Bahasa
Halaman
Hukum
Saluran Transmisi
1
Sudaryatno Sudirham
Saluran transmisi merupakan koridor yang harus dilalui dalam penyaluran energi listrik. Walaupun rangkaian ekivalen cukup sederhana, terdapat empat hal yang harus diperhatikan yaitu:
Resistansi konduktor, Imbas tegangan di satu konduktor oleh arus yang
mengalir di konduktor yang lain, Arus kapasitif karena adanya medan listrik antar
konduktor, Arus bocor pada isolator.
biasanya diabaikan karena cukup kecil dibandingkan dengan arus konduktor.
Namun arus bocor menjadi sangat penting dalam permasalahan isolator
Saluran transmisi yang akan kita bahas adalah saluran udara, dengan konduktor terbuka yang berarti memenfaatkan udara sebagai
bahan isolasi
2
Sebelum mulai membahas saluran transmisi itu sendiri, perlu kita ingat besaran-besarn fisis udara yang akan masuk dalam
perhitungan-perhitungan saluran transmisi, yaitu:
Permeabilitas: permeabilitas magnetik udara dianggap sama dengan permeabilitas ruang hampa:
H/m 104 700
r
Permitivitas: permitivitas elektrik udara dianggap sama dengan permitivitas ruang hampa:
F/m 36
10
9
0
r
3
Resistansi Seri
4
Beberapa jenis konduktor:
Aluminium: AAL (all aluminium coductor)
Aloy aluminium: AAAL (all aluminium alloy conductor)
Dengan penguatan kawat baja: ACSR (aluminium conductor steel reinforced)
Data mengenai ukuran, konstruksi, resistansi [ per km], radius [cm], GMR [cm] (Geometric Mean Radius) kemampuan mengalirkan arus [A]
dapat kita peroleh namun untuk sementara kita tidak membahasnya dalam paparan ini.
5
Untuk arus searah, resistansi konduktor diformulasikan:
resistivitas bahan [.m] panjang konduktor [m] luas penampang [m2]A
lRdc
[]
C 20 pada agauntuk temb m 1077,1
C 20 pada aluminiumuntuk m. 1083,2o8
o8
Resistivitas tergantung dari temperatur.
6
Pada saluran transmisi kita memperhatikan dua hal berikut :
Arus yang mengalir adalah arus bolak-balik, yang menimbulkan efek kulit (skin effect), yaitu kecenderungan arus mengalir di pinngiran penampang konduktor.
Konduktor saluran transmisi berupa pilinan konduktor sehingga panjang sesungguhnya konduktor lebih besar dari panjang lateral konduktor.
7
Induktansi Seri
8
Tinjau satu konduktor lurus berjari-jari r0, dengan panjang l, yang dialiri arus i. Menurut hukum Ampere,
medan magnet di sekitar konduktor ini adalah:
iHdl
9
Untuk udara: H/m 104 700
r
r
iB
2
Fluksi di luar konduktor yang melingkupi konduktor sampai di titik P yang berjarak DkP dari konduktor adalah
i
r0
x
H
0ln
20
r
DilBldr kP
D
r
luar
P
kPD
0r Pk
jarak konduktor-k sampai titik P
r0 : radius konduktor
Fluksi Sendiri
Hluar
Hdalam
Namun arus mengalir di seluruh penampang konduktor walaupun kerapatan arus di pusat konduktor mungkin berbeda dengan kerapatan arus di dekat permukaannya. Oleh karena itu, selain di sekitar konduktor terdapat juga medan magnet di dalam konduktor.
Untuk menyederhanakan perhitungan, maka medan magnet di sekitar konduktor dan di dalam konduktor disatukan dengan mencari apa yang disebut GMR (Geometric Mean Radius).
GMR merupakan radius konduktor pengganti yang kita bayangkan merupakan konduktor ber-rongga berdinding tipis berjari-jari r′ (yaitu GMR) dan arus mengalir di dinding konduktor berrongga ini. Dengan GMR ini, fluksi di dalam konduktor telah tercakup dalam perhitungan.
r
0r
r
Dil P
1ln2
10
Atau per satuan panjang:r
Di P
1ln2
Oleh karena itu fluksi lingkup total pada konduktor adalah:
Selain fluksi yang ditimbulkan oleh arus yang mengalir padanya,
suatu konduktor juga dilingkupi oleh fluksi yang ditimbulkan oleh arus yang mengalir di konduktor lain yang berdekatan dengannya.
Fluksi sendiri Fluksi bersama
Fluksi Bersama
11
Tinjau satu kelompok n konduktor yang masing-masing dialiri arus ii.
Kelompok konduktor ini merupakan satu sistem saluran dengan:
021 niii
Konduktor ke-k memiliki fluksi lingkup total:
1i
2i
ni
2kD
ki
knkkkkk 11
Fluksi bersama Fluksi sendiri
12
Tinjau satu kelompok n konduktor dan kita hitung fluksi lingkup sampai suatu titik P:
Sampai di titik P konduktor ke-k memiliki fluksi lingkup total:
[m] -kekonduktor GMR :
[m] -kekonduktor radius :
/m][ -kekonduktor resistansi :
kr
kr
kR
k
k
k
P
1i
2i
ni
nPD
2kD
ki
kn
nPn
k
kPk
k
P
k
Pk D
Di
r
Di
D
Di
D
Diln
2ln
2ln
2ln
2 2
22
1
11
Fluksi lingkup sendiri
Untuk mencakup seluruh fluksi, titik P kita letakkan pada posisi semakin jauh, sampai tak hingga.
