Download - statistik probabilitas

Diktat Kuliah Statistik Probabilitas – STMIK PROVISI SemarangOleh : Achmad Solechan, S.Kom., M.Si.

TEORI PROBABILITAS

(PERTEMUAN KEDUA)

A. PROBABILITAS

Untuk menghadapi keadaan yang tidak pasti, biasanya orang hanya mengandalkan

tebakan. Dari tebakan tersebut, muncul kemungkinan atau peluang atau probabilitas

kejadian yang bersangkutan yang kemudian melahirkan sebuah teori yang dikenal

dengan teori probabilitas. Teori ini bermula dari permainan judi di Eropa yang kemudian

dirintis secara ilmiah pada sekitar abad ke-17. Dimulai dari surat menyurat antara

Chevalier de Mere seorang bangsawan Perancis dengan seorang bernama Blaise

Pascal yang merupakan seorang ilmuwan.

Penemu probabilitas lainnya antara lain : Jacob Bernoulli, Abraham de Moivre,

Reverand Thomas Bayes serta Josep. Teori-teori umum mengenai probabilitas lahir

sekitar abad ke-19 setelah Pierre Simon dan Marquis Laplace menyatukan konsep-

konsep dari para pendahulunya.

Probabilitas juga sering diterjemahkan ke dalam kata peluang. Teori probabilitas

sangat luas penggunaannya, baik dalam kehidupan sehari-hari maupun di kalangan

ilmuwan. Sering kita mendengar perkataan mungkin dia sakit; kemungkinan besar hari ini

akan hujan; mungkin saya bisa mendapat nilai A dalam pelajaran Statistika, dan

sebagainya.

Perkataan-perkataan kemungkinan tersebut di dalam teori probabilitas diterjemahkan

menjadi angka-angka, sehingga untuk selanjutnya dapat diolah dengan menggunakan

Matematika. Seorang manager pemasaran terlebih dahulu melihat besamya peluang

produknya untuk merebut pasar, sebelum dia melemparkan produknya.

Teori probabilitas ini sering digunakan oleh para pengambil keputusan untuk

memutuskan apa yang harus dilakukan selanjutnya atau apa yang harus dipilih. Sebelum

mempelajari perhitungan di dalam probabilitas, terlebih dahulu akan dijelaskan

beberapa istilah yang sering digunakan.

Dalam statistika kita menggunakan kata percobaan untuk suatu proses yang

menghasilkan data, baik data dalam jumlah kecil ataupun besar. Sebelum melakukan

percobaan kita sudah dapat menduga kemungkinan-kemungkinan hasil yang akan

keluar jika percobaan telah berlangsung. Jika kita mencabut satu kartu secant acak dari

satu set kartu bridge, maka kita dapat menduga bahwa kemungkinan kartu itu adalah

As, King, 10 speed, dan lain-lain. Kita dapat membuat dugaan sebanyak 52 sesuai

dengan jumlah kartu dalam satu set kartu bridge. Ke-52 kemungkinan ini disebut ruang

contoh untuk percobaan mencabut satu kartu secara acak dari satu set kartu bridge.

1


Defenisi : Ruang contoh adalah himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan,

dan dilambangkan dengan S.

Untuk memperjelas pengertian ruang contoh di alas, marilah kita bayangkan

percobaan melempar mata uang. Kemungkinan hasil yang akan kcluar ada dua sisi yaitu

sisi inuka dan belakang. Maka ruang contoh percobaan melempar mata uang sekali adalah

sisi muka dan belakang.

Contoh untuk pelemparan mata uang mempunyai 2 titik contoh yaitu M dan B.

Percobaan mencabut satu kartu dari satu set kartu bridge mempunyai 52 titik contoh. Titik

contoh yang terhingga dapat didata ke dalam bentuk himpunan seperti contoh di atas,

atau ke dalam bentuk label.

B. HIMPUNAN

Himpunan merupakan sekumpulan objek yang didefinisikan dengan jelas dan dapat

dibeda-bedakan. Setiap objek yang secara kolektif membentuk himpunan tersebut

disebut elemen atau unsur atau anggota dari himpunan tersebut.

Himpunan dilambangkan dengan pasangan kurung kurawal { } dan bilangan

biasanya dinyatakan dengan huruf besar seperti A, B, C. Anggota himpunan ditulis

dengan lambang , bukan anggota himpunan dengan lambing . Dalam statistic,

himpunan dikenal sebagai populasi.

1. Unsur himpunan

Unsur himpunan ditulis satu per satu dengan contoh :

A = {a, i, u, e, o}

B = {1, 2, 3, 4, 5}

2. Ciri-ciri himpunan

Ciri-ciri himpunan ditulis dengan menyebutkan ciri-ciri dari himpunan tersebut,

contoh :

A = {X : x huruf hidup}

B = {X : 1 < x < 2 }

3. Operasi himpunan

a. Operasi gabungan (simbol = )

Gabungan dari himpunan A dan B adalah semua unsur yang termasuk di dalam

A atau di dalam B atau di dalam A dan B sekaligus.

Contoh A B digambarkan sebagai berikut :

2

S

A B


Diagram Venn dari A B

Contoh soal :

Jika diketahui

S = {X: 0 ≤ x ≤ 10}

P = {2,3,5,7}

G = {2,4,6,8,10}

Tentukan P G !

