7/16/2019 VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN SUMBU X DAN SUMBU Y
http://slidepdf.com/reader/full/volume-benda-putar-yang-diputar-dengan-sumbu-x-dan-sumbu-y 1/25
KALKULUS II
VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN
SUMBU X DAN SUMBU Y
KELOMPOK 4
DEWI PUTRI 135500060
BEATRIX DA SILVA FORESIN 135500063
SYARIFAH AINI 135500077
MARLIN H. GAT 135500092
VERONIKA DAIMAN 135500095
YENI IRMAWATI 135500177
ANDIKA KAROMAH DEWI 135500195
UNIVERSITAS PGRI ADI BUANA SURABAYA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PENDIDIKAN MATEMATIKA 2013/B
2015
7/16/2019 VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN SUMBU X DAN SUMBU Y
http://slidepdf.com/reader/full/volume-benda-putar-yang-diputar-dengan-sumbu-x-dan-sumbu-y 2/25
ii
KATA PENGANTAR
Puji syukur atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan rahmat
dan hidayahnya. Sehingga kami kelompok 4 selaku penulis dapat menyelesaikan tugas
Kalkulus II yaitu Makalah tentang Volume Benda Putar yang Diputar Dengan Sumbu- x dan
Sumbu- y.
Makalah ini disusun menggunakan bahasa yang efektif dan mudah dimengerti serta
dipahami. Sehingga diharapkan makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca.
Kami mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang membantu tersusunnya
makalah ini. Sebagai penulis, kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari
kesempurnaan. Oleh karena itu, kritik dan saran selalu kami harapkan agar makalah ini dapat
lebih bermutu dan bermanfaat. Untuk itu kami mengucapkan terima kasih.
Surabaya, 01 Juni 2015
Kelompok 4
7/16/2019 VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN SUMBU X DAN SUMBU Y
http://slidepdf.com/reader/full/volume-benda-putar-yang-diputar-dengan-sumbu-x-dan-sumbu-y 3/25
iii
DAFTAR ISI
Kata Pengantar ...................................................................................................................... ii
Daftar Isi .............................................................................................................................. iii
Bab I Pendahuluan ................................................................................................................ 1
1.1 Latar Belakang .................................................................................................... 1
1.2 Batasan Masalah ................................................................................................. 1
1.3 Rumusan Masalah ............................................................................................... 1
1.4 Tujuan Dan Manfaat ........................................................................................... 2
Bab II Pembahasan................................................................................................................ 3
2.1 Menentukan Volume Benda Putar Menggunakan Metode Cakram ...................... 3
2.1.1 Diputar Terhadap Sumbu-x ............................................................................ 3
2.1.2 Diputar Terhadap Sumbu- y ............................................................................ 5
2.2 Menentukan Volume Benda Putar Menggunakan Metode Cincin ........................ 7
2.2.1 Diputar Terhadap Sumbu- x ............................................................................ 7
2.2.2 Diputar Terhadap Sumbu- y ............................................................................ 9
2.3 Menentukan Volume Benda Putar Menggunakan Metode Kulit Tabung ............ 12
2.3.1 Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu- y ....................... 13
2.3.2 Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-x ....................... 14
2.3.3 Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) Jika
Diputar Mengelilingi Sumbu- y .................................................................... 16
2.3.4 Menentukan Volume Benda Putar Yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) Jika
Diputar Mengelilingi Sumbu- x .................................................................... 17
Bab III Penutup ................................................................................................................... 21
3.1 Kesimpulan ....................................................................................................... 21
Daftar Pustaka ..................................................................................................................... 22
7/16/2019 VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN SUMBU X DAN SUMBU Y
http://slidepdf.com/reader/full/volume-benda-putar-yang-diputar-dengan-sumbu-x-dan-sumbu-y 4/25
1
BAB I PENDAHULUAN
1.1 LATAR BELAKANG
Kalkulus ( bahasa Latin: calculus, artinya “batu kecil”, untuk menghitung) adalah
ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak terhingga. Kalkulus
adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan
aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya.
Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta
dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.
Kalkulus mempunyai dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral
yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Kalkulus adalah pintu gerbang
menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan
limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika. Integral adalah kebalikan dari
proses diferensial. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensial di
mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan
dengan solusi diferensiasi. Integral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tentu.