13
Dengan posisi titik P semakin jauh maka:
DDDDD knkPPP 21
0ln21 Diii n dan
Dengan demikian fluksi lingkup konduktor-k menjadi
kn
n
k
k
kkk D
i
r
i
D
i
D
i 1ln
2
1ln
2
1ln
2
1ln
2 2
2
1
1
fluksi sendiri konduktor k
fluksi karena arus di konduktor yang lain
fluksi karena arus di konduktor yang lain
14
Kalau kita batasi tinjauan pada sistem empat konduktor (3 fasa dan 1 netral), relasi fluksi lingkup setiap konduktor adalah:
AN
NAC
CAB
BA
AA Di
Di
Di
ri
1ln
1ln
1ln
1ln
2
BN
NBC
CB
BAB
AB Di
Di
ri
Di
1ln
1ln
1ln
1ln
2
CN
NC
CAC
BAC
AC Di
ri
Di
Di
1ln
1ln
1ln
1ln
2
NN
CNC
BNB
ANAN r
iD
iD
iD
i1
ln1
ln1
ln1
ln2
15
Impedansi Seri
16
LAB
LBCRC
AI
BI
CI
LAA
LBB
LCC
LNNLCN
LAC
LBN
LAN
NI
RA
RB
RN
A
B
C
N N′
C′
B′
A′
Dengan adanya fluksi lingkup di setiap konduktor maka selain resistansi, setiap konduktor juga mengandung induktansi. Untuk saluran 4 konduktor (3 konduktor fasa dan 1 netral) dengan panjang tertentu kita memiliki rangkaian
ekivalen seperti berikut:
NANCACBABAAAAAA LjLjLjLjRV IIII
NBNCBCAABBBBBBB LjLjLjLjRV IIII
NCNBBCAACCCCCCC LjLjLjLjRV IIII
CCNBBNAANNNNNNN LjLjLjLjRV IIII
17
LAB
LBCRC
AI
BI
CI
LAA
LBB
LCC
LNNLCN
LAC
LBN
LAN
NI
RA
RB
RN
A
B
C
N N′
C′
B′
A′
NAANNNAA VVVV
Jika konduktor N digunakan sebagai referensi, maka:
NBBNNNBB VVVV
NCCNNNCC VVVV
18
CAC
ANB
AB
ANA
A
ANAA
NAN
CAC
BAB
AA
AAAA
D
Dj
D
Dj
r
DjR
Dj
Dj
Dj
rjR
IIII
IIIIIV
ln2
ln2
ln2
1ln
2
1ln
2
1ln
2
1ln
2
CNCN
NBN
BN
NAN
AN
N
CCN
BBN
AAN
NN
NNN
RD
rjR
D
rjR
D
rj
Dj
Dj
Dj
rjR
III
IIIIV
lnlnln
1ln
1ln
1ln
1ln
AN
NAC
CAB
BA
AA Di
Di
Di
ri
1ln
2
1ln
2
1ln
2
1ln
2Karena maka
NN
CNC
BNB
ANAN r
iD
iD
iD
i1
ln1
ln1
ln1
ln2
Karena maka
NAANCNAC
CNANN
BNAB
BNANNA
NA
ANNANNAA
rD
DDjR
rD
DDjR
rr
DjRR
VVI
IIVV
ln2
ln2
ln2
2Jadi:
19
LAB
LBCRC
AI
BI
CI
LAA
LBB
LCC
LNNLCN
LAC
LBN
LAN
NI
RA
RB
RN
A
B
C
N N′
C′
B′
A′
CNAC
CNANNB
NAB
BNANNA
NA
ANNANAAN rD
DDjR
rD
DDjR
rr
DjRR IIIVV
ln2
ln2
ln2
2
Impedansi bersama ZmBImpedansi sendiri ZsA Impedansi bersama ZmC
CNBC
CNBNNB
NB
BNNBA
NBA
ANBNNNBBN rD
DDjR
rr
DjRR
rD
DDjR IIIVV
ln
2ln
2ln
2
2
Impedansi sendiri ZsBImpedansi bersama ZmA Impedansi bersama ZmC
CNC
CNNCB
NCB
BNCNNA
NAB
BNANNNCCN rr
DjRR
rD
DDjR
rD
DDjR IIIVV
2
ln2
ln2
ln2
Impedansi sendiri ZsCImpedansi bersama ZmAImpedansi bersama ZmB
20
LAB
LBCRC
AI
BI
CI
LAA
LBB
LCC
LNNLCN
LAC
LBN
LAN
NI
RA
RB
RN
A
B
C
N N′
C′
B′
A′
Dalam bentuk matriks
C
B
A
sCmBmA
mCsBmA
mCmBsA
A
B
A
C
B
A
ZZZ
ZZZ
ZZZ
I
I
I
V
V
V
V
V
V
ABCABCABCABC Z IVV~
~~
Matriks komponen simetris: 012012012012~
~~IVV Z
/m 1012 TT ABCZZ
21
CONTOH: Satu seksi saluran sepanjang l dengan konfigurasi segitiga sama sisi dan penghantar netral di titik pusat segitiga
B
A
CN
DDAB
DDBC
DDCA
3
DDDD CNBNAN
RRRR CBA
rrrr CBA
rrrr CBA
C
B
A
sCmBmA
mCsBmA
mCmBsA
C
B
A
C
B
A
ZZZ
ZZZ
ZZZ
llI
I
I
V
V
V
V
V
V
11
Dinyatakan per satuan panjang
22
/m ln2
2
N
NssCsBsA rr
DjRRZZZZ
/m 3
ln2
3ln
2
3/ln
2ln
2
2
NNmmCmBmA
NN
NN
NAB
BNANNmA
r
DjRZZZZ
r
DjR
rD
DjR
rD
DDjRZ
2
1
01
012
00
00
00
00
00
002
Z
Z
Z
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
ms
ms
ms
ABC TT
34
2
0
27ln
23
3ln
22ln
22
NN
NN
NNms
rr
DjRR
r
DjR
rr
DjRRZZZ
r
DjR
r
DjR
rr
DjRRZZZZ
NN
NNms
3ln
2
3ln
2ln
2
2
21
23
Transposisi
24
A
A
B
C
N
B
C
3/l3/l 3/l
1AND
2AND
3AND
RRRR CBA :Misalkan rrrr CBA
321 333 NAANNAANNAANNAAN VVl
VVl
VVl
VV
CNABCAAC
CNANCNANCNANN
BNCABCAB
BNANBNANBNANN
ANA
ANANANNANAAN
rDDD
DDDDDDjR
rDDD
DDDDDDjR
rr
DDDjRR
l
I
I
IVV
332211
332211
23
21
21
ln2
33
1
ln2
33
1
ln2
333
11
25
Jika didefinisikan 33321 dan CABCABeANANANx DDDDDDDD
CNABCAAC
CNANCNANCNANN
BNCABCAB
BNANBNANBNANN
ANA
ANANANNANAAN
