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CARRERA: INGENIERIA EN PROCESOS QUIMICOS TRAYECTO: IV ASIGNATURA: INGENIERÍA ECONÓMICA TRIMESTRE: II PROF: ING. FELIX SALAZAR

TEMA 1: FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ECONÓMICA Y EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO INGENIERÍA ECONÓMICA. DEFINICIÓN La ingeniería económica es una colección de técnicas matemáticas que simplifican comparaciones económicas. Con estas técnicas, se puede llevar a cabo una aproximación racional y significativa para evaluar aspectos económicos por métodos diferentes. Ingeniería económica es, por consiguiente, una herramienta de decisión por medio de la cual se podrá escoger un método como el más económico posible

Una alternativa es una solución única para una situación dada. En la ingeniería hay siempre varias maneras de realizar una tarea dada, y es necesario ser capaz de comparar racionalmente, de modo que pueda seleccionarse la alternativa más económica. Las alternativas usualmente comprenden detalles tales como costo de compra (inversión), la previsión de la vida del activo, los costos de mantenimiento anuales (Costos de mantenimiento y operación), anticipar el valor de recuperación (costo de salvamento) y la tasa de

interés (tasa de rendimiento o retorno). Una vez que la realidad y todos los cálculos pertinentes se colectan, un análisis en ingeniería económica puede conducir a determinar cual es el mejor punto de vista económico. Para ser capaz de comparar diferentes métodos o verificar un objeto dado, es necesario tener un criterio de evaluación que pueda usarse como base para juzgar las alternativas. Es decir que se usa el criterio de evaluación para contestar ¿Cuál es la mejor alternativa? Pero, ¿Cómo definir cuál es el mejor?, ¿fue la mejor ruta la más segura?, ¿la más corta?, ¿la más rápida?, ¿la más barata?, ¿la mas pintoresca?, o ¿qué? Cuando las alternativas evaluadas, tienen aproximadamente el mismo costo equivalente, los factores no cuantificables o intangibles, pueden usarse como base para seleccionar la mejor alternativa.

Fundamentalmente la ingeniería económica implica formular, estimar y evaluar los resultados económicos cuando existan alternativas disponibles para llevar a cabo un propósito definido. Otra forma de definir la ingeniería

económica consiste en describirla como un conjunto de técnicas matemáticas que simplifican las comparaciones económicas.

IMPORTANCIA DE LA INGENIERIA ECONOMICA El uso correcto de las técnicas de ingeniería económica tiene una importancia especial porque virtualmente cualquier proyecto -local, nacional o internacional- afectará los costos y/o los

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ingresos. Algunas de las preguntas típicas que puede suscitar el material de este libro se plantean a continuación: Actividades de la ingeniería

- ¿Debería incorporarse una nueva técnica de financiamiento en la fabricación de cojinetes para frenos de automóvil?

- Si un sistema de visión computarizada sustituye al inspector en lo que se refiere a llevar a cabo pruebas de calidad en una línea de ensamble de automóviles, ¿disminuirán los costos de operación en un periodo de cinco años?

- ¿Puede una decisión económicamente adecuada mejorar el centro de producción de material estructural con agentes reforzadores de una fábrica de aviones con el objetivo de reducir costos 20%?

- ¿Debería construirse un paso a desnivel debajo de una vía rápida en una ciudad de 25000 habitantes, o debería ampliarse la vía rápida a lo largo de la ciudad?

- ¿Se conseguirá la tasa de retorno requerida si instalamos la nueva tecnología del mercado en nuestra línea de fabricación del láser médico?

Proyectos del sector público y agencias gubernamentales

- ¿Cuánto dinero debe recaudarse con el nuevo impuesto en la ciudad para mejorar el sistema de distribución de electricidad?

- ¿En este punto los beneficios superan a los costos en la construcción de un puente sobre un canal intracostero?

- ¿Es efectivo para el Estado compartir el costo de la construcción de una nueva ruta de peaje con un contratista?

- ¿Debería la universidad estatal contratar a una institución privada para que ésta imparta cursos universitarios propedéuticos o debería impartirlos el personal docente de la propia universidad?

Individuos

- ¿Debo pagar el saldo de mi tarjeta de crédito con dinero prestado? - ¿Qué representan mis estudios universitarios en mi carrera profesional en términos

financieros? - ¿Constituyen un buen negocio las deducciones federales del impuesto sobre la renta para la

hipoteca de mi casa o debería agilizar los pagos de la hipoteca? - ¿Qué tasa de retorno obtuvimos en nuestra inversión en acciones? - ¿Debería comprar o financiar mi próximo automóvil, o conservar el que tengo ahora y

continuar pagando el crédito? PRINCIPIOS DE LA INGENIERÍA ECONÓMICA. El desarrollo, estudio y aplicación de cualquier disciplina debe comenzar con una base fundamental; la cual en ingeniería económica se definirá como un conjunto de principios, o conceptos fundamentales, que proporcionan una doctrina comprensiva para llevar a cabo la metodología. La experiencia ha mostrado que la mayoría de los errores cometidos en esta disciplina tienen su origen en transgresiones o en el seguimiento inadecuado de los siete principios básicos, que a continuación se definen:

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PRINCIPIO 1. Desarrollar las alternativas. La elección (decisión) se da entre las alternativas. Es necesario identificar las alternativas y después definirlas para el análisis subsecuente. PRINCIPIO 2. Enfocarse en las diferencias. Al comparar las alternativas debe considerarse solo aquello que resulta relevante para la toma de decisiones, es decir, las diferencias en los posibles resultados. PRINCIPIO 3. Utilizar un punto de vista consistente. Los resultados probables de las alternativas, económicas y de otro tipo, deben llevarse a cabo consistentemente desde un punto de vista definido (perspectiva – punto de vista). PRINCIPIO 4. Utilizar una unidad de medición común. Utilizar una unidad de medición común para enumerar todos los resultados probables hará más fácil el análisis y comparación de las alternativas. PRINCIPIO 5. Considerar los criterios relevantes. La selección de una alternativa (Toma de decisiones) requiere del uso de un criterio (o de varios criterios). El proceso de decisión debe considerar los resultados enumerados en la unidad monetaria y los expresados en alguna otra unidad de medida o hechos explícitos de una manera descriptiva. PRINCIPIO 6. Hacer implícita la incertidumbre. La incertidumbre es implícita la proyectar (o estimar) los resultados futuros de las alternativas y debe reconocerse en su análisis y comparación. PRINCIPIO 7. Revisar sus decisiones. La toma de decisiones mejorada resulta de un proceso adaptativo; hasta donde sea posible, los resultados iniciales proyectados de la alternativa seleccionada deben compararse posteriormente con los resultados reales logrados. CONCEPTOS RELACIONADOS CON LA INGENIERIA ECONOMICA Administración Financiera: son los deberes del administrador financiero de una organización. Los administradores financieros controlan, supervisan, dirigen y ejecutan decisiones de inversión y gasto en las organizaciones, sea esta de cualquier tipo. Entre las actividades del administrar financiero se puede mencionar: planeación, extensión de crédito a los clientes, evaluación de grandes gastos y financiación. Amortización: (1) es la compensación en dinero del valor de los medios fundamentales de trabajo (máquinas, instalaciones, edificios), valor que pasa gradualmente al nuevo producto obtenido en el proceso de producción o a la labor realizada (servicios). (2) Reembolso de una deuda. Devolución de un capital prestado con arreglo a determinadas condiciones o plazos Análisis de Sensibilidad: El análisis de sensibilidad es el estudio del algoritmo de un modelo para determinar en qué medida responde (o se mantiene estable) ante las variaciones de los datos introducidos en el modelo o de los supuestos en los que éste se basa. Se lleva a cabo modificando los valores introducidos en el modelo o las ecuaciones del modelo y observando de qué manera varían en consecuencia los resultados del modelo.