Bedanya adalah integral tentu memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tentu biasanya
dipakai untuk mencari volume benda putar. Dalam mencari volume benda putar kita dapat
menggunakan beberapa metode yaitu metode cakram, metode cincin, dan metode kulit
tabung.
1.2 BATASAN MASALAH
Penulis membatasi masalah agar pembahasan makalah yang telah dibuat tidak terlalu
meluas dan fokus pada judul. Dan masalah yang akan dibahas yaitu tentang volume benda
putar terhadap sumbu- x dan sumbu- y.
1.3 RUMUSAN MASALAH
Berdasarkan latar belakang, berikut beberapa rumusan masalah yang akan kita bahas
pada makalah ini:
a. Bagaimanakah menentukan volume benda putar yang diputar dengan sumbu- x dan
sumbu- y menggunakan metode cakram ?
7/16/2019 VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN SUMBU X DAN SUMBU Y
http://slidepdf.com/reader/full/volume-benda-putar-yang-diputar-dengan-sumbu-x-dan-sumbu-y 5/25
2
b. Bagaimanakah menentukan volume benda putar yang diputar dengan sumbu- x dan
sumbu- y menggunakan metode cincin ?
c. Bagaimanakah menentukan volume benda putar yang diputar dengan sumbu- x dan
sumbu- y menggunakan metode kulit tabung ?
1.4 TUJUAN DAN MANFAAT
a.
Mengetahui bagaimana menentukan volume benda putar yang diputar dengan
sumbu- x dan sumbu- y menggunakan metode cakram.
b. Mengetahui bagaimana menentukan volume benda putar yang diputar dengan
sumbu- x dan sumbu- y menggunakan metode cincin.
c.
Mengetahui bagaimana menentukan volume benda putar yang diputar dengan
sumbu- x dan sumbu- y menggunakan metode kulit tabung.
7/16/2019 VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN SUMBU X DAN SUMBU Y
http://slidepdf.com/reader/full/volume-benda-putar-yang-diputar-dengan-sumbu-x-dan-sumbu-y 6/25
3
BAB II PEMBAHASAN
Integral tentu dapat digunakan untuk menghitung luas tidaklah mengherankan;
integral diciptakan untuk keperluan itu. Namun, penggunaan integral berlanjut jauh di luar
penerapan itu. Hampir setiap besaran yang dapat dianggap sebagai hasil pemenggalan sesuatu
menjadi potongan-potongan yang lebih kecil, penghampiran tiap bagian, penjumlahan dan
pengambilan limit apabila tiap potongan mengecil, metode iris, hampiri, dan integrasikan
dapat digunakan untuk menentukan volume benda pejal asalkan volume dari setiap potongan
mudah dihampiri.
Misalkan diketahui suatu benda padat yang diperoleh dengan cara memutar suatu
daerah di bidang datar terhadap suatu garis di bidang itu, benda yang diperoleh disebut suatu
benda putar . Garis di bidang itu disebut dengan sumbu putar . Sebagai ilustrasi misalkan
daerah segitiga diputar mengelilingi salah satu sisinya, daerah yang diputar itu akan
menghasilkan kerucut (Gb.1). Demikian pula dengan segi empat siku-siku, jika diputar
dengan sumbu putar salah satu sisinya, akan menghasilkan silinder lingkaran tegak (Gb.2).
Lihat gambar berikut:
2.1 MENENTUKAN VOLUME BENDA PUTAR MENGGUNAKAN
METODE CAKRAM
2.1.1 Diputar Terhadap Sumbu-x
Secara umum, volume benda didefinisikan sebagai luas alas A dikali tinggi h, yakni:
Jika daerah R = {x, y: a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f x, f kontinu}, seperti pada Gb.3. Apabila
daerah R diputar terhadap sumbu- x, diperoleh suatu benda pejal berbentuk cakram (Gb.4). dan benda
putarnya seperti yang nampak pada Gb.5.
