Download - Smart solution un matematika sma 2013 (skl 2.13 transformasi geometri)

Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

Halaman 88 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

2. 13. Menentukan bayangan titik atau kurva karena dua transformasi atau lebih.

Transformasi Geometri Acuan

Translasi Pencerminan Rotasi Dilatasi “Pergeseran” • terhadap 𝑥 = 𝟎 sebesar 𝜃 pusat 𝑶 sebesar 𝑘 pusat 𝑶 • terhadap 𝑦 = 𝟎 • terhadap titik (0, 0) • terhadap 𝑦 = ±𝑥 • terhadap 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝟎 Menggunakan konsep matriks transformasi Bentuk umum

Transformasi terhadap Titik Transformasi terhadap Kurva “Bayangan 𝑨(𝒙, 𝒚) adalah 𝑨′(𝒙′, 𝒚′)” “Substitusikan 𝒙, 𝒚 pada fungsi kurva”

(𝑥′

𝑦′) = 𝑀(

𝑥𝑦) (

𝑥𝑦) = 𝑀

−1 (𝑥′𝑦′)

𝑀 = Matriks Transformasi 𝑀−1 = Invers Matriks Transformasi

Komposisi Transformasi “Ingat (𝒇 ∘ 𝒈) artinya 𝒈 dikerjakan lebih dulu daripada 𝒇” (𝑀𝑛 ∘ … ∘ 𝑀2 ∘ 𝑀1) merupakan komposisi transformasi 𝑀1 dilanjutkan oleh transformasi 𝑀2 dan seterusnya sampai dengan transformasi 𝑀𝑛

Komposisi Komposisi Dua Transformasi Titik Dua Transformasi Kurva “Bayangan 𝑨(𝒙, 𝒚) adalah 𝑨′(𝒙′, 𝒚′)” “Substitusikan 𝒙, 𝒚 pada fungsi kurva”

(𝑥′

𝑦′) = (𝑀2 ∘ 𝑀1) (

𝑥𝑦) (

𝑥𝑦) = (𝑀2 ∘ 𝑀1)

−1 (𝑥′𝑦′)

http://pak-anang.blogspot.com/

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 89

Tabel Transformasi Geometri Translasi

Translasi

Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

1. Transformasi identitas 𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐼 → 𝐴′(𝑥, 𝑦) (

𝑥′𝑦′) = (

𝟏 𝟎𝟎 𝟏

) (𝑥𝑦)

2. Translasi oleh (𝒂𝒃)

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑇=(

𝑎𝑏)

→ 𝐴′(𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏) (𝑥′𝑦′) = (

𝟏 𝟎𝟎 𝟏

) (𝑥𝑦) + (

𝒂𝒃)

Pencerminan

Pencerminan

terhadap garis 𝒙 = …. Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

1. Pencerminan terhadap sumbu Y (𝑥 = 0)

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑀𝑠𝑏Y → 𝐴′(−𝑥, 𝑦) (

𝑥′𝑦′) = (

−𝟏 𝟎𝟎 𝟏

) (𝑥𝑦)

2. Pencerminan terhadap garis 𝑥 = 𝒂

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑀𝑥=𝒂 → 𝐴′(𝟐𝒂 − 𝑥, 𝑦) (

𝑥′ − 𝒂𝑦′

) = (−𝟏 𝟎𝟎 𝟏

) (𝑥 − 𝒂𝑦 )

Pencerminan

terhadap garis 𝒚 = …. Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

3. Pencerminan terhadap sumbu X (𝑦 = 0)

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑀𝑠𝑏X → 𝐴′(𝑥, −𝑦) (

𝑥′𝑦′) = (

𝟏 𝟎𝟎 −𝟏

) (𝑥𝑦)

4. Pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝒃

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑀𝑦=𝒃 → 𝐴′(𝑥, 𝟐𝒃 − 𝑦) (

𝑥′𝑦′ − 𝒃

) = (𝟏 𝟎𝟎 −𝟏

) (𝑥

𝑦 − 𝒃)

Pencerminan

terhadap titik (…., ….) Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

5. Pencerminan terhadap titik asal 𝑂(0, 0)

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑀𝑂(0,0) → 𝐴′(−𝑥,−𝑦) (

𝑥′𝑦′) = (

−𝟏 𝟎𝟎 −𝟏

) (𝑥𝑦)

6. Pencerminan terhadap titik 𝑷(𝒂, 𝒃)

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑀𝑷(𝒂,𝒃) → 𝐴′(𝟐𝒂 − 𝑥, 𝟐𝒃 − 𝑦) (

𝑥′ − 𝒂𝑦′ − 𝒃

) = (−𝟏 𝟎𝟎 −𝟏

) (𝑥 − 𝒂𝑦 − 𝒃)

Pencerminan

terhadap garis 𝒚 = ±𝒙 Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

7. Pencerminan terhadap 𝑦 = 𝑥

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑀𝑦=𝑥 → 𝐴′(𝑦, 𝑥) (

𝑥′𝑦′) = (

𝟎 𝟏𝟏 𝟎

) (𝑥𝑦)

8. Pencerminan terhadap garis 𝑦 = −𝑥

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑀𝑦=−𝑥 → 𝐴′(−𝑦,−𝑥) (

𝑥′𝑦′) = (

𝟎 −𝟏−𝟏 𝟎

) (𝑥𝑦)

Pencerminan

terhadap garis 𝒚 = 𝒎𝒙 Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

9. Pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑚𝑥

dimana 𝑚 = tan 𝜃

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑀𝑦=𝑚𝑥 → 𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

𝑥′ = 𝑥 cos2𝜃 + 𝑦 sin 2𝜃

𝑦′ = 𝑥 sin 2𝜃 − 𝑦 cos2𝜃

(𝑥′𝑦′) = (

𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽 −𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽

) (𝑥𝑦)

10. Pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝒄

dimana 𝑚 = tan 𝜃

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑀𝑦=𝑚𝑥+𝒄 → 𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

𝑥′ = 𝑥 cos2𝜃 + (𝑦 − 𝒄) sin2𝜃

𝑦′ = 𝑥 sin 2𝜃 − (𝑦 − 𝒄) cos2𝜃 + 𝒄

(𝑥′

𝑦′ − 𝒄) = (

𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽 −𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽

) (𝑥

𝑦 − 𝒄)



Rotasi

Rotasi sebesar 𝜽

terhadap titik (…., ….) Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

1. Rotasi 𝜃° berlawanan jarum jam terhadap pusat 𝑂(0, 0)

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑅[𝑂,𝜃] → 𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

𝑥′ = 𝑥 cos𝜃 − 𝑦 sin𝜃

𝑦′ = 𝑥 sin 𝜃 + 𝑦 cos𝜃

(𝑥′𝑦′) = (

𝐜𝐨𝐬 𝜽 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜽

) (𝑥𝑦)

2. Rotasi 𝜃° berlawanan jarum jam terhadap pusat 𝑷(𝒂, 𝒃)

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑅[𝑷(𝒂,𝒃),𝜃] → 𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