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Contabilidad: La ciencia y/o técnica que ensena a clasificar y registrar todas las transacciones financieras de un negocio o empresa para proporcionar informes que sirven de base para la toma de decisiones. Depreciación: Reducción del valor contable o de mercado de un activo. Representa un gasto no erogable, por lo que no afecta el flujo de fondos de la empresa. Estados Financieros: también denominados estados contables, informes financieros o cuentas anuales, son informes que utilizan las instituciones para informar de la situación económica y financiera y los cambios que experimenta la misma a una fecha o periodo determinado • Estos Estados Financieros (Balance General, Estado de Resultados y Estado de Flujos de Efectivo) se preparan de acuerdo con reglas establecidas por la Contabilidad. • El análisis de los Estados Financieros implica una comparación del desempeño de la empresa en el tiempo, así como una comparación con otras compañías que participan en el mismo sector. • Este análisis se realiza para identificar los puntos débiles y fuertes de la empresa. Financiación: Financiación es la acción y efecto aportar dinero para una empresa o proyecto, sufragar los gastos de una obra o actividad. La financiación consiste en aportar dinero y recursos para la adquisición de bienes o servicios. Es habitual que la financiación se canalice mediante créditos o préstamos (quien recibe el dinero, debe devolverlo en el futuro). Finanzas: es el arte y la ciencia de administrar el dinero. Virtualmente todos los individuos y organizaciones ganan u obtienen dinero y lo gastan o invierten. Las finanzas están relacionadas con el proceso, las instituciones, los mercados y los instrumentos implicados en la transferencia de dinero entre individuos, empresas y gobiernos. Inflación: es el crecimiento continuo y generalizado de los precios de los bienes y servicios y factores productivos de una economía a lo largo del tiempo. Otras definiciones la explican como el movimiento persistente al alza del nivel general de precios o disminución del poder adquisitivo del dinero. Servicios Financieros: es el área de las finanzas que se encarga del diseño y producción de asesoría y productos financieros para individuos, empresas y gobiernos. Incluye planeación financiera personal, inversiones, bienes raíces, seguros y actividades bancarias. LA INGENIERÍA ECONÓMICA Y LA TOMA DE DECISIONES La gente toma decisiones; ni las computadoras, las matemáticas u otras herramientas lo hacen. Las técnicas y modelos de la ingeniería económica ayudan a la gente a tomar decisiones. Como las decisiones influyen en lo que se hará, el marco de referencia temporal de la ingeniería económica es básicamente el futuro. Por lo tanto, en un análisis de ingeniería económica los números constituyen las mejores estimaciones de lo que se espera que ocurrirá. Dichas estimaciones a menudo implican tres elementos esenciales: flujos de efectivo, su tiempo de ocurrencia y las tasas de interés, los cuales se estiman a futuro y serán de alguna manera diferentes de lo que realmente ocurra, principalmente como consecuencia de las circunstancias cambiantes y no planeadas de los eventos.

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Existe un procedimiento importante para abordar la cuestión del desarrollo y elección de alternativas. Los pasos de este enfoque, comúnmente denominado enfoque de solución de problemas o proceso de toma de decisiones, son los siguientes.

1. Comprensión del problema y definición del objetivo. 2. Recopilación de información relevante. 3. Definición de posibles soluciones alternativas y realización de estimaciones realistas. 4. Identificación de criterios para la toma de decisiones empleando uno o más atributos. 5. Evaluación de cada alternativa aplicando un análisis de sensibilidad para reforzar la evaluación. 6. Elección de la mejor alternativa. 7. Implantar la solución. 8. Vigilar los resultados.

La ingeniería económica desempeña el papel principal en todos los pasos y es fundamental en los pasos 2 a 6. Los pasos 2 y 3 establecen las alternativas y permiten hacer las estimaciones para cada una de ellas. El paso 4 requiere que el analista identifique los atributos para la elección alternativa. Este paso determina la etapa para la aplicación de la técnica. El paso 5 utiliza modelos de ingeniería económica para completar la evaluación y realizar cualquier análisis de sensibilidad sobre el cual se base una decisión (paso 6). EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Hay un fenómeno económico conocido como inflación, el cual consiste en la pérdida del poder adquisitivo del dinero con el paso del tiempo. Ningún país en el mundo está exento de la inflación, ya sea que tenga un valor bajo, de 2 a 5% anual en países desarrollados, o por arriba de 1 000% anual, como en algunos países de América del Sur. Nadie puede escapar de ella. De la misma forma, nadie sabe con certeza por qué es necesaria la inflación o por qué se origina en cualquier economía. Lo único que se aprecia claramente es que en países con economías fuertes y estables la inflación es muy baja, pero nunca de cero.

El valor del dinero en el tiempo se basa en la creencia de que el dinero actual tiene un valor mayor que el que recibira en una fecha futura.

La variación de la cantidad del dinero en un periodo de tiempo dado recibe

el nombre de valor de dinero en el tiempo; éste es el concepto más importante de la ingeniería económica.

La ingeniería económica plantea el problema del cambio en el valor del dinero a través del tiempo. La solución que aporta consiste en calcular el valor equivalente del dinero en un solo instante de tiempo. TASA DE INTERES El interés es la manifestación del valor del dinero en el tiempo. Desde una perspectiva de cálculo, el interés es la diferencia entre una cantidad final de dinero y la cantidad original. Si la diferencia es nula o negativa, no hay interés. Existen dos variantes del interés: el interés pagado y el interés

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ganado. El interés se paga cuando una persona u organización pide dinero prestado (obtiene un préstamo) y paga una cantidad mayor. El interés se gana cuando una persona u organización ahorra, invierte o presta dinero y recibe una cantidad mayor. En seguida se muestra que los cálculos y los valores numéricos para ambas variantes son, en esencia, los mismos, aunque las interpretaciones difieren.

El interés que se paga por fondos que se piden prestados (préstamo) se determina mediante la relación

𝐈𝐧𝐭𝐞𝐫é𝐬 = 𝐜𝐚𝐧𝐭𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐪𝐮𝐞 𝐬𝐞 𝐝𝐞𝐛𝐞 𝐚𝐡𝐨𝐫𝐚 − 𝐜𝐚𝐧𝐭𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 Cuando el interés pagado con respecto a una unidad de tiempo específica se expresa como porcentaje de la suma original (principal), el resultado recibe el nombre de tasa de interés.