rDDD
DDDDDDjR
rDDD
DDDDDDjR
rr
DDDjRR
l
I
I
IVV
3/1332211
3/1332211
3/123
21
21
ln2
ln2
ln2
1
maka:
CNe
xNB
Ne
xNA
NA
xNANAAN rD
DjR
rD
DjR
rr
DjRR
lIIIVV
23/122
ln2
ln2
ln2
1
N
xNs rr
DjRRZ
2
ln2 Ne
xNm rD
DjRZ
2
ln2
/m ln
232
32
6
0
Ne
xNms
rrD
DjRRZZZ
/m ln221
r
DjRZZZZ e
ms
26
CONTOH: Tentukan impedansi urutan positif saluran tansmisi:
4,082 m 4,082 m
230 KV L-LI rated 900 A r = 1,35 cm r’ = gmr = 1,073 cm R = 0,088 / km
/km 3877,0088,0
01073,0
143,5ln
2
104)314(88,0ln
2Z
314100 :Hz 50 frekuensiUntuk
H/km 104 H/m 104 :udaraUntuk
m 143,5164,8082,4082,4
4
1
47
3
j
jr
DjR
D
e
e
27
Admitansi
28
Jika konduktor lurus kita anggap tak hingga panjangnya dan mengandung muatan dengan kerapatan , maka geometri untuk
penerapan hukum Gauss menjadi sederhana. Bidang equipotensial di sekitar konduktor akan berbentuk silindris. Displacement dan kuat
medan listrik di suatu titik berjarak x dari konduktor adalah
xEx
2
Beda potensial antara titik A yang berjarak xA dari konduktor dan
titik B yang berjarak xB dari konduktor adalah
A
Bx
x
x
xAB x
xdx
xEdxv
B
A
B
A
ln22
A
xA
B
xB
xDx
2
29
Tinjau konduktor a dengan radius ra bermuatan a dan dua konduktor lain i dan j yang tidak bermuatan
i
Dik
jk, rk , k
Djk
Ini adalah beda potensial konduktor i dan j yang diakibatkan oleh adanya muatan di konduktor a
ik
jkk
k
jk
ik
kkkjikij D
D
r
D
Dr
vvvkkk
ln2
lnln2
ik
jkkij D
Dv
k
ln2
Ini menjadi formula umum
30
Dab
a, ra , a
Dac
Dbc
c, rc , cb, rb , b
cbaabababab vvvv
ac
bccab D
Dv
cln
2
aa
baaab D
Dv
aln
2
ab
bbbab D
Dv
bln
2
ac
bcc
ab
bb
a
abaab D
D
D
r
r
Dv lnlnln
2
1
Tinjau sistem 3 konduktor a, b, c
ik
jkkij D
Dv
k
ln2
Formula umum:
Merupakan superposisi dari vab oleh pengaruh a , b , c seandainya konduktor a dan b tidak bermuatan.
31
ba
caabc D
Dv
aln
2
bb
cbbbc D
Dv
bln
2
bc
cccbc D
Dv
cln
2
bc
cc
b
bcb
ab
acabc D
r
r
D
D
Dv lnlnln
2
1
Dab
a, ra , a
Dac
Dbc
c, rc , cb, rb , b
cbabcbcbcbc vvvv
ik
jkkij D
Dv
k
ln2
Formula umum:
32
Dab
a, ra , a
Dac
Dbc
c, rc , cb, rb , b
cbacacacaca vvvv
ca
aaaca D
Dv
aln
2
cb
abbca D
Dv
bln
2
cc
accca D
Dv
cln
2
c
acc
bc
abb
ca
aaaca r
D
D
D
D
Dv lnlnln
2
1
ik
jkkij D
Dv
k
ln2
Formula umum:
33
Tinjau sistem empat konduktor a, b, c, n.
ncbaananananan vvvvv
c, rc , cb, rb , ba, ra , a n, rn , n
aa
naaan D
Dv
aln
2
ab
nbban D
Dv
bln
2
ac
nccan D
Dv
cln
2
an
nnnan D
Dv
nln
2
an
nn
ac
cnc
ab
bnb
a
anaan D
r
D
D
D
D
r
Dv lnlnlnln
2
1
ik
jkkij D
Dv
k
ln2
Formula umum:
34
ncbaininininin vvvvv
c, rc , cb, rb , ba, ra , a n, rn , n
an
nn
ac
cnc
ab
bnb
a
anaan D
r
D
D
D
D
r
Dv lnlnlnln
2
1
bn
nn
bc
cnc
b
bnb
ba
anabn D
r
D
D
r
D
D
Dv lnlnlnln
2
1
cn
nn
c
cnc
cb
bnb
ca
anacn D
r
r
D
D
D
D
Dv lnlnlnln
2
1
0lnlnlnln2
1
nn
nnn
cn
cnc
bn
bnb
an
anann D
D
D
D
D
D
D
Dv
ncbai , , ,
35
c, rc , cb, rb , ba, ra , a n, rn , n
an
nn
ac
cnc
ab
bnb
a
anaan D
r
D
D
D
D
r
Dv lnlnlnln
2
1
bn
nn
bc
cnc
b
bnb
ba
anabn D
r
D
D
r
D
D
Dv lnlnlnln
2
1
cn
nn
c
cnc
cb
bnb
ca
anacn D
r
r
D
D
D
D
Dv lnlnlnln
2
1
n dapat di-ganti melalui konservasi muatan
0 ncba cban
36
c, rc , cb, rb , ba, ra , a n, rn , n
nac
cnanc
nab
bnanb
na
anaan rD
DD
rD
DD
rr
Dv lnlnln
21 2
nbc
cnbnc
nb
bnb
nba
bnanabn rD
DD
rr
D
rD
DDv lnlnln
2
1 2
nc
cnc
ncb
bncnb
nca
ancnacn rr
D
rD
DD
rD
DDv
2
lnlnln2
1
37
Yang dapat dituliskan dalam bentuk matriks
c
b
a
nc
cn
ncb
bncn
nca
ancn
nbc
cnbn
nb
bn
nba
anbn
nac
cnan
nab
bnan
na
an
c
b
a
rr
D
rD
DD
rD
DD
rD
DD
rr
D
rD
DD
rD
DD
rD
DD
rr
D
v
v
v
ln2
1ln
2
1ln
2
1
ln2
1ln
2
1ln
2
1
ln2
1ln
2
1ln
2
1
2
2
2
c
b
a
cccbca
bcbbba
acabaa
c
b
a
fff
fff
fff
v
v
v
abcabcabc ρFv ~ ~
cbaji
rD
DDf
