Download - PROYEKSI PENDUDUK DENGAN PROSES ... - … · Proyeksi penduduk merupakan suatu ... memprediksi laju pertumbuhan penduduk pada suatu negara. Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian

Transcript

PROYEKSI PENDUDUK DENGAN PROSES

KELAHIRAN DAN KEMATIAN

SITI MARIA ULFA

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2012

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN

SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Proyeksi

Penduduk dengan Proses Kelahiran dan Kematian adalah karya saya dengan

arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun

kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip

dari karya yang diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan

dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Oktober 2012

Siti Maria Ulfa

NIM G551090051

ABSTRACT

SITI MARIA ULFA. Population Projection with Birth and Death Process. Under

supervision of HADI SUMARNO and ALI KUSNANTO.

A population projection is a scientific calculation based on certain

assumptions of births, deaths, and migration. These three components determine

the size of the population in the future. The aims of this study are to develop

population projection model using birth and death process and to apply the model

to Indonesian population data. This study uses four steps of modelling process.

First, we develop a model of birth and death process with migration. Second, we

verify the model using 1990 Indonesian population data and compare the result

with the real data. Third, using the model we estimate population projection for

the years 2000-2025 based on Indonesian population data of the year 2000 and

compare the result with population projection for years 2000-2025 by BPS.

Finally, we estimate population projection for years 2010-2035 based on

Indonesian population data of the year 2010. The advantage of this model is that

we can give the confidence interval of the estimate besides the value of

estimation. The difference between our projection based on 1990 Indonesian data

and the real data is below 10%, and the difference between our projection based

on Indonesian data of the year 2000 and projection by BPS is less than 6%.

Keywords: population projection, birth and death process.

RINGKASAN

SITI MARIA ULFA. Proyeksi Penduduk dengan Proses kelahiran dan Kematian.

Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan ALI KUSNANTO.

Dalam rangka perencanaan pembangunan di segala bidang, diperlukan

informasi mengenai keadaan penduduk seperti jumlah penduduk, persebaran

penduduk, dan susunan penduduk menurut umur. Hampir semua rencana

pembangunan perlu ditunjang dengan data jumlah penduduk. Data yang

diperlukan tidak hanya menyangkut keadaan pada waktu rencana itu disusun,

tetapi juga informasi masa lampau dan yang lebih penting lagi adalah informasi

perkiraan pada waktu yang akan datang. Data penduduk pada waktu yang lalu dan

waktu kini sudah dapat diperoleh dari hasil-hasil survey dan sensus, sedangkan

untuk memenuhi kebutuhan data penduduk pada masa yang akan datang perlu

dibuat proyeksi penduduk. Proyeksi penduduk merupakan suatu perhitungan

ilmiah yang didasarkan pada asumsi dari komponen-komponen laju pertumbuhan

penduduk, yaitu kelahiran, kematian dan perpindahan (migrasi). Ketiga komponen

inilah yang menentukan besarnya jumlah penduduk di masa yang akan datang.

Salah satu proses stokastik yang bisa di gunakan untuk proyeksi penduduk adalah

proses kelahiran dan kematian, dimana model tersebut dapat digunakan untuk

memprediksi laju pertumbuhan penduduk pada suatu negara.

Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah mengkaji model

kelahiran dan kematian tanpa dan dengan migrasi serta mempertimbangkan

varian. Selanjutnya mengaplikasikan model tersebut pada data penduduk

Indonesia tahun 1990-2010. Untuk melihat validitas dan realibilitas hasil proyeksi,

model dibandingkan denga data riil tahun 1995, 2000, 2005 dan 2010 serta

dibandingkan dengan data hasil proyeksi BPS tahun 2000-2025. Selanjutnya

model tersebut digunakan untuk memproyeksikan penduduk Indonesia sampai

dengan tahun 2035 berdasarkan data tahun 2010.

Penelitian ini menggunakan data sekunder, yaitu data jumlah penduduk

Indonesia tahun 1990-2010. Nilai awal yang digunakan untuk membandingkan

dengan data riil adalah data tahun 1990 yaitu CBR (Angka Kelahiran Kasar)

sebesar 0,0257, CDR (Angka Kematian Kasar) sebesar 0,007 dan angka migrasi

sebesar -0.0015. Sedangkan nilai awal untuk membandingkan dengan data hasil

proyeksi BPS adalah data tahun 2000, yaitu CBR (angka kelahiran kasar) sebesar

0,0184; CDR (angka kematian kasar) sebesar 0,00637 dan angka migrasi sebesar

0,0001.

Model ini memberikan tingkat kesalahan di bawah 10% dibandingkan

dengan data riil. Hasil Proyeksi Penduduk Indonesia sampai tahun 2025

berdasarkan data tahun 2000 memberikan selisih di bawah 6% dibandingkan

dengan proyeksi dari BPS.

Dengan demikian secara umum dapat disimpulkan bahwa hasil proyeksi

model ini tidak jauh berbeda dengan proyeksi BPS maupun kondisi riil. Kelebihan

dari model kelahiran dan kematian dibandingkan dengan model deterministik

adalah telah dipertimbangkannya pengaruh acak antar individu sehingga dapat

dihitung selang kepercayannya. Dari hasil proyeksi juga dapat dilihat bahwa

seiring dengan bertambahnya waktu, lebar dari selang kepercayaannya semakin

meningkat. Hal ini menunjukkan bahwa ketelitian hasil proyeksi semakin

menurun dengan bertambahnya waktu proyeksi.

Kata kunci: proyeksi penduduk, proses kelahiran dan kematian

© Hak cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2012

Hak cipta dilindungi Undang-undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa

mencantumkan atau menyebutkan sumber

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian,

penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau

tinjauan suatu masalah.

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut

Pertanian Bogor.

2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh

karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

PROYEKSI PENDUDUK DENGAN PROSES

KELAHIRAN DAN KEMATIAN

SITI MARIA ULFA

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Magister Sains pada

Departemen Matematika

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2012

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc .

Judul Tesis : Proyeksi Penduduk dengan Proses Kelahiran dan Kematian

Nama : Siti Maria Ulfa

NRP : G551090051

Disetujui

Komisi Pembimbing

Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S. Drs. Ali Kusnanto, M.Si.

Ketua Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana

Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr

Tanggal Ujian: 28-08-2012 Tanggal Lulus:

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-

Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul yang dipilih pada

penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Oktober 2011 ini adalah Proyeksi

Penduduk dengan Proses Kelahiran dan Kematian.

Dalam kesempatan kali ini penulis hendak menyampaikan terima kasih tak

hingga kepada Allah SWT, atas segala nikmat dan kasih sayang-NYA yang tiada

batas. Kepada suami tercinta, Hery Widiyanto, atas doa dan dukungannya.

Kepada Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S dan Drs. Ali Kusnanto, M.Si masing-masing

selaku ketua dan anggota Komisi Pembimbing.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr. Ir. I. Wayan Mangku, M.Sc

selaku penguji luar Komisi dan Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S selaku ketua

Program Studi Matematika Terapan yang telah banyak memberikan saran. Ucapan

terima kasih juga penulis disampaikan pada Departemen Agama Republik

Indonesia yang telah memberikan beasiswa.

Ungkapan terima kasih tak terhingga juga penulis sampaikan kepada suami,

bapak, ibu, adik-adikku dan seluruh keluarga, serta semua teman seperjuangan,

atas segala doa, pengorbanan, dukungan dan kasih sayangnya. Semoga karya

ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Oktober 2012

Siti Maria Ulfa

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Malang, Jawa Timur pada tanggal 3 Februari 1978 dari

ayah M. Hasyim dan ibu Mulyati. Penulis merupakan putri pertama dari lima

bersaudara.

Tahun 1995 penulis lulus dari Madrasah Aliyah Negeri I Malang, dan

masuk Universitas Muhammadiyah Malang. Penulis memilih Jurusan Matematika

pada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan dan selesai pada tahun 2000.

Tahun 2003 penulis menjadi staf pengajar di Madrasah Aliyah Khairul

Bariyyah, Bekasi. Pada tahun 2009 penulis lulus seleksi masuk Program Magister

Program Studi Matematika Terapan di Institut Pertanian Bogor melalui jalur

Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama Republik Indonesia.

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ………………………………………………………… xii

DAFTAR GAMBAR ……………………………………………………… xiii

DAFTAR LAMPIRAN……………………………………………………… xiv

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang .................................................................................. 1

1.2 Tujuan Penelitian ............................................................................... 2

II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Proses Kelahiran Murni ..................................................................... 3

2.2 Proses Kematian Murni...................................................................... 5

III METODE PENELITIAN

3.1 Sumber Data ..................................................................................... 9

3.2 Prosedur Penelitian ............................................................................ 9

IV MODEL KELAHIRAN DAN KEMATIAN

4.1 Model Kelahiran Murni ................................................................... 11

4.2 Model Kelahiran dan Kematian tanpa Migrasi ................................. 13

4.3 Model Kelahiran dan Kematian dengan Migrasi .............................. 16

V APLIKASI MODEL

5.1 Model Kelahiran Murni ................................................................... 19

5.2 Model Kelahiran dan Kematian tanpa Migrasi ................................. 19

5.3 Model Kelahiran dan Kematian dengan Migrasi .............................. 20

5.4 Proyeksi Penduduk menggunakan Data BPS Tahun 2000 ............... 21

5.5 Proyeksi Penduduk menggunakan Data BPS tahun 2010.................. 22

BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN

6.1 Kesimpulan ...................................................................................... 23

6.2 Saran ................................................................................................. 23

DAFTAR PUSTAKA

DAFTAR TABEL

Halaman

1 Hasil simulasi model kelahiran murni dari tahun 1990 -2010 ……….. 19

2 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian tanpa migrasi dari tahun

1990- 2010 …………………………………………………………… 20

3 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian dengan migrasi dari

tahun 1990- 2010 ……………………………………………………. 20

DAFTAR GAMBAR

Halaman

1 Perbandingan antara data hasil proyeksi memakai model dengan data

proyeksi BPS tahun 2000-2025 ............................................................ 21

2 Proyeksi penduduk tahun 2010-2035 berdasarkan data tahun 2010 .... 22

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

1 Definisi-definisi .................................................................................... 27

2 Hasil simulasi model kelahiran murni tahun 1990-2010 berdasarkan

data tahun 1990 .................................................................................... 34

3 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian tanpa migrasi tahun

1990-2010 berdasarkan data tahun 1990 ............................................. 35

4 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian dengan migrasi tahun

1990-2010 berdasarkan data tahun 1990.............................................. 36

5 Proyeksi penduduk tahun 2001-2025 berdasarkan data tahun 2000 .... 37

6 Proyeksi penduduk tahun 2011-2035 berdasarkan data tahun 2010 .... 38

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam rangka perencanaan pembangunan di segala bidang, diperlukan

informasi mengenai keadaan penduduk seperti jumlah penduduk, persebaran

penduduk, dan susunan penduduk menurut umur. Hampir semua rencana

pembangunan perlu ditunjang dengan data jumlah penduduk. Data yang

diperlukan tidak hanya menyangkut keadaan pada waktu rencana itu disusun,

tetapi juga informasi masa lampau dan yang lebih penting lagi adalah informasi

perkiraan pada waktu yang akan datang. Data penduduk pada waktu yang lalu dan

waktu kini sudah dapat diperoleh dari hasil-hasil survey dan sensus, sedangkan

untuk memenuhi kebutuhan data penduduk pada masa yang akan datang perlu

dibuat proyeksi penduduk yaitu perkiraan jumlah penduduk di masa mendatang.

Demografi adalah studi tentang jumlah, komposisi dan distribusi

penduduk, manusia dan perubahan-perubahan dari aspek-aspek tersebut yang

senantiasa terjadi sebagai akibat bekerjanya 5 (lima) proses yaitu fertilitas

(kelahiran), mortalitas (kematian), perkawinan, migrasi dan mobilitas sosial.

