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Page 1: Soal dan Penyelesaian tugas Kalkulus

BAB I

9. ∫π‘₯+1

π‘₯2 βˆ’4π‘₯+8 =

1

2∫

2(π‘₯+1)

π‘₯2βˆ’4π‘₯+8𝑑π‘₯ =

1

2 ∫

2π‘₯+2

π‘₯2βˆ’4π‘₯ +8𝑑π‘₯ =

1

2∫

(2π‘₯βˆ’4)+6

π‘₯2 βˆ’4π‘₯+8𝑑π‘₯

= 1

2∫

2π‘‹βˆ’4

π‘₯2βˆ’4𝑋 +8𝑑π‘₯ +

1

2 ∫

6

π‘₯2 βˆ’4π‘₯+8𝑑π‘₯

= 1

2 ln (π‘₯ 2 βˆ’ 4π‘₯ + 8) +

1

2 . 6∫

𝑑π‘₯

π‘₯2βˆ’4π‘₯+8

= 1

2 ln (π‘₯ 2 βˆ’ 4π‘₯ + 8) +3∫

𝑑π‘₯

(π‘₯βˆ’2)2+(√4)2

= 1

2 ln (π‘₯ 2 βˆ’ 4π‘₯ + 8) + 3.

1

2π‘Žπ‘Ÿπ‘ tan

π‘₯βˆ’2

2+ 𝑐

13. ∫(5βˆ’4π‘₯)𝑑π‘₯

√12π‘₯ βˆ’4π‘₯2βˆ’8 =

1

2∫

2 (5βˆ’4π‘₯) 𝑑π‘₯

√12π‘₯ βˆ’4π‘₯2βˆ’8𝑑π‘₯ =

1

2∫

10 βˆ’8π‘₯

√12π‘₯ βˆ’4π‘₯2 βˆ’8𝑑π‘₯

= 1

2∫

βˆ’2π‘₯+(12βˆ’8π‘₯ )

√12π‘₯ βˆ’4π‘₯2βˆ’8𝑑π‘₯

= 1

2∫

βˆ’2

√12π‘₯ βˆ’4π‘₯2βˆ’8𝑑π‘₯ +

1

2∫

12βˆ’8π‘₯

√12π‘₯ βˆ’4π‘₯2βˆ’8𝑑π‘₯

= 1

2∫

βˆ’2𝑑π‘₯

√(1)2βˆ’(2π‘₯ βˆ’3)2+ √12π‘₯ βˆ’ 4π‘₯2 βˆ’ 8 + 𝑐

= 1

2. βˆ’1 ∫

2𝑑π‘₯

√(1)2βˆ’(2π‘₯ βˆ’3)2+ √12π‘₯ βˆ’ 4π‘₯2 βˆ’ 8 + 𝑐

= βˆ’1

2 π‘Žπ‘Ÿπ‘ sin

2π‘₯ βˆ’3

1+ √12π‘₯ βˆ’ 4π‘₯ 2 βˆ’ 8 + 𝑐

15. ∫(π‘₯βˆ’1)𝑑π‘₯

3π‘₯2βˆ’4π‘₯ +3 =

1

6∫

6(π‘₯βˆ’1)𝑑π‘₯

3π‘₯2βˆ’4π‘₯ +3=

1

6∫

6π‘₯βˆ’6

3π‘₯2 βˆ’4π‘₯+3𝑑π‘₯ =

1

6∫

(6π‘₯βˆ’4)βˆ’2

3π‘₯2βˆ’4π‘₯ +3𝑑π‘₯

= 1

6∫

6π‘₯ βˆ’4

3π‘₯2βˆ’4π‘₯ +3𝑑π‘₯ +

1

6∫

βˆ’2

3π‘₯2βˆ’4π‘₯ +3𝑑π‘₯ =

1

6ln(3π‘₯2 βˆ’ 4π‘₯ +

3) +1

6. βˆ’2 ∫

𝑑π‘₯

3π‘₯2βˆ’4π‘₯+3

= 1

6ln(3π‘₯2 βˆ’ 4π‘₯ + 3) βˆ’

1

3∫

𝑑π‘₯

(√5)2

βˆ’(3π‘₯βˆ’2)2

= 1

6ln(3π‘₯2 βˆ’ 4π‘₯ + 3) βˆ’

1

3.

