SISTEM BILANGAN BULAT

Tita S. RiyandhaniMatematika / 1C

MATERI TEORI BILANGAN SEMESTER 1

UNIVERSITAS NUSANTARA PGRI KEDIRI2009/2010

SISTEM BILANGAN BULATA. Sistem Bilangan BulatB. Perkalian Bilangan BulatC. Urutan Bilangan BulatD. Pengurangan dan Pembagian Bilangan BulatE. Persamaan dan PertidaksamaanF. Ihtisar

A. Sistem Bilangan Bulat

• Definisi 1 :Jika n bilangan asli, maka –n didefinisikan tunggal, sehingga n + -n = -n + n = 0

**Bilangan –n disebut “invers penjumlahan (additif) dari n”, “negatif n”, atau “lawan n”.

Ex : 7 + -7 = -7 + 7 = 0, maka 7 adalah invers dari -7 dan -7 adalah invers dari 7.

• Definisi 2 :Himpunan bilangan bulat adalah gabungan dari nimpunan bil. cacah dan himpunan (-n) dengan n bil. asli, shg untuk setiap bil. cacah n adalah bil –n yg bersifat n + -n = -n + n = 0

• Definisi 3 :Sistem bil. bulat terdiri atas himpunan bil. bulat B = (…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2 , 3, …) dan dua operasi biner yaitu penjumlahan (+) dan perkalian (x), dan mempunyai sifat-sifat :

a. Tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.- jumlah bil. Bulat sebarang adalah bil. Bulat- hasil kali bil. Bulat sebarang adalah bil. Bulat

b. Komutatif terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.- x + y = y + x- x . y = y . x

c. Distributif perkalian terhadap penjumlahanutk semua x, y dan z dalam B, x . (y + z) = x.y + x.z

d. Assosiatif terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.- x + (y + z) = (x + y) + z- x . (y . z) = (x . y) . z

e. Ketunggalan Invers penjumlahan- x + -x = 0

f. Ada Elemen identitas penjumlahan0 + x = x + 0 = x

g. Ada Elemen identitas perkalian1 . x = x . 1 = x

Example 1• Jika a > b, maka : a = b + c atau a – b = c-a + b = -(b + c) + b (nama lain dari –a)

= (-b + -c) + b (contoh 1)

= (-c + -b) + b (sifat komutatif +)

= -c + (-b + b) (sifat assosiatif +)

= -c + 0 (sifat invers +)

= -c (sifat identitas +)

= -(a – b) (sebab a – b)

Jadi, -a + b = -(a – b) bila a > b

Example 2• Carilah jumlah -8 + 5 dengan menggunakan

sifat sifat yang disebutkan pada definisi 3 :** Dari contoh , -8 = -5 + -3; sehingga :

-8 + 5 = (-5 + -3) +5 (nama lain dari -8)

= (-3 + -5) + 5 (sifat komutatif +)

= -3 + (-5 + -5) (sifat assosiatif +)

= -3 + 0 (sifat invers)

= -3 (sifat identitas +)

• Definisi 4 :Jumlah dua bilangan bulat didefinisikan seperti hal hal di bawah ini, dimana a dan b adalah bilangan – bilangan cacah :

a. a + b = n(A) + n(B), dimana a = n(A), b = n(B), A dan B = himpunan kosong

b. -a + -b = -(a + b)c. a + -b = -b + a = a – b ,jika a > bd. a + -b = -b + a = -(b – a), jika a < b Ex :1. 2 + -5 = -(5 – 2) = 32. 7 + -4 = 7 – 4 = 33. -3 + -5 = -(3 + 5) = -84. -7 + 9 = 9 + -7 = 9 – 7 = 2

B. Perkalian Bilangan Bulat

• Secara Umum :Dapat ditunjukkan bahwa (-a) (b) = -(ab)(-a) (b) + ab = (-a + a) b (distributif +)

= 0 . B (invers +)

= 0 (sifat perkalian dg 0)

•Ex :(3 . -4) + (-3 . -4) = (3 + -3) . -4 (sifat distributif +)

= 0 . -4 (sifat invers +)

= 0 (sifat perkalian dengan 0)

3 . -4 = -12 (-12 adalah nama lain dr 3 . -4 berdasarkan(-a) (b) = -(ab))

Jadi, -3 . -4 adalah invers penjumlahan dari -12. Menurut definisi invers penjumlahan -12 adalah tunggal yaitu 12, sehingga dapat disimpulkan bahwa-3 . -4 = 12.JADI :

(a) (-b) + (-a) (-b) = (a + -a) (-b) (sifat distributif +)

= 0 . b (sifat invers +)

= 0 (sifat perkalian dengan 0)Jd, (-a) (-b) adalah invers penjumlahan(a) (-b). Krn a . (-b) = -(ab) dan krn invers penjumlahan dar –(ab) adalah tunggal yaitu ab, maka (-a) (-b) = ab

• Definisi 5 :Perkalian dua bilangan bulat didefinisikan seperti hal berikut ini, dimana a dan b adalah bilangan – bilangan cacah.a. a . b = n(A x B), dimana a = n(A) dan b = n(B)b. -a . -b = abc. -a . b = b . –a = -(ab)

Ex :

3(-4) = -12

-7 . (4 . 2) = (-7 . 4). -2

-3 (4 + -2) = (-3 . 4) + (-3 . -2)

C. Urutan Bilangan BulatUrutan dalam bilangan bulat :

…-5<-4<-3<-2<-1<0<1<2<3<4<5<…

• Definisi 6 :Jika a dan b bilangan bilangan bulat, maka a dikatakan kurang dari b (ditulis a < b) dan hanya jika ada bil. Bulat positif c shg a + b = c ; adikatakan lebih dari b (a > b) jika dan hanya jika b kurang dari a atau b + c = a, c adalah bil. Bulat positif.

•Example :6 < 8 sebab 6 + 2 = 8 (2 adalah bil. Bulat positif)

-5 < -2 sebab -5 + 3 = -2 (3 adalah bil. Bulat positif)

DALIL 1 :Jika x adalah 0 atau bilangan bulat positif dan y adalah bilangan bulat negatif, maka y < xy + (-y + x) = (y + -y) + y

= 0 + x = x

DALIL 2 :Jika