Jawaban :

P G = {2,3,4,5,6,7,8,10}

LATIHAN 1

Perhatikan ruang sampel berikut

S = {mobil pribadi, bus, kereta api, sepeda, perahu motor, pesawat terbang}

yang menyatakan berbagai sarana transportasi, serta kejadian-kejadian

antara lain :

A = {bus, kereta api dan pesawat terbang}

B = {kereta api, mobil pribadi dan pesawat terbang}

C = {sepeda}

Tentukan A B C !

b. Operasi irisan (simbol =)

Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan semua unsure yang termasuk di

dalam A dan B. Irisan dari himpunan A dan B dilambangkan A B atau AB dan

dituliskan A B = {X : x A dan x B}

3

S

A B


Diagram Venn dari A B

Contoh soal :

Jika diketahui

S = {X: 2 ≤ x ≤ 8}

P = {2,3,5,7}

G = {2,3,4,6}

Tentukan P G !

Jawaban :

P G = {2,3}

LATIHAN 2

Perhatikan ruang sampel berikut

S = {mobil pribadi, bus, kereta api, sepeda, perahu motor, pesawat terbang}

yang menyatakan berbagai sarana transportasi, serta kejadian-kejadian

antara lain :

A = {bus, kereta api dan pesawat terbang}

B = {kereta api, mobil pribadi dan pesawat terbang}

C = {sepeda}

Tentukan A B C !

c. Operasi selisih (simbol -)

Selisih himpunan A dan B adalah himpunan semua unsure A yang tidak

termasuk di dalam B. Selisih himpunan A dan himpunan B dilambangkan A – B

atau A BC.

Dituliskan {X: x A dan x B} atau {X: x A dan x BC}

4

S

A B


Diagram Venn dari A - B

Contoh soal :

Jika diketahui

S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

P = {2,3,5,7}

G = {2,4,6,8}

Tentukan P - G !

Jawaban :

P - G = {3,5,7}

d. Kardinalitas himpunan

Teori yang ada :

n(AB) = n(A) + n(B) - n(A B)

n(ABC) = n(A) + n(B) + n(C) - n(AB) - n(AC) - n(BC) + n(ABC)

Kardinalitas himpunan disimbolkan dengan n(A) artinya bilangan kardinalitas

himpunan A atau jumlah anggota himpunan A.

Contoh soal :

Suatu kelas yang jumlah mahasiswanya 70 orang, 50 orang diantaranya senang

statistic, 40 orang senang matematika, serta 30 orang senang statistic dan

matematika.

a. Berapa orang yang tidak senang statistic dan matematika

b. Gambarkan diagram venanya ?

Jawaban :

1. Menghitung orang yang tidak senang statistic dan matematika

n(S) = 70 orang, n(St) = 50 orang, n(M) = 40 orang, n(StM) = 30 orang.

n(StM) = n(St) + n(M) - n(St M)

= 50 + 40 – 30

= 60 orang

5

S

St M


n(StM)c = n(St) - n(St M)

= 70 – 60

= 10 orang

2. Diagram vennnya sebagai berikut :

Diagram Venn dari A - B

LATIHAN 3

Apabila diketahui :

A = {1,2,3,4,5…13}

B = {2,3,5,7,11,13}

P = {2,4,6,8,10}

Tentukan anggota himpunan berikut ini :

a. A B

b. A B

c. P

d. B A

e. A - B

C. FAKTORIAL

Faktorial adalah perkalian dari semua bilangan bulat positif (bilangan asli) terurut

mulai dari bilangan 1 sampai dengan bilangan yang bersangkutan atau sebaliknya.

Faktorial dilambangkan dengan “ ! “

Contoh soal :

Tentukan nilai factorial dari bilangan berikut :

a. 5 !

b. 3! X 2 !

c. 6! / 2!

6

20 1030

10


Jawaban

a. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

b. 3! = 3 x 2 x 1 = 12

c. 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 304! 4 x 3 x 2 x 1

D. PERMUTASI

Permutasi adalah suatu penyusunan atau pengaturan beberapa obyek ke dalam

suatu urutan tertentu.

Contoh :

1. Ada tiga obyek yaitu ABC, pengaturan obyek tersebut adalah ABC, ACB, BCA, BAC,

CAB, CBA yang disebut permutasi. Jadi, permutasi 3 obyek menghasilkan enam

pengaturan dengan cara yang berbeda.

Sehingga rumusnya :

4P4 = 4! = 24

2. Pengaturan 4 huruf dari 6 huruf pertama dalam abjad menghasilkan 360 cara yang

berbeda

Sehingga rumusnya :

6!6P4 = _____________ = 360 ( 6 – 4 ) !

3. Dari empat calon pimpinan sebuah perusahaan, misalkan A, B, C, D hendak dipilih

seorang ketua, sekretaris dan bendahara.

a. Berapa cara keempat calon tersebut dipilih ?

b. Tuliskan kemungkinan susunannya ?

Jawaban :

n = 4 dan r = 3

a. 4! 4 x 3 x 2 x 14P3 = _____________ = ____________________ = 24

( 4 – 3 ) ! 1

b. Kemungkinan susunannya adalah :

ABC, ABD, ACB, ADB, ADC, ACD

BAC, BAD, BCA, BCD, BDA, BDC

CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB

DAB, DAC, DBA, DBC, DCA, DCB

7


4. Sebuah kelompok orang yang terdiri dari 4 orang mengelilingi sebuah meja bundar.

Dalam beberapa cara keempat orang itu dapat diatur sekeliling meja tersebut.

Jawaban :

n = 4

P = (n-1)!

