SISTEM PERSAMAAN LINEAR Persamaan Linear Sistem Persamaan Linear Metode Eliminasi Matriks-Matriks Yang Diperbanyak Persamaan Linear Adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat 1. Misal : - a1x + a2y = b Sebuah persamaan jenis ini disebut sebuah Persamaan Linear dalam peubah x dan y. Secara lebih umum kita mendefinisikan suatu persamaan linear dalam n peubah x1,x2, ,xn sebagai suatu persamaan yang bisa disajikan dalam bentuk : a1x1+a2x2++anxn = b Dengan a1,a2,,an dan b konstanta real. Peubah-peubah dalam suatu persamaan linear kadang-kadang disebut yang tak diketahui. Contoh-contoh Persamaan Linear Bukan Persamaan Linear 2x + y = 3 (persamaan Linear) x + 3y2 = 7 (bukan persamaan Linear karena y berpangkat 2)

Sistem Persamaan Linear Persamaan Linear yang lebih dari satu persamaan. Tidak semua Sistem Persamaan mempunyai penyelesaian. Misalnya jika kita mengalikan persamaan kedua sistem : x+y =4 2x + 2y = 6 dengan , akan terbukti bahwa tidak ada penyelesaian karena sistem dihasilkan x +y = 4 x+y=3 mempunyai persamaan yang kontradiksi. Sebuah sistem persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian disebut sebagai persamaan yang tak konsisten jika paling tidak ada satu penyelesaian, maka persamaan itu disebut Konsisten. ekuivalen yang

1

Persamaan-persamaan linear tersebut dapat di buat dalam suatu grafik yang berbentuk garis, karena suatu titik(x,y) terletak dalam suatu garis jika dan hanya jika angka x dan y memenuhi persamaan garis tersebut, penyelesaian sistem persamaan tersebut berpadanan dengan titik-titik potong g1 dan g2,sehingga terdapat 3 kemungkinan : Garis g1 dan g2 mungkin sejajar, dimana tidak ada perpotongan dan akibatnya tidak ada penyelesaian terhadap sistem tersebut. Garis g1 dan g2 mungkin berpotongan hanya di satu titik,dimana sistem tersebut tepat mempunyai satu persamaan. Garis g1 dan g2 mungkin berimpitan,dimana ada tak terhingga titik potong dan akibatnya ada banyak penyelesaian untuk sistem tersebut. Metode Eliminasi Ada 3 Operasi dasar yang dapat dilakukan pada sistem persamaan linear tanpa mengubah jawaban sistem persamaan tersebut. 1. mengubah urutan persamaan pada sistem tersebut. 2. mengalikan sebuah persamaan dari sistem dengan bilangan tak nol. 3. untuk sembarang bilangan real, 0. Matriks-Matriks Yang Diperbanyak Untuk menyusun matriks-matriks yang diperbanyak peubah-peubah harus ditulis dalam urutan yang sama dalam setiap persamaan dan konstanta harus berada disebelah kanan. operasi baris elementer Ada Tiga operasi yang dapat dilakukan pada suatu system persamaan linear tanpa mengubah jawabannya. Ketiga operasi tersebut, yaitu : Menukar letak dari dua baris matriks tersebut Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol Tambahkan perkalian dari suatu baris ke baris lainnya Ketiga operasi ini dapat dijalankan pada matriks lengkapnya dan disebut operasi baris elementer

2

Adapun notasi ketiga baris tersebut adalah : 1. Menukar baris ke-i dan ke j : Bij2. Mengalikan baris ke-i dengan bilangan c, c 0 : Bi (c)

3. Mengalikan baris ke-i dengan c, ditambahkan pada pada baris ke-j : Bji (c) Contoh 1 :

Contoh 2 :

Contoh 3:

Eselon Baris Bentuk Eselon-baris Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :1. Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).

2. Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.3. Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus

berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.4. Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks

tersebut disebut Eselon-baris tereduksi Contoh : Syarat 1: baris pertama disebut leading 1:1 0 0 2 8 0 5 2 5 3 7 0

Syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 21 0 0 2 8 0 5 2 0 3 7 0

3

Contoh syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 31 0 0 2 1 0 0 2 0 3 7 0

syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Eselon-baris tereduksi1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 , 0 0 1 0 0 1 0 0 0 2 3 0 0 5 0 6

Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss Jordan 1. Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselonbaris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Contoh : Diketahui persamaan linear x + 2y + z = 6 x + 3y + 2z = 9 2x + y + 2z = 12 Tentukan Nilai x, y dan z Jawab: Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

Setelah itu operasikan Matriks tersebut : Baris ke 2 dikurangi baris ke 1

4

Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1

Baris ke 3 ditambah 3 kali baris ke 2

Baris ke 3 dibagi dengan 3(Matriks menjadi Eselon-baris)

Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu x + 2y + z = 6 y+z=3 z=3

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan: y+z=3 y+3=3 y=0 x + 2y + z = 6 x+0+3=6 x=3 Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3 2. Eliminasi Gauss Jordan Contoh: Diketahui persamaan linear x + 2y + 3z = 3 2x + 3y + 2z = 3 2x + y + 2z = 5 Tentukan Nilai x, y dan z Jawab:Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 15

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1 Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1

Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2

Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1

Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3

Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3

Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi Eselon baris tereduksi)

Maka didapatkan nilai dari : x = 2 , y = 1,6

z=1

MATRIKSPengertian Matriks Matriks adalah susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan atau unsur-unsur (elemen-elemen) yang teratur dalam baris dan kolom. Matriks juga bisa di definisikan sebagai suatu susunan bilangan yang berbentuk segiempat. Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut anggota dalam matriks tersebut. A= Banyaknya elemen dari matriks dinyatakan dengan m x n, dimana m menyatakan banyaknya baris, dan n menyatakan banyaknya kolom dari matriks tersebut. Notasi Matriks Elemen matriks dapat ditulis dengan tanda kurung siku kurung besar atau dalam tanda

