Download - Srikandi Kumadji

Srikandi Kumadji

DOSEN FIA UB

LINEAR PROGRAMMINGLINEAR PROGRAMMING

1.1. TUJUAN LP TUJUAN LP 2. PERSYARATAN YANG DIPERLUKAN

DALAM LP3. ASUMSI YANG BERLAKU DALAM LP4. SEJARAH LP5. MODEL FORMULASI

MODEL FORMULASI

SEJARAH LP

ASUMSI YANG BERLAKU DALAM LP

PERSYARATAN YANG DIPERLUKAN DALAM LP

1.1. TUJUAN LPTUJUAN LP

TUJUAN LPTUJUAN LP

Tujuan Tujuan utama suatu usaha bisnis:

1. Memaksimumkan laba atau2. Meminimumkan biaya.

Untuk itu, pasti usaha itu memiliki berbagai kendalakendala sumberdaya Baik tujuan maupun kendala pada umumnya dalam kondisi deterministik.

Sehubungan dengan itu, Linier Programming (LP) memberikan solusi dalam pengambilan keputusan usaha bisnis tersebut .

Linier programming adalah suatu teknik atau cara yang membantu dalam keputusan mengalokasi sumberdaya yang dimiliki perusahaan.

Sumberdaya meliputi: mesin-mesin tenaga kerja uang waktu kapasitas gudang (ruangan) material dll

Sumberdaya tersebut akan digunakan utk memproduksi: barang:

sandang pangan papan dll

jasa : rencana pengiriman dan produksi keputusan investasi kebijakan advertensi dll

PERSYARATAN YG DIPERLUKAN DLM L P

1. Perusahaan mempunyai tujuan,yaitu memaksimumkan laba atau miminimumkan biaya

2. Perusahaan mempunyai keterbatasan atau kendala sumberdaya dalam mencapai tujuan.

3. Perusahaan mempunyai keputusan atau kegiatan alternatif, salah satu di antaranya dipakai atau

dipilih untuk mencapai tujuan.

4. Tujuan dan kendala dinyatakan dalam hubungan persamaan ( = ) dan pertidaksamaan ( < / > ) matematik yang linier.

Asumsi Yang Berlaku Dalam LP

1. Kondisi-kondisi bisnis dalam perusahaan dalam kepastian di mana nilai-nilai, jumlah-jumlah dalam fungsi tujuan dan kendala diketahui dengan pasti (deterministik), tidak berubah selama periode analisis.

2. Hubungan dalam fungsi tujuan dan kendala adalah proporsional dalam bentuk matematik yang linier, contoh :

Asumsi Yang Berlaku Dalam LP

1 L = 10 X jika X = 2, maka L = 20 jika X = 4, maka L = 40

M < 60X jika X = 2, maka M < 120

jika X = 5, maka M < 300

Asumsi Yang Berlaku Dalam LP...lanjt

3. Bentuk fungsi tujuan dan kendala besifat aditivity, artinya jumlah total nilai kegiatan = penjumlahan dari nilai-nilai kegiatan individu :

L = $3 X1 + $5 X2 Jika X1 = 10 dan X2 = 20, maka

L = $3(10) + $5(20) = $ 130.

4. Barang dan jasa yang dihasilkan (variabel keputusan) harus positif bukan negatif (non negatively) paling tidak nol (tidak menghasilkan)

Sejarah Linier Program1. LP dikembangkan sebelum PD II oleh

matematikawan Rusia, A.N. Kolmogorov dan Leonid Kantorovic penerima nobel “Optimasi Perencanaan”.

2. Dalam aplikasi LP dikembangkan oleh Stigler (1945) dalam persoalan Diit (kesehatan).

3. Tahun (1947), George D. Dantzig mengembangkan Solusi LP Dengan Metode Simplex. Jasa Dantzig ini luar biasa sehingga kita kenal sampai sekarang dengan istilah “Linier Programming”. Dantzig matematikawan di Angkatan Udara Inggris menjabat sebagai kepala Pengendali Analisis Perang Angkatan Udara.

Sejarah Linier Program…. lanjt

Saat itu militer memerlukan sekali program perencanaan latihan militer, pemasokan peralatan dan amunisi, penempatan unit-unit tempur. Dantzig memformulasikan sistem pertidaksamaan linier.

4. Setelah PD II aplikasi dalam dunia bisnis luar biasa, misalnya dalam usaha pengolahan, jasa, pertanian, dll.

5. Tahun 1984 N.Karmarkar mengembangkan model yang lebih superior dari metode simplex utk berbagai aplikasi yg lebih luas.

Model Formulasi

Model LP berisikan beberapa komponen dan karakteristik tertentu.

Komponen adalah Fungsi Tujuan dan Fungsi Kendala, yg didalamnya terdapat Variabel Keputusan dan Parametrer.

