Download - Tugas kalkulus ii

MATRIKS

DAN OPERASI MATRIKS

Disusun Oleh :

1. Muhamad Mustopa (12520010)

Dosen : Ir. Yusuf Yani

UNIVERSITAS TAMAN SISWA PALEMBANG

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena kami telah menyelesaikan

makalah Aljabar Linear dengan materi Matriks dan Operasi Matriks pada semester genap

tahun kedua dengan empat satuan kredit semester.

Tak ada gading yang tak retak. Begitu pula dengan makalah ini. Mungkin banyak

kekeliruan dalam makalah ini baik dari segi penulisan maupun dalam penyusunan makalah

ini. Kesempurnaan hanyalah milik Tuhan Yang Maha Esa. Oleh karena itu, dengan rendah

hati kami mohon maaf apabila kurang sesuai dengan apa yang diharapkan oleh pembaca.

Kritik dan saran yang membangun sangat kami harapkan dari para pembaca agar

makalah ini dapat lebih baik dan menjadi sempurna.

Demikian makalah yang dapat kami buat. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi

para pembaca. Atas perhatian para pembaca, kami ucapkan terima kasih.

Wassalamu’alaikum Wr. Wb.

Palembang, 01 Juli 2013

Penyusun

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ………………………………………………………………............ i

Daftar isi ……………………………………………………………………….......... ii

BAB I PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang ……………………………………………….......... 1

BAB II PEMBAHASAN

2.1. Notasi dan Terminologi Matriks……….............................................. 2

2.2. Operasi-Operasi Matriks……………….............................................. 3

2.3. Matriks-Matriks Terpartisi………………………………………….. 8

2.4 Perkalian Matriks dengan Kolom dan dengan Baris…....................... 8

2.5. Hasil Kali Matriks Sebagai Kombinasi Linear……………………... 10

2.6. Bentuk Matriks dari Suatu Sistem Linear…………………………... 11

2.7 Transpose Suatu Matriks ………………………………………….... 12

2.8 Trace Suatu Matriks Bujur Sangkar ................................................... 13

BAB III PENUTUP

3.1. Kesimpulan …………………………………………………............... 14

DAFTAR PUSTAKA

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Banyak dalam permasalahan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan menggunakan

penerapan matriks. Seperti halnya masalah transportasi dalam bidang industri yang

meletakkan hasil produksi industri tersebut di tempat yang terpisah. Namun, bagaimanakah

cara mendistribusikan hasil produksi dari masing-masing pabrik ke masing-masing gudang

dengan biaya tranportasi yang dikeluarkan seminimal mungkin. Nah, permasalahan ini dapat

diselesaikan dengan matriks.

Susunan bilangan real berbentuk segi empat muncul dalam banyak konteks, selain sebagai

matriks yang diperbesar untuk sistem persamaan linear. Pada subbab ini kita akan meninjau

susunan-susunan seperti itu dengan susunan bilangan itu sendiri sebagai objeknya dan

mengembangkan beberapa sifat-sifat susunan bilangan tersebut

.

Matriks adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk

suatu susunan persegi atau persegi panjang. Bilangan – bilangan tersebut disebut entri dalam

matriks.

Pembahasan pada makalah ini dimulai pada Notasi dan Terminologi Matriks, Operasi-

Operasai Matriks, Matriks-Matriks Terpartisi, Perkalian Matriks dengan Kolom dan dengan

Baris, Hasil Kali Matriks sebagai Kombinasi Linear, Bentuk Matriks dari Suatu Sistem

Linear, Transpose Suatu Matriks, dan Trace Suatu Matriks Bujur Sangkar.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Notasi dan Terminologi Matriks

a. Pengertian matriks

Matriks adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang

membentuk suatu susunan persegi atau persegi panjang. Bilangan – bilangan tersebut disebut

entri dalam matriks.

Contoh:

Ukuran matriks, diberikan oleh jumlah baris (garis horizontal) dan kolom (garis vertical)

yang dikandungnya.