. Notasi matriks dinyatakan dengan huruf capital , sedangkan

elemen-elemennya dengan huruf kecil. Maka matriks A di atas dapat dinotasikan dengan : ke-I dan kolom ke-j matriks A dinotasikan dengan m x n atau = atau elemen baris

Matriks yang mempunyai satu baris saja disebut matriks baris dan sebaliknya. Secara umum matriks baris atau matriks kolom lebih sering dinyatakan dengan huruf kecil

dicetak tebal, missal : a =

;b=

Ukuran dan Operasi pada Matriks

7

Ukuran matriks diberikan oleh jumlah baris dan kolom yang dikandungnya. Misalkan, matriks B= , mempunyai 2 baris dan 3 kolom, sehingga ukurannya adalah

2x3. Dua ukuran matriks didefinisikan sama jika mempunyai ukuran yang sama dan anggota-anggotanya yang berpadanan sama. Jika 2 matriks berukuran sama, maka jumlah dari kedua matriks tersebut adalah menjumlahkan anggota-anggotanya yang sepadan. Matriks yang mempunyai ukuran yang berbeda tidak bias untuk dijumlahkan atau dikurangkan. Jika matriks A = m x r dan meatriks B = r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n. Untuk mencari anggota-anggota dalam baris i dan kolom j dari AB, pilih baris i dari matriks A dan kolom j dan matriks B. Kalikan anggota-anggota yang berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya. Partisi Matriks Sebuah matriks dapat dipartisi ke dalam matriks yang lebih kecil dengan menyisipkan garis horizontal atau vertikal diantara baris atau kolom yang ditentukan. Misalkan matriks A berukuran m x n dapat dipartisi menjadi : A= =

A=

=

A=

=

Invers dan Kaidah Aritmatika Matriks Diasumsikan bahwa matriks memenuhi sehinga operasi aritmatik matriks tersebut valid, meliputi : a. A + B = B + A b. A +(B+C) = (A+B)+ C c. A(BC) = (AB) C8

d. A(B+C) = AB + AC e. (B+C)A = BA + CA f. f. A(B-C)=AB-AC g. (B-C)A=BA-BC h. a(B+C)=aB+aC i. (a+b)C=aC+bC j.(a+b)C=aC-bC k.a(bC)=abC l.a(BC)=(aB)C=B(aC) Invers Matriks Jika A sebuah Matriks Segi (bujur sangkar), dan matriks B berukuran sama didapatkan sedemikian hingga AB = BA = I, maka A disebut bias terbalik (invertible) dan B disebut invers A Contoh : B = adalah invers dari A = maka inversnya adalah = =

Teorema : missal A =

SIFAT SIFAT INVERS 1.Invers suatu matriks bersifat unik. jika B dan C keduanya merupakan invers dari A maka B=C. 2.Suatu hasil kali berapapun banyaknya matriks yang bisa dibalik adalah matriks yang bisa dibalik, dan invers dari hasil kali tersebut adalah hasil kali invers inversnya dalam ukuran terbalik. a. AB dapat dibalikb. c. Jika

=

=I;

= A. A. A. . . A (n factor, n >0). Jika A bias dibalik, maka : = = (n factor).9

=

;

=

JENIS JENIS MATRIKS Matriks dapat dibedakan menurut jenisnya, antara lain: 1. Matriks Nol Suatu matriks dikatakan sebagai matriks nol, jika semua elemennya sama dengan nol. Misalnya,0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2. Matriks Baris Suatu matriks dikatakan sebagai matriks baris, jika matriks tersebut hanya terdiri atas satu baris, misalnya

[1

7 ], [5

3

2

6]

3. Matriks kolom Suatu matriks dikatakan sebagai matriks kolom, jika matriks tersebut hanya terdiri dari satu kolom. Misalnya,3 2 5, 5 7

4. Matriks persegi dan matriks kuadrat Suatu matriks dikatakan sebagai matriks persegi atau matriks kuadrat, jika jumlah baris pada matriks tersebut sama dengan jumlah kolomnya. Misalnya,2 4 3 3 , 6 1 1 7 3 8 5 1 2

Pada suatu matriks persegi ada yang dinamakan sebagai diagonal utama dan diagonal sekunder. Perhatikan matriks berikut. a11 a 21 a31 a12 a 22 a32 a13 a 23 a33

Komponen-komponen yang terletak pada diagonal utama pada matriks tersebut adalah a11, a22 dan a33 (sesuai dengan arsiran yang berasal dari kiri atas ke kanan bawah).

10

Sebaliknya, komponenkomponen yang terletak pada diagonal sekunder sesuai dengan arsiran yang berasal dari kiri bawah ke kanan atas, dalam hal ini a11, a22, a33. 5. Matriks segitiga Suatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks segitiga jika elemenelemen yang ada di bawah atau di atas diagonal utamanya (salah satu, tidak kedua-duanya) bernilai nol. Jika elemen-elemen yangada di bawah diagonal utama bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga atas. Sebaliknya, jika elemen-elemen yang ada di atas diagonal utamanya bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga bawah. Misalnya,5 0 0 1 4 0 2 3 4 7 5 4 0 1 2 0 0 3

Matriks segitiga bawah 6. Matriks Diagonal

Matriks segitiga atas

Suatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks diagonal jika elemenelemen yang ada di bawah dan di atas diagonal utamanya bernilai nol, atau dengan kata lain elemen-elemen selain diagonal utamanya bernilai nol. Misalnya,1 0 0 4 4 0 0 0 2 0 0 0 1

7. Matriks Skalar Suatu matriks diagonal dikatakan sebagai matriks skalar jika semua elemenelemen yang terletak pada diagonal utamanya memiliki nilai yang sama, misalnya,9 0 0 9 5 0 0 0 5 0 0 0 5

8. Matriks Identitas dan materiks satuan Suatu matriks skalar dikatakan sebagai matriks identitas jika semua elemen yang terletak pada diagonal utamanya bernilai satu, sehingga matriks identitas disebut juga matriks satuan. Misalnya,

11

1 0

0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

BAB II DETERMINAN2.1 FUNGSI DETERMINAN Fungsi determinan merupakan suatu fungsi bernilai real dari suatu peubah matriks. Fungsi determinan dinyatakan dengan det. Misalnya A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka fungsi determinan dari matriks A dapat dinyatakan dengan det(A). Terdapat beberapa konsep-konsep yang perlu dipahami dalam menentukan determinan suatu matriks segi, meliputi : a.Permutasib.