Salah satu unsur demografi yang sering menarik perhatian bagi mereka yang

mempelajari ilmu kependudukan adalah proyeksi penduduk. Hal ini karena

pengetahuan yang berkaitan dengan keadaan penduduk suatu daerah di masa

depan mempunyai beragam kegunaan seperti penyusunan rencana pembangunan

sosial ekonomi daerah yang bersangkutan.

Ada banyak model proyeksi penduduk, di antaranya adalah model

pertumbuhan geometris, model eksponensial, dan model logistik. Semua model

tersebut termasuk model deterministik karena tidak memperhitungkan adanya

pengaruh acak antar individu. Model matematika lain yang dapat digunakan untuk

memprediksi ataupun menjelaskan fenomena-fenomena dalam kehidupan kita

sehari-hari adalah proses stokastik. Proses stokastik merupakan suatu model yang

berkaitan dengan suatu aturan-aturan peluang. Salah satu proses stokastik yang

bisa kita gunakan untuk proyeksi penduduk adalah proses kelahiran dan kematian.

Pentingnya proses stokastik dalam kaitannya dengan masalah

pertumbuhan penduduk ditunjukkan oleh Feller (1939), dalam proses kelahiran

2

dan kematian, dengan asumsi tingkat kelahiran dan kematian adalah konstan,

dilambangkan dengan λ0 dan µ0. Proses kelahiran murni pertama kali dipelajari

oleh Yule pada tahun 1924 dan Furry pada tahun 1937 (Ricciardi, 1986).

Kelemahan dari teori Yule-Furry adalah tidak diperhitungkannya peluang dari

spesies yang akan punah dan mengabaikan perbedaan banyaknya spesies yang ada

pada setiap populasi. Sehingga pada tahun 1939 Feller memperkenalkan suatu

teori tentang proses kelahiran dan kematian (Ricciardi, 1986). Sejak saat itu,

proses ini digunakan sebagai model untuk pertumbuhan populasi dan akan kita

pakai sebagai dasar membuat model yang bisa digunakan untuk memproyeksi

jumlah penduduk pada masa yang akan datang.

Penelitian sebelumnya yang dilakukan oleh Susilawati (2005) telah

membahas masalah model proses kelahiran sederhana dan model proses kematian

sederhana, model proses kelahiran dan kematian, tanpa dan dengan migrasi.

Namun pada model proses kelahiran dan kematian dalam penelitian Susilawati

(2005) belum membahas tentang varian. Berdasarkan hal itu, maka penulis

mencoba untuk melengkapi model tersebut dengan mencari varian pada model

proses kelahiran dan kematian, tanpa dan dengan migrasi, kemudian

mengaplikasikannya pada data penduduk Indonesia.

1.2 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah:

1. Mengkaji model kelahiran dan kematian.

2. Mengkaji model kelahiran dan kematian dengan migrasi serta

mempertimbangkan varian.

3. Mengaplikasikan model proses kelahiran dan kematian tanpa dan dengan

migrasi pada data penduduk Indonesia.

3

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Proses Kelahiran Murni

Proses kelahiran murni merupakan proses dimana ada individu yang

datang (lahir) pada suatu sistem (populasi) dan tidak pernah ada yang pergi (mati)

dari sistem tersebut. Diasumsikan peluang suatu individu akan menghasilkan satu

individu baru dalam interval waktu (𝑡, 𝑡 + 𝛿𝑡) adalah λ𝛿𝑡, dengan δ𝑡 yang cukup

kecil dan λ yang menunjukkan laju kelahiran, maka peluang dari seluruh populasi

yang terdiri atas 𝑋(𝑡) individu pada saat 𝑡 dengan interval waktu (𝑡, 𝑡 + 𝛿𝑡)

adalah λ𝑋(𝑡) 𝛿𝑡 + 𝑜(𝛿𝑡). Laju perubahan peluang pada saat t ada sebanyak 𝑛

individu, dapat dirumuskan sebagai persamaan diferensial orde satu sebagai

berikut

𝑑𝑃𝑛𝑑𝑡

= λ(𝑛 − 1)𝑃𝑛−1(𝑡) − λ𝑛𝑃𝑛(𝑡). (1)

Persamaan tersebut diperoleh dengan menentukan peluang dari banyaknya

individu pada interval waktu (𝑡, 𝑡 + δ𝑡) adalah 𝑛 individu.

𝑃𝑛(𝑡 + 𝛿𝑡) = 𝑃(𝑋(𝑡 + 𝛿𝑡) = 𝑛)

= 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛,𝑋(𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝑋(𝑡) = 0) + 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛 − 1, 𝑥(𝑡 + 𝛿𝑡) −

𝑋(𝑡) = 1) + ∑ 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛 − 𝑘,𝑋(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑋(𝑡) = 𝑘)𝑛𝑘=2

= 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛)𝑃(𝑋(𝛿𝑡) − 𝑋(0) = 0) + 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛 − 1)𝑃(𝑋(𝛿𝑡) −

𝑋(0) = 1) + 𝑜(𝛿𝑡)

= 𝑃𝑛(𝑡)𝑃0 (𝛿𝑡) + 𝑃𝑛−1(𝑡)𝑃1(𝛿𝑡) + 𝑜(𝛿𝑡)

= 𝑃𝑛(𝑡)1 − λ𝑛𝛿𝑡 + 𝑜(𝛿𝑡) + 𝑃𝑛−1(𝑡)λ(𝑛 − 1)𝛿𝑡 + 𝑜(𝛿𝑡) + 𝑜(𝛿𝑡)

= 𝑃𝑛(𝑡) − 𝑃𝑛(𝑡)λ𝑛𝛿𝑡 + 𝑃𝑛−1(𝑡)λ(𝑛 − 1)𝛿𝑡 + 𝑜(𝛿𝑡) .

Kedua ruas dibagi dengan 𝛿𝑡, maka

𝑃𝑛(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑃𝑛(𝑡)𝛿𝑡

=𝑃𝑛−1(𝑡)λ(n − 1)δt + o(δt) − 𝑃𝑛(𝑡)λnδt

δt

𝑃𝑛(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑃𝑛(𝑡)𝛿𝑡

= 𝑃𝑛−1(𝑡)λ(𝑛 − 1) − 𝑃𝑛(𝑡)λ𝑛 +𝑜(𝛿𝑡)𝛿𝑡

Setelah dilimitkan dengan δt → 0, diperoleh persamaan (1).

4

Nilai awal 𝑃𝑛(0) = 𝑃𝑋(0) = 𝑛 = 1,𝑛 = 𝑗0,𝑛 ≠ 𝑗 , dengan 𝑗 > 0, yang

menunjukkan banyaknya populasi awal yang diberikan. Dengan kata lain jika

𝑗 = 0, maka proses kelahiran tidak akan terjadi.

Solusi dari persamaan (1), untuk 𝑛 = 𝑗 adalah 𝑃𝑗(𝑡) = 𝑒−λ𝑗𝑡.

Untuk 𝑛 > 𝑗, diambil 𝑛 = 𝑗 + 1 sehingga diperoleh 𝑃𝑗+1(𝑡) = 𝑗𝑒−λ𝑗𝑡(1 −

𝑗𝑒−λ𝑡).

Untuk 𝑛 = 𝑗 + 𝑘 diperoleh 𝑃𝑗+𝑘(𝑡) = 𝑗+𝑘−1𝑗−1 𝑒−λ𝑗𝑡1 − 𝑒−λ𝑡𝑘.

Jika 𝑛 = 𝑗 + 𝑘 ↔ 𝑘 = 𝑛 + 𝑗, maka persamaannya menjadi sebagai berikut

𝑃𝑛(𝑡) = 𝑗+𝑛−𝑗−1𝑗−1 𝑒−λ𝑗𝑡1 − 𝑒−λ𝑡𝑛−𝑗

= 𝑛−1𝑗−1 𝑒−λ𝑗𝑡1 − 𝑒−λ𝑡

𝑛−𝑗. (2)

Persamaan (2) merupakan sebaran binom negatif, berarti banyaknya populasi

pada sebarang waktu t memiliki sebaran binom negatif dengan peluang sukses

𝑒−λ𝑡. Dengan 𝑝 = 𝑒−λ𝑡 dan 𝑞 = 1 − 𝑝 maka fungsi pembangkit momennya

𝑀𝑥(𝑡) = 𝑝𝑗(−𝑗)(1 − 𝑞𝑒𝑡)−𝑗 (3)

Turunan pertama persamaan (3) pada t = 0 adalah :

𝑀′𝑥(𝑡) = 𝑝𝑗(−𝑗)(1− 𝑞𝑒𝑡)−𝑗−1(−𝑞𝑒𝑡) = 𝑗𝑝𝑗𝑞𝑒𝑡(1 − 𝑞𝑒𝑡)−𝑗−1

𝑀′𝑥(0) = 𝑗𝑝𝑗𝑞𝑒0(1 − 𝑞𝑒0)−𝑗−1 = 𝑗𝑝𝑗𝑞(1 − 𝑞)−𝑗−1

= 𝑗𝑝𝑗𝑞𝑝−𝑗−1

= 𝑗𝑞𝑝

.

Turunan keduanya pada t = 0 adalah:

𝑀′′𝑥(𝑡) = 𝑗𝑝𝑗𝑞𝑒𝑡(1 − 𝑞𝑒𝑡)−𝑗−1 + 𝑗𝑝𝑗𝑞𝑒𝑡(−𝑗 − 1)(1 − 𝑞𝑒𝑡)−𝑗−2(−𝑞𝑒𝑡)

= 𝑗𝑝𝑗𝑞𝑒𝑡(1 − 𝑞𝑒𝑡)−𝑗−1 + 𝑗𝑝𝑗𝑞𝑒𝑡(𝑗 + 1)(1− 𝑞𝑒𝑡)−𝑗−2(𝑞𝑒𝑡)

𝑀′′𝑥(0) = 𝑗𝑝𝑗𝑞𝑒0(1 − 𝑞𝑒0)−𝑗−1 + 𝑗𝑝𝑗𝑞𝑒0(𝑗 + 1)(1 − 𝑞𝑒0)−𝑗−2(𝑞𝑒0)

= 𝑗𝑝𝑗𝑞(1 − 𝑞)−𝑗−1 + 𝑗𝑝𝑗𝑞(𝑗 + 1)(1 − 𝑞)−𝑗−2(𝑞)

= 𝑗𝑝𝑗𝑞(𝑝)−𝑗−1 + 𝑗𝑝𝑗𝑞2(𝑗 + 1)(1 − 𝑞)−𝑗−2

= 𝑗𝑝−1𝑞 + 𝑗(𝑗 + 1)𝑝−2𝑞2 = 𝑗𝑞𝑝

+ 𝑗(𝑗 + 1) 𝑞2

𝑝2 .