nij
jninij
, ,,
ln2
1
Ini menjadi formula umum
38
Untuk tegangan sinus keadaan mantap:
c
b
a
cccbca
bcbbba
acabaa
c
b
a
fff
fff
fff
ρ
ρ
ρ
V
V
V
c
b
a
cccbca
bcbbba
acabaa
c
b
a
fff
fff
fff
V
V
V
ρ
ρ
ρ1
abcabcabcabcabc VCVFρ~
~~ -1
F/m -1abcabc FC
abcabc j CY Kita ingat untuk kapasitorQ = C V admitansi
39
abcabc j CY Admitansi
F/m -1abcabc FC
Inversi matriks ini menyulitkan kita untuk menghitung langsung
abcabc YC maupun
Yang lebih mudah kita peroleh langsung dari rangkaian adalah
cccbca
bcbbba
acabaa
abc
fff
fff
fff
F
Oleh karena itu kita mencari TFTF 1
012 abc
yang akan memberikan
1012012
FC
012012 CY j
40
Contoh: Satu seksi saluran sepanjang l dengan konfigurasi segitiga sama sisi dan penghantar netral di titik pusat segitiga
b
a
cN
DDab
DDbc
DDca 3
DDDD cnbnan
rrrr cba
?abcF
?012 F
?012 C
DDDD cabcab
smm
msm
mms
nnn
nnn
nnn
abc
fff
fff
fff
rr
D
Dr
D
Dr
D
Dr
D
rr
D
Dr
D
Dr
D
Dr
D
rr
D
222
222
222
)3/(ln
)3/(ln
)3/(ln
)3/(ln
)3/(ln
)3/(ln
)3/(ln
)3/(ln
)3/(ln
2
1F
cbaji
rD
DDf
nij
jninij
, ,,
ln2
1
formula umum
41
rr
Df
ns 3
ln2
1 2
nm r
Df
3ln
2
1
Kita ingat matriks simetris
2
1
01
012
00
00
00
f
f
f
abc TFTF
di manarr
Dfff
nms 27
ln2
12
4
0
r
Dfff ms ln
2
11
r
Dfff ms ln
2
12
42
012F yang merupakan matriks simetris dengan mudah memberikan
2
1
0
2
1
01
012012
00
00
00
/100
0/10
00/1
C
C
C
f
f
f
FC
34027/ln
2
nrrDC
rD
C/ln
21
rD
C/ln
22
34027/ln
2
nrrDY
rD
Y/ln
21
rD
Y/ln
22
43
Transposisi
44
scbm
msm
mms
abc
fff
fff
fff
F
jiff
jiff
ffff
ijm
ijs
ijijijij
jika
jika 3
1321
A
B
C
N3/l3/l 3/l
3/1
33
23
22
21
33
23
22
21 ln
2
1ln
2
1
3
1
n
ananan
n
ananans
rr
DDD
rr
DDDf
3/1
3332211
3332211
ln2
1
ln2
1
3
1
ncabcab
ancncnbnbnan
ncabcab
ancncnbnbnanm
rDDD
DDDDDD
rDDD
DDDDDDf
cbaji
rD
DDf
nij
jninij
, ,,
ln2
1
formula umum
45
Telah didefinisikan 33321 dan cabcabeanananx DDDDDDDD
ne
xm rD
Df
2
ln2
1
n
xs rr
Df
2
ln2
1
32
6
0 ln2
12
ne
xms
rrD
Dfff
r
Dffff ems ln
2
121
F/m )/ln(
21326
00
nex rrDDfC
F/m )/ln(
21
121 rDf
CCe
S/m 00 CjY
S/m 11 CjY
46
Konstanta PropagasiImpedansi Karakteristik
Rangkaian Ekivalen
47
Impedansi : / mAdmitansi : S / m
Yang kita peroleh dalam perhitungan impedansi dan admitansi suatu saluran transmisi adalah nilai per satuan panjang.
Impedansi dan admitansi ini terdistribusi sepanjang saluran transmisi.
Setiap meternya misalnya, mengandung impedansi dan admitansi.
Hal ini berarti, jika saluran transmisi digunakan untuk menyalurkan energi, di setiap perubahan posisi sepanjang saluran akan terjadi
penurunan tegangan dan penurunan arus
48
Tinjau saluran transmisi (dua konduktor)
ujung kirim
ujung terima
suatu posisi x dihitung dari ujung terima
x
Pertanyaan: Jika tegangan dan arus di ujung terima diketahui, berapakah tegangan dan arus di posisi
berjarak x dari ujung terima?
Persamaan Tegangan dan Arus Saluran Transmisi
sVTegangan
ujung kirim
rVTegangan
ujung terima
rI Arus di ujung terima
49
Tinjau jarak sempit x pada posisi x dari ujung kirim
rVsV
x
rIxI
xV
x
xx I
xx V
xxY V
xxZ I
panjangsatuan per admitansi :
panjangsatuan per impedansi :
Y
Z
Dalam jarak sempit ini terdapat tegangan jatuh
dan arus antar kedua konduktor sebesar sehinggaxx xY VI xx xZ IV
xxxx xZ IVV
xxxx Z
xI
VV
ata
u
xxxx xY III
xxxx Y
xI
II
ata
u
dalam jarak x ini terdapat impedansi dan admitansi sebesar:
xZ xYdan
50
xx Z
dx
dI
V x
x Ydx
dV
I
dx
dZ
dx
d xx IV
2
2
dx
dY
dx
d xx VI
2
2
xx ZY
dx
dV
V
2
2
xx YZ
dx
dI
I
2
2
dan persamaan orde ke-dua
substitusi
dx
d
dx
d xx VIdan
Inilah persamaan tegangan dan arus saluran transmisi. Dalam dua persamaan orde ke-dua ini faktor YZ muncul di keduanya.
