a
=
maka
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
2
2
1
1
y
x
y
x
yang berarti
2
1
x
x
=
dan
2
1
y
y
=
b.Penjumlahan Vektor
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
+
2
1
2
1
2
2
1
1
y
y
x
x
y
x
y
x
b
a
-unsur identitas penjumlahan vektor adalah vektor nol
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
0
0
o
.
-invers penjumlahan (lawan) vektor
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
1
1
y
x
a
adalah
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
=
-
1
1
y
x
a
c.Pengurangan vektor
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
=
-
2
1
2
1
2
2
1
1
y
y
x
x
y
x
y
x
b
a
b
a
)
(
d.Perkalian vektor dengan skalar (bilangan real)
Andaikan m bilangan real
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
1
1
1
1
my
mx
y
x
m
a
m
Contoh 5:
Diketahui titik
)
,
(
5
2
A
dan
)
,
(
3
4
-
B
. Jika
a
dan
b
berturut-turut vektor posisi dari titik A dan B, nyatakan vektor-vektor berikut dalam bentuk vektor kolom, kemudian hitung panjangnya.
a.
a
dan
b
c.
b
a
+
dan
a
b
-
b.
a
2
dan
b
2
d.
b
a
-
2
dan
a
b
+
2
Jawab:
a.
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
5
2
a
sehingga
29
25
4
5
2
2
2
=
+
=
+
=
a
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
3
4
b
sehingga
5
25
9
16
3
4
2
2
=
=
+
=
+
-
=
)
(
b
b.
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
10
4
5
2
2
2
a
sehingga
29
2
116
100
16
10
4
2
2
2
=
=
+
=
+
=
a
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
6
8
3
4
2
2
b
sehingga
10
100
36
64
6
8
2
2
2
=
=
+
=
+
-
=
)
(
b
c.
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
+
8
2
3
5
4
2
3
4
5
2
)
(
b
a
sehingga
17
2
68
64
4
8
2
2
2
=
=
+
=
+
-
=
+
)
(
b
a
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
-
2
6
5
3
2
4
5
2
3
4
a
b
sehingga
10
2
40
4
36
2
6
2
2
=
=
+
=
-
+
-
=
-
)
(
)
(
a
b
d.
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
-
7
8
3
4
10
4
2
b
a
sehingga
113
49
64
7
8
2
2
2
=
+
=
+
=
-
b
a
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
+
11
6
5
2
6
8
2
a
b
sehingga
157
121
36
11
6
2
2
2
=
+
=
+
-
=
+
)
(
a
b
LATIHAN 2
1.Diketahui vektor
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
4
3
u
,
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
3
0
v
, dan
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
3
4
w
. Nyatakan vektor-vektor berikut dalam bentuk vektor kolom!
a.
v
u
+
d.
)
(
w
v
u
+
-
2
b.
w
v
+
e.
w
u
v
2
3
+
-
c.
v
w
u
+
-
f.
w
v
u
3
2
4
+
-
2.Diketahui vektor
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
3
2
a
,
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
1
1
b
, dan
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
4
2
c
. Tentukan :
a.
c
c.
b
c
-
b.
b
a
+
d.
b
a
2
-
3.Diketahui vektor
j
i
a
2
3
-
=
,
j
i
b
3
2
+
-
=
, dan
j
i
c
2
-
=
. Nyatakan vektor-vektor berikut dalam bentuk kombinasi linear vektor
i
dan
j
!
a.
b
a
2
+
c.
c
b
a
-
+
2
1
2
3
b.
c
b
a
3
2
3
1
+
+
-
d.
c
b
a
2
2
2
+
-
4.Diketahui vektor
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
3
2
a
,
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
1
2
b
, dan
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
=
2
1
c
. Nyatakan vektor
x
dalam bentuk vektor kolom dari tiap persamaan berikut, kemudian tentukan panjang vektor
x
.
a.
c
a
x
=
-
c.
a
b
x
3
2
=
-
b.
c
b
a
x
=
+
+
d.
a
b
x
c
+
=
-
2
3
2
8.Vektor Satuan dalam Bidang
Misalkan vektor
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
y
x
a
. Vektor satuan dari vektor
a
dilambangkan dengan
e
ˆ
(dibaca; ”e topi”), adalah vektor yang searah dengan vektor
a
dan besarnya satu satuan (
1
=
e
ˆ
)
Misalkan vektor
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
y
x
a
, vektor satuan dari
a
ditentukan dengan rumus:
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
+
=
=
y
x
y
x
y
x
a
a
a
e
2
2
2
2
1
ˆ
Contoh 6:
Misalkan diketahui vektor
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
3
4
a
, tentukan vektor satuan dari vektor
a
.