1

√5 π‘Žπ‘Ÿπ‘ tan

3π‘₯ βˆ’2

√5+ 𝑐

BAB II

7. ∫ π‘Žπ‘Ÿπ‘ tan π‘₯ 𝑑π‘₯ = π‘₯ π‘Žπ‘Ÿπ‘tan π‘₯ βˆ’ ln √1 + π‘₯2 + 𝑐

∫ π‘Žπ‘Ÿπ‘ tan π‘₯ 𝑑π‘₯ = uvβˆ’ ∫ 𝑣𝑑𝑒

U= arc tan x dv = dx du = 1

1+π‘₯2 𝑑π‘₯ v = x

∫ π‘Žπ‘Ÿπ‘ tan π‘₯ 𝑑π‘₯ = π‘Žπ‘Ÿπ‘ tan π‘₯. π‘₯ βˆ’ ∫ π‘₯.1

1+π‘₯2 𝑑π‘₯

= π‘₯ π‘Žπ‘Ÿπ‘ tan π‘₯ βˆ’ 1

2∫

2π‘₯

1+π‘₯2 𝑑π‘₯

= π‘₯ π‘Žπ‘Ÿπ‘ tan π‘₯ βˆ’1

2ln|1 + π‘₯2| + 𝑐

= π‘₯ π‘Žπ‘Ÿπ‘ tan π‘₯ βˆ’ 𝑙𝑛 √1 + π‘₯2 + 𝑐

Page 2: Soal dan Penyelesaian tugas Kalkulus

9.∫ π‘π‘œπ‘ π‘š 𝑒𝑑𝑒 =π‘π‘œπ‘ π‘šβˆ’1𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑒

π‘š+

π‘šβˆ’1

π‘šβˆ« π‘π‘œπ‘ π‘šβˆ’2𝑒𝑑𝑒

∫ π‘π‘œπ‘ π‘šπ‘’π‘‘π‘’ = ∫ π‘π‘œπ‘ π‘šβˆ’1+1𝑒𝑑𝑒 = ∫ π‘π‘œπ‘ π‘šβˆ’1 𝑒 π‘π‘œπ‘ π‘’π‘‘π‘’

𝑦 = π‘π‘œπ‘ π‘šβˆ’1𝑒

𝑑𝑦 = π‘š βˆ’ 1π‘π‘œπ‘ π‘šβˆ’2𝑒 βˆ’ sin 𝑒 = βˆ’(π‘š βˆ’ 1).π‘π‘œπ‘ π‘šβˆ’2 sin 𝑒 𝑑𝑒

dx= cos u du

x= sin u

β†’ ∫ π‘π‘œπ‘ π‘šπ‘’π‘‘π‘’ = π‘π‘œπ‘ π‘šβˆ’1 𝑒 sin 𝑒 βˆ’ ∫ sin 𝑒. βˆ’π‘š βˆ’ 1. π‘π‘œπ‘ π‘šβˆ’1

= π‘π‘œπ‘ π‘šβˆ’1 sin 𝑒 + π‘š βˆ’ 1 ∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝑒. π‘π‘œπ‘ π‘šβˆ’2𝑑𝑒

= π‘π‘œπ‘ π‘šβˆ’1 sin 𝑒 + π‘š βˆ’ 1 ∫(1 βˆ’ π‘π‘œπ‘ 2𝑒).π‘π‘œπ‘ π‘šβˆ’2 𝑒 𝑑𝑒

= π‘π‘œπ‘ π‘šβˆ’1 sin 𝑒 + π‘š βˆ’ 1 ∫ π‘π‘œπ‘ π‘šβˆ’2 βˆ’ π‘π‘œπ‘ π‘šπ‘’ 𝑑𝑒

= π‘π‘œπ‘ π‘šβˆ’1 sin 𝑒 + π‘š βˆ’ 1 ∫ π‘π‘œπ‘ π‘šβˆ’2 βˆ’ (π‘š βˆ’ 1) ∫ π‘π‘œπ‘ π‘š 𝑒 𝑑𝑒

= π‘π‘œπ‘ π‘šβˆ’1 sin 𝑒 + π‘š βˆ’ 1 ∫ π‘π‘œπ‘ π‘šβˆ’2 βˆ’ π‘š ∫ π‘π‘œπ‘ π‘šπ‘’ 𝑑𝑒 + ∫ π‘π‘œπ‘ π‘šπ‘’ 𝑑𝑒

∫ π‘π‘œπ‘ π‘šπ‘’ 𝑑𝑒 + π‘š ∫ π‘π‘œπ‘ π‘šπ‘’ 𝑑𝑒 βˆ’ ∫ π‘π‘œπ‘ π‘š 𝑒 𝑑𝑒 = π‘π‘œπ‘ π‘šβˆ’1 sin 𝑒 + π‘š βˆ’