ZY2 atau ZY
Jika x 0, kita tuliskan persamaan orde pertama:
konstanta propagasi
Dengan harapan akan memperoleh kemudahan solusi, didefinisikan:
51
Konstanta Propagasi
52
ZY
Konstanta Propagasi:
Karena Z maupun Y adalah bilangan-bilangan kompleks, maka juga bilangan kompleks:
j
Konstanta redaman Konstanta fasa
menyebabkan penurunan amplitudo
gelombang karena desipasi daya sepanjang transmisi. Nilai terkait
dengan resistansi saluran
menyebabkan perubahan fasa dan bentuk
gelombang terkait dengan perubahan
induktansi dan kapasitansi sepanjang
saluran
53
CONTOH:
Dari suatu saluran transmisi telah dihitung impedansi dan admitansi per satuan panjang:
/km 4654,0088,0 jZ S/km 524,3 jYdan
Hitung konstanta propagasi .
kmper 10)2863,11205,0(84,61,29210
3,16967,11090524,33,79474,010
524,3)4654,0088,0(10
)10524,3)(4654,0088,0(
3o3-
o3oo3
3
6
j
jj
jjZY
S/km 105243S/km 524,3 6 ,jjY
Penyelesaian:
54
Dengan konstanta propagasi ZY2
xx ZY
dx
dV
V
2
2Persamaan tegangan orde ke-2:
persaman tersebut menjadi
xx
dx
dV
V 22
2
022
2
xx
dx
dV
V
Persaman karakteristik: ss 022
Solusi: xxx eKeK 21V
rx VV
yang untuk x = 0, yaitu di ujung kirim:
21 KKr V
xx Z
dx
dI
V xxx eKeK
dx
d 11V
21 KKZ rI
21 KKZ r I
Solusi Persamaan Tegangan
Persamaan tegangan orde ke-1:
55
21 KKr V
21 KKZ r I
12KZ r
r
I
V
12K
Z rr
IV
22KZ r
r
I
V
22K
Z rr
IV
)sinh()cosh(
22
2221
xZ
x
eeZee
e
Z
e
Z
eKeK
rr
xxr
xx
r
x
rr
x
rr
xxx
IV
IV
IV
IV
V maka
)sinh()cosh( xZ
x rrx
IVV
56
Persamaan tegangan orde pertama menjadi xx Z
dx
dI
V
)cosh()sinh(
22
xZx
eeZeeZ
dx
d
rr
xxr
xx
rxx
IV
IVI
V
atau )cosh()sinh( xxZ rrx
IVI
Dengan demikian kita mempunyai sepasang persamaan untuk tegangan dan arus, yaitu:
)sinh()cosh( xZ
x rrx
IVV
)cosh()sinh( xxZ rrx
IVI
57
Impedansi Karakteristik
58
)sinh()cosh( xZ
x rrx
IVV )cosh()sinh( xxZ rrx
IVI
Kita perhatikan persamaan tegangan dan arus:
tegangan arus
Ini harus merupakan admitansi
arus arustegangan
Ini harus merupakan impedansi
Maka didefinisikanlah: Impedansi Karakteristik
Impedansi Karakteristik
Y
Z
ZY
ZZZc
Perhatikan: Z adalah impedansi per satuan panjang Y adalah admitansi per satuan panjang Zc adalah impedansi karakteristik
59
CONTOH:
Dari suatu saluran transmisi telah dihitung impedansi dan admitansi per satuan panjang:
/km 4654,0088,0 jZ S/km 524,3 jYdan
Hitung Impedansi Karakteristik.
S/km 105243S/km 524,3 6 ,jjY
35,56,366
903,524
3,79584,110
10524,3
4654,0088,0
o
o
o3
6j
j
Y
ZZc
Penyelesaian:
:Catatan 2
SY
ZZc
60
Apabila d adalah jarak antara ujung kirim dan ujung terima, maka tegangan dan arus di ujung kirim dapat kita peroleh
dengan mengantikan x dengan d pada relasi di atas:
)sinh()cosh( dZd rcrs IVV
)cosh()sinh( ddZ r
c
rs I
VI
Dengan menggunakan impedansi karakteristik Zc sepasang persamaan untuk tegangan dan arus, menjadi:
)sinh()cosh( xZx rcrx IVV
)cosh()sinh( xxZ r
c
rx I
VI
61
Rangkaian Ekivalen
62
Rangkaian Ekivalen
63
Apabila kita hanya ingin mengetahui keadaan di ujung terima dan ujung kirim suatu saluran transmissi, persamaan yang telah kita
peroleh telah cukup untuk melakukan perhitungan
Namun karena saluran transmisi terhubung dengan peralatan lain (transformator misalnya) maka kita perlu menyatakan saluran
transmisi dalam sebuah
Kita tinjau rangkaian ekivalen seperti berikut:
Pada rangkaian ekivalen, impedansi dan admitansi yang terdistribusi sepanjang saluran dimodelkan sebagai impedansi dan admitansi tergumpal Zt dan Yt.