Model Formulasi

Variabel Keputusan adalah simbul matematik dari kegiatan yang dilakukan oleh perusahaan, misalnya :

X1 = jumlah Radio

X2 = jumlah Televisi

X3 = jumlah Kulkas

yang akan diproduksi

Model Formulasi… lanjt

Parameter adalah nilai-nilai di depan variabel keputusan yang pada dasarnya sudah diketahui.

Fungsi Tujuan merupakan hubungan matematika linier yg menggambarkan tujuan perusahaan baik memaksimumkan laba atau meminimumkan biaya untuk membuat variabel keputusan.

Model Formulasi… lanjt

Fungsi Kendala juga merupakan hubungan linier antar variabel keputusan yg menggambarkan keterbatasan sumberdaya.

Misalnya, keterbatasan dlm. jumlah Tenaga Kerja utk memproduksi radio sebesar 40 jam/hari selama periode produksi.

Nilai-nilai Konstanta dalam fungsi tujuan atau kendala juga merupakan parameter.

METODE GRAFIK

Sebuah industri XYZ berkecimpung dalam proses produksi dua macam produk, yaitu produk A dan B. Kedua produk tesebut dapat dijual masing-masing dengan harga Rp 3000,00 per unit. Dalam proses produksinya diperlukan tiga macam departemen, yaitu Departemen P yang memiliki 3 unit mesin tipe P, Departemen Q memiliki 6 unit mesin tipe Q dan Departemen R memiliki 9 unit mesin tipe R. Lama waktu pemakaian mesin mesin tersebut berbeda untuk setiap produk.Produk A memerlukan waktu 2 jam untuk proses produksinya pada mesin tipe P, kemudian 2 jam pada mesin tipe Q dan 4 jam pada mesin tipe R. Sedangkan untuk produk B memerlukan waktu 1 jam pada mesin tipe P, kemudian 3 jam pada mesin tipe Q dan 3 jam pada mesin tipe R.

PERSOALAN MAKSIMASI . CONTOH : PERUSAHAAN XYZ

Lamanya waktu mesin-mesin tersebut berope-rasipun sangat terbatas, yaitu mesin tipe P beroperasi selama 10 jam per hari per mesin, kemudian mesin tipe Q dapat beroperaasi 10 jam per hari per mesin dan mesin tipe R beroperaasi selama 8 jam per hari per mesin.

Pertanyaan: 1. Rumuskan persoalan tsb. dalam model program linier (formula

matematika)

2. Gambarlah persoalan LP tersebut dan Hitunglah berapa produk A dan B harus dijual sehingga penerimaannya maksimal

METODE GRAFIK

PERSOALAN MAKSIMASI . CONTOH : PERUSAHAAN XYZ ....lanjt

SdSd AA BB Kap.Kap.

PP 22 11 << 30 30

QQ 22 33 << 60 60

RR 44 33 << 72 72

HargaHarga 30003000 30003000

Dari contoh persoalan LP di atas, dapat diringkas pada tabel berikut :

Kemudian dengan lebih mudah dapat disusun formulasi matematisnya :

Max. TR = 3000A + 3000B

Stc. P : 2A + B < 30

Q : 2A + 3B < 60

R : 4A + 3B < 72

A , B > 0

Metode Grafik / Maksimasi

Max. TR = 3000A + 3000B

Stc. P : 2A + B < 30

Q : 2A + 3B < 60

R : 4A + 3B < 72

A , B > 0

R : 4A + 3B < 72

Q : 2A + 3B < 60

GAMBAR FUNGSI KENDALA

2A + B < 30

•

•P : 2A + B < 30Jika A = 0 , maka B = 30

Jika B = 0 , maka A = 15


•

•

•

••

TR = 3000A + 3000B B = TR/3000 - A

0 = 3000(0) + 3000(0)45000 = 3000(15) + 3000(0)60000 = 3000(0) + 3000(20)63000 = 3000(9) + 3000(12)

> 66000 = IMPOSIBLE66000 = 3000(6) + 3000(16)

FISIBLE AREA dan ISO REVENUE

Solusi : Produk A = 6 unit Produk B = 16 unit TR = $ 66000

Evaluasi Sumberdaya :P : 2(6) + 1(16) = 28 jam sisa 2 jamQ : 2(6) + 3(16) = 60 jam persisR : 4(6) + 3(16) = 72 jam persis

B

A


P

Q

R

KEPUTUSAN BERALTERNATIFKEPUTUSAN BERALTERNATIF

A •

B •

C •

D •

1) Antara titik A dan B

2) Antara titik B dan C

3) Antara titik C dan D


Variabel SlackVariabel Slack

Ingat bahwa solusi terjadi pada titik ekstrim, di mana garis persamaan kendala berpotongan satu sama yang lain atau berpotongan dengan sumbu pada grafk. Jadi dalam hal ini, kendala-kendala tsb. lebih dipertimbangkan sebagai persamaan daripada pertidaksamaan.