Permutasi dari himpunan bilangan bulat : {1,2,.,n} adalah banyak susunan

berbeda dari bilangan-bilangan integer tersebut tanpa adanya penghilangan atau pengulangan. Suatu metode yang mudah untuk mendaftarkan permutasi secara sistem adalah dengan menggunakan suatu pohon permutasi. Misalnya permutasi dari bilangan {1,2,3} dapat disusun : (1,2,3) (1,3,2) 1 2 3 3 2 1 3 (2,1,3) (2,3,1) 2 3 1 1 2 (3,1,2) (3,2,1) 3 2 1

Dari pohon permutasi tersebut didapat bahwa ada enam permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan {1,2,3}. Secara umum, himpunan {1,2,3} akan mempunyai n! permutasi yang berbeda (n=banyak elemen). Untuk himpunan {1,2,3}, 3! = 3.2.1 = 6. c.Inversi

12

Suatu inversi dikatakan terjadi dalam suatu permutasi (j1 , j2 , , jn) jika suatu bilangan bulat yang lebih besar mendahului bilangan bulat yang lebih kecil. Total jumlah inversi yang terjadi dalam suatu permutasi bisa didapat sebagai berikut :1)

Cari bilangan bulat yang lebih kecil dari j1 dan yang mengikuti j1 dalam Cari bilangan bulat yang lebih kecil dari j2 dan yang mengikuti j2 dalam Teruskan proses menghitung ini untuk j3 , , jn-1. Total dari jumlah-jumlah

permutasi tersebut,2)

permutasi tersebut,3)

tersebut adalah total jumlah inversi dalam permutasi tersebut. Contoh : Jumlah pembalikan dalam permutasi (2, 4, 1, 3, 5) adalah : 1 + 2 + 0 + 0 = 3. Dari mariks segi A = (ajj)nxn, unsur-unsur aij dan akl dikatakan pasangan negatif jika dan hanya jika kj atau k>i dan l 0 tumpul jika dan hanya jika u.v < 0

32

= phi / 2 jika dan hanya jika u.v = 0 Teorema 2 : jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 2 dan 3 dan k adalah scalar, maka :a) u.v = v.u

b) u.(v+w) = u.v + u.w c) k(u.v) = (ku)v = u.(kv) d) v.v > 0 jika v 0 dan v.v = 0 jika v = 0 Teorema 3 : teorema berikut ini memberikan rumus untuk menghitung vektof proya u dan u proya u. jika u dan a adalah vektor vektor dalam ruang berdimensi 2 atau3 dan jika a 0 maka :

D. Hasil kali silang Jika u = (u1,u2,u3) dan v = (v1,v2,v3) adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3 maka hasil kali silang u x v adalah vektor yang didefinisikan sebagai u x v = (u2 v3- u3 v2, u3 v1- u1 v3, u1 v2 - u2 v1) Contoh : cari u x v dimana u = (3,4,2) dan v = (0,3,2) Penyelesaian:

33

u x v = (2, -2, 3) Teorema 1 : jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3 maka : a) u.(u x v) = 0 b) v. (u x v) = 0c) u x v2 = u2v2 (u . v)2

(u x v orthogonal terhadap u ) (u x v orthogonal terhadap v) (identitas lagrange) (hubungan antara hasil kali silang dan

d) u x (v x w) = (u.w)v (u.v)w hasil

kali titik ) e) (u x v) x w = (u.w)v (v.w).u hasil kali titik ) Teorema 2 : jika u, v, dan w adalah vektor sembarang dalam ruang berdimensi 3 dan k adalah sembarang scalar Tinjau vektor i = (1,0,0) j = (0,1,0) dan k = (0,0,1). Ketiga vektor ini masingmasing mempunyai panjang 1 dan terletak di sumbu koordinat. Vektor vektor ini disebut vektor satuan standar dalam ruang berdimensi 3. Setiap vektor v = (v1,v2,v3) dalam ruang berdimensi 3 dapat dinya takan dalam bentuk i,j, dan k karena kita bisa menuliskan v = (v1,v2,v3) = v1(1,0,0) + v2(0,1,0) + v3(0,0,1) = v1i + v2j + v3k Teorema 3 : teorema berikut ini memberikan suat interpretasi geometris yang berguna dari determinan 2 x 2 dan 3 x 3 : a) Nilai mutlak determinan (hubungan antara hasil kali silang dan

34

Sama dengan luas jajaran genjang dalam ruang berdimensi 2 yang dibentuk oleh vektor u = (u1,u2) dan v = (v1,v2).

b) Nilai mutlak determinan

Teorema 4 : jika vektor vektor u = (u1,u2,u3), v = (v1,v2,v3) dan w = (w1,w2,w3) mempunyai titik pangkal yang sama, maka ketiganya terletak pada bidang yang sama jika dan hanya jika

E. Bidang-bidang dalam ruang berdimensi 3 Sebuah bidang dalam ruang berdimensi tiga didapatkan dengan

menentukan inklinasi dan salah satu titiknya. Sebuah metode yang mudah untuk menguraikan inklinasi adalah dengan menentukan suatu vector tidak nol (disebut suatu normal) yang tegak lurus dengan bidang tersebut. Persamaan bidang yang melalui titik P0(x0,y0 ,z0) dengan vector normal n=(a,b,c) contoh soal : cari sebuah persamaan bidang yang melalui titik (-5,8,2) dan tegak lurus terhadap vector n = (5,-2,1) penyelesaian : a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0) = 0 5(x+5) -2 (y-8)+1 (z-2) = 0 5x + 25 - 2y + 16 + z -2 = 0 5x - 2y + z + 39 = 0 Teorema : Jika a, b , c, dan d adalah konstanta dan a, b, c, tidak semuanya nol, maka grafik persamaanya : ax + by + cz + d = 035

adalah sebuah bidang yang mempunyai vector n = (a, b, c) sebagai normal. ax + by + cz + d = 0 => bentuk umum dari persamaan sebuah bidang

Ruang Berdimensi-n EuclideanPasangan n bilangan berurutan (ganda-n berurut) adalah n bilangan real (a1, a2, a3, , an) sebagai titik ruang berdimensi-n (Rn).