𝐓𝐚𝐬𝐚 𝐝𝐞 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫é𝐬 (%) =𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫é𝐬 𝐚𝐜𝐮𝐦𝐮𝐥𝐚𝐝𝐨 𝐩𝐨𝐫 𝐮𝐧𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐝𝐞 𝐭𝐢𝐞𝐦𝐩𝐨

𝐒𝐮𝐦𝐚 𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥𝐱 𝟏𝟎𝟎

La unidad de tiempo de la tasa recibe el nombre de periodo de interés. Por ahora, el periodo de interés más comúnmente utilizado para fijar una tasa de interés es de un año. Es posible considerar periodos de tiempo más cortos, como 1% mensual. Por lo tanto, siempre debería incluirse el periodo de interés de la tasa de interés. Si tan sólo se fija la tasa, por ejemplo, 8.5%, se dará por supuesto un periodo de interés de un año. EJEMPLO. TASA DE INTERES Un empleado de LaserKinetics.com solicita un préstamo de 10.000 Bs. el 1 de mayo y debe pagar un total de 10.700 Bs. exactamente un año después. Determine el interés y la tasa de interés pagada. Aquí el problema se analiza desde la perspectiva del prestatario en virtud de que los 10700 Bs. pagan un préstamo.

𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 = (10.700 – 10.000)𝐵𝑠 = 700 𝐵𝑠

𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 = 700 𝐵𝑠

10.000 𝐵𝑠𝑥 100% = 7% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙

TASA DE RENDIMIENTO Desde la perspectiva de un ahorrador, un prestamista, o un inversionista, el interés ganado es la cantidad final menos la cantidad inicial, o principal.

𝐈𝐧𝐭𝐞𝐫é𝐬 𝐠𝐞𝐧𝐞𝐫𝐚𝐝𝐨 = 𝐜𝐚𝐧𝐭𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐚𝐜𝐭𝐮𝐚𝐥 − 𝐜𝐚𝐧𝐭𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥 El interés generado durante un periodo específico de tiempo se expresa como porcentaje de la cantidad original y se denomina tasa de rendimiento (TR).

𝐓𝐚𝐬𝐚 𝐝𝐞 𝐫𝐞𝐧𝐝𝐢𝐦𝐢𝐞𝐧𝐭𝐨 (%) =𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫é𝐬 𝐚𝐜𝐮𝐦𝐮𝐥𝐚𝐝𝐨 𝐩𝐨𝐫 𝐮𝐧𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐝𝐞 𝐭𝐢𝐞𝐦𝐩𝐨

𝐂𝐚𝐧𝐭𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐨𝐫𝐢𝐠𝐢𝐧𝐚𝐥𝐱 𝟏𝟎𝟎

La unidad de tiempo para la tasa de retorno recibe el nombre de periodo de interés, el mismo nombre que cuando se ve desde la perspectiva del prestatario. De nueva cuenta, el periodo más común es de un año.

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EJEMPLO. TASA DE RENDIMIENTO. a) Calcule la cantidad depositada hace un año si ahora se tienen 1.000 Bs. a una tasa de interés del 5% anual. b) Determine la cantidad por intereses ganados durante este periodo. a) La cantidad total acumulada es la suma del depósito original y del interés ganado. Si X es el depósito original,

𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 = 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 + 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 (𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠) 1.000 𝐵𝑠𝐹. = 𝑋 + 𝑋(0.05) = 𝑋( 1 + 0.05) =

El depósito original es 𝑋 =1.000 𝐵𝑠.

1,05 = 952,38 𝐵𝑠.

b) Para determinar el interés ganado. 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 = 1.000 𝐵𝑠. − 952,38 𝐵𝑠. = 47,62 𝐵𝑠. En diversas industrias y escenarios, el término rendimiento sobre la inversión (RSI) se emplea como sinónimo de TR, en particular cuando se asignan grandes fondos de capital a programas orientados a la ingeniería. Aunque los valores numéricos de las ecuaciones para calcular la tasa de interés y ya tasa de rendimiento son los mismos, el término tasa de interés pagada es más adecuado para la perspectiva del prestatario, y tasa de retorno ganada es mejor desde la perspectiva del inversionista. Desde el punto de vista de quien recibe un préstamo, la tasa de inflación tan sólo es otra tasa implícita en la tasa real de interés. Por otra parte, desde el punto de vista del ahorrador o inversionista en una cuenta de interés fijo, la inflación reduce la tasa real de rendimiento sobre la inversión. La inflación significa que el costo y la ganancia estimados de un flujo de efectivo aumentan con el tiempo. FLUJOS DE EFECTIVO (FLUJO DE CAJA) Las entradas (ingresos) y salidas (costos) estimadas de dinero reciben el nombre de flujos de efectivo. Para muchas organizaciones la entrada o salida de dinero, a la cual se le llama flujo de efectivo, se produce a diario, los encargados de la contabilidad en las organizaciones acostumbran realizar, expresar y declarar estos flujos de efectivo de forma mensual, y anualmente para efectos fiscales. Es importante mencionar que el flujo de efectivo se considera positivo cuando entra dinero a la organización, y negativo si es que sale de ella, por ejemplo cuando se paga por los insumos. A partir del hecho de que el dinero cambia su valor con el paso del tiempo, es preciso contar con técnicas, primero para representar los flujos de efectivo en diferentes periodos de tiempo, y posteriormente se requieren técnicas para calcular el cambio del valor del dinero a través del tiempo.

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ESTIMACIONES DE FLUJO DE EFECTIVO Las estimaciones de flujos de efectivo son sólo eso: estimaciones relativas a un futuro incierto. Una vez estimadas, las técnicas de este libro orientan en el proceso de toma de decisiones. Sin embargo, la exactitud probada con el tiempo de la estimación de entradas y salidas de efectivo de una alternativa claramente determina la calidad del análisis económico y su conclusión. Las entradas de efectivo, o ingresos, pueden constar de los siguientes elementos, dependiendo de la naturaleza de la actividad propuesta y de la clase de negocio que se emprenda. Ejemplos de entradas de efectivo (estimación) Ingresos (por lo general incrementales provenientes de una alternativa). Reducciones en los costos de operación (atribuibles a una alternativa). Valor de salvamento de activos. Recepción del principal de un préstamo. Ahorros en impuesto sobre la renta. Ingresos provenientes de la venta de acciones y bonos. Ahorros en costos de construcción e instalaciones. Ahorros o rendimiento de los fondos de capital corporativo. Las salidas de efectivo, o desembolsos, pueden estar constituidas por los siguientes elementos, dependiendo, de nueva cuenta, de la naturaleza de la actividad y del tipo de negocio. Ejemplos de salidas de efectivo (estimación) Costo de adquisición de activos. Costos de diseño de ingeniería. Costos de operación (anual e incremental). Costos de mantenimiento periódico y de remodelación. Pagos del interés y del principal de un préstamo. Costo de actualización (esperados o no esperados). Impuestos sobre la renta. Gasto de fondos de capital corporativos. Puesto que los flujos de efectivo normalmente tienen lugar en puntos variables del tiempo dentro de un periodo de interés, se adopta un supuesto que simplifica el análisis. La convención de final de periodo implica la suposición de que todos los flujos de efectivo ocurren al final de un periodo de interés. Si varios ingresos y desembolsos se llevan a cabo dentro de un periodo de interés determinado,

se da por supuesto que el flujo de efectivo neto ocurre al final del periodo de interés. DIAGRAMA DE FLUJO DE EFECTIVO El diagrama de flujo de efectivo constituye una herramienta muy importante en un análisis económico, en particular cuando la serie del flujo de efectivo es compleja. Se trata de una representación gráfica de los flujos de efectivo trazados sobre una escala de tiempo. El diagrama incluye los datos conocidos, los datos estimados y la información que se necesita. Es decir, que una vez que el diagrama de flujo de efectivo se encuentra completo, otra persona debería ser capaz de abordar el problema a partir del mismo.