Nilai harapan diperoleh dari turunan pertama persamaan (3) pada t = 0, sehingga

5

𝛦[𝑋(𝑡)|𝑋(0) = 𝑗] = 𝑗(1−𝑒−𝜆𝑡)𝑒−𝜆𝑡

= 𝑗(𝑒𝜆𝑡 − 1) (4)

Ragam diperoleh dari turunan kedua persamaan (3) pada 𝑡 = 0 dikurangi kuadrat

dari turunan pertama persamaan (3) pada 𝑡 = 0,

𝑉𝑎𝑟𝑋(𝑡)|𝑋(0) = 𝑗 = 𝑀′′𝑥(0) −𝑀′

𝑥(0))2

= 𝑗𝑞𝑝

+ 𝑗(𝑗 + 1) 𝑞2

𝑝2− (𝑗𝑞

𝑝)2

=𝑗𝑞𝑝

+ 𝑗2𝑞2

𝑝2+ 𝑗

𝑞2

𝑝2− (

𝑗𝑞𝑝

)2

= 𝑗𝑞𝑝

+ 𝑗 𝑞2

𝑝2

= 𝑗 𝑞𝑝

(1 + 𝑞𝑝

)

= 𝑗 1−𝑒−𝜆𝑡

𝑒−𝜆𝑡1 + 1−𝑒−𝜆𝑡

𝑒−𝜆𝑡

= 𝑗𝑒 𝜆𝑡 − 1(1 + 𝑒 𝜆𝑡 − 1)

= 𝑗𝑒 𝜆𝑡(𝑒 𝜆𝑡 − 1). (5)

Dari hasil yang diperoleh terlihat bahwa populasi akan semakin meningkat seiring

bertambahnya waktu t dengan keragaman yang semakin bervariasi.

2.2 Proses Kematian Murni

Proses kematian murni adalah proses di mana ada individu yang pergi

(mati) dari suatu sistem (populasi) dan tidak pernah ada yang datang (lahir) ke

sistem tersebut. Proses ini menyebabkan banyaknya populasi yang ada mengalami

penurunan. Diasumsikan peluang suatu individu akan mati pada interval waktu

(𝑡, 𝑡 + δ𝑡) adalah µδ𝑡, dengan δ𝑡 yang cukup kecil dan µ yang menunjukkan laju

kematian, maka peluang dari seluruh populasi yang terdiri atas 𝑋(𝑡) individu pada

saat 𝑡 dengan interval waktu (𝑡, 𝑡 + δ𝑡) adalah µ𝑋(𝑡) δ𝑡 + 𝑜(δ𝑡). Laju perubahan

peluang pada saat 𝑡 ada sebanyak 𝑛 individu, dapat dirumuskan sebagai

persamaan diferensial orde satu sebagai berikut

𝑑𝑃𝑛𝑑𝑡

= µ(𝑛 + 𝑡)𝑃𝑛+1(𝑡) − µ𝑛𝑃𝑛(𝑡). (6)

Persamaan tersebut didapat dengan menentukan peluang dari banyaknya

individu pada interval waktu (𝑡, 𝑡 + δ𝑡) adalah 𝑛 individu.

𝑃𝑛(𝑡 + 𝛿𝑡) = 𝑃(𝑋(𝑡 + 𝛿𝑡) = 𝑛)

= 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛,𝑋(𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝑋(𝑡) = 0) + 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛 + 1, 𝑥(𝑡 + 𝛿𝑡 −

6

𝑋(𝑡) − 1 + ∑ 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛 + 𝑘,𝑋(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑋(𝑡) = −𝑘)𝑛𝑘=2

= 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛)𝑃(𝑋(𝛿𝑡) − 𝑋(0) = 0) + 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛 + 1)

𝑃(𝑋(𝛿𝑡) − 𝑋(0) = −1) + 𝑜(𝛿(𝑡)

= 𝑃𝑛(𝑡)𝑃0 (𝛿𝑡) + 𝑃𝑛+1(𝑡)𝑃−1(𝛿𝑡) + 𝑜(𝛿𝑡)

= 𝑃𝑛(𝑡)1 − µ𝑛𝛿𝑡 + 𝑜(𝛿𝑡) + 𝑃𝑛+1(𝑡)µ(𝑛 + 1)𝛿𝑡 + 𝑜(𝛿𝑡)

= 𝑃𝑛(𝑡) − 𝑃𝑛(𝑡)µ𝑛𝛿𝑡 + 𝑃𝑛−1(𝑡)µ(𝑛 − 1)𝛿𝑡 + 𝑜(𝛿𝑡)

Kedua ruas dibagi dengan 𝛿𝑡, maka

𝑃𝑛(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑃𝑛(𝑡)𝛿𝑡

=𝑃𝑛+1(𝑡)µ(𝑛 + 1)𝛿𝑡 + 𝑜(𝛿𝑡) − 𝑃𝑛(𝑡)µ𝑛𝛿𝑡

𝛿𝑡

𝑃𝑛(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑃𝑛(𝑡)𝛿𝑡

= 𝑃𝑛+1(𝑡)λ(𝑛 + 1) − 𝑃𝑛(𝑡)µ𝑛 +𝑜(𝛿𝑡)𝛿𝑡

Setelah dilimitkan dengan δt → 0, diperoleh persamaan (6).

Nilai awal 𝑃𝑛(0) = 𝑃𝑋(0) = 𝑛 = 1,𝑛 = 𝑗0,𝑛 ≠ 𝑗 , dengan 𝑗 > 0 yang

menunjukkan banyaknya populasi awal yang diberikan.

Solusi dari persamaan (6) untuk 𝑛 = 𝑗 adalah 𝑃𝑗(𝑡) = 𝑒−µ𝑗𝑡, untuk 𝑛 < 𝑗,

ambil 𝑛 = 𝑗 − 1, sehingga diperoleh 𝑃𝑗−1(𝑡) = 𝑗𝑒−µ(𝑗−1)𝑡(1 − 𝑗𝑒−µ𝑡). (7)

Nilai 𝑛≤𝑗 diambil karena pada proses kematian, banyaknya populasi semakin

menurun dari waktu ke waktu.

Selanjutnya persamaan (7) dibuat dalam bentuk kombinasi, sehingga

𝑃𝑗−1(𝑡) = 𝑗𝑗−1 (𝑒−µ𝑡)𝑗−1(1 − 𝑒−µ𝑡)𝑗−(𝑗−1).

Untuk 𝑛 = 𝑗 − 𝑘, diperoleh

𝑃𝑗−𝑘(𝑡) = 𝑗𝑗−𝑘 (𝑒−µ𝑡)𝑗−𝑘(1− 𝑒−µ𝑡)𝑗−(𝑗−𝑘).

Bentuk umumnya adalah,

𝑃𝑛(𝑡) = 𝑗𝑛(𝑒−µ𝑡)𝑛(1− 𝑒−µ𝑡)𝑗−𝑛. (8)

Persamaan (8) merupakan sebaran binom, berarti banyaknya populasi pada

sebarang waktu t memiliki sebaran binom dan mempunyai fungsi pembangkit

momen

𝑀𝑥(𝑡) = (𝑝𝑒𝑡(1 − 𝑝))𝑛, dengan 𝑝 = 𝑒−µ𝑡. (9)

Turunan pertama persamaan (3) pada 𝑡 = 0 adalah :

𝑀′𝑥(𝑡) = 𝑛(𝑝𝑒𝑡 + (1 − 𝑝))𝑛−1𝑝𝑒𝑡

𝑀′𝑥(0) = 𝑛(𝑝𝑒0 + (1 − 𝑝))𝑛−1𝑝𝑒0 = 𝑛𝑝

7

Turunan keduanya pada 𝑡 = 0 adalah:

𝑀′′𝑥(𝑡) = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑝𝑒𝑡 + (1 − 𝑝))𝑛−2𝑝𝑒𝑡𝑝𝑒𝑡 + 𝑛(𝑝𝑒𝑡 + (1 − 𝑝))𝑛−1𝑝𝑒𝑡

= 𝑛(𝑛 − 1)(𝑝𝑒𝑡 + (1 − 𝑝))𝑛−2𝑝𝑒2𝑒2𝑡 + 𝑛(𝑝𝑒𝑡 + (1 − 𝑝))𝑛−1𝑝𝑒𝑡.

𝑀′′𝑥(0) = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑝𝑒0 + (1 − 𝑝))𝑛−2𝑝2𝑒0 + 𝑛(𝑝𝑒0 + (1 − 𝑝))𝑛−1𝑝𝑒0.

= 𝑛(𝑛 − 1)𝑝2 + 𝑛𝑝.

= 𝑛2𝑝2 − 𝑛𝑝2 + 𝑛𝑝.

Nilai harapan diperoleh dari turunan pertama persamaan (9) pada 𝑡 = 0,

sehingga

𝛦[𝑋(𝑡)|𝑋(0) = 𝑗] = 𝑗𝑒−µ𝑡

Ragam diperoleh dari turunan kedua persamaan (9) pada 𝑡 = 0 dikurangi kuadrat

dari turunan pertama persamaan (5) pada 𝑡 = 0,

𝑉𝑎𝑟𝑋(𝑡)|𝑋(0) = 𝑗 = 𝑀′′𝑥(0) −𝑀′

𝑥(0))2

= (𝑛2𝑝2 − 𝑛𝑝2 + 𝑛𝑝) − (𝑛𝑝)2

= 𝑛𝑝 − 𝑛𝑝2

= 𝑛𝑝(1 − 𝑝)

= 𝑗𝑒−µ𝑡(1 − 𝑒−µ𝑡). (10)

Terlihat bahwa banyaknya populasi dan ragamnya menurun secara eksponensial

seiring bertambahnya waktu. Dapat diprediksikan populasi akan punah setelah

waktu yang lama. Definisi-definisi yang diperlukan dalam pembahasan ini dapat

dilihat pada Lampiran 1.

8

9

BAB III

METODE PENELITIAN

3.1 Sumber Data

Penelitian ini menggunakan data sekunder dan merupakan data jumlah

penduduk yang ada di Indonesia. Data yang diambil adalah data hasil sensus BPS

tahun 1990, 2000, 2010 dan data hasil supas BPS tahun 1995, 2005, serta data

hasil proyeksi BPS selama lima belas tahun, dari tahun 2011-2025. Sumber data

diambil dari hasil Sensus dan Supas BPS Indonesia (http://www.datastatistik-

indonesia.com/proyeksi dan http://www.bps.go.id).

3.2 Prosedur Penelitian

1. Mengkaji teori proses kelahiran dan kematian.

2. Mengkaji model proses kelahiran dan kematian dengan migrasi, dengan

memasukkan unsur varian.

3. Mengevaluasi model pada data penduduk Indonesia berdasarkan data

tahun 1990 terhadap data BPS 1995, 2000, 2005 dan 2010.

4. Selanjutnya berdasarkan data tahun 2000 akan di kembangkan untuk

proyeksi penduduk sampai tahun 2025 dan membandingkannya dengan

data hasil proyeksi BPS untuk memperoleh selang kepercayaan.

5. Berdasarkan data BPS tahun 2010, akan buat proyeksi penduduk sampai

tahun 2035.