Jawab:
Besar vektor
a
adalah
5
25
3
4
2
2
=
=
-
+
=
)
(
a
Vektor satuan dari
a
adalah
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
+
=
=
-
5
3
5
4
2
2
3
4
5
1
3
4
3
4
1
)
(
ˆ
a
a
e
Jadi, vektor satuan dari
a
adalah
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
-
5
3
5
4
e
ˆ
,
Atau dalam bentuk kombinasi linear vektor basis dapat ditulis
j
i
e
5
3
5
4
-
=
ˆ
.
Cek, apakah
1
=
e
ˆ
j
i
e
5
3
5
4
-
=
ˆ
1
1
25
25
25
9
25
16
2
5
3
2
5
4
=
=
=
+
=
-
+
=
)
(
)
(
ˆ
e
B.VEKTOR DI RUANG (RUANG DIMENSI 3)
1.Sistem Koordinat Ruang
Tiga buah sumbu koordinat yang saling tegak lurus yaitu sumbu X, Y, dan Z, ketiganya berpotongan di titik O.
Misalkan titik P terletak di Ruang (R-3), maka letak titik P ditentukan oleh pasangan terurut tiga bilangan
)
,
,
(
z
y
x
dan dinamakan koordinat ruang titik P.
2.Vektor Basis dalam Ruang
Misalkan
i
,
j
, dan
k
adalah vektor-vektor tak sebidang dengan panjang satu satuan dan berturut-turut berimpit dengan sumbu X, Y, dan Z.
Dari titik
)
,
,
(
0
0
0
O
dan
)
,
,
(
z
y
x
P
, ruas garis berarah
OP
sebagai wakil vektor
r
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear
k
z
j
y
i
x
r
+
+
=
Bilangan real x, y, dan z disebut komponen-komponen vektor
r
.
Vektor-vektor
i
,
j
, dan
k
disebut vektor-vektor basis di R-3, atau vektor-vektor satuan dalam arah-arah x, y, dan z.
Vektor
r
dapat juga dinyatakan dalam bentuk :
Vektor baris
(
)
z
y
x
r
=
Vektor kolom
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
z
y
x
r
Jika titik pangkal vektor tidak berada di
)
,
,
(
0
0
0
O
Misalkan titik
)
,
,
(
a
a
a
z
y
x
A
sebagai titik pangkal dan
)
,
,
(
b
b
b
z
y
x
B
sebagai titik ujung. Ruas garis berarah
®
AB
sebagai wakil vektor
p
atau
®
=
AB
p
Menggunakan aturan penjumlahan vektor:
®
®
®
=
+
OB
AB
OA
®
®
®
-
=
Û
OA
OB
AB
®
®
-
=
Û
OA
OB
p
Ruas garis berarah
®
OA
mewakili vektor
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
a
a
a
z
y
x
a
dan
®
OB
mewakili vektor
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
b
b
b
z
y
x
b
, sehingga:
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-
-
=
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
-
=
a
b
a
b
a
b
a
a
a
b
b
b
z
z
y
y
x
x
z
y
x
z
y
x
a
b
p
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-
-
=
\
a
b
a
b
a
b
z
z
y
y
x
x
p
3. Aljabar Vektor dalam Ruang
a. Kesamaan Dua Vektor dalam Ruang
Definisi
Misalkan vektor
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
a
a
a
z
y
x
a
dan vektor
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
b
b
b
z
y
x
b
,
b
a
=
jika dan hanya jika
,
,
b
a
b
a
y
y
x
x
=
=
dan
b
a
z
z
=
b.Penjumlahan Dua Vektor dalam Ruang
Definisi
Misalkan vektor
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
a
a
a
z
y
x
a
dan vektor
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
b
b
b
z
y
x
b
, maka jumlah vektor
a
dan
b
adalah
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
+
+
+
=
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
+
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
+
b
a
b
a
b
a
b
b
b
a
a
a
z
z
y
y
x
x
z
y
x
z
y
x
b
a
*Unsur identitas penjumlahan vektor di ruang adalah vektor
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
0
0
0
o
yang bersifat
a
a
o
o
a
=
+
=
+
*Lawan dari vektor
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
a
a
a
z
y
x
a
adalah
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-
-
=
-
a
a
a
z
y
x
a
c.Pengurangan dua vektor di ruang
Definisi
Misalkan vektor
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
a
a
a
z
y
x
a
dan vektor
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
b
b
b
z
y
x
b
, maka
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
-
-
=
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
-
b
a
b
a
b
a
b
b
b
a
a
a
z
z
y
y
x
x
z
y
x
z
y
x
b
a
d.Hasil Kali Skalar dengan Vektor di Ruang
Misalkan m adalah skalar (bilangan real), maka
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
a
a
a
a
a
a
z
m
y
m
x
m
z
y
x
m
a
m
Contoh 7:
Diketahui vektor-vektor
k
j
i
a
6
12
3
+
-
=
,
k
j
i
b
2
6
4
-
+
=
, dan
j
i
c
15
3
+
-
=
.
