Download - Setengah Interval

Transcript

METODE SETENGAH INTERVAL

Metode ini adalah metode untuk menentukan titik nol f bila f kontinu. Metode ini

sangat sederhana tetapi konvergennya lambat metode setengah interval didasarkan pada

teorima nilai antara fungsi kontinu, yaitu bahwa suatu selang [ a b ] harus mengandung sutu

titik nol f bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda misalnya dan hal ini

menyarankan metode pengulangan metode setengah interval dan dalam setiap langkah

mengambil setengah langkah mengambil setengah selang yang juga memenuhi persyaratan

tersebut.

Metode ini memerlukan dua nilai sebagai tebakan awal sebut a dan b ,a > b yang

harus memenuhi f(a) > f(b) < 0 selang (a,b) mengandung satu akar. Mula-mula ditentukan

titik tengah selang (a,b) atau selang (a,b) dibagi dua sama panjang, sebut titik tenghanya w

dua selang baru yang diperoleh yakni (a,w) dan (w,b) salah satu diantaranya pasti

mengandung akar. Berikut yang ditinjau adalah selang yang mengandung akar. Pembagi

duaan selang ini dialnjutkan sampai lebar selang yang ditinjau cukup kecil.

Gbr. Metode setengah interval

Penentuan setengah interval yang mengandung akar dilakukan dengan memeriksa tanda dari

hasil kali atau

< 0, berarti akar pada ( a , w )

Halaman : 1 / 30

bw

),( )(wfw ),( )(bfb

akar

= 0, berarti akar = w

> 0, berarti akar pada ( w, b )

Dalam algoritma digunakan peubah-peubah :

a sebagai ujung kiri peubah

b sebagi ujung kanan peubah

w sebagai titik tengah

Algoritma metode setengah interval

1. masukkan

2. Interval atau (taksiran awal ) dapat dihitung sebagai berikut:

3. jika maka akar akar adalah

4. Apabila , maka jika tidak maka

5. ulangi langkah 2

Halaman : 2 / 30

ab

MULAI

a,b,t

ya

Gbr. Flow Chart Metode Setengah interval

Contoh Soal dan penyelesaian

Contoh 1

Persamaan : x3 + x2 - 4x - 2

batas error : 0.005

Interval [0:2]

========================

Halaman : 3 / 30

wfaf W adalah akarnya

Stop

tidak

Iterasi ke 1

Interval [0,2]

Nilai

Iterasi ke 2

Interval [1,2]

Nilai

= -2.375

Iterasi ke 3

Interval [1.5,2]

Halaman : 4 / 30

Nilai

= -0.57813

Iterasi ke 4

Interval [1.75,2]

Nilai

= 0.60742

Halaman : 5 / 30

Iterasi ke 5

Interval [1.75,1875]

Nilai

= -0.01050

Iterasi ke 6

Interval [1.81250,0.875]

Nilai

= 0.29208

Halaman : 6 / 30

Iterasi ke 7

Interval [1.81250,1.8438]

Nilai

Iterasi ke 8

Interval [1.8125,1.8281]

Nilai 1.82032

)8281.18125.1(

2

)(7

baw

Iterasi ke 9

Halaman : 7 / 30

Interval [1.8125,1.8203]

Nilai

Karena

Maka akar persamaan adalah 1.8164

Contoh 2

Persamaan :

Batas error : 0.005

Interval : [1.2]

=======================================================

Iterasi ke 1

Interval [1.2]

nilai

Halaman : 8 / 30

Iterasi ke 2

Interval [1.5,2]

nilai

Iterasi ke 3

Interval [1.5,1.75]

nilai

Halaman : 9 / 30

Iterasi ke 4

Interval [1.625,1.75]

nilai

Iterasi ke 5

Interval [1.68750,1.75]

nilai

Halaman : 10 / 30

Iterasi ke 6

Interval [1.71875,1.75]

nilai

Iterasi ke 7

Interval [1.71875,1.7344]

nilai

Halaman : 11 / 30

Iterasi ke 8

Interval [1.7266,1.7344]

nilai

karena

akar persamaan adalah 1.7305

Contoh 3

Persamaan :

Batas error :0.05

Interval [1,2]

Iterasi ke 1

Interval [1,2]

Nilai

Halaman : 12 / 30

Iterasi ke 2

Interval [1.5,2]

Nilai

Iterasi ke 3

Interval [1.75,2]

Nilai

Halaman : 13 / 30

Iterasi ke 4

Interval [1.75,]