10

11

BAB IV

MODEL KELAHIRAN DAN KEMATIAN

4.1 Model Kelahiran Murni

Model ini hanya mempertimbangkan jumlah kelahiran saja dan

mengabaikan jumlah kematian, dengan jumlah awal populasi pada waktu 𝑡 adalah

𝑋(𝑡), 𝑡 ≥ 0 dan λ menyatakan laju kelahiran. Karena 𝑀1(𝑡) = 𝐸[𝑋(𝑡)|𝑋(0) = 𝑖]

maka akan didapatkan persamaan diferensial yang dipenuhi oleh 𝑀1(𝑡). Sebelum

mencari nilai harapan dari 𝑋(𝑡), sebagai awalan harus diingat bahwa:

𝑋(𝑡 + ℎ) = 𝑋(𝑡) + 1 , dengan peluang λ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ) 𝑋(𝑡)

, dengan peluang 1 − λ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ)

𝐸[𝑋(𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡)] = (𝑋(𝑡) + 1)λ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ) + 𝑋(𝑡)1 − λ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ)

= 𝑋2(𝑡)λℎ + λ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑋(𝑡) − 𝑋2(𝑡)λℎ + 𝑜(ℎ) = 𝑋(𝑡) + λ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ)

Karena 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑀1(𝑡), sehingga:

𝐸[𝐸(𝑋(𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡))] = 𝐸(𝑋(𝑡)ℎ) + 𝐸(λ𝑋(𝑡)ℎ) + 𝑜(ℎ)

𝑀1(𝑡 + ℎ) = 𝐸(𝑋(𝑡)) + λℎ𝐸(𝑋(𝑡)) + 𝑜(ℎ)

= 𝑀1(𝑡) + λℎ𝑀1(𝑡) + 𝑜(ℎ)

Mengurangkan kedua ruas dengan 𝑀1(𝑡)

𝑀1(𝑡 + ℎ) − 𝑀1(𝑡) = λℎ𝑀1(𝑡) + 𝑜(ℎ)

Ruas kanan dan kiri dibagi dengan ℎ, menghasilkan

𝑀1(𝑡+ℎ)− 𝑀1(𝑡)ℎ

= λℎ𝑀1(𝑡) + 𝑜(ℎ)ℎ

Dilimitkan dengan ℎ→0, maka di peroleh

𝑀′1(𝑡) = λ𝑀1(𝑡)

𝑀′1(𝑡)

𝑀1(𝑡) = λ

Kemudian diintegralkan, sehingga

∫𝑀′1(𝑡)

𝑀1(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ λ 𝑑𝑡

𝑙𝑛𝑀1(𝑡) = λ𝑡 + 𝑐

𝑀′1(𝑡) = 𝑒λ𝑡+𝑐

= 𝑘𝑒λ𝑡, dengan 𝑘 = 𝑒𝑐

12

Karena 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑀1(𝑡) dan 𝑀1(0) = 𝑘 = 𝑖 maka 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑀1(𝑡) = 𝑖𝑒λ𝑡.

Selanjutnya akan dicari varian dari model ini, dan langkah pertama adalah

mencari 𝐸[𝑋2(𝑡)].

𝐸[𝑋2(𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡)] = (𝑋(𝑡) + 1)2 λ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑋2(𝑡)[1 − λ𝑋(𝑡)ℎ] + 𝑜(ℎ)

=(X2(t) + 2X(t) + 1)X(t)λh + X2(t) − X3(t)λh + o(h)

= 𝑋3(𝑡)λℎ + 2𝑋2(𝑡)λℎ + 𝑋(𝑡)λℎ + 𝑋2(𝑡) − 𝑋3(𝑡)λℎ + 𝑜(ℎ)

= 2𝑋2(𝑡)λℎ + 𝑋(𝑡)λℎ + 𝑋2(𝑡) + 𝑜(ℎ)

= 𝑋2(𝑡) + λℎ2𝑋2(𝑡) + 𝑋(𝑡) + 𝑜(ℎ)

Selanjutnya dengan 𝑀2(𝑡) = 𝐸[𝑋2(𝑡)] maka

𝑀2(𝑡 + ℎ) = 𝑀2(𝑡) + +λℎ2𝑀2(𝑡) + 𝑀(𝑡) + 𝑜(ℎ)

𝑀2(𝑡 + ℎ) − 𝑀2(𝑡) = 2λℎ𝑀2(𝑡) + λℎ𝑀(𝑡) + 𝑜(ℎ)

Kedua ruas di bagi dengan ℎ dan dilimitkan dengan ℎ→0, maka diperoleh:

M2(t+h)− M2(t)ℎ

= 2λ𝑀2(𝑡) + λ𝑀𝑥(𝑡) + 𝑜(ℎ)ℎ

𝑑(M2(t))𝑑𝑡

= 2λ𝑀2(𝑡) + λ𝑀𝑥(𝑡)

𝑀′2 (𝑡) = 2λ𝑀2(𝑡) + 𝑖λ𝑒λ𝑡

Mengurangkan kedua ruas dengan 2λ𝑀2(𝑡), sehingga diperoleh:

𝑀′2(𝑡) − 2λ𝑀2(𝑡) = 𝑖λ𝑒λ𝑡

Selanjutnya mengalikan kedua ruas dengan 𝑒−2λ𝑡 sehingga diperoleh

𝑒−2λ𝑡𝑀′2(𝑡) − 2λ𝑀2 (𝑡) = 𝑖λ𝑒−λ𝑡 𝑑𝑑𝑡

𝑒−2λ𝑡 𝑀2 (𝑡) = 𝑖λ𝑒−λ𝑡

Kemudian kedua ruas diintegralkan

∫𝑑(𝑒−2λ𝑡 𝑀2 (𝑡)) = ∫ 𝑖λ𝑒−λ𝑡 𝑑𝑡

𝑒−2λ𝑡 𝑀2 (𝑡) = 𝑖λ−λ𝑒−λ𝑡 + 𝑐

𝑀2 (𝑡) = 𝑖λ−λ𝑒−λ𝑡 + 𝑐 𝑒2λ𝑡

Di lain pihak, 𝑀2 (0) = 𝐸(𝑋2(0) = 𝑖2, sehingga akan diperoleh 𝐶 = 𝑖2 + 1,

dan 𝑉𝑎𝑟 𝑋(𝑡) = 𝐸(𝑋2(𝑡)) − 𝐸(𝑋(𝑡))2

= 𝑀2 (𝑡) – (𝑀(𝑡))2

= −𝑖𝑒−λ𝑡 + (𝑖2 + 𝑖)𝑒2λ𝑡 − (𝑖2𝑒2λ𝑡)

= 𝑖𝑒λ𝑡(𝑒λ𝑡 − 1)

13

Model dengan pendekatan kedua ini mempunyai kemiripan dengan model (4),

dengan jumlah penduduk pada saat 𝑡 adalah 𝑖(𝑒𝜆𝑡 − 1) dan varian 𝑖𝑒λ𝑡𝑒λ𝑡 − 1.

Perbedaannya adalah bahwa pada model yang dihitung adalah jumlah penduduk

pada saat t, sedangkan pada model (4) hanya menghitung pertambahannya saja.

Selanjutnya dengan menggunakan pendekatan kedua, dibuat model berikutnya,

yang merupakan kombinasi dari proses kelahiran dan kematian.

4.2 Model Kelahiran Dan Kematian tanpa Migrasi

Laju pertumbuhan penduduk dipengaruhi oleh proses kelahiran dan

kematian, keduanya tidak dapat dipisahkan, karena memberikan pengaruh pada

pertumbuhan penduduk secara bersamaan. Kedua proses tersebut sekarang

dikombinasikan menjadi satu dengan tingkat kelahiran 𝜆 dan tingkat kematian 𝜇.

Untuk mendapatkan nilai harapan dari 𝑋(𝑡), dengan 𝑡 ≥ 0, sebagai awalan harus

diingat bahwa:

𝑋(𝑡 + ℎ)=𝑋(𝑡) + 1, dengan peluang λ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ) 𝑋(𝑡) − 1, dengan peluang µ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ) 𝑋(𝑡), dengan peluang 1 − ( λ + µ)𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ)

𝐸[𝑋(𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡)] = λ𝑋2(𝑡)ℎ + λ𝑋(𝑡)ℎ + µ𝑋2(𝑡)ℎ − µ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑋(𝑡)

−( λ + µ)𝑋2(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ)

= ( λ + µ)𝑋2(𝑡)ℎ + ( λ− µ)𝑋(𝑡)ℎ + 𝑋(𝑡)

−( λ + µ)𝑋2(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ)

= 𝑋(𝑡) + ( λ− µ)𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ)

Karena 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑀1(𝑡), sehingga:

𝐸[𝐸(𝑋(𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡))] = 𝐸(𝑋(𝑡) + ( λ− µ)𝐸(𝑋(𝑡)ℎ) + 𝑜(ℎ)

𝑀1(𝑡 + ℎ) = 𝐸(𝑋(𝑡) + ( λ− µ)ℎ𝐸𝑋(𝑡) + 𝑜(ℎ)

= 𝑀1(𝑡) + ( λ− µ)ℎ𝑀1(𝑡)) + 𝑜(ℎ)

Mengurangkan kedua ruas dengan 𝑀1(𝑡)

𝑀1(𝑡 + ℎ) − 𝑀1(𝑡) = ( λ− µ)ℎ𝑀1(𝑡) + 𝑜(ℎ)

Ruas kanan dan kiri dibagi dengan h, menghasilkan

𝑀1(𝑡+ℎ)− 𝑀1(𝑡)ℎ

= ( λ− µ)𝑀1(𝑡)) + 𝑜(ℎ)ℎ

Dilimitkan dengan ℎ→0, maka di peroleh

𝑀′1(𝑡) = ( λ− µ)𝑀1(𝑡)

14

𝑀′1(𝑡)

𝑀1(𝑡) = ( λ− µ)

Kemudian diintegralkan, sehingga

∫𝑀′1(𝑡)

𝑀1(𝑡)𝑑𝑡 = ∫( λ− µ) 𝑑𝑡

ln𝑀1(𝑡) = ( λ− µ)𝑡 + 𝑐

𝑀1(𝑡) = 𝑒( λ−µ)𝑡+𝑐

𝑀1(𝑡) = 𝑘𝑒( λ−µ)𝑡

Karena 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑀1(𝑡) dan 𝑀1(0) = 𝑘 = 𝑖 maka 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑀1(𝑡) = 𝑖𝑒(λ−µ)𝑡

Selanjutnya kita akan mencari varian dari model ini, dan langkah pertama

adalah mencari 𝐸[𝑋2(𝑡)].

𝐸[𝑋2(𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡)] = (𝑋(𝑡) + 1)2λ𝑋(𝑡)ℎ + (𝑋(𝑡) − 1)2µ𝑋(𝑡)ℎ +

𝑋2[1 − (λ + µ)𝑋(𝑡)ℎ] + 𝑜(ℎ)

= (𝑋2(𝑡) + 2𝑋(𝑡) + 1)𝑋(𝑡)λℎ + (𝑋2(𝑡) − 2𝑋(𝑡) − 1)

𝑋(𝑡)µℎ + 𝑋2(𝑡)(1 − 𝑋(𝑡)λℎ − 𝑋(𝑡)µℎ + 𝑜(ℎ)

= 𝑋3(𝑡)λℎ + 2𝑋2(𝑡)λℎ + 𝑋(𝑡)λℎ + 𝑋2(𝑡) − 𝑋3(𝑡)λℎ + 𝑜(ℎ)

= 𝑋2(𝑡) + 2(λ− µ)ℎ𝑋2(𝑡) + (λ + µ)ℎ𝑋(𝑡) + 𝑜(ℎ).

Dengan 𝑀2(𝑡) = 𝐸[𝑋2(𝑡)] maka

𝑀2(𝑡 + ℎ) = 𝑀2(𝑡) + 2(λ− µ)ℎ𝑀2(𝑡) + (λ + µ)ℎ𝑀1(𝑡) + 𝑜(ℎ).

Kurangkan kedua ruas dengan 𝑀2(𝑡) , sehingga

𝑀2(𝑡 + ℎ) −𝑀2(𝑡) = 2(λ− µ)ℎ𝑀2(𝑡) + (λ + µ)ℎ𝑀1(𝑡) + 𝑜(ℎ).

Kedua ruas di bagi dengan ℎ dan dilimitkan dengan h→0, maka diperoleh:

𝑀2(𝑡+ℎ)− 𝑀2(𝑡)ℎ

= 2(λ− µ)𝑀2(𝑡) + (λ + µ)𝑀1(𝑡) + 𝑜(ℎ)ℎ

𝑑(𝑀2(𝑡))𝑑𝑡

= 2(λ− µ)𝑀2(𝑡) + (λ + µ)𝑀1(𝑡).

Terdapat dua kasus yang perlu diperhatikan, yaitu 𝜆 ≠ 𝜇 dan 𝜆 = 𝜇.