1 ∫ π‘π‘œπ‘ π‘šβˆ’2𝑑𝑒

m∫ π‘π‘œπ‘ π‘š 𝑒 𝑑𝑒 = π‘π‘œπ‘ π‘šβˆ’1 sin 𝑒 + π‘š βˆ’ 1 ∫ π‘π‘œπ‘ π‘šβˆ’2𝑑𝑒

∫ π‘π‘œπ‘ π‘šπ‘’ 𝑑𝑒 =π‘π‘œπ‘ π‘šβˆ’1 sin 𝑒

π‘š+

π‘šβˆ’1

π‘šβˆ« π‘π‘œπ‘ π‘šβˆ’2𝑒 𝑑𝑒

REDUKSI

1. βˆ«π‘‘π‘₯

(1βˆ’π‘₯2)3 = 1

12 {π‘₯

(2.3βˆ’2)(12βˆ’π‘₯2)3βˆ’1 +2.3βˆ’3

2.3βˆ’2∫

𝑑π‘₯

(1βˆ’π‘₯2)3βˆ’2

=π‘₯

4(12βˆ’π‘₯2)2 +3

4∫

𝑑π‘₯

(1βˆ’π‘₯2 )2

=π‘₯

4(12βˆ’π‘₯2)2 +3

4{

π‘₯

(2.2βˆ’2) (1βˆ’π‘₯2)+

2.2βˆ’3

2.2βˆ’2∫

𝑑π‘₯

(1βˆ’π‘₯2)

=π‘₯

4(12βˆ’π‘₯2)2 +3

4{

π‘₯

2(1βˆ’π‘₯2)+

1

2.

1

2ln |

1+π‘₯

1βˆ’π‘₯| + 𝑐

=π‘₯

4(12βˆ’π‘₯2)2 +3π‘₯

8(1βˆ’π‘₯2)+

3

16ln |

1+π‘₯

1βˆ’π‘₯| + 𝑐

=2π‘₯

8(1βˆ’π‘₯2)2 +3π‘₯(1βˆ’π‘₯2)

8(1βˆ’π‘₯2)2 +3

16ln |

1+π‘₯

1βˆ’π‘₯| = 𝑐

=5π‘₯ βˆ’3π‘₯3

8(1βˆ’π‘₯2)2 +3

16ln |

1+π‘₯

1βˆ’π‘₯| + 𝑐

=π‘₯(5βˆ’3π‘₯2)