Nilai

Iterasi ke 5

Interval [1.81250,1.875]

Nilai

Halaman : 14 / 30

Iterasi ke 6

Interval [1.81250,1.84375]

Nilai

002689.0

13583.04)84375.1(384375.184375.1

13583.04)82813.1(382813.182813.1

0.006457

13583.04)82813.1(382813.182813.1

005.003125.084375.181250.1

13583.0484375.1384375.184375.1

198.0481250.1381250.181250.1

)()(

23)84375.1(

23)82813.1(

)82813.1()81250.1()()(

23)82813.1()(

23)84375.1(

23)81250.1(

ba

wa

w

ff

f

f

ffff

ff

ba

f

f

Halaman : 15 / 30

Iterasi ke 7

Interval [1.82813,1.84375]

Nilai

Iterasi ke 8

Interval [1.84375,1.83594]

Nilai

karena

Halaman : 16 / 30

Akar persamaan adalah : 1.839845

Contoh 4

Persamaan :

batas error : 0.005

Interval [0,1]

========================================

Iterasi ke 1

Interval [0:1]

Nilai

Iterasi ke 2

Interval [0.5,1]

Halaman : 17 / 30

Nilai

Iterasi ke 3

Interval [0.5,0.75]

Nilai

Iterasi ke 4

Interval [0.625,0.75]

Halaman : 18 / 30

Nilai

Iterasi ke 5

Interval [0.68750,0.75]

Nilai

Iterasi ke 6

Interval [0.68750,0.7188]

Halaman : 19 / 30

Nilai

Iterasi ke 7

Interval [0. 7031,0.7188]

Nilai

Iterasi ke 8

Interval [0. 7109,0.7188]

Halaman : 20 / 30

Nilai

Karena

Akar persamaan adalah 0.7114

Contoh 5

Persamaan :

batas error : 0.005

Interval [1:2]

========================================

Iterasi ke 1

Interval [1,2]

Nilai

Halaman : 21 / 30

Iterasi ke 2

Interval [1,1.5]

Nilai

Iterasi ke 3

Interval [1,1.25]

Nilai

Halaman : 22 / 30

Iterasi ke 4

Interval [1.125,1.25]

Nilai

Iterasi ke 5

Interval [1.125,1.18750]

Nilai

Halaman : 23 / 30

Iterasi ke 6

Interval [1.15625,1.18750]

Nilai

Iterasi ke 7

Interval [1.15625,1.17188]

Halaman : 24 / 30

Nilai

Iterasi ke 8

Interval [1.15625,1.1641]

Nilai

Karena

Akar persamaan adalah 1.160175

Penyelesaian dengan menggunakan program MatLab adalah sebagai berikut :

Listing Program :

%metode setengah interval

clear;

a=input('masukan a = ');

b=input('masukan b = ');

err=0.005;

Halaman : 25 / 30

w0=0;

eps=1;

i=0;

clc;

disp('Perhitungan akar dengan metode Setengah Interval');

fprintf('Rentang awal [%5.4f,%5.4f] \n',a,b);

fprintf('Dengan tingkat kesalahan %7.5f \n\n',err);

disp('========================================================

======');

disp('Iterasi setengah interval error Interval

');

disp('========================================================

======');

while eps>=err

i=i+1;

f1=feval('ps',a);

w=(a+b)/2;

% disp(w);

f2=feval('ps',w);

if f1*f2 ==0

disp('w adalah akarnya');

elseif f1*f2<0

b=w;

else

a=w;

f1=f2;

end

fprintf('%2d %6.4f %5.4f [ %6.4f ;

%6.4f ]\n',i,w,eps,a,b);

eps=abs(w0-w);

w0=w;

Halaman : 26 / 30

end

disp('========================================================

==');

fprintf('akarnya adalah = %6.4f \n',w);

Dimana ps adalah fungsi persamaan yang dicari akarnya, misal :

Contoh Soal dan Penyelesaian Akar Persamaan Dari :

Contoh 1

Persamaan : x3 + x2 - 4x – 2 = 0

Perhitungan akar dengan metode Setengah Interval

Rentang awal [0.0000,2.0000]

Dengan tingkat kesalahan 0.00500

==============================================================

Iterasi setengah interval error Interval

==============================================================

1 1.0000 1.0000 [ 1.0000 ; 2.0000 ]

2 1.5000 1.0000 [ 1.5000 ; 2.0000 ]

3 1.7500 0.5000 [ 1.7500 ; 2.0000 ]

4 1.8750 0.2500 [ 1.7500 ; 1.8750 ]