𝑥′ = (𝑥 − 𝑎) cos𝜃 − (𝑦 − 𝒃) sin 𝜃 + 𝒂

𝑦′ = (𝑥 − 𝒂) sin𝜃 + (𝑦 − 𝒃) cos𝜃 + 𝒃

(𝑥′ − 𝒂𝑦′ − 𝒃

) = (𝐜𝐨𝐬 𝜽 −𝐬𝐢𝐧 𝜽𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜽

) (𝑥 − 𝒂𝑦 − 𝒃)

Dilatasi

Dilatasi pusat (…., ….)

faktor dilatasi 𝒌 Pemetaan Persamaan Matriks Transformasi

1. Dilatasi [𝑂, 𝑘] 𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐷[𝑂,𝑘] → 𝐴′(𝑘𝑥, 𝑘𝑦) (

𝑥′𝑦′) = (

𝒌 𝟎𝟎 𝒌

) (𝑥𝑦)

2. Dilatasi [𝑷(𝒂, 𝒃), 𝑘] 𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐷[𝑷(𝒂,𝒃),𝑘] → 𝐴′(𝑥′, 𝑦′)

𝑥′ = 𝑘(𝑥 − 𝑎) + 𝑎

𝑦′ = 𝑘(𝑦 − 𝑏) + 𝑏

(𝑥′ − 𝒂𝑦′ − 𝒃

) = (𝒌 𝟎𝟎 𝒌

) (𝑥 − 𝒂𝑦 − 𝒃)

Keterangan: Transformasi terhadap titik:

Masukkan titik (𝑥, 𝑦) ke matriks transformasi sehingga diperoleh titik bayangan transformasi (𝑥′, 𝑦′).

(𝑥′

𝑦′) = 𝑀 (

𝑥𝑦)

Transformasi terhadap fungsi (kurva):

Substitusikan 𝑥 dan 𝑦 ke fungsi sehingga fungsi baru hasil transformasi mengandung variabel 𝑥′ dan 𝑦′. Untuk mempermudah gunakan invers matriks:

(𝑥′

𝑦′) = 𝑀 (

𝑥𝑦) ⇒ 𝑀−1 (

𝑥′

𝑦′) = (

𝑥𝑦)

⇔ (𝑥𝑦) = 𝑀

−1 (𝑥′

𝑦′)

Jika matriks transformasinya mudah diinvers menggunakan invers fungsi, maka tidak perlu menggunakan invers matriks. Mubazir.

Keterangan warna:

= “Transformasi ACUAN”. = “Transformasi TURUNAN”.

(𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 𝐬𝐢𝐧𝟐𝜽𝐬𝐢𝐧𝟐𝜽 −𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽

) = “Matriks Transformasi ACUAN”

𝑷(𝒂, 𝒃) = Persamaan Matriks Transformasinya perlu penyesuaian terhadap “ACUAN”.



TRIK SUPERKILAT konsep matriks transformasi untuk pencerminan, rotasi dan dilatasi. LOGIKA PRAKTIS untuk menyusun matriks transformasi ACUAN.

Buat dua titik, 𝐴(1, 0) dan 𝐵(0, 1) pada bidang koordinat Transformasikan kedua titik Tulis hasil transformasi titik ke dalam matriks kolom Selesailah matriks transformasi kita Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada indikator soal tentang transformasi geometri, jelas bahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah bayangan kurva terhadap beberapa transformasi. Untuk transformasi terhadap suatu titik sepertinya peluangnya kecil untuk muncul dalam soal UN 2013 nanti. Nah, sebenarnya ada cara yang cukup mudah untuk mengingat pola matriks transformasi dari pencerminan, rotasi maupun dilatasi. Perhatikan langkah di bawah ini. Hubungan Matriks dan Transformasi

Misalkan 𝑀 = (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) adalah matriks transformasi 𝑇,

maka hasil dari transformasi titik 𝑨(𝟏, 𝟎) adalah:

(𝑥𝐴′

𝑦𝐴′) = (

𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) (10) = (

𝒂𝒄)

dan hasil dari transformasi titik 𝑩(𝟎, 𝟏) adalah:

(𝑥𝐵′

𝑦𝐵′) = (

𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) (01) = (

𝒃𝒅)

Sehingga proses menyusun matriks transformasi 𝑀 adalah dengan meletakkan titik 𝐴(1, 0) dan 𝐵(0, 1) pada

bidang koordinat lalu kita transformasikan. Misalkan, (𝑥𝐴′

𝑦𝐴′) adalah hasil transformasi dari titik A sedangkan

(𝑥𝐵′

𝑦𝐵′) adalah hasil transformasi titik B, maka matriks transformasi tersebut adalah:

𝑀 = (𝒂 𝒃𝒄 𝒅

) = (𝒙𝑨′ 𝒙𝑩

′

𝒚𝑨′ 𝒚𝑩

′)

Contohnya bagaimana?? Oke, berikut ini beberapa contoh matriks transformasi : Pencerminan terhadap sumbu Y (garis 𝒙 = 𝟎).

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap sumbu Y (garis 𝑥 = 0), maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi 𝑨′(−𝟏, 𝟎). sedangkan titik B tidak berpindah, tetap di B, sehingga koordinatnya tetap di 𝑩′(𝟎, 𝟏). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu Y (garis 𝑥 = 0) adalah:

𝑴𝒔𝒃𝒀 = (−𝟏 𝟎𝟎 𝟏

)

Koordinat 𝑨′(−𝟏, 𝟎) Koordinat 𝑩′(𝟎, 𝟏)

𝐴(1, 0)

𝐵(0, 1)

(−1, 0)

(0,−1)

𝑨(𝟏, 𝟎)

𝑨′(−𝟏, 𝟎)

𝑩′(𝟎, 𝟏)

𝑠𝑏 Y

𝑠𝑏 Y



Pencerminan terhadap sumbu X (garis 𝒚 = 𝟎).

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap sumbu X (garis 𝑦 = 0), maka titik A tidak akan berpindah, tetap di A, sehingga koordinatnya tetap di 𝑨′(𝟏, 𝟎). sedangkan titik B akan berpindah ke bawah, sehingga koordinatnya menjadi 𝑩′(𝟎,−𝟏). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu X (garis 𝑦 = 0) adalah:

𝑴𝒔𝒃𝑿 = (𝟏 𝟎𝟎 −𝟏

)

Koordinat 𝑨′(𝟏, 𝟎) Koordinat 𝑩′(𝟎,−𝟏)

Pencerminan terhadap titik asal 𝑶(0, 0).

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap titik asal 𝑂(0, 0), maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi 𝑨′(−𝟏, 𝟎). sedangkan titik B tidak berpindah, tetap di B, sehingga koordinatnya menjadi 𝑩′(𝟎, 𝟏). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap titik asal 𝑂(0, 0) adalah:

𝑴𝑶(𝟎,𝟎) = (−𝟏 𝟎𝟎 −𝟏

)

Koordinat 𝑨′(−𝟏, 𝟎) Koordinat 𝑩′(𝟎, 𝟏)

Pencerminan terhadap garis 𝒚 = 𝒙.