Sumbu putar
Gb. 1 Gb. 2
V = A . h
7/16/2019 VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN SUMBU X DAN SUMBU Y
http://slidepdf.com/reader/full/volume-benda-putar-yang-diputar-dengan-sumbu-x-dan-sumbu-y 7/25
4
Jika elemen luas pada Gb.3 diputar terhadap sumbu x, maka akan diperoleh suatu
bangun yang mempunyai volume. Pada volume benda pejal, V yang dihasilkan dapat didekati
dengan mengambil suatu elemen persegi panjang di R yang tegak lurus sumbu putar. Di mana
interval tertutup [a,b] dibagi menjadi n bagian sehingga ∆xi =b−a
n. Sehingga diperoleh cakram
lingkaran (Gb.4) berjari-jari f(xi) dan tebalnya (tingginya) ∆xi , yang menghasilkan elemen
volume,
∆Vi =
π f 2
xi
∆xi
Maka jumlah volumenya adalah
V = π f 2x1 ∆x1 + π f 2x2 ∆x2 + π f 2x3 ∆x3 + … + π f 2xn ∆xn = π f 2xi ∆xi
n
i=1
Atau dapat dikatakan, jika daerah R diputar terhadap sumbu- x, maka nilai hampiran
untuk volume benda putar oleh n buah cakram lingkaran yang masing-masing volumenya
∆Vi, i = 1,2, ... ,n adalah
V ≈ ∆Vi
n
i=1
= π f 2xi ∆xi
n
i=1
Gb.4
∆xi
f(xi)
x
R
a b
y = f(x)
∆xi x
y
0
Gb.3
Gb.5
y = f(x)
y
xa0 b
7/16/2019 VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN SUMBU X DAN SUMBU Y
http://slidepdf.com/reader/full/volume-benda-putar-yang-diputar-dengan-sumbu-x-dan-sumbu-y 8/25
5
Karena fungsi f kontinu pada a, b, maka jumlah riemann untuk V ini mempunyai
limit untuk panjang partisi yang menuju nol. Jadi diperoleh
V = limP→0π f 2xi ∆xi
n
i=1
=π limP→0 f 2xi ∆xi
n
i=1
=π f 2x
b
a
dx
Sehingga dapat disimpulkan, volume benda putar yang terjadi bila daerah
R = {x, y: a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f x, f kontinu}, diputar terhadap sumbu- x adalah
2.1.2 Diputar Terhadap Sumbu-y
Jika daerah M = {x, y: a ≤ y ≤ b,
0 ≤ x ≤ gy, g kontinu} , seperti pada Gb.6.
Apabila daerah M diputar terhadap sumbu- y,
diperoleh suatu benda pejal berbentuk cakram
(Gb.7). dan benda putarnya seperti yang
nampak pada Gb.8.
V = π f 2xb
a
dx
Gb.8
x = g(y)
x
y
0
b
a
y
Gb.7
∆yi
g(yi)
x
Gb.6
a
b
x = g(y)
∆yi
y
0
M
7/16/2019 VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN SUMBU X DAN SUMBU Y
http://slidepdf.com/reader/full/volume-benda-putar-yang-diputar-dengan-sumbu-x-dan-sumbu-y 9/25
6
Jika elemen luas pada Gb.6 diputar terhadap sumbu- y, maka akan diperoleh suatu
bangun yang mempunyai volume. Pada volume benda pejal, V yang dihasilkan dapat didekati
dengan mengambil suatu elemen persegi panjang di M yang tegak lurus sumbu putar. Di
mana interval tertutup [a,b] dibagi menjadi n bagian sehingga ∆yi =
b
−a
n . Sehingga diperoleh
cakram lingkaran berjari-jari g(yi) dan tebalnya (tingginya) ∆yi , yang menghasilkan elemen
volume
∆Vi = π g2(yi) ∆yi
Jika daerah M diputar terhadap sumbu y, maka nilai hampiran untuk volume benda
putar oleh n buah cakram lingkaran yang masing-masing volumenya ∆Vi, i = 1,2, ... ,n adalah
V ≈ ∆Vi
n
i=1
= π g2(yi) ∆yi
n
i=1
Karena fungsi f kontinu pada a, b, maka jumlah riemann untuk V ini mempunyai
limit untuk panjang partisi yang menuju nol. Jadi diperoleh
V = limP→0π g2(yi) ∆yi
n
i=1
=π limP→0 g2(yi) ∆yi
n
i=1
=π g2(y)
b
a
dy
Sehingga dapat disimpulkan, volume benda putar yang terjadi bila daerah
M = {x, y: a ≤ y ≤ b, 0 ≤ x ≤ gy, g kontinu}, diputar terhadap sumbu- y adalah
Secara keseluruhan dapat kita ketahui metode ini dikatakan metode cakram karena
elemen volumenya berbentuk cakram.