Contoh:

[2 4 13 0 2 ]

ini adalah matriks yang berukuran 2 × 3

Sebuah matriks dengan hanya satu kolom disebut matriks kolom (atau vector kolom), dan

sebuah matriks dengan hanya satu baris disebut matriks baris (atau vector baris).

[2 0 31 2 43 2 1 ]baris →

kolom↑

[123 ][ 2 1 3 ]vektor baris

kolomvektor

Untuk menghilangkan tanda kurung pada matriks 1 × 1 merupakan hal umum dilakukan.

Jadi, kita boleh menuliskan 4 bukan [4]. Kita akan menggukan huruf besar untuk

menyatakan matriks dan huruf kecil untuk mewakili bilangan.

Contoh:

A = atau B = [a b cd e f ]

Entri pada baris i dan kolom j dari sebuah matriks A akan dinyatakan sebagai aij.

Jadi, sebuah matriks umum 3 × 4 dapat di tulis sebagai:

A=[ a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34]

Dan sebuah matriks umum mxn sebagai

A=[a ₁₁ a ₁₂… a₁ na ₂₁ a ₂₂… a₂ n⋮ ⋮ ⋮am₁ am₂…amn

]2.2 Operasi-Operasi Matriks

Sejauh ini, kita telah menggunakan matriks untuk mempersingkat pekerjaan dalam

menyelesaikan sistem persamaan linear. Akan tetapi, untuk penerapan lainnya kita ingin

mengembangkan suatu “aritmetika matriks” dimana matriks-matriks dapat ditambahkan,

dikurangkan, dan dikalikan dengan cara yang berguna.

Definisi Dua matriks didefinisikan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan

entri-entri yang berpadanan sama.

Dalam notasi matriks, jika A= [aij] dan B= [bij] mempunyai ukuran yang sama, maka

A = B jika dan hanya jika (Aij)=(Bij), atau secara ekuivalen, aij=bij untuk semua i dan j.

[2 0 31 2 43 2 1 ]

Contoh 2 Tinjau matriks-matriks

A=[2 13 x]B=[2 1

3 5]C=[2 1 03 4 0]

Jika x=5, maka A=B, tetapi untuk semua nilai x lainnya matriks A dan B tidak sama,karena

tidak semua entri-entrinya yang berpadanan sama. Tidak ada nilai x yang membuat A=C

karena A dan C mempunyai ukuran yang berbeda.

Definisi Jika A dan B adalah matriks-matriks berukuran sama, maka jumlahA+B adalah

matriks yang diperoleh dengan menambahkan entri-entri B dengan entri-entri A yang

berpadanan, dan selisihA-B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri-entri

A dengan entri-entri B yang berpadanan. Matriks-matriks berukuran berbeda tidak dapat

ditambahkan atau dikurangkan.

Dalam notasi matriks, jika A= [aij] dan B= [bij] mempunyai ukuran yang sama, maka

(A+B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij dan (A-B)ij = (A)ij - (B)ij = aij - bij


A=[ 2 −1 0−1 0 24 −2 7

340]B=[−4 3 5

2 2 03 2 −4

1−15 ]C=[1 1

2 2]

Maka

A+B=[−2 4 51 2 27 0 3

435 ]danA−B=[ 6 −2 −5

−3 −2 21 −4 11

25

−5]Ekspresi A + C, B + C, B - C tidak terdefinisi.

Definisi Jika A adalah sembarang matriks dan c adalah sembarang skalar, maka hasil

kalicA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri A dengan c.

Dalam notasi Matriks, jika A = [aij], maka

(cA)ij = c(A)ij = caij

Contoh 4 Untuk matriks-matriks

A=[2 3 41 3 1]B=[ 0 2 7

−1 3 −5]C=[9 −6 33 0 12]

Kita dapatkan

2 A=[4 6 82 6 2] (−1 ) B=[0 −2 −7

1 −3 5 ] 13

C=[3 −2 11 0 4 ]

Adalah umum menyatakan (-1)B dengan –B.

