Rancangan Acak Lengkap

Created by : Ika Damayanti, S.Si, M.Si

RAL (Rancangan Acak Lengkap)

Desain dimana perlakuan dikenakan sepenuhnyasecara acak kepada unit- unit eksperimen.

Desain ini dapat digunakan bila unit eksperimenbersifat homogen.

Contoh RAL :

Pemberian obat

Seseorang ingin mengetahui perbedaan mengenaipengaruh dari 4 macam pupuk terhadap hasilpanen jagung. (jenis 1,2,3,4)

Pemberian vitamin pada ayam

Dosis 1

Dosis o

Dosis 2

jantan

betina

Percobaan dengan satu faktorEksperimen dimana hanya mempunyai satu faktor yang nilainya berubah- ubah.

Contoh :Seseorang insinyur tertarik meneliti kekuatan tarik dari sebuah seratsintetik baru yang akan digunakan untuk membuat baju laki – laki. Insinyur tersebut mengetahui dari percobaan sebelumnya bahwakekuatan dipengaruhi oleh persentase serat yang digunakan dalamcampuran material serat. Lebih jauh peneliti menduga bahwa adanya kandungan kapas akanmeningkatkan kekuatan tarik. Insinyur tersebut memutuskan untukmenguji lima level dari % kandungan kapas: 15,20,25,30,35. Insinyur tersebut juga memutuskan untuk menguji lima spesimen/bahan pada masing2 level dari kandungan kapas.

(Montgomery, D. C., 2001;page 60 atau Montgomerry, D.C., 1991, pg 39)

Percobaan dengan satu faktorLevel (a) yang berbeda dari suatu faktor disebutperlakuan (i).

Data dalam tabel 1 menunjukkan pengamatan ke – jdengan perlakuan i.

Maka percobaan diatas merupakan contoh daripercobaan dengan faktor tunggal, dengan level (a=5), replikasi (n=5). Sehingga terdapat 25 rundalam urutan acak.

Ilustrasi (1)

Untuk menunjukkan bagaimana urutan tersebut dirandomisasi, maka misalkan kita buat nomor dariurutan sbb :

% kandungankapas

Nomor percobaan

15 1 2 3 4 5

20 6 7 8 9 10

25 11 12 13 14 15

30 16 17 18 19 20

35 21 22 23 24 25

Ilustrasi (2)

Pilih nomor secara acak antara 1 sampai 25.(misal nomer tersebut adalah 8)

Maka pengamatan no 8 dilakukan terlebih dulu.Proses ini diulang sampai ke- 25 pengamatan terisi.

Urutan Percobaan

Nomor yang di -

run

% berat

cotton 1. 8 20 2. 18 30 3. 10 20 4. 23 35 5. 17 30 6. 5 15 7. 14 25 8. 6 20 9. 15 25 10. 20 30 11. 9 20 12. 4 15 13. 12 25 14. 7 20 15. 1 15 16. 24 35 17. 21 35 18. 11 25 19. 2 15 20. 13 23 21. 22 35 22. 16 30 23. 25 35 24. 19 30 25. 3 15

Ilustrasi (3)Misalkan, didapat hasilurutan sebagai berikut:

Lanjutan …

Setelah dilakukan percobaan, maka didapatkan data sbb:

Observasi% kandungankapas 1 2 3 4 515 7 7 15 11 9 49 9,8

20 12 17 12 18 18 77 15,4

25 14 18 18 19 19 88 17,6

30 19 25 22 19 23 108 21,6

35 7 10 11 15 11 54 10,8

376 15,04

Total Average)( .iy )( .iy

Grafik (1)

Untuk melihat pola data, dilihat secara grafis:

35%30%25%20%15%

25

20

15

10

5

Dat

a

Boxplot of 15%, 20%, 25%, 30%, 35%

(Output MINITAB Vs. 15)

Grafik (2)

35%30%25%20%15%

25

20

15

10

5

% kandungan kapas

Keku

atan

Tar

ik (

lb/i

nc2)

Individual Plot Kekuatan Tensile VS % berat cotton

(Output MINITAB Vs. 15)

Apa yang dapat disimpulkan dari gambar?