CONTOH SOAL
Tentukan volume daerah yang di batasi oleh garis y = x + 2, sumbu- x , x = 1 dan x =
3 yang diputar mengelilingi sumbu- x?
Penyelesaian :
Garis y = x + 2
Untuk x = 0 maka y = 2
Untuk y = 0 maka x = - 2
V = π g2(y)
b
a
dy
7/16/2019 VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN SUMBU X DAN SUMBU Y
http://slidepdf.com/reader/full/volume-benda-putar-yang-diputar-dengan-sumbu-x-dan-sumbu-y 10/25
7
V = π y2 dxb
a
=
π( x + 2 )2 dx
3
1
= π x2 + 4 x + 4 dx3
1
= π 1
3x3 + 2x2 + 4x
1
3
= π 9 + 1 8 + 1 2 − 1
3+ 2 + 4
= π39 – 61
3
= 322
3 π satuan volume
2.2 MENENTUKAN VOLUME BENDA PUTAR MENGGUNAKAN
METODE CINCIN
2.2.1 Diputar Terhadap Sumbu-x
Misalkan untuk daerah R = x, y: a ≤ x ≤ b, gx ≤ y ≤ f x dengan fungsi f dan g
kontinu pada a, b, lihat gambar Gb.9. Bila R diputar dengan sumbu putar sumbu- x, maka
akan dihasilkan suatu benda pejal, di mana bagian tengahnya lubang. Atau dengan kata lain
elemen luasnya menghasilkan benda putar berbentuk cincin (Gb.10), sedangkan benda
putarnya seperti yang nampak pada Gb.11, sehingga metode ini disebut metode cincin. Di
mana untuk menentukan volume benda putarnya, dapat didekati dengan mengembangkan
pendekatan metode cakram.
x
Gb.10
∆xi
r1 = g(xi)
r2 = f(xi) f(xi) − g(xi)
Gb.9
a b
y = f(x) ∆xi
x
y
0
y = g(x)R
0 -2 1 3
2
-2
x
y
y = x + 2
7/16/2019 VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN SUMBU X DAN SUMBU Y
http://slidepdf.com/reader/full/volume-benda-putar-yang-diputar-dengan-sumbu-x-dan-sumbu-y 11/25
8
Jika elemen luas pada Gb.9 diputar terhadap sumbu- x, maka akan menghasilkan
benda putar berbentuk cincin (Gb.10), di mana dari gambar tersebut diperoleh jari-jari alas
lingkaran luar r2 = f(xi), dan jari-jari alas lingkaran r1 = g(xi), serta tebalnya (tingginya)
adalah ∆xi, sehingga menghasilkan elemen volume
∆Vi = πr22 − r1
2h = πf 2(x
i) − g2(x
i)∆xi
Sehingga dapat kita temukan, bahwa volume benda putar yang terjadi bila daerah
R = x, y: a ≤ x ≤ b, gx ≤ y ≤ f x, f dan g kontinu diputar terhadap sumbu x adalah
V = limP→0πf
2(x
i) − g2(x
i)∆xi
n
i=1
V = π limP→0f
2(x
i) − g2(x
i)∆xi
n
i=1
V = π limP→0 f 2
(xi)
n
i=1 ∆xi − limP→0 g2
(xi)
n
i=1 ∆xi
Gb.11
x
y
0
V = πf 2(x) − g2(x)
b
a
dx
7/16/2019 VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN SUMBU X DAN SUMBU Y
http://slidepdf.com/reader/full/volume-benda-putar-yang-diputar-dengan-sumbu-x-dan-sumbu-y 12/25
9
2.2.2 Diputar Terhadap Sumbu-y
Daerah D dibatasi oleh dua kurva, daerah D = x, y: a ≤ y ≤ b, gy ≤ x ≤ f y dengan fungsi f dan g kontinu pada
a, b
, lihat gambar Gb.12. Bila D diputar dengan sumbu
putar sumbu- y, maka akan dihasilkan suatu benda pejal, di mana bagian tengahnya lubang.
Atau dengan kata lain elemen luasnya menghasilkan benda putar berbentuk cincin (Gb.13),
sedangkan benda putarnya seperti yang nampak pada Gb.14.