5 1.8125 0.1250 [ 1.8125 ; 1.8750 ]

6 1.8438 0.0625 [ 1.8125 ; 1.8438 ]

7 1.8281 0.0313 [ 1.8125 ; 1.8281 ]

8 1.8203 0.0156 [ 1.8125 ; 1.8203 ]

9 1.8164 0.0078 [ 1.8125 ; 1.8164 ]

==============================================================

akarnya adalah = 1.8164

Halaman : 27 / 30

function f=ps(x)

f=x^3+x^2-4;

Contoh 2

Persamaan : x3 + x2 - 3x – 3 = 0

Perhitungan akar dengan metode Setengah Interval

Rentang awal [1.0000,2.0000]

Dengan tingkat kesalahan 0.00500

==============================================================

Iterasi setengah interval error Interval

==============================================================

1 1.5000 1.0000 [ 1.5000 ; 2.0000 ]

2 1.7500 1.5000 [ 1.5000 ; 1.7500 ]

3 1.6250 0.2500 [ 1.6250 ; 1.7500 ]

4 1.6875 0.1250 [ 1.6875 ; 1.7500 ]

5 1.7188 0.0625 [ 1.7188 ; 1.7500 ]

6 1.7344 0.0313 [ 1.7188 ; 1.7344 ]

7 1.7266 0.0156 [ 1.7266 ; 1.7344 ]

8 1.7305 0.0078 [ 1.7305 ; 1.7344 ]

==============================================================

akarnya adalah = 1.7305

Contoh 3

Persamaan : x3 + x2 - 3x – 4 = 0

Perhitungan akar dengan metode Setengah Interval

Rentang awal [1.0000,2.0000]

Dengan tingkat kesalahan 0.00500

==============================================================

Iterasi setengah interval error Interval

==============================================================

1 1.5000 1.0000 [ 1.5000 ; 2.0000 ]

2 1.7500 1.5000 [ 1.7500 ; 2.0000 ]

3 1.8750 0.2500 [ 1.7500 ; 1.8750 ]

4 1.8125 0.1250 [ 1.8125 ; 1.8750 ]

Halaman : 28 / 30

5 1.8438 0.0625 [ 1.8125 ; 1.8438 ]

6 1.8281 0.0313 [ 1.8281 ; 1.8438 ]

7 1.8359 0.0156 [ 1.8281 ; 1.8359 ]

8 1.8320 0.0078 [ 1.8281 ; 1.8320 ]

==============================================================

akarnya adalah = 1.8320

Contoh 4

Persamaan : x2 + 2.1x – 2 = 0

Perhitungan akar dengan metode Setengah Interval

Rentang awal [0.0000,1.0000]

Dengan tingkat kesalahan 0.00500

==============================================================

Iterasi setengah interval error Interval

==============================================================

1 0.5000 1.0000 [ 0.5000 ; 1.0000 ]

2 0.7500 0.5000 [ 0.5000 ; 0.7500 ]

3 0.6250 0.2500 [ 0.6250 ; 0.7500 ]

4 0.6875 0.1250 [ 0.6875 ; 0.7500 ]

5 0.7188 0.0625 [ 0.6875 ; 0.7188 ]

6 0.7031 0.0313 [ 0.7031 ; 0.7188 ]

7 0.7109 0.0156 [ 0.7109 ; 0.7188 ]

8 0.7114 0.0078 [ 0.7109 ; 0.7114 ]

==============================================================

akarnya adalah = 0.7114

Contoh 5

Persamaan : x2 + 4x – 6 = 0

Perhitungan akar dengan metode Setengah Interval

Halaman : 29 / 30

Rentang awal [1.0000,2.0000]

Dengan tingkat kesalahan 0.00500

==============================================================

Iterasi setengah interval error Interval

==============================================================

1 1.5000 1.0000 [ 1.0000 ; 1.5000 ]

2 1.2500 1.5000 [ 1.0000 ; 1.2500 ]

3 1.1250 0.2500 [ 1.1250 ; 1.2500 ]

4 1.1875 0.1250 [ 1.1250 ; 1.1875 ]

5 1.1563 0.0625 [ 1.1563 ; 1.1875 ]

6 1.1719 0.0313 [ 1.1563 ; 1.1719 ]

7 1.1641 0.0156 [ 1.1563 ; 1.1641 ]

8 1.1602 0.0078 [ 1.1602 ; 1.1641 ]

==============================================================

akarnya adalah = 1.1602

--ooOoo--

Halaman : 30 / 30