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑥, maka titik A akan berpindah ke kiri atas, sehingga koordinatnya menjadi 𝑨′(𝟎, 𝟏). dan titik B akan berpindah ke kanan bawah, sehingga koordinatnya menjadi 𝑩′(𝟏, 𝟎). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑥 adalah:

𝑴𝒚=𝒙 = (𝟎 𝟏𝟏 𝟎

)

Koordinat 𝑨′(𝟎, 𝟏) Koordinat 𝑩′(𝟏, 𝟎)

𝑨(𝟏, 𝟎)

𝑨′(−𝟏, 𝟎)

𝑦 = 𝑥

𝑩(𝟎, 𝟏)

(𝟎,−𝟏)

𝑂(0, 0)

𝑂(0, 0)

𝑨(𝟏, 𝟎)

𝑨′(𝟎, 𝟏)

𝑦 = 𝑥

𝑩′(𝟏, 𝟎)

𝑩(𝟎, 𝟏)

𝑨′(𝟏, 𝟎)

𝑠𝑏 X

𝑠𝑏 X

𝑩(𝟎, 𝟏)

𝑩′(𝟎, −𝟏)



Pencerminan terhadap garis 𝒚 = −𝒙.

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap garis 𝑦 = −𝑥, maka titik A akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi 𝑨′(𝟎,−𝟏). dan titik B akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi 𝑩′(−𝟏, 𝟎). Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap garis 𝑦 = −𝑥 adalah:

𝑴𝒚=−𝒙 = (𝟎 −𝟏−𝟏 𝟎

)

Koordinat 𝑨′(𝟎,−𝟏) Koordinat 𝑩′(−𝟏, 𝟎)

Rotasi 90° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑶(𝟎, 𝟎).

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap rotasi 90° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0), maka titik A akan berpindah ke kiri atas, sehingga koordinatnya menjadi 𝑨′(𝟎, 𝟏). dan titik B akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi 𝑩′(−𝟏, 𝟎). Jadi matriks transformasi rotasi 90° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0):

𝑴𝑹(𝑶,𝟗𝟎°) = (𝟎 −𝟏𝟏 𝟎

)

Koordinat 𝑨′(𝟎, 𝟏) Koordinat 𝑩′(𝟏, 𝟎)

Rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑶(𝟎, 𝟎).

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0), maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi 𝑨′(−𝟏, 𝟎). dan titik B akan berpindah ke bawah, sehingga koordinatnya menjadi 𝑩′(𝟎,−𝟏). Jadi matriks transformasi rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0):

𝑴𝑹(𝑶,𝟏𝟖𝟎°) = (−𝟏 𝟎𝟎 −𝟏

)

Koordinat 𝑨′(−𝟏, 𝟎) Koordinat 𝑩′(𝟎,−𝟏)

𝑦 = −𝑥

𝑨(𝟏, 𝟎)

𝑨′(𝟎, −𝟏)

𝑦 = −𝑥

𝑩(𝟎, 𝟏)

𝑩′(−𝟏, 𝟎)

rotasi 90° berlawanan jarum jam

𝑨(𝟏, 𝟎)

𝑨′(𝟎, 𝟏)

𝑩(𝟎, 𝟏)

𝑩′(−𝟏, 𝟎)



𝑨(𝟏, 𝟎)

𝑨′(−𝟏, 𝟎)

𝑩(𝟎, 𝟏)

𝑩′(𝟎, −𝟏)




Rotasi 270° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑶(𝟎, 𝟎). atau sama dengan Rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat 𝑶(𝟎, 𝟎).

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap rotasi 270° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0) atau sama dengan rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0), maka titik A akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi 𝑨′(𝟎,−𝟏). dan titik B akan berpindah kanan bawah, sehingga koordinatnya menjadi 𝑩′(𝟏, 𝟎). Jadi matriks transformasi rotasi 270° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0) atau sama dengan rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0):

𝑴𝑹(𝑶,𝟐𝟕𝟎°) = 𝑴𝑹(𝑶,−𝟗𝟎°) = (𝟎 𝟏−𝟏 𝟎

)

Koordinat 𝑨′(𝟎, −𝟏) Koordinat 𝑩′(𝟏, 𝟎)

Dilatasi dengan faktor skala dilatasi sebesar 𝒌 dengan pusat 𝑶(𝟎, 𝟎).

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk dilatasi dengan faktor skala dilatasi sebesar 𝑘 dengan pusat 𝑂(0, 0), maka titik A berpindah sebesar faktor skala, sehingga koordinatnya menjadi 𝑨′(𝒌, 𝟎). dan titik B berpindah sebesar faktor skala, sehingga koordinatnya menjadi 𝑩′(𝟎, 𝒌). Jadi matriks transformasi dilatasi faktor skala dilatasi sebesar 𝑘 dan pusat 𝑂(0, 0):

𝑴𝑫(𝑶,𝒌) = (𝒌 𝟎𝟎 𝒌

)

Koordinat 𝑨′(𝒌, 𝟎) Koordinat 𝑩′(𝟎, 𝒌)

rotasi 270° berlawanan jarum jam rotasi 90° searah jarum jam

𝑨(𝟏, 𝟎)

𝑨′(𝟎, −𝟏)

𝑩′(𝟏, 𝟎)

𝑩(𝟎, 𝟏)

rotasi 270° berlawanan jarum jam rotasi 90° searah jarum jam

dilatasi dengan faktor skala k

𝑨(𝟏, 𝟎)

𝑨′(𝒌, 𝟎)

𝑩′(𝟎, 𝒌)

𝑩(𝟎, 𝟏)

dilatasi dengan faktor skala k



Pencerminan terhadap garis 𝒚 = 𝒎𝒙, dengan 𝒎 = 𝐭𝐚𝐧𝜽.

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑚𝑥 dengan 𝑚 = tan𝜃, maka titik A akan berputar sejauh 2𝜃, sehingga menjadi 𝑨′(𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽, 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽). dan titik B akan berputar sejauh −(90 − 2𝜃), sehingga menjadi 𝑩′(𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽,−𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽). Jadi matriks transformasi pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑚𝑥 dengan 𝑚 = tan 𝜃:

𝑴𝒚=𝒎𝒙 = (𝐜𝐨𝐬𝟐𝜽 𝐬𝐢𝐧𝟐𝜽𝐬𝐢𝐧𝟐𝜽 −𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽

)

Koordinat 𝑨′(𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽, 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽) Koordinat 𝑩′(𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽,− 𝐜𝐨𝐬𝟐𝜽)

Rotasi sebesar 𝜽 berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑶(𝟎, 𝟎).