a.Nyatakan vektor-vektor
a
,
b
, dan
c
dalam bentuk vektor kolom.
b.Nyatakan vektor-vektor berikut dalam bentuk vektor kolom.
(i)
b
a
+
(iv)
c
a
+
3
(ii)
c
a
-
(v)
c
3
1
(iii)
b
2
(vi)
c
b
a
3
1
2
1
3
1
+
-
Jawab:
a.
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
+
-
=
6
12
3
6
12
3
k
j
i
a
,
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
-
+
=
2
6
4
2
6
4
k
j
i
b
,
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
+
-
=
0
15
3
15
3
j
i
c
b.(i)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
+
-
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
+
4
6
7
2
6
6
12
4
3
2
6
4
6
12
3
)
(
b
a
(ii)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
-
-
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
-
6
27
6
0
6
15
12
3
3
0
15
3
6
12
3
)
(
c
a
(iii)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
´
´
´
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
4
12
8
2
2
6
2
4
2
2
6
4
2
2
)
(
b
(iv)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
+
18
21
6
0
15
3
18
36
9
0
15
3
6
12
3
3
3
c
a
(v)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
0
5
1
0
15
3
3
1
3
1
c
(vi)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
+
-
3
2
2
0
5
1
1
3
2
2
4
1
0
15
3
2
6
4
6
12
3
3
1
2
1
3
1
3
1
2
1
3
1
c
b
a
Contoh 8:
Diketahui tiga buah titik
)
,
,
(
2
3
3
A
,
)
,
,
(
1
5
4
B
, dan
)
,
,
(
2
11
7
-
C
. Ruas-ruas garis berarah
®
OA
,
®
OB
, dan
®
OC
mewakili vektor
a
,
b
, dan
c
.
a.Nyatakan
a
,
b
, dan
c
dalam bentuk vektor kolom.
b.Nyatakan
®
AB
,
®
BC
, dan
®
AC
dalam bentuk vektor kolom.
c.Tunjukkan bahwa
)
,
,
(
2
3
3
A
,
)
,
,
(
1
5
4
B
, dan
)
,
,
(
2
11
7
-
C
segaris (kolinear).
d.Tentukan perbandingan
BC
AB
:
Jawab:
a.
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
2
3
3
a
,
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
1
5
4
b
, dan
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
2
11
7
c
b.
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
-
=
®
1
2
1
2
3
3
1
5
4
a
b
AB
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
-
=
®
3
6
3
1
5
4
2
11
7
b
c
BC
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
-
=
®
4
8
4
2
3
3
2
11
7
a
c
AC
c.Untuk munjukkan bahwa
)
,
,
(
2
3
3
A
,
)
,
,
(
1
5
4
B
, dan
)
,
,
(
2
11
7
-
C
segaris, cukup ditunjukkan bahwa
®
AB
dan
®
BC
searah.
Dari jawaban b. tampak bahwa
®
®
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
AB
BC
3
1
2
1
3
3
6
3
, jadi
®
AB
dan
®
BC
searah sehingga
A
,
B
, dan
C
segaris (kolinear).
d.Karena
®
®
=
AB
BC
3
maka
AB
BC
3
=
sehingga
3
1
:
:
=
BC
AB
4.Panjang Vektor di Ruang
®
OP
mewakili vektor
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
z
y
x
p
maka panjang (besar) vektor
p
adalah
2
2
2
z
y
x
OP
p
+
+
=
=
®
Jika titik pangkal vektor tidak berada di
)
,
,
(
0
0
0
O
Misalkan titik
)
,
,
(
a
a
a
z
y
x
A
sebagai titik pangkal dan
)
,
,
(
b
b
b
z
y
x
B
sebagai titik ujung. Ruas garis berarah
®
AB
sebagai wakil vektor
p
, maka panjang vektor
p
2
2
2
)
(
)
(
)
(
a
b
a
b
a
b
z
z
y
y
x
x
AB
p
-
+
-
+
-
=
=
®
Catatan:
Rumus panjang (besar) vektor
2
2
2
)
(
)
(
)
(
a
b
a
b
a
b
z
z
y
y
x
x
AB
p
-
+
-
+
-
=
=
®
mirip dengan rumus jarak antara dua titik, bahwa jarak antara titik
)
,
,
(
a
a
a
z
y
x
A
dan titik
)
,
,
(
b
b
b
z
y
x
B
yaitu
2
2
2
)
(
)
(
)
(
a
b
a
b
a
b
z
z
y
y
x
x
AB
-
+
-
+
-
=
®
Contoh 9:
Diketahui vektor-vektor
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
3
2
1
a
,
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
=
2
3
2
b
, dan
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
2
4
3
c
.