Jika elemen luas pada Gb.12 diputar terhadap sumbu- y , maka akan menghasilkan
benda putar berbentuk cincin (Gb.13), di mana dari gambar tersebut diperoleh jari-jari alas
lingkaran luar r2 = f(yi), dan jari-jari alas lingkaran r1 = g(yi), serta tebalnya (tingginya)
adalah ∆yi , sehingga menghasilkan elemen volume
∆Vi = πr22 − r1
2h = πf 2(y
i) − g2(y
i)∆y
i
y
Gb.13
∆yi
r1
= g(yi)
r2 = f(yi)
f(yi) − g(yi)
Gb.14
x0
Gb.12
a
b
x = f(y)
∆yi
y
x0
x = g(y)
D
7/16/2019 VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN SUMBU X DAN SUMBU Y
http://slidepdf.com/reader/full/volume-benda-putar-yang-diputar-dengan-sumbu-x-dan-sumbu-y 13/25
1
Sehingga dapat kita temukan, bahwa volume benda putar yang terjadi bila daerah
D = x, y: a ≤ y ≤ b, gy ≤ x ≤ f y, f dan g kontinu diputar terhadap sumbu- y adalah
V = lim
P→0 πf
2(y
i)
−g2(y
i)
∆y
i
n
i=1
V = π limP→0f
2(y
i) − g2(y
i)∆y
i
n
i=1
V = π limP→0 f
2(y
i)
n
i=1
∆xi − limP→0 g2(y
i)
n
i=1
∆yi
CONTOH SOAL
1)
Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan
y = 4x – 3 diputar 360omengelilingi sumbu- x adalah….satuan volume
Penyelesaian:
Misalkany1 = 4x − 3 dan y2 = x2
Dalam menggambar kurva pada diagram
kartesius yaitu dapat dilakukan dengan
menentukan koordinat dua fungsi
terlebih dahulu
y1 = 4x − 3
x 0 1 2 3
y -3 1 5 9y2 = x2
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 9 4 1 0 1 4 9
Batas integral adalah perpotongan kedua kurva.
Kedua kurva berpotongan jika y1 = y2 4x − 3 = x2
x2 − 4x + 3 = 0
(x
−1)
x
−3
= 0
x = 1 atau x = 3
V = πf 2
(y) − g2
(y)b
ady
1 2 3-2 -1-1
-2
-3
9
0
y = 4x – 3y = x y
x
7/16/2019 VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN SUMBU X DAN SUMBU Y
http://slidepdf.com/reader/full/volume-benda-putar-yang-diputar-dengan-sumbu-x-dan-sumbu-y 14/25
11
Menghitung volume
V = π(y12 − y2
2)
3
1
dx
= π (4x − 32 − (x2)2 )3
1 dx
= π (16x2 − 24x + 9 − x4)3
1dx
= π 16
3x3 − 12x2 + 9x − 1
5x5
1
3
= π 16
3. 33 − 12 . 32 + 9.3 − 1
5. 35 − 16
3. 13 − 12 . 12 + 9.1 − 1
5. 15
= π 144 − 108 + 27 − 243
5− 16
3+ 12 − 9 +
1
5
= π 66 − 48 25 − 5 1
3
= π 13 − 2
5+
1
3
= π 13 − 11
15
= 124
15π satuan volume
2) Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = x2 dan
y = 2x diputar mengelilingi sumbu- y?
Penyelesaian:
Misalkan y1 = x2 dan y2 = 2x
Dalam menggambar kurva pada diagram
kartesius yaitu dapat dilakukan dengan
menentukan koordinat dua fungsi
terlebih dahulu
y1 = x2
x -2 -1 0 1 2
y 4 1 0 1 4
y2 = 2x
x -1 0 1 2
y -2 0 2 4
y = 2xy = x2
4
0 1 2-2 -1
-1
-2
y
x
7/16/2019 VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN SUMBU X DAN SUMBU Y
http://slidepdf.com/reader/full/volume-benda-putar-yang-diputar-dengan-sumbu-x-dan-sumbu-y 15/25
12
Batas integral adalah perpotongan kedua kurva.
Kedua kurva berpotongan jika y1 = y2 x2 = 2x
x2 − 2x = 0
xx − 2 = 0 x = 0 atau x = 2
x = 0 y = 2 . 0 = 0
x = 2 y = 2 . 2 = 4
Menentukan volume
V = π (x12d
c− x2
2) dy
=
π y
− 1
2
y
2
dy
4
0
= π y − 1
4 y2 dy
4
0
= π 1
2 y2 −
1
12y3
0
4
= π 8 − 16
3 − 0
=8
3π satuan volume
2.3 MENENTUKAN VOLUME BENDA PUTAR MENGGUNAKAN
METODE KULIT TABUNG
Telah dibahas menentukan suatu benda putar dengan mengambil elemen luas persegi
panjang yang tegak lurus sumbu putarnya, dan elemen benda berbentuk cakram dan cincin.