1. λ ≠ µ

Dari penghitungan sebelumnya diketahui bahwa (𝑡) = 𝑖𝑒(λ−µ)𝑡 , maka:

𝑑(M2(t))𝑑𝑡

= 2(λ− µ)M2(t) + (λ + µ)𝑖𝑒(λ−µ)𝑡

𝑑(M2(t))𝑑𝑡

- 2(λ− µ)M2(t) = (λ + µ)𝑖𝑒(λ−µ)𝑡

Selanjutnya dikalikan kedua ruas dengan 𝑒−2(λ−µ)𝑡 lalu diintegralkan,

𝑒2(λ−µ)𝑡 𝑑(M2(t))𝑑𝑡

- 2(λ− µ)M2(t)= (λ + µ)𝑖𝑒(λ−µ)𝑡𝑒−2(λ−µ)𝑡

15

𝑑𝑑𝑡

𝑒−2(λ−µ)𝑡 𝑀2 (𝑡) = (λ + µ)ie(µ−λ)t

∫𝑑(𝑒−2(λ−µ)𝑡 𝑀2 (𝑡)) = ∫(λ + µ)𝑖𝑒(µ−λ)𝑡 𝑑𝑡

𝑒−2(λ−µ)𝑡 𝑀2 (𝑡) = 𝑖(λ+µ)µ−λ

𝑒(µ−λ)𝑡 + 𝑐

𝑀2 (𝑡) = 𝑖(λ+µ)(µ−λ)𝑒−2(λ−µ)𝑡

𝑒(µ−λ)𝑡 + 𝑐𝑒2(λ−µ)𝑡

= 𝑖(λ+µ)(µ−λ)

𝑒(λ−µ)𝑡 + 𝑐𝑒2(λ−µ)𝑡

Dengan 𝑀2 (𝑡) = i2, dan dievaluasi pada 𝑡 = 0, maka:

𝑀2 (0) = 𝑖(λ+µ) (µ−λ)

𝑒(λ−µ).0 + 𝑐 𝑒2(λ−µ).0

𝑖2 = i(λ+µ) µ−λ

+ c

𝑐 = 𝑖2 − 𝑖(λ+µ) µ−λ

Sehingga didapatkan:

𝑀2 (𝑡) = 𝑖(λ+µ)(µ−λ)

e(λ−µ)t + [𝑖2 − i(λ+µ) µ−λ

] 𝑒2(λ−µ)𝑡

dan diperoleh Varian dari X(t) sebagai berikut:

𝑉𝑎𝑟 𝑋(𝑡) = 𝐸(𝑋2(𝑡)) − 𝐸(𝑋(𝑡))2

= 𝑀2 (𝑡) − (𝑀1 (𝑡))2

= 𝑖(λ+µ) µ−λ

𝑒(λ−µ)𝑡 + 𝑖2 − 𝑖(λ+µ)µ−λ

𝑒2(λ−µ)𝑡 − [𝑖𝑒(λ−µ)𝑡]2

= 𝑖(λ+µ) µ−λ

𝑒(λ−µ)𝑡 + 𝑖2 − 𝑖(λ+µ)µ−λ

𝑒2(λ−µ)𝑡 − 𝑖2𝑒2(λ−µ)𝑡

= 𝑖(λ+µ) µ−λ

𝑒(λ−µ)𝑡 + 𝑖2(µ−λ)−𝑖(λ+µ)−𝑖2(µ−λ)

µ−λ 𝑒2(λ−µ)𝑡

= 𝑖(λ+µ) µ−λ

𝑒(λ−µ)𝑡 − 𝑖(λ+µ) µ−λ

𝑒2(λ−µ)𝑡.

2. Untuk λ = µ

Dari penghitungan sebelumnya diketahui bahwa 𝑀1 (𝑡)= 𝑖𝑒(λ−µ)𝑡. Jika λ = µ

maka 𝑀1 (𝑡)=𝑖 𝑑(𝑀2(𝑡))

𝑑𝑡 = (λ + µ)𝑖

𝑑(𝑀2 (𝑡)) =(λ + µ)𝑖 𝑑𝑡

Selanjutnya diintegralkan kedua ruas

∫𝑑 (𝑀2 (𝑡)) = ∫(λ + 𝜇)𝑖 𝑑𝑡

16

𝑀2 (𝑡) = (λ + 𝜇)𝑖 + 𝑐

Dengan 𝑀2 (0) = 𝑖2, dan dievaluasi pada 𝑡 = 0, maka

𝑀2 (0) = (λ + 𝜇)𝑖 + 𝑐

𝑖2 = (λ + 𝜇)𝑖 + 𝑐

c = 𝑖2 − (λ + 𝜇)𝑖

Sehingga didapatkan:

𝑀2 (𝑡) = (λ + 𝜇)𝑖 + 𝑖2 − (λ + 𝜇)𝑖

𝑀2 (𝑡) = 𝑖2

dan diperoleh varian dari 𝑋(𝑡) sebagai berikut:

𝑉𝑎𝑟 𝑋(𝑡) = 𝐸(𝑋2(𝑡)) − 𝐸(𝑋(𝑡))2

= 𝑀2(𝑡) – (𝑀1 (𝑡))2

= 𝑖2 − 𝑖2

= 0

Jika tingkat kelahiran seimbang dengan tingkat kematian, maka pada akhirnya

jumlah penduduk akan konstan.

4.3 Model Kelahiran dan Kematian dengan Migrasi

Untuk mendapatkan nilai harapan dari 𝑋(𝑡), dengan 𝑡 ≥ 0, sebagai awalan

harus diingat bahwa:

𝑋(𝑡 + ℎ)=𝑋(𝑡) + 1, dengan peluang (λ𝑋(𝑡) + 𝜃)ℎ + 𝑜(ℎ) 𝑋(𝑡) − 1, dengan peluang µ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ) 𝑋(𝑡), dengan peluang 1 − ( λ + µ)𝑋(𝑡) + 𝜃)ℎ + 𝑜(ℎ)

Memakai cara yang sama dengan model sebelumnya, maka akan didapat nilai

harapan sebagai berikut:

𝐸[𝑋(𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡)] = 𝑋(𝑡) + (( λ− µ)𝑋(𝑡) + 𝜃)ℎ + 𝑜(ℎ) .

Karena 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑀1 (𝑡), sehingga 𝑀1 (𝑡) = 𝑘𝑒( λ−µ)𝑡 = 𝑘𝑒( λ−µ)𝑡 + 𝜃𝑡

Karena 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑀1 (𝑡), 𝑀1 (0) = 𝑘 = 𝑖 maka,

𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑀1 (𝑡) = 𝑖𝑒(λ−µ)𝑡 + 𝜃𝑡.

Selanjutnya kita akan mencari varian dari model ini, dan langkah pertama adalah

mencari 𝐸[𝑋2(𝑡)].

𝐸[𝑋2(𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡)] = 𝑋2(𝑡) + 2(λ− µ)ℎ𝑋2(𝑡) + (λ + µ + 2𝜃)ℎ𝑋(𝑡)

+𝜃ℎ + 𝑜(ℎ)

17

Karena 𝑀2(𝑡) = 𝐸[𝑋2(𝑡)] maka,

𝑀2(𝑡 + ℎ) = 𝑀2(𝑡) + 2(λ− µ)ℎ𝑀2(𝑡) + (λ + µ + 2𝜃)ℎ𝑀1(𝑡) + 𝜃ℎ + 𝑜(ℎ)

Kurangkan kedua ruas dengan 𝑀2(𝑡) , sehingga

𝑀2(𝑡 + ℎ) −𝑀2(𝑡) = 2(λ− µ)ℎ𝑀2(𝑡) + (λ + µ + 2𝜃)ℎ𝑀1(𝑡) + 𝜃ℎ + 𝑜(ℎ)

Kedua ruas di bagi dengan ℎ dan dilimitkan dengan h→0, maka diperoleh:

𝑑(𝑀2(𝑡))𝑑𝑡

= 2(λ− µ)𝑀2(𝑡) + (λ + µ + 2𝜃)𝑀1(𝑡) + 𝜃

Terdapat dua kasus yang perlu diperhatikan, yaitu 𝜆 ≠ 𝜇 dan 𝜆 = 𝜇.

1. λ ≠ µ

Dari penghitungan sebelumnya diketahui bahwa 𝑀𝑥(𝑡) = 𝑖𝑒(λ−µ)𝑡 + 𝜃𝑡 , maka:

𝑑(𝑀2(𝑡))𝑑𝑡

- 2(λ− µ)𝑀2(𝑡) = (λ + µ + 2𝜃)𝑖𝑒(λ−µ)𝑡 + 𝜃𝑡 + 𝜃

Menggunakan cara yang sama dengan sebelumnya, maka diperoleh,

𝑀2 (𝑡) = 𝑖(λ+µ+2𝜃) µ−λ

𝑒(µ−λ)𝑡 + (12𝜃𝑡2 + 𝜃𝑡 + 𝐶) 𝑒2(λ−µ)𝑡

Selanjutnya karena 𝑀2 (𝑡) = 𝑖2, dan dievaluasi pada t=0, maka:

C = 𝑖2 − 𝑖(λ+µ+2𝜃) µ−λ

Sehingga didapatkan:

𝑀2 (𝑡) = 𝑖(λ+µ+2𝜃) µ−λ

𝑒(λ−µ)𝑡 + [12𝜃𝑡2 + 𝜃𝑡 + 𝑖2 − 𝑖(λ+µ+2𝜃)

µ−λ] 𝑒2(λ−µ)𝑡

dan diperoleh varian dari 𝑋(𝑡)sebagai berikut:

𝑉𝑎𝑟 𝑋(𝑡) = 𝐸(𝑋2(𝑡)) − 𝐸(𝑋(𝑡))2

= 𝑀2 (𝑡) − (𝑀1 (𝑡))2

= 𝑖(λ+µ+2𝜃)µ−λ

𝑒(µ−λ)𝑡 + 12𝜃𝑡2 + 𝜃𝑡 − 𝑖(λ+µ+2𝜃)

µ−λ 𝑒2(λ−µ)𝑡 +

2𝜃𝑡𝑖𝑒(λ−µ)𝑡 + 𝜃2𝑡2 2. Untuk λ = µ

Dari penghitungan sebelumnya diketahui bahwa 𝑀𝑥 (𝑡)= 𝑘𝑒(λ−µ)𝑡. Jika λ = µ

maka 𝑀𝑥 (𝑡)=𝑘 𝑑(𝑀2(𝑡))

𝑑𝑡 = (λ + µ)𝑘

𝑑(𝑀2 (𝑡)) =(λ + µ)𝑘 𝑑𝑡

Selanjutnya diintegralkan kedua ruas, sehingga:

18

∫𝑑 (𝑀2 (𝑡)) = ∫(λ + 𝜇)𝑘 𝑑𝑡

𝑀2 (𝑡) = (λ + 𝜇)𝑘 + 𝐶

Dengan 𝑀2 (0) = 𝑖2, dan dievaluasi pada 𝑡 = 0, maka

𝑀2 (0) = (λ + 𝜇)𝑖 + 𝐶

𝑖2 = (λ + 𝜇)𝑖 + 𝐶

C = 𝑖2 − (λ + 𝜇)𝑖

Sehingga didapatkan:

𝑀2 (𝑡) = (λ + 𝜇)𝑖 + 𝑖2 − (λ𝑝 + 𝜇)𝑖

𝑀2 (𝑡) = 𝑖2

dan diperoleh varian dari 𝑋(𝑡) sebagai berikut:

𝑉𝑎𝑟 𝑋(𝑡) = 𝐸(𝑋2(𝑡)) − 𝐸(𝑋(𝑡))2

= 𝑀2(𝑡) – (𝑀𝑥(𝑡))2

= 𝑖2 − 𝑖2

= 0

Jika λ = µ , artinya tingkat kelahiran seimbang dengan tingkat kematian dan pada

akhirnya jumlah penduduk akan konstan.