Kedua grafik menunjukkan bahwa kekuatan tarik naiksesuai kenaikan kandungan kapas, tapi jikakandungan kapas lebih dari 30% terlihat terjadipenurunan dalam kekuatan tarik.Dari gambar tersebut belum bisa disimpulkan bahwaterdapat perbedaan kekuatan tarik pada persentasekandungan kapas.Berdasarkan grafik sederhana, dapat diduga:

Kandungan kapas mempengaruhi kekuatan tarikJika kandungan kapas dalam kain sebesar 30% berada dalam kekuatan tarik maksimum.

Prosedur yang tepat untuk menguji kesamaanbeberapa means adalah analisis varians (ANOVA).

Analisis Variansi - Satu Arah(one way-ANOVA )

ANOVA adalah :suatu analisis yang digunakan untuk menyelidikihubungan antara variabel respon (dependen) dengan satu atau beberapa variabel prediktor(independen).

ANOVA tidak mempunyai koefisien (parameter) model.

ANOVA untuk RALMisal terdapat a perlakuan yang akan dibandingkan. Responpercobaan dari masing-masing perlakuan a merupakan variabelacak. Dalam bentuk tabulasi, data tersebut adalah :

Observasi Perlakuan 1 2 … … n

Total Rata-rata

1 11y 12y … … ny1 .1y .1y

2 21y 22y … … ny2 .2y .2y

M M M … … M M M M M M … … M M M a 1ay 2ay … … any .ay

.ay ..y

..y

Model percobaan

Persamaan untuk model RAL adalah :

Dengan keterangan :

)1(,...,2,1,...,2,1

⎩⎨⎧==

∈++=njai

y ijiij τµ

ijy adalah variable yang akan dianalisis, dimisalkan berdistribusi normal

µ adalah rata-rata umum atau rata-rata sebenarnya iτ adalah efek perlakuan ke i ij∈ adalah kesalahan, berupa efek yang berasal

dari unit eksperimen ke j yang dikenai perlakuan ke i

Model PercobaanDalam model statistik, persamaan (1) dapat dijelaskan menjadidua kondisi.

1. Model Efek TetapPeneliti telah menentukan terlebih dahulu level faktornya.Model ini membawa ke hipotesis nol bahwa tidak terdapatperbedaan diantara efek2 a buah perlakuan yang terdapatdalam eksperimen.Kesimpulan hanya berlaku untuk a buah perlakuan yang terdapat dalam eksperimen.

2. Model Efek acakPeneliti memilih secara acak a level dari populasi level faktor, maka dikatakan bahwa faktornya acak/random.hipotesis nol yang berbunyi tidak ada perbedaan di antaraefek2 semua perlakuan didalam populasi di mana sebuahsampel telah diambil sebanyak a perlakuan.Kesimpulan berlaku untuk populasi perlakuanberdasarkan sebuah sampel terdiri a buah perlakuan yang diambil dari populasi itu.

Model Efek TetapDalam model efek tetap, efek perlakuan biasanyadidefinisikan sebagai deviasi dari rata- rata mean, sehingga :

Hipotesisnya :

iτ

01

=∑=

a

iiτ

010...

1

210

≠======

i

a

tidakpalingHH

ττττ

Lanjutan …Jika :

∑=

===n

jiiiji ainyyyy

1... ,...,2,1;,

Nyy

yya

i

n

jij

/....

1 1..

=

=∑∑= =

dengan : anN =

[ ]

∑ ∑∑ ∑∑

∑∑

∑∑

= = = = =

= =

= =

−−+−+−=

−+−=

−=

a

i

a

i

n

j

a

i

n

jiijiiiji

a

i

n

jiiji

a

i

n

jijT

yyyyyyyyn

yyyy

yySS

1 1 1 1 1..

2.

2.

2

1 1..

2

1 1

)..)((2)(..)(

)(..)(

..)(

Lanjutan …

Oleh karena itu didapat :

catat bahwa :

0)/()( ...1

.. =−=−=−∑=

nynyynyyy iii

n

jiiij

∑ ∑∑∑∑= = == =

−+−=−=a

i

a

i

n

jiiji

a

i

n

jij yyyynyySST

1 1 1

2.