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𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 – 𝐷𝑒𝑠𝑒𝑚𝑏𝑜𝑙𝑠𝑜𝑠 = 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 − 𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜

El tiempo del diagrama de flujo t = 0 es el presente, y t = 1 es el final del periodo 1. Por ahora, supondremos que los periodos se expresan en años.

La escala de tiempo de la figura abarca 5 años. Ya que la convención de final de año ubica los flujos de efectivo al final de cada año, el "1" indica el final del año 1. INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO El interés simple se calcula utilizando exclusivamente el principal e ignorando cualquier interés generado en los periodos de interés precedentes. El interés simple total durante varios periodos se calcula de la siguiente manera:

𝐈𝐧𝐭𝐞𝐫é𝐬 = (𝐩𝐫𝐢𝐧𝐜𝐢𝐩𝐚𝐥)(𝐧ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐩𝐞𝐫𝐢𝐨𝐝𝐨𝐬)(𝐭𝐚𝐬𝐚 𝐝𝐞 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫é𝐬) donde la tasa de interés se expresa en forma decimal. EJEMPLO. INTERES SIMPLE. Una empresa de Comunicaciones otorgó un préstamo a un miembro del personal de ingeniería para que éste adquiriera un avión a escala dirigido por un radio controlador. El préstamo asciende a 1.000 Bs. por tres años con un interés simple de 5% anual. ¿Cuánto debe pagar el ingeniero al final de los tres años? Tabule los resultados. El interés para cada uno de los tres años es:

𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = 1.000 𝐵𝑠. (0.05) = 50 𝐵𝑠. El interés total de los tres años es:

𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1.000 𝐵𝑠. (3)(0.05) = 150 𝐵𝑠 El monto adeudado después de tres años es:

𝐴𝑑𝑒𝑢𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1.000 𝐵𝑠. + 150 𝐵𝑠. = 1.150 𝐵𝑠. El interés acumulado de 50 Bs. en el primer año y el interés acumulado de 50 Bs. en el segundo año no generan intereses. El interés que se adeuda cada año se calcula exclusivamente sobre el principal de 1.000 Bs.

Final del año

Cantidad obtenida en préstamo

Interés Deuda Suma Pagada

0 1.000 Bs.

1 - 50 Bs. 1.050 Bs. 0

2 - 50 Bs. 1.100 Bs. 0

3 - 50 Bs. 1.150 Bs. 1.150 Bs.

Los detalles de los pagos del préstamo se tabulan en la tabla siguiente desde el punto de vista del prestatario. El tiempo cero representa el presente, es decir, cuando se otorga el préstamo. No se

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hacen pagos sino hasta que concluya el tercer año. El monto que se adeuda cada año se incrementa uniformemente 50 Bs., en virtud de que el interés simple se calcula sólo sobre el principal del préstamo. INTERES COMPUESTO

En el caso del interés compuesto, el interés generado durante cada periodo de interés se calcula sobre el principal más el monto total del interés acumulado en todos los periodos anteriores. Así, el interés compuesto es un interés sobre el interés. También refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo sobre el interés. El interés para un periodo ahora se calcula de la siguiente manera:

𝐈𝐧𝐭𝐞𝐫é𝐬 = (𝐩𝐫𝐢𝐧𝐜𝐢𝐩𝐚𝐥 + 𝐭𝐨𝐝𝐨𝐬 𝐥𝐨𝐬 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐞𝐬𝐞𝐬 𝐚𝐜𝐮𝐦𝐮𝐥𝐚𝐝𝐨𝐬)(𝐭𝐚𝐬𝐚 𝐝𝐞 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫é𝐬)

EJEMPLO. INTERES COMPUESTO. Un ingeniero solicita a la cooperativa de crédito de la empresa un préstamo de 1000 Bs. con un interés anual compuesto de 5%. Calcule el adeudo total después de tres años. Elabore una gráfica y compare los resultados de este ejemplo y del anterior. El interés y el adeudo total de cada año se calculan por separado:

Interés del primer año: 1.000 Bs. (0.05) = 50,00 Bs. Adeudo total después del primer año: 1.000 Bs. + 50,00 Bs.= 1050.00 Bs. Interés del segundo año: 1.050 Bs. (0.05) = 52,50 Bs. Adeudo total después del segundo año: 1.050 Bs.+ 52,50 Bs.= 1102,50 Bs. Interés del tercer año: 1.102,50 Bs. (0.05) = 55,13 Bs. Adeudo total después del tercer año: 1.102,50 Bs. + 55,13 Bs. = 1.157,63 Bs.

Final del año

Cantidad obtenida en

préstamo

Interés Deuda Suma Pagada

0 1.000 Bs.

1 - 50 Bs. 1.050 Bs. 0

2 - 52,50 Bs. 1.102,50 Bs. 0

3 - 55,13 Bs. 1.157,63 Bs. 1.157,63 Bs.

NOTA: En la resolución de cualquier problema de Ingeniería Económica se toma en cuenta el axioma o declaración básica: “la cantidad de dinero que se debe es igual a la cantidad de dinero que se va a pagar, siempre que ambas cantidades de deuda y pago se comparen a su valor equivalente en el mismo instante de tiempo.” VALOR FUTURO (F) El valor de una suma de dinero actual en una fecha futura, basándose en un tipo de interés apropiado y el número de años hasta que llegue esa fecha futura. Utilizando interés simple para su cálculo:

𝐹 = 𝑃 ∗ (1 + 𝑛 ∗ 𝑖)

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Utilizando capitalización compuesta para su cálculo:

𝐹 = 𝑃 ∗ (1 + 𝑖)𝑛 (Fórmula del interés capitalizado o del valor del dinero a través del tiempo) EJEMPLO. VALOR FUTURO. INTERES COMPUESTO. Se dispone de 1.000.000 Bs. el cual se deposita en una entidad financiera que le pagará un interés mensual del 2.5% sobre la cantidad inicial acumulada cada mes. ¿Cuánto se tendrá al final de 1 año? P=1.000.000 Bs. i= 2.5% mensual n= 12 meses F= ? Aplicando la fórmula: 𝐹 = 𝑃 ∗ ( 1 + 𝑖 )𝑛

𝐹 = 1.000.000 𝐵𝑠. (1 + 0.025)12 𝐹 = 1.344.888,82 𝐵𝑠. VALOR PRESENTE (VP) Es la diferencia entre el costo de capital de una inversión y el valor de un flujo de efectivo futuro a que dará origen la inversión. Generalizando la fórmula, el valor presente (VP) de un Capital K, que se recibirá al final del año n, a una tasa de interés 𝑖, es igual a:

𝑉𝑃 =𝐾

(1+𝑖)𝑛 =𝐹

(1+𝑖)𝑛 = 𝑃

EJEMPLO. VALOR PRESENTE. ¿Qué cantidad presente un aumento de 1.000 Bs. en 5 años el 10 por ciento?

𝑃 =1.000 𝐵𝑠.

(1 + 0,1)5= 1.000 𝐵𝑠. (0,62092) = 620,92 𝐵𝑠.