Metode lain yang dapat digunakan untuk menentukan volume benda yang terbentuk yang
diakibatkan oleh suatu daerah R yang diputar terhadap sumbu putar adalah metode kulit
tabung. Jika elemen yang diambil persegi panjang yang sejajar dengan sumbu putar. Maka
benda yang akan dihasilkan kulit tabung. Untuk banyak persoalan, metode ini lebih mudah
digunakan ketimbang metode cakram atau metode cincin.
Sebuah kulit tabung adalah sebuah benda yang dibatasi oleh dua tabung lingkaran
tegak yang sepusat (Gb. 15). Jika jari-jari dalam r1 dan jari-jari luar r2 dan tinggi tabung
adalah h, maka volume yang diberikan adalah:
7/16/2019 VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN SUMBU X DAN SUMBU Y
http://slidepdf.com/reader/full/volume-benda-putar-yang-diputar-dengan-sumbu-x-dan-sumbu-y 16/25
13
V = luas alas. tinggi = π r2
2 h − π r12 h
= πr22 − r1
2h
= πr2 + r1r2 − r1h
= 2π r2 + r12
hr2 − r1
Persamaanr2+r1
2, yang akan kita
tandai dengan r, adalah rata-rata dari r1 dan r2.
Jadi,
V = 2
π.
jari
−jari rata
−rata
.
tinggi
.(tebal) = 2
πrh
∆r
2.3.1 Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-y
Misalkan fungsi f(x) ≥ 0 kontinu pada interval [a,b]. Andaikan daerah R dibatasi
oleh kurva-kurva, y = f(x), sumbu- x, garis x = a, dan garis x = b, pada Gb.16. Apabila daerah
R diputar terhadap sumbu- y, maka dihasilkan suatu benda pejal, lihat Gb.17. Untuk
menghitung volumenya, buatlah elemen berbentuk persegi panjang yang sejajar sumbu putar ,
sumbu- y. Jika elemen ini diputar terhadap sumbu- y maka dihasilkan sel yang berbentuk kulit
silinder, Gb.17.
Sketsa daerah R dan benda putar V
r
h
Gb.15
R
f(x)=h
r
x
x = a
x = b y = f(x)
a bx
0
y
Gb.16
∆x
7/16/2019 VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN SUMBU X DAN SUMBU Y
http://slidepdf.com/reader/full/volume-benda-putar-yang-diputar-dengan-sumbu-x-dan-sumbu-y 17/25
14
Dari Gb.17, dengan pendekatan volume kulit tabung dihasilkan,
∆V = πrh∆r = 2πxf(x)∆x
Dimana x terletak pada a ≤ x ≤ b. Kemudian untuk menghitung volume benda
putarnya, ambillah limitnya apabila tebal kulit tabung menuju nol. Sehingga volume benda
putarnya diperoleh
2.3.2 Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-x
Misalkan fungsi g(y) ≥ 0 kontinu pada interval [a,b]. Andaikan daerah D dibatasi
oleh kurva-kurva, x = g(y), sumbu- y, garis y = a, dan garis y = b, pada Gb.20. Apabila daerah
D diputar terhadap sumbu- x, maka dihasilkan suatu benda pejal, lihat Gb.21. Untuk
menghitung volumenya, buatlah elemen berbentuk persegi panjang yang sejajar sumbu putar,
sumbu- x. Jika elemen ini diputar terhadap sumbu- x maka dihasilkan sel yang berbentuk kulit
silinder, Gb.21.