rVsV
rI
2eY
tZ
2tY
sI
rtrtt
rt
rtrs
ZYZ
YZ
IV
VIVV
21
2
rtt
rt
rtrttt
rt
r
st
rt
rs
YZYZY
ZYZYY
YY
IV
IVVI
VVII
21
4
21
22
22
2
Rangkaian Ekivalen
64
Aplikasi hukum Kirchhoff pada rangkaian ini memberikan:
Dengan demikian untuk rangkaian ekivalen kita peroleh persamaan:
rtrtt
s ZYZ
IVV
2
1 rtt
rtt
tsYZYZ
Y IVI
21
4
2
)sinh()cosh( dZd rcrs IVV
Jika kita perbandingkan persamaan tegangan ini dengan persamaan tegangan sebelumnya, yaitu
dan )sinh( dZZ ct )cosh(2
1 dYZ tt
)sinh(
1)cosh(
1)cosh(
2
1)cosh(2
dZ
d
Z
dY
dYZ
c
t
t
tt
2
tanh2 d
ZY
ct
Zt dan Yt adalah “nilai tergumpal” impedansi dan admitansi saluran
kita dapatkan
2tanh
)sinh(
1
2
d
d
ZY ct
65
Jadi dalam rangkaian ekivalen
rVsV
rI
2tY
tZ
2tY
sI
)sinh( dZZ ct
2
tanh2 d
ZY
ct
kirim ujungdan terimaujungjarak d
tikkarakteris impedansi cZ
66
Catatan Tentang Fungsi Hiperbolik Kompleks
Kita mengetahui bahwa 2
sinhxx ee
x
Jika maka:jbax
22)sinh(
)()( jbajbajbajba eeeeeejba
bjbebjbe jbjb sincosdan sincos Kita dapat menuliskan
sehingga
bajba
bee
jbee
bjbebjbejba
aaaa
aa
sincoshcossinh
sin2
)(cos
2
)(
2
)sin(cos)sin(cos)sinh(
Dengan cara yang sama kita dapatkan
bajbajba sinsinhcoscosh )cosh(
Sedangkan)cosh(
)sinh( )tanh(
jba
jbajba
Sebuah catatan perlu diberikan mengenai fungsi hiperbolik kompleks
67
Sistem Tiga Fasa
Seimbang
68
Diagram fasor sumber tiga fasa
Sumber terhubung Y
Keadaan Seimbang
B
A
C
N
VANVBN
VCN
+
+
+
Diagram fasor tegangan
120o
120o
Im
Re
CNV
BNV
o
o
o
240
120
0
CNCN
BNBN
ANAN
VV
VV
VV
CNBNAN VVV
69
Beban Terhubung Y,
Vff
N
A
B
C
Z = R + j X
Z = R + j X
Z = R + j X
NI
AI
BI
CI
70
Beban Terhubung ,
Vff
A
B
C
Z = R + j X
Z = R + j X
Z = R + j X
AI
BI
CI
71
Dalam sistem tiga fasa kita berhadapan dengan paling sedikit 6 peubah sinyal, yaitu 3 tegangan dan 3 arus.
Dalam keadaan seimbang:
33 **3 AAfffS IVIV 333 LLLfff IVIVS
fCBA V VVV LCBA I III 0NI
CBA 3fLLCABCAB VV VVV
sin3sin3cos
cos3cos3cos
33
33
LLLffff
LLLffff
IVIVSQ
IVIVSP jQPS fff 333
A
B
CJaringa
n XJaringa
n Y
AI
BI
CI
CAVABV
BCV
AV BV CV
NI
72
Sistem Tiga Fasa Tak
Seimbang
Komponen Simetris
73
Sistem tiga fasa tidak selalu dalam keadaan seimbang. Pada waktu-waktu tertentu, misalnya pada waktu terjadi hubung singkat satu fasa ke tanah, sistem menjadi tidak seimbang.
Analisis sistem tiga fasa tidak seimbang, dilakukan dengan memanfaatkan komponen simetris.
Pada 1918, C.L. Fortesque memaparkan dalam papernya, bahwa tegangan (ataupun arus) dalam sistem tak seimbang dapat
dinyatakan sebagai jumlah dari tegangan-tegangan (atau arus-arus) yang seimbang. Tegangan-tegangan (atau arus-arus) yang
seimbang ini disebut komponen simetris.
Dengan menggunakan komponen simetris, tegangan dan arus tiga fasa yang dalam keadaan tak seimbang di-transformasikan ke dalam komponen-komponen simetris. Setelah analisis dilaksanakan pada
setiap komponen simetris, dilakukan transformasi balik dan kita dapatkan solusi dari keadaan tak seimbang.
74
Hanya ada 3 kemungkinan fasor seimbang yang bisa menjadi komponen simetris yaitu:
o
o
o
240
120
0
fC
fB
fA
V
V
V
V
V
V
o
o
o
240
120
0
fC
fB
fA
V
V
V
V
V
V
fC
fB
fA
V
V
V
V
V
V
CBA VVV
Urutan Positif Urutan Negatif Urutan Nol
120o
120o VA
VB
VC
Im
Re
120o
120o VA
VC
VB
Im
Re
VA= VB= VC
Im
Re
A
B
CJaringa
n XJaringa
n Y
AI
BI
CI
AV BV CV
NI
75
Operator a
o1201aRe
120o
120o
ImAaV
Aa V2
AV
Badingkan dengan operator j yang sudah kita kenal
o9011 j
Im
ReAV
AjV
Aj V2
Aj V3
Operator a
76
Uraian fasor yang tak seimbang ke dalam komponen-komponen simetris dengan menggunakan operator a
CBA VVV ,,
22
10210
212
0210
210210
VVVVVVV
VVVVVVV
VVVVVVV
aa
aa
CCCC
BBBB
AAAA
77
Urutan nolUrutan positif
Urutan negatif
0112
1 VVV aa 022
22 VVV aa03VVVV CBA
3/0 CBA VVVV
Im
Re
0V120o
120o
Im
1V
1Va
12Va
120o
120o
Im
Re
22Va
2V
2Va
22
10
212
0
210
VVVV
VVVV
VVVV
aa
aa
C
B
A
+
22
12
0 113 VVVVVV aaaaCBA
0 0
3/0 CBA VVVV
2102
24
13
022
22
1022
13
0
210
VVVVVVV
VVVVVVV
VVVV
aaaaaa
aaaaaa
C
B
A
+
22
1022 131 VVVVVV aaaaaa CBA 3/2
1 CBA aa VVVV
+21
202
31
20
2102
23
14
022
210
VVVVVVV
VVVVVVV
VVVV
aaaaaa
aaaaaa
C
B
A
212
022 311 VVVVVV aaaaaa CBA 3/2
2 CBA aa VVVV
Mencari komponen simetris dari fasor tak seimbang
78
Contoh:Carilah komponen simetris dari tiga fasor arus tak seimbang berikut ini.