Jika A1, A2, …, An adalah matriks-matriks berukuran sama dan c1, c2, …, cn adalah skalar,

maka sebuah ekspresi berbentuk

c1A1 + c2A2 + … + cnAn

disebut kombinasi linear dari A1, A2, …, An dengan koefisien-koefisien c1, c2, …, cn.

Misalnya, jika A, B, dan C adalah matriks-matriks dalam contoh 4, maka

2A – B + 13

C = 2A + (-1)B + 13

C

=[4 6 82 6 2]+[0 −2 −7

1 −3 5 ]+[3 −2 11 0 4]

=[7 2 24 3 11]

adalah kombinasi linear dari A, B,dan C dengan koefisien skalar 2,-1, dan 13

.

Sejauh ini kita telah mendefinisikan perkalian matriks dengan skalar,tetapi bukan perkalian

dua matriks. Karena matriks-matriks ditambahkan dengan menambahkan entri-entrinya yang

berpadanan dan dikurangkan dengan mengurangkan entri-entrinya yang berpadanan, maka

akan tampak masuk akal jika kitamendefinisikan perkalian matriks dengan mengalikan entri-

entrinya yang berpadanan. Akan tetapi, ternyata definisi yang demikian tidak akan sangat

berguna untuk kebanyakan masalah. Pengalaman telah membawa para matematikawan

kepada definisi perkalian matriks berikut ini yang kurang alami, tetapi lebih berguna.

Definisi. Jika A adalah sebuah matriks m x r dan B adalah sebuah matriks r x n, maka hasil

kali AB adalah matriks m x n yang entri-entrinya didiefinisikan sebagai berikut. Untuk

mencari entri dalam baris i dan kolom j dari AB, pilih baris i dari matriks A dan kolom j pada

matriks B. kalikan entri-entri yang berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan

kemudian jumlahkan hasil kalinya.


A=[1 2 42 6 0]B=[4 1 4

0 −1 32 s7 5

312]

Karena A adalah matriks 2x3 dan B adalah matriks 3x4, maka hasil kali AB adalah

sebuah matriks 2x4. Misalnya, untuk menentukan entri pada baris 2 dan kolom 3 dari AB, kita

memilih baris 2 dari A dan kolom 3 dari B. Selanjutnya, sebagaimana yang diilustrasikan

dibawah ini, kita mengalikan entri-entri yang berpadanan secara bersama-sama dan

menjumlahkan hasil kali-hasil kali ini.

[1 2 42 6 0 ][ 4 1

0 −12 7

435

312]=¿ [ 26 ]

(2.4) + (6.3) + (0.5) = 26

Entri pada baris 1 dan kolom 4 dari AB dihitung sebagai berikut.

[1 2 42 6 0 ][ 4 1 4

0 −1 32 7 5

312]=¿

(1.3) + (2.1) + (4.2) = 13

Perhitungan untuk hasil kali-hasil kali lainnya adalah:

(1.4 )+ (2.0 )+(4.2 )=12

(1.1 )+(2.1 )+( 4.7 )=¿27

(1.4 )+ (2.3 )+(4.5 )=30 AB = [12 27 308 −4 26

1312]

(2.4 )+ (6.0 )+(0.2 )=8

(2.1 )+(6.1 )+(0.7 )=−4

(2.3 )+(6.1 )+ (0.2 )=12

Definisi perkalian matriks mensyaratkan bahwa jumlah kolom faktor pertama A sama dengan

jumlah baris faktor kedua B untuk membentuk hasil kali AB. Jika syarat ini tidak terpenuhi,

hasil kalinya tidak terdefinisi. Suatu cara yang mudah untuk menentukan apakah hasil kali

dua matriks terdefinisi atau tidak adalah dengan menuliskan ukuran faktor pertama, dan

disebelah kanannya tuliskan ukuran faktor kedua. Jika sebagaimana dalam gambar2,

bilangan-bilangan yang di dalam sama, maka hasil kalinya terdefinisi. Selanjutnya, bilangan-

bilangan di luar memberikan ukuran hasil kali.