Perhatikan sumbu koordinat di samping, Untuk pencerminan terhadap rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0), maka titik A akan berputar sejauh 𝜃, sehingga koordinatnya menjadi 𝑨′(𝐜𝐨𝐬 𝜽, 𝐬𝐢𝐧 𝜽). dan titik B akan berputar sejauh 𝜃, sehingga koordinatnya menjadi 𝑩′(−𝐬𝐢𝐧 𝜽, 𝐜𝐨𝐬 𝜽). Jadi matriks transformasi rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat 𝑂(0, 0):

𝑴𝑹(𝑶,𝜽) = (𝐜𝐨𝐬𝜽 −𝐬𝐢𝐧𝜽𝐬𝐢𝐧𝜽 𝐜𝐨𝐬𝜽

)

Koordinat 𝑨′(𝐜𝐨𝐬 𝜽, 𝐬𝐢𝐧 𝜽) Koordinat 𝑩′(−𝐬𝐢𝐧 𝜽, 𝐜𝐨𝐬 𝜽)

Kesimpulan LOGIKA PRAKTIS menyusun matriks transformasi acuan:

Dari semua matriks transformasi yang ada, satu hal yang penting dan yang perlu diingat adalah bagaimana konsep menyusun matriks transformasi tersebut , yaitu:

Kolom pertama matriks transformasi adalah bayangan titik 𝑨(𝟏, 𝟎) terhadap transformasi tersebut. Kolom kedua matriks transformasi adalah bayangan titik 𝑩(𝟎, 𝟏) terhadap transformasi tersebut.

𝑀 = (𝒂 𝒃𝒄 𝒅

) = (𝒙𝑨′ 𝒙𝑩

′

𝒚𝑨′ 𝒚𝑩

′)

𝑨(𝟏, 𝟎)

𝑩(𝟎, 𝟏)

𝜽

𝑨′(𝐜𝐨𝐬 𝜽 , 𝐬𝐢𝐧𝜽)

𝑩′(−𝐬𝐢𝐧 𝜽, 𝐜𝐨𝐬 𝜽) 𝜽

𝑨(𝟏, 𝟎)

𝜽

𝑨′(𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 , 𝐬𝐢𝐧𝟐𝜽)

𝜽

𝑩(𝟎, 𝟏)

𝑩′(𝐜𝐨𝐬 (𝟗𝟎° − 𝟐𝜽), − 𝐬𝐢𝐧(𝟗𝟎° − 𝟐𝜽)) atau dengan sifat kuadran

bisa diubah menjadi 𝑩′(𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽,− 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽)

𝟗𝟎° − 𝟐𝜽

𝜽

𝜽



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS untuk menyusun matriks transformasi TURUNAN.

Masih ingat matriks transformasi acuan kita. Oke saya ingatkan lagi! Berikut ini matriks acuan kita. Semuanya yang berwarna biru memang serba nol! Ini acuan kita.

Pencerminan:

terhadap garis 𝑦 = 𝟎 (sumbu X) terhadap garis 𝑥 = 𝟎 (sumbu Y) terhadap titik (0, 0) terhadap garis 𝑦 = ±𝑥 terhadap garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝟎

Rotasi

sebesar 𝜃 berlawanan arah jarum jam dengan pusat 𝑶(𝟎, 𝟎)

Dilatasi

faktor dilatasi 𝑘 dengan pusat 𝑶(𝟎, 𝟎)

Perhatikan yang saya tandai warna biru. Itu yang bisa berubah! Perhatikan perbedaannya dengan transformasi di bawah ini! Pencerminan:

pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝒃 pencerminan terhadap garis 𝑥 = 𝒂 pencerminan terhadap titik (𝒂, 𝒃) pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝒄

Rotasi

rotasi sebesar 𝜃 berlawanan arah jarum jam, tapi dengan pusat rotasi titik 𝑷(𝒂, 𝒃)

Dilatasi

dilatasi dengan faktor dilatasi 𝑘, tapi dengan pusat rotasi titik 𝑷(𝒂, 𝒃)

Tidak perlu khawatir lagi, gunakan LOGIKA PRAKTIS seperti ini: Pertama, lakukan translasi supaya kembali ke posisi transformasi acuan. Misal rotasi sebesar 𝜃, kok pusatnya di titik 𝑃(𝑎, 𝑏) bukan 𝑂(0, 0)?

Maka lakukan translasi (−𝑎−𝑏) pada titik tersebut, agar pusatnya menjadi ke 𝑂(0, 0)

(𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑏)

Kedua, lakukan transformasi rotasi yang dimaksud!

(𝑥′

𝑦′) = 𝑀𝑅(𝑃,𝜃) (

𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑏)

Ketiga, kembalikan hasil transformasi ke posisi semula dengan mentranslasi balik yaitu 𝑇 = (𝑎𝑏).

(𝑥′

𝑦′) = 𝑀𝑅(𝑃,𝜃) (

𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑏) + (

𝑎𝑏)

atau biasa ditulis dengan:

(𝑥′ − 𝒂𝑦′ − 𝒃

) = 𝑀𝑅(𝑃,𝜃) (𝑥 − 𝒂𝑦 − 𝒃)

Kesimpulan LOGIKA PRAKTIS menyusun matriks transformasi TURUNAN dari matriks transformasi ACUAN:

Ingat bentuk matriks transformasi ACUAN, lalu lakukan translasi pada kedua variabel titik awal maupun hasil akhir, sehingga bentuk matriks transformasi TURUNAN sebagai berikut:

(𝑥′ − 𝒂𝑦′ − 𝒃

) = 𝑀 (𝑥 − 𝒂𝑦 − 𝒃)



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS untuk Transformasi pada Kurva terhadap matriks transformasi 𝑻 = (𝒑 𝒒𝒓 𝒔

).

Masih ingat pengerjaan transformasi pada kurva? Asyik! Kalau transformasi sebuah titik, tinggal masukin aja ke persamaan matriks transformasi. Sedangkan apabila transformasi dilakukan pada sebuah kurva, maka perlu diinvers terlebih dahulu supaya muncul bentuk 𝑥 = … .atau 𝑦 = …. yang kemudian akan disubstitusikan ke persamaan. Nah, ini dia bentuk persamaan matriks transformasinya.

(𝑥𝑦) = 𝑀

−1 (𝑥′𝑦′)

Sekarang misal bunyi soalnya seperti ini: Diketahui persamaan 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎, maka bayangan persamaan tersebut oleh transformasi yang

bersesuaian dengan matriks (𝒑 𝒒𝒓 𝒔

) adalah …. ???