Prosedur baku untuk merubah pertidaksamaan kendala menjadi persamaan, adalah dengan menambah sebuah variabel baru ke dalam masing-masing kendala, yang disebut sebagai variabel slack. -


Variabel SlackVariabel Slack

Untuk contoh perusahaan XYZ di muka, model kendala adalah :P : 2A + B < 30Q : 2A + 3B < 60R : 4A + 3B < 72

Penambahan sebuah variabel slack, S1 pada kendala P, S2 pada kendala Q dan S3 pada kendala R hasilnya dapat dilihat sbb. :

P : 2A + B + S1 = 30Q : 2A + 3B + S2 = 60R : 4A + 3B + S3 = 72

Metode Grafik / Maksimasi lanjt

Variabel slack S1, S2 dan S3 merupakan nilai yang diperlukan untuk membuat sisi sebelah kiri persamaan menjadi sama dengan sisi sebelah kanan.

Misalnya secara hipotetis, A = 9 dan B = 10. Masukkan kedua nilai itu kedalam persamaan :

P : 2(9) + 10 + S1 = 30 S1 = 2 Q : 2(9) + 3(10) + S2 = 60 S2 = 12 R : 4(9) + 3(10) + S3 = 72 S3 = 6

Metode Grafik / Maksimasi …lanjt

Dalam contoh di atas, menghasilkan solusi yang tidak menghabiskan jumlah sumberdaya. Pada kendala P hanya menggunakan 28 jam, berarti sisa 2 jam yang tidak digunakan. Jadi S1 merupakan jumlah waktu yang tidak digunakan pada

sumberdaya P atau disebut slack P. Demikian juga pada kendala Q dan R masing-masing mempunyai slack Q dan slack R sebagai sisa 12 jam dan 6 jam yang tidak digunakan.

Jika perusahaan belum melakukan kegiatan produksi, maka seluruh kapasitas sumberdaya masih utuh, sehingga slacknya masing-masing sebesar 30, 60 dan 72 jam

Metode Grafik / Maksimasi… lanjt

Pengaruh Variabel Slack Terhadap Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan dari contoh adalah : TR = 3000 A + 3000 B. Koefisien 3000 dan 3000, masing-masing merupakan kontribusi TR setiap A dan B. Lalu, apa wujud kontribusi variabel slack S1 dan S2 ?. Variabel slack tidak mempunyai kontribusi apapun terhadap TR sebab variabel slack merupakan sumberdaya yg tidak digunakan. TR dicapai hanya setelah sumberdaya digunakan dlm proses produksi. Dengan demikian variabel slack dalam fungsi tujuan dapat ditululis :

TR = 3000A + 3000 B + 0S1 + 0S2 + 0S3


Pengaruh Variabel Slack Terhadap Fungsi Tujuan

Seperti halnya pada variabel keputusan (A dan B), variabel slack berni-lai non-negative, sebab tidak mungkin sumber-daya itu negatif. Oleh karenanya, model formulasinya :

A, B , S1, S2 dan S3 > 0Dengan adanya varibel slack, model LP baku secara lengkap dapat ditulis sbb.:

Maksimumkan: TR = 3000 A + 3000 B + 0S1 + 0S2 +0S3 Kendala : 2A + B + S1 < 30 2A + 3B + S2 < 60 4A + 3B + S3 < 72 A, B , S1, S2 dan S3 > 0


• w

•X

•Y

Z •

Max. TR = 3000 A + 3000B Kendala : 2A + B + S1 < 30 2A + 3B + S2 < 60 4A + 3B + S3 < 72 A, B , S1, S2 dan S3 > 0