A B = ABm x r r x n m x n

Contoh 6 Anggap bahwa A,B, dan C adalah matriks-matriks dengan ukuran-ukuran berikut

ini:

A B C3 x 4 4 x 7 7 x 3

Maka AB terdefinisi dan merupaka suatu matriks 3x7; CA terdefinisi dan merupaka suatu

matriks 7x4; dan BC terdefinisi dan merupakan suatu matriks 4x3. Hasil kali AC, CB, dan BA

tak terdefinisi.

Diluar

Didalam

Jika A =[aij] adalah suatu matriks umum mxr dan B = [bij] adalah suatu matriks umum rxn,

maka sebagaimana yang diilustrasikan oleh bagian yang terarsir pada Gambar 3, entri (AB)ij

pada baris i dan kolom j dari AB diberikan oleh:

(AB)ij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + … + airbrj

2.3 Matriks-matriks Terpartisi

Sebuah matriks dapat dibagi atau dipartisi menjadi matriks-matriks yang lebih kecil dengan menyelipkan garis horizontal dan vertical di antara baris dan kolom yang ditentukan. Misalnya, di bawah ini terdapat tiga partisi yang mungkin dari sebuah matriks umum A, 3 x 4, -pertama adalah sebuah partisi A menjadi empat submatriks A11, A12, A21 dan A22; kedua adalah sebuah partisi A menjadi matriks-matriks baris r1, r2, dan r3; ketiga adalah partisi A menjadi matriks –matriks kolom c1, c2, c3, dan c4;

A

= [a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a 34] =

[ A11 A12

A21 A22]

A

= [a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34]= [r1

r2

r3]

A= [a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34]= [c1 c2 c3 c4 ]

AB=[a11 a12 … a1 r

a21 a22 … a2r

⋮ ⋮ ⋮ai 1 ai 2 … air

⋮ ⋮ ⋮am1 am2 … amr

][b11 b12 ⋯ b1 j ⋯ b1n

b21 b22 ⋯ b2 j ⋯ b2n

⋮ ⋮ ⋮ ⋮br 1 br 2 ⋯ brj ⋯ brn

]

2.4 Perkalian matriks dengan kolom dan dengan baris

Kadang-kadang kita mungkin ingin mendapatkan baris atau kolom tertentu dari suatu hasil kali matriks AB tanpa menghitung keseluruhan hasil kalinya. Hasil-hasil berikut ini, yang buktinya ditinggalkan sebagai latihan, berguna untuk maksud tersebut:

Matriks kolom ke-j dari AB = A[matriks kolom ke-j dari B] …...(3)

Matriks baris ke-i dari AB = [matriks baris ke-i dari A]B ……(4)

Contoh :

Jika A dan B adalah matriks-matriks dalam contoh 5, maka matriks kolom kedua dari AB dapat diperoleh dari (3) dengan perhitungan

[1 2 42 6 0 ][ 1

−17 ] = [ 27

−4 ]

Dan dari (4) matriks barispertama dari AB dapat diperoleh dengan perhitungan

[ 1 2 4 ] [4 1 4 30 −1 3 12 7 5 2 ]

= [ 12 27 30 13 ]

Baris pertama ABBaris pertama A

Kolom kedua B

Kolom kedua AB

Jika a1, a2, …, ammenyatakan matriks-matriks baris dari A dan b1, b2, …, bn menyatakan matriks-matriks kolom dari B, maka dari rumus (3), dan (4) kita dapat memperoleh

(AB dihitung kolom per kolom)

AB = [ a1

a2

⋮am

]B =

[a1Ba2B

⋮am B ]

(AB dihitung baris per baris)

2.4 Hasil Kali Matriks Sebagai Kombinasi Linear

Matriks-matriks baris dan kolom memberikan suatu cara berfikir alternatif mengenai

perkalian matriks.