VALOR ANUAL (A)

Cantidad constante de dinero que se utiliza en una serie de sumas de dineros consecutivos, iguales de fin de periodo, denominadas valor equivalente por periodo o valor anual.

𝐴 = 𝑃 ∗(1+𝑖)𝑛∗𝑖

(1+𝑖)𝑛−1 ó 𝑃 = 𝐴 ∗

(1+𝑖)𝑛−1

(1+𝑖)𝑛∗𝑖

(Fórmula condensada que relaciona al presente con pagos uniformes) Suposiciones o restricciones del Valor Anual: 1. La primera A siempre está en el periodo 1. 2. La última A siempre está en el periodo n. 3. Los pagos (o depósitos) no se interrumpen. EJEMPLO. VALOR ANUAL. a) Una persona va a una pequeña tienda que vende artículos para el hogar en la localidad donde vive, quiere adquirir una TV cuyo costo de contado es de 12000 Bs. pero no tiene esa cantidad

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disponible, por lo que solicita al vendedor que le haga un plan de compra a crédito a seis meses. El vendedor le contesta que el plan que le puede ofrecer es el pago de seis mensualidades iguales, la primera se haría al final del primer mes después de la compra; asimismo, le informa que el interés que cobra la tienda es de 3% mensual. ¿Cuánto será el monto de los pagos mensuales?

𝐴 = 12.000 𝐵𝑠. [0,03(1 + 0,03)6

(1 + 0,03)6 − 1] = 2.215,17005 𝐵𝑠.

b) Se vende un aparato eléctrico a crédito y bajo las siguientes condiciones: cubrir seis mensualidades iguales de 2215.170005 Bs. cada una, que se empezarán a pagar un mes después de hacer la compra. El interés que se cobra es de 3% mensual ¿Cuál es el precio de contado?

𝑉𝑃 = 2,215,17005 𝐵𝑠.∗(1 + 0,03)6 − 1

(1 + 0,03)6 ∗ 0,03= 12.000 𝐵𝑠.

𝐹 = 𝐴 ∗ [(1+𝑖)𝑛−1

𝑖] ó 𝐴 = 𝐹 ∗ [

𝐼

(1+𝑖)𝑛−1]

(Fórmula condensada que relaciona el futuro con pagos uniformes)

EJEMPLO. VALOR ANUAL. Una persona deposita 1.000 Bs. cada mes durante los meses 1 al 6, en un banco que paga un interés de 2% mensual a sus ahorradores. No hace ningún retiro de dinero. ¿A cuánto asciende el monto que se acumula en el banco al momento de hacer el sexto depósito?

𝐹 = 1.000 𝐵𝑠.∗ [(1 + 0,02)6 − 1

0,02] = 6.308,121 𝐵𝑠.

FACTORES DE INTERES

Factores de interés son los números calculados multiplicativos de las fórmulas de interés para las tasas de interés y períodos dados. Se utilizan para convertir los flujos de efectivo que se producen en momentos diferentes para el mismo tiempo. Los formatos funcionales utiliza para representar estos factores se han tomado de la norma ANSI Z94. Esta notación incluye dos símbolos de flujo de efectivo, la tasa de interés y el número de periodos. Siempre está en la forma general (𝑋/𝑌, 𝑖, 𝑛). La literal 𝑋 representa lo que se busca; mientras que la literal 𝑌 representa lo que está dado. La 𝑖

es la tasa de interés en porcentaje, y 𝑛 representa el número de periodos implicados. P= valor o cantidad de dinero en un momento denotado como presente o tiempo 0. También VP, VA recibe el nombre de valor presente. F= valor o cantidad de dinero en un tiempo futuro. F también recibe el nombre de valor futuro VF; unidades monetarias A = serie de cantidades de dinero consecutivas, iguales y del final del periodo. A también se denomina valor anual (VA) n = número de periodos de interés; años, meses, días i = tasa de interés o tasa de retorno por periodo; porcentaje anual, porcentaje mensual; por ciento diario t = tiempo expresado en periodos; años, meses, días

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Todos los problemas de la ingeniería económica incluyen el elemento de tiempo 𝑡. De los cinco restantes (𝑃, 𝐹, 𝐴, 𝑛, 𝑖) cada problema incluirá por lo menos cuatro símbolos, 𝑃, 𝐹, A, 𝑛 e 𝑖, cuando menos tres de los cuales están estimados o se conocen. Los símbolos 𝑃 y 𝐹 indican valores que se presentan una sola vez en el tiempo: tiene el mismo valor una vez en cada periodo de interés durante un número específico de periodos. Debe quedar claro que el valor presente P representa una sola suma de dinero en algún momento anterior a un valor futuro o antes de que se presente por primera vez un monto equivalente de la serie 𝐴. Es importante notar que el símbolo 𝐴 siempre representa una cantidad uniforme (es decir, la misma cantidad cada periodo), la cual se extiende a través de periodos de interés consecutivos. Ambas condiciones deben darse antes de que la serie pueda quedar representada por 𝐴. Se da por supuesto que la tasa de interés i corresponde a una tasa de interés compuesto, a menos que específicamente se indique que se trata de una tasa de interés simple. La tasa i se expresa como porcentaje por periodo de interés; por ejemplo, 12% anual. A menos que se indique lo contrario, se supondrá que la tasa se aplica durante los n años o periodos de interés. En los cálculos que se realizan en ingeniería económica siempre se utiliza el equivalente decimal de 𝑖. TABLAS DE INTERES Los valores que pueda tomar de la cantidad de compuesta se tabulan para una variedad de tipos de interés y número de períodos en la mayoría de los textos sobre la economía de ingeniería económica. Aunque las calculadoras y las computadoras han reducido en gran medida la necesidad de que dichas tablas, que son a menudo sigue siendo útil en interpolaciones. FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA (FCCPU) En la fórmula para encontrar el valor futuro de una suma de dinero con interés compuesto, la expresión matemática (1 + 𝑖)𝑛 se refiere como el factor de cantidad compuesta, representada por el formato funcional (𝐹/𝑃, 𝑖, 𝑛).

EJEMPLO. FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA El factor (𝐹/𝑃, 5%, 10) representa el factor que encuentra la cantidad futura 𝐹 acumulada en 10 periodos si la tasa de interés es de 5% por periodo. La P está dada. Este factor puede determinarse de tres maneras diferentes:

a) Por las tablas de interés: El valor del factor se encuentra en la columna F/P de la tabla 10 en el periodo 10 y es 1,6289.

b) Por la fórmula: Este valor se puede determinar también la ecuación (𝐹/𝑃, 𝑖, 𝑛) = (1 + 𝑖)𝑛 (𝐹/𝑃, 5%, 10) = (1 + 0,05)10 = 1,6289

c) Por el computador: el valor 𝐹 se calcula con la función 𝑉𝐹 de Excel usando el formato 𝑉𝐹(𝑖; 𝑛; 0; 𝑃); Un signo = debe preceder a la función cuando se ingrese.