= (4-1)!

= (3)!

= 6 cara

LATIHAN 4

Tentukan nilai dari permutasi berikut ini !

a.

b.

c.

d.

E. KOMBINASI

Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa obyek tanpa memperhatikan urutan

obyek tersebut.

Contoh :

Ada 4 objek yaitu A, B, C, D. kombinasi 3 dari obyek itu adalah ABC, ABD, ACD, BCD.

Setiap kelompok hanya dibedakan berdasarkan obyek yang diikutsertakan, bukan

urutannya. Oleh karena itu :

ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA

ABD = ADB = BAD = BDA= DAB = DBA

ACD = CAD = ADC = CDA = DAC = DCA

BCD = BDC = CBD = CDB = DBC = DBC

Rumus-rumus kombinasi antara lain :

1. Kombinasi r dari n obyek yang berbeda dirumuskan :

, n ≥ r

Contoh :

a. Tentukan nilai dari

Jawab : = 15

8


b. Dari 5 pemain bulu tangkis, yaitu A, B, C, D, dan E hendak dipilih dua orang

untuk pemain ganda. Berapa banyak pemain ganda yang mungkin terbentuk ?

Jawab : = 10

2. Hubungan permutasi dengan kombinasi

Hubungan antara permutasi dan kombinasi dinyatakan sebagai berikut :

atau , n ≥ r

Contoh :

Tentukan nilai permutasi dari kombinasi dari dan

Jawab :

= 3! x = 6 x 4 = 24

= 24 / 6 = 4

LATIHAN 5

Seorang mahasiswa diminta untuk menjawab 7 dari 10 pertanyaan yang

diberikan. Hitunglah kombinasi soal yang mungkin dapat dikerjakannya dalam

ujian tersebut !

9


TEORI PROBABILITAS

(PERTEMUAN KETIGA)

A. KAIDAH BAYES

Kaidah Bayes atau Teori Bayes dikemukakan oleh seorang pendeta Inggris tahun

1763 yang bernama Thomas Bayes. Kaidah Bayes ini kemudian disempurnakan oleh

Laplace. Kaidah ini digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu peristiwa

berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil observasi.

Teori ini menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya suatu peristiwa

(missal A) dengan syarat peristiwa lain (misal X) telah terjadi, dan probabilitas terjadinya

peristiwa X dengan syarat peristiwa A telah terjadi. Kaidah ini didasarkan pada prinsip

bahwa tambahan informasi dapat memperbaiki probabilitas.

Kaidah Bayes ini menyatakan jika dalam suatu ruang sampel (S) terdapat beberapa

peristiwa saling lepas (mutually exclusive) yaitu misalkan A1, A2, A3, …. An yang memiliki

probabilitas tidak sama dengan nol dan apabila ada peristiwa lain (missal X) yang

mungkin dapat terjadi pada peristiwa-peristiwa A1, A2, A3, …. An dengan diketahui

peristiwa X tersebut, maka :

P(Ai / Xi) =

Keterangan :

i = 1,2,3,4 … n

R =

R = P(A1) . P(X1/ A1) + P(A2) . P(X2/ A2) + … + P(An) . P(Xn/ An)

Pada kaidah ini, terdapat beberapa bentuk probabilitas yaitu :

1. Probabilitas awal (probabilitas prior) yaitu probabilitas berdasarkan informasi yang

tersedia (sebelum ada tambahan informasi) yaitu P(A1)

2. Probabilitas bersyarat, yaitu probabilitas dimana terjadinya suatu peristiwa didahului

oleh terjadinya peristiwa lain, yaitu P(X1/A1)

3. Peristiwa ganda, yaitu gabungan dari beberapa probabilitas (probabilitas gabungan)

yaitu

4. Probabilitas posterior, yaitu probabilitas yang diperbaiki dengan adanya informasi

tambahan yaitu P(Ai / Xi).

10


Contoh pertama :

Tiga buah kotak masing-masing memiliki dua laci. Di dalam laci-laci tersebut terdapat

sebuah bola. Di dalam kotak I terdapat bola emas, dalam kotak II terdapat bola perak,

dan dalam kotak III terdapat bola emas dan perak. Jika diambil sebuah kotak dan isinya

bola emas, berapa probabilitas bahwa laci lain berisi bola perak ?

Jawab :

A1 peristiwa terambil kotak I

A2 peristiwa terambil kotak II

A3 peristiwa terambil kotak III

X peristiwa laci yang dibuka berisi bola emas

X ini merupakan tambahan informasi

1. Probabilitas awal (probabilitas prior)

P(A1) = =0,33

P(A2) = =0,33

P(A3) = =0,33

2. Probabilitas bersyarat

P(X/A1) = 1

P(X/A2) = 0

P(X/A3) = =0,5

3. Probabilitas ganda (R)

R = P(A1) . P(X/A1) + P(A2) . P(X/A2) + P(A3) . P(X/A3)

R = (0,333) (1) + (0,333) (0) + (0,333) (0,5)

R = 0,333 + 0 + 0,1665

R = 0,4995

4. Probabilitas posterior

P(A3/X) = = = 0,333

11


Contoh kedua :

Diketahui bahwa penyajian mata kuliah statistic 2 diikuti oleh 40 mahasiswa semester

III, 20 mahasiswa semester V, dan 10 mahasiswa semester VII. Hasil ujian akhir (final

test) menunjukkan bahwa 10 mahasiswa semester III, 7 mahasiswa semester VII dan 5

mahasiswa semester VII mendapat nilai A. Jika seorang mahasiswa dipilih secara acak

dan diketahui mendapat nilai A, berapa probabilitas ia berasal dari semester VII ?