Nah, misalkan matriks transformasi 𝑀 adalah 𝑇 = (𝑝 𝑞𝑟 𝑠

) dan |𝑀| adalah determinan matriks transformasi

tersebut, maka persamaan matriks transformasi menjadi:

(𝑥𝑦) = 𝑀

−1 (𝑥′𝑦′)

⇒ (𝑥𝑦) =

1

|𝑀|(𝑠 −𝑞−𝑟 𝑝 ) (

𝑥′

𝑦′)

Dari persamaan matriks tersebut diperoleh:

𝑥 =1

|𝑀|(𝑠𝑥′ − 𝑞𝑦′)

𝑦 =1

|𝑀|(−𝑟𝑥′ + 𝑝𝑦′)

Substitusikan 𝑥 dan 𝑦 pada persamaan 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, maka akan diperoleh:

𝑎 [1

|𝑀|(𝑠𝑥′ − 𝑞𝑦′)] + 𝑏 [

1

|𝑀|(−𝑟𝑥′ + 𝑝𝑦′)] + 𝑐 = 0 (kalikan semua ruas dengan |𝑀|)

⇒ 𝑎(𝑠𝑥′ − 𝑞𝑦′) + 𝑏(−𝑟𝑥′ + 𝑝𝑦′) + |𝑀|𝑐 = 0

⇔ 𝑎𝑠𝑥′ − 𝑎𝑞𝑦′ − 𝑏𝑟𝑥′ + 𝑏𝑝𝑦′ + |𝑀|𝑐 = 0

⇔ 𝑎𝑠𝑥′ − 𝑏𝑟𝑥′ + 𝑏𝑝𝑦′ − 𝑎𝑞𝑦′ + |𝑀|𝑐 = 0

⇔ (𝑎𝑠 − 𝑏𝑟)𝑥′ + (𝑏𝑝 − 𝑎𝑞)𝑦′ + |𝑀|𝑐 = 0

⇔ |𝑎 𝑏𝑟 𝑠

| 𝑥′ + |𝑝 𝑞𝑎 𝑏

|𝑦′ + |𝑝 𝑞𝑎 𝑏

| 𝑐 = 0

TRIK SUPERKILAT:

Jadi rumus cepat untuk bayangan garis 𝒂𝑥 + 𝒃𝑦 + 𝒄 = 0 terhadap matriks transformasi 𝑇 = ( 𝒑 𝒒𝒓 𝒔

):

|𝒂 𝒃𝒓 𝒔

| 𝑥 + |𝒑 𝒒𝒂 𝒃

| 𝑦 + |𝒑 𝒒𝒓 𝒔

| 𝑐 = 0



Tipe Soal yang Sering Muncul

Menentukan bayangan transformasi tunggal terhadap sebuah titik. Contoh Soal 1:

Bayangan dari titik 𝐴(3,−5) oleh transformasi 𝑇 = (23) adalah ….

a. (5, −8) b. (5, −2) c. (1, −2) d. (−5, 2) e. (−5, 8)

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep translasi diperoleh:

(𝑥′

𝑦′) = (

𝑥𝑦) + (

𝑎𝑏) = (

3−5) + (

23) = (

5−2)

Contoh Soal 2: Bayangan dari titik 𝐵(3,−5) oleh pencerminan terhadap garis 𝑦 = −2 adalah …. a. (5, −8) b. (5, −2) c. (1, −2) d. (−5, 2) e. (−5, 8)

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pencerminan maka kita harus mengembalikan ke garis acuan yaitu 𝑦 = 0

alias sumbu X, masih ingat kan matriks transformasinya?

(𝑥′

𝑦′ + 2) = 𝑀𝑠𝑏𝑋 (

𝑥𝑦 + 2)

⇒ (𝑥′

𝑦′ + 2) = (

1 00 −1

) (3

(−5) + 2)

⇔ (𝑥′

𝑦′ + 2) = (

1 00 −1

) (3−3)

⇔ (𝑥′

𝑦′) + (

02) = (

33)

⇔ (𝑥′

𝑦′) = (

33) − (

02)

⇔ (𝑥′

𝑦′) = (

31)

Atau menggunakan pemetaan:

𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑀𝑦=𝒃 → 𝐴′(𝑥, 𝟐𝒃 − 𝑦)

Jadi: 𝑥′ = 𝑥 = 3 𝑦′ = 2𝑏 − 𝑦 = 2(−2) − (−5) = −4 + 5 = 1

Jadi bayangan titik tersebut adalah 𝐵′(3, 1) Atau menggunakan grafik. (3, 1) 𝑦 = −2 (3, −5)



Contoh Soal 3: Bayangan dari titik 𝐶(−2, 1) oleh rotasi sebesar 45° dengan pusat (1, 2) adalah ….

a. (1 − √2, 2 − √2)

b. (2 − √2, 1 − √2)

c. (−1 + √2, 1 − √2)

d. (2 + √2, 2 − √2)

e. (1 − √2, 2 + √2)

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep rotasi maka kita harus mengembalikan rotasi acuan dengan pusat 𝑂(0, 0)

masih ingat kan matriks transformasinya?

(𝑥′ − 1𝑦′ − 2

) = 𝑀𝑅(𝑂,45°) (𝑥 − 1𝑦 − 2

)

⇒ (𝑥′ − 1𝑦′ − 2

) = (cos 45° −sin 45°sin45° cos 45°

) (−2 − 11 − 2

)

⇔ (𝑥′ − 1𝑦′ − 2

) = (

1

2√2 −

1

2√2

1

2√2

1

2√2

)(−3−1)

⇔ (𝑥′

𝑦′) + (

−1−2) = (

−3

2√2 +

1

2√2

−3

2√2 −

1

2√2

)

⇔ (𝑥′

𝑦′) + (

−1−2) = (

−√2

−2√2)

⇔ (𝑥′

𝑦′) = (

−√2

−2√2) − (

−1−2)

⇔ (𝑥′

𝑦′) = ( 1 − √2

2 − 2√2)

Contoh Soal 4: Bayangan dari titik 𝐷(4, 2) oleh dilatasi dengan faktor dilatasi −2 dan pusat (0, 5) adalah …. a. (8, 4) b. (8, 1) c. (−8, 1) d. (−8, 3) e. (−8, 11)

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep dilatasi maka kita harus mengembalikan ke dilatasi acuan pusat 𝑂(0, 0)

masih ingat kan matriks transformasinya?

(𝑥′

𝑦′ − 5) = 𝑀𝐷(𝑂,−2) (

𝑥𝑦 − 5)

⇒ (𝑥′

𝑦′ − 5) = (

−2 00 −2

) (4

2 − 5)

⇔ (𝑥′

𝑦′ − 5) = (

−2 00 −2

) (4−3)

⇔ (𝑥′

𝑦′) + (

0−5) = (

−86)

⇔ (𝑥′

𝑦′) = (

−86) − (

0−5)

⇔ (𝑥′

𝑦′) = (

−811)



Menentukan bayangan komposisi transformasi terhadap sebuah titik. Bayangan dari titik 𝐸(2, 0) oleh pencerminan terhadap sumbu X dan dilanjutkan dengan rotasi 90° terhadap titik asal 𝑂(0, 0) adalah …. a. (2, 0) b. (2, −2) c. (1, 2) d. (0, 2) e. (0, −2)

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep komposisi transformasi maka:

(𝑥′

𝑦′) = 𝑀𝑅(𝑂,90°) ∘ 𝑀𝑠𝑏𝑋 (

𝑥𝑦)

⇒ (𝑥′

𝑦′) = (

0 −11 0

) (1 00 −1

) (20)

⇔ (𝑥′

𝑦′) = (

0 11 0

) (20)

⇔ (𝑥′

𝑦′) = (

02)

Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS: Untuk mencari matriks komposisi transformasi dapat dilakukan langkah sebagai berikut: Titik A(1, 0) di transformasikan sebagai berikut: Dicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan rotasi 90°, hasilnya 𝐴′(0, 1) Titik B(0, 1) ditransformasikan sebagai berikut: Dicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan rotasi 90°, hasilnya 𝐵′(1, 0) Maka matriks komposisi transformasinya adalah:

𝑀 = (0 11 0

)

Sehingga,

(𝑥′

𝑦′) = 𝑀 (

𝑥𝑦)

⇒ (𝑥′

𝑦′) = (

0 11 0

) (20)

⇔ (𝑥′

𝑦′) = (

02)

Selesai!