8(1βˆ’π‘₯2)2 +3

16ln |

1+π‘₯

1βˆ’π‘₯| + 𝑐

3. ∫ π‘π‘œπ‘ 5π‘₯ 𝑑π‘₯ = 1

5(3π‘π‘œπ‘ 4π‘₯ + 4π‘π‘œπ‘ 2π‘₯ + 8)𝑠𝑖𝑛π‘₯ + 𝑐

Rumus reduksi 7 β†’ π‘π‘œπ‘ π‘šπ‘₯ 𝑑π‘₯ =π‘π‘œπ‘ π‘šβˆ’1π‘₯𝑠𝑖𝑛π‘₯

π‘š+

π‘šβˆ’1

π‘šβˆ« π‘π‘œπ‘ π‘šβˆ’2 π‘₯ 𝑑π‘₯

∫ π‘π‘œπ‘ 5π‘₯ 𝑑π‘₯ = π‘π‘œπ‘ 5 βˆ’1π‘₯𝑠𝑖𝑛π‘₯

5+

5βˆ’1

5∫ π‘π‘œπ‘ 5βˆ’2 π‘₯ 𝑑π‘₯

∫ 𝑦𝑑π‘₯ = 𝑦π‘₯ βˆ’ ∫ π‘₯𝑑𝑦

Page 3: Soal dan Penyelesaian tugas Kalkulus

=π‘π‘œπ‘ 5βˆ’1π‘₯𝑠𝑖𝑛π‘₯

5+

4

5∫ π‘π‘œπ‘ 3π‘₯ 𝑑π‘₯

=π‘π‘œπ‘ 4 𝑠𝑖𝑛π‘₯

5+

4

5{

π‘π‘œπ‘ 2 π‘₯𝑠𝑖𝑛π‘₯

3+

2

3∫ π‘π‘œπ‘ π‘₯ 𝑑π‘₯}

=π‘π‘œπ‘ 4 π‘₯𝑠𝑖𝑛π‘₯

5+

4π‘π‘œπ‘ 2 π‘₯𝑠𝑖𝑛π‘₯

15

8

15𝑠𝑖𝑛π‘₯

=1

15{3π‘π‘œπ‘ 4π‘₯𝑠𝑖𝑛π‘₯ + 4π‘π‘œπ‘ 2π‘₯𝑠𝑖𝑛π‘₯ + 8𝑠𝑖𝑛π‘₯} + 𝑐

=1

15{3π‘π‘œπ‘ 4π‘₯ + 4π‘π‘œπ‘ 2π‘₯ + 8}𝑠𝑖𝑛π‘₯ + 𝑐

5. ∫ 𝑒2π‘₯ (2 sin 4π‘₯ βˆ’ 5 π‘π‘œπ‘  4π‘₯)𝑑π‘₯ =1

25𝑒2π‘₯(βˆ’14 sin 4π‘₯ βˆ’ 23 cos 4π‘₯) + 𝑐

𝑒2π‘₯ (𝐴 cos 4π‘₯ + 𝐡 sin 4π‘₯) β†’ π‘šπ‘Žπ‘˜π‘Ž:

𝑒3π‘₯ (2 sin 4π‘₯ βˆ’ 5 cos 4π‘₯) = 𝑒3π‘₯ (3𝐴 + 4𝐡)𝐢𝑂𝑆 4𝑋 + 𝑒3π‘₯ (3𝐡 βˆ’

4𝐴) sin 4π‘₯

Maka:

3A+4B=-5 x3 9A+12B=-15 -4A+3B=2 x4 -16A=12B=8 _

25A= -23 A= -23/25

3𝐡 = 2 + 4𝐴 = 2 βˆ’92

25=

βˆ’42

25↔ 𝐡 =

βˆ’14

25

↔ 𝐸2𝑋(2 sin 4π‘₯ βˆ’ 5 cos 4π‘₯)𝑑π‘₯

= 𝑒2π‘₯ (βˆ’23

25π‘π‘œπ‘ 4π‘₯ βˆ’

14

25sin 4π‘₯) + 𝑐

= βˆ’1

25𝑒2π‘₯ (23 cos 4π‘₯ + 14 sin 4π‘₯) + 𝑐

=1

25𝑒2π‘₯ (βˆ’14 sin 4π‘₯ βˆ’ 23 π‘π‘œπ‘  4π‘₯) + 𝑐

BAB III

10. ∫ (sec π‘₯

tan π‘₯)

4

𝑑π‘₯ =1

3 π‘‘π‘Žπ‘›3 π‘₯βˆ’

1

tan π‘₯+ 𝑐

= ∫ (1

π‘π‘œπ‘ π‘₯𝑠𝑖𝑛π‘₯

π‘π‘œπ‘ π‘₯

)

4

𝑑π‘₯ = ∫ (1

π‘π‘œπ‘ π‘₯.

π‘π‘œπ‘ π‘₯

𝑠𝑖𝑛π‘₯)

4

𝑑π‘₯ = ∫ (1

𝑠𝑖𝑛π‘₯)

4

𝑑π‘₯

= ∫ π‘π‘œπ‘ π‘’π‘4π‘₯𝑑π‘₯ = ∫ π‘π‘œπ‘ π‘’π‘2 (1 + π‘π‘œπ‘‘2 π‘₯)𝑑π‘₯

= ∫ π‘π‘œπ‘ π‘’π‘2𝑑π‘₯ + ∫ π‘π‘œπ‘ π‘’π‘2π‘₯π‘π‘œπ‘‘2 π‘₯ 𝑑π‘₯

= βˆ’π‘π‘œπ‘‘π‘₯ + ∫ π‘π‘œπ‘‘2π‘₯π‘π‘œπ‘ π‘’π‘2 π‘₯ 𝑑π‘₯

= βˆ’π‘π‘œπ‘‘π‘₯ + ∫ π‘π‘œπ‘‘2π‘₯ 𝑑(βˆ’π‘π‘œπ‘‘π‘₯)

= βˆ’π‘π‘œπ‘‘π‘₯ + βˆ’1

3π‘π‘œπ‘‘3π‘₯ + 𝑐

= βˆ’1

3π‘‘π‘Žπ‘›3 π‘₯βˆ’

1

π‘‘π‘Žπ‘›π‘₯+ 𝑐

13.