FACTOR DE VALOR PRESENTE PAGO ÚNICO (FVPPU) En la ecuación de descuento, la expresión (1 + 𝑖)−𝑛se llama el factor de valor presente y es representado por el símbolo (𝑃/𝐹, 𝑖, 𝑛). Así, el valor presente de una suma futura con un porcentaje de interés i para n períodos, es: 𝑃 = 𝐹(𝑃/𝐹, 𝑖, 𝑛)

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Nótese que el factor de valor presente es el recíproco del factor de cantidad compuesta. Nótese también que:

(𝑃/𝐹, 𝑖, 𝑛) =1

(𝐹/𝑃, 𝑖, 𝑛)

EJEMPLO. FACTOR DE VALOR PRESENTE PAGO ÚNICO ¿Cuánto dinero estaría una persona dispuesta a gastar ahora con el fin de evitar el gasto de 500 Bs. dentro de 7 años a partir de hoy si la tasa de interés es del 18% anual? Al multiplicar el valor futuro por el factor del valor presente pago único 𝑃 = 𝐹(𝑃/𝐹, 18%, 7) se obtiene el valor presente de la inversión, este factor se puede encontrar de varias maneras:

a) Por las tablas de interés: El valor del factor se encuentra en la columna 𝑃/𝐹 de la tabla 21 en el periodo 7 y es 0,3139.

b) Por la fórmula: Este valor se puede determinar también la ecuación (𝑃/𝐹, 𝑖, 𝑛) = 𝐹 [1

(1+𝑖)𝑛]

𝑃 = 500 𝐵𝑠. (𝑃/𝐹, 18%, 7) = 500 𝐵𝑠 [1

(1 + 0,18)7] = 500 𝐵𝑠.∗ (0,3139) = 156,95 𝐵𝑠.

c) Por el computador: el valor 𝐴 se calcula con la función 𝑉𝐴 de Excel usando el formato 𝑉𝐴(𝑖; 𝑛; 0; 𝐴); 𝑉𝐴(0,18; 7; 0; 500) y regresara el valor en la celda de 𝑃 = 156,95 𝐵𝑠.

FACTOR DE VALOR PRESENTE SERIE UNIFORME (FVPSU)

El término [(1+𝑖)𝑛−1

𝑖(1+𝑖)𝑛 ]en la ecuación del Valor Anual es el factor de conversión referido como factor

de valor presente de serie uniforme. Se trata del factor 𝑃𝐼𝐴 utilizado para calcular el valor 𝑃 equivalente en el año 0 para una serie uniforme de final de periodo de valores 𝐴, que empiezan al final del periodo 1 y se extienden durante 𝑛 periodos y su denotación es: (𝑃/𝐴, 𝑖, 𝑛) EJEMPLO. FACTOR DE VALOR PRESENTE SERIE UNIFORME ¿Cuánto dinero debería destinarse para pagar ahora por 600 Bs. garantizados cada año durante 9 años, comenzando el próximo año, a una tasa de rendimiento de 16% anual? Al multiplicar el valor futuro por el factor del valor anual 𝑃 = 𝐴(𝑃/𝐴, 16%, 9) se obtiene el valor presente de la inversión, este factor se puede encontrar de varias maneras:

a) Por las tablas de interés: El valor del factor se encuentra en la columna 𝑃/𝐴 de la tabla 20 en el periodo 9 y es 4,6065.

b) Por la fórmula: Este valor se puede determinar también la ecuación

(𝑃/𝐴, 𝑖, 𝑛) = 𝐴 [(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖(1 + 𝑖)𝑛]

𝑃 = 600 𝐵𝑠. (𝑃/𝐴, 16%, 9) = 600 𝐵𝑠 [(1 + 0,16)9 − 1

0,16(1 + 0,16)9] = 600 𝐵𝑠.∗ (4,6065) = 2763,9263 𝐵𝑠.

c) Por el computador: el valor 𝑃 se calcula con la función 𝑉𝐴 de Excel usando el formato 𝑉𝐴(𝑖; 𝑛; 𝐴; 0); Un signo = debe preceder a la función cuando se ingrese. 𝑉𝐴(0,16; 9; 600; 0) y regresara el valor en la celda de 𝑃 = 2.763,93 𝐵𝑠.

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FACTOR DE RECUPERACION DE CAPITAL

El término 𝑖(1+𝑖)𝑛

(1+𝑖)𝑛−1 de la ecuación del Valor Anual es el factor de conversión referido como factor

de recuperación de capital. Se trata del factor 𝐴/𝑃 utilizado para calcular el valor 𝐴 equivalente en una serie uniforme de pagos que empiezan al final del periodo 1 y se extienden durante 𝑛 periodos y su denotación es: 𝐴 = 𝑃(𝐴/𝑃, 𝑖, 𝑛) EJEMPLO. FACTOR DE RECUPERACION DE CAPITAL Una persona va a una pequeña tienda que vende artículos para el hogar en la localidad donde vive, quiere adquirir una TV cuyo costo de contado es de 12.000 Bs. pero no tiene esa cantidad disponible, por lo que solicita al vendedor que le haga un plan de compra a crédito a seis meses. El vendedor le contesta que el plan que le puede ofrecer es el pago de seis mensualidades iguales, la primera se haría al final del primer mes después de la compra; asimismo, le informa que el interés que cobra la tienda es de 3% mensual. Al multiplicar el valor presente por el factor de recuperación de capital 𝐴 = 𝑃(𝐴/𝑃, 3%, 6) se obtiene el valor anual de los pagos constantes, este factor se puede encontrar de varias maneras: a) Por las tablas de interés: el valor del factor se encuentra en la columna 𝐴/𝑃 de la tabla 8 en el

periodo 6 y es 0,18460. b) Por la fórmula: Este valor se puede determinar también la ecuación:

𝐴 = 12.000 𝐵𝑠. [0,03(1 + 0,03)6

(1 + 0,03)6 − 1] = 1.2 00 𝐵𝑠.∗ (0,18460) = 2215,2 𝐵𝑠.

c) Por el computador: el valor 𝐴 se calcula con la función 𝑃𝐴𝐺𝑂 de Excel usando el formato 𝑃𝐴𝐺𝑂(𝑖; 𝑛; 𝑃; 0); 𝑃𝐴𝐺𝑂(0,03; 6; 12000; 0) y regresara el valor en la celda de 2.215,2 𝐵𝑠.

FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA SERIE UNIFORME Los factores de series uniformes se determinan simbólicamente mediante el uso de una forma de factor abreviada. Por ejemplo, 𝐹/𝐴 = (𝐹/𝑃)(𝑃/𝐴), donde la cancelación de la P es correcta. Usando las fórmulas de factor se obtiene:

𝐹 = 𝐴(𝐹/𝐴, 𝑖, 𝑛) = [(1 + 𝑖)𝑛] [(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖(1 + 𝑖)𝑛 ] =(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖

EJEMPLO. FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA SERIE UNIFORME Una empresa tiene grandes plantas de fabricación en Texas y Hong Kong. Su presidente quiere saber el valor futuro equivalente de una inversión de capital de 1 mil de Bs. cada año durante 8 años, empezando un año a partir de ahora. El capital de esta empresa gana a una tasa del 14% anual. Al multiplicar el valor anual de la inversión por el factor de cantidad compuesta de serie uniforme (𝐹/𝐴, 14%, 8) se obtiene el valor del regreso de la inversión en los 8 años, este factor se puede encontrar de varias maneras: d) Por las tablas de interés: el valor del factor se encuentra en la columna 𝐹/𝐴 de la tabla 18 en el

periodo 8 y es 13,2328. e) Por la fórmula: Este valor se puede determinar también la ecuación:

𝐹 = 1.000 𝐵𝑠. [(1 + 0,14)8 − 1

0,14] = 1.000. 𝐵𝑠.∗ (13,2328) = 13.232,76 𝐵𝑠.

f) Por el computador: el valor 𝐹 se calcula con la función VF de Excel usando el formato 𝑉𝐹(𝑖; 𝑛; 𝐴; 0); 𝑉𝐹(0,14; 8; 1000; 0) y regresara el valor en la celda de 𝑉𝐹 = 13.232,76 𝐵𝑠.