Beberapa definisi vektor dalam Rn. u1=v1, u2=v2, u3=v3, , un=vn u+v= (u1+v1, u2+v2, u3+v3, , un+vn) ku= (ku1, ku2, ku3, , kun) -u = (-u1, -u2, -u3, , -un) v-u= (v1-u1, v2-u2, v3-u3, , vn-un) u-v= (u1-v1, u2-v2, u3-v3, , un+vn) uv = u1v1+u2v2+u3v3++unvn

36

u v = 0

Contoh soal: 1. Anggap u=(1, 2, 3, 4), v=(-3, 2, 3, 4), dan w=( 1, 1, 2, 0), carilah:a. (3v+w).(2u+v)

b. 2(u-v)

Jawab: 1.a. (3v+w).(2v+w) =(3v).(2v+w) + (w).(2v+w) =[(3(-3,2,3,4)).(2(-3,2,3,4)+(1,1,2,0)]+ [(1,1,2,0).(2(-3,2,3,4)+(1,1,2,0)] =[(9,6,9,12).(6,4,6,8)+(1,1,2,0)]+[(1,1,2,0). (6,4,6,8)+(1,1,2,0)] =[(-54,24,54,96)+ (1,1,2,0)]+[(6,4,12,0)+(1,1,2,0)] =(-53,25,56,96)+(7,5,14,0) =(-46,30,70,96) c. 2(u-v) = 2 [(1, 2, 3, 4) - (-3, 2, 3, 4)] = 2(4, 0, 0, 0) = (8, 0, 0, 0) Teorema 4.3 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz dalam Rn) Teorema 4.4 Jika U, V Rn dan k adalah sembarang skalar, makaa) ||U|| 0

b) ||U||=0 jika dan hanya jika u=0 c) ||kU||=|k||U|| d) ||U+V|| ||U||+||V|| (ketaksamaan segitiga)

Teorema 4.5 Jika U, V, dan W adalah vektor-vektor dalam Rn dan k adalah sembarang sekalar, maka:a) d(U,V)

0 b) d(U,V)=0 jika dan hanya jika U=V c) d(U,V)= d(U,V) d) d(U,V) d(U,W)+ d(W,V) (ketaksamaan segitiga)37

Teorema 4.6 Jika U dan V adalah vektor-vektor dalam Rn dengan hasil kali dalam Euclidean, maka U.V=1 1 || U + V ||2 || U V ||2 4 4

KEORTOGONALAN Definisi: Dua vektor Contoh: Dalam ruang Euclidean R4 vektor vektor u=(1,2.3,8); v=(1,2,3,4) adalah orthogonal karena u.v= (1)(1)+(2)(2)+(3)(3)=0 Bila tegak lurus maka: dan dalam disebut ortogonal jika .

2

=

2

+

2

Karena Jika A suatu matriks maka:

T

u

T

u

38

Contoh:

Jadi

Transformasi Linear Dari Rn ke Rm

Fungsi fungsi dari Rn ke R Fungsi adalah suatu aturan f yang menghubungkan setiap unsure dalam A ke satu dan hanya satu unsur dalm B Jika f menghubungkan unsur b dengan unsur a, maka ditulis b = f(a), dikatakan : (-) b adalah bayangan dari a dibawah f (-) f (a) adalah nilai f di a

Dua buah fungsi dikatakan sama, f1 = f2 jika kedua fungsi memiliki dominant yang sama dan f1 (a) = f2 (a) suatu fungsi f : Rn R, ditulis sebagai : w = f (x1, x2, ., xn)

39

Contoh : f(x) = x2 f(x,y) = 2x 4y f (x,y,z) = x + 2y z

=> f : R R => f : R2 R => f : R3 R

OPERATOR PENCERMINAN

y

z

(-x,y) w = T(x) x

(x,y) x

(x,y,z)

y

Pencerminan terhadap sumbu y x Pencerminan terhadap bidang -x y

OPERATOR PROYEKSIy Proyeksi orthogonal pada sumbu x x,y w1 = x w2 = 0 X W= 1 0 0 0 x y

OPERATOR ROTASIY w r y x r z (x,y) (x,y,o) (x,y,z) y x x,0 w (w1,w2)

x

x = r cos Proyeksi orthogonal pada sumbu xy y = r sin w1 = x w1 = r cos (+) x w2 = r sin (+) W= w2 = y 1 0 0 40

0

0 0

w1 = r [cos . cos sin sin] = cos . cos sin sin w1 = x cos y sin w2 = r [sin cos + cos sin] = r sin cos + r cos sin = Y cos + x sin w1 = x cos y sin w2 = x sin + y cos Pelebaran Penyempitan w= k o o x k y (k) 1 PelebaranW=

cos sin

sin cos

x y

w= k o o

o k o

o x o y k z d | k | < 1 Penyempitan

RUANG RUANG VEKTOR UMUM A. Aksioma Ruang Vektor Devinisi Anggap V adalah sebarang himpunan tak-kosong dari objek di mana dua operasi didefinisikan yaitu penjumlahan dan perkalian dengan scalar ( bilangan ). Jika