19

BAB V

APLIKASI MODEL

5.1 Model Kelahiran Murni

Pada bab sebelumnya telah diperoleh model kelahiran murni dengan

𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑖𝑒λ𝑡 dan 𝑉𝑎𝑟 𝑋(𝑡) = 𝑖𝑒λ𝑡(𝑒λ𝑡 − 1). Selanjutnya akan diaplikasikan

pada data penduduk Indonesia, dan mengambil λ = 0,0257 yang merupakan

angka kelahiran kasar (CBR) data BPS tahun 1990. Sedangkan angka kematian

dan migrasi di anggap tidak ada. Hasil proyeksi yang diperoleh disajikan pada

Tabel 1.

Tabel 1 Hasil simulasi model kelahiran murni dari tahun 1990 -2010

Tahun Jumlah

penduduk Jumlah

penduduk Batas bawah

Batas atas |Error|

( data BPS) (model) (%) 1990 179.378.946 179.378.946 179.378.946 179.378.946 0 1995 194.754.808 203.975.642 203.965.276 203.986.007 4,73 2000 205.132.458 231.945.072 231.928.913 231.961.231 13,07 2005 218.868.791 263.749.709 231.928.914 263.771.540 20,51 2010 237.641.326 299.915.444 231.928.915 299.943.269 26,21

Berdasarkan hasil pada tabel tersebut, dapat dilihat bahwa jika dibandingkan

dengan data penduduk riil tahun 1995-2000, tingkat kesalahan yang diperoleh

semakin membesar seiring bertambahnya waktu. Hal ini adalah wajar dalam

sebuah proyeksi, karena dengan semakin bertambahnya waktu berarti jarak tahun

yang diproyeksi terhadap angka awal yang diambil semakin besar. Hasil

selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 2.

5.2 Model Kelahiran dan Kematian tanpa Migrasi

Selanjutnya dilakukan proyeksi berdasarkan data BPS tahun 1990 dengan

λ = 0,0257 dan 𝜇 = 0,007, yang merupakan angka kelahiran kasar (CBR) dan

angka kematian kasar (CDR), sedangkan angka migrasi dianggap tidak ada. Hasil

proyeksi yang diperoleh disajikan pada Tabel 2.

20

Tabel 2 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian tanpa migrasi dari tahun

1990- 2010

Tahun Jumlah

penduduk Jumlah

penduduk Batas bawah Batas atas |Error|

( data BPS) (model) (%) 1990 179.378.946 179.378.946 179.378.946 179.378.946 0 1995 194.754.808 196.959.985 196.948.597 196.971.372 1,13 2000 205.132.458 216.264.152 216.246.868 216.281.435 5,43 2005 218.868.791 237.460.332 237.437.605 237.483.058 8,49 2010 237.641.326 260.733.962 260.705.778 260.762.146 9,72

Berdasarkan hasil pada tabel tersebut, pada saat dibandingkan dengan data hasil

BPS tingkat kesalahan yang diperoleh semakin membesar seiring bertambahnya

waktu. Tetapi tingkat kesalahannya masih lebih kecil jika dibandingkan dengan

model sebelumnya, karena pada model ini sudah dikombinasi antara kelahiran dan

kematian. Hasil selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 3.

5.3 Model Kelahiran dan Kematian dengan Migrasi

Selanjutnya dilakukan proyeksi berdasarkan data BPS tahun 1990 dengan

λ = 0,0257 , 𝜇 = 0,007 , dan 𝑟 = 0,0136. Angka migrasi (𝜃) diduga dengan

cara 𝜃 = 𝑟 − λ + 𝜇, sehingga diketahui 𝜃 = −0,0015. Hasil proyeksi yang

diperoleh disajikan pada Tabel 3.

Tabel 3 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian dengan migrasi dari tahun

1990- 2010

Tahun Jumlah

penduduk Jumlah

penduduk Batas bawah Batas atas |Error|

( data BPS) (model) (%) 1990 179.378.946 179.378.946 179.306.164 179.451.728 0 1995 194.754.808 196.959.985 196.883.719 197.036.249 1,13 2000 205.132.458 216.264.152 216.184.237 216.344.067 5,43 2005 218.868.791 237.460.332 237.376.592 237.544.072 8,49 2010 237.641.326 260.733.962 260.646.214 260.821.709 9,72

Tingkat kesalahan yang diperoleh model ini tidak jauh berbeda dengan model

kelahiran dan kematian tanpa migrasi. Hal ini karena nilai migrasi di Indonesia

yang sangat kecil. Hasil selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 4.

21

5.4 Proyeksi Penduduk Menggunakan Data BPS Tahun 2000

Selanjutnya dilakukan proyeksi berdasarkan data BPS tahun 2000 dengan

λ = 0,0206, 𝜇 = 0,007, dan 𝜃 = 0. Hasil penghitungan dapat dilihat pada

Gambar 1, dan hasil penghitungan lengkap dapat dilihat pada Lampiran 5.

Gambar 1 Perbandingan antara data hasil proyeksi memakai model dengan data

proyeksi BPS tahun 2000-2025

Dari Gambar 1 dapat dilihat bahwa semakin bertambahnya tahun proyeksi, selisih

antara data hasil proyeksi memakai model dan data hasil proyeksi BPS semakin

besar.

5.5 Proyeksi Penduduk Menggunakan Data BPS Tahun 2010

Data hasil sensus terakhir yang ada di Indonesia adalah data tahun 2010,

maka akan dilakukan proyeksi berdasarkan data tahun 2010 tersebut. Dengan

λ = 0,0184, 𝜇 = 0,0063 , dan 𝑟 = 0,0122 dimana 𝑟 merupakan angka laju

pertumbuhan penduduk dan digunakan untuk mencari angka migrasi, sehingga

-

50,000,000

100,000,000

150,000,000

200,000,000

250,000,000

300,000,000

350,000,000

2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2015 2017 2019 2021 2023 2025

Jum

lah

Pend

uduk

Tahun

Proyeksi BPS

Model

22

diketahui 𝜃 = 0,0001. Hasil penghitungan dapat dilihat pada Gambar 2, dan hasil

penghitungan lengkap dapat dilihat pada Lampiran 6.

Gambar 2 Proyeksi memakai model dengan data hasil proyeksi BPS tahun 2010

Dari Gambar 2 dapat dilihat bahwa jumlah penduduk Indonesia diprediksi akan

semakin meningkat dari tahun 2010-2035. Selanjutnya seperti disajikan pada

Lampiran 6, proyeksi penduduk tahun 2015, 2020, 2025, 2030 dan 2035 berturut

turut mempunyai hasil 252.462.445; 268.207.921; 284.935.404; 302.706.141 dan

321.585.196; dengan selang kepercayaan [252.446.931; 252.477.958],

[268.185.287; 268.230.554], [284.906.789; 284.964.020], [302.672.011;

302.740.271] dan [321.545.757; 321.624.634].

-

50,000,000

100,000,000

150,000,000

200,000,000

250,000,000

300,000,000

350,000,000

2010 2012 2015 2017 2019 2021 2023 2025 2027 2029 2031 2033 2035

Jum

lah

Pend

uduk

Tahun

Model

23

BAB VI

KESIMPULAN DAN SARAN

6.1 Kesimpulan

1. Kelebihan dari model kelahiran dan kematian dengan migrasi yang

dibahas dalam tulisan ini mampu memberikan selang kepercayaan, di

samping memberikan nilai estimasinya.

2. Setelah diaplikasikan pada data sebenarnya, model ini memberikan tingkat

kesalahan dibawah 10% dibandingkan dengan data sebenarnya dalam

jangka waktu 20 tahun.

3. Berdasarkan data tahun 2000, dapat dibuat proyeksi penduduk Indonesia

sampai tahun 2025. Hasil dari proyeksi ini memberikan selisih dibawah

6% dibandingkan dengan proyeksi dari BPS.

6.2 Saran

Dalam penelitian ini, penulis tidak memisahkan antara laki-laki dan perempuan,

selanjutnya disarankan untuk diadakan penelitian lebih lanjut dengan memisahkan

antara laki-laki dan perempuan.

24

25

DAFTAR PUSTAKA

Adioetomo SM & Samosir OB. 2010. Dasar-dasar Demografi. Lembaga

Demografi, Jakarta.

Bain LJ & Engelhart M. 2001. Introduction to Probability and Mathematical

Statistics. Oxford University Press, USA.

Bappenas. 2005. Proyeksi Penduduk Indonesia 2000-2025. BPS-Bappenas,

Jakarta (http://www.bps.go.id dan http://www. Datastatistik-

Indonesia.com/proyeksi) [23 Juli 2012]

Farlow SJ. 2006. An Intoduction to Differential Equation and their Aplication.

Dover Publication, New York.

Grimmet GR. & Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes.

3rd Ed. Oxford University Press, USA.

Hogg RV, Mc Kean JW, & Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical

Statistic. 6th Ed. Pearson Education, Michigan.

Ricciardi LM. 1986. Stochastic Population Theory: Birth and Death Processes

Mathematical Ecology an Introduction. Springer-Verlag. Berlin.

Ross SM. 1996. Stochastic Processes. 2nd Ed. John Wiley & Sons, Inc,

New York.

Susilawati W. 2005. Pemodelan stokastik suatu populasi dengan proses

kelahiran dan kematian. [Skripsi] Bogor : Program Sarjana, Institut

Pertanian Bogor.

Taylor HM. 1998. An Introduction to Stochastic Modeling. 3th Ed. Academic

Press, New York .

United Nations. 1983. Manual x : Indirect techniques for demographic estimation.

NewYork.

LAMPIRAN

27

Lampiran 1 Definisi-definisi

Definisi 1 Sensus Penduduk

Sensus Penduduk adalah suatu proses pengumpulan, pengolahan, dan penyajian

data kependudukan termasuk ciri-ciri sosial ekonominya yang dilaksanakan dalam

suatu waktu tertentu terhadap semua orang dalam suatu negara atau suatu

teritorial tertentu.

[Lembaga Demografi FE UI 2010]

Definisi 2 Survei

Survei adalah suatu kegiatan yang berhubungan dengan suatu metode

pengumpulan data. Dalam bidang kependudukan, survei dilakukan untuk

memperoleh data yang terperinci dan spesifik serta untuk memenuhi kebutuhan

antar sensus (Survei Penduduk Antar Sensus atau SUPAS).

[Lembaga Demografi FE UI 2010]

Definisi 3 Percobaan Acak

Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan, yang biasanya

dilakukan dalam kondisi yang sama. Walaupun dapat mengetahui semua

kemungkinan hasil yang akan muncul, tetapi hasil pada percobaan berikutnya

tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan yang dapat diulang dalam kondisi

yang sama semacam ini, disebut percobaan acak.

[Hogg , Mc Kean & Craig 2005]

Definisi 4 Ruang Contoh dan Kejadian

Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang

contoh, dinotasikan dengan Ω.. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari

ruang contoh Ω.

[Grimmet & Stirzaker 2001]

Definisi 5 Medan-σ dan Peubah Acak

Medan-σ adalah suatu himpunan Ƒ yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian

ruang contoh Ω, serta memenuhi kondisi berikut:

1. φ ∈ Ƒ.

28

2. Jika A1, A2, … 𝜖 Ƒ maka ⋃ 𝐴∞𝑖=1 𝑖 𝜖 Ƒ.

3. Jika A 𝜖 Ƒ, maka Ac ∈ Ƒ.

Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X : Ω → R dengan sifat bahwa

𝑤 ∈ Ω; X(w) ≤ x ∈ Ƒ, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅

[Grimmet & Stirzaker 2001]

Definisi 6 Ukuran Peluang

Ukuran peluang adalah suatu fungsi 𝑃: Ƒ → [0,1] pada (Ω,Ƒ) yang memenuhi:

1. 𝑃(∅) = 0,𝑃(Ω) = 1

2. Jika A1, A2, … ∈ Ƒ adalah himpunan saling lepas, yaitu 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅ untuk

setiap pasangan i≠j, maka 𝑃⋃ 𝐴∞𝑖=1 𝑖 = ∑ 𝑃(𝐴𝑖 )∞

𝑖=1 . Pasangan (Ω,Ƒ,𝑃)

disebut ruang peluang.