Menentukan bayangan transformasi tunggal terhadap sebuah kurva. Contoh Soal 1:

Bayangan dari kurva 3𝑥 − 2𝑦 = 7 oleh transformasi 𝑇 = (25) adalah ….

a. 3𝑥 − 2𝑦 = 3 b. 3𝑥 − 2𝑦 = 5 c. 3𝑥 − 2𝑦 = 9 d. 3𝑥 − 2𝑦 = 11 e. 3𝑥 − 2𝑦 = 23

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep translasi diperoleh:

(𝑥′

𝑦′) = (

𝑥𝑦) + (

𝑎𝑏) 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 ⇒ (

𝑥𝑦) = (

𝑥′

𝑦′) − (

𝑎𝑏)

(𝑥𝑦) = (

𝑥′

𝑦′) − (

𝑎𝑏)

⇒ (𝑥𝑦) = (

𝑥′

𝑦′) − (

25)

⇔ (𝑥𝑦) = (

𝑥′ − 2𝑦′ − 5

) ⇒𝑥 = 𝑥′ − 2𝑦 = 𝑦′ − 5

Sehingga, substitusi nilai 𝑥 dan 𝑦 pada persamaan 3𝑥 − 2𝑦 = 7, diperoleh:

⇒ 3(𝑥′ − 2) − 2(𝑦′ − 5) = 7

⇔ 3𝑥′ − 6 − 2𝑦′ + 10 = 7

⇔ 3𝑥′ − 2𝑦′ + 4 = 7

⇔ 3𝑥′ − 2𝑦′ = 7 − 4

⇔ 3𝑥′ − 2𝑦′ = 3

Jadi persamaan bayangannya adalah 3𝑥 − 2𝑦 = 3

TRIK SUPERKILAT:

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄 𝑻=(

𝒑𝒒)

→ 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄 + 𝒂𝒑 + 𝒃𝒒

3𝑥 − 2𝑦 = 7 𝑇=(

25)

→ 3𝑥 − 2𝑦 = 7 + 3(2) − 2(5)⇒ 3𝑥 − 2𝑦 = 7 + 6 − 10⇒ 3𝑥 − 2𝑦 = 3



Contoh Soal 2: Bayangan dari kurva 𝑦 = 2𝑥2 + 3𝑥 − 1 oleh pencerminan terhadap sumbu Y adalah …. a. 𝑦 = 2𝑥2 + 3𝑥 − 1 b. 𝑦 = −2𝑥2 + 3𝑥 − 1 c. 𝑦 = 2𝑥2 − 3𝑥 − 1 d. 𝑦 = −2𝑥2 − 3𝑥 − 1 e. 𝑦 = 3𝑥2 − 2𝑥 − 1

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pencerminan terhadap sumbu Y diperoleh:

(𝑥′

𝑦′) = (

−1 00 1

) (𝑥𝑦) ⇒

𝑥′ = −𝑥𝑦′ = 𝑦

𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 ⇒

𝑥 = −𝑥′

𝑦 = 𝑦′

Sehingga, substitusi nilai 𝑥 dan 𝑦 pada persamaan 𝑦 = 2𝑥2 + 3𝑥 − 1, diperoleh:

⇒ 𝑦 = 2𝑥2 + 3𝑥 − 1

⇔ 𝑦′ = 2(−𝑥′)2 + 3(−𝑥′) − 1

⇔ 𝑦′ = 2𝑥′2− 3𝑥′ − 1

Jadi persamaan bayangannya adalah 𝑦 = 2𝑥2 − 3𝑥 − 1.

TRIK SUPERKILAT: Untuk transformasi pada sebuah kurva, apabila matriksnya mudah untuk diinvers maka tidak perlu menggunakan invers matriks, cukup inverskan dengan cara biasa saja. Contohnya matriks transformasi yang elemennya 0 atau 1. Gunakan invers matriks apabila matriksnya sukar untuk diinvers dengan cara biasa.

Contoh Soal 3: Bayangan dari kurva 𝑦 = 4𝑥2 − 1 oleh pencerminan terhadap rotasi sebesar sudut 𝜃 = 𝜋 dengan pusat 𝑃(1, 2) adalah …. a. 𝑦 = −4𝑥2 + 16𝑥 − 11 b. 𝑦 = 4𝑥2 + 16𝑥 − 11 c. 𝑦 = −4𝑥2 − 16𝑥 − 11 d. 𝑦 = −4𝑥2 − 16𝑥 + 11 e. 𝑦 = 4𝑥2 − 16𝑥 + 11

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep rotasi sebesar 180° terhadap pusat 𝑃(1, 2) diperoleh:

(𝑥′ − 1𝑦′ − 2

) = (−1 00 −1

)(𝑥 − 1𝑦 − 2

) 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 ⇒ (

𝑥 − 1𝑦 − 2

) = (−1 00 −1

) (𝑥′ − 1𝑦′ − 2

)

(𝑥 − 1𝑦 − 2

) = (−1 00 −1

) (𝑥′ − 1𝑦′ − 2

)

⇒ (𝑥𝑦) + (

−1−2) = (

−𝑥′ + 1−𝑦′ + 2

)

⇔ (𝑥𝑦) = (

−𝑥′ + 1−𝑦′ + 2

) − (−1−2)

⇔ (𝑥𝑦) = (

−𝑥′ + 2−𝑦′ + 4

) ⇒𝑥 = −𝑥′ + 2𝑦 = −𝑦′ + 4

Sehingga, substitusi nilai 𝑥 dan 𝑦 pada persamaan = 4𝑥2 − 1 , diperoleh:

⇒ 𝑦 = 4𝑥2 − 1

⇔ −𝑦′ + 4 = 4(−𝑥′ + 2)2 − 1

⇔ −𝑦′ + 4 = 4(𝑥′2− 4𝑥′ + 4) − 1

⇔ −𝑦′ = 4𝑥′2− 16𝑥′ + 16 − 1 − 4

⇔ −𝑦′ = 4𝑥′2− 16𝑥′ + 11

⇔ 𝑦′ = −4𝑥′2+ 16𝑥′ − 11

Jadi persamaan bayangannya adalah 𝑦 = −4𝑥2 + 16𝑥 − 11.