A = 0B = 20TR = 60000S1 = 10S2 = 0S3 = 12

A = 6B = 16TR = 66000S1 = 2S2 = 0S3 = 0

A = 9B = 12TR = 63000S1 = 0S2 = 6S3 = 0

A = 15B = 0TR = 45000S1 = 0S2 = 30S3 = 12


Contoh : Perusahaan RContoh : Perusahaan Raadiodio

Perusahaan RPerusahaan Raadio memproduksi 2 macam bahan pelarut dio memproduksi 2 macam bahan pelarut (A dan B). Untuk me(A dan B). Untuk memmproduksi kedua bahan tersebut produksi kedua bahan tersebut memerlukan semberdaya Minyak Tanah paling tidak memerlukan semberdaya Minyak Tanah paling tidak memerlukan 24 liter, Damar minimal 20 liter dan dan memerlukan 24 liter, Damar minimal 20 liter dan dan Spiritus paling sedikit diperlukan 24 liter. Kebutuhan Spiritus paling sedikit diperlukan 24 liter. Kebutuhan minyak tanah untuk setiap unit bahan pelarut A diperlukan minyak tanah untuk setiap unit bahan pelarut A diperlukan 8 liter dan bahan pelarut B diperlukan 6 liter, kebutuhan 8 liter dan bahan pelarut B diperlukan 6 liter, kebutuhan Damar untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 10 liter Damar untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 10 liter dan bahan pelarut B sebanyak 4 liter, dan kebutuhan dan bahan pelarut B sebanyak 4 liter, dan kebutuhan Spiritus untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 6 Spiritus untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 6 liter dan bahan pelarut B sebanyak 12 liter. liter dan bahan pelarut B sebanyak 12 liter.

Metode Grafik / MinimasiKASUS MINIMASI

Contoh : Perusahaan RContoh : Perusahaan Raadiodio (lanjt)(lanjt)

Kalau biaya produksi per unit bahan pelarut A dan B Kalau biaya produksi per unit bahan pelarut A dan B masing sebesar Rp 80 dan Rp 100masing sebesar Rp 80 dan Rp 100>>Pertanyaan:Pertanyaan:BBerapa bahan pelarut A dan B harus diproduksi agar erapa bahan pelarut A dan B harus diproduksi agar biaya produksi minimalbiaya produksi minimal??

Selesaikan persoalan ini dengan gambar, evaluasi pula Selesaikan persoalan ini dengan gambar, evaluasi pula penggunaan bahan bakunya. penggunaan bahan bakunya.

Metode Grafik / MinimasiKASUS MINIMASI

GAMBAR FUNGSI KENDALA

Min. TC = 80A + 100BStc. MT : 8A + 6B > 24 D : 10A + 4B > 20 S : 6A + 12B > 24 A , B > 0

MT : 8A + 6B > 24 B > 4 – 4/3 A

D : 10A + 4B > 20 B > 5 - 2,5 A S : 6A + 12B > 24

B > 2 - 0,5 A

A

B

B

A

B

A

Metode Grafik / Minimasi

FISIBLE AREA dan ISO FISIBLE AREA dan ISO COSTCOST

( 2, 4 ; 0,8 ) •

Solusi Optimal :B.Pelarut A = 2,4 unitB.Pelarut B = 0,8 unitTC min = 80 (2,4) + 100(0,8) = Rp 272

Penggunaan Sumberdaya :MT = 8(2,4) + 6(0,8) = 24 Lt. persisD = 10(2,4) + 4(0,8) = 27,2 Lt. > 20S = 6(2,4) + 12(0,8) = 24 Lt. persis

Metode Grafik / Minimasi

Soal N0. 8Perusahaan mebel Jati Indah memproduksi meja dan kursi dari sumberdaya tenaga kerja dan kayu. Perusahaan memiliki kapasitas terbatas untuk tenaga kerja 80 jam perhari dan 36 Kg kayu perhari. Permintaan atau penjualan kursi terbatas 6 kursi per hari. Untuk memproduksi satu unit kursi memerlukan 8 jam tenaga kerja dan 2 Kg kayu, sedang setiap satu meja memerlukan 10 jam tenaga kerja dan 6 Kg kayu. Laba yang diperoleh untuk setiap meja sebesar Rp 40.000 dan untuk setiap kursi sebesar Rp 50.000. Perusahaan ingin menetapkan jumlah meja dan kursi yang harus dijual agar memperoleh laba maksimum.a. Formulasikan model LP untuk persoalan ini.b. Selesaikan persoalan ini dengan analisis grafik.

Soal N0.12 Perusahaan Kimia Farma memproduksi sebuah obat dengan ramuan dua bahan. Setiap bahan berisi tiga antibiotik yang sama tapi berbeda dalam proporsinya. Satu gram bahan 1 menyumbangkan 3 unit dan bahan 2 menyumbangkan1 unit antibiotik 1; obat membutuhkan 6 unit. Sedikitnya 4 unit antibiotik 2 dibutuhkan, dan per gram bahan masing-masing menyumbang 1 unit. Paling sedikit 12 unit antibiotik 3 diperlukan; satu gram bahan 1 menyumbang 2 unit, dan satu gram bahan 2 menyumbang 6 unit. Biaya per gram bahan 1 dan bahan 2 masing-masing Rp 80.000 dan Rp 50.000. Kimia Farma ingin memformulasikan model LP untuk menetapkan jumlah (gram) ma-sing-masing bahan yang harus digunakan dalam pembuatan obat agar biaya campuran antibiotik itu serendah mungkin.a. Formulasikan model LP untuk persoalan ini.b. Selesaikan persoalan ini dengan menggunakan analisis grafik.