Jawab :

A1 peristiwa terpilihnya semester III

A2 peristiwa terpilihnya semester V

A3 peristiwa terpilihnya semester VII

X peristiwa mendapat nilai A

P(A1) = =0,57 P(A2) = =0,29 P(A3) = =0,14

P(X/A1) = =0,25 P(X/A2) = =0,35 P(X/A3) = =0,5

P(A3/X) =

=

= 0,223

B. HARAPAN MATEMATIKA

Harapan matematika atau nilai harapan adalah jumlah dari semua hasil perkalian

antara nilai variabel random dengan probabilitas yang bersesuaian dengan nilai

tersebut.

Jika X adalah suatu variabel random yang memiliki harga-harga X1, X2,… Xn dengan

probabilitas variabel randomnya adalah P(X) serta probabilitas masing-masing harga

adalah P(X1), P(X2), … P(Xn) maka harapan matematikanya adalah :

E (X) = X . P(X)

E (X) = X1 . P(X1) + X2 . P(X2) + … + Xn . P(Xn)

12


Contoh pertama :

Berapa nilai harapan untuk bermain satu kali dalam sebuah permainan, jika seorang

akan menang Rp. 150.000 dengan probabilitas 0,35 dan Rp. 100.000 dengan

probabilitas 0,45 ?

Jawab :

X1= 150000

X2= 100000

P(X1) = 0,35

P(X2) = 0,45

E (X) = X1 . P(X1) + X2 . P(X2)

= (150000) (0,35) + (100000) (0,45)

= 97500

Contoh kedua :

Seorang akuntan menghadapi pilihan dan keputusannya tidak dapat ditunda. Ia harus

mengambil keputusan apakah akan menerima atau menolak suatu pekerjaan dengan

gaji Rp. 250.000 dengan harapan memperoleh pekerjaan lain dengan gaji Rp. 400.000

per bulan. Apabila menolak pekerjaan yang gajinya Rp. 250.000 berapa probabilitas ia

memperoleh pekerjaan dengan gaji Rp. 400.000 per bulan ?

Jawab :

Akuntan menolak pekerjaan yang gajinya Rp. 250.000 per bulan

Jika harapan matematikanya lebih kecil daripada pekerjaan yang gajinya Rp. 400.000

atau harapan matematika pekerjaan dengan gaji Rp. 400.000 lebih besar daripada

harapan matematika pekerjaan dengan gaji Rp. 250.000.

Jadi, probabilitas ia memperoleh pekerjaan dengan gaji sebesar Rp. 400.000 adalah :

X . P(X) > 250000

400000 P > 250000

P > 250000 / 400000

P > 0,625

13


LATIHAN 6

1. Berikut ini data dari sekelompok mahasiswa yang telah menyelesaikan

studinya dan telah bekerja

Bekerja Tidak Bekerja Jumlah

Laki-laki 520 60 580

Wanita 180 240 420

Jumlah 700 300 1000

Jika seorang dipilih secara random dan diketahui orang tersebut tidak bekerja,

berap probabilitas orang tersebut wanita ?

2. Tiga kartu diambil secara random dari satu set kartu bridge. Hitung

probabilitas bahwa kartu tersebut adalah kartu diamond !

3. Suatu kelas statistic berisi 65% mahasiswa perempuan. Pada waktu

pengukuran tinggi badan, diperoleh 35% dari mahasiswa laki-laki dan 5%

mahasiswa perempuan tingginya lebih dari 160 cm. Seorang mahasiswa

dipilih secara random dan ternyata tingginya lebih dari 160 cm. Berapa

probabilitas bahwa mahasiswa yang dipilih itu adalah perempuan ?

4. Ada tiga buah keranjang yaitu P, Q, dan R.

Keranjang P berisi 35 telur ayam dan 25 telur itik

Keranjang Q berisi 47 telur ayam dan 18 telur itik

Keranjang R berisi 28 telur ayam dan 42 telur itik

Sebuah keranjang dipilih secara random dan sebuah telur diambil dari keranjang

tersebut. Jika yang terambil adalah telur ayam, berapa probabilitas bahwa telur

itu berasal dari keranjang P ?

5. Menjelang hari raya, penjual ayam akan untung Rp. 100.000 per hari, tetapi

pada bulan-bulan lain penjual ayam kadang mengalami kerugian Rp. 7500

per hari. Jika probabilitas penjual ayam akan untung adalah 0,65 berapakah

harapan matematika penjual ayam tersebut ?

14


6. Seorang eksportir bawang putih hendak mengekspor di salah satu Negara A

atau B. Eksportir tersebut telah memperhitungkan dengan teliti, jika

mengekspor ke Negara A akan memperoleh 45 milyar rupiah per tahun

dengan probabilitas 0,80 dan jika gagal akan mengalami kerugian 12 milyar

rupiah per tahun. Jika mengekspor ke Negara B ia akan memperoleh 60

miliar rupiah dengan probabilitas 0,60 dan jika gagal akan rugi 20 miliar

rupiah. Dimana sebaiknya eksportir tersebut akan mengekspor bawang

putihnya ?