2.

2

1 1

)(..)(..)(

ETreatmentT SSSSSS +=

∑ ∑∑∑= == = ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=−=

a

i

n

jiij

a

i

n

jiijE yyyySS

1

2

1.

2

1 1. )()(

Tabel ANOVA

Sumber Variasi

SS df MS F0

Treatment ∑=

−=a

iiTreatment yynSS

1

2. ..)(

a-1 )1/( −= aSSMS TreatmentTreatment

E

Treatment

MSMS

F =

Error (dalam percobaan)

TreatmentTE SSSSSS −= N-a )/( aNSSMS EE −=

Total 2

1 1

..)(∑∑= =

−=a

i

n

jijTotal yySS

N-1

Tolak H0 jika aNaFF −−> ,1,0 α

Asumsi residual dalam ANOVA

),0(~ 2σIIDNij∈

Penyelesaian Contoh Kasus :

Model yang berlaku untuk data ini : ijiijy ∈++= τµ

ijy = kekuatan tarik kain ke – j pada kandungan kapas ke – i µ = adalah rata-rata umum kekuatan tarik

iτ = adalah kandungan kapas ke i ij∈ = kesalahan yang merupakan efek kekuatan tarik kain ke j

yang di beri kandungan kapas ke i

Hipotesis =0H tidak terdapat perbedaan pengaruh % kandungan kapas

terhadap kekuatan tarik kain =0H paling tidak terdapat satu perbedaan pengaruh % kandungan

kapas terhadap kekuatan tarik kain

Perhitungan

96,63625

)376()11(....)7(

..)(

222

2..

5

1

5

1

2

25

1

5

1

=

−++=

−=

−=

∑∑

∑∑

= =

= =

Ny

y

yySS

i jij

i jijTotal

20.16176.47596.636

=−=

−= TreatmentTE SSSSSS

76.47525

)376(5

)54(...)49(

..)(

222

1

2.

=

−++

=

−= ∑=

a

iiTreatment yynSS

Tabel ANOVA

Sumber Variasi

SS df MS F0

Treatment 475.76 4 118.94 14.76 Error (dalam percobaan)

161.20 20 8.06

Total 636.96 24

20,4,05.00 FF > Tolak H0 karena 87.276.14 > Jadi terdapat perbedaan rata-rata pengaruh %tase kandungan kapas terhadap kekuatan tarik kain.

Perhitungan menggunakan Minitab 15

Output MinitabOne-way ANOVA: kekuatan tarik versus %kandungan kapas

Source DF SS MS F P%kandungan kapas 4 475.76 118.94 14.76 0.000Error 20 161.20 8.06Total 24 636.96

S = 2.839 R-Sq = 74.69% R-Sq(adj) = 69.63%

Pengujian asumsi residual

5.02.50.0-2.5-5.0

99

90

50

10

1

Residual

Per

cent

20.017.515.012.510.0

5.0

2.5

0.0

-2.5

-5.0

Fitted Value

Res

idua

l

6420-2-4-6

6.0

4.5

3.0

1.5

0.0

Residual

Freq

uenc

y

Mean -9.23706E-16StDev 2.592N 25

24222018161412108642

5.0

2.5

0.0

-2.5

-5.0

Observation Order

Res

idua

l

Normal Probability Plot Versus Fits

Histogram Versus Order

Residual Plots for kekuatan tarik

distribusiNormal

homogen

independen

Model Efek RandomKarena level dari faktor dipilih secara acak, maka kesimpulanyang dibuat dapat mewakili populasi dari level faktor.Model dari efek acak :

Dengan dan merupakan variabel acak. Hipotesis

)2(,...,2,1,...,2,1

⎩⎨⎧

==

∈++=njai

y ijiij τµ

iτ ij∈

00

21

20

≠=

==

τ

τ

σ

σ

HH

ANOVA

ANOVA dan perhitungan untuk model efek random sama dengan model efek tetap. Yang membedakanhanya kesimpulan yang berlaku untuk populasi.