Definisi dan Contoh
Var random X adalah fungsi dari S ruang sampel ke bilangan real R X : S R
Contoh : Menjawab soal multipel choice 2 kaliS = {SS, SB, BS, BB}
X : VR Banyaknya jawaban benar, maka X = {0,1,2}
BB
SB
BS
SS
0
1
2
RXS
Probabilitas dan Distribusinya P(X=0) =1/4 P(X=1)= 2/4 P(X=2)=1/4
P(X) >= 0 Total Prob = 1 Distribusi Peluang
adalah tabel yang berisi nilai dari variabel random dan peluangnya
1)xX(PXx
i
X 0 1 2 Total
P(X)
1/4
2/4
1/2 1
Karakteristik Dist Rata-rata
(Expektasi) dari X
Variansi (Ukuran Dispersi )
E(X)+SD(X)
E(X)
E(X)-SD(X)
Xx
ii
i
)xX(Px)X(E
22
2
)X(E)X(E
))X(EX(E)X(V
X
Contoh Dari Data Lapangan
Distribusi probabilitas penjualan komputer perbulanX 5 6 7 8 Tota
l
P(X=x) 20/100
30/100
40/100
10/100
1
X.P(X=x) 1 1.8 2.8 0.8 6.4
X2.P(X=x)
5 10.8 19.6 6.4 41.8
9165.0)(;84.04.68.41)(
4.6)()(2
XSXV
xXXPXE
VARIABEL RANDOMX
DISKRIT KONTINU
b
ax
Xx
xXPbXaP
xXP
xXP
)()(.3
1)(.2
0)(.1
dxxfbXaP
dxxf
xf
b
a
Ax
)(.3
1.2
0.1
VARIABEL RANDOM DALAM STATISTIKA
BERNOULLI BINOMIAL MULTINOMIAL GEOMERIK HIPERGEOMETRIK POISSON
DISKRIT
VARIABEL
RANDOM
KONTINU NORMAL UNIFORM KONTINU BETA GAMMA EXPONENTIAL WEIBULL CAUCHY DOUBLE EXPONENTIAL
Distribusi Binomial
Gabungan dari n kejadian bernoulli yang saling independen
Kejadian bernoulli : Suatu kejadian dengan dua hasil yang mungkin : Sukses (S) : peluang p atau Gagal (G) dengan peluang 1-p
Diperhatikan var random X = banyaknya sukses dalam n trial
Var Rand Binomial
Diperhatikan X = banyaknya S dalam n trial ; Harga X yang mungkin : 0,1,2,…,n
Ada x kejadian sukses dengan peluang px dan n-x kejadian sukses gagal dengan peluang (1-p)n-x
n,...,1,0x,qpx
n)xX(P)x(f xnx
Lambang
X~Bin(n;p) n parameter banyaknya percobaan P adalah parameter peluang sukses ~ simbol untuk distribusi
E(X) = np ; rata-rata (mean) nilai X
V(X) = npq ; besarnya variansi
Contoh Dari lima saham yang diperdagangkan
berapakah peluang : Tepat saham A dan B akan naik Lebih dari 3 saham naik
X = jumlah saham naik ; p = 0.5 (fifty-2)X~Bin(5;0.5) ; E(X) = 2.5 P(2 saham naik ) = P(X>=3) = 1-P(X<=2) Memakai tabel binomial kumulatif
32 5.05.02
52f
Contoh : jika diamati 15 orang mahasiswa, berapakah probabilitas mendapat 9 orang dengan nilai A ? Berapakah rata yang mendapat nilai A ?
Dengan menunjukkan bahwa
X = banyaknya yang mendapat nilai A
adalah variabel random binomial dengan n = 15 dan p = 5
1
...
)8X(P9XP
5
4
5
1
!6!9
!15
5
4
5
1
9
15)9X(P)9(f
69
9159
dihitung langsung
menggunakan tabel distribusi binomial
5
1.15
np
Dist Poisson Var X~Pois(µ)
X = jumlah kejadian tertentu dalam satuan unit waktu atau ruang
µ = rata-rata kejadian
E(X) = V(X) = µ
Contoh Banyaknya telepon
dalam periode ttt Banyaknya
pelanggan pada counter
Banayknya kcelakaan
Banyaknya mesin rusak
dll
,...2,1,0x;!x
e);x(f
x
Contoh Rata-rata banyaknya kecelakaan
disuatu persimpangan jalan raya adalah 2 perminggu. Anggap mengikuti poisson Peluang tidak ada kecelakaan selama 1
minggu Peluang paling banyak 3 kecelakaan
dlm 2 minggu
135,0)0X(P !0e2 20
433,0
)3X(P...)0X(P)3X(P
Distribusi Normal Fungsi
Probabilitas
0;,x;e2
1)x(f
);(N~X
2x
2
1
2
2
2
X0,5
Sifat-Sifat Simetris terhadap rata-
rata µ Rata-rata = median =
modus σ sebagai titik belok
kurva 34 % data dalam jarak
1 σ 68 % data dalam jarak
2 σ 97 % data dalam jarak
3 σ
Masalah Menghitung
P(a<X<b) Dengan integral
analitis : terlalu sukar
Dengan metode numerik : tidak praktis : tapi sekarang ada kalkulator
Membuat tabel yang khusus : tabel normal standar
Normal Standart
Transformasi
Diperoleh distribusi normal yang
khusus sehingga tabelnya efisien
1)Z(V;0)Z(E
;e2
1)z(f
XZ
2zz
2
z2
0 zo
zo 0 1 2 … 7 8 9
0,0 0,5000 0,5004 0,5080 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5348 0,5478 0,5675 0,5714 0,5754
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,6064 0,6103 0,6141...
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8980 0,8997 0,9015...
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9949 0,9951 0,9952
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9962 0,9963 0,9964
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9972 0,9973 0,9974
Tabel normal standart
0 z Z
Permasalahan Probabilitas di bawah luasan kurva
c dX
f(X)
?P c X d
Contoh Penghitungan
P(Z<1,96)=0,975
P(-1,645<Z<1,96)=P(Z<1,96)-P(Z<-1,645)= 0,975-0,05
0 1,96 Z
0 1,96 Z-1,645
Contoh
Penghitungan P(Z>2,33) = 1-P(Z<2,33) = 1- 0,99
Z02,33
Contoh Nyata Produk resistor berdistribusi N(5;1). Jika
resistor yang terpakai dengan hambatan 4,5 s/d 5,5. Hitunglah produk resistor yang terpakai
4,5 5,5X~N(5;1)5
)5,0Z5,0(P
)(P)5,5X5,4(P 155,5
15X
155,4
Contoh Nyata• Hasil ujian mahasiswa berdistribusi normal
dengan mean = 72 dan variansi = 81 dan diketahui bahwa 5% mendapat nilai A, tentukan nilai terendah mahasiswa yang mendapat nilai A.
X72
5%
805,86a;645,1
95,0)Z(P)aX(P
972a
972a
a = minimal nilai A
Distribusi Exponential P(waktu kedatangan < X ) = 1-e-λX ; X>0
X : Sebarang nilai dari variabel random X Λ : rata-rata jumlah kedatangan perunit
waktu 1/λ : rata-rata waktu antar kedatangan
Contoh : Sopir datang di jembatan tol Nasabah datang pada mesin ATM
Contoh : Kedatangan customer 30 per jam. Berapa peluang waktu kedatangan antar customer lebih dari 5 menit ?
Λ = 30
1 x
f x e
f(X)
X
= 0.5 =
2.0
)5X(P1
)kedatagnantar(P 605
Contoh
Top Related