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FACTOR DE FONDO DE AMORTIZACIÓN La expresión del interés en esta ecuación se conoce como el Factor de amortización, (𝐴/𝐹, 𝑖, 𝑛), por lo tanto: 𝐴 = 𝐹(𝐴/𝐹, 𝑖, 𝑛), EJEMPLO. FACTOR DE FONDO DE AMORTIZACIÓN ¿Cuánto dinero necesita depositar Carol cada año, empezando un año a

partir de ahora, a 51

2% por año, para que pueda acumular 6.000 Bs. en siete

años? Al multiplicar el valor futuro por el factor de fondo de amortización (𝐴/𝐹, 5,5%, 7) se obtiene el valor anula en los 7 años para obtener los 6.000 Bs., este factor se puede encontrar de varias maneras: a) Por las tablas de interés: el valor del factor no se encuentra directamente en la tablas por lo tanto es necesario interpolar entre las tablas 10 y 11

𝑖 (𝐴/𝐹, 𝑖, 𝑛) 5% 0,12282

5,5 % 𝑋 6% 0,11914

Al interpolar en el periodo 7 y el valor del factor es 0,12096

b) Por la fórmula: Este valor se puede determinar también la ecuación:

𝐴 = 6.000 𝐵𝑠. [0,055

(1 + 0,055)7 − 1] = 6.000. 𝐵𝑠.∗ (0,12096) = 725,76 𝐵𝑠.

c) Por el computador: el valor 𝐴 se calcula con la función PAGO de Excel usando el formato 𝑃𝐴𝐺𝑂(𝑖; 𝑛; 0; 𝑃); 𝑃𝐴𝐺𝑂(0,055; 7; 0; 6000) y regresara el valor en la celda de 725,79 𝐵𝑠.

CÁLCULO DE TASA DE INTERES DESCONOCIDA En algunos casos, se conoce la cantidad de dinero depositado y la cantidad de dinero recibida luego de un número especificado de años pero se desconoce la tasa de interés o tasa de retorno. Cuando hay involucrados un pago único y un recibo único, una serie uniforme de pagos recibidos, o un

TIPO FACTOR

Nombre Encontrar /Dado

Fórmula Factor Ecuación Fórmula Factor

Ecuación Notación

Factor

Función Excel

PAGO UNICO

Cantidad Compuesta Pago

Único 𝐹/𝑃

( 1 + 𝑖 )𝑛

𝐹 = 𝑃 ∗ ( 1 + 𝑖 )𝑛 𝐹 = 𝑃(𝐹/𝑃, 𝑖, 𝑛) 𝑉𝐴(𝑖; 𝑛; 𝑃)

Valor Presente Pago Único

𝑃/𝐹 1

(1 + 𝑖)𝑛 𝑃 =

𝐹

(1 + 𝑖)𝑛 𝑃 = 𝐹(𝑃/𝐹, 𝑖, 𝑛) 𝑉𝐴(𝑖; 𝑛; 𝐹)

VALOR PRESENTE

Series Uniforme de Valor Presente

𝑃/𝐴 (1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖(1 + 𝑖)𝑛 𝑃 = 𝐴 [

(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖(1 + 𝑖)𝑛] 𝑃 = 𝐴(𝑃/𝐴, 𝑖, 𝑛) 𝑉𝐴(𝑖; 𝑛; 𝐴)

RECUPERACIÓN DE CAPITAL Recuperación de

Capital 𝐴/𝑃

𝑖(1 + 𝑖)𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝐴 = 𝑃 [𝑖(1 + 𝑖)𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1]

𝐴 = 𝑃(𝐴/𝑃, 𝑖, 𝑛) 𝑃𝐴𝐺𝑂(𝑖; 𝑛; 𝑃)

CANTIDAD COMPUESTA

Cantidad Compuesta Serie

Uniforme 𝐹/𝐴

(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 𝐹 = 𝐴 ∗ [

(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖] 𝐹 = 𝐴(𝐹/𝐴, 𝑖, 𝑛) 𝑉𝐹(𝑖; 𝑛; 𝐴)

FONDO DE AMORTIZACIÓ

N

Fondo de Amortización

𝐴/𝐹 (1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖− 𝑖

𝐴 = 𝐹 ∗ [𝑖

(1 + 𝑖)𝑛 − 1]

𝐴 = 𝐹(𝐴/𝐹, 𝑖, 𝑛) 𝑃𝐴𝐺𝑂(𝑖; 𝑛; 𝐹)

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gradiente convencional uniforme de pagos recibido, la tasa desconocida puede determinarse para “𝑖” por una solución directa de la ecuación del valor del dinero en el tiempo. Sin embargo, cuando hay pagos no uniformes, o muchos factores, el problema debe resolverse mediante un método de ensayo y error, ó numérico. Las fórmulas de pago único pueden reordenarse con facilidad y expresarse en términos de 𝑖, pero para las ecuaciones de serie uniforme y de gradientes, comúnmente es necesario resolver para el valor del factor y determinar la tasa de interés a partir de las tablas de factores de interés. EJEMPLO. CÁLCULO DE TASA DE INTERES DESCONOCIDA Al realizar una inversión de negocios que requiere un gasto de 3.000 Bs. ahora con el objetivo de recibir 5.000 Bs. dentro de cinco años, ¿cuál sería la tasa de rendimiento sobre la inversión? La 𝑖 pude determinarse directamente del factor 𝑃/𝐹

𝑃 = 𝐹(𝑃/𝐹, 𝑖, 𝑛) = 𝐹1

(1 + 𝑖)𝑛→ 3000 𝐵𝑠. = 5.000 𝐵𝑠.

1

(1 + 𝑖)5

0,600 =1

(1 + 𝑖)5→ 𝑖 = (

1

0,6)

0,2

− 1 = 0,10706 = 10,76%

Si se puede recibir 7% anual de intereses de un certificado de depósito, ¿qué inversión debe realizarse? Alternativamente, la tasa de interés puede encontrarse estableciendo la relación 𝑃/𝐹 en notación estándar, resolviendo para el valor del factor e interpolando en las tablas.