a.Nyatakan vektor-vektor tersebut dengan kombinasi linear vektor
i
,
j
, dan
k
.
b.Hitunglah panjang masing-masing vektornya.
Jawab:
a.
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
3
2
1
a
maka
k
j
i
a
3
2
+
+
-
=
,
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
=
2
3
2
b
maka
k
j
i
b
2
3
2
-
+
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
2
4
3
c
maka
k
j
i
c
2
4
3
+
+
=
b.
14
9
4
1
3
2
1
2
2
2
=
+
+
=
+
+
-
=
)
(
a
Jadi panjang vektor
a
adalah
14
=
a
17
4
9
4
2
3
2
2
2
2
=
+
+
=
-
+
+
-
=
)
(
)
(
b
Jadi panjang vektor
b
adalah
17
=
b
29
4
16
9
2
4
3
2
2
2
=
+
+
=
+
+
=
c
Jadi panjang vektor
c
adalah
29
=
c
Contoh 10:
Diberikan titik
)
,
,
(
2
4
3
P
dan
)
,
,
(
1
5
2
-
Q
a.Nyatakan vektor posisi
®
=
OP
p
dan
®
=
OQ
q
tersebut dengan kombinasi linear vektor
i
,
j
, dan
k
.
b.Jika vektor
®
=
PQ
a
, tentukan vektor
a
dengan kombinasi linear vektor
i
,
j
, dan
k
.
c.Tentukan panjang vektor
p
,
q
, dan
a
.
d.Tentukan panjang vektor berikut:
(i)
p
2
dan
q
2
(ii)
q
p
+
dan
p
q
-
(iii)
q
p
-
2
dan
p
q
+
2
Jawab:
a.
k
j
i
OP
p
2
4
3
+
+
=
=
®
,
k
j
i
OQ
q
+
-
=
=
®
5
2
b.
®
®
®
-
=
=
OP
OQ
PQ
a
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
-
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
-
=
1
9
1
2
1
4
5
3
2
2
4
3
1
5
2
p
q
a
Jadi
k
j
i
a
-
-
-
=
9
c.
29
4
16
9
2
4
3
2
2
2
=
+
+
=
+
+
=
p
30
1
25
4
1
5
2
2
2
2
=
+
+
=
+
-
+
=
)
(
q
83
1
81
1
1
9
1
2
2
2
=
+
+
=
-
+
-
+
-
=
)
(
)
(
)
(
a
d.(i)
k
j
i
k
j
i
p
4
8
6
2
4
3
2
2
+
+
=
+
+
=
)
(
29
2
116
16
64
36
4
8
6
2
2
2
2
=
=
+
+
=
+
+
=
p
k
j
i
k
j
i
q
2
10
4
5
2
2
2
+
-
=
+
-
=
)
(
30
2
120
4
100
16
2
10
4
2
2
2
2
=
=
+
+
=
+
-
+
=
)
(
q
(ii)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
+
3
1
5
1
5
2
2
4
3
q
p
maka
35
9
1
25
3
1
5
2
2
2
=
+
+
=
+
-
+
=
+
)
(
q
p
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
-
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
-
1
9
1
2
1
4
5
3
2
2
4
3
1
5
2
p
q
maka
83
1
81
1
1
9
1
2
2
2
=
+
+
=
-
+
-
+
-
=
-
)
(
)
(
)
(
p
q
(iii)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
-
3
13
4
1
5
2
4
8
6
2
q
p
maka
194
9
169
16
3
13
4
2
2
2
2
=
+
+
=
+
+
=
-
q
p
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
+
4
6
7
2
4
3
2
10
4
2
p
q
maka
101
16
36
49
4
6
7
2
2
2
2
=
+
+
=
+
-
+
=
+
)
(
p
q
5.Vektor Satuan dari suatu Vektor
Untuk setiap vektor
a
yang bukan vektor nol, dapat ditentukan vektor satuan dari vektor
a
dan dilambangkan dengan
e
ˆ
(baca:“e topi“). Vektor satuan ini mempunyai panjang satu dan searah dengan vektor
a
.