[Grimmet & Stirzaker 2001]

Definisi 7 Kejadian Saling Bebas

Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) . Secara

umum, himpunan kejadian 𝐴𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼 dikatakan saling bebas jika 𝑃⋂ 𝐴𝑖𝑖𝜖𝐽 =

∏ 𝑃(𝐴𝑖)𝑖∈𝐽 , untuk setiap himpunan bagian berhingga J dari I.

[Grimmet & Stirzaker 2001]

Definisi 8 Peubah Acak Diskret

Jika himpunan nilai semua kemungkinan dari peubah acak X adalah himpunan

yang dapat dicacah, maka X disebut peubah acak diskret.

[Bain & Engelhardt 2001]

Definisi 9 Peubah Acak Kontinu

Suatu peubah acak X disebut kontinu jika fungsi sebarannya dapat dinyatakan

sebagai 𝐹𝑋(𝑥) = ∫ 𝐹𝑋(𝑢)𝑑𝑢𝑥−∞ , 𝑥 ∈ 𝑅, dengan 𝑓:𝑅 → [0,∞) adalah fungsi yang

terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X.

[Grimmet & Stirzaker 2001]

29

Definisi 10 Fungsi Kerapatan Peluang

Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi 𝑃:𝑅 → [0,1]

yang diberikan oleh 𝑃𝑋(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥).

[Grimmet & Stirzaker 2001]

Definisi 11 Nilai Harapan

Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang 𝑃𝑋(𝑥), maka

nilai harapan dari X adalah: 𝑬[𝑋] = ∑ 𝑥𝑝𝑋(𝑥)𝑥 dengan syarat jumlahnya

konvergen. Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang

𝐹𝑋(𝑥), maka nilai harapan dari X adalah: 𝐄[𝑋] = ∫ 𝑥𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥∞−∞ , dengan syarat

integral tersebut konvergen mutlak.

[Bain & Engelhardt 2001]

Definisi 12 Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak

Misalkan X dan Y adalah peubah acak, fungsi sebaran bersama dari X dan Y

adalah 𝐹𝑋𝑌(𝑥,𝑦) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥,𝑌 ≤ 𝑦 ).

[Grimmet & Stirzaker 2001]

Definisi 13 Fungsi Kepekatan Peluang

Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret dengan fungsi kepekatan peluang

bersama 𝑃𝑋𝑌(𝑥,𝑦), maka fungsi kerapatan peluang bersyarat dari X dengan syarat

Y=y adalah 𝑝𝑋|𝑌(𝑥|𝑦) = 𝑝𝑋,𝑌(𝑥,𝑦)𝑝𝑌(𝑦)

, dengan syarat 𝑝𝑌(𝑦) > 0.

[Grimmet & Stirzaker 2001]

Definisi 14 Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat

Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang

bersama 𝐹𝑋𝑌(𝑥,𝑦), maka fungsi peluang bersyarat dari X dengan syarat Y=y

adalah 𝑓𝑋|𝑌(𝑥|𝑦) = 𝑓𝑋,𝑌(𝑥,𝑦)𝑓𝑌(𝑦)

, dengan syarat 𝑓𝑌(𝑦) > 0.

[Grimmet & Stirzaker 2001]

30

Definisi 15 Nilai Harapan Bersyarat

Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dan 𝑓𝑋|𝑌(𝑥|𝑦) adalah fungsi

kepekatan peluang bersyarat dari X dengan syarat Y =y. Nilai harapan dari X

dengan syarat Y=y adalah 𝐸[𝑋|𝑌 = 𝑦] = ∫ 𝑥 𝑓𝑋|𝑌(𝑥|𝑦)𝑑𝑥.∞−∞ Jika X dan Y

adalah peubah acak diskret dengan 𝑃𝑋𝑌(𝑥,𝑦), adalah fungsi kerapatan peluang

bersyarat dari X dengan Syarat Y=y, maka nilai harapan dari X dengan syarat Y=y

adalah 𝐸[𝑋|𝑌 = 𝑦] = ∑ 𝑥 𝑝𝑋|𝑌(𝑥|𝑦).𝑥

[Hogg , Mc Kean & Craig 2005]

Definisi 16 Fungsi Pembangkit

Suatu barisan bilangan real 𝑎 = 𝑎𝑖, 𝑖 = 0, 1, 2, … berisi banyak informasi. Cara

singkat untuk menceritakan semua informasi yang ada pada bilangan-bilangan

tersebut secara bersamaan dinyatakan dalam suatu fungsi pembangkit. Fungsi

pembangkit dari barisan 𝑎 adalah fungsi 𝐺𝑎 yang didefinisikan oleh

𝐺𝑎(𝑠) = ∑ 𝑎𝑖𝑠𝑖,∞𝑖=0 untuk 𝑠 ∈ 𝑅 jika jumlahnya konvergen. Barisan 𝑎 dapat

dibentuk dari fungsi 𝐺𝑎, dengan membuat 𝑎𝑖 = 𝐺𝑎(𝑖)(0)𝑖!

, dimana fungsi 𝐺𝑎(𝑖) adalah

turunan ke 𝑖 dari fungsi 𝐺.

[Grimmett & Stirzaker 2001]

Definisi 17 Varian

Varian dari peubah acak X adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara X

dengan nilai harapannya. Secara matematis dinyatakan sebagai

𝑉𝑎𝑟 (𝑋) = 𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋))2].

[Bain & Engelhardt 2001]

Definisi 18 Fungsi Pembangkit Momen

Jika 𝑋 adalah peubah acak, maka 𝑀𝑋(𝑡) = 𝐸[𝑒𝑡𝑋] disebut fungsi pembangkit

momen dari 𝑋 jika nilai harapannya ada untuk semua nilai 𝑡 pada suatu interval

−ℎ < 𝑡 < ℎ dengan ℎ > 0.

[Bain & Engelhardt 2001]

31

Definisi 19 Fungsi Pembangkit Peluang

Misalkan 𝑋 adalah peubah acak diskret yang nilainya berupa bilangan bulat tak

negatif 0,1,2, … dan fungsi kerapatan peluangnya diberikan oleh 𝑃(𝑋 = 𝑡) =

𝑃𝑡. Fungsi pembangkit peluang dari peubah acak 𝑋 didefinisikan oleh 𝐺𝑋(𝑠) =

𝐸(𝑠𝑋), dengan 𝐸(𝑠𝑋) = ∑ 𝑠𝑡𝑃(𝑋 = 𝑡) = ∑ 𝑠𝑡𝑃𝑡 ∞𝑡=0

∞𝑡=0 .

[Grimmett & Stirzaker 2001]

Definsi 20 Sebaran Eksponensial

Peubah acak 𝑋 disebut memiliki sebaran Eksponensial, jika fungsi kepekatan

peluangnya adalah 𝑓(𝑥) = λ 𝑒−λ𝑥 dengan λ > 0, 0 < 𝑥 < ∞.

[Hogg , Mc Kean & Craig 2005]

Definisi 21 Sebaran Bernoulli

Suatu percobaan acak yang hanya menghasilkan dua kemungkinan (sukses dan

gagal) disebut percobaan Bernoulli. Peubah acak 𝑋 disebut mempunyai sebaran

Bernoulli jika 𝑋 merupakan peubah acak pada percobaan Bernoulli dengan

𝑋 = 1, jika sukses0, jika gagal .

Jika 𝑝 menyatakan peluang sukses, maka 𝑋 mempunyai fungsi kerapatan peluang

𝑝𝑥(𝑥) = 𝑝𝑥(1 − 𝑝)1−𝑥,𝑥 = 0, 1.

[Hogg , Mc Kean & Craig 2005]

Definisi 22 Sebaran Binom

Jika percobaan Bernoulli diulang 𝑛 kali, dan setiap percobaan saling bebas, maka

peubah acak 𝑋 yang menyatakan banyaknya sukses dari 𝑛 kali percobaan

Bernoulli, disebut peubah acak Binom. Jika 𝑝 menyatakan peluang sukses dari

setiap percobaan Bernoulli, maka fungsi kerapatan peluang dari 𝑋 adalah

𝑝𝑋(𝑥) = 𝑛𝑥𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥 dengan 𝑥 = 0, 1, 2, …

[Hogg , Mc Kean & Craig 2005]

32

Definisi 23 Sebaran Binom Negatif

Sebaran Binom Negatif diperoleh dari percobaan Bernoulli yang dilakukan terus

menerus sampai 𝑟 sukses tercapai. Jika peubah acak 𝑌 menyatakan banyaknya

percobaan sampai r sukses tercapai, maka 𝑌 disebut memiliki sebaran Binom

Negatif. Jika 𝑝 menyatakan peluang sukses dari setiap percobaan Bernoulli, maka

fungsi kerapatan peluang dari 𝑌 adalah 𝑝𝑌(𝑦) = 𝑃(𝑌 = 𝑦) = 𝑦−1𝑟−1𝑝𝑟(1 −

𝑝)𝑦−𝑟 .

[Hogg , Mc Kean & Craig 2005]

Definisi 24 Proses Stokastik

Proses Stokastik 𝑋(𝑡), 𝑡 𝜖 𝑇 adalah suatu himpunan dari peubah acak yang

memetakan suatu ruang contoh Ω ke ruang state 𝑆.

[Ross 1996]

Definisi 25 Rantai Markov dengan Waktu Diskret

Proses Stokastik 𝑋𝑛,𝑛 = 0, 1, 2, … dengan ruang state 0, 1, 2, … , disebut

rantai markov dengan waktu diskret jika untuk setiap 𝑛 = 0, 1, 2, … berlaku

𝑃(𝑋𝑛 + 1 = 𝑗 | 𝑋𝑛 = 𝑖,𝑋𝑛 − 1 = 𝑖 − 1, … ,𝑋0 = 𝑖0) = 𝑃(𝑋𝑛+1 = 𝑗 | 𝑋𝑛 = 𝑖).

[Ross 1996]

Definisi 26 Rantai Markov dengan Waktu Kontinu

Suatu proses Stokastik dengan waktu kontinu 𝑋(𝑡), 𝑡≥0, dengan ruang state

diskret 0, 1, 2, … , disebut rantai markov dengan waktu kontinu jika untuk setiap

t, 𝑠 > 0 dan 𝑖, 𝑗, 𝑥(𝑢) 𝜖 0, 1, 2, … , 0 ≤ 𝑢 < 𝑠 berlaku 𝑃(𝑋(𝑡, 𝑠) = 𝑗 | 𝑋(𝑠) =

𝑖,𝑋(𝑢) = 𝑥(𝑢); 0 ≤ 𝑢 < 𝑠 ) = 𝑃(𝑋(𝑡 + 𝑠) = 𝑗 | 𝑋(𝑠) = 𝑖).

[Ross 1996]

Definisi 27 Proses Pencacahan

Suatu proses stokastik 𝑁(𝑡), 𝑡≥0 disebut proses pencacahan jika 𝑁(𝑡)

menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu 𝑡.

[Ross 1996]

33

Definisi 29 Proses Poisson

Suatu proses stokastik 𝑁(𝑡), 𝑡≥0 disebut proses Poisson dengan laju λ,λ≥0, jika

memenuhi syarat berikut:

i) 𝑁(0) = 0

ii) Memiliki inkremen bebas dan inkremen stationer.

iii) Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu 𝑡 memiliki sebaran

Poisson dengan nilai harapan λ𝑡.

