perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
SIFAT SPEKTRAL DARI MASALAH STURM-LIOUVILLE
FRAKSIONAL DENGAN POTENSIAL COULOMB
oleh
NURUL KOMIYATUN
M0110063
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2014
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
SIFAT SPEKTRAL DARI MASALAH STURM-LIOUVILLE
FRAKSIONAL DENGAN POTENSIAL COULOMB
oleh
NURUL KOMIYATUN
M0110063
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2014
i
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Gambar 0.1.
ii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ABSTRAK
Nurul Komiyatun. 2014. SIFAT SPEKTRAL DARI MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL DENGAN POTENSIAL COULOMB. FakultasMatematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.
Masalah Sturm-Liouville klasik dapat ditulis sebagai
Ly = −(p(x)y′)′ + q(x)y = λw(x)y
dengan syarat batas k1y(a) + k2y′(a) = 0 dan l1y(b) + l2y
′(b) = 0. Dalam per-kembangannya muncul masalah Sturm-Liouville fraksional, yaitu masalah Sturm-Louville yang menggunakan derivatif berorde fraksional (berupa bilangan non-integer). Salah satu pengembangan dari masalah Sturm-Liouville fraksional ada-lah masalah Sturm-Liouville fraksional dengan potensial Coulomb yang didefini-sikan sebagai
Lα[C]y(x) + λwα(x)y(x) = 0
dengan Lα[C] = Dαπ,−p(x)
CDα0,+ +
(Ax+ q(x)
)dan α merupakan bilangan non
integer.Penelitian ini bertujuan untuk menentukan sifat-sifat spektral dari masalah
Sturm-Liouville fraksional dengan potensial Coulomb. Penurunan sifat spektraldari masalah tersebut di atas adalah dengan menyelidiki sifat operatornya, yangditunjukkan melalui hasil dari ⟨Lα[C]ψ, ϕ⟩ dan ⟨ψ,Lα[C]ϕ⟩, dengan ϕ dan ψ adalahfungsi eigen. Jenis nilai eigen dapat diselidiki melalui hubungan antara nilai eigendengan konjugat dari nilai eigen itu sendiri. Sedangkan untuk ortogonalitas darifungsi-fungsi eigen, ditunjukkan dengan hasil kali dalam dari dua fungsi eigenbernilai nol. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa sifat spektral dari masalahSturm-Liouville fraksional dengan potensial Coulomb adalah operatornya bersifatself-adjoint, nilai eigennya real, dan fungsi eigen yang sesuai dengan nilai eigenbersifat ortogonal terhadap suatu fungsi bobot.Kata kunci : masalah Sturm-Liouville, fraksional, sifat spektral, Coulomb
iii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ABSTRACT
Nurul Komiyatun. 2014. SPECTRAL PROPERTIES OF FRACTIONALSTURM-LIOUVILLE PROBLEM FOR COULOMB POTENTIAL. Faculty ofMathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
The classical Sturm-Liouville problem is defined by
Ly = −(p(x)y′)′ + q(x)y = λw(x)y
with boundary conditions k1y(a) + k2y′(a) = 0 and l1y(b) + l2y
′(b) = 0. For lastdecades, some researchers start to put their interest to fractional Sturm-Liouvilleproblem. Fractional Sturm-Liouville problem is Sturm-Liouville problem withfractional order derivation or we can say that the second derivation in classicalSturm-Liouville problem is replaced by fractional order derivation. An exampleof fractional Sturm-Liouville problem is fractional Sturm-Liouville problem withCoulomb potential which is defined by
Lα[C]y(x) + λwα(x)y(x) = 0
where Lα[C] = Dαπ,−p(x)
CDα0,+ +
(Ax+ q(x)
)and α is a non-integer order.
The aim of this research is to determine the spectral properties of fractio-nal Sturm-Liouville problem with Coulomb potential. Before giving the mainresults, we mention some properties of fractional integral Riemann-Liouville andfractional derivative in Riemann-Liouville and Caputo sense. Spectral propertiesof Sturm-Liouville fractional problem with Coulomb potential is to investigate itsoperator, which is indicated by the result of ⟨Lα[C]ψ, ϕ⟩ and ⟨ψ,Lα[C]ϕ⟩, with ϕand ψ is an eigenfunction. Eigenvalues types can be investigated through the ei-genvalues and its conjugate. As for the orthogonality of eigenfunctions, indicatedby the results of inner product of two distict eigenfunctions is equal to zero. Wewill show that the spectral properties of fractional Sturm-Liouville problem withCoulomb potential are the operator is self-adjoint, its eigenvalues are real, andits eigenfunctions corresponding to distinct eigenvalues are orthogonal respect toa weight function.
Keywords : Sturm-Liouville, fractional, Coulomb, spectral properties
iv
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk
Ibu dan Ayah tercinta.
v
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah
melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis berhasil menyelesaikan
skripsi ini. Skripsi ini membahas tentang sifat spektral dari masalah Sturm-
Liouville fraksional dengan potensial Coulomb. Selain itu, juga disajikan sifat
dari integral serta derivatif fraksional Riemann-Liouville dan derivatif fraksional
Caputo.
Selesainya penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak.
Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada:
1. Drs. Sutrima, M.Si. sebagai pembimbing I yang telah memberi bimbingan
serta motivasi dalam penyelesaian skripsi ini.
2. Dra. Yuliana Susanti, M.Si. sebagai pembimbing II yang telah memberi
bimbingan serta motivasi dalam penyelesaian skripsi ini.
3. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat.
Surakarta, Desember 2014
Penulis
vi
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Daftar Isi
HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
I PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II LANDASAN TEORI 4
2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Ruang Hasil Kali Dalam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Masalah Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3 Kalkulus Fraksional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.4 Masalah Sturm-Liouville Fraksional . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
IIIMETODE PENELITIAN 11
vii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
IVPEMBAHASAN 12
4.1 Sifat-Sifat dari Operator Integral dan Diferensial Fraksional . . . 12
4.2 Masalah Sturm-Liouville Fraksional dengan Potensial Coulomb . . 18
V PENUTUP 24
5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
DAFTAR PUSTAKA 25
viii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Daftar Notasi
Ψ : fungsi gelombang
r : jarak antara elektron dan proton
~ : konstanta Planck
e : besar muatan elektron
m : massa elektron
C : himpunan bilangan kompleks
R : himpunan bilangan real
[a, b] : interval tertutup dari a sampai b
λ, En : nilai eigen
y, Rn,l : fungsi eigen
Γ(z) : fungsi Gamma untuk variabel z
B(z, w) : fungsi Beta untuk variabel z dan w
α, β : orde fraksional (berupa bilangan non-integer)
Dy, dydx, y′(x) : derivatif pertama dari fungsi y(x)
x̄ : konjugat dari x
L : operator diferensial
⟨. , .⟩ : hasil kali dalam (dot product) pada ruang vektor
⟨f, g⟩ : hasil kali dalam dari fungsi f dan g
α, β : orde fraksional
Iαa,+y(x) : integral fraksional Riemann-Liouville kiri dari fungsi y(x)
Iαb,−y(x) : integral fraksional Riemann-Liouville kanan dari fungsi y(x)
Dαa,+y(x) : derivatif fraksional Riemann-Liouville kiri dari fungsi y(x)
Dαb,−y(x) : derivatif fraksional Riemann-Liouville kanan dari fungsi y(x)
CDαa,+y(x) : derivatif fraksional Caputo kiri dari fungsi y(x)
CDαb,−y(x) : derivatif fraksional Caputo kanan dari fungsi y(x)
2 : akhir bukti
ix
Top Related