x
y
Gb.17
V = 2π xf(x)b
a
dx
7/16/2019 VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN SUMBU X DAN SUMBU Y
http://slidepdf.com/reader/full/volume-benda-putar-yang-diputar-dengan-sumbu-x-dan-sumbu-y 18/25
15
Sketsa daerah D dan benda putar V
Dari Gb.21, dengan pendekatan volume kulit tabung dihasilkan,
∆V = πrh∆r = 2πyg(y)∆y
Dimana x terletak pada a ≤ x ≤ b. kemudian untuk menghitung volume benda
putarnya, ambillah limitnya apabila tebal kulit tabung menuju nol. sehingga volume benda
putarnya diperoleh
∆y
Gb.20
D
g(y)=h
y = ry = a
y = b
x = g(y)
a
b
y
0 x
y
x
Gb.21
V = 2
π
y g(y)
b
a
dy
7/16/2019 VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN SUMBU X DAN SUMBU Y
http://slidepdf.com/reader/full/volume-benda-putar-yang-diputar-dengan-sumbu-x-dan-sumbu-y 19/25
16
2.3.3 Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) Jika
Diputar Mengelilingi Sumbu-y
Misalkan diketahui fungsi f(x) dan g(x) yang kontinu pada interval [a,b], di mana
g(x) ≤ f(x). Andaikan daerah R yang dibatasi oleh kurva f(x) dan g(x), garis x = a dan x = b,
seperti pada Gb.18.
Apabila daerah R diputar
terhadap sumbu- y, akan dihasilkansuatu benda pejal. Untuk menentukan
volume bendanya, ambil elemen
persegi panjang pada daerah R yang
sejajar sumbu- y. Apabila elemen itu
diputar terhadap sumbu- y, akan
dihasilkan suatu kulit tabung seperti
yang nampak pada Gb.19.
Karena pengambilan persegi panjang sejajar dengan sumbu putar, maka volume
kulit tabungnya sebagai berikut
∆V = πrh∆r = 2πxf x − g(x)∆x
Dimana x terletak pada [a,b]. Jadi,
Gb.19
x
y
V = 2π xf x − g(x)b
a dx
Gb.18
h = f(x) – g(x)x = r
x = a x = b
f(x)
a b x
0
y
∆x
g(x)R
7/16/2019 VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN SUMBU X DAN SUMBU Y
http://slidepdf.com/reader/full/volume-benda-putar-yang-diputar-dengan-sumbu-x-dan-sumbu-y 20/25
17
2.3.4 Menentukan Volume Benda Putar Yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) Jika
Diputar Mengelilingi Sumbu-x
Rumus volume benda putar di atas dapat dikembangkan apabila dibatasi oleh dua
kurva. Misalkan diketahui fungsi f(y) dan g(y) yang kontinu pada interval [a,b], di mana
g(y) ≤ f(y). Andaikan daerah D yang dibatasi oleh kurva f(y) dan g(y), garis y = a dan y = b,
seperti pada Gb.22.
Apabila daerah D diputarterhadap sumbu- x, akan dihasilkan suatu
benda pejal. Untuk menentukan volume
bendanya, ambil elemen empat persegi
panjang pada daerah D yang sejajar
sumbu- x. Apabila elemen itu diputar
terhadap sumbu- x, akan dihasilkan suatu
kulit tabung seperti yang nampak pada
Gb.19.
Karena pengambilan persegi panjang sejajar dengan sumbu putar, maka volume
kulit tabungnya sebagai berikut
∆V = πrh∆r = 2πyf y − g(y)∆y
Dimana y terletak pada [a,b]. Jadi,
Gb.23
y
x
V = 2
π
y
f
y
−g(y)
b
a
dx
D
Gb.22
h = f(y) – g(y)
y = r
y = a
y = b
f(y)
a
b
y
0 x
∆
g(y)
7/16/2019 VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN SUMBU X DAN SUMBU Y
http://slidepdf.com/reader/full/volume-benda-putar-yang-diputar-dengan-sumbu-x-dan-sumbu-y 21/25
18
CONTOH SOAL
1) Tentukan volume benda putar
yang dihasilkan apabila daerah
R pada gambar di samping
diputar mengelili sumbu- y.