15


DISTRIBUSI SAMPLING

(PERTEMUAN KEEMPAT)

A. Populasi

Populasi yaitu sekelompok orang, kejadian atau segala sesuatu yang mempunyai

karakteristik tertentu. Masalah populasi timbul terutama pada penelitian opini yang

menggunakan metode survei sebagai teknik pengumpulan data.

B. Sampel

- Sampel adalah sebagian dari elemen-elemen populasi.

Peneliti dapat meneliti seluruh elemen populasi yang disebut dengan pengambilan

sampel yang disebut penelitian populasi atau sensus. Alasan menggunakan penelitian

sensus karena elemen-elemen populasi yang relatif sedikit dan variabilitas setiap

elemen relatif tinggi (heterogen). Sensus juga lebih layak dilakukan jika penelitian

dimaksudkan untuk menjelaskan karakteristik setiap elemen dari suatu populasi.

- Kendala yang dihadapi peneliti umumnya masalah keterbatasan waktu, biaya dan

tenaga yang tersedia.

Alasan penelitian sampel atau sensus antara lain :

1. Jika jumlah elemen populasi relative banyak, peneliti tidak mungkin

mengumpulkan seluruh elemen populasi, karena akan memerlukan biaya dan

tenaga yang relatif tidak sedikit.

2. Kualitas data yang dihasilkan oleh penelitian sampel sering lebih baik

dibandingkan dengan hasil sensus, karena proses pengumpulan dan analisis data

sampel yang relatif lebih teliti.

3. Proses penelitian dengan menggunakan data sampel relatif lebih cepat

dibandingkan sensus, sehingga dapat mengurangi jangka waktu antara saat

timbulnya kebutuhan informasi hasil penelitian dengan saat tersedianya informasi

yang diperlukan.

4. Alasan lain yang menghendaki penelitian dengan sampel, terutama dalam kasus

pengujian yang bersifat merusak.

16


C. Hubungan Populasi dan Sampel

Analisis data sampel untuk penelitian kuantitatif akan menghasilkan statistik sampel

(sample statistic) yang akan digunakan untuk mengestimasi parameter populasinya

(population parameters). Statistik merupakan ukuran numeris yang dihitung dari

pengukuran sampel. Parameter adalah ukuran deskriptif numeris yang dihitung dari

pengukuran populasi. Statistik sampel digunakan untuk membuat inferensi mengenai

parameter populasinya.

D. Kriteria Pemilihan Sampel

Penelitian dengan menggunakan sampel yang representatif akan memberikan hasil yang

mempunyai kemampuan untuk digeneralisasi. Kriteria sampel yang representative

tergantung pada dua aspek yang saling berkaitan yaitu :

1. Akurasi yaitu sejauhmana statistik sampel dapat mengestimasi parameter populasi

dengan tepat. Akurasi berkaitan dengan tingkat keyakinan (confidence level).

2. Presisi yaitu sejauhmana hasil penelitian berdasarkan sampel dapat merefleksikan

realitas populasinya dengan teliti. Presisi menunjukkan tingkat ketepatan hasil

penelitian berdasarkan sampel yang menggambarkan karakteristik populasinya.

E. Metode Pemilihan Sampel

Ada banyak cara yang dapat digunakan untuk memilih sampel. Metode pemilihan sampel

secara garis besar dikelompokkan menjadi dua yaitu :

1. Metode pemilihan sampel probabilitas (probability sampling methods) atau metode

pengambilan sampel secara acak (randomly sampling methods) yaitu terdiri dari

metode pemilihan sampel antara lain :

a. Simple random sampling

Atau dinamakan metode pemilihan sampel secara acak sederhana yang

memberikan kesempatan yang sama yang bersifat tidak terbatas pada setiap

elemen populasi untuk dipilih sebagai sampel.

b. Systematic sampling

Yaitu memilih secara acak setiap elemen dengan nomor tertentu. Kelemahan

metode ini yaitu memungkinkan terjadinya bias atau sistematisasi yang digunakan

oleh peneliti dalam pemilihan sampel tersebut.

17


c. Stratified random sampling

Yaitu dengan mengklasifikasikan sampel secara acak suatu populasi ke dalam sub-

sub populasi berdasarkan karakteristik tertentu dari elemen-elemen populasi. Cara

pemilihan sampel ini disebut dengan metode pemilihan sampel secara acak

berdasarkan strata.

d. Cluster sampling

Pemilihan sampel berdasarkan kelompok dapat dilakukan melalui satu tahap (one

stage) atau beberapa tahap (multi stage). Elemen populasi dikelompokkkan ke

dalam unit-unit sampel seperti yang dilakukan dalam pemilihan sampel dengan

stratifikasi.

e. Area sampling

Yaitu metode pemilihan sampel berdasarkan kelompok yang digunakan untuk

memilih sampel dari populasi yang lokasi geografisnya terpencar. Metode ini

diterapkan jika faktor lokasi menjadi pertimbangan penting dalam pemilihan

sampel.

2. Metode pemilihan sampel non probabilitas (non-probability sampling methods) atau

metode pengambilan sampel secara tidak acak (non-randomly sampling methods)

yaitu terdiri dari metode pemilihan sampel antara lain :

a. Convenience sampling

Metode ini memilih sampel dari elemen populasi yang datanya secara mudah dapat

diperoleh oleh peneliti. Metode ini ada beberapa pakar yang mendefinisikan sama

dengan metode accidental sampling.

b. Purposive sampling

Ada dua jenis metode pemilihan sampel dengan metode purposive sampling ini

yaitu :

1) Judgement sampling

Merupakan tipe pemilihan sampel secara tidak acak yang informasinya

diperoleh dengan menggunakan pertimbangan tertentu.