41

aksioma berikut ini dipenuhi oleh semua objek u, v, w dalam V dan semua skala k dan l, maka disebut V sebagai ruang vektor dan disebut objek dalam V sebagai vektor. 1) Jika u dan v adalah ojek objek dalam V, maka u + v berada dalam V. 2) u + v = v + u 3) u + (v + w) = (u + v) + w 4) Ada suatu objek 0 dan V, yang disebut suatu vector nol untuk V, sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u dalam V. 5) Untuk setiap u dalam V, ada suatu objek u daam V, yang disebut negative dari u, sedemikian sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0 6) Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang objek dalam V, maka ku ada dalam V. 7) k(u + v) = ku + kv 8) (k + l)u = ku + lu 9) k(lu) = (kl)u 10) lu = u

Beberapa Sifat Vektor Anggap V adalah suatu ruang vector u suatu vector dalam V, dan k suatu scalar; maka: a) 0u = 0 b) K0 = 0 c) (-1)u = -u d) Jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0

B.

Sub-Ruang

Devinisi suatu himpunan bagian w dari suatu ruang vector V disebut suatu sub-ruang dari V jika W sendiri adalah suatu ruang vector dibawah penjumlahan dan perkalian scalar yang didefinisikan pada V. Teorema

42

Jika W adalah suatu himpunan satu atau lebih vector dari ruang vector V, maka W adalah suatu sub-ruang dari V jika dan hanya jika syarat syarat berikut ini terpenuhi. a) Jika u dan v adalah vector vector dalam W, maka u + v ada dalam V. b) Jika k adalah sebarang scalar dan u adalah sebrang vector dalam W, maka ku ada dalam W. C. Kombinasi Linear Vektor-Vektor Jika r=1, maka persamaan dalam definisi di atas menjadi w= k1v1; yaitu,w adalah suatu, w adalah suatu kombinasi linear dari suatu vektor tunggal v1 jika w adalah suatu pengandaan skala dari v1 Rentang Jika v1,v2,v, adalah vector-vektor dalam suatu ruang vector V, maka secara umum beberapa vector dalam V mungkin merupakan kombinasi linear dari v1,v2,v, dan yang lainnya mungkin tidak. Teorema berikut ini menunjukkan bahwa jika menyusun suatu himpunan W yang terdiri dari suatu vector-vektor yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi dari v1,v2,v, itu, maka W membentuk suatu sub-ruang dari V. Teorema Jika v1,v2,v, adalah vector-vektor dala suatu ruang vector V, maka(a) Himpunan W semua kombinasi linear dari v1,v2,v, merupakan suatu sub-ruang

dari v1,v2,v,.(b) W adalah sub-ruang terkecil dari V yang berisi v1,v2,v, dalam pengertian bahwa

setiap sub-ruang lain dari V yang berisi v1,v2,v, pasti mengandung W.

Merentang

Definisi : jika S={v1,v2,....,vr} sejumlah vektor pada ruang vektor V, maka subruang W dari V mengandung semua kombinasi linier vektor-vektor dalam S disebut ruang terentang (ruang yang dibangun) oleh v1,v2,...,vr dan kita katakan bahwa vektor-vektor v1,v2,...,vr adalah rentang W.

43

Untuk menunjukkan bahwa W adalah ruang terentang oleh vektor-vektor dalam himpunan S={ v1,v2,...,vr } ditulis : W = rent (S) atau W = rent {v1,v2,...,vr}

Contoh : Tentukan apakah v1 = (1,1,2), v2 = (1,0,1) dan v3 = (2,1,3) merentangkan ruang vektor R3. Penyelesaian : Kita harus menentukan apakah suatu vektor sebarang b = (b1,b2,b3) dalam R3 bosa dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier b = k1v1+k2v2+k3v3 dari vektor v1,v2,v3. Dengan menyatakan persamaan ini dalam bentuk komponenkomponen akan didapatkan :

(b1,b2,b3)=k1(1,1,2)+k2(1,0,1)+k3(2,1,3)

(b1,b2,b3)=(k1+k2+2k3,k1+k3,2k1+k2+3k3)

k1+k2+2k3 = b1 k1+ k3 = b2

2k1+k2+3k3 = b3

Dalam matriks : R3 dengan cara

lalu kita cek apakah v1,v2,v3 merentangkan ruang vektor

44

B31(-2)

B21(-1)

B3-B2

dari hasil di atas kita asumsikan merentangkan terhadap R3. Bebas Linear

0 sehingga dari hasil di atas dapat kita

lihat bahwa matriks tersebut tidak memiliki spl konsisten sehingga v1,v2,v3 tidak

Definisi : Jika S={v1,v2,...,vr} adalah himpunan vektor tak nol, maka : k1v1 + k2v2 + .+ krvr = 0 hanya mempunyai satu solusi : k1 = 0 , k2 = 0, ... , kr = 0 Maka S disebut himpunan yang bebas linear. Bila ada solusi lain, dinamakan himpunan bergantung linear. Contoh : Buktikan jika v1=(2,-1,0,3), v2=(1,2,5,-1), v3=(7,-1,5,8) maka himpunan vektorvektor S = {v1,v2,v3} tak bebas secara linear karena 3v1+v2-v3=0

Penyelesian B12(2)

:

B42(3)

B43(-1)

B31(-1)

B1(1/5)

B21(-2)

45

Maka : k2+k3=0 , k2 = - k3 -k1-3k3=0 , -k1=3k3, k1= -3k3 Sehingga : -3k3v1 k3v2 + k3v3 = 0 (dikali -1/k3) 3v1+v2-v3 = 0 Jadi terbukti, v1=(2,-1,0,3), v2=(1,2,5,-1), v3=(7,-1,5,8) maka himpunan vektor-vektor S = {v1,v2,v3} tak bebas secara linear karena 3v1+v2-v3=0