0 ;609 ;609 oo CBA III
79
ooo
ooo21
606603603
3/)0)60120(9609(3/)(
CBA aa IIII
o
oo
ooo22
1203
3)60sin60(cos31803603
3/)0)60240(9609(3/)(
j
aa CBA IIII
ooo
oo0
03603603
3/)0609609(3/)(
CBA IIII
Transformasi fasor tak seimbang ke dalam komponen simetrisnya dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai:
2
1
0
2
2
1
1
111
V
V
V
V
V
V
aa
aa
C
B
A
80
C
B
A
aa
aa
V
V
V
V
V
V
1
1
111
3
1
2 2
21
0
Dengan cara yang sama, kita peroleh untuk arus:
012~
~
VTV ABC
ABCVTV~
~ 1
012
012~
~
ITI ABC ABCITI~
~ 1
012
Fasor tak seimbang
Fasor tak seimbang Fasor komponen simetris
komponen simetris
Komponen simetris
Fasor tak seimbang
ditulis
ditulis
Fasor tak seimbang
komponen simetris
Inversi matriks [T]
Karena fasor tak seimbang ditransformasi ke dalam komponen simetrisnya maka impedansi harus disesuaikan. Sesuai dengan konsep Impedansi di
kawasan fasor, kita dapat menuliskan relasi :
ABCABCABC Z IV~
~
81
Ini adalah matriks impedansi 33 yang memberikan induktansi sendiri dan induktansi bersama antar fasa
012~
~
VTV ABC
012~
~
ITI ABC
012012~
~
ITVT ABCZ
0121
012~
~
ITTV ABCZ
012012012~
~
IV Z
didefinisikan sebagi TT ABCZZ 1012
relasi komponen simetris
CmBmAsCC
CmBmAsBB
CmBmAsAA
jjXjX
IjjXjX
jjXjX
IXIIVV
XIIVV
IXIIVV
Contoh:
Xm
XmXm
AV BV CV
AI
BI
CI
CBA III
AVBVCV
Tentukan Z012
C
B
A
smm
msm
mms
C
B
A
C
B
A
XXX
XXX
XX
j
I
I
IX
V
V
V
V
V
V
ABCABCABCABC Zj IVV~
~~
Transformasi: 012012012012~
~~
IVV Z
82
)(00
0)(0
00)2(
3300
0)(330
00)2(3
3
1
1
1
111
)()()(
)()()(
)2()2()2(
3
1
1
1
111
1
1
111
3
1
2
2
222
222
2
2
2
21012
ms
ms
ms
ms
ms
ms
smmmsmmms
smmmsmmms
msmsms
smm
msm
mms
ABC
XX
XX
XX
j
XX
XX
XX
j
aa
aaj
aXXaXaXXaXaXXaX
XaaXXXaaXXXaaXX
XXXXXX
aa
aa
XXX
XXX
XXX
j
aa
aaZZ TT
C
B
A
smm
msm
mms
C
B
A
C
B
A
XXX
XXX
XX
j
I
I
IX
V
V
V
V
V
V
ABCABCABCABC Zj IVV~
~~
Transformasi: 012012012012~
~~
IVV Z
)2(0 ms XXjZ )(1 ms XXjZ )(2 ms XXjZ
Impedansi urutan nol
Impedansi urutan positif
Impedansi urutan negatif83
)2(0 ms XXjZ )(1 ms XXjZ )(2 ms XXjZ
Impedansi urutan nol Impedansi urutan positif Impedansi urutan negatif
0Z
0V 0V
1Z
1V 1V
2Z
2V 2V
Masing-masing dipecahkan dengan tatacara rangkaian seimbang.
Transformasi balik memberikan pemecahan rangkaian tak seimbang.
Hasil transformasi merupakan 1 set rangkaian seimbang
84
Rangkaian ekivalen diturunkan dari sistem dua konduktor
Untuk aplikasi pada sistem tiga fasa kita menggunakan komponen simetris.
Masing-masing komponen dalam komponen simetris merupakan fasa-fasa seimbang sehingga masing-masing
komponen dapat di analisis menggunakan rangkaian ekivalen satu fasa.
Dengan demikian masing-masing komponen memiliki rangkaian ekivalen, yaitu rangkaian ekivalen urutan positif, urutan negatif, dan urutan nol.
85
0rV0sV
rI
20tY
0tZ
20tY
0sI
1rV1sV
1rI
21tY
1tZ
21tY
1sI
2rV2sV
2rI
22tY
2tZ
22tY
2sI
Rangkaian Urutan Nol Rangkaian Urutan Positif
Rangkaian Urutan Negatif
000000 YYZZ 111111 YYZZ
222222 YYZZ
][dan ][ matriks diagonal dalam nilaiadalah dan 012012 YZ YZ iiii
86
000 YZ 111 YZ 222 YZ
Konstanta propagasi urutan adalah
Impedansi karakteristik urutan adalah
0
00 Y
ZZc
1
11 Y
ZZc
2
22 Y
ZZc
)sinh(
)sinh(
)sinh(
222
111
000
dZZ
dZZ
dZZ
ct
ct
ct
2tanh
2
2tanh
2
2tanh
2
2
22
1
11
0
00
d
ZY
d
ZY
d
ZY
ct
ct
ct
Impedansi dan Admitansi ekivalen urutan adalah
87
Dalam analisis sistem tenaga, sering dilakukan asumsi bahwa sistem beroperasi dalam keadaan seimbang.
Dengan asumsi ini maka hanya rangkaian urutan positif yang diperlukan, dan dengan mengambil fasa a,
rangkaian ekivalen satu fasa menjadi
aI
Z
jXR
a a′
av2
Yav
2
Y
n n′
88
CONTOH:
Dari suatu saluran transmisi telah dihitung impedansi dan admitansi per satuan panjang:
/km 4654,0088,0 jZ S/km 524,3 jYdan
dan telah dihitung pula impedansi karakteristik serta faktor redaman
o35,56,366 cZ
kmper 10)2863,11205,0( 3 j
Tentukan elemen-elemen rangkaian ekivalen jika panjang saluran transmisi 100 km.