Misalnya :

A=¿danx=[x ₁x ₂⋮

xn]

Maka,

Ax=¿ [a11 x1+a12 x2+. .. .+a1 n xn ¿ ] [a21 x1+a22 x2+. .. .+a2 n xn ¿ ] [ ¿ ]¿¿

¿¿

AB=A [b1 b2 … b n ]=[ Ab1 Ab2 … Abn ]

⋮⋮⋮

Dari hasil kali Ax dari sebuah matriks A dengan sebuah matriks kolom x adalah sebuah

kombinasi linier dari matriks-matriks kolom dari A koefisien-koefisien yang berasal dari

matriks x. dan menunjukkan hasil kali yA dari sebuah matriks y ukuran 1 × m dengan sebuah

matriks A berukuran m × n merupakan sebuah kombinasi linier dari matriks-matriks baris A

dengan koefisien scalar yang berasal dari y.

Contoh:

[ 1 3 21 2 32 1 2] [ 2

13 ]=[ 1

9 3]

Dapat ditulis sebagai kombinasi linier

2[ 111 ] 1[321]+3 [ 2

3 2]=[ 1

9 3]

Dan hasil kali matriks

[ 1 9 3 ] [ 1 3 21 2 32 1 2]=[ 16 18 35 ]

Dan kombinasi liniernya

1 [ 13 2 ] 9 [ 12 3 ] 3 [ 21 2 ]=[ 16 18 35 ]

2.6 Bentuk Matriks dari Suatu Sistem Linear

Perkalian matriks mempuyai suatu penerapan yang penting pada persamaan linear. Tinjau

sembarang sistem persamaan linear dalam n peubah.

a11 x1+a12 x2+ .. ..+a1n xn=b1

a21 x1+a22 x2+. .. .+a2 n xn=b2

am1 x1+am2 x2+. . ..+amn xn=bm

Selanjutnya, persamaan dari sitem linear ini dapat digantikan dengan persamaan matriks

tunggal, seperti yang dapat kita lihat di bawah ini.

[a11 x1+a12 x2+ .. ..+a1n xn ¿ ] [ a21 x1+a22 x2+ .. ..+a2n xn ¿ ] [¿ ]¿¿

¿¿

Matriks m x 1 pada ruas kiri persamaan ini dapat ditulis sebagai suatu hasil kali untuk

menghasilkan :

[ a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

⋮ ⋮ ⋮am 1 am2 … amn

] [x1

x2

⋮xn

]=[b1

b2

⋮bm

]Jika kita misalkan matriks-matriks di atas masing-masing dengan A, x, dan b, maka yang

didapat adalah matriks tunggal seperti berikut.

Ax=b

Matriks A dalam persamaan ini disebut matriks koefisien dari sistem persamaan tersebut.

Matriks yang diperbesar untuk sistem ini diperoleh dengan menggandengkan b ke A sebagai

kolom terakhir, jadi matriks yang diperbesar adalah

[ A b ]=[ a11 a12 … a1n b1

a21 a22 … a2n b2

⋮ ⋮ ⋮ ⋮am 1 am2 … amn bm

]2.7 Transpose Suatu Matriks

⋮⋮⋮ ⋮

Jika A adalah sembarang matriks m × n, maka transpose A dinyatakan dengan AT,

didefinisikan sebagai matriks n × m yang didapatkan dengan mempertukarkan baris dan

kolom dari A; yaitu, kolom pertama dari ATadalah baris pertama dari A, kolom kedua dari

ATadalah baris kedua dari A, dan seterusnya.

Contoh:

A¿ [a11 a12 a13 a14

a21 a21 a23 a24

a31 a32 a33 a34 ] B¿ [231 45 6 ] C¿ [ 13 5 ] D¿ [ 4 ]

↕ ↕ ↕ ↕

AT¿ [a₁₁ a ₂₁ a ₃₁a₁₂ a ₂₂ a ₃₂a₁₃ a ₂₃ a ₃₃a₁₄ a ₂₄ a ₃₄

]BT¿ [2153 4 6]CT¿ [135]DT¿ [ 4 ]

Jika dari kolom ATmenjadi baris dari A, tetapi baris dari AT juga menjadi kolom A. Jadi, entri

dalam baris i dan kolom j dari AT adalah entri dalam baris j dan kolom i dari A: yaitu:

(AT)ij ¿( A)ij

Sifat-sifat transpose :

1. (A’)’ = A

2. (A+B)’ = A’ + B’

3. k(A’) = kA’

4. (AB)’ = B’A’

5. Jika Aadalah matriks simetris, maka A’ = A

2.8 Trace Suatu Matriks Bujur Sangkar

Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka traceA, dinyatakan dengan tr(A),

didefinisikan sebagai jumlah entri-entri pada diagonal utama A. Trace Atidak terdefinisi jika

A bukan matriks bujur sangkar.