Basis dan DimensiBASIS Basis untuk sebuah ruang vektor Definisi: Jika adalah sembarang ruang vektor dan adalah suatu disebut suatu basis untuk , jika dua

himpunan vektor vektor dalam , maka syarat berikut ini dipenuhi:

bebas secara linier merentangkan

Teorema: Jika vektor dalam adalah suatu basis untuk suatu ruang vektor , maka setiap bisa dinyatakan dalam bentuk

dalam tepat satu cara. Koodinat Koordinat Relatif Terhadap Sebuah Basis Jika vektor dalam adalah suatu basis untuk suatu ruang vektor dapat dinyatakan dengan dan vektor

46

Dimana basis , maka skalar dalam vektor

adalah ekspresi untuk suatu vektor disebut koordinat

dalam bentuk

relatif terhadap basis . Vektor (

yang tersusun dari koordinat koordinat ini disebut koordinat dinyatakan dengan:

relatif terhadap

Basis Standar Untuk Contoh: Jika adalah himpunan yang bebas secara linier dalam Himpunan ini juga merentangkan dalam bisa dituliskan sebagai: karena sebarang vector maka .

Jadi, Dari

adalah basis untuk

, ini disebut basis standar untuk

.

kita dapatkan bahwa koordinat relatif terhadap basis standar adalah sehingga

Sehingga suatu vektor untuk Contoh : Anggap adalah sama.

dan vektor koordinatnya relative terhadap basis standar

tunjukkan bahwa himpunan adalah suatu basis untuk .

Penyelesaian: Untuk menunjukkan bahwa himpunan sembarang vektor merentang kita harus menunjukkan bahwa

bisa dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier:

Dari vektor vektor dalam . Dengan menyatakan persamaan ini dalam bentuk komponen komponen, kita akan mendapatkan:47

Atau dengan menyamakan komponen komponen yang berpadanan

Jadi, untuk menunjukkan bahwa

merentang

, kita harus menunjukkan bahwa sistem

persamaan diatas mempunyai suatu penyelesaian untuk semua pilihan Jika persamaan diatas kita ubah ke dalam bentuk matriks dan digandengkan dengan hasilnya lalu kita umpamakan dengan nama maka akan menjadi:

dari hasil reduksi matriks diatas kita lihat bahwa sistem persamaan linier tersebut memiliki suatu penyelesaian untuk semua pilihan b =

Untuk membuktikan bahwa satunya penyelesaian dari:

bebas secara linier kita harus menunjukkan bahwa satu

adalah

jika kita nyatakan dalam bentuk komponen komponen,

pembuktian kebebasan berubah menjadi menunjukkan bahwa sistem homogen.

48

Hanya mempunyai penyelesaian trivial. Untuk membuktikan bahwa S bebas linier dan merentang matriks koefisien dengan menunjukkan bahwa

mempunyai determinan tak nol. Akan tetapi, setelah kita mencari determinan A hasilnya adalah

Sehingga S adalah suatu basis untuk

DIMENSIDefinisi : Suatu ruang vector tak nol himpunan vektor terhingga ada himpunan yang seperti itu, maka disebut berdimensi terhingga jika berisi suatu

yang membentuk suatu basis. Jika tidak disebut berdimensi tak-hingga. Disamping

itu, kita akan menganggap ruang vector nol sebagai berdimensi terhingga. Teorema: Jika adalah suatu ruang vektor berdimensi terhingga dan adalah

sebarang basis, maka: 1. Setiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebas secara linier2. Tidak ada himpunan dengan vektor yang kurang dari n yang merentang

Teorema: Semua basis untuk suatu ruang vector berdimensi terhingga mempunyai jumlah vektor yang sama.

49

Teorema: Jika adalah suatu ruang vektor berdimensi , dan jika adalah suatu basis untuk adalah himpunan dalam jika merentang

dengan tepat n vektor , maka atau Teorema:a. Jika

bebas linier.

merentang

tetapi bukan merupakan basis untuk , maka

bisa

direduksi menjadi suatu basis untuk tepat dari .b. Jika

dengan menghilangkan vektor yang

adalah suatu himpunan yang bebas linier tetapi belum menjadi basis , maka bisa diperbesar menjadi basis untuk dengan

untuk

menyelipkan vektor vektor yang tepat ke dalam \ Contoh:

Tentukan basis dan dimensinya! Jika diubah ke dalam bentuk matriks dan kita umpamakan Y maka akan menjadi:

50

Dari hasil reduksi matriks di atas kita dapatkan , , , ,

yang menunjukkan bahwa vektor vektor

merentangkan ruang penyelesaian. Karena vector vector ini juga bebas secara linier, maka adalah suatu basis dan ruang penyelesaiannya berdimensi dua.

Ruang Baris, ruang Kolom dan ruang Kosong Definisi : Jika A ( m x n ) maka sub ruang dari Rn yang terentang oleh vektor vektor barisdari A disebut ruang baris dari A, dan vektor vektor kolom dari A disebut ruang kolom dari A. Ruang penyelesaian dari SPL Homogen Ax = 0 yang merupakan sub ruang dari Rn disebut ruang kosong dari A.

A(mxn)=

C1 C2

Cn

r1, r2, , rm Rn

: vektor vektor baris dari A51

c1, c2, , cn Rm

: vector vector kolom dari A

A(mxn)=

C1

C2

Cn

X( n x 1) =

Ax=b X1C1 + X2C2 + + XnCn = b b merupakan kombinasi linear dari c,i, i=1,,n SPL A x = b konsisten jika dan hanya jika b berada dalam ruang kolom A. Jika X0 adalah sembarang penyelesaian tunggal dari suatu SPL A x = b, dan jika V1, V2,, Vk membentuk basis untuk ruang kosong A ( ruang penyelesaian SPL homogen A x =0 ), maka setiap penyelesaian dari A x = b bisa dinyatakan dalam bentuk : X = X0 + C1V1 + C2V2 + + CK VK Dan sebaliknya, untuk semua pilihan skalar C1, C2, , penyelesaian dari A x = b. X0 : penyelesaian dari A x = b A x =0 , A x0 = b Ax=b CK, vector X merupakan suatu