Penyelesaian:
Misalkan y = f(x)
V = 2π xb
a f(x) dx
= 2π x(3 + 2x − x2)3
0 dx
= 2π 3x+2x2 − x3 dx3
0
= 2π 3
2x2 +
2
3x3 − 1
4x4
0
3
= 2π3
2 32 +2
3 33 − 1
4 34 − 3
2 02 +2
3 03 − 1
4 04
= 2π3
29 +
2
327 −
1
481 − 0
= 2π 27
2+
54
3− 81
4
= 2π 162 + 216 − 243
12
= 2
π135
12
= π 270
12
=45
2π satuan volume
2)
Tentukan volume benda putar yang dihasilkan apabila daerah D yang terletak
dikuadran pertama dibatasi oleh x = y3 dan y = x2 diputar terhadap
a) Sumbu- y
b)
Sumbu- x
1
2
3
1 2 3
x
y
R
y = 3 + 2x − x2
7/16/2019 VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN SUMBU X DAN SUMBU Y
http://slidepdf.com/reader/full/volume-benda-putar-yang-diputar-dengan-sumbu-x-dan-sumbu-y 22/25
19
Penyelesaian:
Menggambar kurva pada diagram
kartesius dengan menentukan koordinat
dua fungsi terlebih dahulu
x = y3
X -1 0 1
Y -1 0 1
y = x2
X -1 0 1
Y 1 0 1
a)
Diputar terhadap sumbu- y
Diketahui x = y3 y = x1
3 dan y = x2, misalkan f(x) = x1
3 dan gx = x2
V = 2π xf(x) − g(x)b
a
dx
= 2π x x
13
− x2
1
0 dx
= 2π x43 − x3
1
0
dx
= 2π 37
x73 −
1
4x4
0
1
= 2π 3
7(1)
73 −
1
4(1)4 − 3
7(0)
73 −
1
4(0)4
= 2π 3
7 −
1
4 − 0
= 2π 5
28
=5
14π satuan volume
b) Diputar terhadap sumbu- x
Diketahui y = x2 x = y1
2 dan x = y3, misalkan f (y) = y1
2 dan g(y) = y3
y
x
1
x = y3
y = x2
1
R
0
7/16/2019 VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN SUMBU X DAN SUMBU Y
http://slidepdf.com/reader/full/volume-benda-putar-yang-diputar-dengan-sumbu-x-dan-sumbu-y 23/25
2
V = 2π yf(y) − g(y)b
a
dy
= 2π y y12 − y31
0
dy
= 2π y32 − y4
1
0
dy
= 2π 25
y52 −
1
5y5
0
1
= 2π 2
5(1)
52 −
1
5(1)
5 − 2
5(1)
52 −
1
5(1)
5
= 2
π
2
5
− 1
5 −0
= 2π 1
5
=2
5π satuan volume
7/16/2019 VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN SUMBU X DAN SUMBU Y
http://slidepdf.com/reader/full/volume-benda-putar-yang-diputar-dengan-sumbu-x-dan-sumbu-y 24/25
21
BAB III PENUTUP
3.1 KESIMPULAN
Dalam menentukan volume benda putar yang diputar terhadap sumbu- x dan
sumbu- y dapat digunakan 3 metode, yaitu metode cakram, metode cincin, dan metode kulit
tabung. Metode cakram digunakan untuk menentukan volume benda putar yang dibatasi oleh
satu kurva. Sedangkan metode cincin digunakan untuk menentukan volume benda putar yang
dibatasi oleh dua kurva. Di mana dalam metode cakram dan metode cincin, pengambilan
piasnya tegak lurus dengan sumbu putarnya.
Metode kulit tabung, merupakan metode yang lebih mudah digunakan untuk
menentukan volume benda putar yang dibatasi oleh satu kurva maupun dua kurva. Di mana
pengambilan piasnya sejajar dengan sumbu putarnya.
7/16/2019 VOLUME BENDA PUTAR YANG DIPUTAR DENGAN SUMBU X DAN SUMBU Y
http://slidepdf.com/reader/full/volume-benda-putar-yang-diputar-dengan-sumbu-x-dan-sumbu-y 25/25
DAFTAR PUSTAKA
Astuti, Anna Yuni, dan Ngapiningsih. 2012. Matematika Program Ilmu Pengetahuan Alam.
Klaten: Intan Pariwara.
Astuti, Anna Yuni, dkk. 2012. Detik-detik Ujian Nasional Matematika Tahun Pelajaran
2012/2013 Untuk SMA/MA Program IPA. Klaten: Intan Pariwara.
Herynugroho, dkk. 2010. Matematika SMA Kelas XII Program IPA. Yudhistira.
http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus
Martono, Koko. 1999. Kalkulus. Jakarta: Erlangga.
Prayudi. 2006. Kalkulus Fungsi Satu Variabel . Yogyakarta: Graha Ilmu.
Purcell, dll. 2003. Kalkulus Edisi Kedelapan Jilid 1. Jakarta: Erlangga.
Top Related