Vektor Satuan dari
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
z
y
x
a
adalah
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+
=
+
+
=
=
z
y
x
z
y
x
z
y
x
a
a
a
e
2
2
2
2
2
2
1
ˆ
Contoh 11 :
Andaikan vektor
k
j
i
a
6
3
2
+
+
-
=
, carilah vektor satuan dari vektor
a
.
Jawab:
Panjang vektor
a
adalah
7
49
36
9
4
6
3
2
2
2
2
=
=
+
+
=
+
+
-
=
)
(
a
Vektor satuan dari vektor
a
adalah
k
j
i
k
j
i
k
j
i
a
a
e
7
6
7
3
7
2
7
1
6
3
2
7
6
3
2
+
+
-
=
+
+
-
=
+
+
-
=
=
)
(
ˆ
Jadi, vektor satuan dari
a
adalah
k
j
i
e
7
6
7
3
7
2
+
+
-
=
ˆ
Atau, dalam bentuk vektor kolom
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
=
7
6
7
3
7
2
e
ˆ
LATIHAN 3
1.Diketahui vektor-vektor
k
j
i
a
+
-
=
2
3
,
k
j
i
b
3
4
2
+
-
=
, dan
k
j
i
c
2
2
+
+
-
=
. Hitunglah
a.
a
d.
c
b
a
+
+
b.
b
e.
c
b
a
-
+
c.
c
f.
c
b
a
5
3
2
-
-
2.Untuk vektor-vektor pada soal Nomor 1 tentukan vektor satuan dari:
a.
a
d.
c
b
a
+
+
b.
b
e.
c
b
a
-
+
c.
c
f.
c
b
a
5
3
2
-
-
3.Misalkan vektor
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
5
4
2
u
, vektor
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
3
2
1
v
, dan vektor
w
adalah resultan (jumlah) dari vektor
u
dan vektor
v
.
a.Nyatakan vektor
w
dalam bentuk vektor kolom.
b.Hitunglah panjang vektor
u
,
v
, dan
w
.
c.Tentukan vektor-vektor satuan dari
u
,
v
, dan
w
.
4.Misalkan vektor
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
3
2
x
a
, vektor
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
=
6
1
1
b
, dan
b
a
=
a.Carilah nilai x.
b.Tentukan vektor satuan dari
a
dan vektor satuan
b
.
5.Diketahui 4 buah vektor
k
j
i
p
5
3
2
-
+
=
,
k
j
i
q
3
5
+
+
-
=
,
k
j
i
r
4
2
+
-
=
, dan
k
j
i
s
2
3
4
-
+
=
.
a.Tentukan resultan dari vektor-vektor
p
,
q
,
r
, dan
s
.
b.Hitunglah panjang vektor resultan.
c.Tentukan vektor satuan dari vektor resultan.
6.Hitunglah jarak antara setiap pasangan titik berikut ini:
a.
)
,
,
(
0
0
0
O
dan
)
,
,
(
9
2
6
-
A
d.
)
,
,
(
2
3
1
-
F
dan
)
,
,
(
5
0
4
-
G
b.
)
,
,
(
0
2
6
-
B
dan
)
,
,
(
7
3
2
C
e.
)
,
,
(
3
0
2
P
dan
)
,
,
(
0
2
0
Q
c.
)
,
,
(
0
3
0
D
dan
)
,
,
(
2
0
6
E
f.
)
,
,
(
1
2
3
-
R
dan
)
,
,
(
3
5
2
S
B
� EMBED Equation.3 ���
A
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
C
D
A
B
D
E
F
O
C
B
A
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
D
E
F
O
C
B
A
B
A
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
C
E
D
v
u
B
A
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
P
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
R
Q
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
O
P
� EMBED Equation.3 ���
y
P(5,3)
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
x
O
� EMBED Equation.3 ���
y
6
4
2
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
3 4 6 x
� EMBED Equation.3 ���
O
� EMBED Equation.3 ���
( P
y
x
O
y
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
O
x
y
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
O
� EMBED Equation.3 ���
x
y
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
O
x
z
O
y
x
z
z
� EMBED Equation.3 ���
O
y
y
x
x
z
z
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
O
� EMBED Equation.3 ���
y
y
� EMBED Equation.3 ���
x
x
z
A
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
B
� EMBED Equation.3 ���
y
O
x
z
z
C
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
O
B
y
x
y
D
x
z
A
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
B
� EMBED Equation.3 ���
y
O
x
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Vektor 1 / X IPA
Top Related