A x - A x0 = 0 A (X - X0) = 0 X - X0 merupakan penyelesaian SPL homogen A x =0 X - X0 = C1V1 + C2V2 + + CK VK X = X0 + C1V1 + C2V2 + + CK VK52

A x = A ( X0 + C1V1 + C2V2 + + CK VK ) = A x0 + C1(AV1) + C2 (AV2) + + CK (AVK) X0 penyelesaian khusus dari A x = b penyelesaian umum dari A x = b penyelesaian umum dari A x = 0

X0 + C1V1 + + CK VK C1V1 + C2V2 + + CK VK

Penyelesaian Umum = penyelesaian khusus + penyelesaian umum dari A x = b dari A x = b Ax=0

Bila diketahui penyelesaian SPL tak homogen A x = b sebagai berikut :

=

=

+ r

+ s

+ t

Maka

=

X= r

+ s

+ t

53

Mencari Basis Dari Suatu RuangBasis dari ruang yang dibangun oleh vektor-vektor. Misal : { , , }

Langkah langkah : 1. Susun vektor ke dalam matriks

A=

2. Lakukan operasi baris dasar (OBE) untuk mendapatkan bentuk eselon baris dari A.3. Baris tak nol dari bentuk selon baris A akan membentuk baris dari ruang yang

dibangun oleh {

,

,

}.

Contoh : tentukan basis dari ruang yang dibangun oleh vektor vektor berikut : = ( 1, -2, 0, 0, 3 ) = ( 2, -5, -3, -2, 6 ) = ( 0, 5, 15 10, 0 ) = ( 2, 6 18, 8, 6 )

1. Susun vektor ke dalam matriks :

A=

2. Lakukan OBE :

54

RUANG KOSONG/ RUANG NUL (NULL SPACE) Definisi Ruang Nul Misalkan kita anggap A adalah sebuah matriks, maka : Ruang nul (A) adalah ruang solusi dari system persamaan linier yang homogen Ax = 0, yang merupakan sub ruang dari Rn. dapat dinyatakan dengan : S = ruang nul = {x|Ax = 0} x1, x2 S, maka : Ax1 = 0

Ax2 = 0 A(x1 + x2) = 0 x1, x2 S, maka x1 + x2 S untuk k scalar, x1 S, maka : A(k x1) = k (A x1) = k . 0 = 0

k x1 S Dimensi ruang nul dari A disebut sebagai nulitas (nulity) dari A dan dinyatakan sebagai nulitas(A). Sebagai contoh :1 3 2 4 2 7 5 9 0 2 2 2 4 5 3 0 1 4 4 6 1 4 4 7

Tentukan nulitas dari matriks berikut : B =

Penyelesaian : Bentuk eselon baris tereduksi dari B adalah1 0 0 0 0 1 0 0 4 2 0 0 28 37 13 12 16 5 0 0 0 0 0 0

Untuk menetukan nulitas dari matriks A, tentukan terlebih dahulu dimensi dari ruang solusi system linier Ax = 0, system ini dapat diselesaikan dengan mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris tereduksi. System persamaan yang didapat adalah : x1 - 4x3 - 28x4 - 37x5 + 13x6 = 0 x2 2x3 12x4 -16x5 + 5x6 = 055

mencari solusi umum dari variable - variabel utama : x1 = 4x3 - 28x4 37x5 + 13x6 x2 = 2x3 + 12x4 +16x5 5x6 jadi, x1 = 4r 28s + 37t + 13u x2 = 2r + 12s + 16t 5u x3 = r x4 = x5 = x6 = secara ekuivalen : s t u

x1 4 2 8 3 7 1 3 x2 2 1 2 1 6 5 x 0 0 0 3 = r 1 + s + t + u x4 0 1 0 0 0 0 1 0 x5 x 0 0 0 1 6Keempat vektor pada ruas kanan membentuk basis untuk ruang solusi, sehingga nulitas(A) = 4 Hubungan Antara Rank dan Nulitas Jika A adalah suatu matriks m x n, maka : rank(A) + nulitas(A) = n Bukti : A memiliki n kolom, maka system linier homogeny Ax = 0 memiliki n variable. Variable ini terbagi menjadi 2, yaitu variable utama dan bebas. Maka,

56

b ba na ny ay ak nk ny ay a v i +a v i ab= rna ber le l u bt a e m b a s

Banyaknya variable utama = banyaknya 1 utama di dalam bentuk eselon baris

tereduksi dari A, jadi :

b a n y a k n y a +)A(a vn i ak r= bn e l r b e b a s

Banyaknya variable bebas = nulitas(A) = banyaknya parameter pada solusi umum dari Ax = 0

Nilai Maksimum untuk Rank Jika A adalah matriks m x n, maka vector barisnya terletak pada Rn dan vector kolomnya terletak pada Rm. Ruang baris dan ruang kolom memiliki rank dari A yang sama, oleh karena itu jika mn, rank dari A yang terbanyak adalah nilai yang lebih kecil antara nilai m dan n, dapat dinotasikan dengan : rank(A) min(m,n) Sistem Linier yang Terdiri dari m Persamaan dengan n Faktor yang Tidak Diketahui57

Dalam sistem linier ini, m dan n tidak perlu sama.BAB VI RUANG RUANG HASIL KALI DALAM

Hasil Kali Dalam Definisi : Suatu hasil kali dalam pada suatu ruang vektor real V adalah suatu fungsi yang menghubungkan suatu bilangan real dengan setiap pasangan vektor u dan v dalam V sedemikian hingga aksioma-aksioma berikut terpenuhi oleh semua vektor u,v dan w dalam V serta semua skalar k.