18


2) Quota sampling

Pemilihan sampel secara tidak acak dengan berdasarkan pada kuota (jumlah

tertinggi) untuk setiap kategori dalam suatu populasi.

F. Penentuan Ukuran Sampel

Salah satu cara untuk menentukan ukuran sampel dari suatu populasi dapat digunakan

rumus Slovin sebagai berikut :

Keterangan :

n : ukuran sampel

N : ukuran populasi

e : presentase kelonggaran penelitian (error), dapat menggunakan tingkat

confidence (confidence level 1%, 5% atau 10%)

G. Distribusi Sampling

· Sensus = pendataan setiap anggota populasi· Sampling = pendataan sebagian anggota populasi = penarikan contoh = pengambilan

sampel· Pekerjaan yang melibatkan populasi tidak digunakan, karena:

1. mahal dari segi biaya dan waktu yang panjang2. ketelitian pekerjaan yang melibatkan sampel lebih tinggi dibanding

pekerjaan yang melibatkan populasi3. populasi akan menjadi rusak atau habis jika disensus

misal : dari populasi donat ingin diketahui rasanya, jika semuadonat dimakan, dan donat tidak tersisa, tidak ada yang dijual?

· Sampel yang baik → Sampel yang representatifBesaran/ciri sampel (Statistik Sampel) memberikan gambaran yang tepat mengenai besaran/ciri populasi (Parameter Populasi)

19


Masih ingat beda antara Statistik Sampel Vs Parameter Populasi? Perhatikan tabel berikut:

Ukuran/Ciri Statistik Sampel Parameter Populasi

Rata-Rata x µ : myuSelisih 2 Rata-rata x 1 −x 2 : nilai

mutlakµ1 − µ2 : nilaimutlak

Standar Deviasi = Simpangan Baku

s σ : sigma

Varians = Ragam s² σ²

Proporsi p atau p $ π : phi atau pSelisih 2 proporsi p1 − p2 : nilai

mutlakπ 1 −π2 : nilaimutlak

catatan : pada Nilai Mutlak, nilai negatif diabaikan misal : 3 - 7 = -4 = 4 atau gunakan asumsi p1 adalah nilai yang selalu lebih besar dari p2 ataup1 >p2

· Sampel yang baik diperoleh dengan memperhatikan hal-hal berikut :1. keacakannya (randomness)2. ukuran3. teknik penarikan sampel (sampling) yang sesuai dengan kondisi atau sifat

populasi

· Sampel Acak = Contoh Random → dipilih dari populasi di mana setiap anggota populasi memiliki peluang yang sama terpilih menjadi anggota sampel.

· Berdasarkan Ukurannya, maka sampel dibedakan menjadi :a. Sampel Besar jika ukuran sampel (n) ≥ 30b. Sampel Kecil jika ukuran sampel (n) < 30

· Beberapa Teknik Penarikan Sampel :a. Penarikan Sampel Acak Sederhana (Simple Randomized Sampling)

Pengacakan dapat dilakukan dengan : undian, tabel bilangan acak, program komputer.

b. Penarikan Sampel Sistematik (Systematic Sampling) Tetapkan interval lalu pilih secara acak anggota pertama sampelContoh : Ditetapkan interval = 20Secara acak terpilih : Anggota populasi ke-7 sebagai anggota ke-1 sampel maka :Anggota populasi ke-27 menjadi anggota ke-2 sampelAnggota populasi ke-47 menjadi anggota ke-3 sampel, dst.

20


c. Penarikan Sampel Berlapis (Stratified Sampling)Populasi terdiri dari beberapa kelas/kelompok. Dari setiap kelas diambil sampel secara acak.

Perhatikan !!!!Antar Kelas bersifat (cenderung) berbeda nyata (heterogen). Anggota dalam suatu kelas akan (cenderung) sama (homogen).

Contoh :Dari 1500 penumpang KA (setiap kelas memiliki ukuran yang sama) akan diambil 150 orang sebagai sampel, dilakukan pendataan tentang tingkat kepuasan, maka sampel acak dapat diambil dari :

Kelas Eksekutif : 50 orangKelas Bisnis : 50 orangKelas Ekonomi : 50 orang

d. Penarikan Sampel Gerombol/Kelompok (Cluster Sampling) Populasi juga terdiri dari beberapa kelas/kelompokSampel yang diambil berupa kelompok bukan individu anggota

Perhatikan !!!!Antar Kelas bersifat (cenderung) sama (homogen). Anggota dalam suatu kelas akan (cenderung) berbeda (heterogen).

Contoh :Terdapat 40 kelas untuk tingkat II Jurusan Ekonomi-GD, setiap kelas terdiri dari 100 orang. Populasi mahasiswa kelas 2, Ekonomi-UGD = 40 × 100 = 4000.Jika suatu penelitian dilakukan pada populasi tersebut dan sampel yang diperlukan = 600 orang, maka sampel dapat diambil dari 6 kelas.... Dari 40 kelas, ambil secara acak 6 kelas.

e. Penarikan Sampel Area (Area Sampling)Prinsipnya sama dengan Cluster Sampling.Pengelompokan ditentukan oleh letak geografis atau administratif.

Contoh : Pengambilan sampel di daerah JAWA BARAT, dapat dilakukan dengan memilih secara acak KOTAMADYA tempat pengambilan sampel, misalnya terpilih, Kodya Bogor, Sukabumi dan Bandung.