[Ross 1996]

Definisi 28 Persamaan Diferensial Biasa

Suatu persamaan yang melibatkan variabel x dengan suatu fungsi tak bebas y dan

turunan-turunannya 𝐹(𝑥, 𝑦,𝑦(1),𝑦(2), … disebut persamaan diferensial biasa.

[ Farlow 2006]

Definisi 29 Persamaan Diferensial Biasa Linear

Jika persamaan diferensial dapat dituliskan dalam bentuk 𝑑𝑦𝑑𝑥

+ 𝑃𝑦 = 𝑄, dimana P

dan Q merupakan fungsi dalam x, maka persamaan tersebut disebut persamaan

diferensial linear orde satu.

[Farlow 2006]

Definisi 30 Persamaan Diferensial Parsial (PDP)

Adalah suatu persamaan yang memiliki bentuk sebagai berikut:

𝐹(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛,𝑢,𝑢𝑥1 , … ,𝑢𝑥𝑛,𝑢𝑥1𝑥1 ,𝑢𝑥1𝑥2 , … ) = 0

yaitu persamaan yang menghubungkan nilai-nilai variabel bebas 𝑥𝑖 , 𝑖 =

1, … , 𝑛 , fungsi 𝑢(𝑥1, … , 𝑥𝑛) dan turunan-turunan parsialnya.

[Farlow 2006]

Definisi 31 PDP Linear dan Quasi linier

PDP adalah linier jika hubungan antara sebuah fungsi dan turunan-turunannya

adalah linear.

Suatu PDP berorde k disebut Quasi Linear jika turunan parsial ke k adalah linear

[Farlow 2006]

34

Lampiran 2 Hasil simulasi model kelahiran murni tahun 1990-2010 berdasarkan

data tahun 1990*

Zhitung = 1,96

λ1990 = 0,0257

µ1990 = 0

θ1990 = 0

Tahun Jumlah Jumlah Batas bawah Batas atas |Error|

Penduduk* penduduk

(%)

(Data BPS) (Model) 1990 179.378.946 179.378.946 179.378.946 179.378.946 0 1991

184.048.735 184.044.444 184.053.025

1992

188.840.092 188.833.907 188.846.278 1993

193.756.184 193.748.460 193.763.908

1994

198.800.257 198.791.164 198.809.350 1995 194.754.808 203.975.642 203.965.277 203.986.008 4,73

1996

209.285.759 209.274.181 209.297.336 1997

214.734.114 214.721.363 214.746.865

1998

220.324.307 220.310.408 220.338.207 1999

226.060.030 226.044.997 226.075.063

2000 205.132.458 231.945.072 231.928.913 231.961.231 13,07 2001

237.983.319 237.966.037 238.000.602

2002

244.178.761 244.160.353 244.197.169 2003

250.535.489 250.515.950 250.555.029

2004

257.057.703 257.037.024 257.078.382 2005 218.868.791 263.749.710 263.727.880 263.771.540 20,51

2006

270.615.930 270.592.936 270.638.925 2007

277.660.900 277.636.726 277.685.074

2008

284.889.272 284.863.900 284.914.643 2009

292.305.821 292.279.233 292.332.408

2010 237.641.326 299.915.445 299.887.621 299.943.269 26,21

|𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟| = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 (𝑑𝑎𝑡𝑎 𝐵𝑃𝑆)− 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 (𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙)𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘(𝑑𝑎𝑡𝑎 𝐵𝑃𝑆)

𝑥 100%

*Sumber :

Data BPS [http://www.datastatistik-Indonesia.com/proyeksi dan http://bps.go.id]

35

Lampiran 3 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian tanpa migrasi tahun

1990-2010 berdasarkan data tahun 1990*

Zhitung = 1,96

λ1990 = 0,0257

µ1990 = 0,007

θ1990 = 0

Tahun Jumlah Jumlah Batas bawah Batas atas |Error|

Penduduk* penduduk

(%)

(Data BPS) (Model) 1990 179.378.946 179.378.946 179.378.946 179.378.946 0 1991

182.764.892 182.760.078 182.769.706

1992

186.214.751 186.207.847 186.221.656 1993

189.729.730 189.721.154 189.738.306

1994

193.311.057 193.301.014 193.321.100 1995 194.754.808 196.959.985 196.948.597 196.971.372 1,13

1996

200.677.790 200.665.138 200.690.441 1997

204.465.771 204.451.912 204.479.631

1998

208.325.255 208.310.228 208.340.282 1999

212.257.590 212.241.424 212.273.756

2000 205.132.458 216.264.152 216.246.868 216.281.435 5,43 2001

220.346.341 220.327.955 220.364.727

2002

224.505.585 224.486.107 224.525.063 2003

228.743.339 228.722.776 228.763.903

2004

233.061.085 233.039.439 233.082.730 2005 218.868.791 237.460.332 237.437.605 237.483.058 8,49

2006

241.942.619 241.918.810 241.966.427 2007

246.509.513 246.484.619 246.534.407

2008

251.162.612 251.136.628 251.188.596 2009

255.903.542 255.876.462 255.930.622

2010 237.641.326 260.733.962 260.705.778 260.762.146 9,72

|𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟| = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 (𝑑𝑎𝑡𝑎 𝐵𝑃𝑆)− 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 (𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙)𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘(𝑑𝑎𝑡𝑎 𝐵𝑃𝑆)

𝑥 100%

*Sumber :

Data BPS [http://www.datastatistik-Indonesia.com/proyeksi dan http://bps.go.id]

36

Lampiran 4 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian dengan migrasi tahun

1990-2010 berdasarkan data tahun 1990*

Zhitung = 1,96

λ1990 = 0,0257

µ1990 = 0,007

θ1990 = -0,0051

Tahun Jumlah Jumlah Batas bawah Batas atas |Error|

Penduduk* penduduk

(%)

(Data BPS) (Model) 1990 179.378.946 179.378.946 179.378.946 179.378.946 0 1991

182.764.892 182.760.078 182.769.706

1992

186.214.751 186.207.847 186.221.656 1993

189.729.730 189.721.154 189.738.306

1994

193.311.057 193.301.014 193.321.100 1995 194.754.808 196.959.985 196.948.597 196.971.372 1,13 1996

200.677.790 200.665.138 200.690.441

1997

204.465.771 204.451.912 204.479.631 1998

208.325.255 208.310.228 208.340.282

1999

212.257.590 212.241.424 212.273.756 2000 205.132.458 216.264.152 216.246.868 216.281.435 5,43 2001

220.346.341 220.327.955 220.364.727

2002

224.505.585 224.486.107 224.525.063 2003

228.743.339 228.722.776 228.763.903

2004

233.061.085 233.039.439 233.082.730 2005 218.868.791 237.460.332 237.437.605 237.483.058 8,49 2006

241.942.619 241.918.810 241.966.427

2007

246.509.513 246.484.619 246.534.407 2008

251.162.612 251.136.628 251.188.596

2009

255.903.542 255.876.462 255.930.622 2010 237.641.326 260.733.962 260.705.778 260.762.146 9,72

|𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟| = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 (𝑑𝑎𝑡𝑎 𝐵𝑃𝑆)− 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 (𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙)

𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘(𝑑𝑎𝑡𝑎 𝐵𝑃𝑆) 𝑥 100%

*Sumber :

Data BPS [http://www.datastatistik-Indonesia.com/proyeksi dan http://bps.go.id]

37

Lampiran 5 Proyeksi penduduk tahun 2001-2025 berdasarkan data tahun 2000*

Zhitung = 1,96 λ1990 = 0,0257 µ1990 = 0,007 θ1990 = 0

Tahun Jumlah Jumlah Batas bawah Batas atas |Error|

Penduduk* penduduk (%)

(Proyeksi_BPS) (Model) 2000 206.264.595 206.264.595 206.264.595 206.264.595 0 2001 207.927.000 209.088.956 209.082.297 209.095.614 0,56 2002 210.736.300 211.951.990 211.942.508 211.961.471 0,57 2003 213.550.500 214.854.227 214.842.535 214.865.920 0,61 2004 216.381.600 217.796.205 217.782.610 217.809.800 0,65 2005 219.204.700 220.778.467 220.763.161 220.793.772 0,71 2006 222.051.300 223.801.564 223.784.681 223.818.448 0,78 2007 224.904.900 226.866.057 226.847.693 226.884.422 0,86 2008 227.779.100 229.972.511 229.952.740 229.992.282 0,95 2009 230.632.700 233.121.502 233.100.383 233.142.621 1,07 2010 233.447.400 236.313.612 236.291.192 236.336.032 1,21 2011 236.331.300 239.549.431 239.525.748 239.573.113 1,34 2012 239.174.300 242.829.557 242.804.644 242.854.470 1,51 2013 242.013.800 246.154.598 246.128.481 246.180.715 1,68 2014 244.814.900 249.525.169 249.497.869 249.552.468 1,89 2015 247.572.400 252.941.892 252.913.429 252.970.355 2,12 2016 250.342.100 256.405.400 256.375.789 256.435.011 2,36 2017 253.088.900 259.916.334 259.885.588 259.947.080 2,63 2018 255.792.900 263.475.342 263.443.472 263.507.213 2,92 2019 258.437.000 267.083.084 267.050.098 267.116.070 3,24 2020 261.005.000 270.740.226 270.706.132 270.774.320 3,60 2021 263.585.500 274.447.445 274.412.249 274.482.642 3,96 2022 266.102.800 278.205.427 278.169.132 278.241.721 4,35 2023 268.564.100 282.014.866 281.977.477 282.052.255 4,77 2024 270.917.600 285.876.468 285.837.986 285.914.949 5,23 2025 273.219.200 289.790.946 289.751.373 289.830.519 5,72

|𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟| = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 (𝑑𝑎𝑡𝑎 𝐵𝑃𝑆)− 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 (𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙)𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘(𝑑𝑎𝑡𝑎 𝐵𝑃𝑆)

𝑥 100%

*Sumber :

Data BPS [http://www.datastatistik-Indonesia.com/proyeksi dan http://bps.go.id]

38

Lampiran 6 Proyeksi penduduk tahun 2001-2035 berdasarkan data tahun 2010*

Zhitung = 1,96 λ1990 = 0,0184 µ1990 = 0,0063 θ1990 = 0,0001

Tahun Jumlah Batas bawah Batas atas

Penduduk*

(Model) 2010 237.641.326 237.641.326 237.641.326 2011 240.534.253 240.527.483 240.541.023 2012 243.462.397 243.452.764 243.472.030 2014 249.426.056 249.412.266 249.439.847 2015 252.462.445 252.446.931 252.477.958 2016 255.535.796 255.518.697 255.552.896 2017 258.646.562 258.627.977 258.665.146 2018 261.795.196 261.775.204 261.815.188 2019 264.982.160 264.960.822 265.003.498 2020 268.207.921 268.185.287 268.230.554 2021 271.472.950 271.449.061 271.496.839 2022 274.777.726 274.752.617 274.802.836 2023 278.122.733 278.096.432 278.149.035 2024 281.508.461 281.480.992 281.535.930 2025 284.935.404 284.906.789 284.964.020 2026 288.404.066 288.374.321 288.433.811 2027 291.914.953 291.884.094 291.945.812 2028 295.468.580 295.436.620 295.500.540 2029 299.065.467 299.032.418 299.098.517 2030 302.706.141 302.672.011 302.740.271 2031 306.391.135 306.355.932 306.426.337 2032 310.120.987 310.084.718 310.157.256 2033 313.896.246 313.858.916 313.933.575 2034 317.717.462 317.679.076 317.755.848 2035 321.585.196 321.545.757 321.624.634

*Sumber :

Data BPS [http://www.datastatistik-Indonesia.com/proyeksi dan http://bps.go.id]