15. βˆ«π‘π‘œπ‘‘3 π‘₯ 𝑑π‘₯

π‘π‘œπ‘ π‘’π‘ π‘₯ = ∫

π‘π‘œπ‘‘2 π‘₯.π‘π‘œπ‘‘π‘₯ 𝑑π‘₯

π‘π‘œπ‘ π‘’π‘ π‘₯ = ∫

(π‘π‘œπ‘ π‘’π‘2 π‘₯βˆ’1).cot π‘₯ 𝑑π‘₯

π‘π‘œπ‘ π‘’π‘ π‘₯

= βˆ«π‘π‘œπ‘ π‘’π‘2 π‘₯.cot π‘₯

π‘π‘œπ‘ π‘’π‘ π‘₯𝑑π‘₯ βˆ’ ∫

cotπ‘₯

π‘π‘œπ‘ π‘’π‘ π‘₯𝑑π‘₯

= ∫ π‘π‘œπ‘ π‘’π‘ π‘₯. cotπ‘₯ 𝑑π‘₯ βˆ’ ∫ cos 𝑑π‘₯

Page 4: Soal dan Penyelesaian tugas Kalkulus

= -cosec x – sin x+c = -sin x- cosec x +c

BAB IV

9. ∫√25 βˆ’π‘₯2

𝑋= 5 ln |

5βˆ’βˆš25 βˆ’π‘₯2

π‘₯| + √25 βˆ’ π‘₯2 + 𝑐

a=5 b=1 u= x 𝑒 =π‘Ž

𝑏sin 𝑧 π‘₯ =

5 𝑠𝑖𝑛𝑧

dx= 5 cos z sin 𝑧 =π‘₯

5

√25 βˆ’ π‘₯2 = π‘Ž cos 𝑧 = 5 cos 𝑧

∫√25 βˆ’π‘₯2

𝑋𝑑π‘₯ = ∫

(5 cos 𝑧)(5 cos 𝑧)

5 sin 𝑧 = ∫

25 π‘π‘œπ‘  2𝑧

5 sin 𝑧𝑑𝑧

= 5 βˆ«π‘π‘œπ‘ 2 𝑧

sin 𝑧𝑑𝑧 = 5 ∫

(1βˆ’π‘ π‘–π‘›2 𝑧)

sin 𝑧𝑑𝑧

= 5(∫1

𝑠𝑖𝑛𝑧𝑑𝑧 βˆ’ ∫ sin 𝑧 𝑑𝑧

= 5 ∫ π‘π‘œπ‘ π‘’π‘ 𝑧 𝑑𝑧 βˆ’ 5 ∫ sin 𝑧 𝑑𝑧

= 5|π‘π‘œπ‘ π‘’π‘ 𝑧 βˆ’ cot𝑧| + 5 cos 𝑧 + 𝑐

= 5|5

π‘₯βˆ’

√25βˆ’π‘₯2

π‘₯| + 5.

√25βˆ’π‘₯2

π‘₯+ 𝑐

= 5 |5βˆ’βˆš25βˆ’π‘₯2

π‘₯| + √25 βˆ’ π‘₯2 + 𝑐

13.

BAB V

12. ∫π‘₯2+3π‘₯βˆ’4

π‘₯2βˆ’2π‘₯βˆ’8𝑑π‘₯ = π‘₯ + ln|(π‘₯ + 2)(π‘₯ βˆ’ 4)4| + 𝑐

β†’ π‘₯ 2 βˆ’ 2π‘₯ βˆ’ 81

√π‘₯2+3π‘₯ βˆ’4π‘₯2βˆ’2π‘₯ βˆ’8

5π‘₯ +4βˆ’

β†’ ∫ 1 +5π‘₯ +4

π‘₯2βˆ’2π‘₯βˆ’8𝑑π‘₯

β†’π‘₯ 2 βˆ’ 2π‘₯ βˆ’ 8 = (π‘₯ + 2)(π‘₯ βˆ’ 4)

5π‘₯ +4

π‘₯2 βˆ’2π‘₯βˆ’8=

𝐴

π‘₯+2+

𝐡

π‘₯βˆ’4 dikali (x+2)(x-4)

5x+4 = A(x-4)+B(x+2) = (A+B)x-4A+2B

A=1,B=4

β†’βˆ« 1 +5π‘₯ +4

π‘₯2 βˆ’2π‘₯βˆ’8𝑑π‘₯ = ∫ 1𝑑π‘₯ + ∫

𝐴 𝑑π‘₯

(π‘₯+2)+ ∫

𝐡 𝑑π‘₯

(π‘₯βˆ’4)

= π‘₯ + βˆ«π‘‘π‘₯

(π‘₯+2)+ 4 ∫

𝑑π‘₯

π‘₯βˆ’4

= π‘₯ + ln(π‘₯ + 2) + 4 ln(π‘₯ βˆ’ 4) + 𝑐

= π‘₯ + ln|(π‘₯ + 2)(π‘₯ βˆ’ 4)4| + 𝑐