Sampel acak menjadi dasar penarikan sampel lain. Selanjutnya, pembahasan akan menyangkut Penarikan Sampel Acak.

· Penarikan Sampel Acak dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu :

a. Penarikan sampel tanpa pemulihan/tanpa pengembalian: setelah didata, anggota sampel tidak dikembalikan ke dalam ruang sampel

b. Penarikan sampel dengan pemulihan : bila setelah didata, anggota sampel dikembalikan ke dalam ruang sampel.

21


Distribusi Penarikan Sampel = Distribusi Sampling· Jumlah Sampel Acak yang dapat diambil dari suatu populasi adalah sangat banyak.· Nilai setiap Statistik Sampel akan bervariasi/beragam antar sampel.· Suatu statistik dapat dianggap sebagai peubah acak yang besarnya sangat tergantung

dari sampel yang kita ambil.· Karena statistik sampel adalah peubah acak maka ia mempunyai distribusi peluang yang

kita sebut sebagai : Distribusi peluang statistik sampel = Distribusi Sampling = Distribusi Penarikan Sampel

Statistik sampel yang paling populer dipelajari adalah Rata-Rata (x) 2.

Distribusi Sampling 1 Nilai Rata-Rata

Beberapa notasi :· : ukuran sampel N : ukuran populasix : rata-rata sampel µ : rata-rata populasis : standar deviasi sampel ó : standar deviasi populasiµx : rata-rata dari semua rata-rata sampel

σ x : standar deviasi antar semua rata-rata sampel = standard error = galat baku

22


PENDUGAAN PARAMETER

(PERTEMUAN KELIMA)

A. Pendugaan dan Penduga

Pendugaan adalah proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga atau

menaksir parameter populasi yang tidak diketahui. Pendugaan merupakan suatu

pernyataan mengenai parameter populasi yang diketahui berdasarkan informasi dari

sampel, dalam hal ini sampel random yang diambil dari populasi bersangkutan. Jadi

dengan pendugaan itu, keadaan parameter populasi dapat diketahui.

Penduga adalah suatu statistik (harga sampel) yang digunakan untuk menduga suatu

parameter. Dengan penduga, dapat diketahui seberapa jauih suatu parameter populasi

yang tidak diketahui berada di sekitar sampel (statistik sampel). Secara umum, parameter

diberi lambang theta sedangkan penduga diberi lambang (theta topi).

B. Pendugaan Interval untuk Rata-rata

1. Pendugaan Interval Rata-rata Untuk Sampel Besar (n > 30) : Populasi Tidak

Terbatas, dengan Pengembalian Sampel dan diketahui.

Untuk populasi yang tidak terbatas atau dari populasi terbatas yang pengambilan

sampelnya dengan pengembalian dan diketahui simpangan baku (), maka

pendugaan interval untuk rata-rata dirumuskan sebagai berikut :

X - Z/2 . < < X + Z/2 .

Contoh 1

Warung nasi Bu Sum mengadakan penelitian perkiraan pengeluaran karyawan

perusahaan yang digunakan untuk membeli makanan di warngnya selama

setahun. Untuk keperluan penelitian tersebut diambil sampel yang terdiri dari 300

karyawan. Ternyata, rata-rata pengeluaran untuk membeli makanan adalah

406.000 setahun dengan simpangan baku 165.000. Lakukan pendugaan

pengeluaran karyawan untuk membeli makanan dalam setahun degan interval

keyakinan 95%.

23


Jawab :

n = 300

X = 406.000

= 165000

1- = 95%

= 5%

Z /2 = 1,96

X - Z/2 . < < X + Z/2 .

406.000 – (1,96) ( ) < < 406.000 – (1,96) ( )

387.328,49 < < 424.671,51

Artinya : Dugaan bahwa rata-rata pengeluaran karyawan yang berada diantara 387328,49 sampai 424671,51 akan benar 95% dari keseluruhan waktu, jika pendugaan itu dilakukan berulang-ulang dengan cara yang sama.

2. Pendugaan Interval Rata-rata Untuk Sampel Besar (n > 30) : Populasi Terbatas,

Tanpa Pengembalian Sampel dengan Pengembalian dan diketahui.

Untuk populasi yang terbatas yang pengambilan sampelnya dengan pengembalian dan

diketahui simpangan baku (), maka pendugaan interval untuk rata-rata dirumuskan

sebagai berikut :

X - Z/2 . < < X + Z/2 .

Contoh 2

Perusahaan PT. Maju Terus memiliki karyawan 250 orang. Untuk keperluan

tertentu, ingin diketahui rata-rata lama jam kerjanya per minggu. Untuk itu,

diambil sampel sebanyak 35 orang dan diperoleh data bahwa rata-rata jam kerja

karyawan tersebut adalah 39,76 jam per minggu. Jika simpangan baku rata-rata

jam kerjanya 0,93 jam, dugalah dengan tingkat keyakinan 90%, rata-rata jam

kerja karyawan tersebut !

24


Jawab :

N = 250 (populasi)

n = 35 (sampel)

X = 39,76

= 0,93 (simpangan baku)

= 90% (tingkat keyakinan/kebenaran)

= 10% = 0,1 (tingkat kesalahan)

Z /2 = 1,65

X - Z/2 . < < X + Z/2 .

39,76 – (1,65) < < 39,76 + (1,65)

39,53 < < 39,99

Jadi, rata-rata jam kerja karyawan perusahaan dengan tingkat keyakinan 90%

berada antara 39,53 sampai 39,99 jam per minggu.