𝑃 = 𝐹(𝑃/𝐹, 𝑖, 𝑛)

3.000 𝐵𝑠. = 5 000 𝐵𝑠. (𝑃/𝐹, 𝑖, 5) → 0,60 = (𝑃

𝐹, 𝑖, 5)

De acuerdo con las tablas de interés, un factor 𝑃/𝐹 de 0.60 para 𝑛 = 5 se encuentra entre 10 y 11%. Interpolando entre estos dos valores, se obtiene 𝑖 = 10.76%. Puesto que 10.76% es mayor que el 7% disponible en certificados de depósito, se debería realizar la inversión de negocios. Como se recibirá la mayor tasa de rendimiento en la inversión del negocio, es probable que Laurel seleccione esta opción en lugar de los certificados de depósito. No obstante, no se especificó el grado de riesgo asociado con la inversión financiera. En efecto, el riesgo constituye un parámetro importante y con frecuencia conduce a la elección de la inversión con la menor tasa de rendimiento. La función TIR puede utilizarse con beneficio para determinar la tasa de interés (o tasa de rendimiento), para cualquier serie de flujos de efectivo que se ingrese en una serie de celdas contiguas de la hoja de cálculo, ya sea en forma vertical u horizontal. Es muy importante que cualesquiera años (periodos) con flujo de efectivo cero tengan una entrada de '0' en la celda. Una celda que se deja en blanco no es suficiente, ya que la función TIR desplegaría un valor incorrecto de El formato básico es 𝑇𝐼𝑅(𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎: 𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎; 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜).

TASA, también muy útil, es una alternativa a TIR. TASA es una función de una celda que despliega la tasa de interés compuesto (o tasa de rendimiento) sólo cuando los flujos de efectivo anuales, es decir, los

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valores A, son los mismos. Se pueden ingresar valores presente y futuro diferentes del valor 𝐴. El formato es 𝑇𝐴𝑆𝐴(𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜_𝑎ñ𝑜𝑠; 𝐴; 𝑃; 𝐹) El valor 𝐹 no incluye la cantidad 𝐴 que ocurre en el año 𝑛. No es necesario ingresar cada flujo de efectivo dentro de las celdas de la hoja de cálculo para usar TASA, de modo que esta función debería utilizarse siempre que exista una serie uniforme durante n años con valores establecidos asociados 𝑃 y/o 𝐹. EJEMPLO. TASA DE INTERES DESCONOCIDA CON VALORES ANUALES Una consultora requiere colocar 500 Bs. por año en la cuenta de un fondo de amortización para cubrir cualquier reparación mayor inesperada en el equipo de campo. En un caso, 500Bs. se depositaron a 15 años y cubrieron un costo de reparación de 10.000 Bs. en el año 15. ¿Qué tasa de rendimiento ofreció esta práctica a la compañía? a)Por el factor:

𝐴 = 𝐹(𝐴/𝐹, 𝑖. 𝑛) → 500 𝐵𝑠. = 10.000 𝐵𝑠. (𝐴/𝐹, 𝑖. 15) → (𝐴/𝐹, 𝑖. 15) = 0,05 Según las tablas de interés 8 y 9, bajo la columna 𝐴𝑙𝐹 para 15 años, el valor 0.0500 se encuentra entre 3 y 4%. Por interpolación, 𝑖 = 3.98% (que se considera un bajo rendimiento para un proyecto de ingeniería). b) Por computadora: Se puede aplicar una solución de una sola celda usando la función TASA, ya que 𝐴 = −500 𝐵𝑠. ocurre cada año y el valor F = 10.000 Bs.se presenta en el último año de la serie. La la función seria 𝑇𝐴𝑆𝐴(15, −500, 10000), y la respuesta que se despliega es 3.98%. El signo menos en 500 indica el depósito anual. Es necesaria la coma adicional para indicar que ningún valor 𝑃 está presente. Para aplicar la función TIR y obtener la misma respuesta, ingrese el valor 0 en una celda (para el año 0), seguido de -500 para 14 años y 9,500 (de 10,000 - 500) en el año 15. Ingrese la función 𝑇𝐼𝑅(𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎_𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎: 𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎_𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎; 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜) en cualquier celda sobre la hoja de cálculo. Se despliega la respuesta 𝑖 = 3.98% . La función TIR no necesita estos números, pero hace que la actividad de ingresar el flujo de efectivo sea más sencilla y más exacta. Ahora se puede cambiar cualquier flujo de efectivo, y se desplegará de inmediato una nueva tasa vía TIR. CÁLCULO DE AÑOS DESCONOCIDOS Para que una serie de flujos de efectivo proporcione una tasa de rendimiento establecida, algunas veces es necesario determinar el número de años (periodos) requeridos. Otras veces se desea saber cuándo determinadas cantidades de dinero estarán disponibles a partir de una inversión propuesta. En ambos casos, la incógnita es n. Algunos problemas se resuelven directamente para n con una manipulación de las fórmulas de pago único y de serie uniforme. En otros casos, n se calcula usando interpolación en las tablas de interés. La función NPER de la hoja de cálculo es útil para encontrar rápidamente el número de años (periodos) 𝑛 para valores dados de 𝐴, 𝑃 y/o 𝐹. El formato es 𝑁𝑃𝐸𝑅(𝑖%, 𝐴, 𝑃, 𝐹). Si no está involucrado el valor futuro 𝐹, éste se omite; no obstante, deben ingresarse un valor presente 𝑃 y una cantidad uniforme 𝐴. La entrada A puede ser cero sólo cuando se conocen cantidades únicas

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𝑃 y 𝐹, Al menos una de las entradas debe tener un signo opuesto a las otras para obtener una respuesta de NPER. EJEMPLO. CÁLCULO DE AÑOS DESCONOCIDOS ¿Cuánto tiempo tomará duplicar 1.000 Bs. si la tasa de interés es del 5% anual? El valor 𝑛 se determina ya sea mediante el factor 𝐹/𝑃 o el factor 𝑃/𝐹. Utilizando el factor 𝑃/𝐹 queda:

𝑃 = 𝐹(𝑃/𝐹. 𝑖. 𝑛) → 1.000 𝐵𝑠. = 2.000 𝐵𝑠. (𝑃/𝐹. 5%, 𝑛) →. (𝑃/𝐹. 5%, 𝑛) = 0,50 Según la tabla de interés, en 5% el valor 0.500 se encuentra entre 14 y 15 años. Por interpolación, 𝑛 = 14.2 𝑎ñ𝑜𝑠. EJEMPLO. CÁLCULO DE AÑOS DESCONOCIDOS ¿Cada cuánto se duplica el dinero invertido al 2%? Si P es la cantidad inicial entonces el valor futuro es F= 2P (cantidad duplicada); al despejar n de la fórmula de valor presente pago único

𝑃 =𝐹

(1+𝑖)𝑛 queda 𝑛 =𝑙𝑜𝑔(

𝐹

𝑃)

𝑙𝑜𝑔(1+𝑖) y al sustituir resulta: 𝑛 =

𝑙𝑜𝑔(2𝑃

𝑃)

𝑙𝑜𝑔(1+0,02)=

𝑙𝑜𝑔(2)

𝑙𝑜𝑔(1,02)= 35; entonces el

dinero se duplica en 35 periodos de tiempo. BIBLIOGRAFIA:

- Instituto de Tecnología de Sonora. Generalidades de la Ingeniería Económica. Tomado de: http://antiguo.itson.mx/dii/mconant/materias/ingeco/capitulo1.htm

- INGTEKCH. Apuntes de Ingeniería Económica. Tomado de http://apuntesingenieriaeconomica.blogspot.com/2010/10/definicion-de-ingenieria-economica.html

- Blank, Leland y Tarquin, Anthony. Ingeniería Económica. Editorial Mc Graw Hill Sexta Edición. México 2006. - Urbina, Gabriel. Fundamentos de Ingeniería Económica. Editorial Mc Graw Hill Sexta Edición. México 2007. - Gitman, Lawrence. Principios de Administración Financiera. Editorial Pearson, Décima edición , México 2010