Contoh:

A=[a ₁₁ a ₁₂ a₃₁a ₂₁ a ₂₂ a₃₂a ₃₁ a ₂₃ a₃₃]B=[ 12 70

3 5 841 27 34 210

]tr(A)¿a ₁₁+a ₂₂+a₃₃tr(B)¿ 1+5+7+0=11

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Matriks adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang

membentuk suatu susunan persegi atau persegi panjang. Bilangan – bilangan tersebut

disebut entri dalam matriks.

- Matriks kolom adalah sebuah matriks dengan hanya satu kolom.

- Matriks baris adalah matriks yang hanya memiliki satu baris.

kolommatriksA=[14 ]

barismatriksB=[ 2 1 5 ]

- Matriks persegi atau matriks bujur sangkar adalah matriks yang berbentuk persegi.

C=[ 2 3−2 6 ]

Penjumlahan dan Pengurangan :

(A+B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij dan (A-B)ij = (A)ij - (B)ij = aij - bij

Perkalian matriks :

(cA)ij = c(A)ij = caij= c1A1 + c2A2 + … + cnAn

Perkalian matriks dengan scalar :

2A – B + 13

C = 2A + (-1)B + 13

C

Matriks-matriks terpartisi :

A

= [a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a 34] =

[ A11 A12

A21 A22]

A

= [a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34]= [r1

r2

r3]

A= [a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34]= [c1 c2 c3 c4 ]

bujursangkarmatriks

Perkalian matriks baris dan kolom :

(AB dihitung kolom per kolom)

AB = [ a1

a2

⋮am

]B =

[a1 Ba2 B

⋮am B ]

(AB dihitung baris per baris)

Hasil Kali Matriks Sebagai Kombinasi Linear :

Ax=¿ [a11 x1+a12 x2+. .. .+a1 n xn ¿ ] [a21 x1+a22 x2+. .. .+a2 n xn ¿ ] [ ¿ ]¿¿

¿¿

Bentuk Matriks dari Suatu Sistem Linear :

Transpose :

(AT)ij ¿( A)ij

AB=A [b1 b2 … b n ]=[ Ab1 Ab2 … Abn ]

⋮ ⋮ ⋮

a11 x1+a12 x2+ .. ..+a1n xn=b1

a21 x1+a22 x2+. .. .+a2 n xn=b2

am1 x1+am2 x2+. . ..+amn xn=bm

[ a11 a12 … a1n b1

a21 a22 … a2n b2

⋮ ⋮ ⋮ ⋮am1 am2 … amn bm

][ A b ]=

Sifat-sifat transpose :

1. (A’)’ = A

2. (A+B)’ = A’ + B’

3. k(A’) = kA’

4. (AB)’ = B’A’

5. Jika A adalah matriks simetris, maka A’ = A

Trace Matriks Bujur Sangkar :

tr ( A )=a11+a22+a33

Trace A tidak terdefinisi jika A bukan matriks bujur sangkar.

DAFTAR PUSTAKA

1. Anton, Howard. 2000. Aljabar Linier. _ :Karisma Publishing Group

2. Johanes,dkk. 2006. Kompetensi Matematika 3A Program IPA. Jakarta : Yudhistira.

3. http://www.slideshare.net/AmriSandy/pertemuan12-10080718

4. palembang,sumatera selatan, Indonesia MAHASISWA at INSTITUT AGAMA ISLAM

NEGERI RADEN FATAH Education zelmibaidilah.blogspot.com