Ruang Hasil Kali Dalam Euclidean Terboboti Ruang hasil kali dalam euclidean terboboti dengan bobot w1,w2,...,wn untuk vektor u dan v Rn didefinisikan sebagai : = w1u1v1+w2u2v2+...+wnunvn

Panjang dan Jarak dalam Ruang Hasil Kali Dalam Jika V suatu ruang hasil kali dalam maka norma suatu vektor u dalam V dinyatakan sebagai dengan definisi :

Jarak antar 2 vektor u dan v dinyatakan dengan d

Sifat-sifat hasil kali dalam : a. b. c. d. e. Contoh 1: u=(3,2), v=(5,4), w=(1,2) maka 58

= u.v + u.w = (15+8)+(3+4) = 23+7 = 30

=

Contoh 2 : 4u1v1+3u2v2 maka 4v1w1+3v2w2 = 4(5) + 3(8) = 20 + 24 = 54 =

Contoh 3 : Hitung jika U= dan V=

Penyelesaian :

u1v1+2u2v2+3u3v3+4u4v4 = 3.1+2.2.1+3.1.3+4.2.2 = 3 + 4 + 9 + 16 = 32

Contoh 4 : Tentukan Jawab : jika p =1+x+2x2 dan q=5 2x2 = p0q0 + p1q1 + p2q2 = 1.5 + 1.0 + 2.(-2) = 5 + 0 4 = 1

Contoh 5 : Tentukan suatu hasil kali dalam pada R2 yang dibangkitkan oleh Matriks A dengan A = , u=(0,-3) dan v=(6,2)

Penyelesaian : = Au.Av = vTAT Au

59

= (6 2)

= (14 0)

Sudut dan Keortogonalan dalam Ruang Hasil Kali Dalam

Cos =

(u v) u dan v saling ortogonal jika

=0

Contoh 6 : Bila u dan v suati vektor dalam R2 dengan definisi diapit oleh u dan v untuk u= (2,4) dan v=(2,8) = u1v1 + 2u2v2 , tentukan cos sudut yang

Penyelesaian : = u1v1 + 2u2v2 = 2.2 +2.4.8 = 4 + 64 = 68 = = = =6 =2

Cos =

=

=

Basis Basis Ortogonal Suatu himpunan vector dalam suatu ruang hasil kali dalam disebut himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut ortogonal. Suatu himpunan dimana setiap vektor mempunyai norma 1 disebut ortonormal.

Contoh 7: 60

u1 =(0,1,0) , u2=(1,0,1) , u3=(1,0,-1) ; S={u1,u2,u3} S merupakan himpunan yang ortogonal karena u1,u2,u3 adalah dengan : =1 , = = , bernilai nol. Norma

sehingga vektor-vektor ortonormal q1,q2,q3 diperoleh

=

=

=

Contoh 8:

Apakah A merupakan basis ortonormal pada Periksa bebas linier vector-vektor dalam U

?

(memiliki solusi trivial)

B21(1)

61

(memiliki solusi trivial)vektor dalam U saling bebas linier. 1. t juga akan ditunjukan bahwa sembarang vector V=(a,b,c) direntang oleh U Beriku

Ini menunjukan U merentang V, karena U bebas linier dan merentang V maka A merupakan basis pada 2. apakah untuk ij dan apakah 62 . Dilihat

Terlihat bahwa

untuk ij dan

Maka dapat disimpulkan bahwa U merupakan basisi ortonormal pada

Proses Gram-Schmidt untuk membentuk basis-basis Ortogonal/Ortonormal Setiap ruang hasil kali dalam tak nol berdimensi terhingga mempunyai basis ortonormal.

Bila V adalah sembarang ruang hasil kali dalam tak nol berdimensi terhingga, dan sembarang basis untuk V. dalam membentuk basis-basis orthogonal untuk V dilakukan langkah berikut: 1. Tetapkan 2. (

3.

( 63

.dst..

n.

(

Bila

basis ortonormalnya untuk V maka:

:

1. Tetapkan 2. 3. dst.. n.

Contoh 9 : S= basis pada R3 dengan =(1,1,1), (-1,1,0) dan (1,2,1)

Melalui proses Gram Schmidt ubahlah basis basis tersebut menjadi basis ortogonal dan ortonormal.

64

Misalkan S =

basis ortogonal pada R3 diperoleh melalui :

1. Misalkan v1=u1=(1,1,1) 2. Selanjutnya v2=u2-

=

3. v3 = u3 -

=

Jadi basis ortogonal dari S pada R3 =

Lalu basis ortonormalnya dapat di cari dengan 2 cara :

Cara 1 : membagi basis-basis ortogonal dengan normanya

Cara 2 : secara langsung melalui proses Gram Schmidt

65

=

=

=

=

BAB VII Nilai Eigen dan Vector Eigen

Nilai Eigen dan Vektor Eigen Definisi : Jika A adalah suatu matriks n x n maka vektor tak nol pada Rn disebut suatu vektor eigen dari A jika Ax adalah suatu penggandaan scalar dar x yaitu Ax = x Untuk suatu scalar . skalar disebut nilai eigen dari A dan x disebut suatu vektor eigen dari A yang berpadanan dengan . Contoh :

Jawab :

66

Det( I A) = 0 =0 (

(

maka nilai eigen dari A adalah untuk

Jadi vektor Untuk :

merupakan suatu basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan

Jadi vektor Diagonalisasi Definisi:

merupakan suatu basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan

Suatu matriks segi Amxn dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat sebuah matriks P yang invertible sehingga AP merupakan matriks diagonal. Matriks P dikatakan mendiagonalisasi A. Langkah langkah untuk diagonalisasi Matriks : 1. menentukan vektor eigen A ,misalkan p1,p2,...,pn 2. tentukan matriks P yang memiliki p1,p2,...,pn 3. matriks AP adalah matriks diagonal dengan1

,

2

,...,

n

67

contoh : carilah sebuah matriks yang mendiagonalisasi : A=

(

det(

(( =

)(

(

jika

2 +2

+

Misal :

x=

=

Jika 68

-2 +2 -4 =0

x=

P=

Diagonalisasi Ortogonal Matriks ortogonal, matriks simetri dimana = ;

= Contoh : P=

=

,

=

=

=

69

=

=

70

71