Impedansi dan admitansi ekivalen saluran adalah:
2
tanh1
2dan )sinh(
d
Z
YdZZ
c
tct
Penyelesaian:
89
41,4676,8
10010)2863,11205,0(sinh35,56,366
)sinh(3o
j
j
dZZ ct
o35,56,366 cZ kmper 10)2863,11205,0( 3 j km 100dDengan:
mS 1764,01764,00000262,0
2
10010)2863,11205,0(tanh
35,56,366
1
2tanh
1
2
3
o
jj
j
d
Z
Y
c
t
90
Contoh: Tentukan admitansi urutan positif Y1 saluran tansmisi:
4,082 m 4,082 m
230 KV L-LI rated 900 A r = 1,35 cm r’ = gmr = 1,073 cm R = 0,088 / km
)0135,0/143,5ln(
)2(
)/ln(
)2(
111
j
rD
j
f
jCjY
e
m 143,5164,8082,4082,43 eD
F/km 36
1F/m
36
10 : udara Untuk
9
314100 : Hz 50 frekuensi Pada
S/km 935,2)0135,0/143,5ln(
)36/1)(2(3141
jjY
91
Daya Pada Komponen Simetris
92
CCBBAAfS IVIVIV3
93
Secara umum relasi daya kompleks 3 fasa adalah:
Dalam bentuk matriks jumlah perkalian ini dinyatakan sebagai:
C
B
A
CBAfS
I
I
I
VVV 3
A
B
CJaringa
n XJaringa
n Y
AI
BI
CI
AV BV CV
NI
maka :
ABCABCtfS IV~~
3
Jika fasor tegangan dinyatakan dalam bentuk vektor kolom:
C
B
A
ABC
V
V
V
V~
94
dan fasor arus dinyatakan dalam bentuk vektor kolom:
C
B
A
ABC
I
I
I
I~
C
B
A
CBAfS
I
I
I
VVV 3
dituliskan secara kompak:
012~
~
VTV ABC karena
*
012*
012
*012012
3
~~
~
~
~~
ITTV
ITVT
IV
tt
t
ABCABCtfS
012~
~ITI ABC
maka
dan
100
010
001
3
300
030
003
1
1
111
1
1
111
2
2
2
2
aa
aa
aa
aat TT
95
sehingga *0120123
~~3 IV tfS
atau 2211003 3 IVIVIVfS
Contoh:Tentukan daya kompleks 3 fasa dalam keadaan tak seimbang dimana fasor tegangan fasa dan arus saluran diberikan dalam bentuk matriks sbb:
0
100
100~
ABCV
96
10
10
10~
j
ABCI
Perhatikan bahwa:
C
B
A
ABC
V
V
V
V~
dan
C
B
A
ABC
I
I
I
I~
10001000010001000
10
10
10
0100100
10
10
10
0100100~
3
jj
jj
IS ABCTABCf
V
Contoh:Tentukan daya kompleks 3 fasa dalam Contoh sebelumnya dengan menggunakan komponen simetris
o
o
o
o
2
21012
303100
303100
0
3
1
0240100100
0120100100
0100100
3
1
0
100
100
1
1
111
3
1~~
aa
aaABCVTV
97
1010
1010
2010
3
1
6010601010
6010601010
101010
3
1
10
10
10
1
1
111
3
1~~
oo
oo
2
21012
j
j
j
j
j
j
j
aa
aaABCITI
100010001517513
21000
45210
45210
2010
303
10030
3
1000
~~3
oo
o
ooo
0120123
j
j
S f
IV
98
Hasil perhitungan sama dengan hasil pada Contoh sebelumnya.
Sistem Per-Unit
99
Sistem per-unit merupakan sistem penskalaan atau normalisasi guna mempermudah kalkulasi.
basis nilaiyasesungguhn nilai
unit-per Nilai
100
Nilai basis selalu memiliki satuan sama dengan nilai sesungguhnya sehingga nilai per-unit tidak berdimensi.
Di samping itu nilai basis merupakan bilangan nyata sedangkan nilai sesungguhnya bisa bilangan kompleks.
Kita ambil contoh daya kompleks
*IVS
VVJika dan II maka
)()( SVIS
Kita ambil nilai basis sembarang baseS maka )( base
pu S
SS
Salah satu, Vbase atau Ibase , dapat ditentukan sembarang namun tidak ke-dua-dua-nya. Dengan cara itu maka
basebasebase IVS
Basis impedansi
basepu V
VV
Basis tegangan dan basis arus harus memenuhi relasi
basepu I
II
base
basebase I
VZ
basebasebasebasepu Z
Xj
Z
R
Z
jXR
Z
ZZ
tidak diperlukan menentukan basis untuk R dan X secara sendiri-sendiri
101
Contoh: 3 j4
j8 V 0100 osV
Jika kita tentukan Sbase = 500 VA dan Vbase = 100 V maka
A 5100
500
base
basebase V
SI dan 20
5
100
base
basebase I
VZ
Dalam per-unit, nilai elemen rangkaian menjadi:
pu 1100
100
basepu V
VV pu 15,0
20
3
basepu Z
RR
pu 2,020
4puCX
pu 4,020
8puLX
pu 1,5325,02,015,04,02,015,0 o jjjZ pu
102
pu 1,5341,5325,0
01 oo
o
pu
pupu Z
VI
Penggambaran rangkaian dalam per-unit menjadi
0,15 j0,2 j0,4 o01sV
103
CONTOH:
Terapkan sistem per-unit untuk menyatakan elemen rangkaian ekivalen pada contoh sebelumnya, dengan menggunakan besaran basis:
KV 230dan MVA 1003 LLbasisbasis VS
Dari basis daya dan basis tegangan, kita hitung basis impedansi:
529100
2302
3
2
basis
LLbasisbasis S
VZ
pu 09321,0529,0/1
01764
)10529/(1
1764,0
2
pu 08773,001660529
41,4676,8
3j
jjY
j,j
Z
t
t
Rangkaian ekivalen menjadi seperti di bawah ini.
Penyelesaian:
104
tZ
pu 09321,0j
pu 08773,0pu 01660 j,
pu 09321,0j
Rangkaian ekivalen :
105
Diagram Satu Garis
106
Diagram satu garis digunakan untuk menggambarkan rangkaian sistem tenaga listrik yang sangat rumit. Walaupun demikian diagram satu garis harus tetap memberikan informasi yang diperlukan mengenai hubungan-
hubungan piranti dalam sistem.
YZ
Y loadload
Generator
Pentanahan netral melalui
impedansi
Y
CB
1
3
2 4 5 6
Hubungan Y ditanahkan
Hubungan
Transformator tiga belitan
Transformator dua belitan
Saluran transmisi
Nomor bus
Hubungan Y sering dihubungkan ke tanah. Pentanahan melalui impedansi berarti ada impedansi (biasanya induktif atau resistif) diselipkan antara
titik netral dan tanah. Titik netral juga mungkin dihubungkan secara langsung ke tanah.
107
Saluran Transmisi
Sudaryatno Sudirham
108
Copyright © 2022 FDOKUMEN