Contoh Soal 4: Bayangan dari kurva 2𝑦 = 6𝑥 − 1 oleh pencerminan terhadap dilatasi dengan faktor skala 2 dengan pusat 𝑃(1, 0) adalah …. a. (5, −8) b. (5, −2) c. (1, −2) d. (−5, 2) e. (−5, 8)

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep dilatasi dengan faktor skala 2 terhadap pusat 𝑃(1, 0) diperoleh:

(𝑥′ − 1𝑦′

) = (2 00 2

) (𝑥 − 1𝑦) 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 ⇒ (

𝑥 − 1𝑦) =

1

4(2 00 2

) (𝑥′ − 1𝑦′

)

⇒ (𝑥𝑦) + (

−10) =

1

4(2𝑥′ − 22𝑦′

)

⇔ (𝑥𝑦) =

1

4(2𝑥′ − 22𝑦′

) − (−10)

⇔ (𝑥𝑦) = (

1

2𝑥′ −

1

21

2𝑦′

)− (−10)

⇔ (𝑥𝑦) = (

1

2𝑥′ +

1

21

2𝑦′

) ⇒𝑥 =

1

2𝑥′ +

1

2

𝑦 =1

2𝑦′

Sehingga, substitusi nilai 𝑥 dan 𝑦 pada persamaan 2𝑦 = 6𝑥 − 1 , diperoleh:

⇒ 2𝑦 = 6𝑥 − 1

⇔ 2(1

2𝑦′) = 6 (

1

2𝑥′ +

1

2) − 1

⇔ 𝑦′ = 3𝑥′ + 3 − 1

⇔ 𝑦′ = 3𝑥′ + 2

Jadi persamaan bayangannya adalah 𝑦 = 3𝑥 + 2.



Contoh Soal 5:

Bayangan dari kurva 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks (2 −31 −1

) adalah

…. a. 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 b. 2𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 c. 𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 d. 𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0 e. −𝑥 − 𝑦 + 3 = 0

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep matriks transformasi diperoleh:

(𝑥′

𝑦′) = (

2 −31 −1

) (𝑥 − 1𝑦) 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 ⇒ (

𝑥𝑦) =

1

1(−1 3−1 2

) (𝑥′

𝑦′)

⇒ (𝑥𝑦) = (

−𝑥′ + 3𝑦′

−𝑥′ + 2𝑦′) ⇒

𝑥 = −𝑥′ + 3𝑦′

𝑦 = −𝑥′ + 2𝑦′

Sehingga, substitusi nilai 𝑥 dan 𝑦 pada persamaan 2𝑦 = 6𝑥 − 1 , diperoleh:

⇒ 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0

⇔ (−𝑥′ + 3𝑦′) − 2(−𝑥′ + 2𝑦′) + 3 = 0

⇔ −𝑥′ + 3𝑦′ + 2𝑥′ − 4𝑦′ + 3 = 0

⇔ −𝑥′ + 2𝑥′ + 3𝑦′ − 4𝑦′ + 3 = 0

⇔ 𝑥′ − 𝑦′ + 3 = 0

Jadi persamaan bayangannya adalah 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 TRIK SUPERKILAT

Bayangan garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 terhadap matriks transformasi 𝑇 = ( 𝑝 𝑞𝑟 𝑠

):

|𝑎 𝑏𝑟 𝑠

| 𝑥 + |𝑝 𝑞𝑎 𝑏

| 𝑦 + |𝑝 𝑞𝑟 𝑠

| 𝑐 = 0

Bayangan garis 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0 terhadap matriks transformasi 𝑇 = ( 2 −31 −1

):

|1 −21 −1

| 𝑥 + |2 −31 −2

|𝑦 + |2 −31 −1

| 𝑐 = 0

⇒ (−1 − (−2))𝑥 + (−4 − (−3))𝑦 + (−2 − (−3))3 = 0

⇒ 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0



Menentukan bayangan komposisi transformasi terhadap sebuah kurva. Contoh Soal 1: Bayangan garis 2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0 oleh refleksi terhadap garis 𝑦 = 𝑥 diikuti oleh rotasi dengan pusat 𝑂(0, 0) sejauh setengah putaran adalah …. a. 3𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0 b. 2𝑥 + 3𝑦 + 6 = 0 c. −3𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0 d. −2𝑥 + 2𝑦 + 6 = 0 e. 3𝑥 + 2𝑦 + 6 = 0

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep komposisi matriks transformasi diperoleh:

(𝑥′

𝑦′) = (𝑇2 ∘ 𝑇1) (

𝑥𝑦)

(𝑥′

𝑦′) = 𝑀𝑅(𝑂,180°)𝑀𝑦=𝑥 (

𝑥𝑦)

(𝑥′

𝑦′) = (

−1 00 −1

)(0 11 0

) (𝑥𝑦)

(𝑥′

𝑦′) = (

0 −1−1 0

)(𝑥𝑦)

(𝑥′𝑦′) = (

−𝑦−𝑥) 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 ⇒

𝑥 = −𝑦′

𝑦 = −𝑥′

Sehingga, substitusi nilai 𝑥 dan 𝑦 pada persamaan 2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0 , diperoleh:

⇒ 2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0

⇔ 2(−𝑦′) − 3(−𝑥′) + 6 = 0

⇔ 3𝑥′ − 2𝑦′ + 6 = 0

Jadi persamaan bayangannya adalah 3𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0

Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS: Untuk mencari matriks komposisi transformasi dapat dilakukan langkah sebagai berikut: Titik A(1, 0) dicerminkan oleh garis 𝑦 = 𝑥 dilanjutkan rotasi 180° pusat O, hasilnya 𝐴′(0, −1) Titik B(0, 1) dicerminkan oleh garis 𝑦 = 𝑥 dilanjutkan rotasi 180° pusat O, hasilnya 𝐵′(−1, 0) Maka matriks komposisi transformasinya adalah:

𝑀 = (0 −1−1 0

)

Sehingga,

(𝑥′

𝑦′) = (

0 −1−1 0

)(𝑥𝑦)

(𝑥′𝑦′) = (

−𝑦−𝑥) 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 ⇒

𝑥 = −𝑦′

𝑦 = −𝑥′

Sehingga, substitusi nilai 𝑥 dan 𝑦 pada persamaan 2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0 , diperoleh:

⇒ 2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0

⇔ 2(−𝑦′) − 3(−𝑥′) + 6 = 0

⇔ 3𝑥′ − 2𝑦′ + 6 = 0

Jadi persamaan bayangannya adalah 3𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0



Contoh Soal 2: Bayangan garis 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 + 2 oleh pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi pusat 𝑂(0, 0) dan faktor skala 3 adalah …. a. 𝑥2 − 9𝑥 − 3𝑦 + 18 = 0 b. 𝑥2 − 9𝑥 + 3𝑦 + 18 = 0 c. 𝑥2 − 3𝑥 + 9𝑦 + 18 = 0 d. 𝑥2 + 9𝑥 − 3𝑦 − 18 = 0 e. 𝑥2 − 9𝑥 − 3𝑦 − 18 = 0