3. Pendugaan Interval Rata-rata Untuk Sampel Kecil (n < 30) : Sampel Kecil, dan

tidak diketahui.

Untuk sampel yang kecil dan tidak diketahui simpangan baku ( atau s), maka

pendugaan interval untuk rata-rata dirumuskan sebagai berikut :

X - t/2 . < < X + t/2 .

s =

Contoh 3

Suatu sampel random yang terdiri atas 9 orang karyawan di sebuah perusahaan

memiliki waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan sebuah pekerjaan, yaitu

14, 17, 15, 18, 18, 14, 15, 19, 15 menit. Dugalah rata-rata waktu yang digunakan

bagi karyawan tersebut dengan interval keyakinan 99% !

Jawab :

n = 9

X = 145

X2 = 2365

25


X = 145 / 9 = 16,11

1- = 99%

= 1%

n-1 = 9-1 = 8

t(0,005; 8) = 3,355

s = = = 1,9

X - t/2 . < < X + t/2 .

16,11 – (3,355) ( ) < < 16,11 + (3,355) ( )

13,985 < < 18,235

4. Penentuan Ukuran Sampel Pendugaan

Untuk pendugaan rata-rata, banyaknya sampel dapat ditentukan dengan rumus :

n =

Contoh 4

Tentukan besarnya sampel (n) yang harus diambil untuk menyelidiki waktu rata-

rata yang digunakan oleh mahasiswa, untuk sebuah soal ujian statistik, jika

digunakan interval keyakinan 95% dengan kesalahan duga tidak lebih dari 0,08

menit dan simpangan baku 0,7 menit (rata-rata sampel tidak akan berbeda dari

rata-rata populasi) !

Jawab :

1 - = 95% (tingkat keyakinan/kebenaran)

= 5% (tingkat kesalahan)

Z/2 = 1,96 (Z tabel tabel uji Z)

E = 0,08 (kesalahan duga)

= 0,7

n = = = 294,1225

Jadi besarnya sampel yang harus diambil adalah 294 orang.

Untuk pendugaan proporsi, banyaknya sampel dapat ditentukan dengan rumus :

26


n = .

Contoh 5

Tentukan besarnya sampel (n) yang harus diambil untuk mengetahui proporsi

tinggi mahasiswa di perguruan tinggi dengan interval keyakinan 99% dan

kesalahan yang mungkin terjadi tidak lebih dari 0,09 !

Jawab :

1 - = 99%

= 1% = 0,01

Z/2 = Z0,005 = 2,58

E = 0,09

n = . = . = 205,44

Jadi besarnya sampel yang harus diambil adalah 205 orang.

LATIHAN 7

1. Perusahaan MEKAR mengadakan penelitian mengenai IQ para

karyawannya. Untuk keperluan tersebut, diambil sampel 80 karyawan secara

acak. Jika diketahui rata-rata IQ sampel adalah 109 dengan simpangan baku

populasinya 20, buatlah pendugaan interval dari rata-rata IQ dengan tingkat

keyakinan 97% !

2. Lima orang karyawan PT. TELITI dipilih secara acak, kemudian diukur

beratnya. Datanya ialah 62, 67, 70, 65 dan 60 kg. Buatlah pendugaan

interval rata-ratanya dengan tingkat keyakinan 99%.

3. Dari sampel random 400 orang yang makan siang di restoran NIKMAT

selama beberapa hari Sabtu, diperoleh data 125 orang yang menyukai

makanan tradisional. Tentukan pendugaan interval bagi proporsi sebenarnya,

orang yang menyukai makanan tradisional untuk makan siangnya pada hari

Sabtu di restoran tersebut, dengan menggunakan interval keyakinan 98%.

4. Sebuah populasi karyawan berukuran 500 orang, diambil sampel random

sebanyak 160 orang yang senang merokok, ternyata 100 diantaranya lebih

menyukai merek TOP.

- Buatlah pendugaan interval proporsi populasi yang menyukai merek TOP,

gunakan interval keyakinan 90%

27


- Dengan tingkat keyakinan 95%, berapa kesalahan duga bila diduga proporsi

perokok yang menyukai merek TOP sebesar 0,3 ?

5. Dari produksi bola lampu sebuah perusahaan, diketahui simpangan baku

umur bola lampu adalah 40 jam. Berapa besarnya sampel yang diperlukan

apabila kita ingin percaya 97% dengan kesalahan duga 10 jam dari rata-rata

umur bola lampu sebenarnya ?

6. Ingin diselidiki, rata-rata banyaknya minuman yang dikeluarkan oleh sebuah

mesin. Tentukan besarnya sampel yang harus diambil jika digunakan interval

keyakinan 99% dengan kesalahan duga tidak lebih dari 0,3 desiliter dan

simpangan baku 1,5 desiliter.

7. Apabila ingin diketahui proporsi penduduk yang mendukung suatu program,

berapa besar sampel yang harus diambil dengan interbal keyakinan 89% dan

kesalahan yang mungkin terjadi tidak lebih dari 0,02 dari proporsi populasi

yang sebenarnya ?

8. Kita ingin percaya 92% bahwa proporsi sampel yang diperoleh akan terletak

tidak lebih dari 0,05 proporsi populasi yang sebenarnya dari populasi perokok

yang menyukai merek “X”. berapa besarnya sampel yang diperlukan ?

28