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep komposisi matriks transformasi diperoleh:

(𝑥′

𝑦′) = (𝑇2 ∘ 𝑇1) (

𝑥𝑦)

(𝑥′

𝑦′) = 𝑀𝐷(𝑂,3)𝑀𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢𝑋 (

𝑥𝑦)

(𝑥′

𝑦′) = (

3 00 3

) (1 00 −1

)(𝑥𝑦)

(𝑥′

𝑦′) = (

3 00 −3

) (𝑥𝑦)

(𝑥′𝑦′) = (

3𝑥−3𝑦

) 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 ⇒

𝑥 =1

3𝑥′

𝑦 = −1

3𝑦′

Sehingga, substitusi nilai 𝑥 dan 𝑦 pada persamaan 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 + 2 , diperoleh:

⇒ 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 + 2

⇔ −1

3𝑦′ = (

1

3𝑥′)

2

− 3(1

3𝑥′) + 2

⇔ −1

3𝑦′ =

1

9𝑥′2− 𝑥′ + 2 (kalikan semua ruas dengan 9)

⇔ −3𝑦′ = 𝑥′2− 9𝑥′ + 18

⇔ 𝑥′2− 9𝑥′ + 3𝑦′ + 18 = 0

Jadi persamaan bayangannya adalah 𝑥2 − 9𝑥 + 3𝑦 + 18 = 0

Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS: Untuk mencari matriks komposisi transformasi dapat dilakukan langkah sebagai berikut:

Titik A(1, 0) diicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan dilatasi dengan faktor dilatasi 3 pusat O, hasilnya 𝐴′(3, 0)

Titik B(0, 1) diicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan dilatasi dengan faktor dilatasi 3 pusat O, hasilnya 𝐵′(0, −3)

Maka matriks komposisi transformasinya adalah:

𝑀 = (3 00 −3

)

Dan seterusnya, setelah komposisi matriks transformasi ketemu maka langkah selanjutnyanya sama dengan penyelesaian cara biasa di atas.



Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Bayangan garis 52 yx bila ditransformasi dengan matriks transformasi

21

53 dilanjutkan dengan

pencerminan terhadap sumbu X adalah ....

A. 5411 yx

B. 524 yx

C. 5114 yx

D. 553 yx

E. 5113 yx

2. Bayangan kurva 293 xxy jika dirotasi dengan pusat O (0, 0) sejauh 90° dilanjutkan dengan dilatasi

dengan pusat O (0, 0) dan faktor skala 3 adalah ....

A. yyx 33 2

B. yyx 32

C. yyx 33 2

D. xxy 33 2

E. yxy 32

3. Bayangan kurva 332 xxy jika dicerminkan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi pusat O

dan faktor skala 3 adalah ....

A. 027392 yxx

B. 027392 yxx

C. 02793 2 yxx

D. 02793 2 yxx

E. 02793 2 xx

4. Persamaan bayangan lingkaran 422 yx bila dicerminkan terhadap garis 2x dilanjutkan dengan

translasi

4

3 adalah ....

A. 0138222 yxyx

B. 0138222 yxyx

C. 0138222 yxyx

D. 0138222 yxyx

E. 0132822 yxyx

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

TIPS SUPERKILAT:

Bayangan garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 terhadap matriks transformasi 𝑇 = ( 𝑝 𝑞𝑟 𝑠

):

|𝑎 𝑏𝑟 𝑠

| 𝑥 + |𝑝 𝑞𝑎 𝑏

| 𝑦 + |𝑝 𝑞𝑟 𝑠

| 𝑐 = 0

𝑇1 = (3 51 2

) ; 𝑇2 =𝑀𝑠𝑏 𝑥

(1 00 −1

) ; 𝑇 = 𝑇2 ∘ 𝑇1 = (1 00 −1

) (3 51 2

) = (3 5−1 −2

)

Bayangan garis 𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 terhadap matriks transformasi T adalah : |1 −2−1 −2

| 𝑥 + |3 51 −2

| 𝑦 + |3 5−1 −2

| (−5) = 0 ⇒ −4𝑥 − 11𝑦 + 5 = 0

⇒ 4𝑥 + 11𝑦 = 5

𝑇1 = (0 −11 0

) ; 𝑇2 = (3 00 3

)

𝑇2 ∘ 𝑇1 = (3 00 3

) (0 −11 0

) = (0 −33 0

)

(𝑥′

𝑦′) = (

0 −33 0

) (𝑥𝑦)

𝑥′ = −3𝑦 ⇒ 𝑦 = −1

3𝑥′

𝑦′ = 3𝑥 ⇒ 𝑥 =1

3𝑦′

𝑦 = 3𝑥 − 9𝑥2 ⇒ (−1

3𝑥′) = 3 (

1

3𝑦′) − 9 (

1

3𝑦′)

2

⇔ −1

3𝑥′ = 𝑦′ − 𝑦′2 (dikali − 3)

⇔ 𝑥′ = 3𝑦′2− 3𝑦′

𝑇1 = (0 −11 0

) ; 𝑇2 = (3 00 3

)

𝑇2 ∘ 𝑇1 = (3 00 3

) (1 00 −1

) = (3 00 −3

)

(𝑥′

𝑦′) = (

3 00 −3

) (𝑥𝑦)

𝑥′ = 3𝑥 ⇒ 𝑥 =1

3𝑥′

𝑦′ = −3𝑦 ⇒ 𝑦 = −1

3𝑦′

𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 + 3

⇒ (−1

3𝑦′) = (

1

3𝑥)2

+ 3(1

3𝑥′) + 3

⇔ −1

3𝑦′ =

1

9𝑥′2 + 𝑥′ + 3 (dikali − 9)

⇔ −3𝑦′ = 𝑥′2 + 9𝑥′ + 27

⇔ 0 = 𝑥′2 + 9𝑥′ + 3𝑦′ + 27

(𝑥, 𝑦) 𝑀𝑥=2 → (4 − 𝑥, 𝑦)

(−34)

→ (1 − 𝑥, 𝑦 + 4)

𝑥′ = 1 − 𝑥 ⇒ 𝑥 = 1 − 𝑥′ 𝑦′ = 𝑦 + 4 ⇒ 𝑦 = 𝑦′ − 4 𝑥2 + 𝑦2 = 4 ⇒ (1 − 𝑥)2 + (𝑦 − 4)2 = 4

⇔ 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦2 − 8𝑥 + 16 = 4

⇔ 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 8𝑦 + 17 = 4

⇔ 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 8𝑦 + 17 − 4 = 0

⇔ 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 8𝑦 + 13 = 0

TRIK SUPERKILAT:

Bayangkan titik pusat (0, 0) dicerminkan terhadap 𝑥 = 2, akan berpindah ke (0, 4), lalu ditranslasi -3 satuan di sumbu X, dan 4 satuan di sumbu Y, maka titik tersebut sekarang berada di (1, 4).

Jadi persamaan lingkaran dengan pusat (1, 4) adalah jawaban A!!!


http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html